§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换
态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象 幺正变换
（1）直角坐标系中的类比
取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e
,见图
其标积可写成下面的形式
)2,1,(),(==j i e e ij
j i δ
我们将其称之为基矢的正交归一关系。
平面上的任一矢量A
可以写为
2211e A e A A +=
其中),(11A e A =，),(22A e A
=称为投影分量。
而),(21A A A = 称为A
在坐标系21X OX 中的表示。
现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e
，且同样有
)2,1,()','(==j i e e ij
j i δ
而平面上的任一矢量A
此时可以写为
''''2211e A e A A +=
其中投影分量是),'('11A e A
=，),'('22A e A =。
而)','(21A A A =
称为A 在坐标系'X 'OX 21中的表示。
现在的问题是：这两个表示有何关系？
显然，22112211''''e A e A e A e A A +=+=。
用'1e 、'2e
分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有
),'(),'('2121111e e A e e A A
+= ),'(),'('2221212e e A e e A A
+=
表成矩阵的形式为
???
? ?????? ??=???? ??212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A
由于'1e 、1e 及'2e 、2e
的夹角为θ，显然有
???
? ?????? ??-=???
? ?????? ??=???? ??21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ
或记为
???
?
??=???? ??2121)(''A A R A A θ 其中
???
?
?
?-=θθ
θθθcos sin sin cos )(R 是把A
在两坐标中的表示???? ??''21A A 和???
?
??21A A 联系起来的变换矩阵。
变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故R 给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定。
很容易证明，R 具有下述性质：
I R R R R ==~
~
由于1)(det )~
det(2==R R R ,
其中 321321)1()det(p p p t
R R R R -∑=， 故称这种矩阵为正交矩阵。
但1det =R （对应于真转动（proper rotation ））且R R =*
（实矩阵）
1*~
-+===∴R R R R I R R RR ==∴++
我们把满足上述条件的矩阵叫幺正矩阵。 到现在为止，我们介绍了三种矩阵： 厄米矩阵：*
~R R R ==+
正交矩阵：I R R R R ==~
~ 幺正矩阵：I R R RR ==+
+
这三种矩阵在以后的学习中经常涉及到，请注意掌握。 （2）量子力学中的表象
形式上与上述类似，在量子力学中，按照态的叠加原理，任何一个态ψ可以看成Hilbert 空间的一个“矢量”。
体系的力学量 F 完全集的共同本征函数系k ψ（k 代表一组完备量子数）构成一组正交归一完备基矢。这组基矢构成的“坐标系”称为F 表象。
同样
kj j k δψψ=),(
对于任意态矢量ψ，有
∑=k
k k a ψψ
其中
),(ψψk k a =
这一组系数）（ ,,21a a 就是态（矢）在F 表象中的表示，它们分别是与各基矢的内积。 与代数不同的是：
①这里的“矢量”（量子态）是复数； ②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的。
现在考虑同一个态ψ在另一组力学量完全集'F (表象'F )中的表示。 设本征态为'αψ，满足正交归一，即
αββαδψψ=)','(
态ψ用这组态矢展开，即
''αα
αψψ∑=a
其展开系数为),'('ψψαα=a ，则这一组系数）（ ,','21a a 就是态ψ在'F 表象中的表示。
那么）（）（ ,',',,2121a a a a ? ？ 方法同前述。 因为显然k
k
k a a ψψψαα
α∑∑==
''，对后一等式用'*αψ作内积，有
∑∑==k
k k k
k k a S a a αααψψ），（''
其中），（k k S ψψαα'=是'F 表象基矢与F 表象基矢的内积。 上式也可以写成矩阵的形式：
?
?
??
?
?
??
????????? ??=???????
?
??
k a a a S S S S a a a 21222112
1121'''α 简记为Sa a ='
通过S 矩阵相联系，且I S S SS ==+
+，
即S 矩阵是幺正矩阵（下面将予以证明）。它实际上是联系两个基矢的变换矩阵。 例 试证明： S 矩阵是幺正矩阵 [分析]只要证明S S +
的矩阵元是kj δ即可。 在F 表象中，有
∑∑==++α
αααααj k j k kj S S S S S S *
)(
根据S 矩阵元的定义，上式为
)
'()()(')'(''d d )
'()'(''d )()('d )(**
3
3
*
3*3r r r r r r r r r r r r S S j k j k kj
ψψψψψψψψα
αααα
α??∑?∑?=?=+
利用前面的介绍，δ函数可以用任何一组正交归一完备函数组来构成，即
∑=-n
n n x x x x )()'()'(*
ψψδ
则上式
kj
j k kj r r r r r r S S δψψδ=-=??+)
'()()'('d d )(*33
可见，S S +
矩阵为单位矩阵，即I S S =+
。 2、力学量算符的矩阵表示 仍以线性空间的矢量作类比
B A
→（正向转动θ角）
已经知道：
),(212211A A A e A e A A =?+=
),(212211B B B e B e B B =?+=
令A R B
)(θ=，写成分量的形式，有
22112211e R A e R A e B e B +=+
用21e e
、对上式点乘，得
)()(2121111e R e A e R e A B
，，+= )()(2221212e R e A e R e A B
，，+=
即
???? ?????? ??=???? ??212212
211121)()()()(A A e R e e R e e R e e R e B B
，，，， 按照右下图，有
?
