?指数函数的概念及图象 ?幂的运算法则 重点
?对数函数、常用对数和自然对数的概念 ?幂与对数的互化 ?换底公式
?用计算器求常用对数、自然对数和一般对数 ?积、商、幂的对数运算法则 难点
?对数函数的概念
?利用对数运算公式作运算 学习要求
?理解对数函数和对数的概念 ?熟悉常用对数、自然对数的记号
?掌握用计算器求常用对数、自然对数和一般对数的方法 ?了解对数的几个基本等式，并会用于计算
?了解积、商、幂的对数的运算公式，并能用于简单的对数运算 ?了解换底公式，并能根据需要作对数的换底
本节讨论指数函数y =a x 的反函数――对数函数，并给出计算对数函数值――对数的方法．
1.对数函数的概念 (1)对数函数
一只抽气泵每次可以抽调原有空气的二分之一．设原有空气量为1，则第一次抽气后余下空气为
21；第二次抽气后余下空气为21?21=(2
1
)2；第三次抽气后余下空气为21?(21)2=(2
1)3
．依此类推，第x 次抽气后余下空气为 y =(
2
1)x
, x ∈N 或 y =0.5x , x ∈N (1) 这是一个以a =0.5为底的指数函数．现在想知道，抽到第几次后，剩余原有空气量的
10001？即要求x ，使0.5x =1000
1．因此这是求指数函数(1)的反函数问题． 在第三章和第五章，你已经熟悉了一般 的指数函数y =a x ，它要求底数a >0, a ≠1；定 义域D 为R ；值域M 为 (0, +∞)．指数函数 反映的是当指数改变时，幂a x 的改变规律， 即指数x 与幂 a x 之间的对应法则．因为指数 函数当a >1时是单调上升的，当0 的，反函数反映的是当幂a x 改变时，指数x 的改变规律，即幂到指数的对应法则． 讲到函数，总希望能有一个表达运算的式子，来表示自变量与因变量之间的对应规律．但有时候你未必能如愿．例如指数函数y =4x ，给了一个y >0，反函数的函数值是很明确的，就是使4x =y 的那个x ，但是你不可能从4 x =y 解出x 成为y 的一个数学式．于是我们用一个特定的函数记号 “log ４”来表示(log 是英文logarithm 的缩写，其中文解释就是对数的意思)，并且给它一个特定的名称，称为以4为底的对数函数．因此指数函数y =4x 的直接反函数是对数函数x =log 4y , (y >0)，对调x ,y 后的常规反函数则是对数函数 y =log 4x , (x >0)，读作 “log 4底x ”．很明显，这里的记号“log ４”相当与一般反函数记号“f -1()”． 一般地，指数函数y =a x (a >0,a ≠1,x ∈R )的反函数是以a 为底的对数函数，即y =log a x (x >0)，读作 “log a 底x ”，函数值正好是使a 为底的幂等于x 时的指数值，即a y =x ． 回到开始的抽气泵问题(1)上来．用对数函数的概念，要想抽到剩余原有空气量的 1000 1 ，需要抽气次数x 为 x =log 0.5 y ， 这个式子表示的是，在y =0.5x 中，当y 变化时，x 将如何变化． 例1 求 (1) y =2x ； (2)y =10x ； (3)y =x )3 1(；(4)y =a 3x , (a >0,a ≠1) 的反函数． 解 (1)y =2x 的反函数是 y =log 2x ▍ (2)y =10x 的反函数是 y =log 10x ▍ (3)y =x )3 1( 的反函数是x y 31log = ▍ (4)因为a 3x =(a 3)x ，所以y =a 3x 的反函数是x y a 3log = ▍ 课内练习1 1. 求下列函数的反函数： (1) y =5x ； (2)x y )3 2 (=； (3)y =0.3x ； (4)y =2x a , (a >0,a ≠1)． (2)对数函数的两个基本等式 根据反函数定义，若 x 图6-13 y =log a x (6-2-1) 则 a y =x ， 即 x a x a =log , (x >0) (6-2-2) 把x =a y 反代入(6-2-1)，得y =log a a y , (y ∈R ) 即 log a a x =x , (x ∈R ) (6-2-3) 特别地，当x =1，得到 log a a =1, (a >0) (6-2-4) 当x =0，得到 log a 1=0, (a >0) (6-2-5) (6-2-2),(6-2-3)是基本等式，必须熟记；(6-2-4),(6-2-5)是两个基本结果，也必须牢记． 例2 求下列对数函数的函数值： (1)log 44100； (2)5 )2 1( log 2 1-； (3)log 0.99991； (4)log 0.99990.9999． 解 (1)据基本等式(6-2-3)，log 44100=100 ▍ (2)据基本等式(6-2-3)，5 )2 1( log 1-=-5 ▍ (3)据公式(6-2-5)，log 0.99991=0 ▍ (4)据公式(6-2-4)，log 0.99990.9999=1 ▍ 课内练习2 1. 填空： (1)log 5520＝ ； log 0.30.3-2= ； 9)3 1 (log 1= ； log a a m = , (a >0且a ≠1)； (2)log 1616= ； log 71= ； log 0.80.8= ；13 4log = ． 例3 求下列对数函数的函数值： (1)log 28；(2)log 101000；(3)log 100.1；(4)82 1log ；(5)4 log π π 解 应用(6-2-3) (1)log 28=log 223=3 ▍ (2) log 101000=log 10103=3 ▍ (3)log 100.1=log 1010-1=-1 ▍ (4)8log 1 =3)2 1 (log 21-=-3 ▍ (5)4 log ππ=4 1 log π π= 4 1▍ 课内练习3 1. 求下列对数函数的函数值： (1)log 5125； (2)log 10100000； (3)log 21024； (4)8 1 2 1log ； (5)10010 1log ； (6)log 232； (7)log 23 2 1； (8) log 23 4 1． 例4 求下列指数函数的函数值： (1)y =1.2x , x =log 1. 25； (2)y =10-x , x =log 10 3； (3)y =9x , x =log 3a ； (4)y =2x , x =6log 2 1． 解 (1)以x =log 1.25代入指数，据 (6-2-2)得 y =5 212 1..log =5 ▍ (2)以x =log 103代入指数，据 (6-2-2)得 y =13 log )10 (10-=(3)-1=3 33 1= ▍ (3)以x =log 3a 代入指数，据 (6-2-2)得 y =2 log )3 (3a a 2 ▍ (4)以x =6log 2 1代入指数，据 (6-2-2)得 y =[6 log 2 1 )21(]-1=6-1=6 1 ▍ 课内练习4 1. 求下列指数函数的函数值： (1)y =45x , x =log 45 31 ； (2)y =(10 1)x , x =log 103； (3)y =9x , x =6log 3 1； (4)y =( 4 1)x , x =6log 161． 2. 对数函数的函数值――对数 (1)对数 对数函数y =log a x 当x =b 时的函数值log a b ，称为以a 为底b 的对数(读作 log a 底 b )，并且称b 为真数．如例3中，log 28是以2为底8的对数，8是真数；log 101000是以10为底1000的对数，1000是真数；log 100.1是以10为底0.1的对数，0.1是真数；8 log 1是以 2 1 为底8的对数，8是真数． 根据指数函数与对数函数互为反函数的关系，很容易在它们的值――幂与对数之间互相转化： a c = b ? log a b = c , (a , b >0, a ≠1, c ∈R ) 因此，可以化幂为对数形式，也可以化对数为幂． 例5 把下列幂化为对数或把对数化为幂： (1)43=64； (2)9 1 312=)( ； (3)161log 2 =-4． 