第三章一维定态问题
第三章 目 录
§3.1一般性质 (2)
（1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简
并的 ...................................... 2 （2）不同的分立能级的波函数是正交的。 .......... 4 （3）振荡定理 .................................. 4 （4）在无穷大位势处的边条件 .................... 5 §3.2阶梯位势 ....................................... 6 §3.3位垒穿透 (8)
（1） E
（1）能量本征值和本征函数 ..................... 12 （2）结果讨论 ................................. 13 §3.6宇称，一维有限深方势阱，双 δ位势 .. (14)
（1）宇称 ..................................... 14 （2）有限对称方位阱 ........................... 15 （3） 求粒子在双δ位阱中运动 ................... 18 §3.7束缚能级与反射振幅极点的关系 ... 错误！未定义书签。
（1） 半壁δ位阱的散射 ......... 错误！未定义书签。 （2）有限深方位阱 .............. 错误！未定义书签。 §3.8 一维谐振子的代数解法 .......... 错误！未定义书签。
（1）能量本征值 ................ 错误！未定义书签。 （2） 能量本征函数 ............. 错误！未定义书签。 （3）讨论和结论 ................ 错误！未定义书签。 §3.9 相干态 ........................ 错误！未定义书签。
（1） 湮灭算符 a ? 的本征态 ..... 错误！未定义书签。
（2） 相干态的性质 ............. 错误！未定义书签。
第三章 一维定态问题
现将所学得的原理和方程应用于最简单的问题：一维、不显含时间的位势，即一维定态问题。
当 )r (V )t ,r (V = 则薛定谔方程 )t ,r ()p ?,r (H ?)t ,r (t
i ψ=ψ??
有特解 /iEt E E e )r (u )t ,r (-=? 而 )r (u E 满足 )r (E u )r (u )p ?,r (H
?E E = 事实上，当)r (V 有一定性质时，如)Z (V )y (V )x (V )r (V ++=或)r (V )r (V =时，三维问题可化为一维问题处理，所以一维问题是解决三维问题的基础。
在解一维问题之前，先介绍一些解的性质。
需要指出，现讨论的)x (V 是实函数，从而保持不含时间的S.eq 中E 为实数。
§3.1一般性质
设粒子具有质量m ，沿x 轴运动，位势为)x (V 。于是有
)x (E u )x (u ))x (V dx
d m 2(E E 22
2=+- 。
由于)x (u E 是满足一定条件或边条件下的解，所以不是所有E 都有非零解。
（1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的
简并度（degeneracy ）：一个力学量的测量值，可在n 个独立的（线性无关的）波函数中测得，则称这一测量值是具有n 重简并度。
（某能量本征值有n 个独立的定态相对应，则称这能量本征值是n 重简并的）。
证：假设21u ,u 是具有同样能量的波函数
)x (E u )x (u ))x (V dx d m 2(1122
2=+- (1)
)x (E u )x (u ))x (V dx d m 2(2222
2=+- (2)
)2(u )1(u 12?-?
从而得 0)x (u dx
d u )x (u dx
d u 22
21
12
22
=-
于是 c )x (u u )x (u u 2112='-'(c 是与x 无关的常数)。
对于束缚态 0u ,x i →±∞→
（或在有限区域有某值使0)x (u u )x (u u 2112='-'）
所以0c =，
从而有
0)x (u u )x (u u 2112='-'
若)x (u )x (u 12不是处处为零，则有
)u (ln )u (ln u u u u 121
122'='?'='
从而有 )x (Au )x (u 21=。
二者仅差一常数因子，所以是同一波函数。也就是说，一个E 只对应一个独立的波函数，因此，是不简并的。
应当注意 ⅰ. 分立能级是不简并的。而对于连续谱时，若一端0u →，那也不简并。但如两端都不趋于0（如自由粒子），则有简并。
ⅱ．当变量在允许值范围内（包括端点），波函数无零点，就可能有简并存在。
（因常数c ≠0）。
ⅲ．当)x (V 有奇异点，简并可能存在。因这时可能导致)x (u )x (u 12处处为零。
推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然可保留一相因子）。
证 )x (u E )x (u ))x (V dx d m 2(n n n 2
2
2=+-
令 )x (iI )x (R )x (u n n n += （)x (I ),x (R (n n 都是实函数）
则 )x (R E )x (R ))x (V dx d m 2(n n n 22
2=+-
)x (I E )x (I ))x (V dx
d m 2(n n n 22
2=+-
这表明n R 和n I 都是能量为E 的解。但对束缚态，没有简并，所以只有一个解，因而n R 和n I 应是线性相关的。所以 n n R I α=
因此， )x (R )i 1()x (u n n α+= )x (R Ae n i β=
所以波函数只能取这一形式（A,β都为实数，n R 为实函数）。
由此可得另一推论：一维束缚态，其几率流密度矢恒为0（因波函数为实函数）。
（2）不同的分立能级的波函数是正交的。
)x (u E )x (u ))x (V dx d m 2(11122
2=+- （3）
)x (u E )x (u ))x (V dx d m 2(2222
2
2=+- （4）
*
1*2)2(u )1(u ?-?
)x (u )x (u )E E ())x (u )x (u )x (u )x (u (m
21*221211*
22-=''-''-*
所以 ??'-'-=-)u u u u (dx d m 2dx u u )E E (*
211*221*221
0))x (u )x (u )x (u )x (u (m
2211*22='-'-=∞
∞-
从而证明得
0dx u u 1*2=?。
这在物理上是显然的，因如果不正交，那就有)x (v )x (u )x (u 212+α=（)x (v 2是与)x (u 1正
交的）。从态叠加原理看，体系可能处于)x (u 1态，也可处于)x (v 2态，即在)x (u 2中可测得H
?的本征值为E 1，其几率2
α∝，这与)x (u 2是能量E 2的本征态的假设相矛盾，所以α必须为零，)x (u 2与)x (u 1一定正交。
（3）振荡定理
当分立能级按大小顺序排列，一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值范围内有n 个节点（即有n 个x 点使 0)x (u =，不包括边界点或∞远）。
基态无节点（当然处处不为零的波函数没有这性质，如?im e （它是简并的）），同样，多体波函数由于反对称性，而可能无这性质）。
（4）在无穷大位势处的边条件
项先讨论)x (V 有有限大小的间断点，由方程
)x (E u )x (u ))x (V dx d m 2(2
22=+- 即 )x (u ))x (V E (()x (u dx
d m 222
2-=-
由于)x (u 连续，)x (V 连续，或有些点是有限大小的间断点，因此)x (u ))x (V E (-存在，即
)x (u dx d 2
2
存
在，也就是)x (u dx d 的导数存在，所以)x (u dx
d 连续，即波函数导数连续。
而在位势是无穷时又如何呢？ 设 0V E <
)x (E u )x (u )V dx d m 2(022
2=+- 0x >
)x (E u )x (u dx
d m 222
2=- 0x <
令 2
mE 2k
=
, 2
0)
E V (m 2
-=
K
所以， u u 2K ='' 0x > u k u 2-='' 0x <
得解 ????
