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泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章预备知识

前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．

给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有：

)()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο

这样当1<

x x f x f x x f ?'+≈?+)()()(000

或

))(()()(000x x x f x f x f -'+=，10<<-x x

即在0x 点附近，可以用一个x 的线形函数（一次多项式）去逼近函数f ，但这时有两个问题没有解决：

（1）近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f ．

（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量

)(0x x -ο，如果要求误差不得超过410-，用))(()(000x x x f x f -'+去替代)(x f 行吗？因

此就需要用新的逼近方法去替代函数．

在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．

2.1 T aylor 公式

首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x 的n 次多项式在0x 附近去逼近f ，即令

n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= （2.1）

从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线）去替代)(x f y =，而是想用一条n 次抛物线n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=去替代它．

我们猜想在点))(,(00x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a ，1a …

n a 如何确定呢？

假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有

n x x a x x a a x f )

(...)()(0010-++-+=

于是得：)(00x f a =

第2章预备知识

求一次导数可得：)(01x f a '= 又求一次导数可得：!

2)(02x f a ''=

这样进行下去可得：

!3)(03x f a '''=

，!

(0)

4(4x f

a =

，… ，!

)

(0)

(n x f

a n n =

因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：

k k n

n x x k x f

x x n x f

x x x f x f x f )(!

)

()(!

)

(...))(()()(00

(00)

(000-=

+-'+=∑

= （2.2）

即0x 附近的点x 处的函数值)(x f 可以通过0x 点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式

n n x x n x f

x x x f x x x f x f x T )(!)

(...)(!

2)())(()()(00)

00000-+

+-''+

-'+=

称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式，)(x T n 的各项系数

)

(0)

(k x f

k ),...,3,2,1(n k = ，称

为泰勒系数．因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．

2.2 Taylor 公式的各种余项

对于一般的函数，其n 次Taylor 多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点0

x 附近能近似地用它在0x 点的n 次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor 定理就是回答这个问题的．

定理1]10[ (带拉格朗日型余项的Taylor 公式)

假设函数)(x f 在h x x ≤-||0上存在直至1+n 阶的连续导函数，则对任一

],[00h x h x x +-∈,泰勒公式的余项为

1()

()!

1()

()(++-+=

n n n x x n f

x R ξ

其中)(00x x x -+=θξ为0x 与x 间的一个值.即有

1(00)

(000)

()!

1()

()(!

)

(...))(()()(++-++

+-'+=n n n

n x x n f

x x n x f

x x x f x f x f ξ (2.3)

推论1]10[ 当0=n ，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：

))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ

所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广．推论2]10[ 在定理1中,若令

)0()

()

1(!

)

()(1

01)

1(>--?=

+-++p x x n p f

x R n p

n n n θξ

则称)(x R n 为一般形式的余项公式, 其中0

0x x x --=ξθ．在上式中，1+=n p 即为拉格朗日

型余项．若令1=p ，则得

)0()

()1(!

)

()(1

1(>--=

++p x x n f

x R n n n n θξ,

此式称为柯西余项公式．

当00=x ，得到泰勒公式：

1()

)

0(...!

2)0()0()0()(++++

+''+

'+=n n n

n x

n x f x n f x f x f f x f θ）

（，)10(<<θ （2.4）

则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．

定理２]10[ （带皮亚诺型的余项的Taylor 公式）若函数f 在点0x 处存在直至n 阶导数，则有

∑

=-=

k k

k n x x k x f

x P 0

00)

()(!

)

()(，

)()()(x P x f x R n n -=．

则当0x x →时，))(()(0n n x x x R -=ο．即有

))(()(!

)

(...))(()()(000)

(000n

n n x x x x n x f

x x x f x f x f -+-+

+-'+=ο （2.5）

定理3所证的（2.5）公式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -=，称为泰勒公式的余项的，形如))((0n x x -ο的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式

当（2.5）式中00=x 时，可得到

)(!

