量子力学之狄拉克符系统与表象

Dirac 符号系统与表象

一、Dirac 符号

1. 引言

我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。

量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。 2. 态矢量

（1）. 右矢空间

力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。 右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。例如：

=n n

a n ψ∑

（2）. 左矢空间

右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ | 和 |ψ> 称为伴矢量。

的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Q n > 展开：

|ψ > = a 1 |Q 1> + a 2 |Q 2> + ... + a 3 |Q 3 > + ...

展开系数即相当于 Q 表象中的表示：

12n a a a ψ?? ? ? ?= ? ? ???M M

<ψ| 按 Q 的左基矢

<ψ| = a*1

展开系数即相当于 Q 表象中的表示：

ψ+= (a*1, a*2, ..., a*n , ... )

同理 某一左矢量 <φ| 亦可按 Q 的左基矢展开：

<φ| = b*1

定义|ψ>和 <φ|

的标积为：*n n n

b a ?ψ=∑。显然<φ|ψ>* = <ψ|φ>。对于满足归

一化条件的内积有：*1n n n

a a ψψ==∑。这样，本征态的归一化条件可以写为：

由此可以看出：<ψ | 和 |ψ> 满足：

a ）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；

b ）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；

c ）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。

（4）. 本征函数的封闭性 a ）分立谱 展开式：

=n n

n

a Q ψ?∑|()|()()m n m n n mn n n

n

Q a t Q Q a t a t ψδ<>=<>==∑∑

可得：

|||n n n

Q Q ψψ>=><>∑

因为 |ψ> 是任意态矢量，所以：

||1n n n

Q Q ><=∑

b ）连续谱

对于连续谱 |q > ，q 取连续值，任一状态 |ψ >展开式为：

|()|q a t q dq

ψ>=>?? 因为 |ψ> 是任意态矢量，所以：

||1q dq q ><=?

这就是连续本征值的本征矢的封闭性。

c ）投影算符

|Q n >上，相当于把 |ψ> 投影到左基矢 |Q n > 或 |q> 上，即作用的结果只是留下了该态矢在 |Q n > 上的分量 或 。故称 |Q n >

因为|ψ> 在 X 表象的表示是ψ(x, t)，所以显然有：

在分立谱下：

||1n n n

Q Q ><=∑

||'|'n n n

x Q Q x x x <><>=<>∑

所以*(')()(')n n n

u x u x x x δ=-∑。

在连续谱下：

||1q dq q ><=?

|||x q dq q x x x ''<><>=<>?

'|''(''')'|''(''')|n m nm p p p p x x x x Q Q δδδ<>=-<>=-<>=连续谱连续谱分立谱

|||q dq q ψψ>=><>

?|(,)||**(,)x x t x x x t ψψψψψ<>=??

<>=<>=?

所以*(')()(')q q u x u x dq x x δ=-?。

上述讨论即本征矢的封闭性，其与完备性的区别如下：

正交归一性的表示式是对坐标的积分，封闭性的表示式是对本征值的求和或

积分。所以，我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正 交归一的。它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示。 3. 算符

（1）. 右矢空间 X 表象下：

在一般Dirac 表象下：

利用分立谱下的完备性可以得到： 写成矩阵形式为：

即Q 表象下ψ = F φ。

平均值公式：?||F F

ψψ=<>。利用利用分立谱下的完备性可以得到： *

?||||m m n n

mn

m

mn n

mn

F Q Q F Q Q a F a ψψ=<><><>=∑∑

（2）. 共轭式（右矢空间）

*

?||*|||*

|*|()|??|||||m m m n n n mn n nm n nm n

n n n n

n

m

m

n

Q Q Q F Q Q F Q F Q F Q Q Q F

Q F Q ψψ??????+++??<>=<>=<><> ???

??=<>=<>=<> ???

=<><>=<>∑∑∑∑∑% 从而可以得到：?||F

ψ?+<=<。如果?F +为厄米算符，则有?||F ψ?<=<。 )'()()'(*)'()()'(*x x dq x u x u x x x u x u q q n n n -=-=?∑δδ)

'()()(*)()(*'q q dx x u x u dx x u x u q q nm

m n -==??δδ??(,)(,)(,)x t F x p x t ψ?=>>=<<φψ|?||F

Q Q m m >><<=∑φ||?|n

n m n Q Q F Q >>=φψ|?|F ??????

?

? ??><><><><><><><=???????? ??><><>

表明量子力学中的力学量既可以向右作用到右矢量上，也可以向左作用到左矢量上。

例：力学量算符 x 在动量中的形式

?||x

ψ?>=> ??||||||p p x p x p dp p ψ??'''<>=<>=<><>?

??||||||||||()|1

||21

122()

i i px p x i i i i px p x px p x p x

p p x dx x x x dx x p p x dxx x x dx x p p x dxx x x dx x p p x xdx x p e

xe

dx

i e e dx i e e dx p p i p p p δπππδ'-''--'''''<>=<><><>'''''=<><><>'''''=<>-<>

'=<><>=??==???

'=-???????????

??

??

h

h

h h h h

h h h h h h

即有：

故坐标算符 x 在动量表象中取如下形式：

?x

i p

?

=?h

4. 总结

>'<'>'<>=>=<

='<''-??=?φφδ||)(p p i p p d p p p i ηη

（1）X

表象描述与狄拉克符号

1

)

(

|)

(

|

1

)

,

(

)

,

(

)

(

)

(

?

)

,

(?

)

(

|

)

,

(

*

*

>=

ψ

ψ

<

>=

<

=

ψ

ψ

=

?

-

>

ψ

ψ

?

?

t

t

Q

Q

dx

t

x

t

x

dx

x

u

x

u

F

i

r

F

t

t

x

mn

n

m

mn

n

m

δ

δ

本征函数

归一化

算符

波函数

η

ρ

Dirac 符号项目X 表象

?

?

