切线长定理及弦切角练习题
（一）填空
1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____．
2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC 于D，∠DAC=28°侧∠CAB=____ ．
3．已知：直线AB与圆O切于B点，割线ACD与⊙O交于C和D
4．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B和C两点，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____．
5．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____．
6．已知：如图 7－147，△ABC内接于⊙O，DC切⊙O于C点，∠1=∠2，则△ABC为____ 三角形．
7．已知：如图7－148，圆O为△ABC外接圆，AB为直径，DC切⊙O于C点，∠A=36°，那么∠ACD=____．
（二）选择
8．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于
[ ]
A．62.5°；B．55°；C．50°；D．40°．
9．已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，则图中与∠PAB相等的角的个数为
[ ]
A．1 个；B．2个；C．4个；D．5个．
10．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O 于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是
[ ]
A．38°；B．52°；C．68°；D．42°．
11．已知如图7－151，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C，B两点，且 PCB
过点 O，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是
[ ]
A．1个；B．2个；C．3个；D．4个．
（三）计算
12．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°，AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数．
13．已知：如图7－153，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，C，PD平分∠APC．求∠ADP的度数．
14．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求∠A的度数．
15．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数．
16．已知：如图7－156，PA，PC切⊙O于A，C两点，B点
17．已知：如图 7－157，AC为⊙O的弦，PA切⊙O于点A，PC过O点与⊙O 交于B，∠C=33°．求∠P的度数．
18．已知：如图7－158，四边形ABCD内接于⊙O，EF切⊙O
19．已知 BA是⊙O的弦，TA切⊙O于点A，∠BAT= 100°，点M在圆周上但与A，B不重合，求∠AMB的度数．
20．已知：如图7－159，PA切圆于A，BC为圆直径，∠BAD=∠P，PA=15cm，PB=5cm．求 BD的长．
21．已知：如图7－160，AC是⊙O直径，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE ⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的长．
22．已知：如图7－161所示，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，从PA中点M 引⊙O割线MNB，∠PNA=138°．求∠PBA的度数．
23．已知：如图7－162，DC切⊙O于C，DA交⊙O于P和B两点，AC交⊙O 于Q，PQ为⊙O直径交BC于E，∠BAC=17°，∠D=45°．求∠PQC与∠PEC的度数．
24．已知：如图 7－163，QA切⊙O于点A，QB交⊙O于B
25．已知：如图7－164，QA切⊙O于A，QB交⊙O于B和C
26．已知：在图7－165中，PA切⊙O于A，AD平分∠BAC，PE平分∠APB，AD=4cm，PA=6cm．求EP的长．
27．已知；如图7－166，PA为△ABC外接圆的切线，A 为切点，DE∥AC，PE=PD．AB=7cm，AD=2cm．求DE的长．
