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离散数学(第五版)清华大学出版社第6章习题解答

离散数学（第五版）清华大学出版社第6章习题解答

6.1 A:⑨; B:⑨; C:④; D:⑥; E:③

分析对于给定的集合和运算判别它们是否构成代数系统的关键是检查集合对给定运算的封闭性,具体方法已在5.3节做过说明. 下面分别讨论对各种不同代数系纺的判别方法.

1°给定集合S和二元运算°,判定是否构成关群、独导点和群.

根据定义，判别时要涉及到以下条件的验证：

条件1 S关于°运算封闭：

条件2 °运算满足结合集

条件3 °运算有幺元，

条件4 °?x∈S,x?1∈S.

其中关群判定只涉及条件1和2；独导点判定涉及条件1、2、和3；而群的判定则涉及到所有的四个条件。

2 °给定集合S和二元运算°和*，判定是否构成环,交换环,含幺环,整环,域.根据有关定义需要检验的条件有:

条件1 S构成交换群,

条件2 构成关群,

条件3 * 对°运算的分配律,

条件4 * 对运算满足交换律,

条件5 * 运算有幺元,

条件6 * 运算不含零因子——消去律，

条件7 |S|≥2,?x∈S,x≠0,有x?1∈S（对*运算）.

其中环的判定涉及条件1,2和3;交换环的判定涉及条件1,2,3和4;含幺环的判定涉及条件1,2,3和5;整环的判定涉及条件1-6;而域的判定则涉及全部7个条件. 3°判定偏序集或代数系统是否构成格、分本配格、有补格和布尔格.

若为偏序集,首先验证?x,y∧y和x∨y是否属于S.若满足条件则S为格,且构成代数系统.若是代数系统且°和*运算满足交换律、结合律和吸收律，则构成格。

在此基础上作为分配格的充分必要条件是不含有与图6.3所示的格同构的子格。而有补格和布尔格的判定只要根据定义进行即可。

注意对于有限格，只要元素个数不是2的幂，则一定

不是布尔格。但元素个数恰为2n的有限格中只有唯一

的布尔格。

以本题为例具体的判定过程如下：

（1）由n+n=2n?S1可知S1对+运算不封闭，根本不构成代数系统。

（2）由2*2=4?S2可知S2对*运算不封闭，也不构成代数系统。

（3）S3关于o,*运算封闭，构成代数系统。且S3关于模n加法o满足交换群的定义，关于模n乘法*满足关群的定义，且*对o有分配律。因而构成环。但当n=6时，有2*3=3*2=0.S6中含有零因子2和3，不是整环，也不是域。类似地分析可知，当n为合数时，Sn不是域，但n为素数时Sn构成域。

（4）S4是偏序集。对于小于等于关系≤,x∧y=min{x,y},x∨y=max{x,y}，显然有x∧y,x∨y∈S4，构成格。但S4不是有补格，2和3没有补元，也不是布尔代数。（5）容易验证S5关于矩阵加法构成群。

6．2 A:②; B:③; C:⑦; D:⑩; E:⑨

分析此处的G实际上是Z4.Zn关于模n加法构成群，但关于模n乘法只构成独导点，而不构成群，因为0没乘法逆元。是循环群。2是2阶元，1和3是4阶元。

如何求群G中元素的阶？如果|G|=n，则?x∈G,|x|是n的正因子。首先找

到n的正因子，并从小到大列出来，然后依次检查每相正因子r。使得xr =e的最小的正因子r就是x的阶。本题的|G|=44的正因子是1，2，4。由于

21=2≠0.

22=2⊕2=0.