)

0(...!

2)0()0()0()()

n n x x n f

x f x f f x f ο++

+''+

'+= （2.6）

（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．

由于))(()(0n n x x x R -=ο，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．

第2章预备知识

定理３设0>h ，函数)(x f 在);(0h x U 内具有2+n 阶连续导数，且0

)(0)

2(≠+x f

n ，

)(x f 在);(0h x U 内的泰勒公式为

10,)!

1()

)

(...)()()(1

1(0)

(000<<+++

+'+=+++θθn n n

n h

n h x f

h n x f

h x f x f h x f （2.7）

则2

1lim 0

→n h θ．

证明：)(x f 在);(0h x U 内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：

)()!

2()

()!

1()

)

(...)()()(2

2(1

1(0)

(000++++++++

+'+=+n n n n n n

n h

n x f

h n x f

h x f x f h x f ο

将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出

)()!

2()

()!

1()

(-)(2

2(1

1(0)

1(++++++++=

++n n n n n n h

n x f

h x f

οθ，

从而

2(0)

1(0)

1()

()!

2()

()

()()!

1(++++++

-+?+n n n n n h

h n x f

x f

h x f

n οθθθ，

令0→h ，得

2()

()(lim )!

1(10)

2(0)

2(0

??+++→n x f

x f

n n n h θ，

故2

1lim 0

→n h θ．

由上面的证明我们可以看得出，当n 趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．

第3章泰勒公式的应用

由于泰勒公式涉及到的是某一定点0x 及0x 处函数)(0x f 及n 阶导数值：)(0x f '，

)(0x f ''，…，)(0)

(x f

n ，以及用这些值表示动点x

处的函数值)(x f ，本章研究泰勒公

式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．

3.1 应用Taylor 公式证明等式

例3.1.1 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证： ),(b a c ∈?，使得

))((24

1))(2

(

)()(a b c f a b b a f a f b f -'''+

-+'+=

证明： (利用待定系数法) 设k 为使下列式子成立的实数：

)(24

1))(2

(

)()(3

=--

-+'--a b k a b b a f a f b f （3.1）

这时，我们的问题归为证明：),(b a c ∈?，使得：

)(c f k '''=

令3

)(24

1))(2

(

)()()(a x k a x x a f a f x f x g --

-+'--=，则0)()(==b g a g ．

根据罗尔定理，),(b a ∈?ξ，使得0)(='ξg ，即：

)

(82

)()2

(

)(2

=---+''-+'-'a k a a f a f f ξξξξξ

这是关于k 的方程，注意到)(ξf '在点

2ξ+a 处的泰勒公式：

)

)((8

)()2

(

)(a c f a a f a f f -'''+-+''++'='ξξξξξ

其中),(b a c ∈?，比较可得原命题成立．

例3.1.2 设)(x f 在[]b a ,上有二阶导数，试证：),(b a c ∈?，使得

))((24

1)2

(

)()(a b c f b a f a b dx x f b

-''+

+-=?

．（3.2）

证明：记2

0b a x +=

，则)(x f 在0x 处泰勒公式展开式为：

0000)

)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+

-'+=ξ （3.3）

对（3.3）式两端同时取[]b a ,上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：),(b a c ∈?，使得

第3章泰勒公式的应用

0))((12

1)()())((a b c f dx x x c f dx x x f b

-''=

-''=-''??

因此原命题式成立．

因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．

3.2 应用Taylor 公式证明不等式

例3.4设)(x f 在[]b a ,上二次可微，0)(<''x f ，试证：b x x x a n ≤<<≤≤?...21，

0≥i k ，11

=∑=n

i i k ，∑∑==>

i i i

i i i x f k

x k f 1

)()(．

证明：取∑==

i i

x k

x 1

0，将)(i x f 在0x x =处展开

))(()()(2

)())(()()(0002

0000x x x f x f x x f x x x f x f x f i i i i i -'+<-''+

-'+=ξ

其中()n i ,...,3,2,1=．

以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11

=∑=n

i i k

()001

0=-=

-∑∑==x x k

x x

k n

i i i

i i

得：

)()()(1

∑∑===

i i i n

i i i

x k f x f x f k

．

例3.2.2 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，当10≤≤x 时，1)(≤x f ，2)(<''x f ．试证：当10≤≤x 时，3)(≤'x f ．

证明：)(t f 在x 处的泰勒展开式为：

)(!

