河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、简述波函数的统计解释；
2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？
3、力学量G
?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；
5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数???
? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释
各项的几率意义。
二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态
能级和波函数。
三（20分）设某时刻，粒子处在状态)
cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。
四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)
0(3)0(2)0(1。在不含时
微扰H
'?作用下，总哈密顿算符H ?在)0(?H 表象下为????
?
?
?=*
*21
1
00E E E H βαβα。求
受微扰后的能量至一级。
五（20分）对电子，求在x S ?表象下的x S ?、y S ?、z S ?的矩阵表示。
A —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、何为束缚态？
2、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)
r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
3、设粒子在位置表象中处于态),(t r
ψ,采用Dirac 符号时，若将
ψ(,)
r t 改写为
ψ(,)
r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如
何表示？
4、简述定态微扰理论。
5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？
二（20分）设粒子在三维势场()a
x a z y x U <>??
?∞
=x 0
,,中运动，求粒子定态能量
和波函数。
三（20分）一维运动的粒子在态()0
00
<>??
?=-x x Axe x x
当当λψ中运动，其中
0>λ。求()()???2
2
=???p x
四（20分）求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 五（20分）对自旋为2
1=
s 的粒子，求在 S y 表象中 S x 、 S y
、 S z 的矩阵表示。
B —1—1
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— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 C
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？
2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？
3、测不准关系是否与表象有关？
4、在简并定态微扰论中，如 ()H 0的某一能级)0(n
E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H
'+=???0的零级近似波函数？
5、在自旋态χ12
()s z 中， S x 和 S y
的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 二（20分）求在三维势场()b
y a x z y x U <
?∞=且当其它区域
,,中运动的粒子的定态
能量和波函数。
三（20分）求氢原子基态的最可几半径。
四（20分）已知哈密顿算符H ?在某表象下????
?
??-+=2020500bi i a c
H ω 且知其基态E 0=－3 ω，求实数a ，b ，c 。
五（20分）求在 S z
表象下， ( )S n x z =+ 2
1
232σσ
的本征值及本征函数。当体系处于χ12
()s z 态时，求S n =
2
的几率为多少？
C —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 D
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态
Schrodinger 方程的解？
2、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。
3、说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
4、何谓选择定则。
5、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？
二（20分）求在一维势阱()其它
b
x a U x U <
?∞
=0中运动的粒子的定态能级和波函数。
三（20分）当体系处在状态 ()?π
?π
?ψcos 23sin 21+
=
时，
（这里?为角坐标）。求角动量z 分量L z 的可能值及其平均值。
四（20分）转动惯量为I ，电偶极矩为
D 的空间转子，处在均匀电场 ε中，如
电场较小，用微扰方法求转子基态能量至二级。
五（20分）已知 J J iJ x y
+=+，
J 为角动量算符，jm 为 , J J z 2共同本征态，试证明： ()(),J jm j j m m j m +
=+-++111
D —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 E
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、叙述量子力学的态迭加原理。
2、厄米算符是如何定义的？
3、据[a
?，+
a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1?-=n n n a 。
4、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。
5、自旋 S
=2
σ，问 σ是否厄米算符？ σ是否一种角动量算符？ 二（20分）粒子在势场()()a
x a x a x x U >
2
1
μω中运动，求其定态能级及波函
数。
三（20分）氢原子处于基态。求(1) r 的平均值；(2) 动量P
的平均值
四（20分）已知哈密顿算符???
?
? ??-=302000
1ai ai H ω
求：（1）能量本征值；（2）当a 很小时，能量修正至二级。
五（20分）设 ( ), F l l L
J L S l
=+++?=+12111
σ，其中 , L S =2
σ
分别为轨道角动量和自旋s =1
2
的自旋角动量。l j ,分别为 , L J 22的量子数。求证：
在l 确定的态中，当j l =+
12
时F l =1；当
j l =-
1
2
时F l
=0。
E —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 F
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。
2、动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。
3、知 Ge
e x x ααα=，问能否得到 G d dx =？为什么？ 4、简述变分法求基态能量及波函数的过程。 5、简单Zeemann 效应是否可以证实自旋的存在？
二（20分）求在辏力场势()a
r a
r r U >
?∞
=0
中运动的粒子，当l =0时的定态能级与波函数。（l 为角量子数）
三（20分）证明[x L ?，y P ?]=z P i ? 。其中x
L ?为轨道角动量x 分量，y P ?为动量y 分量。
四（20分）已知哈密顿算符在某表象下()????
