课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 2.4 线段、角的轴对称性（2）
教学目标1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线；
2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；
3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．
教学重点利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．
教学难点灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．
教学方法
教具准备
教学课件
教学过程个案补充一.自主先学：
实践探索一
在一张薄纸上画一条线段AB，你能找出与线段AB的端点A、B
距离相等的点吗？这样的点有多少个？
实践探索二
如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条
线段两端的距离相等．反过来，如果一个点到一条线段的两端的
距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？
如图2-21（1），若点Q在线段AB上，且QA＝QB，则Q是
线段AB的中点，则点Q在线段AB的垂直平分线上.
如图2-21（2），若点Q是线段AB外任意一点，且
QA＝QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？
通过上述探索，你得到了什么结论？
分析：全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质五.小结与反思：
课外作业：
布置作业
板书设计
教后札记
实践探索四
如果任意一个点在角平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．反过来，结合上节课所学，你有什么猜想？
如图2-26，若点Q 在∠AOB 内部，QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，且QD ＝QE ，点Q 在∠AOB 的角平分线上吗？为什么？
通过上述探索，你得到了什么结论？
二．探究交流
如图，△ABC 中，P 是角平分线AD ，BE 的交点。 求证：点P 在∠C 的平分线上。
三．交流展示
O
A
B Q D
E 2-26
如图,AD∥BC，CD⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点，EF⊥AB 于点F，判断AD、BC与AB之间的数量关系并说明理由。
五.小结与反思：
课外作业：
布置作业
板书设计
教后札记
课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 2.4线段、角的轴对称性（4）
教学目标1．能利用所学知识提出问题并能解决实际问题；
2．能利用角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有根有据；
3．经历探索角的轴对称应用的过程，在解决问题的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性
教学重点综合运用角平分线的性质定理和逆定理解决问题．
教学难点学会证明点在角平分线上．
教学方法
教具准备
教学过程个案补充一. 自主先学：
上节课我们知道了“角平分线上的点到角两边距离相等”，
而且“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．这两
个定理能用来解决什么问题呢？
例2 已知：△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线
相交于点P．求证：点P在∠A的角平分线上．
分析：要证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到
角两边距离相等的点在角平分线上，只要点P到∠A两边的距
离相等，所以过点P做两边的垂线段PD、PE，证出PD＝PE，
而要证PD＝PE，因为点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交
点，根据角平分线的性质，点P到∠ABC、∠ACB两边的距离
都相等，所以只要做出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，
PE＝PF，从而PD＝PE，所以得证．
二．探究交流
例3 已知：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．
分析：要证AD垂直平分EF，
只要证：，．
已知∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF⊥AC，
只要证，
只要证．
……
三．交流展示
如图，过△ABC的边AC的垂直平分线MN上的点M作△ABC另外两边AB、BC所在的直线的垂线，垂足分别为D. E，AD=CE，作射线BM，求证：(1)DM=ME; (2)BM平分∠ABC.
四.拓展提高：
如图,AD∥BC，CD⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点，EF⊥AB
于点F，判断AD、BC与AB之间的数量关系并说明理由。
五.小结与反思：
布置作业课外作业：
课本P58-59习题2.4，分析第9、10、11题的思路，任选2题写出过程．
板书设计教后札记
1.4 线段、角是轴对称性（2）--- [ 教案] 班级姓名学号 教学目标： 1、使学生掌握角是轴对称图形，角平分线的性质. 2、使学生通过类比的思想和方法掌握本节课的内容，培养学生主动探索学习的能力通过让学 生在原有的知识基础上. 3、通过类比方法，掌握了新的知识，可以提高学生自学的兴趣和信心. 教学重点：角平分线的性质：Array教学难点：角平分线的性质应用 教学过程： 一、情境创设： 张庄、李庄和马庄的位置如图，每两个村庄之间都有笔直的道路 相连，他们计划共同打一眼机井.希望机井到三条道路的距离相等，你 能设计出机井的位置吗？ 通过本课的学习，我相信大家将不难解决这个问题. 今天，我们来学习角的轴对称性. （二）新授 1、请同学们将事先准备的薄纸拿出来，在上面任意画一个角（∠AOB），折纸使两边OA、OB 重合，你发现折痕与∠AOB有什么关系？ 学生通过动手和讨论得到结论：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2、在∠AOB的内部任意取折痕上的一点P，分别作点P到OA和OB的垂线段PD、PE，再沿 学生作图探究，可得到很多结论，如PC=PD，PC、PD关于折痕对称等等，点评学生的各种结论并强调重点： 角平分线上的点到角的两边距离相等.