?<δ+>+=K K -0
x )kx sin(
A 0x C e Be )x (u x
x
要求波函数有界，所以C ＝0， 要求波函数0x =处连续，且导数连续 B sin A =δ B cos kA K -=δ
K
1tan k 1-=δ。 当E 给定，,V 0∞→ ∞→K
所以， .0sin 0tan =δ?=δ ∴ 0B →
于是，当 ∞→0V , 方程有解
??
?><=0x 0
x kx sin A )x (u 。 这表明，在无穷大的位势处，波函数为0，边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导数的连续性。但是，几率密度和几率流密度矢总是连续的。
§3.2阶梯位势
讨论最简单的定态问题
???<>=0
x 0
0x V
)x (V 0
(1) 当0V E <
)x (E u )x (u )V dx d m 2(0222=+- 0x > )x (E u )x (u dx
d m 222
2=- 0x <
令 2
mE 2k
=
， 2
0)
E V (m 2
-=
K
?????<+>+=-K K -0
x Be
Ae 0x C e De )x (u ik x
ik x x
x
由波函数有界C ＝0
在0x =处，波函数连续 D B A =+，
波函数导数连续 KD )B A (ik -=-，
解得
)k i 1(2D A K +=
, )k
i 1(2D B K -= ??
???><-++=K --0x De 0x e
)k
iK 1(2D e )k iK 1(2
D
)x (u x ik x ik x E 定态解： /iEt E E e )x (u )x (-=?。
我们看到，对E 没有限制，任何E 都可取，即取连续值，因它不是束缚态（-∞→x ，并
不趋于0），但它不简并（因∞→x ，0)x (u E →）。
讨论：A. 0x >处，经典粒子不能去的地方，但仍有一定的几率发现量子力学粒子，当然随x 增大发现它的几率下降；
B ．0x <区域，有沿x 方向的平面波和沿x 反方向的平面波, 且振幅相同，构成一
驻波。
iEt E e )kx sin k
kx (cos D )x (-K
-
=?
/i E t
2e )kx cos()k (
1D -α+K += 这一驻波，在π+-=α+2
1
n 2kx n （ 2,1,0n =）处为0。显然，每一点的几率密度不随t 变(定态）。
C. 几率流密度矢：
i. 透射几率流密度矢（0x >）0j T =（因x e K - 是实函数） ⅱ. 在0x <区域，向有向右的几率流密度，即入射几率流密度矢
)m p ?Re (j i x *i
i ??=
=))k
(1(4D m k 22K
+ iii. 在0x <区域，也有向左的几率流密度，即反射几率流密度矢
)m p ?Re (j R x *R
R ??=
=))k
(1(4D m k 22K
+- 所以, 总几率流密度矢为0（事实上，在0x <处，)x (u E 为实函数）
0j j j R i =+=
这表明，当0V E <，入射粒子完全被反射回来，没有几率流流入到0x >区域中。
定义：1. 反射系数 i
R
j j R =
，现R=1; 2. 透射系数 i
T j j
T =，现T=0。
1R T =+
(2) 当0V E >, 求粒子从左向右方入射的解。
)x (E u )x (u )V dx d m 2(0222=+- 0x >
)x (E u )x (u dx
d m 222
2=- 0x <
令 2
mE 2k
=
， 2
01)
V E (m 2k
-=
?????<+>+=--0
x Be
Ae 0
x C e De )x (u ik x
ik x x
ik x ik 11。 由初条件，粒子由左向右入射，由于在
0x =处位势有间断点，所以0x <区域有入射波，也有反射波，但在0x >处，位势无间
断点，只有入射波，无反射波，所以C ＝0。
由波函数及其导数连续，有
D B A =+
D ik )B A (ik 1=-
得 )k k 1(2D A 1+=， )k
k 1(2D
B 1-=。
结果有 ??