28．已知：如图 7－167，BC是⊙O的直径，DA切⊙O于A，DA=DE．求∠BAE 的度数．
29．已知：如图 7－168，AB为⊙O直径，CD切⊙O于CAE∠CD于E，交BC 于F，AF=BF．求∠A的度数．
30．已知：如图7－169，PA，PB分别切⊙O于A，B，PCD为割线交⊙O于C，D．若 AC=3cm，AD=5cm，BC= 2cm，求DB的长．
31．已知：如图7－170，ABCD的顶点A，D，C在圆O上，AB的延长线与⊙O交于M，CB的延长线与⊙O交于点N，PD切⊙O于D，∠ADP=35°，∠ADC=108°．求∠M的度数．
32．已知：如图7－171，PQ为⊙O直径，DC切⊙O于C，DP交⊙O于B，交CQ延长线于A，∠D=45°，∠PEC=39°．求∠A的度数．
33．已知：如图 7－172，△ABC内接于⊙O，EA切⊙O于A，过B作BD∥AE 交AC延长线于D．若AC=4cm，CD= 3cm，求AB的长．
34．已知：如图7－173，△ABC内接于圆，FB切圆于B，CF⊥BF于F交圆于 E，∠1=∠2．求∠1的度数．
35．已知：如图7－174，PC为⊙O直径，MN切⊙O于A，PB⊥MN于B．若PC=5cm，PA=2cm．求PB的长．
36．已知：如图7－175，AD为⊙O直径，CBE，CD分别切⊙
37．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE于F．求证：
（1）△ABE为等腰三角形；
（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．
38．已知：如图7－177，AB，AC切⊙O于B，C，OA交⊙O于F，E，交BC 于D．
（1）求证：E为△ABC内心；
（2）若∠BAC=60°，AB=a，求OB与OD的长．
（四）证明
39．已知：在△ABC中，∠C=90°，以C为圆心作圆切AB边于F点，AD，BC分别与⊙C切于D，E两点．求证：AD∥BE．
40．已知：PA，PB与⊙O分别切于A，B两点，延长OB到C，
41．已知：⊙O与∠A的两边分别相切于D，E．在线段AD，AE（或在它们的延长线）上各取一点B，C，使DB=EC．求证：OA⊥BC．
⊥EC于H，AO交BC于D．求证：
BC·AH=AD·CE．
*43．已知：如图7－178，MN切⊙O于A，弦BC交OA于E，过C点引BC的垂线交MN于D．求：AB∥DE．
44．已知：如图7－179，OA是⊙O半径，B是OA延长线上一点，BC切⊙O 于C，CD⊥OA于D．求证：CA平分∠BCD．
45．已知：如图7－180，BC是⊙O直径，EF切⊙O于A点，AD⊥BC于D．求证：AB平分∠DAE，AC平分∠DAF．
46．已知：如图7－181，在△ABC中，AB=AC，∠C= 2∠A，以 AB为弦的圆O与 BC切干点 B，与 AC交于 D点．求证：AD=DB=BC．
47．已知：如图7－182，过△ADG的顶点A作直线与DG的延长线相交于C，过G作△ADG的外接圆的切线二等分线段AC于E．求证：AG2=DG·CG．
48．已知：如图7－183，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，PCD为割线．求证：AC·BD=BC·AD．
BC=BA，连结AC交圆于点E．求证：四边形ABDE是平行四边形．
50．已知：如图7－185，∠1=∠2，⊙O过A，D两点且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求证：EF∥BC．
51．已知：如图7－186，AB是半圆直径，EC切半圆于点C，BE⊥CE交AC 于F．求证：AB=BF．
52．已知：如图7－187，AB为半圆直径，PA⊥AB，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D交PB于M．求证：CM=MD．
（五）作图
53．求作以已知线段AB为弦，所含圆周角为已知锐角∠α（见图7－188）的弧（不写作法，写出已知、求作，答出所求）．
54．求作一个以α为一边，所对角为∠α，此边上高为h的三角形．
55．求作一个以a为一边，m为此边上中线，所对角为∠α的三角形（不写作法，答出所求）．
切线长定理及弦切角练习题(答案)
（一）填空
1．36° 2．28° 3．50° 4．32°
5．22° 6．等腰 7．54°
（二）选择
8．C 9．D 10．B 11．C
（三）计算
12．30°，30°．
13．45°．提示：连接AB交PD于E．只需证明∠ADE=∠AED，证明时利用三角形外角定理及弦切角定理．
14．30°．提示：因为PQ=QC，所以∠QCP=∠QPC．连接OQ，则知∠POQ与∠QCP互余．又∠OAQ=∠OQA与∠QPC互余，所以∠POQ=∠OAQ=∠OQA．而它们的和为90°（因为∠AOC=90°）．所以∠OAQ=30°
