第46章 综合型问题
一、选择题
1. (2011 浙江湖州，10，3)如图，已知A 、B 是反比例面数k
y x
=
(k >0,x >0)图象上的两点，BC ∥x 轴,交y 轴于点C ．动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ．过P 作PM ∥x 轴，PN ∥y 轴，垂足分别为M 、N ．设四边形0MPN 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为
【答案】A
2. （2011台湾全区，19）坐标平面上，二次函数362
+-=x x y 的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点？
A ． x ＝50
B ． x ＝－50
C ． y ＝50
D ． y ＝－50 【答案】Ｄ
3. （2011广东株洲，8，3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A ．4米 B ．3米 C ．2米
D ．1米
【答案】D
4. （2011山东聊城，12，3分）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A ．50m B ．100m C ．160m D ．200m
【答案】C
5. （2011河北，8，3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满
足下列函数关系式：61t 5h 2
+--=）（，则小球距离地面的最大高度是（ ）
A ．1米
B ．5米
C ．6米
D ．7米
【答案】C 二、填空题
1. （2011湖南怀化，16，3分）出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出（8-x ）个，则当x=________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大. 【答案】4
2. （2011江苏扬州，17,3分）如图，已知函数x
y 3-
=与bx ax y +=2
（a>0，b>0）的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程bx ax +2x
3
+=0的解为
【答案】－3 三、解答题
1. （2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC 。点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC =4O 米，点B 到水平面距离为2米，OC =8米。 （1）
请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
（2） 为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢
管制作两根支柱P A 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明） （3）
为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点
O 、P 之间的距离是多少？（请写出求解过程）
【答案】
解：（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系………………1分 设抛物线的函数解析式为2
y ax =,………………2分
由题意知点A 的坐标为（4，8）。且点A 在抛物线上，………………3分 所以8=a×2
4，解得a=
12,故所求抛物线的函数解析式为21
2
y x =………………4分 （2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D, ………………5分 则点A 、D 关于OC 对称。
连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求。………………6分 （3）由题意知点B 的横坐标为2，且点B 在抛物线上， 所以点B 的坐标为（2，2）………………7分
又知点A 的坐标为（4，8），所以点D 的坐标为（-4，8）………………8 设直线BD 的函数解析式为 y=kx+b ，………………9 则有22
48
k b k b +=??
-+=? (10)
解得k=-1,b=4.
故直线BD 的函数解析式为 y=-x+4，………………11 把x=0代入
y=-x+4，得点P 的坐标为（0，4）
两根支柱用料最省时，点O 、P 之间的距离是4米。 (12)
2. （2011四川重庆，25，10分）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低
的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表：
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：
(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x 取整数)，10至12月的销售量p2(万件)p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整数)．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；
(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1 a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．(参考数据：992＝9801，982＝9604，972＝9409，962＝9216，952＝9025)
【答案】(1)y1 与x之间的函数关系式为y1＝20x＋540，
y2与x之间满足的一次函数关系式为y2＝10x＋630．
(2)去年1至9月时，销售该配件的利润w＝p1(1000－50－30－y1)
＝(0.1x＋1.1)(1000?50?30?20x?540)
＝(0.1x＋1.1)(380?20x)＝－2x2＋160x＋418
＝－2( x －4)2＋450，(1≤x≤9，且x 取整数)
∥－2＜0，1≤x≤9，∥当x ＝4时，w 最大＝450(万元)；
去年10至12月时，销售该配件的利润w ＝ p2(1000－50－30－y2) ＝(－0.1x ＋2.9)(1000－50－30－10x －630)
＝(－0.1x ＋2.9)(290－10x)＝( x －29)2，(10≤x≤12，且x 取整数)， 当10≤x≤12时，∥x ＜29，∥自变量x 增大，函数值w 减小， ∥当x ＝10时，w 最大＝361(万元)，∥450＞361，
∥去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元． (3)去年12月份销售量为：－0.1×12+0.9=1.7（万件）， 今年原材料的价格为：750+60=810（元）， 今年人力成本为：50×（1+20﹪）=60（元），
由题意，得5×[1000（1+a ﹪）－810－60－30]×1.7（1－0.1a ﹪）=1700，
设t= a ﹪，整理，得10t2－99t+10=0，解得t=99±940120，∥972＝9409，962＝9216，而
9401更接近9409．∥9401=97． ∥t1≈0.1或t2≈9.8，∥a1≈10或a2≈980． ∥1.7（1－0.1a ﹪）≥1，∥a2≈980舍去，∥a≈10． 答：a 的整数值为10．
3. （2011山东潍坊，22，10分）2011年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y 元/千克与月份x 呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份x 呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克. （1）分别求出当1≤x ≤7和7≤x ≤12时，y 关于x 的函数关系式；
（2）2011年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？ （3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？
【解】（1）当17x ≤≤时，设y kx m =+， 将点（1，8）、（7，26）分别代入y kx m =+，得
8,726.k m k m +=??+=?解之，得5,
3.
m k =??
=? ∥函数解析式为35y x =+.
当712x ≤≤时，设2
y ax bx c =++，
将（7，26）、（9，14）、（12，11）分别代入2
y ax bx c =++，得：
49726,81914,1441211.a b c a b c a b c ++=??++=??++=?解之，得1,22,131.a b c =??=-??=?
∥函数解析式为2
22131y x x =-+.
（2）当17x ≤≤时，函数35y x =+中y 随x 的增大而增大， ∥当1x =最小值时，3158y =?+=最小值.
当712x ≤≤时，()2
2221311110y x x x =-+=-+， ∥当11x =时，10y =最小值.
所以，该农产品平均价格最低的是1月，最低为8元/千克. （3）∥1至7月份的月平均价格呈一次函数， ∥4x =时的月平均价格17是前7个月的平均值.
将8x =，10x =和11x =分别代入2
22131y x x =-+，得19y =，11y =和10y =. ∥后5个月的月平均价格分别为19，14，11，10，11. ∥年平均价格为177191411101146
15.3123
y ?+++++=
=≈（元/千克）.
当3x =时，1415.3y =<，
∥4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格.
