量子力学期末复习完美总结
一、 填空题
1．玻尔-索末菲的量子化条件为：
pdq nh =?，（n=1,2,3,....)，
2．德布罗意关系为：h
E h p k γωλ
==
=
=； 。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：
21
2
mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2
r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。这是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波
。
5
．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性
。 6．
，
为单位矩阵，则算符
的本征值为：
1± 。
7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备
性 。
8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。即
()m n
mn
d d λλφφτδ
φφτδλλ*
*
''
==
-??或 。
9．设
为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，
所描写
的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →
+范围内的几率。
10.
i ；
?x
i L
；
0。
11．如两力学量算符
有共同本征函数完全系，则
_0__。
12．坐标和动量的测不准关系是： ()
()
2
2
2
4
x x p ??≥
。
自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒
13．量子力学中的守恒量A 是指:?A
不显含时间而且与?H 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。
14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。 15． 为氢原子的波函数， 的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。
16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2
n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的
耦合时，能级的简并度为 2
2n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为
12+
j
。
17．设体系的状态波函数为
，如在该状态下测量
力学量
有确定的值
，则力学量算符
与态矢量
的关系为：?
F
ψλ
ψ
=
。
18．力学量算符 在态 下的平均值可写
为
的条件为：力学量算符的本征
值组成分立谱，并且()r ψ是归一化波函数。
19．
希尔伯特空间：量子力学中Q 的本质函数有无限多
个，所以态矢量所在的空间是无限维的函数空间。
20．设粒子处于态
，
为
归一化波函数， 为球谐函数，则系数c
的取值为：
，
的可能值为：
13
，
本征值为 出现
的几率为：
1
2
。
21．原子跃迁的选择定则为：1
01l m ?=±?=±；， 。 22．自旋角动量与自旋磁矩的关系为：S e
M S μ
=-
；
式中S M 是自旋磁矩，S 是自旋角动量，e -是电子的电荷，μ是电子的质量。
23．
为泡利算符，则
=2?σ 3 0
，
?2z i σ
。 24．
为自旋算符，则
2
3
4
，
，
?z
i S 。 25．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是:
（1）每个电子具有自旋角动量?S
，它在空间任何方向上的投影只能是两个数值：1
2
z s =±
；（2）每个电子具有自旋磁矩S M ，它和它的自旋角动量S 的关系式是：
S e
M S μ
=-，式中e -是电子的电荷，μ是电子的质
量。S M 在空间任意方向上的投影只能取两个数值：
2z S B e
M M μ
=±
=±。 26．轨道磁矩与轨道角动量的关系是：2L e
M L μ
=-
。 27．证明电子具有自旋的实验有：斯特恩-革拉赫实验。 28．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_反对称性__，玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____对称性_____。
29． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为
（已归一化），则在态
下，自旋算符
对自旋的平均可表示为：
()111211221222?G G G G G G ψψψψψψ+
**????== ???????
，，，；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为:?G G d ψψτ+=
?。
30． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为
（已归一化），则
的意
义为:表示在t 时刻，在（x,y,z ）点周围单位体积内找到自旋1
2
z s =
的电子的几率。
_1__。
31.量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__；算符
是希尔伯特空间的__算符__。
力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的 32、2
),,,(t z y x ψ的物理意义： 发现粒子的几率密度与之成正比 。
33、dr r r 22
),,(?
?θψ表示 在r —r+dr 单位立体角
的球壳内发现粒子的几率 。
34、在量子力学中，微观体系的状态被一个 波函数 完全描述；力学量用 厄密算符 表示。
二、 问答题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。
(简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？)
答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。
2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？
答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金
属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率
0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻
910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量
被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完
成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψ
ψψ=+（12c c ，是复数）
也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？
答：体系处于某个波函数()()[]
exp r t r iEt
ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 6.经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？ 答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，
而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影
响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，
所描述的粒子状态并不改变；
7. 能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。
答：不一定，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值相等，则2211ψψψc c +=还是能量的本征态，否则，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值不相等，则
2211ψψψc c +=不是能量的本征态
8.什么是表象？不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？
答：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。不同表象之间的变换是一种幺正变换。在不同表象中不变的量有：算符的本征值，矩阵的迹即矩阵对角元素的和。
9. 简述量子力学的五个基本假设。
答：（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件；（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示中的将动量p 换为算符i -?得出。表示力学量的算符具有组成完全系的本征函数。（3）将体系的状态波函数ψ用算符
?F 的本征函数展开??m m m F F λλ?λ??λ?==（，）：
m m m
c c
d λλψ??λ=+∑?，则在ψ
态中测量力学量F
得到结果为m λ的几率为2
m c ，得到结果在d λλλ
+范围内的几率是2
c d λλ；（4）体系的状态波函数满足薛
定谔方程：?i
H t
ψψ?=?，?H 是体系的哈密顿算符。（5）在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。
10.波函数归一化的含义是什么？归一化随时间变化吗？
答：粒子既不产生也不湮灭。根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以在整个空间中发现粒子是必然事件，概率论中认为必然事件的概率等
于1。因而粒子在整个空间中出现的概率即2
ψ对整个空
间的积分应该等于1.即
()2
,,,1x y z t d ψτ=?式中积分
表示对整个空间积分。这个条件我们称为归一化条件。满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。波函数一旦归一化，归一化常数将不随时间变化。
11.量子化是不是量子力学特有的效应？经典物理中是否有量子化现象？
答： 所谓量子化，就是指某个力学量可取数值具有离散谱。一般来说，这不是量子力学的特有效应。经典物理中，例如声音中的泛音，无线电中的谐波都是频率具有离散谱。经典波在束缚态形成驻波时，频率也是量子化的，但经典波的频率量子化并不对应能量量子化。有时量子化用了专指能量量子化，在这种意义上它就是量子力学特有的效应。
12.什么是算符的本征值和本征函数？它们有什么物理意义？
答：含有算符?F 的方程?m m m
F F ??=称为?F 的本质方程，m F 为?F 的一个本质值。而m
?则为?F 的属于本征值m F 的本征函数。 如果算符多代表一个力学量，上述概
念的物理意义如下：当体系处于?F
的本征态m
?时，测量F 的数值时确定的，恒等于m F 。当体系处于任意态时，单次测量F 的值必等于它的本征值之一。 13.算符运算与一般代数运算有什么异同之处？ 答：（1）相同点:都满足加法运算中的加法交换律和加
法结合律。（2）不同点：a.算符乘积一般不满足代数乘
法运算的交换律，即????FG
GF ≠；b.算符乘积定义()()??????FGE F G E ψψ??=??
，运算次序由后至前，不能随
意变换。
14.什么是束缚态和定态？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？
答：定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。
若势场恒定0U
t
?=?，则体系可以处于定态。当粒子被外力（势场）束缚于特定的空间区域内，及在无穷处波函数等于零的态叫做束缚态。束缚态是离散的。例如一维谐振子就属于束缚定态，具有量子化能级。但束缚态不一定是定态。例如限制在一维箱子中的粒子，最一般的可能态是以一系列分立的定态叠加而成的波包。这种叠加是没有确定值的非定态。虽然一般情况下定态多属束缚态，当定态也可能有非束缚态。
15.（1）在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？（2）将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？（3）归一化波函数是否可以含有任意相因子
i e δ（δ是实常数）？（4）已知F 为一个算符，当F 满
足如下的两式时，a. F F +=,b. 1F F -+
=,问何为厄
米算符，何为幺正算符？（5）证明厄米算符的本征值为实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄米算符？
答：（1）不能；因为在量子力学中，粒子具有波粒二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。（2）不改变；根据Born 对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函数在空间各点的相对强度。（3）可以；因为2
1i e δ=，如果2
ψ对整
个空间积分等于1，则2
i e
δ
ψ
对整个空间积分也等于1.