???><-++=-0x De 0x e
)k
k 1(2D e )k k 1(2D
)x (u x ik ik x 1ik x 1E 1。 讨论：A. 在0V E >时，0x >区域有一沿x 方向传播的平面波，波数为k 1（但这并
不是指粒子具有动量为1k ，因这要全空间）。
显然，)m p ?Re (j i x *i
i ??==212
)k k 1(4D m k + )m p ?R e (j R x *R R ??==212)k k 1(4D m k -- )m p ?Re(j T x *T T ??==21D m
k 。 从而得 反射系数 i R j j R ==2
1
1)k k k k (+-
透射系数 i
T j j
T ==
2
11)
k k (kk 4+
这表明，有一部分波被反射回来（0x <区域），这与经典很不一样（经典认为全部进入0
x >区域，仅速度发生变化）。显然
1T R =+。
§3.3位垒穿透
根据经典力学，一个具有能量E
小得不太多，仍有一部分
被透射过去。
(1) E 从左向右入射，所以在0x <区域有解e ikx （入射波）；ik x e - （反射波）a x >区域有解ik x e （透射波）。 ?????<+>=-0 x Be Ae a x Se )x (u ik x ik x ik x E 这形式是普遍的，只要远离作用区，而具体A 、B 、S 则 要根据位置的具体形式来确定。 而沿x 方向的几率流密度为2 i A m k j =， 2R B m k j - =， 2 T S m k j = ? 2 A B R = 2 A S T = 所以只要求得A S ,A B 即可。 对于a x 0<<有方程 )x (E u )x (u )V dx d m 2(02 2 2=+- 有解 x x E Fe De )x (u K -K += 其中 12 0)) E V (m 2( -=K 由0x =，a x =处，)x (u E ，)x (u E '连续 F D B A +=+ )F D (K )B A (ik -=- a a i ka Fe D Se K -K += )Fe De (ikSe a a ik a K -K -K = 由前二式 ???? ???????? ??K +K -K -K +=???? ??B A )k i 1(21) k i 1(2 1)k i 1(21)k i 1(21 F D 由后两式得 ??? ? ?????? ? ?? K K -=???? ? ?K -K K -K F D e k i e k i e e Se Se a a a a ik a ik a 于是有 ???? ???????? ??K +K -K -K +????? ?? K K -=???? ??K -K K -K B A )k i 1(21)k i 1(2 1)k i 1(21)k i 1(21 e k i e k i e e Se Se a a a a ik a ik a ???? ??????? ? ??K -K -K -K K -K K +K =B A ka sinh k i a cosh ka sinh k i a cosh ka sinh k i a cosh ka sinh k i a cosh 从而得 A a cosh k i 2a sinh )k (a sinh )k (B 2 222K K -K -K K K +-= 由（1）得 A a cosh k i 2a sinh )k (ke i 2S 2 2ik a K K -K -K K -=- 于是有 1 2002 a sinh V )E V (E 41A B R -??? ?????K -+== 1 0202 )E V (E 4a sinh V 1A S T -?? ? ? ????-K +== （2） 0V E > 这时只要将1ik -=K ,并由a k sin i a sinh 1-=K , 得 A a k sin )k k (i a k cos kk 2a k sin )k k (i B 12 2 1111212+---= A a k sin )k k (i a k cos kk 2e kk 2S 122 111ik a 1+-= - 从而有 1 12002 a k sin V )V E (E 41A B R -????????-+== 1 01202 )V E (E 4a k sin V 1A S T -?? ? ?????-+== 2 01) V E (m 2k -= ， 2 mE 2k = （3）结果讨论 A ．1T R =+（0V E >或0V E <）即几率流密度矢连续。 当 0V E < 时，仍有一定几率流透射过去，而且敏感于a K 。0V E <<，或a 很大时，则T 下降得很快。1ka >>，a 20 e v E 16T K -≈ 。 B. 当0V E >时，仍有一定几率流被反射回去。但当π=n a k 1时，T ＝1，即完全透射过去。这种现象称为共振透射（仅在0V E >条件下发生），这时 02 22 2n V n ma 2E +π= ， 被称为共振能级。 这种现象是量子现象，过多地用经典语言去解释会产生失误：如一种解释，认为π=n a k 1， 所以，2 n k n a 1λ =π= ，即位垒宽是半波长的整数倍时，则经过多次反射而透射出去的波的位相相同，从而出现共振透射。但是，在a 0-区域中某点0x ，你并不能说有动量1 h λ，所以谈 不上粒子有波长1λ，而被边界来回碰撞形成相干叠加。 §3.4方位阱穿透 这时只要将00V V -→即可。 A a k sin )k k (i a k cos kk 2a k sin )k k (i B 12 2 1111212+---= A a k sin )k k (i a k cos kk 2e kk 2S 122 111ik a 1+-= - 1 122002 a k sin V )V E (E 41A B R -??? ?????++== 1 012202 )V E (E 4a k sin V 1A S T -????????++== 其中 201)V E (m 2k +=， 2mE 2k =。 当π=n a k 1时，则同样出现1T =，即共振透射。这时， 0222 2n V n ma 2E -π= ( n 取值应保证E n 大于零) 如果我们将位势在 ∞±处选取为0V ，那在0x <和 a x >区域，入射能量 0V E E -→，而a x 0<<区域， 粒子能量为E V E 0→+，即 2 1mE 2k = ， 2 0) V E (m 2k -= 。 §3.5一维无限深方位阱 ?? ?? ? > ∞< =2a x 2a x 0 )x (V 。 （1）能量本征值和本征函数 ) x (E u )x (u dx d m 22 2 2=- 2a x < 0)x (u = 2a x >， 有解 ?? ?? ? > <+=2a x 02a x kx cos B kx sin A )x (u 其中 2 mE 2k = 。 要求波函数在2a ± 处连续（当然，并不要求导数连续），于是有 02a cos B 2a k sin A =+ 02 a cos B 2a k sin A =+-。 要求A ，B 不同时为0，则必须系数行列式为0。 02a k cos 2a k sin 2a k cos 2a k sin =-，即 02 a cos 2a k sin = ⅰ. a n k 02a k sin π=?= 4,2,0n = 代入方程 0B = ⅱ. a n k 02a cos π=?= 5,3,1n = 代入方程 0A =. 所以， ??? ? ????? > < =π =π=2 a x 02a x ,5,3,1n a n cos B ,6,4,2n x a n sin A )x (u n ， 相应的本征能量为 2 2 2 2n n ma 2E π= 。 （2）结果讨论 A. 根据一定边条件, 要求(2 a x ± =处，波函数连续），薛定谔方程自然地给出能级的量子化。 B. 一个经典粒子处于无限深位阱中，可以安静地躺着不动。但对量子粒子而言， 2 p x x ≥ ???。所以，0x ≠?，0p x ≠?，即x p 不能精确为0。因此，无限深方位势的粒子最低能量不为0。 C. 对基态：22 21ma 2E π= ，而 ??? ??? ?> < π =2a x 02a x x a cos a 2)x (u 1 。 所以，无节点，是偶函数。 第一激发态：222222ma 2E π= ，而??? ????> <π =2a x 02a x x a 2sin a 2)x (u 2 。 有一节点，是奇函数。 