4. （2011四川成都，26,8分）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD ．已知木栏总长为120米，设A B 边的长为x 米，长方形ABCD 的面积为S 平方米． (1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)．当x 为何值时，S 取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值；
(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为
1O 和2O ，且1O 到AB 、BC 、AD 的距离与2O 到CD 、BC 、
AD 的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(l)中S 取得最大值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．
【答案】（1）1800)30(2)2120(2
+--=-=x x x S ，当30=x 时，S 取最大值为1800． （2）如图所示，过1O 、2O 分别作到AB 、BC 、AD 和CD 、BC 、AD 的垂直，垂足如图，
根据题意可知，I O H O G O J O F O E O 222111=====；当S 取最大值时，AB =CD =30，
BC =60，
所以152
1
O O O O 2211=====AB I G J F ， ∥15O O 21==H E ，
∥301515602121=--=--=H O E O EH O O ， ∥两个等圆的半径为15，左右能够留0.5米的平直路面，而AD 和BC 与两圆相切，不能留0.5米的平直路面.
6. （2011江苏无锡，25，10分）(本题满分10分)张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示(不包含端点A ，但包含端点C )。 (1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w 最大？最大利润是多少？
【答案】
解：(1)当0 < x ≤ 20时，y = 8000．……………………………………………………(1分)
y
x
4 000
8 000 20 40
A
B
C O 2
O 1
围墙
D
A
B C
O 2
O 1
围墙D A B
C
E H I
J
当20 < x ≤ 40时，设BC 满足的函数关系式为y = kx + b ，则
???20k + b = 8 00040k + b = 4 000
．………………(2分) 解得k = ?200，b = 12 000，∥y = ?200x + 12 000． ………………(4分) (2)当0 < x ≤ 20时，老王获得的利润为w = (8000 ? 2800)x …………(5分) =5 200x ≤ 104 000，此时老王获得的最大利润为104 000元．…………(6分)
当20 < x ≤ 40时，老王获得的利润为w = (?200x + 12 000 ? 2800)x …………(7分) = ?200(x 2 ? 46x ) = ?200(x ? 23)2 + 105 800．………………………………(8分) ∥当x = 23时，利润w 取得最大值，最大值为105 800元．………………………(9分) ∥105 800 > 104 000，∥当张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为105 800元．………………………………………………………(10分) 7. （2011湖北武汉市，23，10分）（本题满分10分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．
（1）若平行于墙的一边的长为y 米，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量x 的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x 的取值范围．
【答案】解：（1）y =30－2x (6≤x ＜15)
（2）设矩形苗圃园的面积为S 则S =xy=x (30－2x )=－2x 2＋30x
∥S =－2(x －7.5)2＋112.5由（1）知，6≤x ＜15∥当x =7.5时,S 最大值＝112.5
即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5 （3）6≤x ≤11
8. （2011湖北黄冈，23，12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当
地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润()2
16041100
P x =-
-+（万元）．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润()()2
99294101001601005
Q x x =-
-+-+（万元） ∥若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
∥若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ ∥根据∥、∥，该方案是否具有实施价值？
【答案】解：∥当x=60时，P 最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元． ∥前两年：0≤x≤50，此时因为P 随x 增大而增大，所以x=50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．
后三年：设每年获利为y ，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x ， 所以y=P ＋Q=()216041100x ??-
-+????+299294160100
5x x ??
-++???? =260165x x -++=()2
301065x --+，
表明x=30时，y 最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元， 故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元． ∥有极大的实施价值． 9. （2011贵州贵阳，25，12分）
用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图○1○2○3中的一种）．
设竖档AB =x 米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD 、AB 平行）
（1）在图○1中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x 为多少时，矩形框架ABCD 的面积为3平方米？（4分）
（2）在图○2中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x 为多少时，矩形框架ABCD 的面积S 最大？最大面积是多少？（4分）
（3）在图○3中，如果不锈钢材料总长度为a 米，共有n 条竖档，那么当x 为多少时，矩形框架ABCD 的面积S 最大？最大面积是多少？
○1 ○2 ○3
（第25题图）
【答案】解：
（1）当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC
=12-3x 3=4-x ，
∥x （4-x ）=3． 解得，x =1或3．
（2）当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，BC =12-4x
3，矩形框架ABCD 的面
积S =x ·12-4x 3=-43x 2
+4x ．
当x =-42×（-43
）
=3
2时，S =3． ∥当x =3
2
时时，矩形框架ABCD 的面积S 最大，最大面积为3平方米．
（3）当不锈钢材料总长度为a 米，共有n 条竖档时，BC =a -nx
3，矩形框架ABCD 的面积
S =x ·a -nx 3=-n 3x 2+a 3
x ．
当x =-a 3
2×（-n 3
）
=a 2n 时，S =a 2
12n ∥当x =a 2n 时，矩形框架ABCD 的面积S 最大，最大面积为a 2
12n 平方米
10．（2011江苏盐城，26，10分）利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元； 信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元，
乙商品零售单价比进货单价的2倍少 1元．
信息3：按零售单价购买 甲商品3件和乙商品2件， 共付了19元.
请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元. 在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？
【答案】（1）设甲商品的进货单价是x 元，乙商品的进货单价是y 元．
根据题意，得???x +y =53(x +1)+2(2y -1)=19 解得???x =2y =3
答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元． （2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s 元，则 s =(1-m )(500+100×m 0.1)+(5-3-m )(300+100×m
0.1)
即 s =-2000m 2+2200m +1100 =-2000(m -0.55)2+1705. ∥当m =0.55时，s 有最大值，最大值为1705.
答：当m 定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.
11. （2011湖北鄂州，23，12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润
()2
16041100
P x =-
-+（万元）
．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润
()()2
99294101001601005
Q x x =-
-+-+（万元） ∥若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
∥若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ ∥根据∥、∥，该方案是否具有实施价值？
【答案】解：∥当x=60时，P 最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元． ∥前两年：0≤x≤50，此时因为P 随x 增大而增大，所以x=50时，P 值最大且为40万元，
所以这两年获利最大为40×2=80万元．
后三年：设每年获利为y ，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x ， 所以y=P ＋Q =()216041100x ??-
-+????+2992941601005x x ??
-++???
? =260165x x -++=()2
301065x --+，
表明x=30时，y 最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元， 故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元． ∥有极大的实施价值．
12. （2011湖北荆州，23，10分）（本题满分10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买∥型、∥型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.
型 号
金 额
∥型设备
∥型设备
投资金额x （万元） x 5 x 2 4 补贴金额y （万元）
y 1=kx (k≠0)
2
y 2=ax 2+bx (a≠0)
2.4
3.2
（1）分别求出1y 和2y 的函数解析式；
（2）有一农户同时对∥型、∥型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额. 【答案】解：（1）由题意得：∥5k=2，k=5
2
∥x y 5
21=
∥???=+=+2.34164.224b a b a ，解之得：???