2)())(()()(x t f x t a f x f t f -''+

-'+=ξ

其中将t 分别换为1=t ，0=t 可得：

)1(!2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ

（3.4） 2

)(!

2)())(()()0(x f x x f x f f -''+

-'+=η

（3.5）

所以（3.4）式减（3.5）式得：

2)()1(!

2)()()0()1(x

f x f x f f f ηξ''-

-''+

'=-

从而，

312)1(2)(2

1)1()(2

1)0()1()(2

222

=+≤+-+≤''+

-''+

+≤'x x x f x f f f x f ηξ

例3.2.3 设)(x f 在[]b a ,上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明：),(b a ∈?ξ，有

|)()(|)

(4|)(|2

a f

b f a b f --≥

''ξ．

证明：)(x f 在a x =，b x =处的泰勒展开式分别为：

1)(!2)())(()()(a x f a x a f a f x f -''+-'+=ξ，),(1x a ∈ξ 22)(!

2)())(()()(b x f b x b f b f x f -''+

-'+=ξ，),(2b x ∈ξ

令2

b a x +=

，则有

)

(!2)()()2

1a b f a f b a f -''+

=+ξ，)2

,(1b a a +∈ξ

（3.6） 4

)

(!2)()()2

(

2a b f b f b a f -''+

=+ξ，),2

(

2b b a +∈ξ

（3.7）

（3.7）－（3.6）得：

[]0)()(8

)

()()(122

=''-''-+

-ξξf f a b a f b f

则有

[])()(8

)

()()(8

)

()()(12

122

ξξ

ξξf f a b f f a b a f b f ''+''-≤

''-''-=

令{})(,)(max )(21ξξξf f f ''''=''，即有

|)()(|)

(4|)(|2

a f

b f a b f --≥

''ξ．

例3.2.4 设)(x f 二次可微，0)1()0(==f f ，2)(max 1

0=≤≤x f x ，试证：

)(min 1

0-≤''≤≤x f x ．

证明：因)(x f 在[]1,0上连续，故有最大值，最小值．又因2)(m ax 1

0=≤≤x f x ，

0)1()0(==f f ，故最大值在()1,0内部达到，所以()1,00∈?x 使得

)(max )(1

00x f x f x ≤≤=

于是)(0x f 为极大值，由费马定理有：0)(0='x f ，

在0x x =处按Taylor 公式展开：)1,0(,∈?ηξ使得：

第3章泰勒公式的应用

02)()()0(0x f x f f ξ''+==，（3.8）

00)

1(2

)

()()1(0x f x f f -''+

==η．（3.9）

因此

{}??

???????---=''''≤''≤≤2020

10)1(4,4

min )(),(min )(min x x f f x f x ηξ 而??

???∈1,210x 时，

16)

1(4)

1(4,4min 202

020-≤--=???

???????---x x x ，

???∈21,00x 时，

164)

1(4,4min 202

020-≤-=??