??
? ??=?
??
?
?????? ??-=???
? ?????? ??=???? ??2121212212211121)(cos sin sin cos )()()()(A A R A A A A e R e e R e e R e e R e B B θθθθθ
，，，，
其中???
?
??-=θθθθ
θcos sin sin cos )(R 。 与此类比，设ψ经算符L
?作用后变成?，即 ψ?L
?= 以F 表象（力学量F 完全集的本征态k ψ）为基矢，即
∑=k
k k b ψ?，∑=k
k k a ψψ
则有
∑∑=k
k
k k
k
k L a b ψψ
? 下面我们看如何通过上式由k a 求k b 。 对
∑∑=k
k
k k
k
k L a b ψψ
?，以),( j ψ作标积，得 k
k
jk k k
k j j a L a L b ∑∑==)?,(ψψ 其中)?,(k
j jk L L ψψ=。 由上式可见，力学量算符对态的作用可以写成
???
?
? ??????? ??=????? ?? 21222112
1121a a L L L L b b
因此，)(jk L 矩阵一旦确定，则所有基矢（因而任何矢量）在L
?作用下的变化也就完全确定了。
例 求一维谐振子坐标 x 、动量 p 以及Hamiltonian H 在能量表象中的表示。 [分析]：不同体系的Hamiltonian 不一样，能量表象的基矢也不一样。这里能量表象的基矢为一维谐振子Hamiltonian 的本征函数)(x n ψ。
解：利用一维谐振子波函数的递推关系
??????++=+-1121
21n n n n n x ψψαψ
??
????+-=+-11212d d n n n n n x ψψαψ
所以
??
????++=
=-+1,1,2211),(n m n m n m mn n
n x x δδαψψ
??
????-+=-=-+1,1,221)d d ,(n m n m n m mn
n
n i x i p δδαψψ
注意：这里的m 、n 都是由0开始取值。这样
???????????
??
?
??=
02/300
2/301
00102/1002/101)(αmn x ???????
?
??????
?
?---=
02/3002/3010
0102
/1002
/10)(αi p mn 而
mn
mn n n m mn n E H H ωδδψψ )2
1()?,(+=== 所以
???????
?
?
?= 2/7000
2/50000
2/30000
2/1)(ωmn H 是一个对角矩阵。
任何力学量在自身表象中的表示都是对角矩阵。 3、量子力学的矩阵表示
设力学量完全集F 的本征态是分立的（基矢可数），在F 表象中，力学量L 用矩阵表示为)(kj L ，且
)?,(j
k kj L L ψψ=
而量子态ψ则表示成列矢的形式，即???
?
? ?? 21a a ，
其中),(ψψk k a =
这样，量子力学的理论表述均可表成矩阵的形式。
下面我们分别讨论Schr?dinger 方程、平均值公式以及本征值方程的矩阵形式。 (1) Schr?dinger 方程
ψψH t
i =??
在F 表象中，∑=
k
k
k t a t ψ
ψ)()(，系数为时间t 的函数。代入上述方程得
∑∑=k
k
k k
k k H t a t a i ψψ?)()( 对∑∑=k
k
k k
k
k H t a t a
i ψψ?)()(
左乘),( j ψ作内积，得 ∑∑=k
k
j k k
k j k H t a t a i )?,)((),)((ψψψψ 而jk
k j H H =)?,(ψψ，这样利用基矢的性质，有 ∑=k
k jk j a H t a
i )( 写成矩阵的形式是
????
? ??????? ?
?=????? ??
212221121121a a H H H H a
a
i
(2) 平均值公式
对于力学量算符L
? ????
?
??????? ?
?====∑∑
212221
1211
*
2*1**),,()?,()?,(a a L L L L a a a L a a L a L L kj
j
kj k kj
j j k k ψψψψ
若F L
??=，即在自身表象中，则 kj
j j k kj L L L δψψ==)?,( 将此式代入上页平均值公式，有
∑∑==k
k k kj
j kj k L a a L a L 2*
||
则L ?取值为k L 的几率是2||k
a 。 (3) 本征值方程
对本征值方程ψψ'?L L
=，用∑=k
k
k a ψ
ψ代入，有
∑∑=k
k k k
k
k a L L
a ψψ'?
用),( j ψ与上式作内积，可得
j k
k
jk a L a L
'=∑
即
∑=-k
k jk jk
a L L
0)'(δ
这是k a 的齐次线性方程组。
方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零，即
0|'|det =-jk jk L L δ
写出明显的矩阵形式是
0'''333231232221131211=---
L L L L L L L L L L L L 如表象空间的维数为N ，则上式是关于的N 次方程，有N 个实根。记为
),,2,1('N j L j =
用解得的'j L 代入前面所得方程组
∑=-k
k jk jk
a L L
0)'(δ
可以得到),,2,1()
(N k a j k =。
表成列矢的形式为
N j a a a j N j j ,,2,1)()(2)(1 =???