? ??++=302020201
bi i a H α。求：
（1）实数a ，b ；（2）能级和本征态。
五（20分）已知 ( ) H A S S S BL x y z z =+-+222，其中 S
为自旋2
1=s 的自旋角动量， L 为轨道角动量。求体系的定态能级与波函数。
F —1—1
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— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 G
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、不考虑自旋，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级E n 的简并度是多少？
若粒子自旋为s ，问E n 的简并度又是多少?
2、根据]?,?[1?H F
i t F dt F d +?=?说明粒子在辏力场中运动时，角动量守恒。 3、对线性谐振子定态问题，旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别？ 4、简述氢原子的一级stark 效应。
5、写出 J jm +
的计算公式。 二（20分）已知粒子在势场()a
x a x x U x U ><<
?
??-∞
=当当当00
00
中运动，00>U ，求束缚态能级所满足的方程。
三（20分）证明：[x
?，)?(P f ]= x
P i ??? )?(P f 四（20分）求线性谐振子在动量表象下的能级和波函数。
五（20分）已知体系 ( ) H A L L L BS x y z z =+-+222，其中 L 为轨道角动量， S
为自旋（2
1
=s ）角动量。求体系的定态能级与波函数。
G —1—1
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— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 H
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、由12
=?τψd ，说明波函数的量纲。
2、F
?、G ?为厄米算符，问[F ?，G ?]与i [F ?，G ?]是否厄米算符？ 3、据[a
?，+
a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?证明：11?++=+n n n a 。
4、利用量子力学的含时微扰论，能否直接计算发射系数和吸收系数？
5、什么是耦合表象？
二（20分）粒子在势场()其它
且当c z b y ,x 0,,<<
?
∞
=a z y x U 中运动，求其定态
能级及波函数。
三（20分）球谐振子基态为2
221
2
3r e
απαψ-???
? ??=，求动能平均值和最可几半径。 四（20分）某体系()0?H 存在三个非简并能级：E 01，E 02，E 03，相应波函数为01
ψ，02ψ，03ψ。受微扰?????
??-='c d e d b ai e ai a H 下，求其能量至二级，波函数至一级。（注：H '是在()0?H 表象下给出的）。
五（20分）求在z
S ?表象下，)??(2
?22
22y x n S σ
σ+= 的本征值及本征函数。当体系处于χ12
()s z 态时，求2
-=n S 的几率为多少？
H —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 I
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、不考虑粒子内部自由度，宇称算符P
?是否为线性厄米算符？为什么？ 2、写出几率密度与几率流密度所满足的连续性方程。
3、已知()+
+???
? ??=a a x ??2?21
μω ，()+-??? ??=a a i p x ??21?2
1 μω，且1?-=n n n a ψψ，11?+++=n n n a ψψ，试推出线性谐振子波函数的递推公式。 4、写出一级近似下，跃迁几率的计算式。 5、何谓无耦合表象？
二（20分）粒子在()2
222212
121,y x y x U μωμω+=中运动，求其定态能级及波函数。
三（20分）证明：μμ2?122
222r P r r r r =????- ，其中??? ??+??=r r i P r
1? 。
四（20分）F ?在某表象下矩阵形式为 ???
?
?
??-=0000000i i F ，求其本征值及本征函数。
五（20分）证明( )( ) ( ) σσσ??=?+??A B A B i A B 。其中 , A B 为与 σ
对易的矢量算符， S
=2σ为s =12
的自旋算符。
I —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 J
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、给出线性谐振子定态波函数的递推公式。
2、*=ψψG
?，G
?是否线性算符？ 3、在什么样的基组中，厄米算符是厄米矩阵？ 4、何谓选择定则？
5、写出jm J -
?公式。 二、（20分）已知粒子在()??