解 (1) 43=64 ? log 464=3 ▍ (2)9 1)31( 2= ? 91 l o g 31 =2 ▍ (3)16 1 log 2=-4 ? 2 –4=161 ▍ 课内练习5 1. 把下列幂化为对数或把对数化为幂： (1)25=32； (2)( 2 1)-3 =8； (3)33=27； (4)log 5125=3；(5)64log 2 1=-6； (6)log 66=1． 在例2、例3中我们已经求了几个对数函数的函数值，也就是对数，但情况都比较特殊――真数都是底的整数次幂，而且指数也较小，你一眼就能看出来．对一般给定的非1正数a 和b >0，要求对数log a b ，就是要求出一个数c ∈R ，使a c =b ，这就不那么容易了．为此必须解决对数求法问题． 先考虑两个特殊底的对数函数，这两种特殊底的对数函数，可以用计算器得到它们的函数值． (2)常用对数和自然对数 ①常用对数 以10为底的对数函数log 10x ，在计算中最常遇到，因此被称为常用对数函数．为了区别于其它的底，用一个特殊的函数记号 “lg”来表示它，即y =lg x 就是y =log 10x ．lg x 当x =b 时的函数值lg b 称为b 的常用对数．如lg1000表示对数log 101000，即1000的常用对数；lg3表示对数log 103，即3的常用对数． 常用对数可以用计算器求得近似值．在许多计算器上，求常用对数的功能键是log 键，求lg b 时的按键次序是： 键入b ，再按 log 键 显示屏上立即显示对数值lg b ． 例6 求下列常用对数(保留4个有效数字)： (1)lg 3； (2)lg 1000； (3)lg 0.5； (4)lg 4.83． 解 按键 3 log 显示 0.477121254，所以 lg 3≈0.4771 ( 即 10 0.4771≈ 3)． 这里的“≈”，不仅仅是因为我们取了四个有效数字，即使把显示屏上显示的数全部写上，仍然只能写“≈”而不能写 “=”(即lg3≈0.477121254)．计算器明明显示了lg3的值，为什么不能用“=”呢？这是因为除了真数是底的有理次幂等少数特殊情况外，对数都是无理数，例如lg3的精确的值是 lg3=0.4771212547196624350...， 计算器上显示的也仅仅是它的近似值．今后在没有必要突出近似值的地方，我们一般把“≈”就写成“=”，但你必须明白其实一般并不是真正的等于而是近似值． 下面按题目要求，列表给出解题结果． (上面得到的结果，如果用幂的形式来写，依次为 30.4771≈3；103=1000；10-0.3010≈0.5；100.6839≈4.83．) 课内练习6 1. 求下列常用对数： (1)lg2；(2)lg5；(3)lg0.3；(4)lg48.3；(5)lg483． ②自然对数 你记得在第三章讲到指数函数时，曾介绍过一个特殊的y=e x吗？在计算器上还专门有一个功能键，用来计算它的函数值．在那里我们也曾经提醒过你，e与圆周率π，是数学上非常有用的两个常数，e也是无理数且 e=2.7182818285...． 对π的探究可谓历史久远，古代中国、希腊和印度等国的数学家，都对它作了深入的研究；而数e的发现和研究，还是16世纪之后的事情．之后人们发现这个无理数在工程、物理、建筑等领域非常有用，于是指数函数y=e x受到了重视，它的反函数y=log e x也受到了重视．如同以10为底的对数函数一样，人们为它规定了一个特殊的函数符号“ln”，用ln x 来表示log e x (即y=ln x就是log e x)，称为自然对数函数，其函数值也就随之被称为自然对数．在计算器上问世后，也配置了一个功能键ln ，专门用来计算自然对数．在计算器上求自然对数的操作顺序，与求常用对数相同，只是改log为ln 键． 例7求下列自然对数(结果保留4个有效数字)： (1)ln3；(2)ln8.5；(3)ln10． 解列表给出结果： (上面得到的结果，如果用幂的形式来写，依次为 e1.098≈3；e2.140≈8.5；e2.303≈10．)▍ 注意，除了少数特殊情况，自然对数都是无理数，例如 ln3=1.098 612 288 668 109 78...， 因此上面的“=”严格来说，都应该是“≈”． 课内练习7 1. 求下列自然对数： (1)ln5； (2)ln7.12； (3)ln71.2； (4)ln0.249． (3)一般对数和换底公式 为了区分，姑且称非常用对数、自然对数，例如log 29, 9log 1等为一般对数．如何 求这些一般对数呢？我们的基本思路是把底2, 2 1 换成10或e ，把求一般对数问题，转化为可在计算器上求值的常用对数或自然对数问题． 以求log 29为例，怎么把对数的底2换成10呢？ 设 2=10 p ，即 p =lg 2， 记 d =log 29，则 2d =9． 以2=10 p 代入，得 (10 p )d =9 ? 10 pd =9 ? pd =lg 9 ? d = 2 lg 9 lg 9lg = p ， 所以 log 29= 2 lg 9 lg ． 采用同样手法，也可以把对数的底2换成e ． 设 2=e q ，即 q =ln 2， 记 d =log 29，则 2d =9． 以2=e q 代入，得 (e q ) d =9 ? e qd =9 ? qd =ln 9 ? d = 2 9 9ln ln ln = q ， 所以 log 29= 2 ln 9 ln ． 现在你应该自己能证明，对任何c >0,c ≠1，可以把底2换成c ，得到 log 29= 2 log 9 log c c ； 你还能把底2换成一般的a >0, a ≠1，真数9换成一般的b >0，得到一般的换底公式 log a b = a b c c log log , (a , b , c >0, a ≠1, c ≠1) (6-2-6) 只要取c =10，c =e ，就是一般对数换成常用对数和自然对数的公式 log a b = a b lg lg , (a , b >0) (6-2-7) log a b = b ln ln , (a , b >0) (6-2-8) 有了公式(6-2-7),( 6-2-8)，你就可以用计算器计算一般对数了．如以常用对数计算log a b 来说，实际上是用计算器计算a b lg lg ，因此按键顺序为 b log ÷ a log = 若用自然对数计算，则只要把 “log”改为 “ln”键就行了． 例8 用常用对数和自然对数两种方法，求下列对数(保留4个有效数字)： (1)log 25；(2) 3log 2 1；(3) 3 2log 4 ． 解 结果列表．(表的上半部分用常用对数计算，下半部分用自然对数计算)： 课内练习8 1. 用常用对数和自然对数两种方法，求下列对数(保留4个有效数字)： (1)log 37； (2)3log 4 1； (4)3 2log 3 ； (3)31log 34． 从换底公式(6-2-6)，还可以得到另一个重要的对数等式． 对任何三个非1正数a , b , c ，由(6-2-6) log a b = a b c c log log , log b a =b a c c log log ， 所以 log a b ? log b a =１， 即 log a b = b log 1 , (a , b >0) (6-2-9) 常称公式(6-2-9)为对数的倒数公式．在对数计算中，有时倒数公式能提供方便． 例9 计算对数：(1)log 273； (2)2 1log 8 ． 解 (1) log 273= 3 1 3log 127log 13 33== ▍ (2)21 log 8 =31 )2 1(log 18 log 13 12 1-==- ▍ 课内练习9 1. 计算下列对数：(1)log 162； (2)3 1 log 9． (4)积、商、幂的对数 记得幂有如下两个性质吗？ a x ? a y =a x +y , (a >0) (1) y x y x a a a -=, (a >0) (2) 即同底幂的积、商，是以指数的和、差作为指数的同底幂．对数函数是指数函数的反函数，对数又是对数函数的函数值，那么在对数中，这两个性质是如何体现的呢？ 