16．67.5°．提示：解法一连接AC，则∠PAC=∠PCA．又∠P=45°，所以∠PAC=∠PCA=67.5°．从而∠B=∠PAC=67.5°．
解法二连接OA，OC，则∠AOC=180°－∠P=135°，所以
17．24°．提示：连接OA，则∠POA=66°．
18．60°．提示：连接BD，则∠ADB=40°，∠DBC=20°．设∠ABD=∠BDC（因为AB//CD）=x°，则因∠B+∠D=180°，所以2x°+60°=180°，x°=60°，从而∠ADE=∠ABD=60°．
19．100°或80°．提示： M可在弦AB对的两弧的每一个上．
从而
22．42°．提示：∠ABM=∠NAM．于是显然△ABM∽△NAM，
NMP，所以△PMB∽△NMP，从而∠PBM=∠NPM．再由∠ABM=∠NAM，就有
∠PBA=∠PBM+∠NAM=∠NPM+∠NAM
=180°－∠PNA=42°．
23．28°，39°．提示：连接PC．
24．41°．提示：求出∠QAC和∠ACB的度数．
25．100°．
以DB=9．因为2DP2=2×9，由此得DP2=9．又DP＞0，所以DP=3，从而，DE=2×3=6（cm）．
28．45°．提示：连接AC．由于DA=DE，所以∠ABE+∠BAE=∠AED=∠EAD=∠CAD+∠CAE，但∠ABE=∠CAD，所以∠BAE=∠CAE．由于∠BAE+∠CAE=90°，所以∠BAE=45°．
29．60°．提示：解法一连接AC，则AC⊥BC．又AF⊥CE，所以∠ACE=∠F．又DC切⊙O于C，所以∠ACE=∠B．所以∠F=∠B．因为AF=BF，所以∠BAF=∠B=∠F．所以∠BAF=60°．
31．37°．提示：连接AC，则∠M=∠ACN=∠CAD．
32．17°．提示：连接PC，则∠QPC+∠PBC=90°．
45°=∠D=（∠BPQ+∠QPC）∠DCP
=（∠BPQ+∠QPC）－∠PBC
=[∠BPQ+（90°－∠PBC）]－∠PBC．
所以
2∠PBC－∠BPQ=45°．
（1）
又
∠PBC+∠BPQ=39°，
（2）
从而∠PBC=28°，∠BPQ=11°．于是∠A=∠PBC－∠BPQ=17°．
34．30°．提示：连接BE，由∠1=∠2，可推出∠EBF=∠ECB=∠EBC，而这三个角的和为90°，所以每个角为30°．
36．60°．提示：连接OB，则OB⊥CE，从而∠C=∠BOE= 60°．
37．（1）提示：连接OC，则∠E=∠OCB=∠OBC=∠CDE，所以△ABE为等腰三角形．
38．（1）提示：连接BE．只需证明∠ABE=∠DBE．
（四）证明
39．提示：AC，BC各平分∠A，∠B．设法证出∠A+∠B=180°．
40．提示：连接OP，设法证出∠BPC=∠BPO．
42．提示：在△BCE和△DAH中，∠BCE=∠DAH（它们都与∠DCH互补）．又A，D，C，H共圆，所以∠CEB=∠ACB=∠AHD，从而△BCE∽△DAH．这就得所要证明的比例式．
43．提示：连接AC．先证明A，E，C，D四点共圆．由此得∠ADE=（∠ACE=）∠MAB，所以AB//DE．
44．提示：证法一延长AO交⊙O于点E，连接EC，则∠BCA=∠E，且∠ACD=∠E．所以∠BCA=∠ACD．
证法二连接OA，则∠BCA与∠OCA互余；又∠ACD与∠OAC互余，而∠OCA=∠OAC，所以∠BCA=∠ACD．
46．提示：由已知得∠A=36°，∠B=∠C=72°，∠DBC=∠A=36°，所以∠ABD=36°，从而AD=BD．又∠C=∠CDB=72°，所以BD=BC．
47．提示：过A作CD的平行线交BC于H，则AH=CG．然后证
AG2=DG·AH=DG·CG．
49．提示：因为BC=BA，所以∠A=（∠C=）∠D；又∠CED=∠DBF（BF是AB 的延长线），所以它们的补角∠DEA=∠ABD．从而四边形ABDE是平行四边形．50．提示：连接DE，则∠BDE=∠1=∠2=∠FED．所以EF//BC．
51．提示：连接BC，则∠ACB=90°=∠FCB．因为CE⊥BE，所以∠F=∠ECB．因为EC切半圆于C，所以∠ECB=∠A，所以∠A=∠F，因此AB=BF．
52．提示：连接AC，BC并延长BC交AP延长线于点N．首先
所以CM=MD．