???
? ??=ψ
它就是与本征值'j L 相应的本征态在F 表象中的表示。
注意：若'L 有重根，则会出现简并（不同的态对应相同的能级），简并态还不能唯一确定。
4、力学量的表象变换
在F 表象中，}{k ψ是基矢，力学量算符L
?可以表成 )'?,'('β
ααβψψL L = 我们试图寻找'αβL 与kj L 的关系。
k ψ 是基矢，则∑=β
ββαψψc '
用),( k ψ作用到上式中，有
k k k k c c c ===∑∑β
βββ
ββαδψψψψ),()',(
即)',(αββψψ=c 或∑∑∑===
k
k k k
k k
S ψψψψψψψψααβ
βαβα*
)',()',('
其中),'(k k S ψψαα= 同理可得∑=
k
j
j S ψ
ψββ*
'，其中),'(j j S ψψββ=。
αβ
β
αβαβαβααβψψψψψψ)()?,()?,()'?,'('***+=====∴∑∑∑SLS S L S S L S S L S L L kj
j kj k kj
j
j k k kj
j
j k k （将S 矩阵元提到积分号外）
即1
'-=SLS L 。 其中),'(k k S ψψαα=。
则是从'F F →间基矢变换的幺正矩阵，即
1-+=S S
注意：S 是不同表象基矢间的变换矩阵。 §4.6 Dirac 符号
量子力学的理论描述常采用Dirac 符号。 两个优点： ①运算简捷 ②不依赖于具体表象 先介绍bra ket ?括号 1、左矢（bra ）与右矢（ket ）
Hilbert 空间：由量子体系的一切可能状态构成。
在这个空间中，态用右矢>|表示，一般写为>ψ|，定义在复数域上。 也可以在右矢内填上相应的量子数或本征值来表示相应的态，如
>>>n E p x |'|'|、、分别表示坐标、动量和动能算符的本征态。
而>lm |表示角动量算符)?,?(2z
L L 的共同本征态。 左矢如|'|x <<、
ψ等则是上述右矢的共轭态矢。 2、标积或内积的表示
定义两个态矢ψ和?标积的形式为
><ψ?|
又称内积。且满足下列关系
>=<>
若满足0|>=<ψ?，则称>ψ|与>?|正交。 若满足1|>=<ψψ，则称>ψ|与>?|是归一的。
若力学量完全集F 的本征态（分立）记为>k |，则其正交归一性可写为
kj j k δ>=<|
对连续谱，比如坐标算符的本征态的正交归一性可写为
)'''(''|'x x x x ->=<δ
而动量算符的本征态的正交归一性可写为
)'''(''|'p p p p ->=<δ
3、态矢在具体表象中的表示 （1）分立谱的情况
若力学量完全集F 的本征态（分立）记为>k |，则在F 表象中，任意态矢量〉ψ|可以写为
∑>>=k
k k a ||ψ
用|j <同上式两边作内积，有
j k
jk k k
k a a k j a j ==><>=<∑∑δψ||
所以有
>=<ψ|k a k
即>=<ψ|k a k 。
它是>ψ|在>k |上的投影。用列矢表示为
????
?
??><><=????? ??>= ψψψ|2|1|21a a
所以
∑∑>><=>><>=k
k
k k k k ψψψ|||||
||k k ><可以看作一个算符，因为它作用在态矢量>ψ|上后求和，得出的是态矢量>ψ|。
我们称这个算符为投影算符，用k P 表示，即
||k k P k ><=
而>>=><>=k a k k P k k ||||ψψ 显然，k a 是>ψ|在>k |上的投影。 另外有
∑=> I k k || 我们称算符I 为单位算符，这是基矢完备性的表现，通过以后的学习会发现它有着非常重要的意义。 （2）连续谱的情况 在这种情况下，上述的求和要用积分代替。比如： ?=> 要会写，以后经常用到。 （3）两个态矢之间的内积写法 在F 表象中，两个态矢>ψ|和>?|之间的内积可按如下方法计算： ∑∑>>=<>>=k k k k a k k ||||ψψ ∑∑>>=<>>=k k k k b k k ||||?? 其中>=<>= ? ??? ? ??=>=<><>=∴<∑∑ 21* 2*1*),,(|||a a b b a b k k k k k k ψ?ψ? 以上是态矢量在具体表象中的表示,下面介绍… 4、算符在具体表象中的表示 设算符的作用用Dirac 符号表示为 >>=ψ?|?|L 在F 表象中，L ?的矩阵元是 >= k L kj |?| 用>k |与上面的作用方程作内积，有 >><<>>=<<∑ψψ?||?||?||j j L k L k k j （插入单位算符0 利用前面所得关系 >=<>= 由>><<>=<∑ψ?||?||j j L k k j 则有∑= j j kj k a L b 上式写成矩阵的形式，有 ??? ? ? ??????? ??=????? ?? 21222112 1121a a L L L L b b 其中） （kj L 就是算符L ?在F 表象中的矩阵表示。 4、量子力学公式 例1用Dirac 符号，Schr?dinger 方程可写为 >>=??ψψ|?|H t i 在F 表象下可表示为 ∑>><<>=>=< j j H k H k k t i ψψψ||?||?|| 即 ∑=j j kj k a H a i 例2在〉ψ|态下L ?的平均值用Dirac 符号表示为 ∑∑=>><><<>== j kj k kj a L a j j L k k L L *||?|||?|ψψψψ 例4Dirac 符号下的本征值方程 L ?的本征方程为 >>=ψψ|'|?L L 在F 表象中左端可以表成 j j kj j a L j j L k L k ∑∑>=><<>=<ψψ||?||?| 考查左端 右端可以写成 ∑∑=>><<>=<>= j kj j a L j j k L k L L k δψψψ'||'|'|'| 这样写是有目的的 从而有 ∑∑=j j kj j j kj a L a L δ' 或写为 0)'(=-∑j kj j kj a L L δ。 此方程组有非0解的必要条件为 0|'|det =-kj kj L L δ 5、表象变换 (1)态的表象变换 态>ψ|在F 表象中用k a k >=<ψ|（列矢）表示 在'F 表象中用'|αψαa >=<（列矢）表示 则此两个表示之间的关系可由下式给出 ∑∑=>><<>= k k k a S k k αψαψα||| 即 ∑=k k k a S a αα' 其中>= ???? ? ??????? ? ?=????? ?? 212221121121''a a S S S S a a 上式可以简写成 Sa a =' 其中S 为么正矩阵，即满足 I SS S S ==++ 下面用Dirac 符号来证明上式 证明：在F 表象中 kj j k j k kj j k j k j k S S S S S S δααααα α α ααααα>==<> ><<=> <><===∑∑∑∑++|||||)(** I S S =∴+，同理可证I SS =+。 可见，用Dirac 符号证明上式是比较简单的。 例1已经知道，一维粒子动量为'p 的本征态是 /'2 /1') 2(1)(x ip p e x πψ= 实际上，这是动量为'p 的本征态在坐标表象中的表示，即 /'2 /1') 2(1 '|)(x ip p e p x x πψ>= =< 而粒子的位置在'x 点的本征态>'|x 在坐标表象中可表成><'|x x ，即 )'('|)('x x x x x x ->==<δψ 实际上，任何算符的本征函数在自身表象中的表示都为δ函数。 