∑

?

=

<

>

=

><

-

'

=

'

-

'

=

'

''

-

'

>=

''

'

<

''

-

'

=

''

'

1

|

|

1

|

|

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

|

)

(

)

(

)

(

*

*

*

q

dq

q

Q

Q

x

x

dq

x

u

x

u

x

x

x

u

x

u

q

q

q

q

q

q

dx

x

u

x

u

n

n

q

q

n

n

n

q

q

δ

δ

δ

δ

封闭性

本征函数

归一性

正交

>

=<

=

>

>=

=

>

Φ

>=

ψ

Φ

=

ψ

?ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

λ

ψ

λψ

ψ

|?

|

?

|

|?

)

(

)

(

)?,

(?

)

(

|?

)

(

|

)

,

(

)

?,

(?

)

,

(

*F

F

dx

F

F

F

r

r

p

r

F

t

F

t

t

x

p

x

F

t

x

x

平均值

本征方程

公式

ρ

ρ

ρ

ρ

>

ψ

>=

ψ

ψ

?

-

=

ψ

?

?

-

>

=<

=?

)

(

|

?

)

(

|

)

,

(

)

,

(?

)

,

(

|?

|

?

*

t

H

t

dt

d

i

t

r

i

r

H

t

r

t

i

S

n

F

m

F

dx

F

F

mn

n

m

mn

η

ρ

η

ρ

ρ

η

方程

矩阵元ψ

ψ

（2）左右矢空间的对应关系

左矢空间右矢空间

>

<ψ

ψ|

|

F

F?

?+

>

>=

=<

<+φ

ψ

φ

ψ|?

|

?|

|F

F

（3）厄密共轭规则由常量C、左矢、右矢和算符组成的表

示式，求其厄密共轭式的表示规则1）把全部次序整个颠倒2）作如下代换：

常量 C C*

< | 左矢右矢| >

| > < |

+

F

F?

?

*

|]

|

|?|ψ

φ><

>

F

u

C*

|

?|

|

|C

u

F

v>

<

><+

φ

ψ

二、态的表象

到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。

波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。

表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。

1. 动量表象

在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。

动量本征函数：

/

()ipx

p

x

ψ=h

组成完备系，任一状态Ψ可按其展开。

展开系数：(,)(,)()

p

x t C p t x dp

ψ

ψ=?，(,)*()(,)

p

C p t x x t dx

ψ

=ψ

?。

命题：假设Ψ(x,t) 是归一化波函数，则C(p,t) 也是归一。

证明：

1*(,)(,)

[(,)()]*[(,)()]

(,)*(,)*()()

(,)*(,)()

(,)*(,)

p p

p p

x t x t dx

C p t x dp C p t x dp dx

C p t C p t dp dp x x dx

C p t C p t dp dp p p

C p t C p t dp

ψψ

ψψ

δ

'

'

=ψψ

''

=

''

=

'''

=-

=

?

???

???

??

?

C(p, t) 的物理意义：

|Ψ(x,t)|2d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在x → x + d x 范围内的几率。

|C(p,t)|2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在p → p + d p 范围内的几率。

Ψ(x,t) 与C(p,t) 一一对应，描述同一状态。Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数；而C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。

若Ψ(x,t) 描写的态是具有确定动量p’ 的自由粒子态，即：

则相应动量表象中的波函数：

所以，在动量表象中，具有确定动量p’的粒子的波函数是以动量p为变量的δ- 函数。换言之，动量本征函数在自身表象中是一个δ函数。

x 在自身表象即坐标表象中对应有确定值x’本征函数是δ(x'-x)。这可有本

μ

ψ

2

)

(

)

,

(

2

/

p

E

e

x

t

x

p

t

iE

p

p

'

=

=

ψ

'

-

'

'

η

dx

t

x

x

t

p

C

p

)

,

(

)

(*

)

,

(ψ

=?ψdx

e

x

x t

iE

p

p

p

η/

)

(

)

(*'

-

'

?=ψ

ψ

dx

x

x

e

p

p

t

iE p)

(

)

(*

/

'

-?'

=ψ

ψ

η)

(

/p

p

e t

iE p'

-

='

-δη

征方程看出：

()()x x x x x x δδ'''-=-

()()x x x x ψδ''=-

2. 力学量表象 推广上述讨论：

x, p 都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，因此可以对任何力学量Q 都建立一种表象，称为力学量 Q 表象。 （1）. 具有分立本征值的情况

设 算符Q 的本征值为： Q 1, Q 2, ... , Q n , ...， 相应本征函数为： u 1(x), u 2(x), ... , u n (x), ...。

将Ψ(x,t) 按 Q 的本征函数展开：

(,)()()

()*()(.)n n n

n n x t a t u x a t u x x t dx

ψ==ψ∑?

若Ψ, u n 都是归一化的，则 a n (t) 也是归一化的。 证明：

1*(,)(.)[()()]*()()*()()*()()*()()*()()

m m n n m

n

m n m n m

n

m n mn

m

n

n n n

x t x t dx

a t u x a t u x dx

a t a t u x u x dx a t a t a t a t δ=ψψ====?∑∑?∑∑?∑∑∑

根据矩阵形式归一化可写为：

（2）. 具有连续本征值的情况

?

?

??

??

??

??=ψM M )()()(21t a t a t a n ()

ΛΛ*

)(*)(*)(21t a t a t a n =ψ+()1212()()()*()*()*()()*()1

n n n n n

a t a t a t a t a t a t a t a t +?? ? ? ?ψψ= ? ? ???

==∑L L M M

设力学量Q 的本征值和本征函数为：

Q 1, Q 2, ..., Q n , ..., q

u 1(x), u 2(x), ..., u n (x), ..., u q (x)

则有： 归一化： 其中：

在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵表示：

12()()()()n q a t a t a t a t ?? ? ? ?ψ= ? ? ? ? ???