???????---x x x ．

所以，16)(min 1

0-≤''≤≤x f x ．

由上述几个例题可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式，例3.2.1说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例3.2.2说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，例3.2.3是用泰勒公式证明中值不等式，例3.2.4与例3.2.2很相似，只不过前者是界的估计，后者是对导数的中值估计．证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学习中我们要会灵活应用．但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．

3.3 应用Taylor 公式求极限

例3.3.1求4

cos lim

x x

x -

→-．

解：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林公式展开，则有

)(2421cos 5

x x

x ο++

)(82

x x

ο++

)(12

cos 5

x x

e x x

ο+-

=--

所以，12

1)(12

lim

cos lim

=+-=-→-

→x

x x

x x x

x ο．

像这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，因为使用洛毕达法则比较麻烦和复杂．

例 3.3.2 设函数)(x ?在[)+∞,0上二次连续可微，如果)(lim x x ?+∞

→存在，且)(x ?''在

[)+∞,0上有界，试证：0)(lim ='+∞

→x x ?．

证明：要证明0)(lim ='+∞

→x x ?，即要证明：0>?ε，0>?δ．当M x >时()ε?<'x ．利用Taylor 公式，0>?h ，

)(2

1)()()(h h x x h x ξ????''+

'+=+ （3.10）

即

[]h x h x h

x )(2

1)()(1)(ξ????''-

-+=

' （3.11）

记)(lim x A x ?+∞

→=，因)(x ?''有界，所以0>?M ，使得

M x ≤'')(?， )0(≥?x

故由（3.11）知

[]h

x A A h x h

x |)(|2

1)()(1)(ξ????''+-+-+≤

' （3.12）

0>?ε，首先可取0>h 充分小，使得

21ε

Mh ，然后将h 固定，因)(lim x A x ?+∞

→=，

所以0>?δ，当δ>x 时

[]2

)()(1ε

??<

-+-+x A A

h x h

从而由（3.12）式即得：ε

?=+

2)(x ．即

0)(lim ='+∞

→x x ?

例3.3.3 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程．（1）32)1)(2(+-=x x y ；（2）)1(cos

215x

x y --=．

解：（1）首先设所求的渐近线为 b ax y +=，并令 x

u 1=，则有：

第3章泰勒公式的应用

)

(1lim

)()3

21)(321(lim )1()21(lim

])

1)(2([lim 0

=+--=+--+

=--+-=--+-→→→∞

→u

u bu a u

u bu a u u u

a u u

b ax x x u u u x οο

从中解出：1=a ，0=b ．所以有渐近线：x y =．

（2）设b ax y +=，x

u 1=

，则有

)

()422

1)(24

1(lim cos lim

])1(cos

[lim 5

215

=+--?+

-=---=---→-→-∞

→u

u bu

au e

u b ax e x

x u u

u x

x ο

从中解出：12

=a ，0,1==b a ．

所以有渐近线：x

y 12

1-=．

从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而我们在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐进线．

上述三个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例3.3.1是在具体点或者是特殊点的极限，而第二个例子是求无穷远处的极限，第三个是利用极限来求函数的渐近线，学习了数学分析，我们知道求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目我们用洛必达法则或其他方法是很难求出，或者是比较复杂的，我们不妨用泰勒公式来解决．

3.4 应用Taylor 公式求中值点的极限

例3.4.1]4[ 设

(1))(x f 在),(00δδ+-x x 内是n 阶连续可微函数，此处0>δ； (2)当)1(,...,3,2-=n k 时，有0)(0)

(=x f

k ，但是0

)(0)

(≠x f

n ；

(3)当δ<≠h 0时有

))(()

()(000h h x f h

x f h x f θ+'=-+．（3.13）

其中1)(0<

1)(lim -→=

n h n

h θ．

证明：要求出)(h θ的极限必须设法解出)(h θ，因此将（3.13）式左边的)(0h x f +及右端的))((0h h x f θ+'在0x 处展开，注意条件(2)，知)1,0(,21∈?θθ使得

()

)(!

)()()(10000h x f

n h

x f h x f h x f n n

θ++

'+=+，（3.14） ))(()!

1())

(()())((20)

00h h x f

n h h

x f h h x f n n n θθθθ+-+

'=+'--，（3.15）

于是（3.13）式变为

=++

'-)(!

)(10)

0h x f

n h

x f n n θ))(()!