在上面第二个结论中，有两个条件（1）OC 是∠AOB 的平分线；（2）点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，才能得出PD ＝PE ，两者缺一不可.下图中PD ＝PE 吗？各缺少了什么条件？ 3、上节课我们已经学习了：若点P 在线段AB 的垂直平分线上，那么PA=PB ，如果QA=QB ，那么点Q 在线段AB 的垂直平分线上.今天我们又学了若点P 在∠AOB 的平分线上，那么点P 到OA 、OB 的距离相等；反过来，你能提出什么猜想吗 部分学生能猜想出来：若点P 到OA 、OB 的距离相等，则点P 在∠AOB 的平分线上. 让学生完成P24图1-19的相关问题，学生通过作图、测量、观察得到： 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 4、上节课我们学习了线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.那么角平分线就是……？ 部分学生会回答出：角平分线是到角两边距离相等的点的集合. 二、例题示范： 例1、任意画∠O ，在∠O 的两边上分别截取OA 、OB ，使OA=OB ，过点A 画OA 的垂线，过 P ，点O 在∠APB 的平分线上吗？为什么？ 例2、如下图（1）所示，在△ABC 中，∠C ＝ 90°，BD 是角平分线，交AC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，AD ＝3DE.AD 和3DC 是什么关系?为什么? 三、课堂小结： 角平分线的作法及性质 A O B C D E P P E D C B O A O
教案1．4线段、角的轴对称性(1) 【学习目标】： 1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； 2 .探索并掌握线段的垂直平分线的性质. 【重点难点】：线段中垂线的性质和判定 【预习指导】： 自学课本18页到19页，回答下列问题并写下疑惑摘要 问题1：线段是轴对称图形吗？为什么 问题2线段的对称轴是什么？ 问题3已知线段MN=3cm ,直线l是MN的垂直平分线。分别以M,N 为圆心，2cm的长为半径画弧，两弧相交于点G、H，并观察点G,H与直线l有什么关系? 课堂活动 活动一对折线段 问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？ 问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？结论：1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 例题：P18 例1 这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？
活动二用圆规找点 问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？ 问题2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？ 结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线 1.按课本上19页的方法在书上作出线段的垂直平分线； 2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线 结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【典题选讲】： 已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，. 求DC的长 【学习体会】： 【课堂练习】： 1、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长？
1.4 线段、角是轴对称性（1） 教案 班级 姓名 学号 教学目标： 1、线段、角的轴对称的性质的掌握； 2、线段的垂直平分线的作法，性质的掌握； 3、角平分线的作法、性质的掌握 教学重点：探索并掌握线段的垂直平分线的性质教学过程： 教学难点：线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合 教学过程： 一、情境创设： 如图，A ,B ,C 三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划建一所小学，要使学校到三所村庄的距离相等.请你当一回设计师，在图中确定学校的位置，你能办到吗？相信通过本课的学习，你就会轻易的解决这个问题 新授： 1、让学生准备一张薄纸，在这薄张上任意画一条线段AB ，折纸，使两端点重合，你发现了什么？ 学生通过动手和讨论得到结论： 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2练习：如图，直线l ⊥AB ，垂足为C ，CA =CB ，点M 在l 上，那么 . 你还能 得出一个更一般的结论吗？ 结论： 线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 A B C
例1、线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端点的距离相等吗？为什么？ 思考题：如图1，已知线段AB，你能否利用圆规找一点Q，使点Q到A、B的距离相等，观察点Q是否在直线l上？ 老师巡视，给予个别辅导最后给出肯定答案： 即：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 3、用尺规作图法作线段的垂直平分线 在总结上一题的基础上，老师给出作图过程和作图方法，学生在理解的基础上模仿，掌握用尺规作图作线段的垂直平分线的方法. 师生共同总结：如果直线l是线段AB的垂直平分线，那么，若点P在l上，则PA=PB；若QA==QB，则点Q在l上.由此，可得到： 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合 二、例题示范： 例2、如图10.2.2，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D．BE ＝6，求△BCE的周长． 图10.2.2
人教版八年级上册数学第十三章《轴对 称》全章教学设计 13.1.1 轴对称 在本节中，我们将研究轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念。我们需要了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴和对应点，以及线段垂直平分线的概念。此外，我们还将理解和掌握轴对称的性质。 在作品展示环节，我们可以让部分学生展示课前的剪纸作品，并进行小组活动，讨论窗花制作过程中的剪纸方法和窗花图案的共同特点。 在概念形成环节中，我们首先提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”。然后，我们结合教材图13.1-1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置。学生可以举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子。
在概念形成环节的第二部分，我们观察教材中的图13.1-3，思考每对图形共同的特点，并给出两个图形成轴对称的定义。我们可以举例，讨论轴对称图形和两个图形成轴对称的区别。 在概念形成环节的第三部分，我们观察教材中图13.1-4， 引导学生发现线段AA′与直线MN的位置关系，并总结出对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段的规律。在这个基础上，我们给出线段的垂直平分线的概念，并把上述规律概括成图形轴对称的性质。此外，我们还讨论了类似的，轴对称图形的对称轴是任何一个对应点所连线段的垂直平分线。 你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出。因此，我们需要找出原命题的条件和结论，然后将其写成“如果…那么…”的形式。我们鼓励学生找出原命题的条件和结论。 原命题的条件是：“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是：“这个点与这条线段两个端点的距离相等”。此时，逆