M M ()12()*

()*

()*

()*n q a t a t a t a t +ψ=L

L

3. 讨论

有上述讨论可以知道，我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，

u 1(x), u 2(x), ..., u n (x), ... 是Q 表象的基本矢量简称基矢。

波函数

12()()()()n q a t a t a t a t ?? ? ? ?ψ= ? ? ? ? ???

M M

是态矢量Ψ在Q 表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q 表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert 空间。

三、算符的矩阵表示

1. 力学量算符的矩阵表示

Q 表象：

(,)()()()()n n q q n

x t a t u x a t u x dq ψ=+∑?*()()*()()1n n q q n

a t a t a t a t dq +=∑????

??ψ=ψ=??dx t x x u t a dx

t x x u t a q q n n ),()(*)(),()(*)(

(,)()()(,)()()

m m m

m m m x t a t u x x t b t u x ?ψ=??

Φ=??

∑∑ 代入坐标表象：

??(,)(,)(,)?(,)(,)

x

x t F

x p x t F x i x t ??Φ=ψ=-ψh

得到：

()()m nm nm m m

m

b t F a t δ=∑

∑

即()()n nm m m

b t F a t =∑。其中利用了下式：

?*()(,)()nm n m x

F u x F x i u x dx ??≡-?h 从而得到Q 表象的表达方式：()()

1,2,n nm m m

b t F a t n ==∑L

写成矩阵形式为

简写为F ψ?=

例：求 L x 在 L 2, L z 共同表象，?=1子空间中的矩阵表示。

令： u 1 = Y 11 u 2 = Y 10 , u 3 = Y 1-1，则L x 的矩阵元计算如下：

?()*,1,2,3x ij i x j

L u L u d i j =Ω=?

利用

12,1

??()

x lm l m L L L L Y +-±±=+=

可得：

)()(),(?)()(x u t a i x F x u t b m m m x m m m ∑∑??-=η)

(])(),(?*[)(*)(t a dx x u i x F u dx x u u t b m m x

n m

m n m m

??-=?∑?∑η???????

? ??????????

??=???????? ??M M Λ

Λ

Λ

Λ

ΛΛΛΛΛΛΛ

Λ

ΛΛΛΛM M )()()()()()(2121

2222111211

21t a t a t a F F F F F F F F F t b t b t b m nm n n m m n ??

??

???+=+==+=--+-+

1111102101111?

?1)(21)??(2121)??(21Y Y Y L L u L Y Y L L u L x x ηη

写成矩阵：

由此可得L x 的矩阵元为

(L x )11 = (L x )22 = (L x )33 = 0

(L x )13 = (L x )31 = 0

(L x )12 = (L x )21 = (L x )23 = (L x )32 = ?/21/2

2. Q 表象中力学量算符F 的性质 （1）.力学量算符用厄米矩阵表示

?*()()?[()(())*]*?[*()()]***()nm

n m

n m m n

mn nm nm

F u x Fu

x dx u x Fu x dx u x Fu x dx F F F +======?

??

%

所以厄米算符的矩阵表示是厄米矩阵。

例：在例1中给出了 L x , L y 在 L 2, L 表象中的矩阵形式，下面我们验证

一下这两个矩阵是厄密矩阵。（略） （2）.力学量算符在自身表象中的形式

?()()n n n

Qu x Q u x =，则Q 的矩阵元为：

?*()()*()()nm n m

m n m m nm

Q u x Qu x dx Q u x u x dx Q δ===?? 结论：算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。 3 .Q 有连续本征值的情况 讨论只有连续本征值的情况

如果 Q 只有连续本征值q ，上面的讨论仍然适用，只需将u, a, b 的角标从可数的 n, m 换成连续变化的 q ，求和换成积分，见下表。

????

? ?

?-=10

0000

001

ηz L ????

?

??--=000002i i i i L y η????? ??=010*******ηx L

算符F 在Q 表象仍是一个矩阵，矩阵元由下式确定：

?*()(,)()qq q q x

F u x F x i u x dx ?''?=-?h 四、量子力学公式的矩阵表示

1 .平均值公式

坐标表象下：?*(,)(,)F x t F x t dx =ψψ?。 在Q 表象中：

(,)()()

*(,)*()*()

n n n

n n n x t a t u x x t a t u x ?ψ=??

ψ=??

∑∑ ?*()*()()()?()*[*()()]()()*()

m m n n

m n

m m n n

m

n

m mn n m

n

F a t u x F a t u x dx a t u x Fu x dx a t a t F a t ===∑

∑?

∑∑?∑∑ 写成矩阵形式为：

()

11

12112122221212()()*(),*(),,*()()n n m m m mn n F F F a t F F F a t F a t a t a t F F F a t ????

? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ???

?

?L L

L L L L L L L L L M L L L L

L

L

L M

即*F F =ψψ 2 .本征方程

?()()F

x x F ψλψψλψ==

写成矩阵形式为：

整理改写为：

上式是一个齐次线性方程组：

方程组不完全为零解的条件为久期方程等于零，即：

求解此久期方程得到一组λ值：λ1, λ2, ..., λn , ....就是F 的本征值。 将其分别代入原齐次线性方程组就能得到相应于各λi 的本征矢：

于是求解微分方程的问题化为求解代数根的问题。

例： ? 本征函数 u m (x) 在自身表象中的矩阵表示。

同样将 u m (x) 按 ? 的本征函数展开：()()m n n n

u x a u x =∑，所以 u m (x)

在自身表象中的矩阵表示如下：

?

?????

??

??=??

?????? ?????????? ??M M M M ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛn n nn n n n n a a a a a a F F F F F F F F F 2121212222111211λ021212222111211=?

?

????

?? ?????????? ??---M M ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛn nn n n n n a a a F F F F F F F F F λλλ

Λ,2,10)(==-∑m a F n mn mn n

λδ0212222111211=---ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ

Λλλλnn n n n n F F F F F F F F F ΛΛM M n i a a a ni i i ,,2,121=?

