导数单元测试题
班级
姓名
一、选择题
x = x 2 + ,则在 x = , x = 时, y 的值为
.已知函数 y =f
( )
0.1
(
)
1
1 2
A .0.40
B . 0.41
C .0.43
D . 0.44
.函数 f (x = x 2
- 1 在区间 (1,1 + x 上的平均变化率
y
等
于
(
)
2
) 2 ) x
A . 4
B
. 4+ 2 x
C
.4+ 2( x ) 2
D . 4
f ′(x 0
y = f
x 在点
x 0
x
3.设 ) = ,则曲线
( ( x 0 , f
( 处的切线
(
)
)
))
A .不存在
B .与 x 轴平行或重合
.与 x
轴垂直
D .与
x 轴相交但不垂直
C
1
)
4.曲线 y =- 在点 (1 ,- 1) 处的切线方程为 (
.y =x - x y = x .y = x +
.y =- x - 2
B
.
C
2
2 A
D
.下列点中,在曲线 y =x 2 上,且在该点处的切线倾斜角为 π的是
(
)
5
4
1 1
1 1
A .(0,0)
B .(2,4) C
. ( 4,16)
D . ( 2,4)
.已知函数 f ( x 1 f ′ - 3) = (
)
=,则
6 ) x
(
1
1
1
A .4 B. 9 C .- 4 D .- 9
7.函数 f ( x) =( x - 3)e x 的单调递增区间是 ( )
A .( -∞, 2)
B . (0,3) C
.(1,4) D .(2 ,+∞) 8.“函数 y = f ( x) 在一点的导数值为 0”是“函数 y =f ( x) 在这点取极值”的 ()
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
9.函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a ,b) ,导函数 f ′(x) 在( a , b) 内的图象如图所示,则
函数 f x ) 在开区间 (
a ,
b 内的极小值点有
(
)
(
)
A .1 个
B . 2 个
C .3 个
=- x
D .4 个
上的最大值和最小值分
10.函数
f ( x
2
+ x + ,在 x ∈
[3,5]
) 4 7
别是 ( .f ) ,f
.f ,f f
, f .f ,f
(2) (3)
(3)(5) (2)(5) D (5)(3)
A
B C .
11.函数 f x =x 3- x 2- x +k 在区间 [ -
4,4] 上的最大值为 ,则其最小值 ( ) 3 9 10 ()
A .- 10
B .- 71
C .- 15
D .- 22
12. 一点沿直线运动, 如果由始点起经过 t
秒运动的距离为 s 1t 4 5t 3 t 2
,那
=4 -3 +2 速度为零的时刻是 ( ) A . 1 秒末 B .0 秒 C .4 秒末 D .0,1,4 秒末 二、填空题 y =f x =ax 2+ x ,若 f ′ = ,则 a =
.设函数 ( (1) ________.
13 ) 2 4 .已知函数 y =ax 2+b 在点 处的切线斜率为 b
14 x 的最小值为 (1,3) 2,则 a =________.
.函数 y = x
________.
15 e
16.有一长为 16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积
2
是________m.
三、解答题 y = x
.求下列函数的导数:
(1) y = x 2+x cos x ; (2) ; (3)y = lg x - x 17 3 1+x
e
18.已知抛物线 y = x 2+ 4 与直线 y =x +10,求:
(1) 它们的交点; (2) 抛物线在交点处的切线方程.
1 3
19.已知函数 f ( x) =3x - 4x +4.(1) 求函数的极值;
(2) 求函数在区间 [ -3,4] 上的最大值和最小值.
导数单元测试题答案
班级
姓名
一、选择题
1.已知函数 y = f ( x ) = x 2
+ 1,则在 x = 2, x = 0.1 时,
y 的值为 (
)
A . 0.40
B . 0.41
C . 0.43
D . 0.44
解析:选 B. y = f (2.1)
- f (2) = 2.1 2
-22
=0.41.
2.函数 f ( x ) = 2x 2- 1 在区间 (1,1 +
x ) 上的平均变化率
y
等于
(
)
x
A . 4
B . 4+2 x
C . 4+2( x ) 2
D . 4x
2
2
2
y
解析:选 B. 因为 y = [2(1 + x ) - 1] -(2 ×1- 1) =4 x +2( x ) ,所以
x = 4+2
x ,故选 B.
3.设 f ′(x 0) = 0,则曲线 y = f ( x ) 在点 ( x 0, f ( x 0)) 处的切线 ( ) A .不存在 B .与 x 轴平行或重合 C .与 x 轴垂直 D .与 x 轴相交但不垂直 解析:选 B. 函数在某点处的导数为零,说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零.