所以，|2|=2。类似地有

31=,32=3⊕3=2,33=3⊕3=1,34=3⊕3⊕3⊕3=0,

而|3=| 3

6.3 2 A:②; B:④; C:⑤; D:⑦; E:⑧

分析（1）根据布尔代数定义可知U和I运算适合交换律、结合律、幂等律、分配律、D·M律等，适合消去律。?x∈L,0VX=X,xV0=x,xV1=1,1Vx=1，所以，0是V运算的幺元，1是V运算的零元。由于在布尔代数的表示中，0和1是作为代数常数列出来的，所以，最小的子布尔代数应包含所有的代数常数。经验证{0,1}恰构成子布尔代数，因而是最小的子布尔代数。

（2）表达式的等价式与对偶式是两个要领,应加以区别.容易看出,由吸收律、交换律、分配律有

(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)

=(a∧b)∨(b∧c) 吸收集

=(b∧a)∨(b∧c) 交换集

=b∧(a∧c) 分配律

这说明该表达式与b∧(a∨c)是等价的，而其他两个表达式都不满足要求。

6.4 易证Z对°运算是封闭的，且对任意x,y,z∈Z有

(xoy)oz=(x+y?2)+z?2=x+y+x?4,

xo(yoz)=xo(y+z?2)=x+(y+z?2)?2=x+y+z?4,

结合律成立。2是°运算的幺元。?x∈Z,4?x是x关于°运算的逆元。综合上述，构成群。

6.5 根据矩阵乘法可以得到G的运算表如下：

· a b c d

a a

c d

b b a d c

c c

d b a

d d c a b

由运算表可以看出a是幺元。又由

b2=a,c4=cc2 2=b2=a。d4 =d2d2=b2=a.

知道|b|=2,|c|=|d|=4.当|G|与G中元素x的阶相等时，有G=。因此G是4阶循环群。

G的子群有{a},{a,b},G三个。令S={{a},{a,b},G}，则的哈斯图如图6.4所

示。

分析这里对怎样求一个循环群的生成元和子群做一点说明。

1 °若G=是无限循环群，那么G只有两个生成元，即a和a?1。G的子群有元数多个，它们分别由ak生成。这里的k可以是0，1…。将ak生成子群的元素列出来就是

={e,ak,a?k,a2k,a?2k,L},

该子群也是一个无限循环群。不难证明当k≠l时，子群{ak}≠。

例如，G=是n阶循环群，那么G={e,a,L,an?1}。G的生成元有φ(n)个，这里的φ(n)是欧拉图函数，即小于等于n且与n互素的正整数个数。求生成元的方法是：先找到所有有小于等于n且与n互素的正整数.对于每个这样的正整数r,ar 就是G的d阶子群.

以本题为例.|D|=4,与 4 互素的数是 1 和 3.因此G=的生成元是

c1=c,c3=d.再考虑子群.4的正因子是1,2,4所以,G的子群有3个,即

==={a}. 1阶子群

=={b,a}. 2阶子群

==G. 4阶子群

根据包含关系不难得到图6.4所示的哈斯图.

6.6 Z[i]对普通加法和乘法是封闭的,且加法满足交换律,结合律,乘法满足结合律,第六法对加法满足分配律.又知道加法的幺元是0,?a+bi∈Z[i],?a?bi是a+bi的负元.从而Z[i]关于加法和乘法构成环.容易看出这是一个整环,但不是域.

6.7 (1) 不是格,(2),(3)和(4)都是格.

6.8 任取x,y∈S,由S的性质有

x⊕y=(x∧y)∨(x''∧y)∈S,

S 关于⊕是封闭的,构成代数系统.容易验证⊕运算满足结合律. 幺元是0,因为?x∈S有

x⊕0=(x∧0)∨(x''∧0)=(x∧1)∨(x'∧0)=x∨0=x.

同理有0⊕x=x.且?x∈S有

x⊕x=(x∧x)∨(x''∧x)=0∨0=0.

6.9 (1) X ={1,4,5}

(2) ={B,B2}={1,4,5},?}.

分析设G为群,a,b∈G.群方程ax=b在G中有唯一解x=a?1b.类似地,群方程ya=b在G中也有唯一解y=ba?1.代入本题有

X ={1,3}?1⊕{3,4,5}={1,3}⊕{3,4,5}={1,4,5}

由于对任何B∈P(A)有B⊕B=?,因而有

n ?B n为奇数

B =?

??n为偶数

尽管中包含了B的所有幂,但只有两个结果,即B和?.

6.10 (1) σ =(124)(356),τ=(1634)(25).

(2) στ=(15423)(356),τσ=(15462),

στσ?1=(15423)(563)(421)=(1256)(34).