切线长定理典型练习题 一、填空题 1、如图AB 为⊙O 的直径，CA 切⊙O 于点A ，CD=1cm ，DB=3cm ，则AB=______cm 。 2、已知三角形的三边分别为 3、 4、5，则这个三角形的内切圆半径是 。 3、三角形的周长是12，面积是18，那么这个三角形的内切圆半径是 。 二、选择题 1、△ABC 内接于圆O ，AD ⊥BC 于D 交⊙O 于E ，若BD=8cm ， CD=4cm ，DE=2cm ，则△ABC 的面积等于（ ） A.248cm B.296cm C.2108cm D.232cm 2、正方形的外接圆与内切圆的周长比为（ ） A. 1:2 B. 2：1 C. 4：1 D. 3：1 3、在三角形内，与三角形三条边距离相等的点，是这个三角形的 （ ） A.三条中线的交点， B.三条角平分线的交点， C.三条高的交点， D.三边的垂直平分线的交点。 4、△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，则∠FDE 与∠A 的关系 是 （ ） A. ∠FDE=21∠A B . ∠FDE+21∠A=180° C . ∠FDE+2 1∠A=90° D . 无法确定 三、解答题： 1、如图，AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9，求⊙O 的半径。 2、等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10 cm ，求它的内切圆的半径。 3、如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N 。 （1）求证：B A ·BM=BC ·BN ； （2）如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点。当AC=3时，求AB 的值。
切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直 线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相 等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆 外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆 外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5） 圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定 理。 7.与圆有关的比例线段 定理图形已知结论证法 相交弦 定理 ⊙O中，AB、CD为 弦，交于P. PA·PB＝ PC·PD. 连结AC、BD，证： △APC∽△DPB.
相交弦定理的推论⊙O中，AB为直 径，CD⊥AB于P. PC2＝PA·PB.用相交弦定理. 切割线定理⊙O中，PT切⊙O于 T，割线PB交⊙O于 A PT2＝PA·PB连结TA、TB，证： △PTB∽△PAT 切割线定理推论PB、PD为⊙O的两 条割线，交⊙O于 A、C PA·PB＝ PC·PD 过P作PT切⊙O于 T，用两次切割线定 理 圆幂定理⊙O中，割线PB交 ⊙O于A，CD为弦 P'C·P'D＝r2－ OP'2 PA·PB＝OP2－ r2 r为⊙O的半径 延长P'O交⊙O于 M，延长OP'交⊙O 于N，用相交弦定理 证；过P作切线用 切割线定理勾股定 理证 8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。 图1 解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理
精品教学教案设计| Excellent teaching plan 教师学科教案 [20 -20学年度第—学期] 任教学科：_________________ 任教年级：_________________ 任教老师：_________________ xx市实验学校 r \?
《切线长定理》教案 教学目标 知识与技能 掌握切线长定理及其运用 过程与方法 通过对圆的切线长及切线长定理的学习，培养学生分析，归纳及解决问题的能力 情感态度 通过学生自己的实践发现定理，培养学生学习的积极性和主动性 教学重点 切线长定理及运用 教学难点 切线长定理的推导 教学过程 一、情境导入，初步认识 活动1：如图，过O O外一点P作O O的切线，回答问题： (1) 可作几条切线？ (2) 作切线的依据是什么？学生回答，教师归纳展示作法： (1)①连0P. ②以0P为直径作圆，交O 0于点A、B.③作直线PA, PB.即直线PA、 PB为所求作的圆的两条直线 (2)由0P为直径，可得0A丄PA, 0B丄PB，由切线判定定理知：PA、PB为O 0的两条切 【教学说明】该活动中作圆的切线实际上是个难点，教师展示后应放手让学生自己再动手作一次，让学生体会运用知识的成功感 二、思考探究，获取新知 1. 切线长定理 (1)切线长定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线 (2)如图，PA、PB分别与O 0相切于点A、B.求证:FA=PB，/ AP0 =/ BP0.