令 M =a x ，N =a y ， 则 M ? N =a x +y ， 据对数与幂之间的关系 log a M =x ，log a N =y 又 log a (M ?N )=log a (a x ? a y )=log a a x +y =x +y ， 所以 log a (M ?N )=log a M +log a N , (a , M , N >0, a ≠1) (6-2-10) 同理 log a N M = log a M -log a N , (a , M , N >0, a ≠1) (6-2-11) 因此幂的性质(1)，在对数中以公式(6-2-10)体现，用文字叙述，即积的对数等于对数的和；幂的性质(2)，在对数中以公式(6-2-11)体现，用文字叙述，即商的对数等于对数的差． 你还应该记得幂的第三个重要性质 (a x )y =a x ?y ， 这个性质体现在对应的对数上，则是公式 log a M b =b ?log a M , (M >0, b ∈R ) (6-2-12) 用文字叙述，即幂的对数等于指数与底的对数之积． 要证明(6-2-12)并不难．设 M =a c ，即 c=log a M ；? log a M b =log a (a c )b =log a a c ?b =cb 即 log a M b =b log a M ． (6-2-10)~(6-2-12)是对数运算的三个基本公式，当然它们对常用对数、自然对数也是成立的．使用这些公式，能把较复杂的积、商、幂的对数，化为对数的较简便的和、差、数乘；或者相反，能简化一些比较复杂的对数运算式．你必须牢牢记住它们，并能灵活地 应用． 在计算器尚未普及之前，多位数的乘、除、幂运算，是相当令人头痛的．有了这些公式和求对数的手段，可以把这种运算转化为加、减、数乘运算．例如求两数之积M ?N ，根据(6-2-10)，只要求出lg M , lg N ，做一次加法，得到m =lg(M ?N )；然后只要找到一个数Q ，使lg Q =m (实际上Q =10m )，即得Q =M ?N ．很长一个时期以来，人们事先计算好大量数的对数列成对数表， lg M , lg N 和Q ，都可以通过查表得到，这使求乘积运算变得十分简便．这种奇妙得功能，是十五世纪引入对数并得到发展的源动力之一，也是在计算机问世之前，工程界广泛使用的计算工具――计算尺的设计依据．现今，随着先进计算工具，例如计算器的不断普及，复杂的乘除幂运算也不过举手之劳，对数作为简化运算的功能，早已风光不再，然而它的母体—对数函数，在自然科学和社会科学的各个领域中，仍然是最重要的基本函数之一． 例10 利用lg2=0.3010, lg3=0.4771，不使用计算器的对数功能，求下列对数(结果保留4个有效数字)： (1)lg6； (2)lg 3 10； (3)lg 3； (4)lg20； (5)lg 8 1 3 1；(6)lg(1 132?)；(7)lg 20 2400； (8)lg 18． 说明 这些题目，完全可以如例8那样，直接用计算器求得对数，而且精确度可能会更高一些．但是现在用积、商、幂对数方法来求，你会发现其实它们只是lg2, lg3这两个对数的一些运算，不用计算器的对数功能，也能很方便地得到结果． 解 (1)lg6=lg(2?3)=lg2+lg3=0.3010+0.4771 =0.7781 ▍ (2) lg 3 10=lg10-lg3=1-0.4771=0.5229 ▍ (3) lg 3=lg 21 3= 2 1lg3= 2 1 ?0.4771=0.2386 ▍ (4)lg20=lg(10?2)=lg10+lg2=1+0.3010=1.301 ▍ (5) lg 8 13 1=lg1-lg 13=0-81lg3=-8 1 ?0.4771 =-0.05964 ▍ (6) lg(813132?)=lg 312+lg 81 3= 3 1 lg2+81lg3 = 3 1 ?0.3010+81?0.4771≈0.10033+0.05964 =0.1600 ▍ (7) lg 20 2400=lg400-lg2 20=lg100+lg4-20lg2 =2+lg2 2-20lg2=2+2lg2-20lg2=2-18lg2 =2-18?0.3010=-3.418 ▍ (8)lg18=lg(2?9)=lg2+lg3 2+lg2+2lg3 =0.3010+2?0.4771=1.255 ▍ 例11 已知lg2=0.3010, lg3=0.4771，不使用计算器的对数功能，求下列对数(结果保留4个有效数字)： (1)log 25； (2)log 390； (3)1.0log 2 1 ． 解 先据换底公式(6-2-7)化为常用对数，再进行计算． (1) log 25= 2 lg 2lg 10lg 2lg )2/10(lg 2lg 5lg -= ==13010.013010.03010.01-=-≈2.322 ▍ (2) log 390=log 3(9?10)=log 332+log 310=2+ 4771 .0123lg 1+=≈4.096 ▍ (3)1.0log 2 1=1lg 1 010log 1log 101log 212121 -=-= =3010 .0012lg 1lg 1--=-- ≈3.322 ▍ 例12 计算下列各题： (1)log a 3+log a 3 1, (a >0, a ≠1)； (2)已知log a b =0.2，求log a b +a b 5log , (a ,b >0)． 解 (1) log a 3+log a 3 1 =log a (3?31)=log a 1=0， (或 log a 3+log a 3 1 =log a 3+(log a 1-log a 3)=0) ▍ (2) log a b +a b 5log = log a b + 5 log 1b a =2 .0512.0log 51log ?+=+b a a =1.2 ▍ 课内练习10 1. 利用lg3=0.4771, lg7=0.8451，不使用计算器的对数功能，求下列对数(结 果保留4个有效数字)： (1)lg 49 27； (2)lg 3 21； (3)lg 243 7； (4)lg630； (5)lg 1 491； (6)lg(8 1 31363?)； (7)lg 10 49900． 2. 求下列对数(结果保留4个有效数字)： (1)log 510； (2)log 0.10.11； (3)8log 5 1． 3. 计算下列各题： (1)log a (3a 2)+log a 3 1, (a >0, a ≠1)； (2) 25a a log -25log b b ． 4. 已知log a b =3 1，求 a b 5log , (a , b >0, a , b ≠1)． 课外习题 A 组 1. 求下列函数的反函数： (1)y =3x ； (2)x y )3 1 (=； (3)y =log 2x ； (4)x 21log ． 2. 填空： (1)log 749= ； (2)log 3 27 1 = ； (3)log 50.2= ；(4)16log 21= ； (5)log 7712= ；(6)log 0.80.80.6= ；(7)log 31= ； (8)log ππ= ． 3. 求下列指数函数的函数值： (1)y =9x , x =log 9 21； (2)y =(π1)x , x =log ππ2； (3)y =5x , x =6log 25 1； (4)y =( 3 1)x , x =6log 3 1． 4. 把下列对数化为幂，或把幂化为对数： (1)16 1)2 1(4= ； (2)9)31(2 =-； (3)lg100=2； (4)2121log 4=． 5. 求下列对数函数的函数值： (1)log 5x , x =25； (2)x 3 1log , x =27． 6. 用计算器求下列对数(结果保留4个有效数字)： (1)lg45； (2)ln12； (3)ln0.6； (4)log 57； (5)2 3 lg ； (6)9log 41． 7. 已知lg2=0.3010, lg3=0.4771，不用计算器的对数功能，求出下列对数(结 果保留4个有效数字)： (1)lg54； (2)lg200； (3)lg60； (4)lg0.3； (5)lg8； (6)lg27． B 组 1. 