第二激发态：222233ma 2E π= ，而??? ????> < π=2a x 02a x x a 3cos a 2)x (u 3 。 有二个节点，是偶函数。 可证明，第n 个能级，有1n -个节点，函数奇偶性为() 1 n 1--。 §3.6宇称，一维有限深方势阱，双 δ位势 (1) 宇称 前面无限深位势的能量本征函数有两类形式： ?? ? ? ?? ???> < =π==π==2 a x 02a x ,6,4,2n a n s i n a 2u 5,3,1n x a n c o s a 2u )x (u n 2n 1n 。 显然 )x (u )x (u n 1n 1--= )x (u )x (u n 2n 2--=。 我们把以偶函数描述的态称为偶宇称态，以奇函数描述的态称为奇宇称态。 本征函数以奇偶宇称来分类，并不是偶然的，这种对称性必然是因体系在某种变换下的不变性所致。这种对称性只有在量子物理学中才有。 事实上，这是由于)x (V )x (V -=，即位势在x x -→的变换下不变的结果。 下面对这一问题进行一些讨论：如位势为偶，即)x (V )x (V -=，当)x (u 是方程的解，即满足 )x (E u )x (u ))x (V dx d m 2(2 2 2=+- . 在x x -→变换下，有 )x (E u )x (u ))x (V dx d m 2(22 2-=--+- 。 于是有， )x (E u )x (u ))x (V dx d m 2(22 2-=-+- 。 所以，当)x (u 是解，则)x (u -也是解。 A. 当能级不简并时：令p ?为宇称算符，我们有 )x (cu )x (u )x (u p ?=-= )x (u c )x (u )x (u p ?)x (u p ?22==-= 即 1c ±=. 因此，当体系在对称位势下运动（空间反射是对称的），若能级不简并，其所处的状态，也是宇称算符的本征态，而本征态为 1± ，即所处状态或为偶宇称态或为奇宇称态，即所得的解必有确定宇称。 B. 当能级简并时：那当然不一定处于有确定的宇称态下，但奇、偶部分分别是解。 前面已证明，)x (u 是解，则)x (u -也是解。由于能级是简并的，所以)x (u -不一定为)x (cu 。如果)x (cu )x (u ≠- （即)x (u 和)x (u -是线性无关的），则可作线性组合， )x (u )x (u -+， )x (u )x (u --。 这两个波函数也是解，而前者为偶宇称解，后者为奇宇称解；而且两者是线性无关的。 所以在能级简并时，我们也可选具有一定宇称的态来描述体系所处的状态。 因此，在一维对称位势下，我们总可选具有确定的宇称态作为能量本征态，而这将使问题处理简化。 宇称的概念是量子力学所特有的，它不仅在求解上简化，它还能对一些反应过程作出判断。 当体系的H ?在x x -→变换下不变，体系所处状态若有确定的宇称，那以后任何时刻都保持这宇称；如体系所处的不具有确定的宇称，那以后任何时刻其所处奇、偶宇称态的几率不变。 （2）有限对称方位阱 ?? ?? ? < >=2a x 02a x V )x (V 0，仅讨论束缚态， 即0E V 0>>。 由于是一维对称势的束缚态 。因此，能级 是不简并的，其解必具有确定的宇称。所以，只要在0x >区域中求解即可。 A ．偶宇称解： )x (Eu )x (u )x (V )x (u m 22 =+''- 由于0E V 0>>，有解 ?? ?? ? > +<<α+α=ββ-2a x De Ce 2a x 0x sin B x cos A )x (u x x 其中，2 mE 2 =α， 20)E V (m 2 -=β。 由于是偶宇称解，所以其导数为奇函数，即在0x =处，导数为零的解。于是，要求0B = ； 另外，要求解有界。所以可能解为 ?? ?? ? > <<α=β-2a x Ce 2a x 0x cos A )x (u x 利用2a x =处，波函数及其导数连续，u u ' ， 所以，在2 a x = 处，有 2 a tan αα=β 令 2 a ,2a β=ηα=ξ， 则 η=ξξtan 。 而 22 02 2 a 2mV = η+ξ， 由这两个方程α?ξ?→m 2E 2 2α= ( 在第一和第三象限 所以，ξ>η,0)。 相应波函数 ??? ? ? ????- <<α> =ββ-2a x C e 2a x x cos A 2a x C e )x (u x x 。 B ．奇宇称解：由于是奇宇称解，波函数在0x =处应为0，于是A ＝0。得解 ?? ?? ? > <<α=β-2a x Ce 2a x 0x sin B )x (u x 同理 u u ' 在2 a x =连续，得 η=ξξ-cot ，另外 22 022a 2mV = η+ξ， 从而求得α?ξ?→m 2E 2 2α= ( 在第二和第四象限 所以，ξ>η,0) 而相应波函数为 ??? ? ? ????- <-<α>=ββ-2a x C e 2a x x sin B 2a x C e )x (u x x C ．讨论 1．当2 2 2 2a 2mV ??? ??π< 即 2 2 22?? ? ??π<η+ξ 两方程仅交一点，所以只有一个解，而在2 x π <α 区域中无零点，即为基态（在这样的位势下仅有一个束缚解）。 当2 22 0222a 2mV 2??? ??π<≤??? ??π 时，这时交二个点，即有二个分立能级。 基态无零点：第一激发态有一个零点。当 2 02202 02n a 2mV 2)1n (?? ? ??π<≤??? ??π- 时，交n 0个点，有0n 条能级。因此，等高有限方位阱，分立能级数目取决于2 0a mV 的大小。但不管如何小，总有分立能级，至少一个（这与分立能级为无限多的无限深方位势不同，它有一个能量最小值，不能小于 2 22ma 2 π； 2. 在经典力学中，当0V E <时，粒子只能处于区域2 a 2a -- 中，而量子粒子，则有一定的几率处于E V 0>区域中，而且必须有。正是由于这一点，无论2 0a mV 如何小，至少有一个解。否则，当 20a mV 小到一定程度时，就无束缚态了。 （3） 求粒子在双δ位阱中运动 [])a x ()a x (V )x (V 0+δ+-δ-= A ．δ位势两边的波函数导数间的关系 在δ位势两边的波函数导数间的关系还未讨论过。现来看 )x (Eu )x (u )x (V )x (u m 22 =+''- ， 其中，)a x (V )x (V 0-δ-=。 对方程积分 ???ε +ε -ε+ε-ε +ε-=+''-a a a a a a 2dx )x (Eu dx )x (u )x (V dx u m 2 []ε?ε?+=-ε-'-ε+'-2)a (Eu )a (u V )a (u )a (u m 202 。 其中 1≤? 当0ε→， []0)a (u V )0a (u )0a (u m 202 =--'-+'- ，即 [])a (u mV 2)0a (u )0a (u 2 -=-'-+'。 所以，在δ位势两边的波函数导数并不一定连续。当0)a (u ≠,则一定不连续。 B ．双δ位阱解 由于位势)x (V )x (V -=，所以必具有确定的宇称解。于是，只要在0x >区域求解。 )x (Eu )x (u m 22 =''- a x a x 0><< 量子力学中几种表象及其之间的关系 摘要 体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。 常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。 而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。 关键词 态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文 体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是 式中 是动量的本征函数， dx x t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ?=?=ψψψ /2 /1)2(1)(ipx p e x -=πψ 称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。 由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率 c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率 如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则 在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。 