1
4.曲线 y =- x 在点 (1 ,- 1) 处的切线方程为 ( )
A . y = x - 2
B . y =x
C . y = x + 2
D . y =- x - 2
1 1
解析:选 A. f ′(1) = li -
1+ x +
1
1
= 1,则在 (1 ,- 1) 处的切线方程为 y +1=
m
x
= li m
1+ x
x →0
x →0
x - 1,即 y = x - 2.
5.下列点中,在曲线 y = x 2
上,且在该点处的切线倾斜角为 π
4 的是 (
)
A . (0,0)
B . (2,4) 1 1
1 1
C . ( 4, 16)
D . ( 2, 4)
故选 D.
1
)
6.已知函数 f ( x ) = ,则 f ′( - 3) = (
x
1
A . 4
B. 9
1
1
C .- 4
D .- 9
解析:选 D. ∵ ′( ) =-
1
f ′( - 1
2
,∴
3) =- .
f x
x
9
7.函数 f ( x ) = ( x -3)e x
的单调递增区间是 (
)
A . ( -∞, 2)
B . (0,3)
C . (1,4)
D . (2 ,+∞)
解析:选 D. f ′(x ) = ( x -3) ′e x +( x - 3)(e x ) ′= ( x -2)e x , 令 f ′( )>0 ,解得 x >2,故选 D.
x
8.“函数 y = f ( x ) 在一点的导数值为 0”是“函数 y = f ( x ) 在这点取极值”的 (
)
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
解析:选 B. 对于 f ( x ) =x 3,f ′(x ) = 3x 2,f ′(0) = 0,不能推出 f ( x ) 在 x = 0 处取极值,反之立.故选 B.
9.函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a ,b ) ,导函数 f ′(x ) 在 ( a ,b ) 内的图象如图所示, 则函数 f 在开区间 ( , ) 内的极小值点有 ( )
a b
A . 1 个
B .2 个
C . 3 个
D .4 个
解析:选 A. 函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a , b ) ,导函数 f ′(x ) 在 ( a , b ) 内的图象如题图所示函数 f ( x ) 在开区间 ( a ,b ) 内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点, 其导数值为由负到正的点只有 1 个. 2+ 4 10.函数 f ( x ) =- x + 7,在 x ∈ [3,5] 上的最大值和最小值分别是 ( )
x
A . f (2) , f (3)
B .f (3) , f (5)
C . f (2) , f (5)
D .f (5) , f (3)
解析:选 B. ∵ f ′(x ) =- 2x + 4, ∴当 x ∈ [3,5] 时, f ′(x )<0 , 故 f ( x ) 在 [3,5] 上单调递减,
故 f ( x ) 的最大值和最小值分别是 f (3) , f (5) .
11.函数 f ( x ) = x 3-3 2- 9 x + k
在区间 [ -4,4] 上的最大值为
10,则其最小值为 ()
x
A .- 10
B .- 71
C .- 15
D .- 22
解析:选 B. f ′(x ) = 3x 2
-6x - 9=3( x - 3)( x + 1) .
由 f ′(x ) = 0 得 x = 3,- 1.
又 f ( - 4) = k -76, f (3) = k - 27, f ( - 1) = k + 5,f (4) = k - 20.
由 f ( x ) max =k + 5= 10,得 k = 5,
∴ f ( x ) min = k - 76=- 71.
1 4
5
3 2
12.一点沿直线运动,如果由始点起经过
t 秒运动的距离为
s =4t - 3t + 2t ,那么速度为零的时
是 ( )
A . 1 秒末
B . 0 秒
C . 4 秒末
D . 0,1,4
秒末
解析:选
3 2
=0, t
= 1,t = 4,此时的函数值最大,故选D.
D.∵ s ′= t - 5t + 4t ,令 s ′= 0,得 t
1 2
3
二、填空题
∴抛物线与直线的交点坐标为 ( - 2,8) 或 (3,13) .
13.设函数 y = f ( x ) = ax 2+ 2x ,若 f ′(1) = 4,则 a = ________. (2) ∵ y = x 2+4, 2
+ 4- x 2+ 4
答案: 1
∴ y ′= lim x +
x
b
x
2
x →0
14.已知函数 y = ax +b 在点 (1,3) 处的切线斜率为
2,则 a = ________.
= lim
x
2
+ 2x ·Δ x = lim ( x + 2x ) =2x .
答案: 2
x →0
x
x →0
15.函数 y = x e x 的最小值为 ________.
x =- 2
x = 3
解析:令 y ′= ( x + 1)e x =0,得 x =- 1.