?

???

?

?? ??

例：求 L x 本征态在 L z 表象中的矩阵表示，只讨论(?=1)情况。

L x 本征方程为：

从而有λ(-λ2 + ?2) = 0 ，解得本征值为：λ= 0, ±?。 取λ= ?代入本征方程得：

解得：a 1=(1/21/2) a 2 a 3=(1/21/2) a 2 则?=1, L x = ?的本征态可记为：

有归一化条件得到：

同理得到另外两个本征值对应的本征函数：

Λ

ΛM M Λ

ΛM M M M ??????

???

?

??==?????

????

? ??=?????

????? ??=01000010000121m m a u u u ????

? ??=?????

???????

??32132101

10

10102a a a a a a λη020220

2

321=????

?

??????

?

???

? ?

?---a a a λλλη

ηηη02

2202=---λ

λλ

ηη

ηη02022

02321

=???

??

???????????

??---a a a ηη

ηηηηη

2

2121111a ??

??

??

??=ξ22121221

2111111*1a a ?????

?

?????? ??=+ξξ2

12=

a 1||222==a

2 .薛定谔方程的矩阵形式 ?(,)(,)i x t H x t t

?ψ=ψ?h ，按力学量算符Q 的本征矢展开有

(,)()()n n n

x t a t u x ψ=∑

代入薛定谔方程得到：

?()()()()n n n n n n

i a t u x H a t u x t ?=?∑∑h

?()*()()()*()()n m n n m n

n n

i a t u x u x dx a t u x Hu x dx t ?=?∑∑??h

()()n mn n mn n n

i a t a t H t δ?

=?∑∑h

()(),1,2,m mn n n

i a t H a t m n t ?

==?∑h

L

?*()()mn m n

H u x Hu x dx =? 得到：11

12111212222212()()()()()()n n n m m mn n H H H a t a t H H H a t a t i t a t H H H a t ??

????

? ? ? ? ? ?? ?

? ?=?

? ? ? ? ? ? ? ? ?????

??L L L L h

M L L L L L M L L M L L

L

L

L

M 简写为：i H t

?

ψ=ψ?h

，其中H ，Ψ都是矩阵。 四、Hellmann - Feynman 定理及应用

1 .引言

关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要数 Hellmann - Feynman 定理（简称 H-F 定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律。

（1）当体系的能量本征值已求出，借助于H-F 定理可以得出关于各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进行烦琐的计算； （2）利用 H-F 定理可以很巧妙地推出维里定理。 2 .H-F 定理

设体系的 Hamilton 量 H 中含有某参量 λ，E n 是 H 的本征值，ψn 是归一

???

??? ??-=?????? ??-=?????? ??=-21212111212110212121110ξξξ

的束缚态本征函数（n 为一组量子数），则

?n n n E H

ψψλλ

??=?? 证明：据题设，ψn 满足本征值方程：

?()|0n n

H E ψ->= 其共轭方程为：

?|()0n n

H E ψ<-=

??|

()||()|0?||||0

?

|||?

||n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n H E H E H E E H E H ψψψψλλ

ψψψψλλ

ψψψψλλψψλλ

??<->+<->=????<>-<>=????<>=<>????=<>??

3 .实例

（1）证明一维谐振子 =

。

证明：一维谐振子哈密顿量：

方法 I ：取μ作为参数λ

简记为

2

()2p V x μ

<>=<>

22

2212212?2()0,1,2,n d H x dx E n n μωμω

=-+=+=h h L 0=??μn E 222122222?x dx d H ωμμ+=??η])2([12

2212

22x dx d μωμμ+--=η)](2[12x V p +-

=μμn n n H

E ψμψμ??=???n n x V p ψμ

ψμ)(2102

+-=n

n n n p x V ψμψψψ2)(2=

方法II

令λ= ω

2

?x H

μωω

=??[221μωω

=)

(2

x V ω

=

>

<)(x V n

E n V 21

2121)(=+>=<ωη><+>>=<=

E n μ2?2

>

<+>>=<

>

>=<<μ

22

p V 方法III

取λ= η

]2[?2221

222x dx

d H μωμ+-??=??ηηη2dx μ-=]2[2]2[22222μμp dx d ηηη=-=由HF

定理

n

n n H

E ψψη

η??=???>

<=+μ

ω22)(2

2

1p n ηn E n p 2121212

)(2=+>=<

ωμη]2[2

21

><+><=V p μ

>

>=<<μ

22

p V

（2）证明维里定理

>

?

?>=<

2即n

n

n

n

r V r p ψ

ψψ

μ

ψ

)(2

12?2ρρ??=

I.在坐标表象)

(2?22

r V H ρη+?-=μ

将η视为参数由HF 定理

μ

μ22?2

2p H ηηη=?-=??n n n H

E ψψη

η??=???II.在动量表象

p

i r ρ

ηρ??=?)(2?2p

i V p H ρη??+=μ(?p

i H ρηηη??

??=??由HF 定理

>??<=??V r E n ρ

ηη1>??<>=

μn

p ψμψ2?22η=η

ρρρ????