不用计算器的对数功能，求下列各式的值： (1)lg2+lg5； (2)lg2+2lg5+lg20； (3)(lg5)2+lg2?lg50； (4)9 1 log 81log 251log 532 ??． 2. 求证：b b a n a n log log = (a , b >0, a , b ≠1)． C 组 1. 已知lg a = 2.315，利用计算器求a (结果保留4个有效数字)． 2. 已知log 2x =-0.1287，利用计算器求x (结果保留4个有效数字)． 3. 已知log a 45==2.4，利用计算器求a ． 4. 证明a a b b n log 1 log = (a , b >0, a , b ≠1)． 2020-2021学年高一数学单元知识梳理：指数函数与对数函数 1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化． 2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时， 函数的单调性及图象特点． 3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较． 4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题． 6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点． 8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择． 9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 一、指数、对数函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单 对数函数专题 对数及对数运算 【要点梳理】 要点一、对数概念 1．对数的概念 如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b ．其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 要点诠释： 对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R ． 2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即0N >； （2）1的对数为0，即log 10a =； （3）底的对数等于1，即log 1a a =． 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．以e （e 是一个无理数， 2.7182e =???）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作． 4．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 要点二、对数的运算法则 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ()log log log a a a MN M N =+ 推广： ()( )1 2 1 l o g a k a N N N = + 、、、 （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； log log log a a a M M N N =- （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log log a a M M αα= 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两 2.3对数函数 重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用． 考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； ②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点； ③知道对数函数是一类重要的函数模型； ④了解指数函数与对数函数互为反函数． 经典例题：已知f（logax）=，其中a＞0，且a≠1． （1）求f（x）；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在R上为增函数． 当堂练习： 1．若,则（） A．B．C．D． 2．设表示的小数部分，则的值是（） A．B．C．0 D． 3．函数的值域是（） A．B．[0,1] C．[0,D．{0} 4．设函数的取值范围为（） A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．D． 5．已知函数，其反函数为，则是（） A．奇函数且在（0，＋∞）上单调递减B．偶函数且在（0，＋∞）上单调递增C．奇函数且在（-∞，0）上单调递减D．偶函数且在（-∞，0）上单调递增 6．计算= ． 7．若2.5x=1000,0.25y=1000,求． 8．函数f(x)的定义域为[0,1],则函数的定义域为． 9．已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是． 10．函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点． 11．若集合{x，xy，lgxy}＝{0，|x|，y}，则log8（x2＋y2）的值为多少． 12．(1) 求函数在区间上的最值． (2)已知求函数的值域． 13．已知函数的图象关于原点对称．(1)求m的值； (2)判断f(x) 在上的单调性,并根据定义证明． 14．已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称． (1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M； (2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)－h(x2)|≤a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数．试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数． 参考答案： 指数函数、对数函数习题精讲 一、指数及对数运算 ［例1］（1）已知x 21 +x 21-=3,求3 2222323++++--x x x x 的值 （2）已知lg(x +y )+lg(2x +3y )－lg3=lg4+lg x +lg y ,求y x 值. （1）【分析】 由分数指数幂运算性质可求得x 23+x 23 -和x 2+x －2的值. 【解】 ∵x 21+x 21-=3 ∴x 23 +x 23 -=(x 21+x 21 -)3－3(x 21+x 21-)=33－3×3=18 x 2+x －2=(x +x －1)2－2=［(x 21+x 21 -)2－2］2－2 =(32－2)2－2=47 ∴原式= 347218++=5 2 （2）【分析】 注意x 、y 取值范围，去掉对数符号，找到x 、y 关系式. 【解】 由题意可得x >0,y >0,由对数运算法则得 lg(x +y )(2x +3y )=lg(12xy ) 则(x +y )(2x +3y )=12xy (2x －y )(x －3y )=0 即2x =y 或x =3y 故y x =21或y x =3 二、指数函数、对数函数的性质应用 ［例2］已知函数y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)(2≤x ≤4)的最大值为0，最小值为－81，求a 的值. 