???∞=b
x a 0a x 0b x 0x 0
＜＜当＜＜当＞或＜当U x U 中运动，求束缚态能级满足
的关系式。
三、（20分）设粒子在一维无限深势阱中运动，其基态能量为2
2
212a
E μπ =，现体系处在由归一化波函数a
x a
x a
ππψ2cos sin 24=所表示的状态，求：
（1）包含区间[0,4
a
]的势阱位置；（2）写出测量基态的几率的计算公式。
四、（20分）当l ＝1时，求在z L ?表象中x L ?与y L ?的矩阵表示。 五、（20分）求在()()??? ?
?+=
-φθχφθχψ,)(,)(23111211021Y s Y s z z 中，算符2?J
与z J ?的本征值。
J —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 K
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、何为束缚态？
2、写出位置表象中x p ?，p ? ，x ?和r
? 的表示式。 3、对于定态问题，试从含时Schrodinger 方程推导出定态
Schrodinger 方程；
4、对于氢原子，其偶极跃迁的选择定则对主量子数n 是否存在限制？为什
么？
5、在现阶段所学的量子力学中，电子的自旋是作为一个基本假定引入的，还是由其它假定自然推出的？
二、（20分）求在一维势场()B Ax x U +=2（A ＞0）中，运动的粒子的定态能级
和波函数。
三、（20分）一粒子在一维无限深势阱()??
?≤≤∞
=a
x 0x a x 0 0＞或＜ 当当x U 中运动，求其
处于定态时的平均动能T 。
四、（20分）设尝试函数为2
0x ce
α-，c 为归一化系数，0α为与x 无关的变分参数，
试用变分法求线性谐振子的基态能量及波函数。
五、（20分）求在自旋态???
? ??=51)(z s χ中的测不准关系?)()(2
2=???y x S S
K —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 L
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、假如波函数应满足的方程不是线性方程，波函数是否一定能归一化？
2、试写出动量表象中x ?，r ? ，x p
?，p ? 的表式 3、幺正算符是怎样定义的？
4、我们知道，平面单色波的电场能和磁场能相等，而在用微扰论计算发射
系数和吸收系数时，我们为什么忽略了磁场对电子的作用？ 5、对于自旋为3/2的粒子，其自旋本征函数应是几行一列的矩阵？
二、（20分）试求三维各向同性谐振子的基态波函数。
三、（20分）推导对易关系]?,?[x L z ，其中z ?为坐标分量算符，x
L ?为轨道角动量分量算符。
四、（20分）已知某表象下力学量????
?
??-=0000000?i i F ，求其本征值及本征函数。
五、（20分）在自旋态???
? ??=32)(z s χ中，其测不准关系 ?)()(2
2=???z y S S
L —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 M
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、写出德布罗意关系式及自由粒子的德布罗意波。
2、一维线性谐振子基态归一化波函数为 2
2
21
x e απ
αψ-=
，试计算积
分
x d e x ?
∞
-0
2
β；
3、当体系处于归一化波函数ψ所描述的状态时，简述在ψ态中测量力学量
F 的可能值及其几率的方法；
4、已知氢原子径向Schrodinger 方程无简并，微扰项只与r 有关，问非
简并定态微扰论能否适用？ 5、自旋是否意味着自转？ 二、（20分）一体系哈氏量为z 022
2L r
4e 2∧∧
+-?-=c H πεμ
其中c 为常数，
求其定态能级及波函数。
三、（20分）试证明 p ?i 2L
?p ?p ?L ? ＝?+? 四、一粒子在一维势场()bx x x U +=
222
1
μω中运动，b 很小，试用微扰论求其定态能量至二级，波函数至一级。
五、（20分）已知角动量21???L L J +=，求在态l l jm 121110=中的21??L L ?的值。
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 N
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、光到底是粒子还是波；
2、两个对易的力学量是否一定同时具有确定值？在什么情况下才同时具有
确定值？
3、不考虑自旋，求球谐振子能级E n 的简并度；
4、我们学过，氢原子的选择定则1±=?l ，这是否意味着?l =±3的跃迁绝
对不可能发生？
5、克莱布希－高豋系数是为解决什么问题提出的？
二、（20分）设粒子在二维势场()cx By Ax y x U ++=22,中运动，其中常数0A ＞
，0 B ＞ ．求其定态能级和波函数。
三、（20分）在一维无限深势阱()??