那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成 dx t x dx t x w 2 ),(),(ψ=dp t p c dp t p w 2 ),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp p p p p /''')()()(),(),(-**?=ψ?=ψψψ /')'(t iEp e p p --=δ) ()(),(x u t a t x n n n ∑=ψ 第二十二章量子力学基础知识 1924年德布罗意提出物质波概念。1926年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程—薛定谔方程， 玻恩对波函数统计解释。1927年海森堡提出著名的不确定关系。 海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学， 形成了完整的量子力学理论。--------------------------------------------------------------------------- 教学要求： * 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义； * 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长； * 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件， 会简单计算粒子的概率密度及归一化常数； * 理解不确定关系并作简单的计算； * 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程 * 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤， 学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。 教学内容： §22-1 波粒二象性 §22-2 波函数 §22-3 不确定关系 §22-4 薛定谔方程（简略，一维定态薛定谔方程） §22-5 一维无限深势阱中的粒子 §22-6 势垒隧道效应 * §22-7 谐振子 * 教学重点： 实物粒子的波粒二象性及其统计意 义； 概率密度和发现粒子的概率计算； 实物粒子波的统计意义—概率波; 波函数的物理意义及不确定关系。 作业 22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、 22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、 22-17)、22-18)、 ---------------------------------- --------------------------------- §22-1 波粒二象性 1924年，法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世 纪以来，在辐射理论方面，比起波动的研究方法来， 是过于忽略了粒子的研究方法；那么在实物理论上， 是否发生了相反的错误，把粒子的图象想象得太多， 而过于忽略了波的图象？”德布罗意根据光与实物的 1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即： §4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换 态和力学量算符的不同表示形式称为表象。 态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。 1、量子态的不同表象 幺正变换 （1）直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e ,见图 其标积可写成下面的形式 )2,1,(),(==j i e e ij j i δ 我们将其称之为基矢的正交归一关系。 平面上的任一矢量A 可以写为 2211e A e A A += 其中),(11A e A =，),(22A e A =称为投影分量。 而),(21A A A = 称为A 在坐标系21X OX 中的表示。 现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e ，且同样有 )2,1,()','(==j i e e ij j i δ 而平面上的任一矢量A 此时可以写为 ''''2211e A e A A += 其中投影分量是),'('11A e A =，),'('22A e A =。 而)','(21A A A = 称为A 在坐标系'X 'OX 21中的表示。 现在的问题是：这两个表示有何关系？ 显然，22112211''''e A e A e A e A A +=+=。 用'1e 、'2e 分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有 ),'(),'('2121111e e A e e A A += ),'(),'('2221212e e A e e A A += 表成矩阵的形式为 ??? ? ?????? ??=???? ??212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A 由于'1e 、1e 及'2e 、2e 的夹角为θ，显然有 ??? ? ?????? ??-=??? ? ?????? ??=???? ??21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ 或记为 ??? ? ??=???? ??2121)(''A A R A A θ 其中 ??? ? ? ?-=θθ θθθcos sin sin cos )(R 是把A 在两坐标中的表示???? ??''21A A 和??? ? ??21A A 联系起来的变换矩阵。 变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故R 给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定。 很容易证明，R 具有下述性质： I R R R R ==~ ~ 由于1)(det )~ det(2==R R R , 其中 321321)1()det(p p p t R R R R -∑=， 故称这种矩阵为正交矩阵。 但1det =R （对应于真转动（proper rotation ））且R R =* （实矩阵） 1光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 2光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v 0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 3爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= h ν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子 4康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律：射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ；波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大 5戴维逊-革末实验证明了德布罗意波的存在 6波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波 7波函数的归一化条件 1),,,( 2 ?∞=ψτd t z y x 8定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定 态波函数：描述定态的波函数称为定态波函定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变 9算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。 