即用任意相因子i e δ
（δ是实常数）去乘以波函数，既不
影响体系的量子状态，也不影响波函数的归一化。（4）满足关系式a 的为厄密算符，满足关系式b 的为幺正算符；（5）证明：以λ表示F 的本征值，ψ表示所属的本
征函数，则?F
ψλψ=因为F 是厄密算符，于是有dx dx λψψλψψ***=??，由此可得λλ*=，即λ为实
数。
16.薛定谔方程应该满足哪些条件？
答：（1）它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程；（2）方程是线性的，即如果1ψ和2ψ都是方程的姐，那么1ψ和2ψ的线性叠加1122c c ψ
ψψ=+也是方程
的解，这是因为根据态叠加原理，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122
c c ψ
ψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态；（3）这个方程的系数不应该包含状态的参量，如动量、能量等，因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被各种的状态所满足。 17. 量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？
答：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。因为所有力学量的数值都是实数，既然表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，它的本征值必须是实数。力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵。
18.简述力学量算符的性质？
答：（1）实数性：厄密算符的本征值和平均值皆为实数；（2）正交性：属于不同本征值的本征态彼此正交。即
m
n
mn
d ??τδ
*=?；（3）完备性：力学量算符的本征态的
全体构成一完备集，即()()n
n
n
x c x ψ?=
∑。
19.在什么情况下两个算符相互对易？
答：如果两个算符?F 和?G 有一组共同本征函数m ?，而且m ?组成完全系，则算符?F
和?G 对易。 20.请写出测不准关系?
答：设算符?F 和?G 的对易关系为：???i F G k ??=??
，，则测不准关系式为：()()
2
2
2
??4
k F
G
??≥，如果k 不为零，则?F
和?G 的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数。
21.量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同，并举例说明？
答：量子力学中不显含时间，且其算符与体系的哈密顿算符对易的力学量称为守恒量；量子体系的守恒量，无论在什么态下，平均值和概率分布都不随时间改变；量子力学中的守恒量与经典力学中的守恒量概念不相同，实质上是不确定度关系的反映。a.量子体系的守恒量并不一定取确定值，及体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。如对于自由粒子，动量是守恒量，但自由粒子的状态并不一定是动量的本征态（平面波），在一般情况下是一个波包；b.量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，l 的三个分量都守恒，但由于x y z l l l 、、不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角动量0l =的态除外）。 22.定态微扰理论的适用范围和适用条件是什么？ 答：适用范围：求分立能级及所属波函数的修正；适用
条件是：(0)(0)
(0)(0)
1nm m n
m n
H εεεε'
≠-，式中。 23.什么是自发跃迁？什么是受激跃迁？
答：在不受外界影响的情况下，体系由高能级跃迁到低
能级，这种跃迁称为自发跃迁；体系在外界（如辐射场）作用下，由低能级跃迁到高能级，这种跃迁称为受激跃迁。
24.什么是严格禁戒跃迁？角量子数和磁量子数的选择定则是什么？
答：如果在任何级近似中跃迁几率均为零，这这种跃迁称为严格禁戒跃迁。角量子数和磁量子数的选择定则是：
101l m ?=±?=±；，。
25. 谁提出了电子自旋的假设？表明电子有自旋的实验
事实有哪些？自旋有什么特征？
答：乌伦贝克和高斯密特提出了电子自旋的假设。他们主要根据的两个实验事实是：碱金属光谱的双线结构和反常的Zeeman 效应。他们假设的主要内容为：a.每个电
子具有自旋角动量?S
，它在空间任何方向上的投影只能是两个数值：
1
2
z s =±；b.每个电子具有自旋磁矩S M ，它和它的自旋角动量S 的关系式是：S e
M S μ
=-，式
中e -是电子的电荷，μ是电子的质量。
表明电子有自旋的实验事实：斯特恩-盖拉赫实验。其现象：K 射出的处于S 态的氢原子束通过狭缝
BB 和不均匀磁场，最后射到照相片PP
上，实验结果是照片上出现两条分立线。解释：氢原子具有磁矩，设
沿Z 方向：
；
如
在空
间可取任何方向，
应连续变化，照片上应是一连续带，
但实验结果只有两条, 说明 是空间量子化的，只有
两个取向
，对S 态 ,
,没轨道角动量，
所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩，即自旋磁矩。
自旋的特点：（1）电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。（
2）电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为
，它是电子内部状态的表征，是
一个新的自由度。（3）电子自旋值是 ， 而不是的
整数倍。（4
），而
两者在差一倍。
自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对
易关系：。
①它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间
等变量表示；
②它完全是一种量子效应，没有经典对应量。也就是说，当0
→时，自旋效应消失。
③它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而
且电子自旋在空间任何方向上的投影只取2
±两个值。
26. 什么是斯塔克效应？
答：当原子置于外电场中，它发射的光谱线将发生分裂，这称为Stark效应。
27.什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？
答：由于电子自旋与轨道角动量耦合，是原来简并的能级分裂成几条差别很小的能级，称为光谱的精细结构；
当n和l给定后，j 可以取
1
0)
2
j l l
=±=
，(除外，
即具有相同的量子数n，l的能级有两个，它们的差别很小，这就是产生精细结构的原因。考虑精细结构后能级的简并度为（2j+1）
28.什么是塞曼效应？什么是反常的塞曼效应？对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？
答：把原子（光源）置于强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条，我们把这称为正常的塞曼效应。而反常的塞曼效应是指在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条。
29．什么是全同性原理和泡利不相容原理？
答：全同性原理：由全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。
30.写出泡利矩阵的形式及其对易关系。请用泡利矩阵定义电子的自旋算符，并验证它们满足角动量对易关系。
答：泡利矩阵：
01
?
10
x
σ
??
= ?
??
；
?
y
i
i
σ
-
??
= ?
??
；
?
01
z
σ
??
= ?
-
??
1 0
；对易关系为：???
2i
σσσ
?=；自旋算
符
??
2
Sσ
=；对易关系为???
S S i S
?=。验证过程如下：
??????
x y x y y x
S S S S S S
??=-
??
，即：
22
22
010001
??
100010
44
?
2
0101
42
x y
z
i i
S S
i i
i
i iS
--
????????
??=-
??? ???
??????????
????
===
? ?
--
????
，
1 0 1 0
其中()()1
1
1
?r
E
r
H
n
n
n
?
?=；()()2
2
2
?r
E
r
H
m
m
m
?
?=。
32.请简述微扰论的基本思想。
答：将复杂的体系的哈密顿量
分成与
两部
分。
是可求出精确解的，而可看成的微扰。
只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，
逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。确定
时，
先确定
，再用确定。
33
.什么是玻色子和费米子？
答：由电子，质子，中子这些自旋为的粒子以及自旋
为的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是
反对称的，这类粒子服从费米(Fermi)－狄拉克 (Dirac)
统计，称为费米子，由光子（自旋为1）以及其它自旋为
零，或整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数
是对称的，这类粒子服从玻色(Bose)－爱因斯坦统计，
称为玻色子。
34.什么是隧道效应？请举例说明隧道效应的应用。
答：粒子在其能量E小于势垒高度0
U时，仍然会有部分
粒子穿过势垒的现象叫隧道效应，又叫隧穿效应。隧道
效应的应用：1.扫描隧道显微镜（STM）是电子隧道效应
的重要应用之一。扫描隧道显微镜可以显示表面原子台
阶和原子排布的表面三维图案。在表面物理、材料科学
和生命科学等诸多领域中，扫描隧道显微镜都能提供十分有价值的信息。2.隧道二极管是一种利用隧道效应的半导体器件，也是隧道效应的重要应用之一。由于隧道效应而使其伏安特性曲线出现负阳区，因而隧道二级管具有高频、低噪声的特点。隧道二级管是低频放大器、低频噪声振荡器和超高速开关电路中的重要器件。 35. 厄米算符具有哪些性质？厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有哪些性质？
答：厄米算符具有下列性质：a.两厄米算符之和仍为
厄米算符；b.当且仅当两厄米算符 ?A
和 ?B 对易时，它们之积才为厄米算符。因为
()?
????????AB
B A BA ==。只有在??,0A B ??=??
时， ????BA
AB =，才有，()
?
????AB AB
=，即??AB 仍为厄米算符；c.无论厄米算符?A
、?B 是否对易，算符()1????2AB BA +及 (
)
1??
??2AB BA i
-必为厄米算符，因为 ()
()()
*
????????11111????????????????22222AB BA B A A B A B B A AB BA i i i i i ??-=-+=-=-????
；
d.任何算符总可分解为???i ο
οο+-=+。令 ()?