分析为了求出σ的轮换表示,先任选一个元素,比如说1,从上述表示式中找到σ(1).如果σ(1)=1,则第一个轮换就找到了,是(1).如果σ(1)=i1,i1≠1,接下去找σ(i1)=i2.继续这一过程,直到某个ik满足σ(ik)=1为止.通过这样的挑选,从{1,2,L,n} 中选出了一个序列: 1,i1,i2,L,ik, 其中的元素满足σ(1)=i1,σ(i1)=i2,L,σ(ik )=ik,σ(ik)=1.这就是从σ中中解出来的第一个轮换

(1,i1,i2Lik).如果该轮换包含了{1,2,L,n}中的所有元素,那么分解结否,并且有σ=(1,i1,i2Lik);否则任取{1,2,L,n}中没有剩下的元素为止.

以本题的σ为例.由σ的置换表示知道.σ(1)=2,σ(2)=4,σ(4)=4,σ(4)=1,从而得到第一个轮换(124).接着从{3,5,6}中选取3,继续这一过程,得到σ(3)=6,σ(6)=5,σ(5)=3,这

就是第二个轮换(365).所有的元素都出现在轮换之中,分解结束,并且σ=(124)(365).

在求置换σ 的轮换表示时可将表示式中的 1 轮换省略.例如,σ=(13)(2)(46)(5)中的(2)和(5)都是1-轮换,可将σ简记为(13)(46).此外要说明的是表示式中的轮换是不相交的,即同一个元素不能出现在两个轮换之中.如果交换了轮换的次序,或者选择了轮换中不同的元素作为首元素而保持顺序不变,那么所得的轮换表示是相同的.例如, σ=(124)(365)也可以写作σ=(365)(124)或σ=(124)(365)等.

给定n 元置换σ和τ,怎样求στ或σ?1,τ?1呢?根据复合函数的定义,只需求

出στ(1), στ(2),…, στ(n)就可以得到στ的置换表示或轮换表示.以本题为例,στ(1)=σ(τ(1))=σ(6)=5.类似地有στ(2)=3,στ(3)=1,στ(4)=2,στ(5)=4,

στ(6)=6,从而得到στ=(15423)(6),化简为στ=(15423).逆的计算比乘法简单.设σ=ττ Lτ 为σ的轮换表示式,那么σ?1=τ?1,Lτ?1τ?1,其中的τ 若为

1 2kk

2 1j轮换(i,i Li) ,则有τ?1=(iLii),j=1,2,L,k. 例如, σ=(124)(365) ,则

1 2 lj1 2l

σ?1=(563)(421).从而

στσ?1=(στ)σ?1=(15423)(563)(421).

而

στσ?1(1)=στ(4)=2,,στσ?1(2)=στ(1)=5,

στσ?1(3)=στ(5)=4,στσ?1(4)=στ(2)=3,

στσ?1(5)=στ(6)=6,στσ?1(6)=στ(3)=1,

因此,得到στσ?1=(1256)(34).在στσ?1=(5)的计算中有στ(6)出现.观察到στ的表示式(15423)中不含有6,这就意味着στ(6)=(6).

6.11 (1) 是同态映射. 当G={e}时为单同态,满同态和同构.而当G不是平凡群时,?既不是单同态,也不是满同态.

(2) 是同态映射,且为单同态,不是满同态.

(3) 是同态映射,也是单同态和满同态.

6.12 (1) 哈斯图如图6.5 所示.

(2) 可以构成布尔代数.?x,y∈A,x∨y是x与y的最小公倍数,x∧y是x与y的最

大公约数.而A关于∨和∧运算是封闭的.容易

验证∨和∧运算满足交换律,结合律,吸收律,且是互相可分

配的,因此,该偏序集构成分配格. ?x,y∈A,x∨y是x与y

的最小公倍数, x∧y是x与y的最大公约数.而A关于∨和

∧运算是封闭的.容易验证∨和∧运算满足交换律,结合律,

吸收律,且是互相可分配的,因引,该偏序集构成分配格. ?x∈A,110是x的补元,

这就证明了该偏序集构成分配格.即布尔代数.