∴ y ′|
=- 4, y ′| =6,
即在点 ( - 2,8) 处的切线斜率为- 4,在点 (3,13) 处的切线斜率为
当 x <- 1 时, ′<0;当 x >- 1 时, y ′>0.
∴在点 ( - 2,8) 处的切线方程为
4 x + y = 0;
y
1
在点 (3,13) 处的切线方程为 6 - y - 5=0.
∴ y
min = f ( -1) =- e .
x
19.已知函数 f ( x ) = 1
x 3- 4x +4.
1
3
答案:- e
________m 2.
(1) 求函数的极值; 16.有一长为 16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是 (2) 求函数在区间 [ - 3,4] 上的最大值和最小值. 解析:设矩形的长为
x m ,
解: (1) f ′(x ) = x 2- 4,解方程 x 2- 4= 0,
16- 2
得
x 1=- 2,
2= 2.
则宽为
x
x <8) ,
x
= (8 - x ) m(0<
当 x 变化时, f ′(x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:
2
∴S ( x ) = x (8 - x ) =- x 2+ 8x
x
( -∞,- 2)
- 2 ( - 2,2)
∴ ′( ) =- 2 x + 8,令 ′( ) = 0,
f ′( )
+
-
S
x
S
x
x
则 x = 4,
28
又在 (0,8) 上只有一个极值点,
f ( x )
3
且 x ∈ (0,4) 时, S ( x ) 单调递增,
6.
2 (2 ,+∞)
0 +
4
- 3
x ∈ (4,8) 时, S ( x ) 单调递减,
故 S ( x ) max = S (4) = 16.
答案: 16 三、解答题
17.求下列函数的导数:
x
(1) y = 3 2+ cos ; (2) y = ; (3) y =lg x - e x .
x x x 1+ x
解: (1) y ′= 6 x + cos x - x sin x .
(2) y ′= 1+ x -x
2
=
1 2
.
1+ x
1+ x
x
1
x
(3) y ′= (lg x ) ′- (e ) ′= x ln10 -e .
18.已知抛物线 y =x 2+ 4 与直线 y = x +10,求:
(1) 它们的交点;
(2) 抛物线在交点处的切线方程.
y = x 2+ 4,
解: (1) 由 得 x 2+ 4= 10+ x ,
y = x + 10,
即 x 2- x - 6=0,
∴x =- 2 或 x = 3. 代入直线的方程得
y =8 或 13.
从上表可看出,当
x =- 2 时,函数有极大值,且极大值为
28
;而当 x = 2 时,函数有极小值,
3 且极小值为-
4
.
3
1
3
(2) f ( - 3) = 3×( - 3) -4×( - 3) + 4= 7,
1 3
28
f (4) =3×4-4×4+ 4= 3 ,
28
4
与极值比较,得函数在区间 [ - 3,4] 上的最大值是
3 ,最小值是- 3.
导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( )
高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练(十) 一、选择题 1. 设函数f (x )存在导数且满足,则曲线y=f (x )在点 (2,f (2))处的切线斜率为( ) A .﹣1 B .﹣2 C .1 D .2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ,则曲线在点P 处的切线的方程为( ) A .1y e x =-?+ B .1y x =-+ C . y x =- D .y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为( ) A .3 B .3 C. 32 D .6 4. 设P 为曲线2 :23C y x x =++上的点,且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范 围为0,4π?? ???? ,则点P 的横坐标的取值范围为( ) A . []0,1 B .[]1,0- C .11,2??--???? D .1,12?? ???? 5. 已知2 3 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ,则(0)f '=( ). A . n B .1n - C . (1)2 n n - D . 1 (1)2 n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为( ) A . B .2 C .3 D .2
7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线,则这样的切线条数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ,且a 2014,a 2016是函数f (x )= +6x ﹣1的极值点,则log 2(a 2000+a 2012+a 2018+a 2030)的值是( ) A .2 B .3 C .4 D .5 9. 已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线C ,若曲线C 不存在与直线1 2 y x =垂直的切线,则实数m 的取值范围是( ) A. 12m ≤- B. 1 2 m >- C. 2m ≤ D. 2m > 10. 函数y=f (x )的图象如图所示,则导函数 y=f'(x )的图象可能是( ) A . B . C . D . 11..设()f x 是定义在R 上的奇函数,且(2)0f =,当0x >时,有2 '()() 0xf x f x x -<恒成立,则不等式()0xf x >的解集为( ) A .(-2,0)∪(2,+∞) B . (-∞,-2)∪(0,2) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-2,0)∪(0,2) 12.设f (x )=cosx ﹣sinx ,把f (x )的图象按向量=(m ,0)(m >0)平移后,图象恰好为函数y=﹣f′(x )的图象,则m 的值可以为( )