学生完成：由此得出切线的定理? 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角? 2. 切线长定理的运用 例1如图，AD 是O 0的直径，点C 为O O 外一点，CA 和CB 是O 0的切 线， A 和 B 是切点，连接BD. 求证:CO // BD. 【分析】连接AB ,因为AD 为直径，那么/ ABD=90°,即卩BD 丄AB.因此要证CO / BD. 只要证CO 丄AB 即可. 证明：连接AB. ?/ CA , CB 是O O 的切线，点A , B 为切点， ??? CA=CB ,Z ACO = Z BCO , ???CO 丄AB. v AD 是O O 的直径， ???/ ABD=90°,即卩 BD 丄 AB ,「. CO / BD. 例2如图，FA 、PB 、CD 分别切O O 于点A 、B 、E ,已知FA=6，求 △ PCD 的周长. 【教学说明】图中有三个分别从点 P 、C 、D 出发的切线基本图形， 因此可以用切线长定理实现线段的等量转化 . 解：v CA 、CE 与O O 分别相切于点A 、E , ??? CA=CE. v DE 、DB 与O O 分另肪目切于点 E 、B ,「. DE=DB. v PA 、PB 与O O 分别相切于点A 、B , ??? PA=PB. ? △ PCD 的周长 C A PCD =PC+CD+PD=PC+CE+DE + PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB =2PA=12. 四、运用新知，深化理解 1. ________________________________________________________________________ 如图，PA PB 是O O 的切线，AC 是O O 的直径，/ P=40°,则/ BAC 的度数是 _________________ 2. 如图，从O O 外一点P 引O O 的两条切线FA 、PB ,切点分别为A 、B ,如果/ APB=60°, 第1题 图 第2题图
切线的判定与性质、切线长定理 1.如图，AB为⊙O的直径，CE切⊙O于点C，CD⊥AB，D为垂足，AB＝12㎝，∠B ＝300，则∠ECB＝，CD＝。 2.如图，CA为⊙O的切线，切点为A。点B在⊙O上，如果∠CAB＝550，那么∠AOB 等于。 3.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是⌒ AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，（1）若PA=12，则△PDE的周长为____； （2）若△PDE的周长为12，则PA长为；（3）若∠P=40°，则∠DOE=____度。 (1题图) (2题图) (3题图) 4.下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直与圆的半径的直线是切线；③与 圆心的距离等于半径的直线是切线；④过圆直径的端点，垂直于该直径的直线的是切线。 其中正确命题有（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 5.如图，AB、AC与⊙O相切与B、C，∠A＝500，点P是圆上异于B、C的一动点，则 ∠BPC的度数是。 6.如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( ) A．三条中线的交点B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点 7.如图，⊙O分别与△ABC的边BC、CA、AB相切于D、E、F，∠A＝800，则∠EDF ＝。 （5题图）（6题图）（7题图） 8.点O是△ABC的内心，∠BAO＝200，∠AOC＝1300，则∠ACB＝。 9.已知：Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝4，BC＝3，则△ABC内切圆的半径 为。
10.若直角三角形斜边长为10㎝，其内切圆半径为2㎝，则它的周长为。 11.如图，BA与⊙O相切于B，OA与⊙O 相交于E，若AB＝5，EA＝1，则⊙O的半 径为。 12.如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC＝1300，则∠A的度数是。 13.如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，若∠FOD＝∠EOD＝1350，则 △ABC是（） A.等腰三角形； B.等边三角形； C.直角三角形； D. 等腰直角三角形； （11题图）（12题图）（13题图） 14.如果两圆的半径分别为6cm和4cm，圆心距为8cm，那么这两个圆的位置关系是（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 15.若已知Rt△ABC中，斜边为26cm，内切圆的半径为4cm，那么它的两条直角边的长分 别为（）cm A、7、27 B、8、26 C、16、18 D、24、104 16.已知两圆的半径分别是方程0 2 3 2= + -x x的两根，圆心距为3，则两圆的位置关系是__________． 17.两圆半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，则两圆的圆心距等于（）cm。 A. 7 4+ B. 7 4- C. 7 4+或7 4- D. 41 18.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，?从这点到圆的最短距离为 （）． A．3 9B．()13 9-C．()1 5 9-D．9 19.如图，AB为⊙O的直径，BC是圆的切线，切点为 B，OC平行于弦AD，求证：DC 是⊙O的切线。
C B O A D C E O A B D 弦切角定理测试卷 姓名 _____ 1.已知一个圆的弦切角等于50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为 _______ . 2.如图，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，则∠CAB 的度数为 ，∠DCB 的度数为 ，∠ECA 的度数为 ___ . 3.如图，AB ， AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为 B 、 C 、 D 是优弧BC 上的点，已知 ∠BAC=800，那么∠BDC =______. 4.如图，AB 是⊙ O 的弦， AD 是⊙ O 的切线，C 为弧AB 上任一点，∠ACB=1080，那么∠BAD =______. 5.如图，PA ， PB 切⊙ O 于 A ， B 两点， AC ⊥PB ，且与⊙ O 相交于 D ，若∠DBC=220，则∠APB==________. 2题图 3题图 4题图 5 题图 6、如图，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ? ，则DBE D的大小为( ) A. 20° B. 40° C. 60° D. 70° 7、如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB ＝25°，则∠ADC 为( ) A.105° B.115° C.120° D.125° 8、如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD=2，AB=6，则AC 的长为（ ） A.2 B.3 C.23 D.4 9、如图，AB 是⊙ O 的直径， AC ， BC 是⊙ O 的弦， PC 是⊙ O 的切线，切点为 C ，∠BAC=350 ，那么∠ACP 等于（ ）A. 350 B. 550 C. 650 D. 125 6题图 7题图 8题图 9题图 10、如图，在⊙ O 中， AB 是弦， AC 是⊙ O 的切线， A 是切点，过 B 作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙ O 于 E 点，若 AE 平分∠BAD ，则∠BAD=（ ） A. 300 B. 450 C. 500 D. 600 11、如图，E 是⊙O 内接四边形 ABCD 两条对角线的交点，CD 延长线与过 A 点的⊙ O 的切线交于F 点，若 ∠ABD=440，∠AED=1000 ，弧AD=弧AB ， 则∠AFC 的度数为（ ） A.780 B.920 C.560 D. 1450 C B A D C B A D P O C B D E O A F B P C O A C B D A P O A E B C O D