1???2ο
οο+=+、()?1???2i
οοο-=-，则?ο+和?ο-均为厄米算符。
厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质： ①厄米算符的平均值是实数；②在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符；
③厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均值就是本征值。
④厄米算符属于不同本征值的本征函数正交；⑤厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化；⑥厄米算符的本征函数系具有完备性；⑦厄米算符的本征函数系具有封闭型。
37. 为什么物质的波动性在宏观尺度不显现？ 答：由于h p λ
=，原因是普朗克常数太小
（34
6.610.h J s -=?），而宏观尺度的运动动量太大,
导致波长太小，难以引起可以观察的物理效应。因为
p =,要减小宏观尺度运动的动量，必须减小动
能E ，但从物理上考虑E 不可能减小到比热运动能量kBT
更小，所以必须减小质量。质量的减小对应于尺度的减小。只有把物体尺度减小到微观尺度，才可能出现较大的物质波波长λ。从而引起可以观察到的物理效应。 39. 自由粒子非相对论情形的相速度和群速度分别为多少？
答：()2
2k m
ω=
，2
2k m ω=
，则群速度：g d k v dk m ω==（对应的才是粒子运动的速度）。而相速度：
2p k
v k
m
ω
=
=
（不是粒子运动速度）。 40.什么是希尔伯特空间？波函数与希尔伯特空间的关系？
答：希尔伯特空间是定义在复数域上的一个有限维或无限维的完备矢量空间。波函数对应于希尔伯特空间中的
态矢。 41.试举例有哪些实验揭示了光的粒子性质？哪些实验
揭示了粒子的波动性质？ 答：黑体辐射、光电效应、康普顿散射实验给出了能量分立、光场量子化的概念，从实验上揭示了光的粒子性质。电子杨氏双缝实验、电子在晶体表面的衍射实验、中子在晶体上的衍射实验从实验上揭示了微粒的波动性质。
3. 试以基态氢原子为例证明：U T
??或不是ψ的本征函数，而是U
T ??+的本征函数。 ) 1( 2)1(41
22
0/2/301000 s a r e a e a μπψ==
-解：
2
2
2222111?[()(sin )]2sin sin T r r r r θμθθθ?
????=-++????； 2
?s e U
r
=-；
2
2100100
22
3/22001001?(211 ()( T r r r r a a ψψμψ??=-??=≠?常数
所以：不是T
?100ψ由
于
10
2
1
00
?ψψr
e U s -=的本征函数不是U
?100ψ 2
100
2
20?? ()1 2T U a ψψμ+==-而
可见，100ψ是)??(U T
+4．证明：
±==L L ，6??=135 45和θ解： Ω?θY d W m ),( =2
),(m m Y W =?θ
±==L L ，6
21 (,)s i n Y θ?θ= ∴
π?θsin 815),(22
12=
=±m
Y W
当??=135 45和θ时：12±W ?=?=13545θθ，0～π
3215之间。
[]2 ； ③ ∑
=n
K 1
22
22
22
222
21122224(4)(4)u dx d x c u c dx
d x u c dx d x u ?+=线性算符；
2
2
222121212u c u u c c u ++
22
4 dx
d ； （2）①x p x
??， - * d dx dx ψφ∞∞∞-∞-?； 0
φ→；
* ()* d d
dx dx dx dx ψφψφ∞∞-∞-∞-=-≠
??。 - * ()*d d
i dx i dx dx
ψφψ∞∞∞∞-∞-∞-=-??
d
i
d x
∴是厄米算符 2-22
22222* *4 4* 4 *** 4 44 4* (4)* d d d d dx dx
dx dx dx dx d d d d dx dx
dx dx dx
dx d d dx dx dx dx φψφψφψψφψψφφψφψφ∞
∞∞
∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞=-=-=+=-=??????
2
24
d
dx
∴是厄米算符。 （
2
）
①
*
*12121212????????()())*()*x x x x xp
d x p d x p d p x d ψψτψψτψψτψψτ===????（
因为 x x p x p
???χ≠； ∴ x p x ?? 不是厄米算符。 ②
???+=+τψψτψψτψψd x p d p x d x p p x x x x x 2*12*12
*1
)??(21)??(21)]????(21[
***121212111????????()()[())]222
x x x x p x d xp d xp p x d ψψτψψτψψτ=+=+???
?+=τψψd p x x p x x 2*1])????(21
[ ∴ )????(2
1x p p x x x +是厄米算符。 9.下列函数哪些是算符2
2
dx d 的本征函数，其本征值是什
么？
①2
x ， ② x
e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤
x x cos sin +
解：①
2
)(2
2
2
=x dx d ； ∴ 2x 不是22
dx d 的本征函数。 ② x
x e e dx
d =2
2；∴ x e 不是22dx d 的本征函数，其对应的本征值为1。 ③x x dx d
x dx d sin )(cos )(sin 2
2-==； ∴ 可见，x sin 是22
dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 ④
)cos 3(cos 3)sin 3()cos 3(2
2x x x dx d
x dx
d --=-=
∴ x cos 3 是2
2
dx d 的本征函数，其对应的本征值为
－1。
⑤
2
2(sin cos )(cos sin sin cos (sin d d x x x x x x dx dx
+=-=--=-）
∴ x x c o s s i n +是22
dx d 的本征函数，其对应的本
征值为－1。
10．说明：如果算符A
?和B ?都是厄米的，那么 (A ?+B ?)也是厄米的。 证
：
*
1
2
???
??()A
B ψ
ψ+?
?+=τψψd B A *])??[(1
2 ∴ A
?+B ?也是厄米的。 13.设算符A ，B 与它们的对易式[A ，B]都对易。证明：
；
(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：
按题目假设
重复运算n-1次以后，得
14. 求证在n l 的本征态下0==y x
l l
（证明）角动量分量算符满足对易关系：
x y z z y l i l l l l ????? =-
两边取平均值，设im Y 是z l 本征态波函数，用标乘积运算
符号)?,()]????[(im x im im y x x y im Y l Y i Y l l l l Y =-
)??]?[?,(im y x im x y im Y l l Y l l Y -)
???,(im y x im y im Y l l Y l m Y -= )??,()?,(im y x im im y im Y l l Y Y l Y m -=
)?,?()?,(im y im x im y im Y l Y l Y l Y m -= )?,()?,(im y im im y im Y l Y m Y l Y m -=
前面的连等式中利用了标乘积分配律以及算符x l ?的厄密性，这样证明0=x l
利用对易关系：y
z x x z l i l l l l ????? =- 。可以类似的证明0=y l 。
附带指出，虽然x l ?，y l ?在x l ?本征态中平均值是零，但乘积x l ?y l ?的平均值不为零，能够证明：
,2
1
2y x y x l l i m l l -==
说明y x l l ??不是厄密的。2
?x
l ，2
?y l 的平均值见下题。
19. 粒子系处在下列外场中，指出自由粒子的哪些力学量（动量，能量，角动量，宇称）是守恒量。 [解]要判断哪些力学量守恒,需要将力学量P H l p
?,?,?,? [宇称量]等表示成适宜的形式,再考察]?,?[H A
等是否是零,但A
?是该力学量,若该交换式是零就说明A ?是个守恒量。 对于自由粒子：0?=V ，μ
2??2p H =
[a] 0)]???(21
,?[]?,?[222=++=z y x x x p p p p H p
μ
；同理 0]?,?[=H p
y ，0]?,?[=H p z [b]
??(21)]???(21),????([]?,?[222=++-=x y z y x y x x p p
p p p p z p y i H l μ
μ
同理0]?,?[=H l y ， 0]?,?[=H l z
[c]设P
?为宇称，对任意波涵数),(t r
ψ )
,()}(2{???22
22222t r z y x P H P ψμψ??+??+??-=),())
()()((22
2
22222t r z y x --??+-??+-??-=ψμ ),(??),(?t r P H t r H ψψ=-=
则：P H H P
????= 或 0]?,?[=H P 此外H 不显含时间，故总的说P H l p
?,?,?,?守恒。 20．证明：将算符矩阵
对角化的转换矩阵的每一列对
应于算符的一个本征函数矢量。
证明：
算符的本征矢为；则本征方程为：
则 F算符在自身表象中为一对角矩阵：
对另一表象力学量的本征矢；
；
；
=；
的本征矢。
21.试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成
的投影算符；（1）是厄密算符，（2）有
，（3）的本征值为0和1。
证明：（1）厄密算符的定义；
；
为厄密算符。
(2)
已归一化
；
（3）由
的本征值方程：
,
又：
即：；；；
所以
22.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令
()()() ()
i
Et
r t r f t r e
ψψ-
ψ==
，
**
**
()
2
[()()()
2
i i i
Et Et Et
i
J
m
i
r e r e r e
m
ψψψψ
---
=ψ?ψ-ψ?ψ
=?-?
（）（
**
[()()()()]
2
i
r r r r
m
ψψψψ
=?-?；可见t
J与
无关。
10.有一个粒子沿x轴方向运动其波函数为
()
1
A
x
ix
ψ=
+
，试求：
（1）将此波函数归一化；
（2）求出粒子按坐标的概率密度分布函数；
（3）问在何处找到粒子的概率最大？为多少？
解答：（1）()x
ψ的共轭复数为()
1
A
x
ix
ψ*=
-
利用归一化条件
()()2
2
1
1
A
x x dx dx
x
ψ
ψ
∞∞
*
-∞-∞
==
+
??