?≤≤∞
=a
x 0x a x 0 0＞或＜ 当当x U 中运动的粒子，求它
处在定态时的平均坐标x 。
四、（20分）求氢原子处于基态时，在恒定外弱电场ε
作用下，其定态能级至二
级和波函数至一级。
五、（20分）根据在z S ?表象下的矩阵表示，求自旋y
S ?的本征值及对应本征函数（粒子s=2
1）。
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 O
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、在球坐标系下，波函数()φθψ,,r 为什么应是进动角φ的周期函数？
2、设当a ＜x 和b y ＜时，势能为常数0U ，试将此区域内的二维
Schrodinger 方程分离变量(不求解)；
3、何谓力学量完全集？
4、定性说明为什么在氢原子的Stark 效应中，可将r e H ?='ε?视为微扰项？
5、Pauli 算符σ
? 是否满足角动量的定义式？
二、（20分）有一粒子在一维势场 ()??
?≤≤∞
=其它
当b
x a 0
U x U 中运动，求其定态
能级及波函数。
三、（20分）已知K i G F
?]?,?[=，其中F ?、G ?均为厄米算符，利用关系()(
)
0??2≥?-?=?
τψξξd G i F I 证明测不准关系 4
)?()?(222k G F ≥
???。 四、（20分）已知
z
L ?、
y
L ?的伴随表示分别为????
?
??-=0000000?i i L z 及
????
?
??-=0000000?i i L y
求x
L ?的矩阵表示。
五、（20分）求在自旋态???
? ??=10)(2
1y s χ的测不准关系 ?)?()?(22=???x z S S
O —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 P
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、简述量子力学产生的背景；
2、写出位置表象中直角坐标系下x L ?、y L ?、z
L ?、2
?L 的表示式； 3、l n r R 为有心力场中的径向波函数，问
r r r r n n l l l n l n dr r R R ''''∞
*=?δδ2
是否成立？为什么？
4、定态微扰论是否适用于主量子数n 很大的氢原子情况？为什么？
5、有关角动量的定义，我们学过哪两种？哪一种更广泛？自旋角动量是按哪一种定义的？
二、（20分）电子在三维势场 ()x
L D r
e r U ?402+-=πε 中运动，其中D 为常数，求其定态能级及波函数。
三、（20分）试推导 ]?,?[z L y 的对易关系。
四、（20分）在各向同性三维谐振子H
?中加入微扰项xy H λ='?，其中λ为很小的常数，求第一激发态能量的一级修正。
五、（20分）求在态1,3,1,221=jm l l 中的21??L L ?的值，其中角动量21???L L J +=。
P —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 Q
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、说明()x δ的量纲；
2、说明在定态问题中，定态能量的最小值不可能低于势能的最低值；
3、简述占有数表象；
4、试说明对易的厄米算符的乘积也是厄米算符；
5、何为偶极近似？
二、（20分）一粒子的哈密顿算符为
∧
∧
+-?-=20222L r
4e 2B H
πεμ
，其中B
为常数，求其定态能级及本征函数。
三、（20分）已知x ?、z L ?分别为坐标和角动量的分量算符，推导其对易关系 ]?,?[z L x 。
四、（20分）在各向同性三维谐振子的哈氏算符H
?中加入微扰项yz H λ='?，其中λ为很小的常数，求其第一激发态能量的一级近似。
五、（20分）求在y S ?表象下，x S ?的本征值及对应本征函数（粒子s=2
1）。
Q —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 R
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、量子力学克服了旧量子论的哪些不足？
2、写出φ
??=i L z
?的本征值及对应本征函数； 3、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 4、简述态的表象变换的方法；
5、已知总角动量21???J J J +=，试说明0]?,?[21
2=J J 。
二、（20分）令()0?H 为氢原子哈密顿算符，已知一粒子()y
L A H H ???0+=，求此粒子的定态能级及波函数（其中A 为常数）。
三、（20分）设粒子在一维线性谐振子势中运动，求其基态的测不准关系
?)?()(22=???p
x 四、（20分）已知()H H H '+=???0，其中()()()()0000?n
n n E H ψψ=已精确求出，试推导()1n E 、()2n
E 、()1n ψ、()
2n ψ（分别为能量的一级、二级修正及波函数的一级、二级修正）所满足的方程组。
五、（20分）已知总角动量21???L L J +=，1?L 、2?L 的角量子数分别为1
l 、2l ，J ? 的角量子数和磁量子数分别为j 、m ，当体系处在态1,1,2,221-=jm l l 时，问
21??L L ?的值为多少？
R —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 S
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、旧量子论存在哪些不足？
2、对于旧量子论中氢原子的“轨道”，量子力学的解释是什么？
3、两个不对易的力学量一定不能同时确定吗？举例说明；
4、简述变分法的思想；
5、写出电子在z
S ?表象下的三个Pauli 矩阵。
二、（20分）已知一粒子在三维势场 ()202?4x
L A r
e r U +-=πε 中运动，求其定态能级及波函数。
三、（20分）求线性谐振子基态的动能平均值T 。
四、（20分）已知()zx H H
λ+=0??，其中()0?H 为三维各向同性谐振子的哈氏算符，λ为很小的常数，试用微扰方法求其第一激发态能量的一级近似。
五、（20分）已知y x J i J J ???±=±，J ? 为角动量算符，jm 为2?J 、z