3.7 切线长定理同步测试题 （满分120分；时间：120分钟） 一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，） 1. 如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（） A.32 B.34 C.36 D.38 2. 如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（） A.50 B.52 C.54 D.56 3. 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若 PA=8cm，则△PFG的周长是（） A.8cm B.12cm C.16cm D.20cm 4. 如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，PA=8，那么弦AB的长是 （） A.4 B.8 C.4√3 D.8√3
5. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，过圆上点C作⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，若PA=4，则△PEF的周长是() A.4 B.8 C.10 D.12 6. 如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（）个： ①AF=BG；②CG=CH；③AB+CD=AD+BC；④BG< CG． A.1 B.2 C.3 D.4 7. 如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A，B重合），过点C的切线分别交PA，PB于点E，F．则△PEF的周长为() A.10cm B.15cm C.20cm D.25cm 8. 如图，PA，PB，CD分别切于A，B，E，CD交PA，PB于C，D两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE的度数为()
《切线性质与判定》练习题 一．选择题（共12小题） 1．如图，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，若∠PAB=40°，则∠AOB=（） A．80° B．60° C．40° D．20° 2．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（） A．20° B．30° C．35° D．40° 第1题图第2题图第3题图 3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）A．20° B．30° C．40° D．50° 4．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一点，则∠ACB等于（） A．80° B．50°或130° C．100° D．40° 第4题图第5题图第6题图 5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（2，0），N（0，8）两点，则点P的坐标是（） A．（5，3） B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5） 6．如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（） A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，在同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，AB=8，则圆环的面积是（） A．8 B．16 C．16π D．8π 8．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB=60°，则∠COD的度数（） A．50° B．60° C．70° D．75° 9．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（） A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=A T C．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠A TC=∠B 第7题图第8题图第9题图 11．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（） ①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线．
弦切角定理及其推论 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 证明：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90°-∠OCB ∵∠BOC=180°-2∠OCB ∴∠BOC=2∠TCB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍） ∴∠TCB=∠CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角） 弦切角定理推论：两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。 应用举例：
第一个算出地球周长的人 ──埃拉托色尼 2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希腊的埃拉托色尼。 埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。 细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。 埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。
《第3课时 切线长定理》教案 【教学目标】 1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明． 2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念． 3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想． 【教学过程】 一、情境导入 新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案． 二、合作探究 探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵ 上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________． 解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．
解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证 △POA≌△POB，∴∠OPA＝1 2 ∠APB＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB. 【类型三】切线长定理的实际应用 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的． 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm. 探究点二：三角形的内切圆 【类型一】求三角形的内切圆的半径 如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．