=r r V r )(V r ??=ρ

η

1>??<>=

ρ2122μ

量子力学的概率解释

引言：黑体辐射等实验的研究以及光谱实验的诞生，促使了人们对微观世界的不断认识。经典力学的局限性也日益显著，所面临的一些棘手的问题也越来越多。因此迫使我们不得不抛弃经典力学，而重新建立一个全新的力学体系——量子力学。该力学体系描绘了微观世界中，微观粒子的运动行为及其力学特性。 题目：量子力学的概率解释 内容摘要：在经典力学中，我们知道物体的运动可由牛顿第二定律描述： 22(((),(),()))d r F m r x t y t z t dt ==r u r r ；方程的解即为物体的动力学方程。由此方程的解： ((),(),())r x t y t z t =r ；在给定的初始条件下我们即可以知道任意时刻物体在空间所处的位 置。而在微观领域中，微观粒子的运动并不适用于上述的方程所描述。实验证明他们在某一 时刻出现在空间的哪一点上是不确定的。应该用方程μH E ψ=ψ来描述。比如电子的衍射现象，海森堡的不确定性关系，还有薛定谔为批评哥本哈根学派对量子论的观点而提出的一 个思维实验（薛定谔猫）。本文利用概率与统计的相关概念对量子力学做出一些相关的阐明，并对一些相关的问题（衍射，薛定谔猫等）进行说明。对单电子体系薛定谔方程作出较为详细的讨论，并加以例题进行进一步说明。 关键词：量子力学、概率与统计、电子衍射现象、薛定谔猫、薛定谔方程 概率统计理论的简单介绍： 随机变量X ：X 是定义在样本空间Ω上的实值函数；对面门一样本点ω，()X ω是一个实数。X 离散取值时，为离散随机变量。X 连续取值时，为连续型随机变量。本文只介绍连续型随机变量。 概率密度函数：当X 为连续型随机变量时，例如一条直线AB 如图：A 0 1 B 假设现在有一个点落到了AB 上，我们是否能问该点恰好落在0.5x =处的概率是多少？显然这是毫无意义的问题，因为该点恰好落在任意一点上的概率均为零。（基本事件的个数为无穷） 我们只能问该店落在某一区间[,]a b 上的概率是多少？例如[,][0,0.5]a b =；此时概率 10.5/12 p == 。 因此设X 是一随机变量，如果存在非负函数()f x 使得对任意满足a b -∞≤≤+∞的,a b 有 ()()b a p a X b f x dx ≤≤=?；就称()f x 是随机变量X 的概率密度函数。 显然()f x 应该具有如下性质： （1） ()1f x dx +∞ -∞ =? ；(量子力学中波函数的归一化性质) （2）()0.p X a ==于是()()()p a X b p a X b p a X b ≤≤==≤p p p ； （3）对于数集,()()A A p X A f x dx ∈= ?；

量子力学中几种表象及其之间的关系

量子力学中几种表象及其之间的关系 摘要 体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。 常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。 而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。 关键词 态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文 体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是 式中 是动量的本征函数， dx x t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ?=?=ψψψ /2 /1)2(1)(ipx p e x -=πψ

称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。 由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率 c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率 如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则 在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。 那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成 dx t x dx t x w 2 ),(),(ψ=dp t p c dp t p w 2 ),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp p p p p /''')()()(),(),(-**?=ψ?=ψψψ /')'(t iEp e p p --=δ) ()(),(x u t a t x n n n ∑=ψ

量子力学练习题

一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E= kT 2 3（k 为 玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能 量E n = ，相应的波函数=)(x n ψ() a x a x n a n <<=0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6.132 -=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() ) +-'+'+∑ ≠0 2 0m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+ ∑ ≠00 2 0m m n n m mn n E E H ψ ψ ， 其中微扰矩阵元 ' mn H =()() ?'τψψ d H n m 00?； 而 ' nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条件是 本征值， 。

量子力学讲义

量子力学的通俗讲座 一、粒子和波动 我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。 1.1 粒子的图像 在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。 为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m ），这是一个抽象的数学表达。 但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定 义了时刻t 。有了时刻 t ，我们对质点的描述就变成了（x,t,m ），由此可定义速度v ，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m ）。 在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。 以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。这里我们可简单地用两个公式：F=ma （牛顿第二定律） 和 2 GMm F x （万有引力公式） 来代表牛顿力学。前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x 的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x 和速度v 即可求出以后任意时刻t 质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。 需要强调的是一旦我们知道t=0时x 和v 的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求 解对t<0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。这些结论都是由数学理论严格保证的，即轨迹是一根理想的线。 经典的多粒子系统

量子力学期末考试题解答题

1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：

量子力学总结

量子力学总结 第一部分 量子力学基础（概念） 量子概念 所谓“量子”英文的解释为：a fixed amount (一份份、不连续)，即量子力学是用不连续物理量来描述微观粒子在微观尺度下运动的力学，量子力学的特征简单的说就是不连续性。 描述对象：微观粒子 微观特征量 以原子中电子的特征量为例估算如下： ○1“精细结构常数”（电磁作用常数）， 1371~ 10297.73 2-?==c e α ○ 2原子的电子能级 eV a e me c e mc E 27~~02242 2 2==??? ? ?? 即：数10eV 数量级 ○ 3原子尺寸：玻尔半径： 53.0~2 2 0me a =?，一般原子的半径1?

○4速率：26 ~~ 2.210/137 e c V c m s c ?-? ○5时间：原子中外层电子沿玻尔轨道的“运行”周期 秒 160 0105.1~2~-?v a t π 秒 角频率16 102.4~~?a v c ω， 即每秒绕轨道转1016圈 （电影胶片21张/S ，日光灯频率50次/S ） ○6角动量： =??2 2 20~~e m me mv a J 基本概念： 1、光电效应 2、康普顿效应 3、原子结构的波尔理论 波尔2个假设： 定态轨道 定态跃迁 4、物质波及德布洛意假设（德布洛意关系）

“任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”，认为物体若以大小为P 的动量运动时，则伴随有波长为λ的波动。 P h =λ，h 为普朗克常数 同时满足关系ω ==hv E 因为任何物质的运动都伴随这种波动，所以称这种波动为物质波（或德布罗意波）。 称P h h E v ==λ 德布罗意波关系 例题：设一个粒子的质量与人的质量相当，约为50kg ，并以12秒的百米速度作直线运动，求粒子相应的德布罗意波长。说明其物理意义。 答：动量v p μ= 波长m v h p h 3634101.1)1250/(1063.6)/(/--?=??===μλ 晶体的晶格常数约为10－10m ，所以，题中的粒子对应的德布罗意波长<<晶体的晶格常数，因此，无法观测到衍射现象。 5、波粒二象性 （1）电子衍射实验 1926年戴维逊（C ·J ·Davisson ）和革末（L ·H ·Gevmer ）第一个观察到了电子在镍单晶表面的衍射现象，证实了电子的波动性，求出电子的波长λ