得到
A=
归一化后的波函数为
()x
ψ=
（2）粒子的概率密度为
()()()()2
2
2
1
A
w x x x x
x
ψψψ
*
===
+
其中，A=()
2
2
1
1
A
w x
x
π
=
+
（1）概率最大时：
2.计算对易子[]?,x π
解答：对于任意的波函数()x ψ，有
[]()()()???,x x x x x π
ψππψ=- ()()x x x x ψψ=----
()2x x ψ=-- ()?2x x πψ
=- 由于()x ψ是一个任意的波函数，所以
[]?,2x x π
π=- 1.计算对易子[]?,x x p
解答：对于任意的波函数()x ψ，有
[]()()()???,x x x x p
x xp x p x x ψψψ=-
()()(){}()
//ih x x x x x ih x ψψψψ=---=
由于()x ψ是一个任意的波函数，所以
[]?,x x p
ih = 第一章
⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。
⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说：
表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以h ν为能量单位吸收或发射电磁辐射。
表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。
表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。
⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点：
①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v 0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。
②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说：
光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= h ν的微粒形
式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理：
当光射到金属表面上时，能量为 E= h ν 的光子立刻被电子
所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。
⒓解释光电效应的两个典型特点：
①存在临界频率v 0：由上式明显看出，当h ν- W 0 ≤0时，即ν≤ν0 = W 0 / h 时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。
②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能
量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。
⒔康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律：
①散射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ；
②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h 在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性
⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。
????
?
????
======n k h k
n h P h E λππλων2 ,2 ⒚光谱线：光经过一系列光学透镜及棱镜后，会在底片上留下若干条线，每个线条就是一条光谱线。所有光谱线的总和称为光谱。
⒛线状光谱：原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的。 21.标识线状光谱：对于确定的原子，在各种激发条件下得到的光谱总是完全一样的，也就是说，可以表征原子特征的线状光谱。
22.戴维逊-革末实验证明了什么？
第二章
⒉波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波。
⒊波函数的特性：波函数乘上一个常数后，并不改变在空间各点找到粒子的几率，即不改变波函数所描写的状态。
⒋波函数的归一化条件 )7-1.2(
1),,,( 2
?=ψ∞
τd t z y x ⒌态叠加原理：若体系具有一系列不同的可能状态Ψ1，Ψ2，…Ψn ，则这些可能状态的任意线性组合，也一定是该体系的一个可能的状态。也可以说，当体系处于态Ψ时，体系部分地处于态Ψ1，Ψ2，…Ψn 中。
⒍波函数的标准条件：单值性，有限性和连续性，波函数归一化。
⒎定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函数。。
⒐定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变。
⒑本征方程、本征值和本征波函数：在量子力学中，若一个算符作用在一个波函数上，等于一个常数乘以该波函数，则称此方程为该算符的本征方程。常数f n 为该算符的第n 个本征值。波函数ψn 为f n 相应的本征波函数。
⒒束缚态：在无穷远处为零的波函数所描述的状态。基态：体系能量最低的态。
⒓宇称：在一维问题中，凡波函数ψ(x)为x 的偶函数的态称为偶(正)宇称态；凡波函数ψ(x)为x 的奇函数的态称为奇(负)宇称态。
⒔在一维空间内运动的粒子的势能为(μω2x 2)/2， ω是常数，这种粒子构成的体系称为线性谐振子。
线性谐振子的能级为：???=+=,,,, ),(32101
n n E n ω ⒕透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比。反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比。 ⒖隧道效应：粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。
⒗求证：在薛定谔方程中
),( )(),(t r r V t r t i ψμψ??
?
???+?-=??222 只有当势能V(r)为实函数时，连续性方程0=??+??J t
t r w )
,( 才能成立。
⒘设一个质量为μ的粒子束缚在势场中作一维运动，其能量本
征值和本征波函数分别为E n ,ψn ，n=1，2，3，4、…。求证：
)( )( n m dx x x n m ≠=?+∞
∞-，0ψψ
22．量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别？ 答: 量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可测的物理意义，它的模方表示概率，才有可测的意义；经典的波场代表一种物理场，有直接可测的物理意义。
第三章
⒈算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
⒉厄密算符的定义：如果算符F
?满足下列等式
()
? ?dx F dx F φψφψ**??
=，则称F ?为厄密算符。式中ψ和φ
为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。
推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。 ⒊厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。
⒋简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。 简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。 ⒌氢原子的电离态：氢原子中的电子脱离原子的束缚，成为自由电子的状态。
电离能：电离态与基态能量之差
⒍氢原子中在半径r 到r+dr 的球壳内找到电子的概率是：
dr r r R dr r W n l
nl 22)()(= 在方向(θ，φ)附近立体角dΩ内的概率是：
d ΩY d Ωw lm lm 2
),(),(?θ?θ= ⒎两函数ψ1和ψ2正交的条件是： 0τ =?
*
d 21
ψψ式中积分是
对变量变化的全部区域进行的，则称函数ψ1和ψ2相互正交。 ⒏正交归一系：满足正交条件的归一化本征函数φk 或φl 。
⒐厄密算符本征波函数的完全性：如果φn (r)是厄密算符F
?的正交归一本征波函数，λn 是本征值，则任一波函数ψ(r)可以按φ
n (r)展开为级数的性质。或者说φ
n(r)组成完全系。
⒑算符与力学量的关系：当体系处于算符F
?的本征态φ时，力学量F 有确定值，这个值就是算符F
?在φ态中的本征值。力学量在一般的状态中没有确定的数值，而有一系列的可能值，这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值。每个可能值都以确定的几率出现。
⒒算符对易关系：[]A B B A
B ,A
??????-≡ 。 可对易算符：如果[]
0??=B ,A ，则称算符A ?与B ?是可对易的； 不对易算符：如果[]
0??≠B ,A ，则称算符A ?与B ?是不对易的。
⒓两力学量同时有确定值的条件：
定理1：如果两个算符G F
? ?和有一组共同本征函数φn ，而且φn 组成完全系，则算符对易。
定理2：如果两个算符G F
? ?和对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。
⒔测不准关系：当两个算符不对易时，它们不能同时有确定值，
G )(F)( 224
2
k ≥???∴
⒕量子力学中力学量运动守恒定律形式是：
01=??????+??=H F i t F dt F d ?,? 量子力学中的能量守恒定律形式是：
01=??