八年级数学轴对称教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
轴对称（一）教学目标： 1．在生活实例中认识轴对称图． 2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念． 教学重点： 轴对称图形的概念． 教学难点 能够识别轴对称图形并找出它的对称轴． 教具准备：三角尺 教学过程 一．创设情境，引入新课 1.举实例说明对称的重要性和生活充满着对称。 2. 对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐． 3.轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！二．导入新课 1.观察：几幅图片（出示图片），观察它们都有些什么共同特征． 强调：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，?甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子． 练习：从学生生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子． 2.观察：如图12．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），?再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．你能发现它们有什么共同的特点吗？
3.如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．我们也说这个图形关于这条直线（成轴）?对称． 4.动手操作：取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意 刻出一个图案，将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？ 归纳小结：由此我们进一步了解了轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合． 5.练习：你能找出它们的对称轴吗？分小组讨论． 思考：大家想一想，你发现了什么？ 小结得出：.像这样，?把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，?这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 三．随堂练习 1、课本30练习 2、 P31练习 四．课时小结 这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称． 五．课后作业 习题12．1─1、2、6题． 轴对称（二） 教学目标 1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质． 2．探究线段垂直平分线的性质．
第十三章《轴对称》教材分析 一、教材内容 本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，了解轴对称在现实生活中的广泛应用，并利用轴对称变换，探索等腰三角形的性质，学习等腰三角形的判定方法，并进一步学习等边三角形的性质． 在本章第1小节“轴对称”中，教科书立足于学生的生活经验和数学活动经历，从观察现实生活中的对称现象开始，引出轴对称图形和图形的轴对称的概念，概括出轴对称的特征．结合探索对称点的关系，归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质，并结合这一性质的得出，讨论了垂直平分线的性质定理及其逆定理． 在第2节“画轴对称图形”中，首先通过操作对轴对称的性质进行了归纳，然后通过例题给出了画简单平面图形关于给定对称轴的对称图形的一般方法，最后用坐标从数量关系的角度刻画了轴对称．教科书从观察和实验入手，归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律，并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中画出一个图形关于x轴或y轴对称的图形． 本章第3节等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质．等腰三角形的许多特殊性质，又都和它是轴对称图形有关，这也是教科书把这部分内容安排在本章的一个重要原因．在本章第3小节“等腰三角形”中，利用等腰三角形的轴对称性，得出了“等边对等角”“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法等内容． 本章第4节是“课题学习最短路径问题”．教科书在这一节中安排了两个问题，分别是“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”，解决这两个问题的关键是通过轴对称和平移等变化把问题转化为关于“两点之间，线段最短”的问题，在解决这两个问题的过程中渗透了化归的思想． 二、教学目标 1、知识与技能 （1）通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质． （2）探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．
第十三章《轴对称》教学分析 一、本章在教材中的意义 本章涉及到课标中图形的性质、图形的变化、图形与坐标三个部分的内容。 在图形的性质方面，本章主要学习线段的垂直平分线、等腰三角形和等边三角形的性质与判定，前有全等三角形作为探究、推理的基础，后面还会在平行四边形、圆的学习中讨论图形的对称性. 在图形的变化方面，轴对称和平移、旋转都属于合同变换（将一个平面图形变换成与其相等或全等的图形的变换），初中阶段还会学习位似变换，教材在处理这些变换时，也都采取了相似的思路，即从实例中得到概念、从典型例子中总结性质、以性质为依据进行作图、在坐标系中作图探索坐标和变换的关系. 在图形与坐标方面，本章的要求仅限于对称轴是坐标轴的情形，但在后续学习函数图象的对称性时，会遇到更复杂的情形. 从学习过程的设计来看，本章教材在设计上加强了实验几何的成分。（实验几何，即通过观察与实验认识几何图形、发现图形的性质、求解图形的关系。）教材让学生通过画图、折纸、剪纸、度量等活动，探索发现几何结论，在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论。 二、本章教学目标和考试要求 1.本章教学目标 （1）通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质. （2）探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴对称的图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形. （3）理解线段垂直平分线的概念，探索并曾敏线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. （4）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理；探索并掌握等边三角形的性质定理及等边三角形的判定定理. （5）能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣. 2.教学重、难点 重点：轴对称的性质，等腰三角形的性质和判定. 难点：对图形性质的推理证明.