例2波函数在坐标表象和动量表象之间的变换 由前述可知，一维粒子态矢>ψ|在坐标表象中可表示成><ψ|x 即平常习惯所用的波函数>=<ψψ|)(x x 而 >=<>= 类似地，在动量表象中，此态矢量表示成><ψ|p 写成函数形式时应写成>=<ψ?|)(p p ， 而不是)(p ψ，以示与)(x ψ有别。 同一个量子态>ψ|在坐标表象和动量表象中的表达式关系如下： ><=> ><<>= 2(1 ||d |2/1p e p p p x p x px i （插入|p>的完备性关系） 即Fourier 变换式 )(d )2(1)(2/1p e p x px i ?πψ ? = 其逆变换为 >><<>= 或写成 )(d ) 2(1 )(2/1x e x p px i ψπ? -?= 此变换的幺正性可通过下式证明： ) '''(d 21''|'|d d )()'''(* ''''''p p xe p x p x x S xS S S x p p i xp x p p p -==> <><==???--++δπ 同理可证明：)'''()('''x x S S x x -=+δ。 例3任意两个态>ψ|和>φ|的内积记为><ψφ|，在坐标表象中表示成（以一维粒子为例）： x x x x x x d )()(||d |* ??=> ><<>=<ψφψφψφ 而在动量表象中可以表成： ??=> ><<>=<) ()(d ||d |* p p p p p p ?φψφψφ (2)算符的表象变换 算符L ?在F 表象中的矩阵元为 >= j L jk |?| 在'F 表象中的矩阵元为>=<βααβ|?|'L L 而 ) ()|(||?|||?|'1 -+-+==>=<=>><><<>==<∑∑∑S S S L S S k S L S k k L j j L L kj k jk j k kj k jk j kj βαββ ααβββαβα 写成矩阵的形式是 1'-+==SLS SLS L 'L 、L 分别为L ?在'F 表象和F 表象中的矩阵。 注意：此式与周世勋书中的式（4.4-10） LS S LS S L 1'-+== 有所区别。原因在于选择哪一个为原表象，即S 矩阵是如何定义的。本教材中 >= 例 设一维粒子的Hamitonian 量是 )(2/2x V m p H += 写出x 表象中p x 、和H 的“矩阵元” 分析：已经知道动量算符的本征函数在坐标表象中的表示为 /'2 /1') 2(1'|)(x ip p e p x x πψ>= =< 在利用矩阵元的一般写法计算矩阵元时要充分利用上式。 解： （1）在x 表象中x 的“矩阵元”是很容易写的。 利用x 算符的本征值方程，有 )'(')'(x x x x x x -=-δδ 则 )'('''|''''||')('''x x x x x x x x x x x x ->=<>==<δ 另外注意： )'()'()'()(x x x F x x x F -=-δδ （2）在x 表象中p 的“矩阵元”要利用完备性关系以及函数的表象表示来表达。 ) '''(' 'd 21''d '21''d 'd )'''('21' 'd 'd 21''|''21''d 'd ''|''''||''|'''||')()'''(')'''(')''''''('''''''''x x x i p e x i p e p p p p p p e p p e p p p e p p x p p p p p x x p x p x x p i x x p i x p x p i x p i x p i x x -?? -=? ???????-==-=> <=>><><<=> = ?? ?? ??----δππδπππ 即)'''(' )('''x x x i p x x -?? -=δ 。 其它矩阵元可以用相似的方法来计算。 另外注意：在写p 表象中的矩阵元时，应灵活运用在x 表象中的矩阵元表达式。 843量子力学考试大纲 适用于物理学所有学科 Ⅰ考查目标 理论物理、粒子物理与原子核物理、凝聚态物理等专业研究生入学考试《量子力学》课程，重点考查考生掌握量子力学基本概念、基本原理以及运用量子力学基本理论解决具体相关物理问题的能力，为进一步学习其它专业课程或从事科研和教学工作奠定坚实的基础。 Ⅱ考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 三、试卷内容结构 波粒二象性、波函数和薛定谔方程 45分 量子力学的力学量及其表象 30分 微扰理论、自旋与全同粒子、粒子在电磁场中的运动 75分 四、试卷题型结构 简答题 2小题，每小题10分，共20分 证明题 2小题，每小题15分，共30分 计算题 4小题，每小题25分，共100分 Ⅲ考查范围 一、波粒二象性、波函数和薛定谔方程 考查主要内容： （1）光的波粒二象性的实验事实及其解释。 （2）原子结构的玻尔理论和索末菲的量子化条件。 （3）德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设。 （4）德布罗意波的实验验证。 （5）波函数的统计假设和量子态的表示形式。 （6）态叠加原理的内容及其物理意义。 （7）薛定谔方程和定态薛定谔方程的一般形式。 （8）粒子流密度的概念及粒子数守恒的物理内容。 （9）一维薛定谔方程求解的基本步骤和方法。 （10）几个典型的一维定态问题： a.一维无限深势阱； b.一维谐振子； c.一维方势垒； d.一维有限方势阱； e. 势。 二、量子力学的力学量及其表象 考查主要内容： （1）动量算符的表示形式及其与坐标算符间的对易关系，动量算符本征函数的归一化。 （2）角动量算符的表示形式及其有关的对易关系，角动量算符2?L和z L?的共同本征函数及所对应的本征值。 （3）电子在固定的正点电荷库仑场中运动的定态薛定谔方程及其求解的基本步骤；定态波函数的表示形式；束缚态的能级及其简并度；并由此讨论氢原子的能级、光谱线的规律、电子在核外的概率分布和电离能等。 （4）量子力学中的力学量与厄米算符相对应；厄米算符的本征函数组成正交完备集。 （5）力学量可能值、平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件。 （6）不确定关系及其应用，守恒量的判断方法。 （7）矩阵的运算。 （8）态的矩阵表示。 （9）算符的矩阵表示。 （10）量子力学公式的矩阵表示。 （11）不同表象间的变换。 三、微扰理论、自旋与全同粒子、粒子在电磁场中的运动 考查主要内容： （1）非简并定态微扰理论。 （2）简并情况下的定态微扰理论。 （3）电子自旋的实验事实。 （4）电子自旋算符和自旋波函数。 （5）全同粒子的不可区分性原理，玻色子和费米子概念。 （6）全同粒子体系的波函数和泡利不相容原理。 （7）两自旋体系的波函数。 （8）电磁场中荷电粒子的运动，两类动量。 （9）正常塞曼效应。 （10）定域电子（考虑自旋）在均匀磁场中的运动。 量子力学中几种表象及其之间的关系 摘要 体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。 