????=-=58
5
1b a ，∥x x y 585122+-=
（2）设购∥型设备投资t 万元，购∥型设备投资（10-t ）万元，共获补贴Q 万元 ∥t t y 524)10(521-=-=
，t t y 5
8
5122+-=
5
29
)3(5158515242221+
--=+--=+=t t t t y y Q ∥当t=3时，Q 有最大值为5
29
，此时10-t=7(万元)
即投资7万元购∥型设备，投资3万元购∥型设备，共获最大补贴5.8万元.
13. （2011浙江金华，23，10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n 个边长为1的正方形并排组成矩形OABC ，相邻两边OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上，设抛物线y =ax 2+bx +c (a <0)过矩形顶点B 、C .
（1）当n ＝1时，如果a =－1，试求b 的值；
（2）当n ＝2时，如图2，在矩形OABC 上方作一边长为1的正方形EFMN ，使EF 在线段CB 上，如果M ，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；
（3）将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转，使得点B 落到x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O ， ∥试求出当n =3时a 的值； ∥直接写出a 关于n 的关系式.
解：（1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x =1
2
， ∥1
22
b a -
=,得b = 1； ……2分 （2）设所求抛物线解析式为2
1y ax bx =++，
由对称性可知抛物线经过点B （2，1）和点M （1
2
，2）
N
M
F E y x
C
B
A
O
图2
y
x
C
B
A
O
…
CD = 1.1厘
y
x
C B
A
O
…
x
y
O
C E
A B
M N F
y x
O C
A
B
∥142111
2 1.42a b a b =++???=++??， 解得4,3
8.3a b ?=-????=??
∥所求抛物线解析式为248
133
y x x =-
++；……4分 （3）∥当n =3时，OC=1，BC =3， 设所求抛物线解析式为2
y ax bx =+，
过C 作CD ∥OB 于点D ，则Rt ∥OCD ∥Rt ∥CBD ， ∥13OD OC CD BC ==,
设OD =t ，则CD =3t ， ∥222OD CD OC +=，
∥2
2
2
(3)1t t +=， ∥1101010
t ==, ∥C （
1010，3
1010
）, 又 B （10，0），
∥把B 、C 坐标代入抛物线解析式，得
010********.10
1010a b a b ?=+?
?=+?
?，
解得:a =103-； ……2分 ∥21
n a n
+=-. ……2分
14. （2011福建福州，22，14分）已知,如图11,二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象的顶点为H ,与x 轴交于A 、B 两点(B 在A 点右侧),点H 、B 关于直线l :333y x =+对称.
(1)求A 、B 两点坐标,并证明点A 在直线l 上; (2)求二次函数解析式;
(3)过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点,M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,求HN NM MK ++和的最小值.
x
y
O A
B
C
D
【答案】解:(1)依题意,得2
230ax ax a +-=(0)a ≠
解得13x =-,21x = ∥B 点在A 点右侧
∥A 点坐标为(30)-,,B 点坐标为(10), ∥直线l
:y =
当3x =-时
,(3)0y =-=
∥点A 在直线l 上
(2)∥点H 、B 关于过A 点的直线l :y x 对称
∥4AH AB ==
过顶点H 作HC AB ⊥交AB 于C 点 则122AC AB ==,HC =
∥顶点(1,H -
图11
备用图
把(1,H - 代入二次函数解析式,
解得a = ∥
二次函数解析式为2y =+
(3)直线AH
的解析式为y =+ 直线BK
的解析式为y =-
由y x y ??=+??=-?
解得{
x y ==
即K ,则4BK = ∥点H 、B 关于直线AK 对称
∥HN MN +的最小值是MB ,过K 作KD x ⊥轴于D
点。KD KE == 过点K 作直线AH 的对称点Q ,连接QK ,交直线AH 于E 则QM MK =
,QE EK ==,AE QK ⊥
∥BM MK +的最小值是BQ ,即BQ 的长是HN NM MK ++的最小值 ∥BK ∥AH
∥90BKQ HEQ ∠=∠=? 在Rt BKQ 由勾股定理得8QB = ∥HN NM MK ++的最小值为8 （不同解法参照给分）
15. （2011广东广州市，24，14分）
已知关于x 的二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象经过点C （0，1），且与x 轴交于不同的两点A 、B ，点A 的坐标是（1，0）． （1）求c 的值； （2）求a 的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C 、D 两点，设A 、B 、C 、D 四点构成的四边形的对角线相交于点P ，记∥PCD 的面积为S 1，∥P AB 的面积为S 2，当0＜a ＜1时，求证：S 1－S 2为常数，并求出该常数． 【答案】（1）c =1
（2）将C （0，1），A （1，0）得 a ＋b ＋1=0 故b=―a ―1 由b 2－4ac ＞0，可得 (－a －1)2－4a ＞0 即(a －1)2＞0 故a ≠1，又a ＞0
所以a 的取值范围是a ＞0且a ≠1．
（4） 由题意0＜a ＜1，b=―a ―1可得－b
2a
＞1，
故B 在A 的右边，B 点坐标为(－b
a －1，0)
C （0，1），
D （－b
a ，1）
|AB|=－b a －1－1=－b
a －2
|CD|=－b
a
S 1－S 2＝S ∥CDA －S ABC =12×|CD|×1－1
2
×|AB|×1
=12×（－b a ）×1－12×（－b
a －2）×1
=1
所以S 1－S 2为常数，该常数为1．
16. （2011山东日照，24，10分）如图，抛物线y=ax 2+bx （a 0）与双曲线y =
x
k
相交于点A ，B . 已知点B 的坐标为（-2，-2），点A 在第一象限内，且tan∥AOx =4. 过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．
（1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算∥ABC 的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D ，使∥ABD 的面积等于∥ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
【答案】（1）把点B （-2，-2）的坐标，代入y =
x
k
， 得：-2=
2
-k
，∴k =4． 即双曲线的解析式为：y =
x
4
． 设A 点的坐标为（m ，n ）。∴A 点在双曲线上，∴mn =4．…∴ 又∴tan∴AOx =4，∴
n
m
=4， 即m =4n ．…∴ 又∴，∴，得：n 2=1,∴n =±1.
∴A 点在第一象限，∴n =1,m =4 ， ∴A 点的坐标为（1，4） 把A 、B 点的坐标代入y=ax 2+b x ，得：??