6.13 (1) 图6.1中的(3),(4),(5),(8)图不是格.(3)图中的{f,g}没有最小上界;(4)图中的{a,e}没有最大下界;(5)图中的{d,e}没有最大下界;(8)图中的{d,e}没有最小上界.

(2) 图6.1 中的(1),(2)图为分配格,但不是有补格和布尔格;(6)图不是分配格和布尔格,但是有补格;(7)图不是分配格,也不是有补格和布尔格.

分析图 6.1中格(1)和(2)的所有五元子格都不与图6.3中的格同构,因而它们都是分配格.但对于图 6.1(6)和(7)中的格都能找到与图 6.3(2)中的格同构的子路.例如,图 6.1(6)中的{a,b,c,d,f}和(7)中的{a,b,c,f,g},因此,它们都不是分配格.

再考虑补元.(1)图中格的b,c,d元素都没补元;(2)图中格的b,c,d,e元素都没补元;(7)图中格的d元素没有补元.它们不是有补格.而(6)图中格的每个元素都有补元,是有补格.

6.14 (1)图中0与1互为补元; a,b,c,d都没有补元.(2)图中0与1互为补元;a的补元是b和d; c的补元是b和d的补元为a和c;d的补元为a和c.(3)图中0与1互为补元;b与c互为补元;a和d都没有补元.

离散数学(第五版)清华大学出版社第2章习题解答

离散数学（第五版）清华大学出版社第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令F(x):x是鸟 G(x):x会飞翔. 命题符号化为 ?x(F(x)→G(x)). (2)令F(x):x为人. G(x):x爱吃糖命题符号化为 ??x(F(x)→G(x)) 或者 ?x(F(x)∧?G(x)) (3)令F(x):x为人. G(x):x爱看小说. 命题符号化为 ?x(F(x)∧G(x)). (4) F(x):x为人. G(x):x爱看电视. 命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)). 分析1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的F(x)都是特性谓词。 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 27 ?x(F(x)∧G(x)) 即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。

3°（2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 ?xF(x) 其中F(x):(x+1)2=x2+2x+1,此命题在(a),(b),(c)中均为真命题。（2）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xG(x) 其中G(x):x+2=0，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。（3）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xH(x) 其中H(x):5x=1.此命题在(a),(b)中均为假命题，在(c)中为真命题。分析1°命题的真值与个体域有关。 2°有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。在个体域为人类集合时，应符号化为 ?xF(x) 这里，F(x):x呼吸，没有引入特性谓词。在个体域为全总个体域时，应符号化为 ?x(F(x)→G(x)) 这里，F(x):x为人，且F(x)为特性谓词。G(x):x呼吸。 28 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。（1）令：F(x):x是大学生，G(x):x是文科生，H(x):x是理科生，命题符号化为?x(F(x)→(G(x)∨H(x)) （2）令F(x):x是人，G(y):y是化，H(x):x喜欢，命题符号化为 ?x(F(x)∧?y(G(y)→H(x,y))) （3）令F(x):x是人，G(x):x犯错误，命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)), 或另一种等值的形式为 ?x(F(x)→G(x)

离散数学习题(耿素云屈婉玲)

离散数学习题答案习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式：（1）()()p q p r ∨∨?∧ 解：公式的真值表如下：

由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式 1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨ 习题三及答案：（P52-54） 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。前提：,,,p q q r r s p ?∨?∨→ 结论：s 证明： ① p 前提引入 ② p q ?∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④ q r ?∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入 ⑦ s ⑤⑥假言推理 15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理：（2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论： p u → 证明：用附加前提证明法。 ① p 附加前提引入 ② p q ∨ ①附加 ③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入 ④ r s ∧ ②③假言推理 ⑤ s ④化简 ⑥ s t ∨ ⑤附加 ⑦ ()s t u ∨→ 前提引入 ⑧ u ⑥⑦假言推理故推理正确。 16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理：（1）前提： p q →?，r q ?∨，r s ∧? 结论：p ?