初二数学 第二章轴对称图形 导学案 课题 2.4线段的轴对称性（1） 学习目标： 1． 探索并证明线段垂直平分线的性质定理，能利用所学知识提出问题并解决生活中的实际问题； 2． 能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据，渗透反证法的思想； 教师复备及 学生学习笔记 重难点：利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质． 利用线段垂直平分线的性质解决生活中的实际问题； 教学法：自主学习,讨论,讲练结合 导 学 过 程 一．自主学习 1.线段是_______图形,对称轴是________________________ 2..线段垂直平分线的定理：_______________________________________ 二．合作探究 实践探索一 在一张薄纸上画一条线段AB ，操作并思考：线段是轴对称图形吗？如果是，对称轴在哪里？为什么？ 实践探索二 如图2-17直线l 是线段AB 的垂直平分线，如果沿直线l 翻折，你有什么发现？说说你的看法． 实践探索三 如图，线段AB 的垂直平分线l 交AB 于点O ，点P 是l 上任意一点，PA 与PB 相等吗？为什么？通过证明，你 发现了什么？用语言描述你得到的结论． 思考: 线段垂直平分线上的点有什么特点？ ________________________________________________ 例题1：如图在△ABC 中，AB=5cm,AC=3cm,BC 的垂直平分线分别交AB,BC 于点D,E,求△ACD 的周长。 实践探索四 _ l _ B _2 _1 _ O _ A 2-17 2-18
试判断：线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？ 1．你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？ 2．请你利用题中的已知条件和要说明的结论画出图形． 3．根据图形你能证明吗？试一试，让学生自己作图，讨论研究，并给出结论和证明． 三．当堂检测 1.p52T1 2..如图要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什么地方，才能使A,B 两村到车站的距离相等？ 3.已知：如图在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线m,n相交于点O. 求证：点O到△ABC三个顶点的距离相等。 四．作业布置 1 .课堂作业：p57T1 2.课外作业：伴你学 自主反思
第十三章轴对称 13．1.1轴对称 1．理解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念． 2．了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴、对应点． 3．掌握线段垂直平分线的概念． 4．理解和掌握轴对称的性质． 重点:轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念． 难点:轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系． 一、作品展示 1．让部分学生展示课前的剪纸作品． 2．小组活动： (1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的？为什么要这样？ (2)这些窗花(图案)有什么共同的特点？ 二、概念形成 (一)轴对称图形 1．在学生充分交流的基础上，教师提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”． 2．结合教材图13.1－1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置． 3．学生举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子． 4．概念应用：(1)教材第60页练习第1题． (2)补充：判断下面的图形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，它们的对称轴是什么？ (二)两个图形关于某条直线对称 1．观察教材中的图13.1－3，思考：图中的每对图形有什么共同的特点？ 2．两个图形成轴对称的定义．