常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。 而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。 关键词 态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文 体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是 式中 是动量的本征函数， dx x t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ?=?=ψψψ /2 /1)2(1)(ipx p e x -=πψ 称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。 由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率 c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率 如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则 在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。 那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成 dx t x dx t x w 2 ),(),(ψ=dp t p c dp t p w 2 ),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp p p p p /''')()()(),(),(-**?=ψ?=ψψψ /')'(t iEp e p p --=δ) ()(),(x u t a t x n n n ∑=ψ 1．在向量空间 3 F 3中,设1, 1, 1, 1, 是F3的两个基, F 3), 1) 3到 基§7.3 线性变换和矩 阵 1, 0, 1, 1 , 1, 1, 1 2, 1, 1 3 的过渡矩阵； 1,2,3 2) 在基1, 2, 3下的矩阵； 3)求基1, 2, 3下的矩阵； 4)设 (2,1,3) ,分别求在基 1, 2, 3与1 设三维向量空间V 的线性变换在基1, 2 , 3 下的矩阵是 a11a12a13 A a21a22a23 a31a32a33 1)求在基3, 2, 1下的矩阵； 2)求在基1,k 2 , 3下的矩阵, 其中0k F；2 2． 12 12 3 下的坐标．3) 在基3下的矩阵． 3．在向量空间M 2 (F) 中,定义线性变换 (x)= a b a b (X)= a c b d X c a d b 在基E11, E12, E21, E22下的矩阵. 4.在F 2 2中，求在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为 1020 0102 A 3040 0304 的线性变换 . 5. 在n维向量空间V中， L(V)，存在向量V ，使得 n1 0，但 n 0 .证 明：V中存在一个基，使得在这个基下的矩阵是 0E n1 00 6. 设A s B，C s D,证明 A0B0 s 0C0C 7. 设A可逆，证明：AB^BA. 8. 在向量空间F3 3中，设 ab c c a b b c a A b c a ， B a b c， C c a b ca b b c a a b c 证明：A，B， C 彼此此相似. 9.设V 是数域 F 上n 维向量空间，证明：V 的与全体线性变换可交换的线性变换是数乘变换. 10.设V是数域F上n维向量空间，问V中是否有线性变换，，使其中I 是恒等变换，为什么？对无限维空间结论又如何？ I. 1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即： 《量子力学》课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：量子力学 所属专业：物理学专业 课程性质：专业基础课 学分：4 （二）课程简介、目标与任务； 课程简介： 量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人 类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。 本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公 设）及表述形式。在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构， 如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结 构。本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中 的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原 理。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基 本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。 本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态 问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。 课程目标与任务： 1. 掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方 法。 2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。 3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一 了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19 世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及 紫外灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与 半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。 《数学物理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中 有广泛的应用。《线性代数》中的线性空间结构的概念是量子力学希尔伯特 空间的理论基础，对理解本课程中的矩阵力学和表象变换都很有助益。 （四）教材与主要参考书。 [1] 钱伯初, 《理论力学教程》, 高等教育出版社; （教材） [2] 苏汝铿, 《量子力学》, 高等教育出版社; [3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Non-relativistic Quantum Mechanics; [4] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press 1958; 二、课程内容与安排 第一章微观粒子状态的描述 第一节光的波粒二象性 第二节原子结构的玻尔理论 第三节微观粒子的波粒二象性 第四节量子力学的第一公设：波函数 （一）教学方法与学时分配：课堂讲授；6学时 （二）内容及基本要求 主要内容：主要介绍量子力学的实验基础、研究对象和微观粒子的基本特性及其状态描述。 【重点掌握】： 1.量子力学的实验基础：黑体辐射；光电效应；康普顿散射实验；电子晶体衍射 线性变换与矩阵的关系 学院：数学与计算机科学学院 班级：2011级数学与应用数学 ： 学号： 线性变换与矩阵的关系 （西北民族大学数学与应用数学专业， 730124） 指导教师 一、线性变换 定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。 设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。 定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足 （1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。 那么，就称T为从V n到U m的线性变换。 说明： ○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。 二、线性变换的性质 设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关； 注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。 记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。 设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。那么 (i)σ是满射Im(σ)=W; (ii)σ是单射Ker(σ)={0} §4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换 态和力学量算符的不同表示形式称为表象。 态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。 1、量子态的不同表象 幺正变换 （1）直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e ,见图 其标积可写成下面的形式 )2,1,(),(==j i e e ij j i δ 我们将其称之为基矢的正交归一关系。 平面上的任一矢量A 可以写为 2211e A e A A += 其中),(11A e A =，),(22A e A =称为投影分量。 而),(21A A A = 称为A 在坐标系21X OX 中的表示。 现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e ，且同样有 )2,1,()','(==j i e e ij j i δ 而平面上的任一矢量A 此时可以写为 ''''2211e A e A A += 其中投影分量是),'('11A e A =，),'('22A e A =。 而)','(21A A A = 称为A 在坐标系'X 'OX 21中的表示。 现在的问题是：这两个表示有何关系？ 显然，22112211''''e A e A e A e A A +=+=。 用'1e 、'2e 分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有 ),'(),'('2121111e e A e e A A += ),'(),'('2221212e e A e e A A += 表成矩阵的形式为 ??? ? ?????? ??=???? ??212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A 由于'1e 、1e 及'2e 、2e 的夹角为θ，显然有 ??? ? ?????? ??-=??? ? ?????? ??=???? ??21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ 或记为 ??? ? ??=???? ??2121)(''A A R A A θ 其中 ??? ? ? ?-=θθ θθθcos sin sin cos )(R 是把A 在两坐标中的表示???? ??''21A A 和??? ? ??21A A 联系起来的变换矩阵。 变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故R 给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定。 很容易证明，R 具有下述性质： I R R R R ==~ ~ 由于1)(det )~ det(2==R R R , 其中 321321)1()det(p p p t R R R R -∑=， 故称这种矩阵为正交矩阵。 但1det =R （对应于真转动（proper rotation ））且R R =* （实矩阵） §3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与 矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ 的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上 的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个 向量.存在唯一的线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个 线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ???????+++=+++=+++=. ,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ?????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它 扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ???+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是 《量子力学》课程教学大纲 课程代码：090631011 课程英文名称：Quantum Mechanics 课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0 适用专业：光电信息科学与工程专业 大纲编写（修订）时间：2017.10 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 量子力学是近代物理的两大科学之一，是描述微观运动世界的基本理论，是近代光学技术的重要基础，是光信息科学与工程专业一门重要的专业必修基础课。