10厄密算符的定义：如果算符 F ?满足下列等式() ? ?dx F dx F φψφψ**??=，则称F ?为厄密算符。式中ψ和φ为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。 推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。 11厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。 12简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。 13量子力学中力学量运动守恒定律形式是： 01=??????+??=H F i t F dt F d ?,?η 量子力学中的能量守恒定律形式是01=??????=H H i dt H d ?,??η 14 15斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由 16黑体辐射揭示了经典物理学的局限性。 17玻尔的量子化条件：在量子理论中，角动量必须是h 的整数 的近似求解方法。 求出，由求出微扰论：由n n n n E E ψψ)0()0( 近代物理学史论文题目：量子力学发展脉络及代表人物简介 姓名： 学号： 学院： 2016年12月27 量子力学发展脉络 量子力学是研究微观粒子运动的基本理论，它和相对论构成近代物理学的两大支柱。可以毫不犹豫的说没有量子力学和相对论的提出就没有人类的现代物质文明。而在原子尺度上的基本物理问题只有在量子力学的基础上才能有合理地解释。可以说没有哪一门现代物理分支能离开量子力学比如固体物理、原子核粒子物理、量子化学低温物理等。尽管量子力学在当前有着相当广阔的应用前景，甚至对当前科技的进步起着决定性的作用，但是量子力学的建立过程及在其建立过程中起重要作用的人物除了业内人对于普通得人却鲜为人知。本文主要简单介绍下量子力学建立的两条路径及其之间的关系及后续的发展，与此同时还简单介绍了在量子力学建立过程中起到关键作用的人物及其贡献。 通过本文的简单介绍使普通人对量子力学有个简单认识同时缅怀哪些对量子力学建立其关键作用的科学家。 旧量子理论 量子力学是在旧量子论的基础上发展起来的旧量子论包括普朗克量子假说、爱因斯坦光电效应光电子假说和波尔的原子理论。 在19世纪末，物理学家存在一种乐观情绪，他们认为当时建立的力学体系、统计物理、电动力学已经相当完善，而剩下的部分不过是提高重要物理学常数的观测精度。然而在物理的不断发展中有些科学家却发现其中存在的一些难以解释的问题，比如涉及电动力学的以太以及观测到的物体比热总小于能均分给出的值。对黑体辐射研究的过程中，维恩由热力学普遍规律及经验参数给出维恩公式，但随后的研究表明维恩公式只在短波波段和实验符合的很好，而在长波波段和实验有很大的出入。随后瑞利和金森根据经典电动力学给出瑞利金森公式，而该公式只在长波波段和实验符合的很好，而在短波波段会导致紫外光灾。普朗克在解决黑体辐射问题时提出了一个全新的公式普朗克公式，普朗克公式和实验数据符合的很好并且数学形式也非常简单，在此基础上他深入探索这背后的物理本质。他发现如果做出以下假设就可以很好的从理论上推导出他和黑体辐射公式：对于一定频率f的电磁辐射，物体只能以hf为单位吸收 量子力学基础知识总结 一．微观粒子的运动特征 1.黑体辐射和能量量子化 黑体：一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体 普朗克提出能量量子化假设：定温下黑体辐射能量只与辐射频率有关，频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能是hν的整数倍，称为能量量子化。 2.光电效应与光子学说 爱因斯坦将能量量子化概念用于电磁辐射，并用以解释光电效应。其提出了光子学说，圆满解释了光电效应。 光子学说内容： ①光是一束光子流，每一种频率的的光的能量都有一个最小单位，称为光子 光子能量ε＝hν/c ②光子质量m＝hν/c2 ③光子动量p=mc=hν/c= h/λ ④光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。光电效应： hν＝ W+E K ＝hν +2 1 mv2,W为脱出功,E k 为光电子的动能。 3.实物微粒的波粒二象性 德布罗意提出实物微粒也具有波性：E＝hν p＝h/λ 德布罗意波长：λ=h/p=h/(mv) 4. 测不准原理：?x?x p≥h?y?p y ≥h?z?p y ≥h?tE≥h 二、量子力学基本假设 1. 假设1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ(x,y,z,t)来描述，它包括体系的全部信息。这一函数称为波函数或态函数，简称态。 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。在本课程中主要讨论定态波函数。 由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于ψ*ψ，所以通常将用波函数ψ描述的波称为几率波。在原子、分子等体系中，将ψ称为原子轨道或分子轨道；将ψ*ψ称为几率密度，它就是通常所说的电子云；ψ*ψdτ为空间某点附近体积元dτ中电子出现的几率。 对于波函数有不同的解释，现在被普遍接受的是玻恩（M. Born）统计解释，这一解释的基本思想是：粒子的波动性（即德布罗意波）表现在粒子在空间出现几率的分布的波动，这种波也称作“几率波”。 波函数ψ可以是复函数， 合格（品优）波函数：单值、连续、平方可积。 2. 假设2：对一个微观体系的每一个可观测的物理量，都对应着一个线性自厄算符。 算符：作用对象是函数，作用后函数变为新的函数。 量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在 ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1 ?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。 第五章 量子力学的表象与表示 §5.1 幺正变换和反幺正变换 1, 幺正算符定义 对任意两个波函数)(r ?、)(r ψ，定义内积 r d r r )()(),(ψ?ψ?*?= (5.1) 按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r ψ时，找 到粒子处在状态()r ?的概率幅。 依据内积概念，可以定义幺正算符如下： “对任意两个波函数?、ψ，如果算符 U 恒使下式成立 ),()?,?(ψ?ψ?=U U (5.2) 而且有逆算符1?-U 存在，使得I U U U U ==--11????1，称这个算符U ?为幺正算符。” 任一算符A ?的厄米算符+A ?定义为：+A ?在任意?、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定 ??(,)(,)A A ?ψ?ψ+= (5.3) 由此，幺正算符U ?有另一个等价的定义： “算符U ?为幺正算符的充要条件是 I U U U U ==++???? (5.4a) 或者说 1??-+=U U 。” (5.4b) 证明：若),()?,?(ψ?ψ?=U U 成立，则按+U ?定义， ),??()?,?(),(ψ?ψ?ψ?U U U U +== 由于?、ψ任意，所以 I U U =+?? 又因为U ?有唯一的逆算符1?-U 存在，对上式右乘以1?U -，即得 1??U U +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。 2, 幺正算符的性质 幺正算符有如下几条性质： i, 幺正算符的逆算符是幺正算符 证明：设 1-+=U U ， 则()()(),1 11--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正 1 这里强调了 U -1 既是对 U 右乘的逆又是对 U 左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U 有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U -1 。 