?-=-+=b
a b a 242,
4解得a =1，b =3；
∴抛物线的解析式为：y=x 2+3x ；（2）∴AC ∴x 轴，∴点C 的纵坐标y =4， 代入y=x 2+3x ，得方程x 2+3x-4=0，解得x 1=-4，x 2=1（舍去）． ∴C 点的坐标为（-4，4），且AC =5， 又∴ABC 的高为6，∴∴ABC 的面积=
2
1
×5×6=15 ； （3）存在D 点使∴ABD 的面积等于∴ABC 的面积. 过点C 作CD ∴AB 交抛物线于另一点D ．
因为直线AB 相应的一次函数是：y =2x +2，且C 点的坐标为（-4，4），CD ∴AB ， 所以直线CD 相应的一次函数是：y =2x +12.
解方程组???+=+=,
122,32x y x x y 得???==,18,3y x 所以点D 的坐标是（3，18）
17. （2011浙江省，24，14分）如图，在直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2
（a ≠0）与x 轴交与点A （-1,0）、B （3,0）两点，抛物线交y 轴于点C （0,3），点D 为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M 、N 两点，过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ． (1)求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)问点P 在何处时，线段PQ 最长，最长为多少？
(3)设E 为线段OC 上的三等分点，链接EP ，EQ ，若EP=EQ ，求点P 的坐标．
【答案】：（1）由题意，得：
?????==++=+-3
390c c b a c b a 解得：???
??==-=321
c b a
∴322++-=x x y =4)1(2
+--x ，顶点坐标为（1，4）. （2）由题意，得 P(x, x-1) ，Q (x,
322
++-x x )， ∴ 线段PQ=322++-x x -( x-1)= 42
++-x x = 41
4)21(2+--x 当x=21时，线段PQ 最长为41
4
。
（3）∴E 为线段OC 上的三等分点，OC=3, ∴E(0，1)，或E(0，2) ∴EP=EQ ，PQ 与y 轴平行，
∴ 2×OE=322
++-x x +( x-1)
当OE=1时，x 1=0，x 2=3，点P 坐标为（0，-1）或（3，2）。 当OE=2时，x 1=1，x 2=2， 点P 坐标为（1，0）或（2，1）。
18. （2011浙江温州，22，10分）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（－2，4），过点A 作AB ∥y 轴，垂足为B ，连结OA ． (1)求∥OAB 的面积；
(2)若抛物线22y x x c =--+经过点A ． ∥求c 的值；
∥将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在∥OAB 的内部（不包括∥OA B 的边界），求m 的取值范围（直接写出答案即可）．
【答案】 解：(1) ∴点A 的坐标是（－2，4），AB ∴y 轴， ∴AB =2，OB ＝4， ∴11
24422
OAB S AB OB ?=
??=??= (2)∴把点A 的坐标（－2，4）代入22y x x c =--+， 得2(2)2(2)4c ---?-+=，∴c ＝4 ∴∴2224(1)4y x x x =--+=-++，
∴抛物线顶点D 的坐标是(－1，5)，AB 的中点E 的坐标是（－1，4），OA 的中点F 的坐标是（－1，2）， ∴m 的取值范围为l 第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·浙江湖州，1，3分)－5的绝对值是() A．－5 B．5 C．－1 5 D. 1 5 解析∵|－5|＝5，∴－5的绝对值是5，故选B. 答案 B 2．(2015·浙江嘉兴，1，4分)计算2－3的结果为() A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析2－3＝－1，故选A. 答案 A 3．(2015·浙江绍兴，1，4分)计算(－1)×3的结果是() A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析(－1)×3＝－3，故选A. 答案 A 4．(2015·浙江湖州，3，3分)4的算术平方根是() A．±2 B．2 C．－2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2，故选B. 答案 B 5．(2015·浙江宁波，3，4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为() A．0.6×1013元B．60×1011元 C．6×1012元D．6×1013元 解析6万亿＝60 000×100 000 000＝6×104×108＝6×1012，故选C.答案 C 6．(2015·江苏南京，5，2分)估计5－1 2介于() A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间解析∵5≈2.236，∴5－1≈1.236， ∴5－1 2≈0.618，∴ 5－1 2介于0.6与0.7之间． 答案 C 7．(2015·浙江杭州，2，3分)下列计算正确的是() A．23＋26＝29B．23－26＝2－3 C．26×23＝29D．26÷23＝22 解析只有“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，故选C. 答案 C 8．★(2015·浙江杭州，6，3分)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝() A．6 B．7 C．8 D．9 解析∵81＜90＜100，∴9＜90＜100.∴k＝9. 答案 D 9．(2015·浙江金华，6，3分)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－3的点最接近的是 () A．点A B．点B C．点C D．点D 2015 年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 1 x2 +1，点 C 的坐标为 (–4， 0)，平行4 四边形 OABC 的顶点 A，B 在抛物线上， AB 与 y 轴交于点M，已知点 Q(x，y)在抛物线上，点 P(t ，0)在 x 轴上 . (1)写出点 M 的坐标； (2)当四边形 CMQP 是以 MQ ， PC 为腰的梯形时 . ①求 t 关于 x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ②当梯形 CMQP 的两底的长度之比为1： 2 时，求t 的值 . 11 x210 1 4 (1)M(0,2)(2)1AC:y= 2 x+1.PQ // MC.x t= 2 2.如图，已知在矩形 ABCD 中， AB＝ 2， BC＝ 3， P 是线段 AD 边上的任意一点（不含端点 A、 D ），连结 PC，过点 P 作 PE⊥ PC 交 AB 于 E （1）在线段 AD 上是否存在不同于 P 的点 Q，使得 QC⊥ QE？若存在，求线段 AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （ 2）当点 P 在 AD 上运动时，对应的点 E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围． A P D E B C （3 ）存在，理由如下： 如图 2 ，假设存在这样的点Q，使得 QC ⊥ QE. 由（ 1）得：△ PAE ∽ △ CDP ， ∴ ， ∴ ， ∵QC ⊥ QE ，∠ D＝ 90°， ∴∠ AQE ＋∠ DQC ＝ 90 °,∠ DQC ＋∠ DCQ ＝ 90 °， ∴∠ AQE= ∠DCQ. 又∵∠ A=∠ D=90°， ∴△ QAE ∽ △ CDQ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即， ∴ ， ∴ ， ∴. ∵AP≠ AQ，∴ AP ＋ AQ ＝ 3.又∵AP≠ AQ，∴AP≠，即 P 不能是 AD 的中点，∴当P是 AD 的中点时，满足条件的Q点不存在， 综上所述，的取值范围7 ≤＜ 2；8 3.如图，已知抛物线y＝－1 x2＋ x＋ 4 交x 轴的正半轴于点 A ，交y 轴于点 B ．2 （ 1）求 A 、B 两点的坐标，并求直线（ 2）设 P（ x，y）（ x＞ 0）是直线为对角线作正方形 PEQF，若正方形（ 3）在（ 2）的条件下，记正方形 AB 的解析式； y＝ x 上的一点， Q 是 OP 的中点（ O 是原点），以PQ PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； PEQF 与△ OAB 公共部分的面积为S，求 S 关于 x 的函 数解析式，并探究S 的最大值． (1) 令 x=0, 得 y=4 即点 B 的坐标为 (0,4) 令y=0, 得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2 或 x=4 ∴点 A 的坐标为 (4,0) 直线 AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2) 由(1),知直线AB的解析式为y=-x+4 方程 一、单选题 1．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有个，小房间有个.