观察右图： 把△A′B′C′沿直线l对折后能与△ABC重合，则称△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，简称“轴对称”， 点A与点A′对应，点B与B′对应，点C与C′对应，称为对称点，直线l叫做对称轴． 3．举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？ 4．讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别． (三)轴对称的性质 观察教材中图13.1－4，线段AA′与直线MN有怎样的位置关系？你能说明理由吗？ 引导学生说出如下关系：PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°. 类似的，点B和点B′，点C和点C′是否有同样的关系？你能用语言归纳上述发现的规律吗？ 结合学生发表的观点，教师总结并板书． 对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．在这个基础上，教师给出线段的垂直平分线的概念，然而把上述规律概括成图形轴对称的性质． 上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也有同样的关系？ 从而得出：类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一个对应点所连线段的垂直平分线． 三、归纳小结 主要围绕下列几个问题： (1)概念：轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴，对称点； (2)找轴对称图形的对称轴． 四、布置作业:教材习题13.1第1，2，3题． 数学教学应该选在牵一发而动全身的关键之处进行，轴对称图形的认识的教学就是要抓住“对折”与“完全重合”两个关键之处．不然就是隔靴搔痒. 当“部分重合”与“完全重合”理解了，轴对称图形的概念也会在学生脑海中留下深刻的印象．
2.4 线段、角的轴对称性〔4〕教材：义务教育教科书·数学〔八年级上册〕
点P在∠A的角平分线上． 分析：要证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，只要点P到∠A两边的距离相等，所以过点P做两边的垂线段PD、PE，证出PD＝PE，而要证PD＝PE，因为点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，根据角平分线的性质，点P到∠ABC、∠ACB两边的距离都相等，所以只要做出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，PE ＝PF，从而PD＝PE，所以得证． 通过解决上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置关系？ 2．分析、讨论证明思路． 3．口述证明思路及证明过程． 4．讨论归纳得到结论：三角形 的三个内角的角平分线相交于一点． 性质定理和逆定理． 采用“要证，只要证〞的思考方法引 导学生逐步学会“分析法〞． 问题解决完后及时进行小结归纳，得 出三角形“内心〞，为学习三角形的内切 圆打好根底． 例3 ：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．学生利用分析法填空； 阐述证明思路； 完成证明过程． 利用分析法引导学生学会分析问题， 培养学生良好的思考习惯． 开放的分析过程，提供了多样化的思
分析：要证AD垂直平分EF， 只要证：，． ∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF AC， 只要证， 只要证． …… 考路径． 指导学生完成练习． 解完题后，说说你的发现，提出你的问题． 练习：课本P56练习． 学生发现：三角形两外角的角平分线 与第三个角的角平分线所在的直线相交 于一点；可能提出“三角形三个外角的角 平分线所在直线是否相交于一点的问 题〞． 此题是角平分线性质定理和逆定理的 综合应用，实际上是例2的变式应用． 学生“一折，二画，三验证〞有利于 学生动手操作，获得成功，调动学生学习 的积极性，再次鼓励学生使用逆推的思路 寻找证明方法．
【课题】2.4 角的对称性（1） 【学习目标】1.让学生经历角的折叠过程探索角的对称性，并发现角平分线的性质和判定点在 一个角的平分线上的方法； 2.使学生会运用角平分线的性质定理解决生活中的相关问题； 3.培养学生实践探索的科学习惯. 【学习重难点】重点：探索并掌握角的平分线的性质. 难点：角平分线的性质应用. 【预习导航】 一、预习作业： 1、角 轴对称图形(填“是”或“不是”)， 是它的对称轴. 2、角平分线上的点到 距离相等. 3、角的内部到角两边距离相等的点在 上. 4、如图，OP 是∠AOB 的平分线，C 是OP 上一点，CE ⊥OA 于点E ，CF ⊥OB 于点F ，CE =6㎝，则CF = ㎝，理由是 . 二、合作探究： 活动一：请同学们准备一张薄纸，在上面任意画一个角(∠AOB )，折纸使两边OA 、OB 重合，你发现折痕与∠AOB 有什么关系？ 结论：角是轴对称图形， 是它的对称轴. 活动二：在∠AOB 的平分线上任意取一点P ，分别画点P 到OA 、OB 的垂线段PC 和PD ， B O F 第4题
