圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： （1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ； （2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ； （3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ； （4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点
抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ； （3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ； （6）焦点： )0,2(p F ； （7）准线： 2p x - =； （8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =； （11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=
2019人教版精品教学资料·高中选修数学 一、选择题 1．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】已知点P 是抛物线2 2y x =上的一个动点，则点 P 到点()0,2A 的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ） A . 9 2 B C . 2 D . 2 【答案】D 2．【吉林省舒兰一中2017-2018学年高二上学期期中】如图，已知椭圆 22 13216 x y +=内有一点()122,2,B F F 、是其左、右焦点， M 为椭圆上的动点，则1MF MB +的最小值为（ ） A . B . C . 4 D . 6 【答案】B 【解析】() 122MF MB a MF MB +=-- 2 2BF a ≥-→ == 当且仅当2,,M F B 共线时取得最小值故答案选B
3．【北京朝阳垂杨柳中学2016-2017学年高二上学期期中】已知经过椭圆 22 12516 x y +=右焦点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1AF B 的周长等于（ ） A . 20 B . 10 C . 16 D . 8 【答案】A 【解析】因为椭圆的方程为 22 12516x y +=，所以由椭圆的定义可得1212210,210AF AF a BF BF a +==+==， 1ABF ∴?周长为112220AF BF AF BF +++=，故选A . 4．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中】设为定点，动点满 足 |，则动点的轨迹是（ ） A . 椭圆 B . 直线 C . 圆 D . 线段 【答案】D 5．【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考】已知椭圆： 22 2 1(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ） A . 1 B C . 3 2 D 【答案】D 【解析】试题分析：由椭圆定义，得2248AB AF BF a ++==，所以当线段AB 长度达最小值时， 22BF AF +有最大值．当AB 垂直于x 轴时， 22 2min ||222 b b AB b a =?=?=，所以22BF AF +的最大 值为2 85b -=，所以23b =，即b = D ． 考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系． 【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定
抛物线专题复习 通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：d 2= AB 为抛物线px y 22 =的焦点弦，则=B A x x 4 2p ，=B A y y 2 p -，||AB =p x x B A ++ 考点1 抛物线的定义 [例1 ]已知点P 在抛物线x y 42 =上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程 [例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-； (2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质 [例3 ]设B A ,为抛物线px y 22 =上的点,且O AOB (2 π = ∠为原点),则直线AB 必过的定点坐标为_______ [例4 ]设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -， 作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=?→ → FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 二．基本题型 1．过抛物线x y 42 =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果621=+x x ，那么||AB =( )
（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4 2．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()() P x y P x y ，，，，33 3()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+ B ． 3 21y y y =+ C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+ 3．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 4．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，则=+| |1 ||1QF PF （ ） （A ）a 2 （B ） a 21 （C ）a 4 （D ）a 4 5．已知抛物线C ：24y x =的焦点为,F 准线为,l 过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△ AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3：1，则点A 的坐标为( ) A ．(2,22) B ．(2，－22) C ．(2，±2) D ．(2，±22) 6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A （ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 7．两个正数a 、b 的等差中项是 9 2 ，一个等比中项是,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为（ ） A ．1 (0,)4- B ．1(0,)4 C ．1(,0)2- D ．1(,0)4 - 8．抛物线,42 F x y 的焦点为=准线为l l ,与x 轴相交于点,E 过F 且倾斜角等于3 π 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点,,l AB A ⊥垂足为,B 则四边形ABEF 的面积等于（ ） A ．33 B ．34 C ．36 D ．38 9．已知抛物线C ：2 1 2 x y = ,过点(0,4)A -和点(,0)B t 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( ) A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B. (,()22 -∞+∞ C ．(,)-∞-+∞ D ．(,)-∞-+∞ 10．如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线2 4y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21* ∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）． A ．5 B ．6 C ． 7 D ．9 11．设O 是坐标原点，F 是抛物线2 4y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60 ，则OA 为 ． 12．若直线10ax y -+=经过抛物线2 4y x =的焦点，则实数a =