下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【来源】广东省深圳市2018年中考数学试题 【答案】A 2．学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（） A. B. C. D. 【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷 【答案】A 3．方程组的解是（） A. B. C. D. 【来源】天津市2018年中考数学试题 【答案】A 【解析】分析：根据加减消元法，可得方程组的解． 详解：，①-②得 x=6，把x=6代入①，得y=4，原方程组的解为．故选A. 点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键． 4．夏季来临，某超市试销、两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元， 型风扇每台200元，型风扇每台150元，问、两种型号的风扇分别销售了多少台？若设型风扇销售了台，型风扇销售了台，则根据题意列出方程组为（） A. B. C. D. 【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题 5．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题 【答案】B 【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可． 详解：把x=1代入方程得1+k-3=0， 解得k=2． 故选：B． 点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若 ,则的值是( ) A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 不存在 【来源】山东省潍坊市2018年中考数学试题 【答案】A 7．某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（） A. 2% B. 4.4% C. 20% D. 44% 【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题 【答案】C 8．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（） A. ﹣2 B. 1 C. 2 D. 0 【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题 【答案】D 【解析】分析：根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解． 详解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2， 中考数学试题分类 荟萃之基本 图形 1?如图1,已知△ ABC的周长为m，分别连接的中点 A, B" Ci得厶ABiCi，再连接AiB，B1C1, GA,的中点 A2，B2, C2 得厶A Q B2C2，再连接A2B2, B2C2, C2A2 的中点 A B3，C3得厶A3B3C3L L，这样延续下去，最后得△ A n B n C n. 设^ A1B1C1的周长为11, △ A Q B2C2的周长为12 , △ A3 B3C3的周长为l3 L l n , B X 则I n _____________________ . (06广东梅州) 2.如图 2，已知直线 AB // CD , / ABE 60o , / CDE 20o , 度.(06广东湛江) ②OB = OC ;③/ ABE = Z ACD ; @ BE = CD 。 (1) 请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确 . 命题的条件是 —和—，命题的结论是 —和—(均填序号)。 (2) 证明你写出的命题。 已知： 求证： 证明： (06广东佛山) B 9. 已知：Rt A OAB 在直角坐标系中的位置如图所示， P(3， 4)为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段 PC 把Rt A OAB 分割成两部分。 问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与 Rt A OAB 相似？(注：在图 3.如图，若△ OAD^A OBC 且/ 0=65。，/ C=20°， 则/ OAD= . (06 珠海) 4.如图 4，已知 AD AE , AB AC . (1)求证：/ B / C ; (2)若/ A 50°，问△ ADC 经过怎样的变换能与 (06广东肇庆) 5.在△ ABC 中， 1 CF -BC . 2 (1) 求证： (2) 求证： AB AC ，点D ，E 分别是 DE BE AB, AC 的中点 F 是BC 延长线上的一点，且 图5 CF ; EF . (06广东肇庆) AB// CD,若/ 2=135 °，则么/ l 的度数是() (B)45 ° (C)60 ° (D)75 ° 6. 如图1， (A)30 ° 7. 已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是 (A)l ，2，3 (B)2 ，5，8 (C)3 ，4，5 (D)4 ，5，10 .(06 广州) .(06广州) 8..如图，D 、E 分别为△ ABC 的边AB 、AC 上的点, BE 与CD 相交于O 点。现有四个条件：① AB = AC ; 2010年中考数学试题分类汇编 压轴题(二) 24. (金华卷)如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为（3，0）和(0， .动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，OB ，BA 上运动的速度分别为1 2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以3 3 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动． 请解答下列问题： （1）过A ，B 两点的直线解析式是 ▲ ； （2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合； （3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F 为菱形，则t 的值是多少？ ② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ?若存 在, 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）333+-=x y ；………4分 （2）（0,3），29= t ； (4) （3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，G 为垂足（如图1 ∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴PG OP =﹒ 又∵t FG OE 33 = =,∠=A 60°,∴t FG AG 3160 tan 0 == 而t AP =，∴t OP -=3,t AG AP PG 3 2 =-= 由t t 3 2 3=-得 59=t ；…………………1分 当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P 在线段BA 上时， 过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M 分别为垂足（如图2） ∵t OE 33= ,∴t BE 33 33-=,∴3360tan 0 t BE EF -== ∴6 921t EF EH MP -= = =， 又∵)6(2-=t BP 因式分解 一.选择题 1.下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）A．B．C．D． 答案：C 2.下列分解因式正确的是（） A．B． C．D． 答案：C 3.若关于x的多项式x2－px－6含有因式x－3，则实数p的值为（）． A．－5 B．5 C．－1 D．1 答案：A 4. 有两个多项式M=2x2＋3x＋1，N=4x2－4x－3，则下列哪一个为M与N的公因式？( ) C (A) x＋1 (B) x－1 (C) 2x＋1 (D) 2x－1 答案：C 5.把分解因式得：，则的值为（） A．2 B．3 C． D． 答案：A 二.填空题 1.因式分解：3y2-27= . 答案： 2.分解因式： 答案： 3.(浙江温州)分解因式：． 答案： 4．(山东日照)分解因式:=____________． 答案： 6、(浙江义乌)因式分解：．. 答案： 7（浙江金华）、如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式的值是cm。 答案：－32； 8.(浙江宁波) 分解因式． 答案： 9.（山东威海）分解因式＝． 答案： 10.（年山东省滨州市）分解因式：(2a+b)2-8ab=_______________.答案： 11.（年山东省临沂市）分解因式：＝___________. 答案：a（3＋a）（3－a） 12.（年山东省潍坊市）分解因式x3+6x2-27x=________________. 答案：. x(x-3)(x+9) 13.分解因式：． 答案： 14.(年浙江省绍兴市)分解因式 答案： 15.(年沈阳市)分解因式：． 答案： 16.（年四川巴中市）把多项式分解因式，结果为． 答案： 17.(年大庆市)分解因式：． 