J ?共同本征态，证明：1)1()1(?---+=-
m j m m j j jm J
S —1—1
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
— 学年第 学期 级 专业（类）
考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 T
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、简述波函数的Born 统计解释；
2、设ψ是定态Schrodinger 方程的解，说明*ψ也是对应同一本征能级的解，
进而说明无简并能级的波函数一定可以取为实数； 3、引入Dirac 符号的意义何在？ 4、定态微扰论的适用范围是什么？ 5、简述两个角动量耦合的三角形关系。
二、（20分）一粒子在一维势场 ()??
?
??≤≤-∞
=b x 0b x a a x 0＞当当＜当U x U 中运动，求其束缚态
能级所满足的方程（0U ＞0）。
三、（20分）试求线性谐振子基态的势能平均值U 。
四、（20分）已知哈密顿函数???
?
? ??-=3020001ci ci H ω ，求：（1）能量本征值；
（2）当c 很小时，能量修正至二级。 五、（20分）令L ?
为轨道角动量，S ? 为电子自旋角动量，如体系哈氏算符
()
z z z y x S f L L L L e H ??????222++-+=α，其中e 、α、f 均为常数，试求体系定态能级和波函数。
曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
量子物理习题解答 习题17—1 用频率为1ν的单色光照射某一金属时，测得光电子的最大初动能为E k 1；用频率 为2ν的单色光照射另一种金属时，测得光电子的最大初动能为E k 2。那么［ ］ (A) 1ν一定大于2ν。 (B) 1ν一定小于2ν。 (C) 1ν一定等于2ν。 (D) 1ν可能大于也可能小于2ν。 解：根据光电效应方程，光电子的最大初动能为 由此式可以看出，E k 不仅与入射光的频率ν有关，而且与金属的逸出功A 有关，因此我们无 法判断题给的两种情况下光电子的最大初动能谁大谁小，从而也就无法判断两种情况下入射 光的频率的大小关系，所以应该选择答案(D)。 习题17—2 根据玻尔的理论，氢原子中电子在n =5的轨道上的角动量与在第一激发态的角 动量之比为［ ］ (A) 5/2。 (B) 5/3。 (C) 5/4。 (D) 5。 解：根据玻尔的理论，氢原子中电子的轨道上角动量满足 n L = n =1，2，3…… 所以L 与量子数n 成正比。又因为“第一激发态”相应的量子数为n =2，因此应该选择答案 (A)。 习题17—3 根据玻尔的理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为［ ］ (A) 5/9。 (B) 4/9。 (C) 7/9。 (D) 2/9。 解：由巴耳末系的里德佰公式 ?? ? ??-==221211~n R H λν n =3，4，5，…… 可知对应于最大波长m ax λ，n =3；对应于最小波长min λ，n =∞。因此有 H H R R 53631211122max =??? ??-=-λ； H H R R 421112min =??? ??=-λ 所以 最后我们选择答案(A)。 习题17—4 根据玻尔的理论，氢原子中电子在n =4的轨道上运动的动能与在基态的轨道上 运动的动能之比为［ ］ (A) 1/4。 (B) 1/8。 (C) 1/16。 (D) 1/32。 解：根据玻尔的理论，氢原子中电子的动能、角动量和轨道半径分别为 m P E k 22 = ； n P r L n == ；12r n r n = 所以电子的动能 与量子数n 2 成反比，因此，题给的两种情况下电子的动能之比12/42=1/16，所以我们选择 答案(C)。 习题17—5 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
量子力学习题集及解答
目录 第一章量子理论基础 (1) 第二章波函数和薛定谔方程 (5) 第三章力学量的算符表示 (28) 第四章表象理论 (48) 第五章近似方法 (60) 第六章碰撞理论 (94) 第七章自旋和角动量 (102) 第八章多体问题 (116) 第九章相对论波动方程 (128)
第一章 量子理论基础 1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000 A （可见光），1 A （x 射线）以及0.001 A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？ [解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =22 1 υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即 λ νυhc h eV m ===221 ) (1024.1106.11031063.64 19834 A e hc V λλλ?=?????==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏） A 12=λ时 421024.1?=V （伏） A 001.03=λ时 731024.1?=V （伏） 2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。 [解] 普朗克公式为 1 8/33-?=kT hv v e dv c hv d πνρ 单位体积辐射的总能量为 ? ?∞∞-==0 0/331 3T hv v e dv v c h dv U κπρ 令kT hv y = ，则 4 40333418T T e dy y c h k U y σπ=? ??? ??-=?∞ （★） 其中 ?∞-=033341 8y e dy y c h k πσ （★★） （★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中σ是比例常数，可求出如下： 因为 )1()1(1 121 +++=-=-------y y y y y y e e e e e e