????=H H
i dt H d ?,?? ⒖空间反演：把一个波函数的所有坐标自变量改变符号(如r →
－r)的运算。
宇称算符：表示空间反演运算的算符。 宇称守恒：体系状态的宇称不随时间改变。
第四章
⒈基底：设 e 1, e 2, e 3 为线性无关的三个向量，空间内任何向量 v 必是e 1, e 2, e 3 的线性组合，则e 1, e 2, e 3 称为空间的基底。正交规范基底：若基底的向量互相垂直，且每一向量的长度等于1，这样的基底叫做正交规范基底。
⒉希耳伯特空间：如果把本征波函数Φm 看成类似于几何学中
的一个矢量(这就是波函数有时称为态矢量或态矢的原因)，则波函数的集合｛φm ｝构成的一个线性空间。
⒊表象：量子力学中，态和力学量的具体表示方式。
第五章
⒈
⒉斯塔克效应：在外电场中，原子光谱产生分裂的现象。 ⒊分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 ⒋
周
期
微
扰
产
生
跃
迁
的
条
件
是
：
ω
εεωω ±=±=k m mk 或，说明只有当外界微扰含
有频率mk ω时，体系才能从k Φ态跃迁到m Φ态，这时体系吸收或发射的能量是mk ω ，这表明周期微扰产生的跃迁是一个共振跃迁。
⒌光的吸收现象：在光的照射下，原子可能吸收光的能量由较
低的能级跃迁到较高的能级的现象。
⒍原子的受激辐射(跃迁)现象：在光的照射下，原子从较高的能级跃迁到较低的能级而放出光的现象。
⒎原子的自发辐射(跃迁)现象：在无光照射时，处于激发态的原子跃迁到较低能级而发光的现象。 ⒏自发发射系数
mk A ：表示原子在单位时间内，由m ε能级自
发跃迁到k ε能级，并发射出能量为mk ω 的光子的几率。 ⒐受激发射系数mk B ：作用于原子的光波在ωωωd +→频率范围内的能量密度是ωωd I )(，则在单位时间内，原子由m ε能级受激跃迁到能级k ε、并发射出能量为mk ω 的光子的几率是)(mk mk I B ω。
⒑吸收系数km B ：原子由低能级k ε跃迁到高能级m ε、并吸收
能量为mk ω 的光子的几率是)(mk km I B ω。
第七章
⒈斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由。
⒉塞曼效应：在外磁场中，每一条光谱线劈裂成一组相邻谱线的现象。
简单(正常)塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线，在磁场中将分裂为三条光谱线。
产生的条件是：当外磁场足够大时，自旋和轨道运动间相
互作用可以忽略。
复杂(反常)塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线，在磁场中将分裂为更多条光谱线。
产生的条件是：在弱外磁场中，必须考虑自旋和轨道运动间相互作用。
⒊两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量S ：
)(1+=s s S ，01
2121 ，，=-+=s s s s s 所以两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量只能有两个可能
值。
⒋两个电子轨道角动量耦合的轨道总角动量L ：
2
1212121211l l l l l l l l l l l L -???-+-++=+= , , , , ,)(
对于两个电子，就有几个可能的轨道总角动量。
⒌电子自旋角动量与轨道角动量耦合为一个总角动量J 1：
2
1111111=-+=s s l s l J ,，
每个电子只有两个J 1值。 ⒍LS 耦合总角动量J ：
s
l s l s l s l j j j J -???-+-++=+= , , , , ,)(211
⒎jj 耦合总角动量J ：
1212121211j j j j j j j j j j J -
???-+-++=+=
, , , , ,)(
⒏价电子：原子最外层的电子。原子的化学性质以及光谱特性都决定于价电子。
⒐内层电子：原子中除价电子外的剩余电子。
⒑原子实：原子核与内层电子组成一个完整而稳固的结构。 ⒒电子组态：价电子所处的各种状态。 ⒓原子态：原子中电子体系的状态。
的近似求解方法。求出，由求出微扰论：由n n n n E E ψψ)
0()0(
⒔原子态符号：用来描述原子状态的符号。
⒕原子态符号规则：用轨道总量子数l 、自旋总量子数s 和总角动量量子数j 表示
①轨道总量子数l =0,1,2,···，对应的原子态符号为S ,P ,D ,F ,H ,I ,K ,L ,···;
②原子态符号左上角的数码表示重数，大小为2s +1,表示能级的个数。
③原子态符号右下角是j 值 ，表示能级对应的j 值 。 形式为：
???++++, , ,
,j
s j s j s j s F D P S
12121212 ⒖光谱的精细结构：用分辨率足够高的仪器观察类氢原子的光谱线，会发现每一条光谱线并不是简单的一条线，而是由二条或三条线组成的结构，这种结构称为光谱的精细结构。 ⒗原子态能级的排序(洪特定则)：
(1)从同一电子组态形成的、具有相同L 值的能级中，那重数最高的，即S 值最大的能级位置最低；
(2)从同一电子组态形成的、具有不同L 值的能级中，那具有最大L 值的位置最低。 ⒘辐射跃迁的普用选择定则：
1、选择定则：原子光谱表明，原子中电子的跃迁仅发生在满足一定条件的状态之间，这些条件称为选择定则。
2、原子的宇称：如果原子中各电子的l 量子数相加，得到偶数，则原子处于偶宇称状态；如果是奇数，则原子处于奇宇称状态。
3、普遍的选择定则：跃迁只能发生在不同宇称的状态间，偶宇称到奇宇称，或奇宇称到偶宇称。电子能否有跃迁首先要考虑这一条，然后按照耦合类型再有以下定则。 ⒙LS 耦合选择定则：
①0 =?S ，要求单一态电子只能跃迁到单一态，三重态电子只能跃迁到三重态。 ②10±=? ,l ，当0=?l 时，要考虑宇称奇偶性改变的要
求。 ③ ,10±=?j ，00==j j 至的跃迁是禁止的。
jj 耦合选择定则： ①()1021±=?? , j j
②10±=? ,j
，00==j j 至的跃迁是禁止的。
⒚全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同微观粒子。 ⒛全同粒子的特性：全同粒子具有不可区分性，只有当全同粒子的波函数完全不重叠时，才是可以区分的。
21.全同性原理: 在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
22.对称波函数：设q i 表示第i 个粒子的坐标和自旋，Φ(q 1,…,q i ,q j ,…,t)表示体系的波函数。如果两粒子互换后波函数不变，则Φ是q 的对称波函数。
23.反对称波函数：设q i 表示第i 个粒子的坐标和自旋，Φ(q 1,…,q i ,q j ,…,t)表示体系的波函数。如果两粒子互换后波函数变号，则Φ是q 的反对称波函数。
24.对称性守恒原理：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称(反对称)的状态，则它将永远处于对称(反对称)的状态上。
25.费密子：自旋为2 或2
奇数倍的全同粒子。费密子的特点：
组成体系的波函数是反对称的，服从费密—狄拉克统计。 26.玻色子：自旋为零、 或 整数倍的全同粒子。玻色子的特点：组成体系的波函数是对称的，服从玻色—爱因斯坦统计。 27.交换简并：由全同粒子相互交换而产生的简并。
28.泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态。
29.交换能的出现，是由于全同粒子的波函数必须是对称波函数或反对称波函数的缘故。
30.交换能J 与交换密度有关，其大小决定于两个电子波函数重叠的程度。重叠程度越大，交换能就越大。
31.LS耦合引起的精细结构分析。如n=3能级中，有一个p电子和d电子所引起的能级差别(原子态)。
量子力学期末复习完美总结 一、 填空题 1．玻尔-索末菲的量子化条件为： pdq nh =?，（n=1,2,3,....)， 2．德布罗意关系为：h E h p k γωλ == = =； 。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为： 21 2 mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2 r t ψ ，代表t 时刻，粒子在 空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。这 是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。 5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。 6． ， 为单位矩阵，则算符 的本征值为： 1± 。 7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。 8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。即 ()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-??或 。 9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写 的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。 10. i ； ?x i L ； 0。 11．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 _0__。 12．坐标和动量的测不准关系是： () () 2 2 2 4 x x p ??≥ 。 自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒 13．量子力学中的守恒量A 是指:?A 不显含时间而且与?H 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。 14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。 15． 为氢原子的波函数， 的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。 16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2 n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的 耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。 17．设体系的状态波函数为 ，如在该状态下测量 力学量 有确定的值 ，则力学量算符 与态矢量 的关系为：?F ψλψ =。 18．力学量算符 在态 下的平均值可写 为 的条件为：力学量算符的本征 值组成分立谱，并且()r ψ是归一化波函数。 19．希尔伯特空间：量子力学中Q 的本质函数有无限多 个，所以态矢量所在的空间是无限维的函数空间。 20．设粒子处于态 ， 为 归一化波函数， 为球谐函数，则系数c 的取值为： 1 6 ， 的可能值为： 13 ， 本征值为 出现 的几率为： 1 2 。