答案： 18. （福建省泉州市）分解因式：=_______________。答案：(x+2)(x-2) 19.（年湖南省邵阳市）分解因式：．答案： 20.（江西南昌）分解因式：= ． 答案：x(x+2)(x-2) 21.（年浙江省衢州）分解因式： 答案： 22．（年山东省）分解因式:=____________．答案： 2011年全国各地中考数学试卷试题分类汇编网格专题 一、选择题 1．（2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（ ） A 、 55 B 、552 C 、5 D 、3 2 答案：B 2.（2011年北京四中模拟28）下列位于方格纸中的两个三角形，既不成轴对称又不成中心对称的是（ ） （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 答案：A 3.(2011山西阳泉盂县月考)如图△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC 等于（ ） A 、5 B 、 552 C 、 55 D 、3 2 答案：C 4.(2011北京四中模拟)如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、K 四点中的 ( ) A ．F B ．G C ．H D ． K （第1题） 答案：C 5．（2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（） A、 5 5 B、 5 5 2 C、5 D、 3 2 答案：B 6.（2011年北京四中模拟28）下列位于方格纸中的两个三角形，既不成轴对称又不成中心对称的是（） （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 答案：A 7. （2011浙江慈吉模拟）如图所示网格中, 已知②号三角形是由①号三角形经旋转变化得到的, 其旋转中心是下列各点中的（） A. P B. Q C. R D. S 答案：C 8. （安徽芜湖2011模拟）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中 建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（－2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A.（－1，2）B. （1，－1）C. （－1，1）D. （2，1）. 答案: C （第5题） 2010年中考数学试题分类汇编专题——因式分解(填空题) 姓名: 1．（2010江苏苏州）分解因式a 2－a= ． 2．（2010安徽芜湖）因式分解：9x 2－y 2－4y －4＝__________． 3．（2010广东广州，15，3分）因式分解：3ab 2＋a 2b ＝_______． 4．（2010江苏南通）分解因式：2ax ax -＝ ． 5．（2010江苏盐城）因式分解：=-a a 422 ． 6．（2010浙江杭州）分解因式 m 3 – 4m = . 7．（2010浙江嘉兴）因式分解：=+-m mx mx 2422 ． 8．（2010浙江绍兴）因式分解：y y x 92-=_______________. 9．（2010 浙江省温州）分解因式：m 2—2m= ． 10．（2010 浙江台州市）因式分解：162-x = ． 11．（2010山东聊城）分解因式：4x 2－25＝_____________． 12．（2010 福建德化）分解因式：442++a a ＝_______________ 13．（2010 福建晋江）分解因式：26_________.x x += 14．（2010江苏宿迁）因式分解：12-a = ． 15．（2010浙江金华）分解因式=-92x . 16．（2010 山东济南）分解因式2x 2-8=_____ ． 17．（2010 浙江衢州） 分解因式：x 2-9= ． 全品中考网 18．（2010福建福州）因式分解：x 2－1＝_______． 19．（2010江苏无锡）分解因式：241a -= ． 20．（2010年上海）分解因式：a 2 ─ a b = ______________. 21．（2010四川宜宾）分解因式：2a 2– 4a + 2＝ 22．（2010 黄冈）分解因式：x 2－x ＝__________. 23．（2010 山东莱芜）分解因式：=-+-x x x 232 ． 24．（2010 广东珠海）分解因式22ay ax -=________________. 25．（2010福建宁德）分解因式：ax 2＋2axy ＋ay 2＝______________________. 26．2010江西）因式分解：=-822a ． 27．（2010四川 巴中） 把多项式2336x x +-分解因式的结果是 28．（2010江苏常州）分解因式：22 4a b -= 。 全国各地中考数学试题分类解析 第一篇 基础知识篇 第一单元 实数 考点1 实数分类 [考题精选]例1、（2000年哈尔滨市中考题）在实数80108.0,71,3, 13.,2..πo 中，无理数的个数为（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 例2、（2000年四川省中考题）在实数16,,14.3,4,5,2o --中，无理数共有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 考点2 倒数、相反数 [考题精选]例1、（2000年广西壮族自治区中考题）如果211,21-=+ =b a ，那么a 与b （ ） A 、互为倒数 B 、互为相反数 C 、互为有理化因式 D 、相等 例2、（2000年陕西省汉中市中考题）一个数的相反数的倒数是,2 12-则这个数是（ ） A 、-2/5 B 、5/2 C 、2/5 D 、-5/2 考点3 绝对值 [考题精选]例1、（2000年宿迁市中考题）若a ≤0，则a+|a|= 例2、（2000年河北省中考题）已知：|x|=3 , |y|=2 ,且xy<0，则x+y 的值等于 例3、（2000年潜江市中考题）已知|a+b|+|a-b|-2b=0，在数轴给出关于的四种位置 关系，则可能成立的有（ ） A 、1种 B 、2种 C 、3种 D 、4种 例4、（1999年十堰市中考题）对于负实数a ，下列各式成立的是（ ） A 、|a-(-a)|=2a B 、|a-(-a)|= -2a C 、|a-(-a)|=0 D 、|a-(-a)|= ±a 考点4 平方根与算术平方根 [考题精选]例1、（2000年荆门市中考题）(-6)2的算术平方根是 例2、（2000年孝感市中考题）16的平方根是（ ） A 、2 B 、±2 C 、4 D 、±4 考点5 近似数与不效数字 [考题精选]例1、（2000年河南省中考题）用四舍五入法，对200626取近似值，保留四个有效数字， 200626≈ 例2、（1997年四川省中考题）近似数0.03020的有效数字的个数的精确试分别是 2019年中考数学真题分类汇编—几何题汇总 一、选择题 1．【2019连云港市】如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是 A．18m2B．m2C．2D2 （第1 题）（第2题）（第3题） 2．【2019宿迁】一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（ ） A．105°B．100°C．75°D．60° 3．【2019宿迁】一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（ ） A．20πB．15πC．12πD．9π 4、【2019常州】下图是某几何体的三视图,该几何体是() A. 圆柱 B. 正方体 C. 圆锥 D.球 5、【2019常州】如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是( ) A、线段PA B、线段PB C、线段PC D、线段PD 6．【2019镇江】一个物体如图所示，它的俯视图是（ ） A．B． C．D． 7、【2019淮安】下图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是 （ ） 8．【2019泰州】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、 G 在小正方形的顶点上，则△ABC 的重心是（ ） A ．点D B ．点E C ．点F D ．点G 9、【2019扬州】 已知n 是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2,n+8,3n ，则满足 条件的n 的值有（ ）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 10．【2019连云港市】如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AB ．将矩形ABCD 对折，得 到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：① △CMP 是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③PC ＝ ；④BP ＝AB ；⑤点 F 是△CMP 外接圆的圆心．其中正确的个数为A B C E D F G ···· 中考数学试题分类汇编 一、选择题 1、（2007湖北宜宾）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式||a +b –a 的结果是（ ）D A ．2a +b B ．2a C ．a D ．