第十一章：量子跃迁 [1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求： （1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396） )(34/ /'2 22 2 k k k k k k r q W ωρπ→ = （1） 式中2 ' → k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→ k k r / 仅有一项 2 /k k x )(34/ /'2 22 2 k k k k k k x q W ωρπ = （2） 根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ? ∞ ∞ -= ) 0(' /ψ （3） 式中)(2 )(!)0(ax H k a x k k k πψ = ， μω= a ~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2 12 { 1 )0(1 )0(1 )0(+-++ = k k k k k x ψ ψ α ψ （4） 代入（3），利用波函数的正交归一化关系： mn n x n dx δψ ψ =?)0(* )0( dx k k x k k k k k ? ∞ ∞ -+-++ ? = }2 12 { 1 )0(1 )0(1 *)0(' 'ψ ψ α ψ
1 ,1 ,' ' 2 112 1+-++ = k k k k k k δα δα （5） 由此知道，对指定的初态k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态'k 和初态k 的关系必需是： ,1' -=k k 这时2 1,1' k k x x k k k α= =- （6） ,1' +=k k 这时2 11 ,1'+= =+k k x x k k k α 因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。 （2）每秒钟从基态0=k 跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到： )()2 11( 34102 2 2 210ωρα π q W = )(321010 2 2 2 ωρμωπ q = ~447~ [2]设有一带电q 的粒子，质量为μ，在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长a >>λ。 （1）求跃迁的选择定则。 （2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。 （解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端） a x k a x k πψsin 2)(= （1） 根据此式计算矩阵元： dx a x k x a x k a x a x k k ππsin sin 2 ' '??= ?= dx a x k k a x k k x a a x ?=+--= ' ' ])(cos )([cos 1 ππ 利用不定积分公式： 2 cos sin cos p px x p px pxdx x x + ?= ? (2)
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86' =? ??? ? ??-?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011 5=-?+--kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ
把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=?=????= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ??=-61024.1 以及 eV c e 621051.0?=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ= 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 1．3 氦原子的动能是kT E 2 3 = （k 为玻耳兹曼常数），求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解 根据 eV K k 3101-=?，
第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε
曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
1光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 2光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v 0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 3爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= h ν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子 4康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律：射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ；波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大 5戴维逊-革末实验证明了德布罗意波的存在 6波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波 7波函数的归一化条件 1),,,( 2 ?∞=ψτd t z y x 8定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定