1())

(()(20)

0h h x f

n h h

x f n n n θθθ+-+

'--

从而

20)

(10)

())

(()

()(-++=

n n n h h x nf

h x f h θθθθ．

因)1,0()(,,21∈h θθθ，利用)

()

(x f

n 的连续性，由此可得

1)(lim -→=

n h n

h θ．

这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．

3.5 应用Taylor 公式近似计算

由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围．特别是计算机编程上的计算．

例3.5.1 求：（1）计算e 的值，使其误差不超过610-；

（2）用泰勒多项式逼近正弦函数x sin ，要求误差不超过310-，以2=m 的情形讨论x 的取值范围．

解：(1) 由于x e 的麦克劳林的泰勒展开式为： 10,)!

1(!

...!

211

<<++

+++=+θθn x

n e

n x

x e

当1=x 时，有

1(!

1...!

2111++

+=n e

n e θ

故)!

1(3)!

1()1(+<

n n e

R n θ

．当9=n 时，有

第3章泰勒公式的应用

910

3628800

103)1(-<<

从而省略)1(9R 而求得e 的近似值为： 718285

.2!

91...!31!2111≈+

+++

+≈e

(2) 当2=m 时， 6

sin 3

x x -

≈，使其误差满足：

410

5cos )(-<≤

x x x R θ

只需6543.0

3.6 应用Taylor 公式求极值

定理3.1

]

12[ 设f 在0x 附近有1+n 阶连续导数，且

)(0x f ')(0x f ''=0)(...0)

(===x f

n ， 0)(0)

1(≠+x f

（1）如果n 为偶数，则0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则0x 是f 的严格极值点，且当0

)(0)

1(>+x f n 时，0x 是f 的

严格极小值点；当0

)(0)

1(<+x f

n 时，0x 是f 的严格极大值点．

证明：将f 在0x 点处作带皮亚诺型余项的Taylor 展开，即：

))

(()

()!

1()

()()(1

00)

1(0+++-+-++

=n n n x x x x n x f

x f x f ο

于是

0100)1(0)()())(()!1()()()(++++-??

????--++=-n n n n x x x x x x n x f x f x f ο 由于

)!1()

()())(()!1()(lim 0)

1(10100)1(0

+=??

????--++++++→n x f x x x x n x f n n n n x x ο 故0>?δ，),(00δδ+-x x 中，

00)

1()

()

)

(()!

1()

(+++--+

+n n n x x x x n x f

ο与

1()

(0)

1(++n x f

n 同号．

（1）如果n 为偶数，则由10)(+-n x x 在0x 附近变号知，)()(0x f x f -也变号，故0

x 不是f 的极值点．

（2）如果n 为奇数，则1+n 为偶数，于是，10)(+-n x x 在0x 附近不变号，故

)()(0x f x f -与

1()

(0)

1(++n x f

n 同号．

若0)(0)

1(>+x f

n ，则)()(0x f x f >，)(),(0,000δδ+-∈?x x x x x ，0x 为f 的严格

极小值点．

若0

)(0)

1(<+x f

n ，则)()(0x f x f <，)(),(0,000δδ+-∈?x x x x x ，0x 为f 的严格

极大值点．

例3.6.1 试求函数34)1(-x x 的极值．

解：设34)1()(-=x x x f ，由于)47()1()(23--='x x x x f ，因此7

4,1,0=x 是函数的

三个稳定点．f 的二阶导数为

)

287)(1(6)(2

2+--=''x x x x x f ，

由此得，0)1()0(=''=''f f 及0)7

(>''f ．所以)(x f 在7

x 时取得极小值．

求三阶导数

)4306035(6)(2

3-+-='''x x x x x f ，

有0)0(='''f ，0)1(>'''f ．由于31=+n ，则2=n 为偶数，由定理3.1知f 在1=x 不取极值.