【解】 y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)=－log a (a 2x )［－21log a (ax )］ = 21(2+log a x )(1+log a x )=21(log a x +23)2－8 1 ∵2≤x ≤4且－8 1≤y ≤0 ∴log a x +23=0,即x =a 23-时，y min =－81 高中数学对数函数教案 数学对数函数教案【教学目标】 1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用. (1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个 函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象. (2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题. 2.通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想， 注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力. 3.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性. 数学对数函数教案【教学建议】 教材分析 (1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生 已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的.故 是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识 与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加 完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关 自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程， 对数不等式的基础. (2)本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图 象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又 是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的 重点. (3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题 都应围绕着这条主线展开.而通过互为反函数的两个函数的关系由已 知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点. 教法建议 (1)对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过 对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数 图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多 选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找 出共性，归纳性质. (2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这 条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他 们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣. 数学对数函数教案【教学设计示例】 一.引入新课 一.对数函数的概念 1.定义：函数的反函数叫做对数函数. 由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的 认识是什么? 教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故 有着相同的限制条件. 在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质. 2016-2017学年度???学校9月月考卷 1．计算：________． 2．已知666log log log 6a b c ++=，其中*,,a b c N ∈，若,,a b c 是递增的等比数列，又b a -为一完全平方数，则a b c ++=___________. 3．已知3log 21x =,则42x x -=________. 4．lg83lg5+的值是 ． 5．lg0.01＋log 216＝_____________. 6= ． 7．已知,53m b a ==且，则m 的值为 . 8．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则 9，0a b c <<<，0)()()( 参考答案 1．1 【解析】＝lg10＝1. 2．111 【解析】 试题分析：66666log log log log 6,6a b c abc abc ++===， 2b ac =，所以366,36b b ==.46ac =，因为b a -为一完全平方数，所以27,48,111a c a b c ==++=. 考点：1.对数运算；2.数列. 【思路点晴】本题涉及很多知识点，一个是对数加法运算，用的是公式 log log log a a a b c bc +=.然后,,a b c 是递增的等比数列，可得2b ac =，接下来因为b a -为一完全平方数，比36小的完全平方数只有25,16,9，故可以猜想27a =，通过计算可得27,48,111a c a b c ==++=.有关几个知识点结合起来的题目，只需要对每个知识点逐个击破即可. 3．6 【解析】 试题分析：由条件可知2log 3x =，故222log 3log 34222936x x -=-=-=. 考点：对数运算的基本性质. 4．3 【解析】 试题分析：3lg83lg5lg8lg5lg10003+=+==。 考点：对数运算法则的应用。 5．2 【解析】lg0.01＋log 216＝－2＋4＝2 考点：本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力. 6【解析】 考点：指数和对数的运算法则。 7【解析】略 8．2 【解析】略 指数函数、对数函数知识点 知识点内容典型题 整数和有理指数幂的运算 a 0＝1(a≠0)；a－n＝ 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n＝n a m(a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) 当n∈N*时，(n a)n＝a 当为奇数时，n a n＝a 当为偶数时，n a n＝│a│＝ a (a≥0) －a (a＜0) 运算律:a m a n＝a m + n (a m)n＝a m n (ab)n＝a n b n 1.计算: 2－1×6423＝. 2. 224282＝； 333363＝ . 3343427＝； 393 36 ＝ . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指数函数的概念、图象与性质1、解析式:y＝a x(a＞0，且a≠1) 2、图象: 3、函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的性质: ①定义域:R ，即(－∞，＋∞) 值域:R+ , 即(0，＋∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性:在定义域R上 当a＞1时，在R上是增函数 当0＜a＜1时,在R上是减函数 ④极值:在R上无极值(最大、最小值) 当a＞1时，图象向左与x轴无限接近； 当0＜a＜1时,图象向右与x轴无限接 近. ⑤奇偶性:非奇非偶函数. 5.