PC和PD相等吗？会有什么结论？ 结论：角平分线上的点到距离相等. 思考：我们知道了，角平分线上的点到角两边的距离相等， 反过来，如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点 在这个角的平分线上吗？ 结论：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 三、预习检测：1、到三角形的三边距离相等的点是( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 2、如图，AD平分BAC，∠C=90°，DE⊥AB， 那么: (1)DE和DC相等吗？为什么？ (2) AE和AC相等吗？为什么？ 【课堂导学】 例1任意画∠O，在∠O的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB，过点A画OA的垂线，过点B画OB的垂线，设两条垂线相交于点P，点O在∠APB的平分线上吗？为什么？
2.4线段、角的轴对称性 教学目标： 1.探索并证明线段垂直平分线的性质定理。能利用所学知识提出问题并解决生活中的实际问题。 2.经历探索并证明线段垂直平分线性质定理的过程，在猜想—操作—观察—探究—归纳—证明的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性。 3.在学习的过程中运用发现法，体验发现的乐趣，在实际操作过程中体验几何之美。 学情分析: 本节课是在学生在学习了全等三角形和图形的抽对称性的基础上学习的，同时学生在以往的学习中已经初步具备了合作交流，实验探究等学习方法，学生在知识和学习方法等方面都具备学习本节课的准备。 重点难点: 重点：线段垂直平分线性质定理的引入证明及运用。 难点：1.利用线段垂直平分线的性质定理解决生活中的实际问题。 2.运用所学知识说明线段的垂直平分线外的点到线段的两端的距离不相等。 教学过程: 1.探索活动（一） （1）线段是轴对称图形吗？如果是请你指出它的对称轴的位置 （2）在准备好的透明纸上任画一条线段AB，操作并验证你的猜想
≅后，说明 ”证明OAP OBP ②利用线段的轴对称性和基本事实“两点确定一条直线”说明 最后师生一起归纳线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相 如图，在ABC中， 平分线分别交AC、。求AEG的周长。Array 再次对线段垂直平分线的性质定理进行灵活运用，体会其常用的情形并且熟练条理的几何语言的表达。教学过程中让不同的学生说然后全班再次书写。 6.活动（六） 课堂小结
（1）说说本节课你有哪些收获？ （2）说说你还有哪些疑惑？ 7.活动（七） 课堂练习： （1）到线段两个端点距离相等的点有 个。 （2）如图，在ABC 中，AD 垂直平分边BC ，若6AB =，则AC = ；若4BC =， 则BD = 。 （3）如图，在ABC 中， DE 是BC 的垂直平分线。 ①若10BE =cm ，则EC = cm 。 ②若+8AB AC =cm ，则ACE 的周长是 cm 。 8.活动（八） 课后作业: 1.如图，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，9AC =， :AE EC =2：1.求点B 到点E 的距离。 2.已知，如图， AB AE =，BC ED =，AF 垂直平分CD 。 求证：B E ∠=∠。 3.已知，如图，在ABC 中，边AB 、BC 的垂直平分线MN 、PQ 相交于点O . (1)点O 与ABC 的三个顶点有什么关系？ (2)当你作出AC 的垂直平分线时，你发现了什么？为什么？ 第（3 ）题第（2 ）题 B B 第3题 第2题 第1题B B E B C
线段、角的轴对称性〔4〕 【学习目标】 根本目标： 1.熟练利用角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有理有据； 2.经历运用线段和角的轴对称应用的过程，在解决问题的过程中培养思考的 严谨性和表达的条理性． 提高目标：在问题解决过程中，灵活地使用分析法和综合法的思考方法。 【重点难点】 重点：综合运用角平分线的性质定理和逆定理解决问题。 难点：解决问题过程中表达的条理性。 【预习导航】 读一读：阅读课本P 55—56 想一想：任意画∠O,在∠O 的两边上分别截取OA 、OB ，使OA=OB ,过点A 画OA 的垂线，过点B 画OB 的垂线，设两条垂线相交于点P,点P 在∠A0B 的平分线上吗？为什么？ 〔引导学生先画图、后猜想、再证明，让学生不断感受合情推理与演绎推理相辅相成，以利于不断协调开展学生的合情推理能力和演绎推理能力。〕 练习： 1.如图1，△ABC 中，∠B=900，DE 是AC 的垂直平分线，且∠BAD ：∠CAD=4：1，那么∠C ＝_______. 2．如图2，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，假设∠1＝20º， 那么∠3＝____º；假设PD ＝1cm ，那么PE ＝_________c m. 【例题讲解】 例1：如图，在三角形AB C 中，角BAC 的平分线与BC 的垂直平分线PQ 相交于点P ，过点 P O B A 32 1P E D C B O A 图1 D E C A 图2
P分别作PN垂直于AB于点N，PM垂直于AC于点M，求证：BN=CM．