1光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 2光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v 0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 3爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= h ν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子 4康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律：射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ；波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大 5戴维逊-革末实验证明了德布罗意波的存在 6波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波 7波函数的归一化条件 1),,,( 2 ?∞=ψτd t z y x 8定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定
态波函数：描述定态的波函数称为定态波函定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变 9算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。 10厄密算符的定义：如果算符 F ?满足下列等式() ? ?dx F dx F φψφψ**??=，则称F ?为厄密算符。式中ψ和φ为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。 推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。 11厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。 12简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。 13量子力学中力学量运动守恒定律形式是： 01=??????+??=H F i t F dt F d ?,?η 量子力学中的能量守恒定律形式是01=??????=H H i dt H d ?,??η 14 15斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由 16黑体辐射揭示了经典物理学的局限性。 17玻尔的量子化条件：在量子理论中，角动量必须是h 的整数 的近似求解方法。 求出，由求出微扰论：由n n n n E E ψψ)0()0(
量子力学基础知识总结 一．微观粒子的运动特征 1.黑体辐射和能量量子化 黑体：一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体 普朗克提出能量量子化假设：定温下黑体辐射能量只与辐射频率有关，频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能是hν的整数倍，称为能量量子化。 2.光电效应与光子学说 爱因斯坦将能量量子化概念用于电磁辐射，并用以解释光电效应。其提出了光子学说，圆满解释了光电效应。 光子学说内容： ①光是一束光子流，每一种频率的的光的能量都有一个最小单位，称为光子 光子能量ε＝hν/c ②光子质量m＝hν/c2 ③光子动量p=mc=hν/c= h/λ ④光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。光电效应： hν＝ W+E K ＝hν +2 1 mv2,W为脱出功,E k 为光电子的动能。 3.实物微粒的波粒二象性 德布罗意提出实物微粒也具有波性：E＝hν p＝h/λ 德布罗意波长：λ=h/p=h/(mv) 4. 测不准原理：?x?x p≥h?y?p y ≥h?z?p y ≥h?tE≥h 二、量子力学基本假设 1. 假设1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ(x,y,z,t)来描述，它包括体系的全部信息。这一函数称为波函数或态函数，简称态。 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。在本课程中主要讨论定态波函数。 由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于ψ*ψ，所以通常将用波函数ψ描述的波称为几率波。在原子、分子等体系中，将ψ称为原子轨道或分子轨道；将ψ*ψ称为几率密度，它就是通常所说的电子云；ψ*ψdτ为空间某点附近体积元dτ中电子出现的几率。 对于波函数有不同的解释，现在被普遍接受的是玻恩（M. Born）统计解释，这一解释的基本思想是：粒子的波动性（即德布罗意波）表现在粒子在空间出现几率的分布的波动，这种波也称作“几率波”。 波函数ψ可以是复函数， 合格（品优）波函数：单值、连续、平方可积。 2. 假设2：对一个微观体系的每一个可观测的物理量，都对应着一个线性自厄算符。 算符：作用对象是函数，作用后函数变为新的函数。
大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分 1能量量子化 辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,??? 对频率为ν 的谐振子, 最小能量ε为: νh =ε 2.波粒二象性 波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式h νmc E ==2 λ h m p = =v 3.波函数及其物理意义 在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程 0),()](2[),(2 2=-?+??t r r V m t r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅 表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。所以， 应 该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。 自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ 波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义 常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z ) 附件出现概率的描述是相同的。 相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )附 件出现概率的描述是相同的。 表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。 表示点(x,y,z )处的体积元 中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1 必然有以下归一化条件 5. 力学量的平均值 2|(,,)|x y z ψ2 |(,,)|x y z x y z ψ???x y z τ?=?? ?2 |(,,)|1 x y z dxdydz ψ∞=? (,,)x y z ψ(,,)c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
高中物理选修3-5知识点梳理 一、动量 动量守恒定律 1、动量：可以从两个侧面对动量进行定义或解释：①物体的质量跟其速度的乘积，叫做物体的动量。②动量是物体机械运动的一种量度。 动量的表达式P = mv 。单位是s m kg .动量是矢量，其方向就是瞬时速度的方向。因为速度是相对的，所以动量也是相对的。 2、动量守恒定律：当系统不受外力作用或所受合外力为零，则系统的总动量守恒。动量守恒定律根据实际情况有多种表达式，一般常用等号左右分别表示系统作用前后的总动量。 运用动量守恒定律要注意以下几个问题： ①动量守恒定律一般是针对物体系的，对单个物体谈动量守恒没有意义。 ②对于某些特定的问题, 例如碰撞、爆炸等，系统在一个非常短的时间内，系统内部各物体相互作用力，远比它们所受到外界作用力大，就可以把这些物体看作一个所受合外力为零的系统处理, 在这一短暂时间内遵循动量守恒定律。 ③计算动量时要涉及速度，这时一个物体系内各物体的速度必须是相对于同一惯性参照系的，一般取地面为参照物。 ④动量是矢量，因此“系统总动量”是指系统中所有物体动量的矢量和，而不是代数和。 ⑤动量守恒定律也可以应用于分动量守恒的情况。有时虽然系统所受合外力不等于零，但只要在某一方面上的合外力分量为零，那么在这个方向上系统总动量的分量是守恒的。 ⑥动量守恒定律有广泛的应用范围。只要系统不受外力或所受的合外力为零，那么系统内部各物体的相互作用，不论是万有引力、弹力、摩擦力，还是电力、磁力，动量守恒定律都适用。系统内部各物体相互作用时，不论具有相同或相反的运动方向；在相互作用时不论是否直接接触；在相互作用后不论是粘在一起，还是分裂成碎块，动量守恒定律也都适用。 3、动量与动能、动量守恒定律与机械能守恒定律的比较。 动量与动能的比较： ①动量是矢量, 动能是标量。 ②动量是用来描述机械运动互相转移的物理量而动能往往用来描述机械运动与其他运动(比如热、光、电等)相互转化的物理量。比如完全非弹性碰撞过程研究机械运动转移——速度的变化可以用动量守恒，若要研究碰撞过程改变成内能的机械能则要用动能为损失去计算了。所以动量和动能是从不同侧面反映和描述机械运动的物理量。 动量守恒定律与机械能守恒定律比较：前者是矢量式，有广泛的适用范围，而后者是标量式其适用范围则要窄得多。这些区别在使用中一定要注意。 4、碰撞：两个物体相互作用时间极短，作用力又很大，其他作用相对很小，运动状态发生显着化的现象叫做碰撞。 以物体间碰撞形式区分，可以分为“对心碰撞”(正碰), 而物体碰前速度沿它们质心的连线；“非对心碰撞”——中学阶段不研究。 以物体碰撞前后两物体总动能是否变化区分，可以分为：“弹性碰撞”。碰撞前后物体系总动能守恒；“非弹性碰撞”，完全非弹性碰撞是非弹性碰撞的特例，这种碰撞，物体在相碰后粘合在一起，动能损失最大。 各类碰撞都遵守动量守恒定律和能量守恒定律，不过在非弹性碰撞中，有一部分动能转变成了其他形式能量，因此动能不守恒了。 二、验证动量守恒定律（实验、探究） Ⅰ 【实验目的】研究在弹性碰撞的过程中，相互作用的物体系统动量守恒． 【实验原理】利用图2-1的装置验证碰撞中的动量守恒，让一个质量较大的球从斜槽上滚下来，跟放在斜槽末端上的另一个质量较小的球发生碰撞，两球均做平抛运动．由于下落高度相同，从而导致飞行时间相等，我们用它们平抛射程的大小代替其速度．小球的质量可以测出，速度也可间接地知道，如满足动量守恒式m 1v 1=m 1v 1＇+m 2v 2＇，则可验证动量守恒定律． 进一步分析可以知道，如果一个质量为m 1，速度为v 1的球与另一个质量为m 2，速度为v 2的球相碰撞，碰撞后两球的速度分别为v 1＇和v 2＇，则由动量守
人教版高中物理选修3-5知识点总结 一．量子论的建立黑体和黑体辐射Ⅰ （一）量子论 1.创立标志：1900年普朗克在德国的《物理年刊》上发表《论正常光谱能量分布定律》的论文，标志着量子论的诞生。 2.量子论的主要内容： ①普朗克认为物质的辐射能量并不是无限可分的，其最小的、不可分的能量单元即“能量子”或称“量子”，也就是说组成能量的单元是量子。 ②物质的辐射能量不是连续的，而是以量子的整数倍跳跃式变化的。 3.量子论的发展 ①1905年，爱因斯坦奖量子概念推广到光的传播中，提出了光量子论。 ②1913年，英国物理学家玻尔把量子概念推广到原子内部的能量状态，提出了一种量子化的原子结构模型，丰富了量子论。 ③到1925年左右，量子力学最终建立。 4.量子论的意义 ①与量子论等一起，引起物理学的一场重大革命，并促进了现代科学技术的突破性发展。 ②量子论的革命性观念揭开了微观世界的奥秘，深刻改变了人们对整个物质世界的认识。 ③量子论成功的揭示了诸多物质现象，如光量子论揭示了光电效应 ④量子概念是一个重要基石，现代物理学中的许多领域都是从量子概念基础上衍生出来的。 量子论的形成标志着人类对客观规律的认识，开始从宏观世界深入到微观世界；同时，在量子论的基础上发展起来的量子论学，极大地促进了原子物理、固体物理和原子核物理等科学的发展。（二）黑体和黑体辐射