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象过 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =；② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.10.4－0.2 , ②0.30.40.40.3, 233322. ③(2 3 )－ 1 2,( 2 3 )－ 1 3,( 1 2 )－ 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数， 则a的取值范围( ) A.a＜3 B.c C.a＞3 D.2＜a＜3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函 数，则a适合的条件是( ) A.|a|＞1 B.|a|＞2 C.a＞2 D.1＜|a|＜2 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n 分数指数幂 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>=m m m 3、求下列各式的值 （1）2 325= （2）32 254- ?? ??? = 4、解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x 分数指数幂（第 9份）答案 153 ,a a 2、33 2 22 ,x y m 3、（1）125 （2） 8125 4、（1）512 （2）16 指数函数（第 10份） 1、下列函数是指数函数的是 （ 填序号） （1）x y 4= （2）4 x y = （3）x y )4(-= （4）2 4x y =。 2、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点 。 3、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围 。 4、如果指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是 （ ） A 、2a C 、21< 5、下列关系中，正确的是 （ ） A 、51 31 )21()21(> B 、2.01.022> C 、2 .01.022--> D 、11 5311()()22 - - > 6、比较下列各组数大小： （1）0.5 3.1 2.3 3.1 （2）0.3 23-?? ? ?? 0.24 23-?? ? ?? （3） 2.52.3- 0.10.2- 7、函数x x f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 函数x x f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 8、求满足下列条件的实数x 的范围： （1）82>x （2）2.05 高一数学（必修1）专题复习三 指数函数和对数函数 一．基础知识复习 （一）指数的运算： 1．实数指数幂的定义： （1）正整数指数幂： a n n a a a a 个???=（R a ∈）（2）零指数幂：10=a （0≠a ） （3）负整数指数幂：n n a a 1 = -（0≠a ） （4）正分数指数幂：n m n m a a =（1,,,0≠∈≠+n N n m a ） （5）负分数指数幂：n m n m a a 1 = -（（1,,,0≠∈≠+n N n m a ． 2．指数的运算性质： ① y x y x a a a +=? ② y x y x a a a -= ③ xy y x a a =)( ④ x x x b a ab =)( 1b 就叫做以a 为底N 的对数，记作b a log =．即：b N N a a b =?=log ． （10 （2）当（3）1的对数是零，01log =a （4）底数的对数等于1，1log =a 2．对数恒等式：（1 （2）b a b a =log （3）m n a a n m log log = 3．对数的运算法则： ① ()N M MN a a a log log log += ② N M N M a a a log log log -= ③ () N n N a n a log log = ④ N n N a n a log 1log = 4．对数换底公式：b N N a b log log log =．由换底公式推出一些常用的结论： （1 （2）c c b a b a log log log =? （3 （4 （5 （一）指数函数的图象和性质 1．x y a =(0a >且1a ≠)的定义域为R ，值域为()0,+∞． 2．x y a =(0a >且1a ≠) 的单调性： 当1>a 时，x y a =在R 上为增函数； 当01a <<时，x y a =在R 上是减函数． 3．x y a =(0a >且1a ≠)的图像特征： 当1>a 时，图象像一撇，过点()0,1， 且在y 轴左侧a 越大，图象越靠近y 轴； 当01a <<时，图象像一捺，过点()0,1，且在y 轴左侧a 越小，图象越靠近y 轴． 4．x y a =与x a y -=的图象关于y 轴对称． （二）对数函数的图象和性质 1．)10(log ≠>=a a x y a 且 的定义域为+ R ，值域为R ． 2．)10(log ≠>=a a x y a 且的单调性： 当1>a 时，在()+∞,0单增， 当01a <<时，在()+∞,0单减． 3．)10(log ≠>=a a x y a 且的图象特征： 当1>a 时，图象像一撇，过()1,0点，在x 轴上方a 越大越靠近x 轴； 当01a <<时，图象像一捺，过()1,0点，在x 轴上方a 越小越靠近x 轴． 4．b a log 的符号规律（同正异负法则）： 给定两个区间()0,1和()1,+∞，若a 与b 的范围处于同一个区间，则对数值大于零；否则若a 与b 的范围分处两个区间，则对数值小于零． 5．log a y x =与x y a 1log =的图像关于x 轴对称． 6．指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数． （1）互为反函数的图像关于直线x y =对称 （2）互为反函数的定义域和值域相反 （3）一般地，函数)(x f y =的反函数用)(1 x f y -=表示，若点),(b a 在) (x f y =的图像上，则点),(a b 在)(1x f y -=的图像上，即若b a f =)(，则a b f =-)(1 ． （4）求反函数的步骤：①反解，用y 表示x ； ②求原函数的值域； ③x 与y 互换， 并标明定义域． 二．训练题目 （一）选择题 1．设0a >（ ） 高中数学指数、对数的运算一．选择题（共28小题） 1．（2014?济南二模）log2+log2cos的值为（） A．﹣2B．﹣1C．2D．1 2．（2014?成都一模）计算log5+所得的结果为（） A．1B．C．D．4 3．若a＞2，b＞2，且log2（a+b）+log2=log2+log2，则log2（a﹣2）+log2（b﹣2）=（）A．0B．C．1D．2 4．（2014?泸州二模）式子log2（log216）+8×（）﹣5=（） A．4B．6C．8D．10 5．（2014?泸州一模）的值为（） A．1B．2C．3D．4 6．（2015?成都模拟）计算21og63+log64的结果是（） A．l og 2B．2C．l og63D．3 6 7．（2014?浙江模拟）log212﹣log23=（） A．2B．0C．D．﹣2 8．（2014?浙江模拟）下列算式正确的是（） A．l g8+lg2=lg10B．l g8+lg2=lg6C．l g8+lg2=lg16D．l g8+lg2=lg4 9．（2014?和平区二模）已知3x=5y=a，且+=2，则a的值为（） A．B．15C．±D．225 10．（2013?枣庄二模）已知函数，则的值是（）A．9B．﹣9C．D． 11．（2013?婺城区模拟）已知函数f（x）=log2，若f（a）=，则f（﹣a）=（） A．