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（2）25不是无理数. 答：否定式：25是有理数. p ：25不是无理数. q ：25是有理数. 其否定式q 的真值为1. （3）2.5是自然数. 答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1. （4）ln1是整数. 答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1. 4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1. （2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数. 答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数. 答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧?，其真值为1. （4）3是偶素数. 答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数. 答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ?∧?，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数. （4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数. 答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ?∨?，其真值为1. (5) 符号化：r s ?∨?，其真值为0. 6.将下列命题符号化. （1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨. 答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ?∧∨∧?. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：

离散数学第五章

第五章函数Function 函数在数学、应用数学等许多领域，尤其计算机科学领域有着极其重要的作用。函数的思想、概念和应用无处不在，无时不在。它主要是研究变量之间的关系和规律。函数的划分有很多种。有线性与非线性之分、连续与离散之分。例

如， x12345… y357911… 5.1 函数假定A，B是两个非空集合，f : A→B，称f为A到B上的函数，对每个a∈A, 有唯一的f(a)∈B, 记做b = f(a)。函数也叫映射mappings或变换transformations（错误） a叫做函数f的自变量argument，b被称为因变量，b=f(a)叫做函数的值value，也叫a的像。例1. A＝{1,2,3,4}, B={a,b,c,d}, ，

则f是一个函数。也可以简单记为， f={(1,a), (2,a), (3,d), (4,c)} 另外, g={(1,a), (1,b), (2,a), (4,c)} 因为对于1来说，1∈A, 不是唯一的f(1)∈B与之相对应,f(1)=a,并且f(1)=b, 因此g就不是一个函数。例2． f：Z→Z， f(a)= f是函数。例3．恒等函数1A(a)=a是函数。正如，我们在第四章里表述的，函数f : A→B，b=f(a), 是一个特殊的二元关系，我们知道，由函数f可以确定一个关系，简单地，可以表示为(a,b)∈，或 ab。关系的特征函数为或者简记为因此，这样一来，我们以前所讨论的有关集合或关系的运算和性质对于函数来说，就可以完全适用。例如，f：A→B, g：A→B, 函数的复合设f：A→B，g：B→C，是函数，则g?f：A→C，是函数。 g?f（a）＝g(f(a))

离散数学习题解答

离散数学习题解答数理逻辑习题 1. 将下列命题符号化：（1）要是明天不下雨且我有时间，那么我去步行街购物。设p ：明天下雨 q ：我有时间 r ：我去步行街购物 r q p →∧?)( （2）如果小王和小张是一个组，那么这次英语竞赛一定取胜。设p ：小王和小张是一个组 q ：这次英语竞赛一定取胜 q p → （3）除非天下雨，否则他不乘出租车上班。设p ：天下雨 q ：他乘出租车上班 p q → （4）我反悔，仅当太阳从西边出来。设p ：我反悔 q ：太阳从西边出来 q p → （5）如果()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处可微。反之亦然。设p ：()f x 在点0x 处可导 q ：()f x 在点0x 处可微 q p ? （6）明天既不是晴天也不是下雨天。设p ：明天是晴天 q ：明天是雨天 q p ?∧? 4、用真值表判断下列公式的类型。（2）r q p →?)( 公式是可满足式。

5、证明下列等值式方法：等值演算、主范式、真值表（2）)()())((r p q p r q p →→→?→→ ) ()()())()(()()()()()(r q p r q p r q p r p q r p q p p r p q p r p q p r p q p →→?→∨??∨?∨??∨?∨??∨?∨?∧?∨?∨?∨?∧?∨?∨∨???→→→ 6、使用恒等式证明下列各式，并写出它们的对偶公式。（3）T p q p q ?∧∨??∨))(( T p q q p q q p q p p q p q p q p q p q ??∨?∨??∨?∨??∨?∧?∨∨??∨?∧∨?∧∨??∨)())()(())(())(( T p q p q ?∧∨??∨))((的对偶公式： F p q p q ?∨∧??∧))(( 7、证明下列蕴涵式（1）)(q p q p →?∧ T q p q p q p q p q p q p ?∨?∨?∨??∨?∨∧??→→∧)()()()(