量子力学诠释问题(一)

量子力学诠释问题（一） 作者：孙昌璞( 中国工程物理研究院研究生院北京北京计算科学研究中心) 1 引言：量子力学的二元结构和其发展的二元状态上世纪二十年代创立的量子力学奠定了 人类认识微观世界的科学基础，成功地解释和预言了各种相关物理效应。然而，关于波函数的意义，自爱因斯坦和玻尔旷世之争以来众说纷纭，并无共识。直到今天，量子力学发展还是处在这样一种二元状态。对此有人以玻尔的“互补性”或严肃或诙谐地调侃之，以“shut up and calculate”的工具主义观点处之以举重若轻。这样一个二元状态主要是由于附加在玻恩几率解释之上的“哥本哈根诠释”之独有的部分：外部经典世界存在是诠释量子力学所必需的，是它产生了不服从薛定谔方程幺正演化的波包塌缩，使得量子力学二元化了。今天，虽然波包塌缩概念广被争议，它导致的后选择“技术”却被广泛地应用于量子信息技术的各个方面，如线性光学量子计算和量子离物传态的某些实验演示。早年，薛定谔曾经写信严厉批评了当时的物理学家们，他在给玻恩的信中写到：“我确实需要给你彻底洗脑……你轻率地常常宣称哥本哈根解释实际上已经被普遍接受，毫无保留地这样宣称，甚至是在一群外行人面前——他们完全在你的掌握之中。这已经是道德底线了……你真的如此确信人类很快就

会屈从于你的愚蠢吗？”1979 年，Weinberg在《爱因斯坦的错误》一文中批评了玻尔对测量过程的不当处理：“量子经典诠释的玻尔版本有很大的瑕疵，其原因并非爱因斯坦所想象的。哥本哈根诠释试图描述观测(量子系统)所发生的状况，却经典地处理观察者与测量的过程。这种处理方法肯定不对：观察者与他们的仪器也得遵守同样的量子力学规则，正如宇宙的每一个量子系统都必须遵守量子力学规则。”“哥本哈根诠释可以解释量子系统的量子行为，但它并没有达成解释的任务，那就是应用波函数演化方程于观察者和他们的仪器。”最近温伯格又进一步强调了他对“标准”量子力学的种种不满。在量子信息领域，不少人不加甄别地使用哥本哈根诠释导致的“后选择”方案，其可靠性令人怀疑！其实，在量子力学幺正演化的框架内，多世界诠释不引入任何附加的假设，成功地描述了测量问题。由于隐变量理论在理论体系上超越了量子力学框架，本质上是比量子力学更基本的理论，所以本文对Bell 不等式不作系统讨论。自上世纪八十年代初，人们先后提出了各种形式迥异的量子力学新诠释，如退相干、自洽历史、粗粒化退相干历史和量子达尔文主义，但实际上都是多世界诠释的拓展和推广。2 哥本哈根诠释及其推论哥本哈根诠释的核心内容是“诠释量子世界，外部的经典世界必不可少”。波函数描述微观系统的状态，遵循态叠加原理，即：如果|?1>

量子力学思考题及解答

量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=

量子力学基础简答题(经典)【精选】

量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在 ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1 ?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。

量子力学基本原理

量子力学基本原理 量子力学的基本原理包括量子态的概念，运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。 状态函数 物理体系的状态由状态函数表示，状态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方程，该方程预言体系的行为，物理量由满足一定条件的、代表某种运算的算符表示；测量处于某一状态的物理体系的某一物理量的操作，对应于代表该量的算符对其状态函数的作用；测量的可能取值由该算符的本征方程决定，测量的期望值由一个包含该算符的积分方程计算。（一般而言，量子力学并不对一次观测确定地预言一个单独的结果。取而代之，它预言一组可能发生的不同结果，并告诉我们每个结果出现的概率。也就是说，如果我们对大量类似的系统作同样地测量，每一个系统以同样的方式起始，我们将会找到测量的结果为A出现一定的次数，为B出现另一不同的次数等等。人们可以预言结果为A或B的出现的次数的近似值，但不能对个别测量的特定结果做出预言。）状态函数的模平方代表作为其变量的物理量出现的几率。根据这些基本原理并附以其他必要的假设，量子力学可以解释原子和亚原子的各种现象。 根据狄拉克符号表示，状态函数，用<Ψ|和|Ψ>表示，状态函数的概率密度用ρ=<Ψ|Ψ>表示，其概率流密度用（?/2mi）（Ψ*▽Ψ－Ψ▽Ψ*）表示，其概率为概率密度的空间积分。 状态函数可以表示为展开在正交空间集里的态矢比如 ，其中|i>为彼此正交的空间基矢， 为狄拉克函数，满足正交归一性质。态函数满足薛定谔波动方程， ,分离变数后就能得到不显含时状态下的演化方程 ，En是能量本征值，H是哈密顿算子。 于是经典物理量的量子化问题就归结为薛定谔波动方程的求解问题。