1．热辐射现象 任何物体在任何温度下都要发射各种波长的电磁波，并且其辐射能量的大小及辐射能量按波长的分布都与温度有关。 这种由于物质中的分子、原子受到热激发而发射电磁波的现象称为热辐射。 ①.物体在任何温度下都会辐射能量。 ②.物体既会辐射能量，也会吸收能量。物体在某个频率范围内发射电磁波能力越大，则它吸收该频率范围内电磁波能力也越大。 辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。此时温度恒定不变。 实验表明：物体辐射能多少决定于物体的温度（T）、辐射的波长、时间的长短和发射的面积。 2.黑体 物体具有向四周辐射能量的本领，又有吸收外界辐射 来的能量的本领。 黑体是指在任何温度下，全部吸收任何波长的辐射的 物体。 3．实验规律： 1）随着温度的升高，黑体的辐射强度都有增加； 2）随着温度的升高，辐射强度的极大值向波长较短方向移动。 二．光电效应光子说光电效应方程Ⅰ 1、光电效应
E*dv表示在频率范围（v,v+dv）中的黑体辐射能量密度。 λ—辐射波长(μm) T—黑体绝对温度(K、T=t+273k) C—光速(2.998×10^8m·s ) h—普朗克常数，6.626×10^-34 J·S K—玻尔兹曼常数(Boltzmann)，1.3806505*10^-23J/K基本物理常数 玻尔兹曼常数（Boltzmann constant）（k 或kB）是有关于温度及能量的一个物理常数。玻尔兹曼是一个奥地利物理学家，在统计力学的理论有重大贡献，波兹曼常数具有相当重要的地位。光量子即光子。能量的传递不是连续的，而是以一个一个的能量单位传递的。这种最小能量单位被称作能量子（简称量子）。 原始称呼是光量子（light quantum），电磁辐射的量子，传递电磁相互作用的规范粒子，记为γ。其静止质量为零，不带电荷，其能量为普朗克常量和电磁辐射频率的乘积，E=hv，在真空中以光速c运行，其自旋为1，是玻色子。 光子是光线中携带能量的粒子。一个光子能量的多少正比于光波的频率大小，频率越高, 能量越高。当一个光子被原子吸收时，就有一个电子获得足够的能量从而从内轨道跃迁到外轨道,具有电子跃迁的原子就从基态变成了激发态。 光子具有能量，也具有动量，更具有质量，按照质能方程，E=MC^2=hν，求出M=hν/C^2, 光子由于无法静止，所以它没有静止质量，这儿的质量是光子的相对论质量。光就既具有波动性（电磁波），也具有粒子性（光子），即具有波粒二象性 玻色子是依随玻色-爱因斯坦统计，自旋为整数的粒子。玻色子不遵守泡利不相容原理，在低温时可以发生玻色-爱因斯坦凝聚。玻色子包括：.胶子-强相互作用的媒介粒子，它们具有整数自旋（0，1，……），它们的能量状态只能取不连续的量子态，但允许多个玻色子占有同一种状态。，有8种；光子-电磁相互作用的媒介粒子，这些基本粒子在宇宙中的“用途”是构成实物的粒子(轻子和重子)和传递作用力的粒子（光子、介子、胶子、w和z玻色子）。在这样的一个量子世界里，所有的成员都有标定各自基本特性的四种量子属性：质量、能量、磁矩和自旋。如光子、粒子、氢原子等， Bose-Einstein condensation (BEC) 玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)是科学巨匠爱因斯坦在80年前预言的一种新物态。这里的“凝聚”与日常生活中的凝聚不同，它表示原来不同状态的原子突然“凝聚”到同一状态（一般是基态）。即处于不同状态的原子“凝聚”到了同一种状态。即当温度足够低、原子的运动速度足够慢时，它们将集聚到能量最低的同一量子态。此时，所有的原子就象一个原子一样，具有完全相同的物理性质。 磁光阱是一种囚禁中性原子的有效手段。它由三对两两相互垂直．具有特定偏振组态井且负失谐的对射激光束形成的三维空间驻波场和反向亥姆雹谊线圈产生的梯度磁场构成．磁场的零点与光场的中心重合，负失谐的激光对原子产生阻尼力．梯度磁场与激光的偏振相结合产生了对原子的束缚力．这样就在空间对中性原子构成了一个带阻尼作用的简谐势阱。 量子力学是描写微观物质的一个物理学理论，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱 普朗克常数记为h ，是一个物理常数，用以描述量子大小。在量子力学中占有重要的角色，马克斯·普朗克在1900年研究物体热辐射的规律时发现，只
《量子力学》课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：量子力学 所属专业：物理学专业 课程性质：专业基础课 学分：4 （二）课程简介、目标与任务； 课程简介： 量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人 类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。 本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公 设）及表述形式。在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构， 如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结 构。本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中 的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原 理。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基 本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。 本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态 问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。 课程目标与任务： 1. 掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方 法。 2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。 3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一 了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19 世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及 紫外灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与 半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。 《数学物理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中 有广泛的应用。《线性代数》中的线性空间结构的概念是量子力学希尔伯特 空间的理论基础，对理解本课程中的矩阵力学和表象变换都很有助益。 （四）教材与主要参考书。 [1] 钱伯初, 《理论力学教程》, 高等教育出版社; （教材） [2] 苏汝铿, 《量子力学》, 高等教育出版社; [3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Non-relativistic Quantum Mechanics; [4] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press 1958; 二、课程内容与安排 第一章微观粒子状态的描述 第一节光的波粒二象性 第二节原子结构的玻尔理论 第三节微观粒子的波粒二象性 第四节量子力学的第一公设：波函数 （一）教学方法与学时分配：课堂讲授；6学时 （二）内容及基本要求 主要内容：主要介绍量子力学的实验基础、研究对象和微观粒子的基本特性及其状态描述。 【重点掌握】： 1.量子力学的实验基础：黑体辐射；光电效应；康普顿散射实验；电子晶体衍射
第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出
现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为 E= h ν 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v 0：由上式明显看出，当h ν- W 0 ≤0时，即ν≤ν0 = W 0 / h 时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h 在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 ⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。 ???? ? ???? ======n k h k n h P h E λππλων2 ,2
《量子力学》考试知识点 第一章：绪论―经典物理学的困难 考核知识点： （一）、经典物理学困难的实例 （二）、微观粒子波－粒二象性 考核要求： （一）、经典物理困难的实例 1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。 2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。 第二章：波函数和薛定谔方程 考核知识点： （一）、波函数及波函数的统计解释 （二）、含时薛定谔方程 （三）、不含时薛定谔方程 考核要求： （一）、波函数及波函数的统计解释 1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波 2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程 1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理 2.简明应用：量子力学的初值问题 （三）、不含时薛定谔方程 1. 领会：定态、定态性质 2. 简明应用：定态薛定谔方程 第三章：一维定态问题
一、考核知识点： （一）、一维定态的一般性质 （二）、实例 二、考核要求： 1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振 2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、 第四章量子力学中的力学量 一、考核知识点： （一）、表示力学量算符的性质 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 （三）、连续谱本征函数“归一化” （四）、算符的共同本征函数 （五）、力学量的平均值随时间的变化 二、考核要求： （一）、表示力学量算符的性质 1.识记：算符、力学量算符、对易关系 2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系 （二）、厄密算符的本征值和本征函数 1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性 2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。 （三）、连续谱本征函数“归一化” 1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系