量子力学基本原理 量子力学的基本原理包括量子态的概念，运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。 状态函数 物理体系的状态由状态函数表示，状态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方程，该方程预言体系的行为，物理量由满足一定条件的、代表某种运算的算符表示；测量处于某一状态的物理体系的某一物理量的操作，对应于代表该量的算符对其状态函数的作用；测量的可能取值由该算符的本征方程决定，测量的期望值由一个包含该算符的积分方程计算。（一般而言，量子力学并不对一次观测确定地预言一个单独的结果。取而代之，它预言一组可能发生的不同结果，并告诉我们每个结果出现的概率。也就是说，如果我们对大量类似的系统作同样地测量，每一个系统以同样的方式起始，我们将会找到测量的结果为A出现一定的次数，为B出现另一不同的次数等等。人们可以预言结果为A或B的出现的次数的近似值，但不能对个别测量的特定结果做出预言。）状态函数的模平方代表作为其变量的物理量出现的几率。根据这些基本原理并附以其他必要的假设，量子力学可以解释原子和亚原子的各种现象。 根据狄拉克符号表示，状态函数，用<Ψ|和|Ψ>表示，状态函数的概率密度用ρ=<Ψ|Ψ>表示，其概率流密度用（?/2mi）（Ψ*▽Ψ－Ψ▽Ψ*）表示，其概率为概率密度的空间积分。 状态函数可以表示为展开在正交空间集里的态矢比如 ，其中|i>为彼此正交的空间基矢， 为狄拉克函数，满足正交归一性质。态函数满足薛定谔波动方程， ,分离变数后就能得到不显含时状态下的演化方程 ，En是能量本征值，H是哈密顿算子。 于是经典物理量的量子化问题就归结为薛定谔波动方程的求解问题。 第一章矩阵 1.1矩阵的由来、定义和运算方法 1.矩阵的由来 2.矩阵的定义 3.矩阵的相等 4.矩阵的加减法 5.矩阵和数的乘法 6.矩阵和矩阵的乘法 7.转置矩阵 8.零矩阵 9.矩阵的分块 1.2行矩阵和列矩阵 1.行矩阵和列矩阵 2.行矢和列矢 3.Dirac符号 4.矢量的标积和矢量的正交 5.矢量的长度或模 6.右矢与左矢的乘积 1.3方阵 1.方阵和对角阵 2.三对角阵 3.单位矩阵和纯量矩阵 4.Hermite矩阵 5.方阵的行列式，奇异和非奇异方阵 6.方阵的迹 7.方阵之逆 8.酉阵和正交阵 9.酉阵的性质 10.准对角方阵 11.下三角阵和上三角阵 12.对称方阵的平方根 13.正定方阵 14.Jordan块和Jordan标准型 1.4行列式求值和矩阵求逆 1.行列式的展开 https://www.doczj.com/doc/4d13195888.html,place展开定理 3.三角阵的行列式 4.行列式的初等变换及其性质 5.利用三角化求行列式的值 6.对称正定方阵的平方根 7.平方根法求对称正定方阵的行列之值 8.平方根法求方阵之逆 9.解方程组法求方阵之逆 10.伴随矩阵 11.伴随矩阵法求方阵之逆 1.5线性代数方程组求解 1.线性代数方程组的矩阵表示 2.用Cramer法则求解线性代数方程组 3.Gauss消元法解线性代数方程组 4.平方根法解线性代数方程组 1.6本征值和本征矢量的计算 1.主阵的本征方程、本征值和本征矢量 2.GayleyHamilton定理及其应用 3.本征矢量的主定理 4.Hermite方阵的对角化——计算本征值和本征矢量的Jacobi法1.7线性变换 1.线性变换的矩阵表示 2.矢量的酉变换 3.相似变换 4.等价矩阵 5.二次型 6.标准型 7.方阵的对角化 参考文献 习题 第二章量子力学基础 2.1波动和微粒的矛盾统一 1.从经典力学到量子力学 2.光的波粒二象性 3.驻波的波动方程 4.电子和其它实物的波动性——de Broglie关系式 5.de Broglie波的实验根据 6.de Broglie波的统计意义 7.态叠加原理 8.动量的几率——以动量为自变量的波函数 2.2量子力学基本方程——Schrdinger方程 1.Schrdinger方程第一式 2.Schrdinger方程第一式的算符表示 3.Schrdinger方程第二式 4.波函数的物理意义 5.力学量的平均值(由坐标波函数计算) 6.力学量的平均值(由动量波函数计算) 2.3算符 1.算符的加法和乘法 2.算符的对易 3.算符的平方 4.线性算符 5.本征函数、本征值和本征方程 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释 各项的几率意义。 二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态能级和波函数。 三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。 四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2 )0(1。在不含时微扰H '?作用下，总哈密顿算符H ?在)0(?H 表象下为????? ? ?=**2110 0E E E H βαβα。求 受微扰后的能量至一级。 五（20分）对电子，求在x S ?表象下的x S ?、y S ?、z S ?的矩阵表示。 A —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 第三章一维定态问题 第三章 目 录 §3.1一般性质 (2) （1）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简 并的 ...................................... 2 （2）不同的分立能级的波函数是正交的。 .......... 4 （3）振荡定理 .................................. 4 （4）在无穷大位势处的边条件 .................... 5 §3.2阶梯位势 ....................................... 6 §3.3位垒穿透 (8) （1） E 量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= ().n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系， 量子力学基本理论及理解 基本概念 概率波 量子力学最基础的东西就就是概率波了,但我认为对概率波究竟就是什么样一种“波”,却并不就是很容易理解的,这个问题直到理查德,费恩曼(而不就是海森伯或者伯恩)提出了单电子实验,才让我们很清楚的瞧到什么就是概率波？有为什么就是概率波。 什么就是概率波？为什么就是概率波？ 要回答这些问题,其实很简单,我们只需瞧下费恩曼的理想电子双缝干涉实验(刚开始时理想实验,不过后来都已经过证明了)就行了,我相信大家都会明白的。 下面我们再瞧一下费恩曼给出了什么结果: 1.单独开启缝1或者缝2都会得到强度分布或者符合衍射的图样, 缝1与缝2都开启时得到强度符合干涉图样 2.由两个单缝的图样无论如何得不到双缝的图样,即 3.每次让一个电子通过,长时间的叠加后就得到一个与一次让很多电子 通过双缝完全相同的图案 4.每次得到的就是“一个”电子 其实从这些结果中我们很容易得到为什么必须就是概率波,并且我们也很容易去除那些对概率波不对的理解,也就就是所谓的向经典靠拢的理解,从而得到必须就是概率波的事实。 概率波从字面上来理解,也就就是这种波表示的就是一种概率分布,还就是在双缝干涉中我们瞧一下很简单的一些表现,若果就是概率波的话,我们很关心的就就是这个粒子分布的具体形状,粒子位置的期望值等,在这里我们可以瞧出来波函数经过归一化之后,就就是说电子还就是只有那一个电子,但就是它的位置不确定了,这才形成在一定的范围内的一个云状分布,您要计算某一个范围内的电荷就是多少,这样您会得到一个分数的电荷量,但这只能告诉您电子在您研究的范围内分布的概率有多大,并不就是说在这一范围内真正存在多少电子。 Dirac 符号系统与表象 一、Dirac 符号 1. 引言 我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。 2. 态矢量 （1）. 右矢空间 力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。 右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。例如： =n n a n ψ∑ （2）. 