态波函数：描述定态的波函数称为定态波函定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变 9算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。 10厄密算符的定义：如果算符 F ?满足下列等式() ? ?dx F dx F φψφψ**??=，则称F ?为厄密算符。式中ψ和φ为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。 推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。 11厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。 12简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。 13量子力学中力学量运动守恒定律形式是： 01=??????+??=H F i t F dt F d ?,?η 量子力学中的能量守恒定律形式是01=??????=H H i dt H d ?,??η 14 15斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由 16黑体辐射揭示了经典物理学的局限性。 17玻尔的量子化条件：在量子理论中，角动量必须是h 的整数 的近似求解方法。 求出，由求出微扰论：由n n n n E E ψψ)0()0(
量子力学练习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为 λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量 E=kT 23 （k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n = ，相应的波函数 =)(x n ψ()a x a x n a n <<= 0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6 .132-=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() () +-'+'+∑≠0 020m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+∑≠000 2 0m m n n m mn n E E H ψψ， 其中微扰矩阵元 'mn H =()() ?'τψψd H n m 00?； 而 'nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条 件是 本征值， 。
第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时，
量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2.
2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? ＝（＝ ＝ 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量，则: 0dE 1d 2 = ω ； 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知： 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得： 1T 4 = ω
量子力学习题答案
2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为
由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得
∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中
量子物理 一、选择题 1. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0 (使电子从金属逸出需作功eU 0)，则此单色光的波长λ必须满足： [ A ] (A) 0eU hc ≤ λ (B) 0 eU hc ≥λ (C) hc eU 0≤λ (D) hc eU 0≥λ 解：红限频率与红限波长满足关系式hv 0= λhc =eU 0，即0 0eU hc = λ 0λλ≤才能发生光电效应，所以λ必须满足0 eU hc ≤ λ 2. 在X 射线散射实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则入射光光子能量0ε与散射光光子能量ε之比ε0 为 [ B ] (A) 0.8 (B) 1.2 (C) 1.6 (D) 2.0 解： λ εhc = ，0 0λεhc = ，02.1λλ= ，所以 2.10 0==λλεε 3. 以下一些材料的功函数(逸出功)为 铍 -----3.9 eV 钯 ---- 5.0 eV 铯 ---- 1.9 eV 钨 ---- 4.5 eV 今要制造能在可见光(频率范围为3.9×1014 Hz ~ 7.5×1014Hz)下工作的光电管，在这些材料中应选 [ C ] (A) 钨 (B) 钯 (C) 铯 (D) 铍 解：可见光的频率应大于金属材料的红限频率0νh , 才会发生光电效应。这些金属的红限频率由A h =0ν可以得到： 1419 34 )(01086.101063.610 6.15.4?=???= --钨ν(Hz) 1419 34 )(01007.121063.610 6.10.5?=???= --钯ν(Hz) 1419 34 ) (01059.41063.610 6.19.1?=???= --铯ν(Hz) 1419 34 )(01041.91063.610 6.19.3?=???= --铍ν(Hz) 可见应选铯
量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ?） ，故： 2e E P /(2)=μ 69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm --λ====?=?= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 102.07K 1K J 10381.12 3 2323123---?=????== kT E 于是有 一维谐振子处于22 /2 ()x x Ae αψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ= ==α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2.