2B．﹣2C．D． ﹣ 12．（2013?泸州一模）log2100+的值是（） A．0B．1C．2D．3 13．（2013?东莞一模）已知函数f（x）=，则f（2+log32）的值为（）A． B．C．D．﹣54 ﹣ 14．（2013?东城区二模）f（x）=，则f（f（﹣1））等于（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4 15．（2012?安徽）（log29）?（log34）=（） A．B．C．2D．4 16．（2012?北京模拟）函数y=是（） B．区间（﹣∞，0）上的减函数 A．区间（﹣∞，0） 上的增函数 D．区间（0，+∞）上的减函数 C．区间（0，+∞） 上的增函数 17．（2012?杭州一模）已知函数则=（）A．B．e C．D．﹣e 18．（2012?北京模拟）log225?log34?log59的值为（） A．6B．8C．15D．30 19．（2012?北京模拟）实数﹣?+lg4+2lg5的值为（）A．2B．5C．10D．20 高中数学指数和对数知识点 (一)指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1(y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点（0，1） 1a 0= 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 1a ,0x x >> 1a ,0x x <> 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1* >∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log = 对数式与指数式的互化：x N a =log ? N a x = 对数的性质 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． （二）对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机） 篇一：高中数学对数与对数运算教案 《对数与对数运算》 教案 xx大学数学与统计学院 xxx 一、教学目标 1、知识目标：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转换；理解对数的运算性质，形成知识技能； 2、能力目标：通过实例让学生认识对数的模型，让学生有能力去解决今后有关于对数的问题，同时让学生学会观察和动手，通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一，锻炼学生的动手能力； 3、分析目标：通过让学生分组进行探究活动，在探究中分析各种思维的技巧，掌握对数运算的重要性质。 二、教学理念 为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，从学习中体会快乐。本节课我引导学生从实例出发，引发学生的思考，从中认识对数的模型，体会对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动，学生讨论的方式来加深理解，很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 三、教法学法分析 1、教法分析 新课程标准之处教师是教学的组织者、引导者、合作者，在教学过程要充分调动学生的积极性、主动性。本着这一原则，在教学过程中我主要采用以下教法：实例引入法、开放式探究法、启发式引导法。 2、学法分析 “授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在学法选择上，我主要采用：观察发现法、小组讨论法、归纳总结法。 四、教材分析 本节讲对数的概念和运算性质主要是为后面学习对数函数做准备。这在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 五、教学重点与难点 重点：（1）对数的定义； （2）指数式与对数式的相互转化及其条件。难点：（1）对数概念的理解； （2）对数运算性质的理解；（3）换底公式的应用。 六、课时安排：1个课时七、教学过程 （一）创设情境，引入课题 问题：我们能从关系y?13?1.01x中，算出任意一个年头x的人口总数，反之，如果问“哪一年的人口总数可达到18亿，20亿，30亿??”，该如何解决？ 抛出问题，让学生思考，这就引出这节课将要学习的问题，即对数与对数运算的问题，以及指数与对数如何相互转换的问题。 （二）讲授新课 1．对数的定义 x 一般地，如果a?n(a?0,且a?1),那么数x叫做以a为底n的对数，记 难点9 指数函数、对数函数问题 指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题. ●难点磁场 (★★★★★)设f (x )=log 2 x x -+11,F (x )=x -21+f (x ). (1)试判断函数f (x )的单调性,并用函数单调性定义,给出证明； (2)若f (x )的反函数为f － 1(x ),证明：对任意的自然数n (n ≥3),都有f － 1(n )> 1 +n n ; (3)若F (x )的反函数F － 1(x ),证明：方程F － 1(x )=0有惟一解. ●案例探究 ［例1］已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点,分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点. (1)证明：点C 、D 和原点O 在同一条直线上； (2)当BC 平行于x 轴时,求点A 的坐标. 命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目. 知识依托：(1)证明三点共线的方法：k OC =k OD . (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得A 点坐标. 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A 的坐标. (1)证明：设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知：x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上,所以 2 2 8118log log x x x x = ,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1= 2log log 818x ===2 log log log ,log 382 82218x x x 3log 8x 2,所以OC 的斜率：k 1= 1 1 8212log 3log x x x x = , OD 的斜率：k 2= 2 2 8222log 3log x x x x = ,由此可知：k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上. (2)解：由BC 平行于x 轴知：log 2x 1=log 8x 2 即：log 2x 1= 3 1 log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得：x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1.又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3,log 83). ［例2］在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n 指数函数与对数函数知识整合 1、与定义域相关 【典例1】函数ln y x =的定义域是（ ） A ．（0，1）∪（1，4] B ．（0，4] C ．