离散数学第五版模拟试题及答案

《离散数学》模拟试题3 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 已知集合A ={φ，1，2}，则A得幂集合p（A）=_____ _。 2. 设集合E ={a, b, c, d, e}, A= {a, b, c}, B = {a, d, e}, 则A∪B =___ ___， A∩B =____ __，A－B =___ ___，～A∩～B =____ ____。 3. 设A，B是两个集合，其中A= {1, 2, 3}, B= {1, 2}，则A－B =____ ___， ρ（A）－ρ（B）=_____ _ _。 4. 已知命题公式R Q P G→ ∧ ? =) (，则G的析取范式为。 5. 设P：2＋2＝4，Q：3是奇数；将命题“2＋2＝4，当且仅当3是奇数。”符号化，其真值为。二、单项选择题（选择一个正确答案的代号填入括号中，每小题4分，共16分。） 1. 设A、B是两个集合，A＝{1,3,4}，B＝{1,2}，则A－B为（）. A.{1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2} 2. 下列式子中正确的有（）。 A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ 3. 设集合X＝{x, y}，则ρ（X）＝（）。 A. {{x},{y}} B. {φ,{x},{y}} C. {φ,{x},{y},{x, y}} D. {{x},{y},{x, y}} 4. 设集合A＝{1,2,3}，A上的关系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}，则R不具备（）. 三、计算题（共50分） 1. （6分）设全集E＝N，有下列子集：A＝{1，2，8，10}，B＝{n|n2<50 ，n∈N}，C＝ {n|n可以被3整除，且n<20 ，n∈N}，D＝{n|2i，i<6且i、n∈N}，求下列集合：（1）A∪(C∩D) （2）A∩(B∪(C∩D)) （3）B－(A∩C) （4）(～A∩B) ∪D 2. （6分）设集合A＝{a, b, c}，A上二元关系R1，R2，R3分别为：R1＝A×A， R2 ＝{(a，a)，(b，b)}，R3 ＝{(a，a)}，试分别用定义和矩阵运算求R1·R2 ，22R，R1·R2 ·R3 ， (R1·R2 ·R3 )－1 。 3.（6分）化简等价式（﹁P∧（﹁Q∧R））∨（Q∧R）∨（P∧R）. 4.(8分) 设集合A＝{1,2,3}，R为A上的二元关系，且 M R＝写出R的关系表达式，画出R的关系图并说明R的性质. 5. （10分）设公式G的真值表如下. 试叙述如何根据真值表求G的主析取范式和主合取范式，并写出G的主析取范式和主合取范式. 1 0 0 1 1 0 1 0 0

自考离散数学教材课后题第五章答案

习题参考答案 1、设无向图G有16条边，有3个4度结点，4个3度结点，其余结点的度数均小于3，问：G中至少有几个结点。阮允准同学提供答案: 解：设度数小于3的结点有x个，则有 3×4＋4×3＋2x≥2×16 解得：x≥4 所以度数小于3的结点至少有4个所以G至少有11个结点 2、设无向图G有9个结点，每个结点的度数不是5就是6，证明：G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。阮允准同学答案：证明：由题意可知：度数为5的结点数只能是0,2，4,6，8。若度数为5的结点数为0,2，4个，则度数为6的结点数为9，7,5个结论成立。若度数为5的结点数为6,8个，结论显然成立。由上可知，G中至少有5个6度点或至少有6个5度点。 3、证明：简单图的最大度小于结点数。

阮同学认为题中应指定是无向简单图. 晓津证明如下：设简单图有n个结点，某结点的度为最大度，因为简单图任一结点没有平行边，而任一结点的的边必连有另一结点，则其最多有n-1条边与其他结点相连，因此其度数最多只有n-1条，小于结点数n. 4、设图G有n个结点，n+1条边，证明：G中至少有一个结点度数≥3 。阮同学给出证明如下：证明：设G中所有结点的度数都小于3，即每个结点度数都小于等于2，则所有结点度数之和小于等于2n，所以G的边数必小于等于n，这和已知G有n+1条边相矛盾。所以结论成立。 5、试证明下图中两个图不同构。晓津证明：同构的充要条件是两图的结点和边分别存在一一对应且保持关联关系。我们可以看出，(a)图和(b)图中都有一个三度结点，(a)图中三度结点的某条边关联着两个一度结点和一个二度结点，而(b)图中三度结点关联着两个二度结点和一个一度结点，因此可断定二图不是同构的。 6、画出所有5个结点3条边，以及5个结点7条边的简单图。解：如下图所示：(晓津与阮同学答案一致)