2222 22 2222 2222 2222 2 *2x /2 x /2 2 22 x /2 x /2 2 2x /2 2x /22 2 2 2 x 2 x /2 2 2 2 4 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=-μ=--αμ =--α- -αμ = α = μ μ ? ? ? ? ? ? ＝（）＝＝2222 22 4x 22 2 4 x x 2 2 2 2 22 242 1()xd (e )21A (){xe e dx} 221A A ()242∞-α-∞∞∞-α-α-∞ -∞ α-α =α--- μαππααα--μμ α ?? 若α，则该态为谐振子的基态，T 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 222d 1 H x 2dx 2 =-+μω μ 它的基态能量01 E 2 = ω选择为参量，则: 0dE 1d 2=ω；22 2dH d 2d 2 ()T d dx 2dx =-=-=μμ dH 2 0T d = 由F-H 定理知：0dE dH 21 00T d d 2 ===ω 可得： 1 T 4 =ω
量子力学基础选择题 （参考答案） 1.下面的各种物体如果对光都没有透射，那么，哪种是绝对黑体？（） A.不辐射可见光的物体； B.不辐射任何光强的物体； C.不反射可见光的物体； D.不反射任何光线的物体 答（D） 2.实验发现热辐射的波长与温度有关，它们的关系是：（） A.温度越高，辐射波长越短 B.温度越高，辐射波长越长 C.温度越低，辐射波长越短 D.温度与波长变化呈线形关系 答（A） 3.黑体辐射的峰值波长与黑体本身温度T的关系：（） A. λm与T成正比 B. λm与T2成正比 C. λm与T4成正比 D. λm与T成反比 答（D） 4. 为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了：（ B ） A.电子的波动性和粒子性 B.电子的波动性 C.电子的粒子性 D.所有粒子具有二项性 答（B） 5.普朗常数的数值和单位: （） A.6.626 ?10-34焦耳/秒 B.6.626 ?10-34焦耳?秒 C.6.626 ?10-36焦耳/秒 D.6.626 ?10-36焦耳?秒 答（B） 6.原子半径的数量级是: （） A.10-10 cm B.10-8 m C.10-10 m D.10-13 m 答（C） 7.已知金属钠的逸出功是2.30eV，光电效应中波长为2000A的紫外线照射钠时，光电子的最大动能越为（eV）：（） A.1.50 B.3.90 C.15.0 D.39.0 答（B） （hc/λ-W）
8.设某金属的逸出功为A ，h 和C 分别为普朗克常数和光速，则该金属光电效应的红限波长为：（ ） A.hc/A B.h/A C.A/h D.A/hc 答（A ） 9.氢原子光谱赖曼系和巴尔末系的系限（最短）波长分别是：（ ） A.R/4和R/9 B.R 和R/4 C.4/R 和9/R D.1/R 和4/R 答（D ） 10.氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是：（ ） A.13.6V 和10.2V B.-13.6V 和-10.2V C.13.6V 和3.4V D.-13.6V 和-3.4V 答（A ） 11.若赖曼系帕邢系巴尔末系第一条谱线的波长分别为λ赖 ，λ帕和λ巴，则它们之间满足：（ ） A. λ赖>λ帕>λ巴 B. λ赖<λ帕<λ巴 C. λ赖< λ巴<λ帕 D. λ巴<λ赖<λ帕 答（C ） 12.如果粒子以速度运动v 时的德布罗意波长为λ,当它的速度增至2v 时,其德布罗意波长应是: （ ） A. 2 λ B. 3λ C. λ /2 D. λ/3 答（C ） 13.微观粒子的状态用波函数表示，对波函数模的平方的统计解释是：（ ） A 、表示微观粒子在时刻的坐标位置； B 、表示时刻，坐标处物质波的强度； C 、表示时刻，坐标处物质波的振幅； D 、表示微观粒子时刻在处单位体积中出现的几率。 答（D ） 14.波函数的三个标准条件是:（ ） A.连续、归一、有限； B.单值、连续、有限； C.单值、归一、有限; D.单值、连续、归一。 答（B ） 15．定态薛定谔方程的解是波函数:（ ） A ．()(,)iEt r t r e ψ-ψ=； B ．()(,)()r t r T t ψψ=； C ．()(,)r t r ψψ=； D ．(,)iEt r t e -ψ=。 答（A ）