再求f 的四阶导数

)1154535(24)(2

)

4(-+-=x x x x f

，

有0)0()

．因为41=+n ，则3=n 为奇数，由定理3.1知f 在0=x 处取得极大值．

综上所述，0)0(=f 为极大值，823543

69127

4-=-=）（）（f 为极小值．

由上面的例题我们可以了解到定理3.1也是判断极值的充分条件．

3.7 应用Taylor 公式研究函数图形的局部形态

定理3.2]12[ 设R X ∈为任一非空集合，X x ∈0，函数R X f →:在0x 处n 阶可导，且满足条件：)(0x f ''0)(...)(0)

1(0==='''=-x f

x f n ，0

)(0)

(≠x f

n ．

（1）n 为偶数，如果)0(0)(0)

(<>x f

n ，则曲线)(x f y =在点))

(,(00x f x 的邻近

位于曲线过此点的切线的上（下）方．

（2）n 为奇数，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于该点切线的两侧，此时称曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．

证明：因为f 在0x 处n 阶可导，并且)(0x f ''0

)(...)(0)

1(0==='''=-x f

x f n ，

)(0)

(≠x f

n ，所以f 在0x 的开邻域 ),(0δx B 内的n 阶Taylor 公式为

第3章泰勒公式的应用

))(()(!

)

())(()()(000)

(000n

n x x x x n x f

x x x f x f x f -+-+

-'+=ο )(0x x →

于是

[]??

?--+

-=-'+-n

n n

x x x x n x f

x x x x x f x f x f )

())((!

)

()())(()()(000)

(0000ο 由于

)

()

())((!

)

(lim 0)

(000)

n x f

x x x x n x f n n

n x x =??

?--+

→ο

由此可见：0>?δ，),(0δx B X x ∈?，有：[]))(()()(000x x x f x f x f -'+-与

n x x n x f

)

(00)

(-同号．

（1）当n 为偶数，如果0)(0)

(>x f

n ，则

[]0

))(()()(000>-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈?

这就表明在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上方；

如果0)(0)

(

n ，则有

[]0))(()()(000<-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x

∈?

因此，在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下方．

（2）当n 为奇数，这时若)0(0)(0)

(<>x f

n ，则

[])0(0))(()()(000<>-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x

+∈? [])0(0))(()()(000><-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x

-∈?

由此知，在0x 的右侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上（下）方；而在0x 的左侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下（上）方．因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．

3.8 应用Taylor 公式研究线形插值

例 3.8.1（线形插值的误差公式）设R b a f →],[:为实一元函数，l 为两点

))(,(a f a 与))

(,(b f b 所决定的线形函数，即)()()(b f a

b a x a f a

b x b x l --+

--=

，l 称为f 在

区间],[b a 上的线形插值．

如果f 在区间],[b a 上二阶可导，f 在],[b a 上连续，那么，我们可以对这种插值法带来的误差作出估计．

应用带Lagrange 型余项Taylor 公式：),(x a ∈?ξ，),(b x ∈?η，使得

[][]

)

)(()()(2))(()()(21)()()()(21)()()()()()()()(22ζηξηξf a x x b f a b x b f a b a x a x x b f x b x f x b a b a

x f x a x f x a a b x b x f b f a

b a x x f a f a

b x b x f x l ''--=

???

???''--+''----=??

????''-+'---+??????''-+'---=---+

---=

其中，),(b a ∈ζ，最后一个式子是由于

0>--a

b x b ，

0>--a

b a x ．

)}

(),(max{)

()()

)}(

(),(min{)}(),(min{ηξηξηξηξf f f a

b x b f a

b a x a

b x b a b a x f f f f ''''≤''--+''--≤--+

--''''=''''

以及Darboux 定理推得．

如果M 为)(x f ''的上界（特别当)(x f ''在],[b a 上连续时，根据最值定理，取

)

(max ]

,[x f M b a x ''=∈），则误差估计为

M a b f a x x b x f x l 2

)

(|)(|2

)

)(()()(2

-≤

''--≤

-ζ，],[b a x ∈?