量子力学的隐变量解释

量子力学的隐变量解释1935 年 5 月, 在 Physical Review 上 Einstein 和他的两位同事 B. Podolsky和 N. Rosen 共同发表了一篇名为「Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?」 (量子力学对物理世界的描述是完备的吗?) 三个人异口同声地回答:「不!」.在这篇著名的文章中，作者首先阐述了他们对物理理论的看法：一个严谨的物理理论应该要区别「客观实体」(object reality) 以及这个理论运作的观点．客观实体应独立于理论而存在．在判断一个理论是否成功时，我们会问自己两个问题：(1) 这个理论是否正确? (2) 理论的描述是否完备?只有当这两个问题的答案是肯定时，这样的理论才是令人满意的．理论的正确性当由实验来决定．而关于量子力学的描述是否完备则是这篇文章探讨的主题．在进一步讨论理论的完备性之前，我们必须先定义什么是完备性．作者们提出了一项判别完备性的条件：每一个物理实体的要素必须在理论中有一对应物(every element of the physical reality must have a counterpart in the physical theory)因此我们决定了什么是「物理实体的要素」，那么第二个问题就容易回答了．那么，究竟什么是「物理实体的要素」呢? 作者们以为: 「如果，在不以任何方式干扰系统的情况下，我们能准确地预测(即机率为一)某一物理量的值，那么必定存在一个物理实体的要素与这个物理量对应．」他们认为，只要不把这个准则视为一必要条件，而看成是一充分的条件，那么这个判别准则同样适用于古典物理以及量子力学中对实在的概念．举例来说，在一维系统中，一个以波函数φ(x) = exp(ip0x/2πh) (其中 p0是一常数，i 表纯虚数，h 为Planck常数)描述的粒子．其动量的算符为 h d ,p = ------ ---- ,2(Pi)i dx,因此： pFI(x) = p0FI(x),所以动量有一确定的值 p0. 因此在这种情形下动量是一物理实体．反之，对位 置算符 q 而言，qFI = xFI ≠ aFI ,因此粒子的位置并没有一确定的值．它是不可预测的，仅能以实验测定之．然而任何一实验的测定都将干扰到粒子而改变其状态，被测后的粒子将再也不具动量 p0了．对于此情况，我们说当一粒子的动量确定时，它的位置并非一物理 实体．一般来说在量子力学中，对两个不可对易的可观察量(observable)而言，知道其中一个物理量的准确知识将排除对另外一个的准确知识.任何企图决定后者的实验都将改变系统的状态而破坏了对前者的知识．至此，作者们发现我们面临了如下的两难局面： (1)或者，在量子力学中波函数对物理实在的描述是不完备的． (2)或者，两个对应于不可对易算符的物理量不能同时是实在的(即具有确定的值)．因为，若两个不可对易的物理量同时具有确定的值，根据作者们对完备性的条件，在波函数的描述中应包含这些值．但事实上并非如此，

量子力学的矩阵形式和表象变换.

§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换 态和力学量算符的不同表示形式称为表象。 态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。 1、量子态的不同表象 幺正变换 （1）直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e ,见图 其标积可写成下面的形式 )2,1,(),(==j i e e ij j i δ 我们将其称之为基矢的正交归一关系。 平面上的任一矢量A 可以写为 2211e A e A A += 其中),(11A e A =，),(22A e A =称为投影分量。 而),(21A A A = 称为A 在坐标系21X OX 中的表示。 现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e ，且同样有 )2,1,()','(==j i e e ij j i δ 而平面上的任一矢量A 此时可以写为 ''''2211e A e A A += 其中投影分量是),'('11A e A =，),'('22A e A =。 而)','(21A A A = 称为A 在坐标系'X 'OX 21中的表示。 现在的问题是：这两个表示有何关系？ 显然，22112211''''e A e A e A e A A +=+=。

用'1e 、'2e 分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有 ),'(),'('2121111e e A e e A A += ),'(),'('2221212e e A e e A A += 表成矩阵的形式为 ??? ? ?????? ??=???? ??212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A 由于'1e 、1e 及'2e 、2e 的夹角为θ，显然有 ??? ? ?????? ??-=??? ? ?????? ??=???? ??21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ 或记为 ??? ? ??=???? ??2121)(''A A R A A θ 其中 ??? ? ? ?-=θθ θθθcos sin sin cos )(R 是把A 在两坐标中的表示???? ??''21A A 和??? ? ??21A A 联系起来的变换矩阵。 变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故R 给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定。 很容易证明，R 具有下述性质： I R R R R ==~ ~ 由于1)(det )~ det(2==R R R , 其中 321321)1()det(p p p t R R R R -∑=， 故称这种矩阵为正交矩阵。 但1det =R （对应于真转动（proper rotation ））且R R =* （实矩阵）

量子力学练习题

量子力学练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为 λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量 E=kT 23 （k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n = ，相应的波函数 =)(x n ψ()a x a x n a n <<= 0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6 .132-=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() () +-'+'+∑≠0 020m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+∑≠000 2 0m m n n m mn n E E H ψψ， 其中微扰矩阵元 'mn H =()() ?'τψψd H n m 00?； 而 'nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条 件是 本征值， 。

量子力学和经典力学的区别与联系

量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系

目录 三、目录 摘要 (1) 关键字 (1) 正文 (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论……………………………………………… 3 经典力学基本内容及理论 (3) 量子力学的基本内容及相关理论 (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系 (4) 微观粒子和宏观粒子的运动状态的描述 (4) 量子力学中微观粒子的波粒二象性 (5) 三、结论：量子力学与经典力学的一些区别对比 (5) 参考文献 (6)

第2套量子力学自测题

量子力学自测题（２） 一、填空题（本题20分） 1．在量子力学中，体系的量子态用Hilbert 空间中的 来描述，而力学量用 描述。力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。当对体系进行某一力学量的测量时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于 。 2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。一个力学量是否具有确定值，只决定于体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否守恒量。 二、（本题15分） 1．设全同二粒子的体系的Hamilton 量为H ?（1，2，），波函数为ψ（1，2，），试证明 交换算符12 ?P 是一个守恒量。 2．设U ?是一个幺正算符，求证+?=U dt U d i H ??? 是厄米算符。 3．设y σ为Pauli 矩阵， （1）求证：θσθθσsin cos y i i e y += （2）试求：y i Tre θσ 三、（本题10分） 求证：z y x xyz ++=)(ψ是角动量平方算符2?l 的本征值为2 2 的本征函数。 四、（本题15分） 设一量子体系处于用波函数)cos sin (41 ),(θθπ?θψ?+=i e 所描述的量子态。 求：（1）在该态下，z l ?的可能测值和各个值出现的几率。 （2）z l ?的平均值。 如有必要可利用， θπcos 4310=Y ，?θπ i e Y ±±=sin 8311 。