量子力学主要知识点复习资料 全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分 1能量量子化 辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量 的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,??? 对频率为 的谐振子, 最小能量为: νh =ε 2.波粒二象性 波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式h νmc E ==2 λ h m p ==v 3.波函数及其物理意义 在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程 0),()](2[),(2 2=-?+??t r r V m t r t i ψψ 粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 表示 波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。所以， 应该表示 粒子出现在点 (x,y,z )附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。 自由粒子的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ 波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义 常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附 件出现概率的描述是相同的。 相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。 表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。 2|(,,)|x y z ψ(,,)x y z ψ(,,)c x y z ψα i e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ
1.爱因斯坦关系是什么什么是波粒二象性 答：爱因斯坦关系：?? ? ??========k n n h n c h n c E p h hv E ρηρηρρρρηηλπλνπω 22 其中 波粒二象性：光不仅具有波动性，而且还具有质量、动量、能量等粒子的内禀属性，就 是说光具有波粒二象性。 2.α粒子散射与夫兰克-赫兹实验结果验证了什么 答：α粒子散射实验验证了原子的核式结构，夫兰克-赫兹实验验证了原子能量的量子化 3.波尔理论的内容是什么波尔氢原子理论的局限性是什么 答：波尔理论： （1）原子能够而且只能够出于一系列分离的能量状态中，这些状态称为定态。出于定态时，原子不发生电磁辐射。 （2）原子在两个定态之间跃迁时，才能吸收或者发射电磁辐射，辐射的频率v 由式 12E E hv -=决定 （3）原子处于定态时，电子绕原子核做轨道运动，轨道角动量满足量子化条件：ηn r m = υ 局限性： （1）不能解释较复杂原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱； （2）不能给出光谱的谱线强度（相对强度）； （3）从理论上讲，量子化概念的物理本质不清楚。 4.类氢体系量子化能级的表示，波数与光谱项的关系 答：类氢体系量子化能级的表示：()2 2202 442n Z e E n ηπεμ-= 波数与光谱项的关系Λ,4,5.3,3,5.2,121 ?22=?? ? ??-=n n R v 5.索莫菲量子化条件是什么，空间取向量子化如何验证 答：索莫菲量子化条件是nh q p =?d 空间取向量子化通过史特恩-盖拉赫（Stern-Gerlach ）实验验证。、 6.碱金属的四个线系，选择定则，能级特点及形成原因 答：碱金属的四个线系：主线系、第一辅线系（漫线系）、第二辅线系（锐线系）、柏格曼系（基线系） 碱金属的选择定则：1,0,1±=?±=?j l 碱金属的能级特点：碱金属原子的能级不但与主量子数n 有关，还和角量子数l 有关；且对于同一n ，都比氢(H)能级低。 形成原因：原子实外价电子只有一个，但是原子实的极化和轨道的贯穿产生了影响，产生了与氢原子能级的差别 7.自旋假设内容，碱金属光谱精细结构特点
1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v 7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符 高中物理选修3-5知识点梳理 一、动量动量守恒定律 1、动量：可以从两个侧面对动量进行定义或解释：①物体的质量跟其速度的乘积，叫做物体的动量。②动量是物体机械运动的一种量度。 动量的表达式P = mv。单位是s m kg .动量是矢量，其方向就是瞬时速度的方向。因为速度是相对的，所以动量也是相对的。 2、动量守恒定律：当系统不受外力作用或所受合外力为零，则系统的总动量守恒。动量守恒定律根据实际情况有多种表达式，一般常用等号左右分别表示系统作用前后的总动量。 运用动量守恒定律要注意以下几个问题： ①动量守恒定律一般是针对物体系的，对单个物体谈动量守恒没有意义。 ②对于某些特定的问题, 例如碰撞、爆炸等，系统在一个非常短的时间内，系统内部各物体相互作用力，远比它们所受到外界作用力大，就可以把这些物体看作一个所受合外力为零的系统处理, 在这一短暂时间内遵循动量守恒定律。 ③计算动量时要涉及速度，这时一个物体系内各物体的速度必须是相对于同一惯性参照系的，一般取地面为参照物。 ④动量是矢量，因此“系统总动量”是指系统中所有物体动量的矢量和，而不是代数和。 ⑤动量守恒定律也可以应用于分动量守恒的情况。有时虽然系统所受合外力不等于零，但只要在某一方面上的合外力分量为零，那么在这个方向上系统总动量的分量是守恒的。 ⑥动量守恒定律有广泛的应用范围。只要系统不受外力或所受的合外力为零，那么系统内部各物体的相互作用，不论是万有引力、弹力、摩擦力，还是电力、磁力，动量守恒定律都适用。系统内部各物体相互作用时，不论具有相同或相反的运动方向；在相互作用时不论是否直接接触；在相互作用后不论是粘在一起，还是分裂成碎块，动量守恒定律也都适用。 3、动量与动能、动量守恒定律与机械能守恒定律的比较。 动量与动能的比较： ①动量是矢量, 动能是标量。 ②动量是用来描述机械运动互相转移的物理量而动能往往用来描述机械运动与其他运动(比如热、光、电等)相互转化的物理量。比如完全非弹性碰撞过程研究机械运动转移——速度的变化可以用动量守恒，若要研究碰撞过程改变成内能的机械能则要用动能为损失去计算了。所以动量和动能是从不同侧面反映和描述机械运动的物理量。 动量守恒定律与机械能守恒定律比较：前者是矢量式，有广泛的适用范围，而后者是标量式其适用范围则要窄得多。这些区别在使用中一定要注意。 4、碰撞：两个物体相互作用时间极短，作用力又很大，其他作用相对很小，运动状 第一讲 量子力学的诞生 ★重点与难点解析 一、经典物理碰到的严重困难（不能解释的典型物理现象） 1. 无法解释黑体辐射问题 （1）一些基本概念 黑体；热辐射；单色辐出度；辐射出射度。 （2）单色辐出度的一些理论公式与实验结果的差异 维恩（Wien ）公式只在短波波段（高频部分）与实验符合，而在长波波段（低频部分）与实验差别较大。 瑞利—金斯（Rayleigh-Jeans ）公式只在长波波段（低频部分）与实验符合，而在短波波段（高频部分）与实验有明显差异，历史上称为“紫外灾难”。 普朗克通过改进维恩公式，得到了一个辐射公式（后称为普朗克公式），其与实验符合的很好。但无法用经典物理来解释这个公式 2. 无法解释光电效应 （1）什么是光电效应；什么是光电子 （2）光电效应的特点 A ）对于一定的金属材料做成的（表面光洁的）电极，有一个确定的临界频率0ν，当照射光频率0νν<时，无论光的强度多大，都不会观测到光电子从电极上逸出； B ）每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强度无关。光强度只影响到光电流的强度，即单位时间从金属电极单位面积上逸出的电子的数目； C ）当入射光频率0νν>时，不管光多微弱，只要光一照上，几乎立刻观测到光电子。这与经典电磁理论计算结果不一致。 以上三个特点中，C ）是定量上的问题，而A ）和B ）在原则上无法用经典物理学来解释。 3. 无法解释原子结构 经典理论无法解释原子的线状光谱和稳定性等： （1）根据经典理论，原子向外辐射电磁波，随电子运动轨道的半径不断减小，辐射电磁波的频率将连续变化。而实验发现，原子光谱是离散的线状光谱，并非连续； （2）原子的核型结构是不稳定的，绕核旋转的电子最终将落到原子核上，但实际原子是稳定的，电子不会落到原子核上。 4. 无法解释极低温下固体与分子的比热问题 在极低温下，由经典统计力学的能量均分定理等得到的固体与分子的比热与实验不符。 二、能量量子化思想对上述问题的解释 1. 普朗克（Planck ）能量子假说 1900年，普朗克发现：如作下列假设，就可以根据玻尔兹曼分布律从理论上导出与实验结果相符合的普朗克黑体辐射公式。 1.爱因斯坦关系是什么？什么是波粒二象性？ 答：爱因斯坦关系：?? ? ??========k n n h n c h n c E p h hv E λπλνπω 22 其中 波粒二象性：光不仅具有波动性，而且还具有质量、动量、能量等粒子的内禀属性，就是 由式 n r = 局限性： （1）不能解释较复杂原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱； （2）不能给出光谱的谱线强度（相对强度）； （3）从理论上讲，量子化概念的物理本质不清楚。 4.类氢体系量子化能级的表示，波数与光谱项的关系？ 答：类氢体系量子化能级的表示：()2 2202 442n Z e E n πεμ-= 波数与光谱项的关系 ,4,5.3,3,5.2,121 ?22=?? ? ??-=n n R v 了与氢原子能级的差别 7.自旋假设内容，碱金属光谱精细结构特点？ 答：自旋假设内容： （1）电子具有自旋角动量s p ，它在空间任何方向上的投影只能取两个值： 21±=sz p （2）电子具有自旋磁矩 s μ ，它在空间任何方向上的投影只能取两个值： B sz sz m e p m e μμ±=±=- =2 碱金属光谱精细结构特点： 原子态：2 52 32 12 12 1D 3,P 3,P 2,S 2,S 122222 ----n 层数 （表示L 的S,P,D,F ）J ，其中电子总角动量 J=轨道角动量L+自旋角动量S 。 电子自旋耦合：通过电子之间的自旋产生彼此的效果力。 9.碱土族元素光谱特点？ 答：Mg 的光谱与He 类似。也形成两套线系，有两个主线系、两个第一辅线系、两个第二辅线系等等。Mg 原子也有两套能级，一套是单层能级——单态，另一套是三层能级——三重态。单层能级间的跃迁产生单线，三层能级间的跃迁产生多线光谱。 10.LS 耦合与jj 耦合过程？两种耦合方式的原子态表示？ 答：略 L+S S 最J 值13.磁场中原子磁矩的表示及引起的能量差。 答：原子磁矩：φμp m e iA 2= =，而对于两个或两个以上电子的原子，其磁矩表达式为：J e J P m e g μ2=高中物理选修知识点整理
《量子力学》的诞生(知识点总结)
原子物理量子力学主要知识点复习
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