这表明，M 愈小线性插值的逼近效果就会愈好，当M 很小时，曲线)(x f y =的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的．

3.9 应用Taylor 公式研究函数表达式

例3.9.1]4[ 设在内有连续三阶导数，且满足方程：

)()()(h x f h x f h x f θ+'+=+，10<<θ．(θ

与h 无关) （3.16）

试证：)(x f 是一次或二次函数．

证明：要证)(x f 是一次或二次函数，就是要证0)(≡''x f 或0)(≡'''x f ．因此要将（3.16）式对h 求导，注意θ与h 无关，我们有

)()()(h x f h h x f h x f θθθ+''++'=+' （3.17）

从而

)()

()()()(h x f h

h x f x f x f h x f θθθ+''=+'-'+'-+' （3.18）

令0→h ，对（3.17）式两边取极限得：)()()(x f x f x f ''=''-''θθ，即

第3章泰勒公式的应用

)

(2)(x f x f ''=''θ

若21≠θ，由此知0)(≡''x f ，)(x f 为一次函数；若2

θ，则（3.17）式变成：)

21(21)21()(h x f h h x f h x f +

''+

'=+'．此式两端

同时对h 求导，减去)(x f ''，除以h ，然后令0→h 取极限，即得0)(≡'''x f ，即)(x f 为二次函数．

实际上在一定条件下证明某函数0)(≡x f 的问题，我们称之为归零问题，因此上例实际上也是)(x f ''，)(x f '''的归零

考研数学公式大全(考研必备)

高等数学公式篇 ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 导数公式：基本积分 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222????+-+--=-+++++=+-= ==-C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n ln 22)ln(221 cos sin 22222 2222222 22 2 22 2 π π

数学分析公式

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

考研数学公式大全(考研同学必备)

考研数学公式(全) ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,

·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立指导教师吴春摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项

考研数学公式大全数三

导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='?-='?='-='='2 2 2 2 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='??????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222 222C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-===-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 2 2222222 2222222 22222 2 020π π

泰勒公式及其应用

目录摘要 (1) 英文摘要 (2) 第一章绪论 (3) 第二章泰勒公式 (5) 1.1泰勒公式的意义 (5) 1.2泰勒公式余项的类型 (5) 1.3泰勒公式 (6) 第三章泰勒公式的实际应用 (7) 2.1利用泰勒公式求极限 (7) 2.2利用泰勒公式进行近似计算 (8) 2.3在不等式证明中的应用 (9) 2.4泰勒公式在外推上的应用 (10) 2.5求曲线的渐近线方程 (11) 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 (13) 2.7在广义积分敛散性中的应用 (14) 2.8泰勒公式在关于界的估计 (15) 2.9泰勒公式展开的唯一性问题 (15) 结束语 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)

第一章绪论近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 ()20000000()()()()()()()(),1!2!! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++- 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即 ()200000000()()()()()()()()(()).2!! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证

泰勒公式及其在解题中的应用

本科生毕业设计（论文）（ 2014届）设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用作者周立泉分院理工分院用数学1001班指导教师（职称）徐华（讲师）专业班级数学与应用数学）论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日杭州师范大学钱江学院教学部制

泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用．关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.

考研数学公式大全(免费)

高等数学公式篇·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

考研数学(三)公式大全

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。－－泰戈尔数学公式导数公式：基本积分表：等价无穷小量代换 ()时，有：当0→x ? x x ~sin x x ~tan x x ~arcsin x x ~arctan a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='?-='?='-='='2 22211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='??????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222? ? ? ??++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 222222222222222222 222 020ππ

考研数学140分-必背公式大全

全国硕士研究生统一入学考试数学公式大全导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

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高等数学公式篇· 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·si nβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·si nβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tan β·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tan γ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1 -2sin^2(α)