五、（本题20分） 已知，在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数分别为 22 222m a n E n π=，a x n a n πψsin 2=， （n=1，2，3…） 设粒子受到微扰： ???????-='),(2,2)(?x a a k x a k x H a x a a x <<<<220 求基态（n=1）能量的一级近似值。 如有必要，可利用积分公式? +=y y y ydy y sin cos cos 。 六、（本题20分） 设),3,2,1( =n n 表示一维谐振子的能量本征态，且已知 ??????-+++= 121211n n n n n x α， ωαm = （1）求矩阵元n x m 2。 （2）设该谐振子在t=0时处于基态0，从t>0开始受微扰kt e x H 22-='的作用。 求：经充分长时时)(∞→t 以后体系跃迁到2态的几率。

量子力学基本概念及理解

量子力学基本理论及理解 基本概念 概率波 量子力学最基础的东西就就是概率波了,但我认为对概率波究竟就是什么样一种“波”,却并不就是很容易理解的,这个问题直到理查德,费恩曼(而不就是海森伯或者伯恩)提出了单电子实验,才让我们很清楚的瞧到什么就是概率波？有为什么就是概率波。 什么就是概率波？为什么就是概率波？ 要回答这些问题,其实很简单,我们只需瞧下费恩曼的理想电子双缝干涉实验(刚开始时理想实验,不过后来都已经过证明了)就行了,我相信大家都会明白的。 下面我们再瞧一下费恩曼给出了什么结果: 1.单独开启缝1或者缝2都会得到强度分布或者符合衍射的图样, 缝1与缝2都开启时得到强度符合干涉图样 2.由两个单缝的图样无论如何得不到双缝的图样,即 3.每次让一个电子通过,长时间的叠加后就得到一个与一次让很多电子 通过双缝完全相同的图案 4.每次得到的就是“一个”电子 其实从这些结果中我们很容易得到为什么必须就是概率波,并且我们也很容易去除那些对概率波不对的理解,也就就是所谓的向经典靠拢的理解,从而得到必须就是概率波的事实。 概率波从字面上来理解,也就就是这种波表示的就是一种概率分布,还就是在双缝干涉中我们瞧一下很简单的一些表现,若果就是概率波的话,我们很关心的就就是这个粒子分布的具体形状,粒子位置的期望值等,在这里我们可以瞧出来波函数经过归一化之后,就就是说电子还就是只有那一个电子,但就是它的位置不确定了,这才形成在一定的范围内的一个云状分布,您要计算某一个范围内的电荷就是多少,这样您会得到一个分数的电荷量,但这只能告诉您电子在您研究的范围内分布的概率有多大,并不就是说在这一范围内真正存在多少电子。

量子力学的表象与表示

第五章 量子力学的表象与表示 §5.1 幺正变换和反幺正变换 1, 幺正算符定义 对任意两个波函数)(r ?、)(r ψ，定义内积 r d r r )()(),(ψ?ψ?*?= (5.1) 按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r ψ时，找 到粒子处在状态()r ?的概率幅。 依据内积概念，可以定义幺正算符如下： “对任意两个波函数?、ψ，如果算符 U 恒使下式成立 ),()?,?(ψ?ψ?=U U (5.2) 而且有逆算符1?-U 存在，使得I U U U U ==--11????1，称这个算符U ?为幺正算符。” 任一算符A ?的厄米算符+A ?定义为：+A ?在任意?、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定 ??(,)(,)A A ?ψ?ψ+= (5.3) 由此，幺正算符U ?有另一个等价的定义： “算符U ?为幺正算符的充要条件是 I U U U U ==++???? (5.4a) 或者说 1??-+=U U 。” (5.4b) 证明：若),()?,?(ψ?ψ?=U U 成立，则按+U ?定义， ),??()?,?(),(ψ?ψ?ψ?U U U U +== 由于?、ψ任意，所以 I U U =+?? 又因为U ?有唯一的逆算符1?-U 存在，对上式右乘以1?U -，即得 1??U U +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。 2, 幺正算符的性质 幺正算符有如下几条性质： i, 幺正算符的逆算符是幺正算符 证明：设 1-+=U U ， 则()()(),1 11--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正 1 这里强调了 U -1 既是对 U 右乘的逆又是对 U 左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U 有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U -1 。

量子力学之狄拉克符系统与表象

Dirac 符号系统与表象 一、Dirac 符号 1. 引言 我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。 2. 态矢量 （1）. 右矢空间 力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。 右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。例如： =n n a n ψ∑ （2）. 左矢空间 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ | 和 |ψ> 称为伴矢量。

的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Q n > 展开： |ψ > = a 1 |Q 1> + a 2 |Q 2> + ... + a 3 |Q 3 > + ... 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： 12n a a a ψ?? ? ? ?= ? ? ???M M <ψ| 按 Q 的左基矢 和 <φ| 的标积为：*n n n b a ?ψ=∑。显然<φ|ψ>* = <ψ|φ>。对于满足归 一化条件的内积有：*1n n n a a ψψ==∑。这样，本征态的归一化条件可以写为：

量子力学习题

河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释 各项的几率意义。 二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态能级和波函数。 三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。 四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2 )0(1。在不含时微扰H '?作用下，总哈密顿算符H ?在)0(?H 表象下为????? ? ?=**2110 0E E E H βαβα。求 受微扰后的能量至一级。 五（20分）对电子，求在x S ?表象下的x S ?、y S ?、z S ?的矩阵表示。 A —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分）