切线长定理—知识讲解 【学习目标】 1.了解切线长定义,掌握切线长定理； 2.了解圆外切四边形定义及性质； 3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 要点二、圆外切四边形的性质 1.圆外切四边形 四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形. 2.圆外切四边形性质 圆外切四边形的两组对边之和相等. 【典型例题】 类型一、切线长定理 1．（2015秋?湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D． （1）若PA=6，求△PCD的周长． （2）若∠P=50°求∠DOC． 【答案与解析】 解：（1）连接OE， ∵P A、PB与圆O相切， ∴PA=PB=6， 同理可得：AC=CE，BD=DE， △PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；
（2）∵PA PB与圆O相切， ∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°， ∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°， 在Rt△AOC和Rt△EOC中， ， ∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL）， ∴∠AOC=∠COE， 同理：∠DOE=∠BOD， ∴∠COD=∠AOB=65°． 【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键． 2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点. 求证：DE是⊙O切线. 【答案与解析】 连结OD、CD，AC是直径，∴OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC， ∠ADC=90°，∴△CDB是直角三角形. ∵E是BC的中点，∴DE=EB=EC，∴∠ECD=∠EDC，∠ECD+∠OCD=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD⊥ED， ∴DE是⊙O切线. 【总结升华】自然连接OD，可证OD⊥DE. 举一反三： 【变式】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线. F C F C 【答案】连接AO. ∵ AO BO =，∴ 23 ∠=∠.
切线长定理练习题 一、选择题 1.下列说法中，不正确的是( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 2．给出下列说法： ①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．18 4. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP， 则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 4题图5题图6题图 5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( ) A．三条中线的交点B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点 6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( ) A．21 B．20 C．19 D．18 二、填空题
6．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点D 、E 、F ，若∠DEF=52o ， 则∠A 的度为________． 6题图 7题图 8题图 7．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________． 8．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o ，则∠BOC 为____________度． 三、解答题 9. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长． 10. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o ，求弦AB 的长． 11. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长． 12．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、 AC 的长．
切线长定理及其应用 一、基础知识总结 1.内切圆和内心 定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分 线的交点,叫做三角形的内心. 总结：判断一个多边形是否有内切圆，就是判断能否找到一个点到各边距离都 相等。 2.直角三角形的内切圆半径与三边关系 （１）一个基本图形； （２）两个结论： 1）四边形OECF 是正方形 2）r=(a+b-c)∕2或r=ab ∕(a+b+c) （３）两个方法 代数法（方程思想）；面积法 3.切线长定义：过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段长叫做切线长。 4.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的交角。 二、典型例题解析 【例1】如图△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相交于点D 、E 、F ，且AB=9 cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长 D E F O C B A 112 12902 a b c A B C A B C S s r p a b c p C r a b c ?∠∠∠==++∠=?=+-设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径（），其中（）； （），则（）
【例2】如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、 E、F，如果AE＝1， CD＝2，BF＝3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r． 【例3】如图，以等腰ABC ?中的腰A B为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作⊥，垂足为E． D E A C （I）求证：D E为⊙O的切线； （II）若⊙O的半径为5，60 ∠= ，求D E的长． B A C 【例4】如上图等边三角形的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是⌒BC的中点．（1）试判断过C所作的⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；（2）设直线 CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△ BDE的面积．
课时作业(二十七) [第三章*7 切线长定理] 一、选择题 1．xx·红桥区期末如图K－27－1，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝10，CD切⊙O于点E，与PA，PB分别交于C，D两点，则△PCD的周长是链接听课例1归纳总结( ) 图K－27－1 A．10 B．18 C．20 D．22 2．如图K－27－2，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别切于点D，E，F，则AF的长为() 图K－27－2 A．5 B．10 C．7.5 D．4 3．已知⊙O的半径是4，P是⊙O外一点，且PO＝8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB的长为() A．4 B．4 2 C．4 3 D．2 3 4．如图K－27－3，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( ) 链接听课例2归纳总结A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO 5．如图K－27－4，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连接OD，OC.下列结论：①∠DOC＝90°；②AD＋BC＝CD；③S△AOD∶S△＝AD2∶AO2；④OD∶OC＝DE∶EC；⑤OD2＝DE·CD.其中正确的有( ) BOC