数学分析公式定理111章

第一章变量与函数 §1 函数的概念一变量变量、常量、实数性质、区间表示二函数１．定义１设,X Y R ?，如果存在对应法则f ，使对x X ?∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量， y 为因变量。函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X . {}()|(),f X y y f x x X ==∈。２．注（1）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ= ∈（相同，对应法则的表达形式不同）。（2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函数()y f x =”或“函数f ”。（3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象。a 称为()f a 的原象。 3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >?? ==??-，则称f 为X 上的严格减函数。

2020考研线性代数_常用公式

考研数学线性代数常用公式数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生在暑期的复习中有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。 1、行列式的展开定理行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 C 的 3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E . 设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A 4、对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也

可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100?? ?= ? ?? ?E . 第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如 2100(5)050001?? ?-=- ? ?? ?E . 第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如 3,2100(2)012001?? ?-=- ? ??? E . 注： 1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的. 2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错. 5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A . 1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ； 2）()1r ≠?≥A O A ； 3）()1r =?≠A A O 且A 各行元素成比例； 4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =?≠A A . 6、线性表出设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合. 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组

考研数学：高数重要公式总结(基本积分表)

凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研数学：高数重要公式总结（基本积分表）考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦!

凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！凯程考研：凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里；信念：让每个学员都有好最好的归宿；使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；激情：永不言弃，乐观向上；敬业：以专业的态度做非凡的事业；服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。如何选择考研辅导班：在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经

泰勒公式的应用

泰勒公式及其应用

摘要文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。关键词：泰勒公式，最优化理论，应用

一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ；设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）：设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数；对上式再次使用柯西中值定理，可得：

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高等数学公式篇 ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·倍角公式：si n(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三角函数的有理式积分： 22 2212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　一些初等函数：两个重要极限：和差角公式： ·和差化积公式： ·正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理： C ab b a c cos 2222 -+= 反三角函数性质： arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： ) () ()()2()1()(0)()() (!)1()1(!2)1() (n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+ '+==---=-∑ a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arc c os 11 )(arc sin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβ αβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+= -+±=++=+-==+= -= ----11ln 21) 1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1 1(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

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第2章预备知识前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο 这样当1<

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导数公式: = scc 2 x / 2 (cfgx)'= -cscr (secx)r = secx ?tgx (esc x\ = - esc x ? etgx (a x \ = a x \na (arccosx)'=——/ yjl-x 2 — 2 I n = Jsin" xdx = jcos M xdx 0 (log. x\ = 1 x\na (arcctgx)f = 1 l + x 2 基本积分表： ygxdx = - ln|cos x +C ^ctgxdx = ln|sin x +C jscc xdx = ln|scc 兀 + fgx + C Jese xdx = ln|csc x - etgx + C 1 x =—arctg — +C a a = ±lnl dx cos 2 x dx sin 2 x |sec 2 xdx = tgx + C jese 2 xdx = -etgx + C dx ~2 2 a +x dx 2 7 x -er dx a 2 -x 2 dx \la 2 -x 2 x-a 2ci \x + a\ 1 , ci + x 厂 =——In ---- + C 2a a-x = = arcsin —+ C a jsec x ? tgxdx = sec x + C |cscx-c/gxJx = -esex + C ia x dx = ———C J Inez jshxdx = chx + C ^chxdx = shx + C J 岛 T 777 " ^x 2 +a 2 dx = — y/x 2 + a 2 + — ln(x + y/x 2 +a 2 ) + C 2 _________ ____________________ 2 JVx 2 -a 2d x = ~ J 兀2 _ — In 兀 + — cz 厶 + C JJ/ x = *罷三角函数的有理式积分： 2 一 + — arcsin — + C 2 a sinx = 2u l + u 2 cosx = 1 -M 2 1 + w 2 U=tg 2 dx = 2du l + w 2 (arctgx)f = 1 l + x 2 /r 2 (arcsin x)f

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