本课程主要讲授量子力学的基本概念，基本原理和数学方法。为后续的专业课程学习打下夯实的量子力学基础。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1.掌握量子理论的物理图像，基本概念； 2.获得描述微观物理规律的理论工具--量子力学的基本原理和框架结构，能用这些原理解决常见的，简单的微观物理现象； 3.加深对现代科学理论的形式、特点的认识，提高科学方法论水平； 4.了解量子力学有关的科学发展。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：掌握量子力学的基本原理和总的理论框架 2.基本理论和方法：掌握用波函数描述微观粒子的状态，用算符描述相应的力学量，以及波函数的演化规律——薛定谔方程。会解简单的一维定态薛定谔方程。掌握用矩阵描述态和算符的方法。掌握简并和非简并的微扰理论，以及含时微扰理论，能用含时微扰理论解释原子的跃迁和发光。掌握电子自旋的基本理论，全同粒子的特性及其描述方法。 3.基本技能: 利用数学手段解决具体物理问题的能力。 （三）实施说明 1.大纲中的重点内容是学习量子力学基本理论所必需掌握的内容，教学中如果学生接受的较好，可适当增加一些在实际中有很广泛应用的问题作为重点内容。 2.教学方法，课堂讲授中要重点对基本概念、基本原理和基本方法进行讲解；要站在学生的角度进行讲解，以使学生能较自然的接受以前没有接触到的新的概念，新的理论框架和思想方法。并在讲解中使学生深入理解现代科学理论的建立过程，反过来促进学生对所学内容的理解和掌握。 3.教学手段，本课程属于理论课，在教学中对基本原理，基本方法的讲解主要采用板书形式；对于具体应用并且数学推导较繁琐的问题可采用课件形式，既能使学生看清解题的思路、过程、特点，又能节省时间。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程的先修课程是《线性代数》，《数学物理方法》，《原子物理》 （五）对习题课、实践环节的要求 1．对重点、难点章节（如：一维问题的计算，力学量平均值和幺正变换的计算，微扰问题的计 量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在 ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1 ?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。 第五章 量子力学的表象与表示 §5.1 幺正变换和反幺正变换 1, 幺正算符定义 对任意两个波函数)(r ?、)(r ψ，定义内积 r d r r )()(),(ψ?ψ?*?= (5.1) 按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r ψ时，找 到粒子处在状态()r ?的概率幅。 依据内积概念，可以定义幺正算符如下： “对任意两个波函数?、ψ，如果算符 U 恒使下式成立 ),()?,?(ψ?ψ?=U U (5.2) 而且有逆算符1?-U 存在，使得I U U U U ==--11????1，称这个算符U ?为幺正算符。” 任一算符A ?的厄米算符+A ?定义为：+A ?在任意?、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定 ??(,)(,)A A ?ψ?ψ+= (5.3) 由此，幺正算符U ?有另一个等价的定义： “算符U ?为幺正算符的充要条件是 I U U U U ==++???? (5.4a) 或者说 1??-+=U U 。” (5.4b) 证明：若),()?,?(ψ?ψ?=U U 成立，则按+U ?定义， ),??()?,?(),(ψ?ψ?ψ?U U U U +== 由于?、ψ任意，所以 I U U =+?? 又因为U ?有唯一的逆算符1?-U 存在，对上式右乘以1?U -，即得 1??U U +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。 2, 幺正算符的性质 幺正算符有如下几条性质： i, 幺正算符的逆算符是幺正算符 证明：设 1-+=U U ， 则()()(),1 11--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正 1 这里强调了 U -1 既是对 U 右乘的逆又是对 U 左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U 有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U -1 。 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释 各项的几率意义。 二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态能级和波函数。 三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。 四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2 )0(1。在不含时微扰H '?作用下，总哈密顿算符H ?在)0(?H 表象下为????? ? ?=**2110 0E E E H βαβα。求 受微扰后的能量至一级。 五（20分）对电子，求在x S ?表象下的x S ?、y S ?、z S ?的矩阵表示。 A —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 第三章一维定态问题 第三章 目 录 §3.1一般性质 (2) （1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简 并的 ...................................... 2 （2）不同的分立能级的波函数是正交的。 .......... 4 （3）振荡定理 .................................. 4 （4）在无穷大位势处的边条件 .................... 5 §3.2阶梯位势 ....................................... 6 §3.3位垒穿透 (8) （1） E 量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= ().n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系， Dirac 符号系统与表象 一、Dirac 符号 1. 引言 我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。 2. 态矢量 （1）. 