（0，1） D ．（0，1）∪[4，+∞） 【解析】2234034ln ln 0,0 x x x x y x x x ?-++≥-++=?≠>? 14(0,1)(1,4]0,1x x x x -≤≤?∴∴∈??>≠? ，故选：A 2、比较大小问题 【典例2-1】若0 【解析】设u（x）＝ax2﹣x，显然二次函数u的对称轴为x=1 2a． ①当a＞1时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，则u（x）＝ax2﹣x在[2， 4]上为增函数， 故应有{1 2a ≤2 u(2)=4a?2＞0 ，解得a＞ 1 2．综合可得，a＞1． ②当0＜a＜1 时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数， 则u（x）＝ax2﹣x在[2，4]上为减函数， 应有{1 2a ≥4 u(4)=16a?4＞0 ，解得a∈?． 综上，a＞1时，函数f（x）＝log a（ax2﹣x）在区间[2，4]上为增函数．4、图像的变换 【典例4】为了得到函数y＝lg 103 + x 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点() A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【解析】∵y＝lg 103 + x ＝lg (x＋3)－1， ∴只需将y＝lg x的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平 移1个单位长度，即可得到函数y＝lg 103 + x 的图象．答案C. 5、根据函数解析式确定图像 高一数学对数以及对数函数人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 对数以及对数函数 二. 学习目标： 1. 理解对数的概念，了解对数运算与指数运算的互逆关系。 2. 能正确利用对数性质进行对数运算。 3. 掌握对数函数的图象性质。 4. 理解指数函数与对数函数的互逆关系。 三. 重点、难点： 1. 对数 （1）对数恒等式 ① b a b a =log （10≠，N 0>，则 ① N M MN a a a log log )(log += ② N M N M a a a log log log -= [例 （1）5lg 2lg 100lg 5lg 20lg 50lg 2lg -+ （2）4log ]18log 2log )3log 1[(6662 6÷?+- 解： （1）原式)2lg 1(2lg 2)2lg 1)(2lg 1()2lg 2(2lg ---++-= 1)2(lg 22lg 2)2(lg 1)2(lg 2lg 22 22=+--+-= （2）原式4log )]3log 1)(3log 1()3(log 3log 21[6662 66÷+-++-= 4log ])3(log 1)3(log 3log 21[62 6266÷-++-= 12 log 2 log 2log )3log 1(2662 66== ÷-= [例2] 已知正实数x 、y 、z 满足z y x 643==，试比较x 3、y 4、z 6的大小。 解：设t z y x ===643（1>t ），则t x 3log =，t y 4log =，t z 6log =，从而 4lg lg 43lg lg 3log 4log 34343t t t t y x -=-=-4 lg 3lg 3 lg 44lg 3lg ?-=t 0)3lg 4(lg 4 lg 3lg lg 43<-?= t 故y x 43< 又由6lg 4lg ) 4lg 36lg 2(lg 2)6lg lg 34lg lg 2(2)log 3log 2(26464?-=-=-=-t t t t t z y 6 lg 4lg ) 4lg 6(lg lg 232?-=t 而0lg >t ，04lg >，06lg >，3 2 4lg 6lg <，则上式0< 故z y 64<，综上z y x 643<< [例3] 已知m 和n 都是不等于1的正数，并且5log 5log n m >，试确定m 和n 的大小关系。 解：由n m n m 55log 1 log 15log 5log > ? >0log log log log 5555>?-?n m m n ???>?>-?0log log 0log log 5555n m m n 或???>>?1,1n m m n 或???<<<<<1 0,10n m m n 综上可得1>>m n 或10<< 高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数 【第一部分】知识复习 【第二部分】典例讲解 考点一：幂函数 例1、比较大小 例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞）上是减函数，又，则m= A．0B．1C．2D．3 解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为1． 例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论的奇偶性． ∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵，∴．又是偶数，∴，∴． (2)，． 当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数； 当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数． 例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系 (1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B). 变式训练： 1、下列函数是幂函数的是（） A．y=2x B．y=2x－1C．y=(x＋1)2D．y= 2、下列说法正确的是（） A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数 C．是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数 3、下列函数中，定义域为R的是（） A．y=B．y=C．y=D．y=x－1 4、函数的图象是（） A．B．C．D． 5、下列函数中，不是偶函数的是（） A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x－1 6、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（） A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1) C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5) 7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a )) 8、已知，则下列正确的是（） A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数高中数学指数函数与对数函数
高中数学对数的运算
(完整word)高中数学必修一对数函数
高一数学必修一指数函数、对数函数习题精讲
高中数学对数函数教案
指数对数基本运算
高中数学-指数函数对数函数知识点
高一数学对数函数经典题及详细答案
高一数学_指数函数对数函数幂函数练习(含答案)
高一数学(必修1)专题复习三 指数函数和对数函数
高中数学指数对数的运算
高中数学指数和对数知识点
高中数学对数教学设计
高考数学难点突破__指数、对数函数
高中数学指数函数与对数函数(专题复习)
高一数学对数以及对数函数人教版
高中数学幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)
相关主题
文本预览