圆锥曲线第 3 讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l （ F l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这 个定点F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。 注 1：在抛物线的定义中，必须强调：定点 F 不在定直线l 上，否则点的轨迹就不是一个抛 物线，而是过点 F 且垂直于直线l 的一条直线。 注 2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点 F 的距离与它到定直线l （ F l ） 的距离之比等于 1 的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事 实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1. 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： p ,0) ，准线为 x p （1） y 2 2 px （ p0），其焦点为F ( 2 2 ； （2） y 2 2 px （ p0 ），其焦点为F (p,0) ，准线为x p 2 2 ； F (0, p y p （3）x2 2 py （ p0 ) 2 ），其焦点为2，准线为； F (0, p p （4）x 2 2 py （ p )y ），其焦点为 2 ，准线为 2 . 2. 抛物线的标准方程的特点
抛物线的标准方程 y 2 2 px （ p 0 ）或 x 2 2 py （ p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方， 等号的另一端是另一个变元的一次项， 抛物线方程的这个形式与其 位置特征相对应：当抛物线的对称轴为 x 轴时，抛物线方程中的一次项就是 x 的一次项，且 一次项 x 的符号指明了抛物线的开口方向； 当抛物线的对称轴为 y 轴时， 抛物线方程中的一 次项就是 y 的一次项，且一次项 y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 y 2 2 px （ p 0 ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围： x ， y R ； （2）顶点：坐标原点 O (0,0) ； （3）对称性：关于 x 轴轴对称，对称轴方程为 y ； （ 4）开口方向：向右； （ 5）焦参数： p ； F ( p ,0) （6）焦点： 2 ； p x （7）准线： 2 ； （ 8）焦准距： p ； （ 9）离心率： e 1； （10）焦半径：若 P(x 0 , y 0 ) 为抛物线 y 2 2 px （ p 0 ）上一点，则由抛物线的定义，有 PF x 0 p 2 ； （11）通径长： 2p . 注 1 ：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 y 2 2 px
高中数学专题讲解之 抛物线 考点1 抛物线的定义： 平面上与一个定点F 和一条直线l （F 不在l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。 抛物线的定义中条件“F 不在l 上”不可遗漏，否则，如果F 在l 上，则轨迹为过F 且与l 垂直的直线。 题型： 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 例1、（1）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 （2）抛物线y=4上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A. B. C. D. 0 例2、求平面内到原点与直线20x y --=距离相等的点的轨迹方程，并指出轨迹所表示的曲线。 例3、求到点A ()2,0-的距离比到直线:3l x =的距离小1的点的轨迹方程。 巩固练习： 1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列， 则有 （ ） A ． B ． C ． D. 2.已知点F 是抛物线的焦点,M 是抛物线上的动点,当最小时, M 点坐标是 ( ) 2 x 16 17161587 2 2(0)y px p =>F 111222()()P x y P x y ，，，333()P x y ，||1F P ||2F P ||3F P 321x x x =+321y y y =+2312x x x =+2312y y y =+),4,3(A x y 82 =MF MA +
A. B. C. D. 3.已知方程()2 20x py p =->的抛物线上有一点M (),3m -，点M 到焦点F 的距离为5， 求m 的值。 4、在正方体1111D C B A ABCD -的侧面11A ABB 内有一动点P 到直线11B A 与直线BC 的距 离相等,则动点P 所在的曲线的形状为…………( ) 考点2 抛物线的标准方程 题型：求抛物线的标准方程 例4、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上 巩固练习： 1、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值 2、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上； ③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5； ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）. 能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号） )0,0()62,3()4,2()62,3(-240x y --=2 2y px =2 213 x y -= p A B 1 B A (A) A B 1 B (B) A B 1 B (C) A B 1 B A (D)
抛物线专题复习 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 焦半径 焦点弦公式 () 022 >=p px y x y O F l () 0,0 x 轴 ??? ??0,2p 2 p x -= 1=e 0 2x p PF += )(21x x p AB ++= () 022>-=p px y x y O F l () 0,0 x 轴 ? ?? ??-0,2p 2 p x = 1=e 02 x p PF -= )(21x x p AB +-= () 022>=p py x () 0,0 y 轴 ??? ??2,0p 2 p y -= 1=e 02y p PF += )(21y y p AB ++= () 022>-=p py x () 0,0 y 轴 ? ?? ? ? -2,0p 2 p y = 1=e 0 2 y p PF -= )(21y y p AB +-= 通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：d 2= AB 为抛物线px y 22 =的焦点弦，则=B A x x 4 2p ，=B A y y 2 p -，||AB =p x x B A ++ 考点1 抛物线的定义 [例1 ]已知点P 在抛物线x y 42 =上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程 [例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-； (2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质 [例3 ]设B A ,为抛物线px y 22 =上的点,且O AOB (2 π = ∠为原点),则直线AB 必过的定点坐标为_______ [例4 ]设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -， 作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=?→ → FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 二．基本题型