右矢空间 力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。 右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。例如： =n n a n ψ∑ （2）. 左矢空间 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ | 和 |ψ> 称为伴矢量。 的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Q n > 展开： |ψ > = a 1 |Q 1> + a 2 |Q 2> + ... + a 3 |Q 3 > + ... 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： 12 n a a a ψ?? ? ? ?= ? ? ?? ? <ψ| 按 Q 的左基矢 第七章 线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换和矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是分析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是和之相适应的矩阵理论和方法)在分析几何、微分方程等许多其它使用学科,都有极为广泛的使用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换和矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换和逆变换; 线性变换的值域和核，秩和零度; 线性变换的和和差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合和线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法和数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n . (d)A 是双射?A 是单射? Ker(A )={0}?A 是满射. 目录 第1章量子力学简史 (2) 第2章量子力学重要内容简介 (3) 2.1基本假设 (3) 2.2对易力学量完全集 (4) 2.3态矢量、算符 (4) 2.3.1态矢量 (4) 2.3.2算符 (5) 第3章泛函分析简介 (5) 3.1集合与空间 (5) 3.1.1集合 (5) 3.1.2拓扑空间 (6) 3.1.3度量空间 (6) 3.1.4赋范线性空间 (6) 3.1.5内积空间 (7) 3.1.6希尔伯特空间 (7) 3.1.7希尔伯特空间的重要性质 (7) 3.1.8综述 (8) 3.2线性算子 (9) 3.2.1线性算子 (9) 3.2.2线性运算与乘法 (10) 3.2.3伴算子 (10) 3.2.4自伴算子 (11) 第4章量子力学中泛函分析的应用 (12) 4.1量子态的矩阵表示 (12) 4.2算符 (13) 4.3本征方程 (13) 4.4平均值 (14) 第5章后序 (14) 参考文献 (16) 第一章量子力学简史 1900年，普朗克提出辐射量子假说，假定电磁场和物质交换能量是以间断的形式(能量子)实现的，能量子的大小同辐射频率成正比，比例常数称为普朗克常数，从而得出黑体辐射能量分布公式，成功地解释了黑体辐射现象。1905年，爱因斯坦引进光量子(光子)的概念，并给出了光子的能量、动量与辐射的频率和波长的关系，成功地解释了光电效应。其后，他又提出固体的振动能量也是量子化的，从而解释了低温下固体比热问题。1913年，玻尔在卢瑟福原有核原子模型的基础上建立起原子的量子理论。按照这个理论，原子中的电子只能在分立的轨道上运动，在轨道上运动时候电子既不吸收能量，也不放出能量。原子具有确定的能量，它所处的这种状态叫“定态”，而且原子只有从一个定态到另一个定态，才能吸收或辐射能量。这个理论虽然有许多成功之处，但对于进一步解释实验现象还有许多困难。在人们认识到光具有波动和微粒的二象性之后，为了解释一些经典理论无法解释的现象，法国物理学家德布罗意于1923年提出了物质波这一概念。认为一切微观粒子均伴随着一个波，这就是所谓的德布罗意波。由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵循的运动规律就不同于宏观物体的运动规律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。当粒子的大小由微观过渡到宏观时，它所遵循的规律也由量子力学过渡到经典力学。量子力学与经典力学的差别首先表现在对粒子的状态和力学量的描述及其变化规律上。在量子力学中，粒子的状态用波函数描述，它是坐标和时间的复函数。为了描写微观粒子状态随时间变化的规律，就需要找出波函数所满足的运动方程。这个方程是薛定谔在1926年首先找到的，被称为薛定谔方程。当微观粒子处于某一状态时，它的力学量(如坐标、动量、角动量、能量等)一般不具有确定的数值，而具有一系列可能值，每个可能值以一定的几率出现。当粒子所处的状态确定时，力学量具有某一可能值的几率也就完全确定。这就是1927年，海森伯得出的测不准关系，同时玻尔提出了并协原理，对量子力学给出了进一步的阐释。量子力学和狭义相对论的结合产生了相对论量子力学。经狄拉克、海森伯（又称海森堡，下同）和泡利（pauli）等人的工作发展了量子电动力学。20世纪30年代以后形成了描述各种粒子场的量子化理论——量子场论，它构成了描述基本粒子现象的理论基础。 量子力学习题 （三年级用） 山东师范大学物理与电子科学学院 二O O七年 第一部分 量子力学的诞生 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能 量可能值。 第二部分 波函数与Schr?dinger 方程 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的 结论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2 第三部分 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+=量子力学课程人学考试主要内容
量子力学中几种表象及其之间的关系
§7.3线性变换和矩阵.
量子力学期末考试题解答题
《量子力学》课程教学大纲
线性变换与矩阵地关系
量子力学的矩阵形式和表象变换.
线性变换和矩阵.
量子力学教学大纲
量子力学基础简答题(经典)【精选】
量子力学的表象与表示
量子力学习题
量子力学的矩阵形式及表象理论
量子力学的矩阵形式及表象理论
量子力学之狄拉克符号系统与表象
和 <φ| 的标积为：*n n n b a ?ψ=∑。显然<φ|ψ>* = <ψ|φ>。对于满足归 一化条件的内积有：*1n n n a a ψψ= =∑。 这样，本征态的归一化条件可以写为：
#第七章 线性变换(小结)
量子力学数学基础学习知识说明介绍
量子力学习题分解
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