左矢空间 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ | 和 |ψ> 称为伴矢量。 的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Q n > 展开： |ψ > = a 1 |Q 1> + a 2 |Q 2> + ... + a 3 |Q 3 > + ... 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： 12 n a a a ψ?? ? ? ?= ? ? ?? ? <ψ| 按 Q 的左基矢 量子力学习题 （三年级用） 山东师范大学物理与电子科学学院 二O O七年 第一部分 量子力学的诞生 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能 量可能值。 第二部分 波函数与Schr?dinger 方程 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的 结论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2 第三部分 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 第一章 量子力学基础知识 一、概念题 1、几率波：空间一点上波的强度和粒子出现的几率成正比，即，微粒波的强度 反映粒子出现几率的大小，故称微观粒子波为几率波。 2、测不准关系：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动量 3、若一个力学量A 的算符A ?作用于某一状态函数ψ后，等于某一常数a 乘以ψ，即，ψψa A =?，那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，其力学量A 具有确定的数值a ，a 称为力学量算符A ?的本征值，ψ称为A ?的本征态或本征波函数，式ψψa A =?称为A ?的本征方程。 4、态叠加原理：若n ψψψψ,,,,321????为某一微观体系的可能状态，由它们线性组 合所得的ψ也是该体系可能存在的状态。其中： ∑=+??????+++=i i i n n c c c c c ψψψψψψ332211，式中n c c c c ,,,,321???为任意常 数。 5、Pauli 原理：在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这两个 电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。 6、零点能：按经典力学模型，箱中粒子能量最小值为0，但是按照量子力学箱中粒子能量的最小值大于0，最小的能量为228/ml h ，叫做零点能。 二、选择题 1、下列哪一项不是经典物理学的组成部分？ ( ) a. 牛顿(Newton)力学 b. 麦克斯韦(Maxwell)的电磁场理论 c. 玻尔兹曼(Boltzmann)的统计物理学 d. 海森堡(Heisenberg)的测不准关系 2、下面哪种判断是错误的？( ) a. 只有当照射光的频率超过某个最小频率时，金属才能发身光电子 量子力学的基本假定 (1)微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函救可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条条件。 （2）体系的状态波函数满足薛定谔方程： ψ=?ψ?H t i ? （H ?是体系的哈密顿算符） (3)将体系的状态波函数ψ用算符F ?的本征函数n Φ展开: ?∑Φ+Φ=ψλ λλd c c n n n ，（λλλλΦ=ΦΦ=ΦF F n n n ?,?） 则在ψ态中测量力学量得到结果为n λ的几率是2||n c ，得到结果在 λλλd +→范围内的几率是λλd c 2||。 (4) 力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量p 换为算符?- i 得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函数。 (5)在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态(全同性原理)。 量子力学的基本假定 (1)微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函救可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条条件。 （2）体系的状态波函数满足薛定谔方程： ψ=?ψ?H t i ? （H ?是体系的哈密顿算符） (3)将体系的状态波函数ψ用算符F ?的本征函数n Φ展开: ?∑Φ+Φ=ψλ λλd c c n n n ，（λλλλΦ=ΦΦ=ΦF F n n n ?,?） 则在ψ态中测量力学量得到结果为n λ的几率是2||n c ，得到结果在 λλλd +→范围内的几率是λλd c 2||。 (4) 力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量p 换为算符?- i 得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函数。 (5)在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态(全同性原理)。 第三章表象理论 本章提要：本章讨论态矢和算符的具体表示形式。首先，重点讨论了本征矢和本征函数、态矢量和波函数之间的关系，指出了函数依赖于表象。之后，引入投影算符，讨论了不同表象下的态矢展开，尤其是位置和动量表象，并顺带解决了观测值问题。接着，用投影算符统一了态矢内积与函数内积。最后，简单介绍了一些矩阵力学的内容。 1.表象：完备基的选择不唯一。因此可以选用不同的完备基把态矢量展开。除了态矢量，算符在不同表象下的具体表示也不同。因此，我们把态矢量和算符的具体表示方式统称为表象 ①使用力学量表象：我们还知道每个力学量对应的（厄米）算符的本征矢都构成一组完备基。若选用算符G 的（已经标准正交化（离散谱）或规格正交化（连续谱））的本征矢作为态空间的基，就称为使用G 表象的描述 ②波函数：把态矢展开式中各项的系数（“坐标”）定义为G 表象下的波函数 ③本征函数与本征矢的关系：设本征方程ψ=ψλQ ?又可写作()()G Q G Q ψψ=? 则两边乘G 有()()ψ===ψ=ψ=ψQ G Q G Q G Q Q G Q G ???ψψ 因此：本征函数()ψ=G G ψ就是Q ?的本征态ψ在表象G ?下的“坐标”（波函数） 如果离散谱：()ψ=i i G ψ就是Q ?的本征态ψ在表象G ?的i G 方向上的“坐标” ④结论：算符和态矢量的抽象符号表示不依赖于表象，具体形式依赖于表象选择 但本征函数和波函数相当于“坐标”，依赖于态矢（向量）和表象（基） *注意：第二章在展开态矢量、写算符和本征函数时使用都是位置表象（也称坐标表象） 2.投影算符：我们将使用这个算符统一函数与矢量的内积符号 （1）投影算符：令()()连续谱离散谱dG G G i i P i ?∑==?，称为投影算符 （2）算符约定：求和或积分遍历算符G 的标准（或规格）完备正交基矢量 （3）本征方程：ψ=ψ=ψI P ??，表明投影算符就是单位算符 （4）单位算符代换公式：()()连续谱离散谱dQ G G i i I i ?∑==?量子力学中几种表象及其之间的关系
第22章量子力学基础教案
量子力学期末考试题解答题
量子力学的矩阵形式和表象变换.
量子力学知识点总结(精.选)
量子力学史简介
量子力学知识总结
量子力学基础简答题(经典)【精选】
量子力学的表象与表示
量子力学基本原理
量子力学中要用到的数学知识大汇总
量子力学习题
量子力学的矩阵形式及表象理论
量子力学的矩阵形式及表象理论
量子力学基本概念及理解
量子力学之狄拉克符号系统与表象
和 <φ| 的标积为：*n n n b a ?ψ=∑。显然<φ|ψ>* = <ψ|φ>。对于满足归 一化条件的内积有：*1n n n a a ψψ= =∑。 这样，本征态的归一化条件可以写为：
量子力学习题分解
第一章 量子力学基础
量子力学的基本假定
量子力学 第三章 表象理论
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