抛物线专题复习 时间：2021.03.02 创作：欧阳数 一、抛物线的知识点： 标准方程图形 顶 点 对 称 轴 焦点准线 离 心 率 焦半径焦点弦公式()0 2 2 > = p px y x y O F l ()0,0 x轴? ? ? ? ? 0, 2 p 2 p x- =1 = e 2 x p PF+ = ( 2 1 x x p AB+ + = ()0 2 2 > - = p px y x y O F l ()0,0 x轴 ? ? ? ? ? -0, 2 p 2 p x= 1 = e 2 x p PF- = ( 2 1 x x p AB+ - = ()0 2 2 > = p py x()0,0y 轴 ? ? ? ? ? 2 ,0 p 2 p y- =1 = e 2 y p PF+ = ( 2 1 y y p AB+ + = 通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：p d2 = AB为抛物线px y2 2=的焦点弦，则=B A x x 4 2 p，= B A y y2p -， | |AB=p x x B A + + 考点1 抛物线的定义 [例1 ]已知点P在抛物线x y4 2=上，则点P到点)1,2(- Q的距离
与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程 [例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-；(2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质 [例3 ]设B A ,为抛物线px y 22 =上的点,且O AOB (2 π = ∠为原点), 则直线AB 必过的定点坐标为_______ [例4 ]设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=?→ → FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 二．基本题型 1．过抛物线x y 42 =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,) A x y B x y 两点，如果62 1=+x x ，那么||AB =( ) （A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4 2．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，， 333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则
1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程： ①22 221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22 221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22 221(0)x y a b a b +=>>研究）： ⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤； ⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； ⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段 12B B ． ⑸椭圆的离心率：c e a = ，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁； 反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆． M y=-b y=b x=-a x=a B 2 B 1 A 2 A 1c b a F 2 F 1 O y x 4．直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位 板块三.直线与抛物线
抛物线专题复习 一、抛物线的知识点： 标准方程 图形 顶 点 对称轴 焦点 准线 离 心 率 焦半径 焦点弦公式 () 022 >=p px y x y O F l () 0,0 x 轴 ??? ??0,2p 2 p x -= 1=e 0 2x p PF += )(21x x p AB ++= () 022>-=p px y x y O F l () 0,0 x 轴 ??? ??-0,2p 2 p x = 1=e 2x p PF -= )(21x x p AB +-= () 022>=p py x () 0,0 y 轴 ??? ??2,0p 2 p y -= 1=e 0 2y p PF += )(21y y p AB ++= () 022>-=p py x () 0,0 y 轴 ??? ? ? -2,0p 2 p y = 1=e 0 2y p PF -= )(21y y p AB +-= 通径：d 2= AB 为抛物线px y 22=的焦点弦，则=B A x x 4 2 p ，=B A y y 2p -，||AB =p x x B A ++
考点1 抛物线的定义 [例1 ]已知点P 在抛物线x y 42=上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程 [例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-； (2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质 [例3 ]设B A ,为抛物线px y 22=上的点,且O AOB (2 π =∠为原点),则直线AB 必过的定点坐 标为_______ [例 4 ]设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=?→ → FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 二．基本题型 1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果621=+x x ，那么 ||AB =( ) （A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4 2．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ）