离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数

离散数学习题解答习题五（第五章格与布尔代数） 1．设〈L ，?〉是半序集，?是L 上的整除关系。问当L 取下列集合时，〈L ，?〉是否是格。 a) L={1，2，3，4，6，12} b) L={1，2，3，4，6，8，12} c) L={1，2，3，4，5，6，8，9，10} [解] a) 〈L ，?〉是格，因为L 中任两个元素都有上、下确界。 b) 〈L ，?〉不是格。因为L 中存在着两个元素没有上确界。例如：8 12=LUB{8，12}不存在。 c) 〈L ，?〉不是格。因为L 中存在着两个元素没有上确界。 1 6 3 1 2 4 8 63 1 2 4 1 1

倒例如：46=LUB{4，6}不存在。 2．设A ，B 是两个集合，f 是从A 到B 的映射。证明：〈S ，?〉是〈2B ，?〉的子格。其中 S={y|y=f (x)，x ∈2A } [证] 对于任何B 1∈S ，存在着A 1∈2A ，使B 1=f （A 1），由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}?B 所以B 1∈2B ，故此S ?2B ；又B 0=f (A)∈S (因为A ∈2A )，所以S 非空；对于任何B 1，B 2∈S ，存在着A 1，A 2∈2A ，使得B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，从而 L ∪B{B 1，B 2}=B 1∪B 2=f (A 1)f (A 2) =f (A 1∪A 2) （习题三的8的1））由于A 1∪A 2?A ，即A 1∪A 2∈2A ，因此f (A 1∪A 2)∈S ，即上确界L ∪B{B 1，B 2}存在。对于任何B 1，B 2∈S ，定义A 1=f –1 (B 1)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 1}，A 2=f -1 (B 2)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 2}，则A 1，A 2∈2A ，且显然B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，于是 GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ?f (A 1∩A 2) （习题三的8的2））又若y ∈B 1∩B 2，则y ∈B ，且y ∈B 2。由于y ∈B 1=f (A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}，于是存在着x ∈A 1，使f (x)=y ，但是f (x)=y ∈B 2。故此x ∈A 2=f -1 (B 2)={x|x ∈A ∧f(x)∈B 2}，因此x ∈A 1∩A 2，从而y=f (x)∈f (A 1∩A 2)，所以 GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ?f (A 1∩A 2) 9 7 31

《离散数学》复习题及答案

《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式?x((A(x)?B(y，x))??z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。答：所有人都不是大学生，有些人不会死

7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（4）Q P→ ? P? Q→ ?（2）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( ) (3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（） (1) 永真式(2) 永假式(3) 可满足式(4) (1)--(3)均有可能答：（2） 13、公式(?P∧Q)∨(?P∧?Q)化简为（），公式 Q→(P∨(P∧Q))可化简为（）。答：?P ，Q→P 14、谓词公式?x(P(x)??yR(y))→Q(x)中量词?x的辖域是（）。答：P(x)??yR(y) 15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。

离散数学(第五版)清华大学出版社第1章习题解答

离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答 1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。（2）p:5能被2整除，p为假命题。（6）p→ｑ。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而p→ｑ为假命题。（7）p→ｑ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命题，q为真命题，因而p→ｑ为假命题。（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 1 （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。（12）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q 为假命题，p∨q为真命题。