b 2、（2007重庆）运算)3(623m m -÷的结果是（ ）B （A ）m 3- （B ）m 2- （C ）m 2 （D ）m 3 3、（2007广州）下列运算中，正确的是（ ）C A ．33x x x =? B ．3x x x -= C ．32x x x ÷= D ．336x x x += 4、（2007四川成都）下列运算正确的是（ ）D Ａ．321x x -= Ｂ．22122x x --=- Ｃ．236()a a a -=· Ｄ．23 6()a a -=- 4、（2007浙江嘉兴）化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ）C （A ）2 （B ）4 （C ）4a （D ）2a 2＋2 5、（2007哈尔滨）下列运算中，正确的是（ ）D A ．325a b ab += B ．44a a a =? C ．623a a a ÷= D ．3262()a b a b = 6．（2007福建晋江）关于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）D A ．9 23)(m m =；B ．623m m m =?；C ．532m m m =+；D ．426m m m =÷。 7．（2007福建晋江）下列因式分解正确的是（ ）C A ．x x x x x 3)2)(2(342++-=+-； B ．)1)(4(432-+-=++-x x x x ； C ．22)21(41x x x -=+-； D ．)(232y x y xy x y x xy y x +-=+-。 8、（2007湖北恩施）下列运算正确的是（ ）D A 、623a a a =? B 、4442b b b =? C 、1055x x x =+ D 、87y y y =? 9、（2007山东淮坊）代数式2346x x -+的值为9，则2463x x - +的值为（ ）A A ．7 B ．18 C ．12 D ．9 10、（2007江西南昌）下列各式中，与2(1)a -相等的是（ ）B A ．21a - B ．221a a -+ C ．221a a -- D ．2 1a + 二、填空题 b 0a 2020年中考数学试题分类汇编之十 相似三角形 一、选择题 1．（2020成都）（3分）如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，5AB =，6BC =，4EF =，则DE 的长为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ． 10 3 解：直线123////l l l ，∴ AB DE BC EF =， 5AB =，6BC =，4EF =，∴ 564 DE =， 103 DE ∴= ， 选：D ． 2．（2020哈尔滨）（3分）如图，在ABC ?中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作//EF BC ，交AD 于点F ，过点E 作//EG AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是( ) A ． AE EF EC CD = B ． EF EG CD AB = C ． AF BG FD GC = D ． CG AF BC AD = 解：//EF BC ，∴AF AE FD EC =， //EG AB ，∴ AE BG EC GC =， ∴ AF BG FD GC =， 故选：C ． 3.（2020河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（） A. 四边形NPMQ B. 四边形 NPMR C. 四边形NHMQ D. 四边形 NHMR 解：如图所示，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ． 故选：A 4.（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD ＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′＝（） A．B．2C．D． 解：过D作DE⊥BC于E， 中考数学方案设计试题分类汇编 一、图案设计 1、（xx 四川乐山）认真观察图（10.1）的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： （1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征． 特征1：_________________________________________________； 特征2：_________________________________________________． （2）请在图（10.2）中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征 解：（ 1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积；等 ··························································································· 6分 （2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，都可以得满分． ······················· 9分 2、（xx 福建福州）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案． 提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种． 解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一．（满分8分） 3、（xx 哈尔滨）现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合（如图1、图2、 图（10.1） 图（10.2） ① ② ③ ④ ⑤ 2020年广东各地区中考数学试题分类汇编——函数 1、（佛山）15．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在 函数（）的图象上，则点E的坐标是（，）. 2、（肇庆）9．在直角坐标系中，将点P（3，6）向左平移4个单位长度， 再向下平移8个单位长度后，得到的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3、（茂名）9．已知反比例函数=(≠0)的图象，在每一象限内，的值随值的增 大而减少，则一次函数=-+的图象不经过（） Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限 4、（梅州）5．一列货运火车从梅州站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了 一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，那么可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是 （） 5、（湛江）8．函数的自变量的取值范围是（） A． B． C． D． 6、（湛江）11．已知三角形的面积一定，则它底边上的高与底边之间的函数关系 的图象大致是（） 1 y x =0 x> y x a a y x y a x a 1 2 y x = - x 2 x=2 x≠2 x≠-2 x> a h a O A B C E F D x y 第15题图 h h h h A ． B ． C ． D ． 7、（湛江）12． 如图2所示，已知等边三角形ABC 的边长为，按图中所示的规律，用个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 8、（梅州）10． 函数的自变量的取值范围是_____． 9、（梅州）12． 已知直线与双曲线的一个交点A 的坐标为（-1，-2）．则=_____；=____；它们的另一个交点坐标是______． 10、（东莞）7．经过点A （1，2）的反比例函数解析式是_____ _____； 11、（佛山）22．某地为四川省汶川大地震灾区进行募捐，共收到粮食100吨，副食品54 吨. 现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批货物全部运往汶川，已知一辆甲种货车同时可装粮食20吨、副食品6吨，一辆乙种货车同时可装粮食8吨、副食品8吨. (1) 将这些货物一次性运到目的地，有几种租用货车的方案？ (2) 若甲种货车每辆付运输费1300元，乙种货车每辆付运输费1000元，要使运输总 费用最少，应选择哪种方案？ 12008 20082009 201020111 1-=x y x mx y =x k y = m k 图2 C A B ┅┅ 2008～2019 北京中考数学分类(圆) 一．解答题（共12 小题） 1.在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O 到点A，B，C 的距 离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G 于点D，连接AD，CD． （1）求证：AD＝CD； （2）过点D 作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF 交图形G 于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE 与图形G 的公共点个数． 2.