抛物线专题复习 欧阳光明（2021.03.07） 一、抛物线的知识点： 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 焦半径 焦点弦公式 () 022 >=p px y x y O F l () 0,0 x 轴 ??? ??0,2p 2 p x -= 1=e 0 2x p PF += )(21x x p AB ++= () 022>-=p px y x y O F l () 0,0 x 轴 ??? ??-0,2p 2 p x = 1=e 0 2 x p PF -= )(21x x p AB +-= () 022>=p py x () 0,0 y 轴 ??? ??2,0p 2 p y -= 1=e 02y p PF += )(21y y p AB ++= () 022>-=p py x () 0,0 y 轴 ? ?? ? ? -2,0p 2 p y = 1=e 0 2 y p PF -= )(21y y p AB +-= 通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：p d 2= AB 为抛物线px y 22 =的焦点弦，则= B A x x 4 2 p ，=B A y y 2p -， ||AB =p x x B A ++ 考点1 抛物线的定义 [例1 ]已知点P 在抛物线x y 42=上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程
[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-；(2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质 [例3 ]设B A ,为抛物线px y 22=上的点,且O AOB (2 π =∠为原点),则直线 AB 必过的定点坐标为_______ [例4 ]设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=?→ → FB FA 延长 AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 二．基本题型 1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果621=+x x ，那么||AB =( ) （A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4 2．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，， 333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+ B ． 321y y y =+ C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+ 3．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 4．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，则 =+| |1 ||1QF PF （ ）
高中数学专题四 椭圆、双曲线、抛物 线 《圆锥曲线》知识点小结 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：||221F F a >表示椭圆；||22 1 F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：
3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、双曲线： （1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。
||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：
（3）双曲线的渐近线： ①求双曲线122 22 =-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得022 2 2 =-b y a x ，因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ； （4）等轴双曲线为222t y x =-2 （4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222 >>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设双曲线)0,0(12222 >>=-b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 三、抛物线： （1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：0>p
(教案)高中数学抛物线-高考经典例题
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1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：2 p OF OK == 。 ⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F 、 准线是公切线。 ⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样 的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。 ⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。 3抛物线标准方程的四种形式： ，，px y px y 2222-==。，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22 =的图像和性质： ①焦点坐标是：?? ? ??02，p ， ②准线方程是：2 p x - =。 ③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22 =上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02 p PF x =+ ， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222 p p PQ x x x x p =+ ++=++ ⑤抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2 =其中 5一般情况归纳： 方程 图象 焦点 准线 定义特征 y 2=kx k>0时开口向右 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离 k<0时开口向左 x 2=ky k>0时开口向上 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离 k<0时开口向下 C N M 1 Q M 2 K F P o M 1 Q M 2 K F P o y x
高中数学专题：抛物线 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
抛物线专题复习 一、抛物线的知识点： 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 焦半径 焦点弦公式 () 022 >=p px y x y O F l () 0,0 x 轴 ??? ??0,2p 2p x -= 1=e 0 2x p PF += )(21x x p AB ++= ()022>-=p px y x y O F l () 0,0 x 轴 ? ?? ??-0,2p 2p x = 1=e 02x p PF -= )(21x x p AB +-= () 022>=p py x () 0,0 y 轴 ??? ??2,0p 2p y -= 1=e 0 2y p PF += )(21y y p AB ++= ()022>-=p py x () 0,0 y 轴 ??? ??-2,0p 2 p y = 1=e 0 2 y p PF -= )(21y y p AB +-= 通径：d 2= AB 为抛物线px y 22=的焦点弦，则=B A x x 4 2p ，=B A y y 2p -，||AB =p x x B A ++ 考点1 抛物线的定义 [例1 ]已知点P 在抛物线x y 42=上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程 [例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-； (2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质 [例3 ]设B A ,为抛物线px y 22=上的点,且O AOB (2 π = ∠为原点),则直线AB 必过的定点坐标为_______ [例4 ]设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；