例2：：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF． 〔设计这个例题，一是以利于帮助学生掌握角平分线性质定理的应用，二是借助本例引导学生感悟应用新知识优化解题思路、开展思维的灵活性。〕 【课堂检测】 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°,BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝15cm，且CD：AD ＝2：3，那么点D到AB的距离为__________cm. A D C A D B B E C 〔第1题〕〔第2题〕 2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点E，交AB于点D，△ACE的周长为11cm， AB＝4cm，那么△ABC的周长为__________cm. 3.：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE⊥
轴对称的性质（2） 一．教学目标 （一）知识目标 探索轴对称的基本性质. （二）能力目标 探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质. （三）情感与价值观目标 通过学生的操作活动，培养其空间观念和审美意识，从而提高他们的学习兴趣. 二．教学重、难点 重点：轴对称的性质. 难点：探索轴对称的性质. 三．教学方法 小组讨论法. 四．教具准备 投影片四X： 第一X：做一做（出示投影片§7.3 A） 第二X：问题（出示投影片§7.3 B） 第三X：做一做（出示投影片§7.3 C） 第四X：性质（出示投影片§7.3 D） 课本P198的图7—6的图片数X. 五．教学过程 Ⅰ.巧设现实情景，引入新课 ［师］前两节课我们探讨了轴对称图形.下面我们来动手做一轴对称的图形.（出示投影片§7.3 A）如图7－18将一X矩形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平.
图7－18 ［师］同学们做好了没有？ ［生］做好了. ［师］很好.你做的轴对称的图形有什么性质吗？ …… ［师］我们这节课就来探索轴对称的性质. Ⅱ.讲授新课 ［师］大家来仔细观察你所做的轴对称的图形.然后分组讨论下列问题（出示投影片§7.3 B） 1.上图7－18中两个“14”有什么关系？ 2.在上面扎字的过程中，点E与点E′重合，点F与点F′重合.设折痕所在直线为l，连接点E与点E′的线段与l有什么关系？点F与点F′呢？ AB与线段A′B′有什么关系？CD与C′D′呢？ 4.∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？说说你的理由. ［生甲］上图中的两个“14”是全等的. ［生乙］还关于直线l对称. ［生丙］连接点E与点E′，可知线段EE′与直线l垂直，并且被直线l平分；点F与点F′的线段也被直线l垂直平分. ［生丁］由上面的扎字过程中，我们知道：线段AB与A′B′互相重合.CD与C′D′也是互相重合.所以它们相等，即AB=A′B′,CD=C′D′. ［生戊］因为两个“14”是重叠而成的轴对称，所以∠1与∠2相等，∠3与∠4也相等. ［师］同学们讨论得真棒.下面我们来动手做一做（出示投影片§7.3 C）
C E B D A B C D E F G A 期末复习(2): 线段、角的轴对称性教学案 一、知识点： 1．线段的轴对称性： ①线段是轴对称图形，对称轴是 。 ②线段的垂直平分线上的点到 距离相等。 ③到线段两端距离相等的点，在这条线段的 上。 结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合 三角形的三条垂直平分线相交于一点，它到三角形三个顶点的距离相等 2．角的轴对称性： ①角是轴对称图形，对称轴是 。 ②角平分线上的点到 距离相等。 ③到角的两边距离相等的点，在 上。 结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合 三角形的三条角平分线相交于一点，它到三角形三条边的距离相等。 二、基础训练： 1、三角形ABC 中，DE 垂直平分AC ，则三角形BCD 的周长等于 变形：三角形ABC 中，DF 、EG 分别垂直平分AB 和AC ，则三角形AFG 的周长等于 2、如图，在△ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，CD=5cm ，则DE 的长是 。 三、例题讲解： 例1：如图，已知直线l 及其两侧两点A 、B 。 （1） 在直线l 上求一点P ，使PA=PB ；（2）在直线l 上求一点Q ，使l 平分∠AQB 。 例2：如图，直线a 、b 、c 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？ 例3：已知：如图，在ΔABC 中，O 是∠B 、∠C 外角的平分线的交点， 那么点O 在∠A 的平分线上吗？为什么？ l A B M A C D O P O D C B A E l · · A B c b a