如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PC，PD，切点分别为C， D，连接OP，CD． （1）求证：OP⊥CD； （2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP 的长． 3.如图，AB 是⊙O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC⊥OA 于点C，过点B 作⊙O 的切线交CE 的延长线于点D． （1）求证：DB＝DE； （2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O 的半径． 4.如图，AB 为⊙O 的直径，F 为弦AC 的中点，连接OF 并延长交于点D，过点D 作 ⊙O 的切线，交BA 的延长线于点E． （1）求证：AC∥DE； （2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE 面积的思路． 5.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM，弦CD∥BM，交AB 于点F，且 ＝，连接AC，AD，延长AD 交BM 于点E． （1）求证：△ACD 是等边三角形； （2）连接OE，若DE＝2，求OE 的长． 6.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是的中点，⊙O 的切线BD 交AC 的延长线于点D，E 是 A B C D P E 2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. (1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0 14 12 =21 2. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点 A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交A B 于E （1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围． （3）存在，理由如下： 如图2，假设存在这样的点Q ，使得QC ⊥QE. 由（1）得：△PAE ∽△CDP ， ∴ ， ∴ ， ∵QC ⊥QE ，∠D ＝90 ° ， ∴∠AQE ＋∠DQC ＝90 ° ,∠DQC ＋∠DCQ ＝90°， ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°， ∴△QAE ∽△CDQ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵AP≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3.又∵AP≠AQ ，∴AP≠ ，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在， 综上所述， 的取值范围8 7 ≤ ＜2； 3.如图，已知抛物线y ＝－1 2 x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． (1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+4 2020年中考数学试题分类汇编之十七 尺规作图 一、选择题 1.（2020河北）如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线． 如图2，步骤如下， 第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ； 第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ； 第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求． 下列正确的是（ ） A. a ，b 均无限制 B. 0a >，1 2b DE > 的长 C. a 有最小限制，b 无限制 D. 0a ≥，1 2 b DE < 的长 【答案】B 【详解】第一步：以B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ； ∴0a >； 第二步：分别以D ，E 为圆心，大于1 2 DE 的长为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ； ∴1 2 b DE > 的长； 第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求． 综上，答案为：0a >；1 2 b DE >的长， 故选：B ． 2.（2020河南）.如图，在ABC ?中，30AB BC BAC ==∠=? ，分别以点,A C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接,,DA DC 则四边形ABCD 的面积为（ ） A. B. 9 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 连接BD 交AC 于O ，由已知得△ACD 为等边三角形且BD 是AC 的垂直平分线，然后解直角三角形解得AC 、BO 、BD 的值，进而代入三角形面积公式即可求解． 【详解】连接BD 交AC 于O ， 由作图过程知，AD=AC=CD ， ∴△ACD 为等边三角形， ∴∠DAC=60o， ∵AB=BC,AD=CD ， ∴BD 垂直平分AC 即：BD ⊥AC ，AO=OC ， 在Rt △AOB 中，30AB BAC =∠=? 2019年全国各地中考数学试卷试题分类汇编 第2章 实数 一、选择题 1. （2018，1，3分）如在实数0，－3，3 2 - ，｜－2｜中，最小的是（ ）. A ．3 2- B ． － 3 C ．0 D ．｜－2｜ 【答案】B 2. （2018市，1，3分）四个数－5，－0.1，１ ２，３中为 无理数的是( ). A. －5 B. －0.1 C. １ ２ D. ３ 【答案】D 3. （2018滨州，1，3分）在实数π、13 、 2、sin30°,无理 数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 4. （2018，2，3分）(－2)2 的算术平方根是（ ）. A ． 2 B ． ±2 C ．－2 D ． 2 【答案】A 5. （2018，8,3分）已知实数m 、n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 (A)0>m (B)0 【答案】D · 10. （20181，3）如计算：-1-2= A.-1 B.1 C.-3 D.3 【答案】C 11. （2018滨州，10，3分）在快速计算法中,法国的“小 九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的,而后面“六到九”的运算就改用手势了.如计算8×9时,左手伸出3根手指,右手伸出4根手指,两只手伸出手指数的和为7,未伸出手指数的积为2,则8×9=10×7+2=72.那么在计算6×7时,左、右手伸出 的 手 指 数 应 该 分 别 为 ( ) A.1,2 B.1,3 C.4,2 D.4,3 【答案】A 12. （2018，10，3分）计算()221222 -+---1 （-） =（ ） A ．2 B ．－2 C ．6 D ．10 【答案】A 13. （2018，6，3分）定义一种运算☆，其规则为a☆b=1a ＋ 1 b ，根据这个规则、计算2☆3的值是 2010届中考数学真题分类汇编专题--- 动态综合型问题 （二）填空题 1．（2010 浙江义乌）（1）将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图象，则y 2= ▲ ； （2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，则t ＝ ▲ ． 【答案】（1）2(x －2)2 或2288x x -+ （2）3、1、55-、55+ 2．（2010浙江金华）如图在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，O 分别是AB ，CD ，AD 的中点， 以O 为圆心，以OE 为半径画弧EF .P 是上的一个动点，连 结OP ，并延长OP 交线段BC 于点K ，过点P 作⊙O 的切线，分别交射线AB 于点M ，交直线BC 于点G . 若 3=BM BG ，则BK ﹦ ▲ . 【答案】31, 3 5 3．（2010江西）如图所示，半圆AB 平移到半圆CD 的位置时所扫过的面积为 ． A O D B F K E (第16题G M C P y x y x 2 y O · （14题） 【答案】6 4．（2010 四川成都）如图，在ABC ?中，90B ∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么 经过_____________秒，四边形APQC 的面积最小． 【答案】3 5．（2010 四川成都）如图，ABC ?内接于⊙O ，90,B AB BC ∠==，D 是⊙O 上与点B 关于圆心O 成中心对称的点，P 是BC 边上一点，连结AD DC AP 、、．已知8AB =，2CP =，Q 是线段AP 上一动点，连结BQ 并延长交四边形ABCD 的一边于点R ，且满足AP BR =，则 BQ QR 的值为_______________．历年中考真题分类汇编(数学)
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