抛物线专题复习 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 焦半径 · 焦点弦公式 () 022 >=p px y x y O F l () 0,0 x 轴 ??? ??0,2p 2 p x -= 1=e 0 2x p PF += )(21x x p AB ++= ! () 022>-=p px y x y O F l () 0,0 x 轴 ? ?? ??-0,2p 2 p x = 1=e 02 x p PF -= )(21x x p AB +-= () 022>=p py x ` () 0,0 y 轴 ??? ??2,0p 2 p y -= 1=e 02y p PF += )(21y y p AB ++= () 022>-=p py x % () 0,0 y 轴 ? ?? ? ? -2,0p 2 p y = 1=e 0 2 y p PF -= )(21y y p AB +-= 通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：d 2= AB 为抛物线px y 22=的焦点弦，则=B A x x 4 2 p ，=B A y y 2 p -，||AB =p x x B A ++ 考点1 抛物线的定义 % [例1 ]已知点P 在抛物线x y 42 =上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程 [例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-； (2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质 [例3 ]设B A ,为抛物线px y 22 =上的点,且O AOB (2 π = ∠为原点),则直线AB 必过的定点坐标为_______ [例4 ]设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -， 作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=?→ → FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 二．基本题型
第43讲 抛物线 一、 考情分析 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 二、 知识梳理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ?l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 性 质 顶点 O (0，0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ? ????p 2，0 F ? ?? ??－p 2，0 F ? ? ? ??0，p 2 F ? ? ? ??0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 [微点提醒] 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ? ???? p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半 径.
三、 经典例题 考点一 抛物线的定义及应用 【例1】 (1)已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，其上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2， 则y 1＋x 21－y 2－x 2 2＝( ) A.4 B.6 C.8 D.10 (2)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2 B.13 5 C.145 D.3 解析 (1)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋12，|BF |＝y 2＋1 2，∴|AF |－|BF |＝y 1－y 2＝2，又知x 21＝2y 1，x 22＝ 2y 2，∴x 21－x 22＝2(y 1－y 2)＝4，∴y 1＋x 21－y 2－x 22＝(y 1－y 2)＋(x 21－x 22)＝2＋4＝6. (2)由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7| 32＋4 2 ＝2. 答案 (1)B (2)A 规律方法 应用抛物线定义的两个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化. (2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p 2. 考点二 抛物线的标准方程及其性质 【例2】 (1)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA | |MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1 B. 2 C.2 D.2 2 (2)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝85 5，则抛物线C 2的方程为( ) A.y 2＝85x B.y 2＝165x C.y 2 ＝325x D.y 2 ＝645x
抛物线习题 一．抛物线标准方程 1.对标准方程形式的理解 ①若抛物线的顶点在原点，准线方程为2-=x ，则抛物线的方程为 ②抛物线x y 22 -=的焦点坐标为 ，准线方程为 ③抛物线24x y =的焦点坐标为 ，准线方程为 2.抛物线定义的运用 ①已知F 是抛物线x y 42=的焦点，点P 为抛物线上一点，若4=PF ，则点P 到y 轴的距离=d ，点P 的坐标为 ②已知抛物线x y 22=的焦点是F ，点P 为抛物线上的动点，)2,3(A ，则PF PA +的最小值为 ，取最小值时点P 的坐标为 ③已知F 是抛物线x y =2的焦点，B A ,是抛物线上的两点，且3=+BF AF ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ④已知点)22,0(Q 及抛物线x y 42=上一动点),(y x P ，则PQ x +的最小值为 ⑤已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2 4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 ⑥设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++= 二.抛物线的几何性质 1.抛物线焦点弦（焦半径）的运用 ①斜率为1的直线经过抛物线x y 42=的焦点，且与抛物线相交于B A ,两点，则线段AB 的长为 ②已知过抛物线x y 22=的焦点F 的弦长为8，则弦所在直线方程为 ③过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =， 则=BF ，AOB ?的面积为 ④过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作直线l 交抛物线于B A ,两点，若62==BF AF ，则直线l 的斜率=k ，=p ⑤抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是