离散数学第5章习题解答

第5章习题解答 5.1 A:③; B:⑥; C:⑧; D:⑩; E:⑨ 分析 S 为n 元集,那么有个元素.S 上的一个二元运算就是函数 S S ?2n .这样的函数有个.因此上的二元运算有个. S S S f →?:2n n },{b a 162 =n n 下面说明通过运算表判别二元运算性质及求特导元素的方法. 1 °交换律若运算表中元素关于主对角线成对称分布,则该运算满足交换律. 2 °幂等律设运算表表头元素的排列顺序为如果主对角线元,,,21n x x x 素的排列也为则该运算满足幂等律. ,,,21n x x x 其他性质,如结合律或者涉及到两个运算表的分配律和吸收律,在运算表中没有明显的特征,只能针对所有可能的元素等来验证相关的算律是否成立. z y x ,,3 ° 幺元设运算表表头元素的排列顺序为如果元素所在的.e ,,,21n x x x i x 行和列的元素排列顺序也是则为幺元. ,,,21n x x x i x 4 ° 零元如果元素所在的行和列的元素都是,则是零元. .θi x i x i x 5 ° 幂等元.设运算表表头元素的排列顺序为如果主对角线上,,,21n x x x 第个元素恰为那么是幂等元.易见幺元和零元都是幂等元. i },,2,1{n i x i ∈i x 6 ° 可逆元素及其逆元.设为任意元素,如果所在的行和列都有幺元,并i x i x 且这两个幺元关于主对角线成对称分布,比如说第行第列和第行第列的两i j j i 个位置,那么与互为逆元.如果所在的行和列具有共同的幺元,则幺元一j x i x i x 定在主对角线上,那么的逆元就是自己.如果所在的和地或者所在的列没i x i x i x 有幺元,那么不是可逆元素.不难看出幺元一定是可逆元素,且;而零i x e e e =-1元不是可逆元素. θ以本题为例,的运算表是对称分布的,因此,这三个运算是可交换的, 321,,f f f

离散数学第四版课后答案

离散数学第四版课后答案第1章习题解答 1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。（2）p:5能被2整除，p为假命题。（6）p→q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命

题，q为真命题，因而p→q为假命题。（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 1 （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。（12）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q 为假命题，p∨q为真命题。（13）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数，由于q是假命题，所以，p∨q 为假命题。（14）p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。（15）p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。分析命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。 1．3 令p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为（1）p→q （2）p→?q （3）?p→q （4）?p→?q

屈婉玲版离散数学课后习题答案

第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为)(x ?，在（a）中为假命题，在 xF (b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为)(x ?，在（a）(b)中均为真命 xG 题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数命题符号化为: )) F x∧ x ?? ? ) ( H ( (x (2)F(x): x是卖菜的人

H(x): x是外地人命题符号化为: )) F ?? x x→ (x ( H ) ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快命题符号化为: )) F y x G ? y ? ∧ x→ ( ( )) ( H ) x ((y , (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快命题符号化为: ))) x F x y G ∧ ? H ?? y→ ) ( , x ( ( ( (y ) 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素=0. (c) 特定函数(x,y)=x y,x,y D ∈. (d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x

离散数学第一章部分课后习题参考答案

第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。（1）p∨(q∧r)0∨(0∧1) 0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) （0?1）∧(1∨1) 0∧10. （3）（p∧q∧r）?(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1）? (0∧0∧0)0 (4)（r∧s）→(p∧q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 1 17．判断下面一段论述是否为真：“是无理数。并且，如果3是无理数，则也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: 是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(q→p) （5）(p∧r) (p∧q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q q p q→p (p→q)→(q→p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) (p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1

所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r)) (4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q) ∧(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) (p∨q)∧(p∨r) p∨(q∧r)) p→(q∧r) （4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q)) ∧(q∨(p∧q) (p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p) ∧(q∨q) 1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1 (p∨q)∧(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(p→q)→(q∨p) (2)(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解：（1）主析取范式 (p→q)→(q p) (p q)(q p) (p q)(q p) (p q)(q p)(q p)(p q)(p q) (p q)(p q)(p q) ∑(0,2,3) 主合取范式： (p→q)→(q p) (p q)(q p)

离散数学(第五版)清华大学出版社第

离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答1．1除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2（1）p:2是无理数，p为真命题。（2）p:5能被2整除，p为假命题。（6）p→q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命可编辑范本题，q为真命题，因而p→q为假命题。（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。

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离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。（2）解：原子命题：我爱北京天安门。复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。（3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。

R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解：

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