图K－27－4
A．2个B．3个 C．4个D．5个 二、填空题 6．如图K－27－5，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为________． 7．xx·昌平区期末如图K－27－6所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC长为8，BC 长为15，则△ABC的内切圆⊙O的直径是________． 图K－27－6 8．如图K－27－7，P是⊙O的直径AB的延长线上的一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝________°. 图K－27－7 9．如图K－27－8所示，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，若PA＝15 cm，则△PEF的周长是________ cm；若∠P＝50°，则∠EOF＝________°.链接听课例1归纳总结 图K－27－8 10．如图K－27－9所示，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB ＝90°，∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________． 三、解答题 11．如图K－27－10，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.求证：AC＝BC.
圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 1
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB ＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB ＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN ＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60° 2
一、填空 1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____． 2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°，则∠CAB=____ ． 3．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____． 4．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____． 二、选择 5．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于（） A．62.5°B．55° C．50°D．40° 6．已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径， 则图中与∠PAB相等的角的个数为（） A．1 个B．2个C．4个D．5个 7．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径， MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是 A．38°B．52°C．68°D．42° 三、解答 8．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°， AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数． 9．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于 P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求 ∠A的度数．
10．已知：如图7－160，AC是⊙O直径，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的长． 2 11．已知：如图7－185，∠1=∠2，⊙O过A，D两点且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求证：EF∥BC． 12．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE于F．求证： （1）△ABE为等腰三角形； （2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．
初中数学试卷 桑水出品 北师大版数学九年级下册第3章第7节切线长定理同步检测 一、选择题 1.如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（） A．32 B．34 C．36 D． 38 答案：B 解析：解答：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等， 所以四边形的周长=2×（7+10）=34． 故选：B． 分析：根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长． 2.如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为（） A．15 B．12 C．20 D．30 答案：D 解析：解答：∵P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，∴AC=EC，BD=DE，AP=BP， ∵PA=15，∴△PCD的周长为：PA+PB=30． 故选：D． 分析：直接利用切线长定理得出AC=EC，BD=DE，AP=BP，进而求出答案． 3.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（）A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化
答案：A 解析：解答：如图： ∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点， 故DM=MF，FN=EN，AD=AE， ∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）． 故选：A． 分析：利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案． 4.如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（） A．8 B．9 C．10 D．11 答案：D 解析：解答：∵⊙O内切于四边形ABCD， ∴AD+BC=AB+CD， ∵AB=10，BC=7，CD=8， ∴AD+7=10+8， 解得：AD=11． 故选：D． 分析：根据圆外切四边形的性质对边和相等进而得出AD的长． 5.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（）A．4 B．8 C．12 D．16 答案：D 解析：解答：∵圆外切等腰梯形的一腰长是8， ∴梯形对边和为：8+8=16， 则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16．
初三数学 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE = == = 32322 2 ∵，∴∠，OA OAD AD OA == =132 cos cos ∠OAE AE OA = = 22 ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22 求的值AD BC 分 析 ： ()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；
（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF ∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21 2 ∴·，故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>? ?