3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）
???
?
???==??=??=+=-).()(0022
222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 所以 F(x)=)2
(x ψ-G(0). G （x ）=)2
(x ?-F(0). 且 F （0）+G(0)=).0()0(ψ?= 所以 u(x,t)=(
?)2at x ++)2
(at
x -ψ-).0(? 即为古尔沙问题的解。
9．求解波动方程的初值问题。
???
?
??
?+==++===200222
11|,0|)1(x u u x tx u a u t t t xx tt
解： ???-+--+-+++=t t a x t a x at x at x d d d a t x u 0)
()(2
22)
1(1121),(τττξξξτ
αα ?+---+=+at
x at
x at x arctg at x arctg d )()(11
2αα ???-+---+--+-=+t
t a x t a x t t a x t a x d d d 0)
()(20)()(22])1(21[)1(τξττξξξτττττ
=?-++--++t
d t a x t a x 022]))
((1)((1[21τττττ =??-++-+++---x
at x x
at x du u a u
at x du u a u at x )
1(21)1(212
222
=???+--++++++--at
x at
x x at x x
at x u du
a t u du za t du u u x a 2
222
121121 =22
22)
(1)(1ln 41))()((2at x at x a at x arctg at x arctg a x -+++++-- +
)]()(2[2at x arctg at x arctg arctgx a t
+--- =)()(21)()(212
2at x arctg at x a
at x arctg at x a ++--- +222)
(1)(1ln 41at x at x a arctgx a t -++++ 所以
})(1)
(1ln 212)()2()()2{(41),(2
2
2
23at x at x atarctgx at x arctg a at x at x arctg a at x a
t x u -++++++??-+----=
§3混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解：
(1)
???
?
?
?
???==<<-=??=??=??==0),(),0()0()1(,3sin 0
22
222t l u t u l x x x t u l x u x u a t u o
t t π
解：边界条件齐次的且是第一类的，令
)()(),(t T x X t x u =
得固有函数x l
n x X n π
sin
)(=，且 t l
an B t l an A t T n n n π
πsin cos )(+=，)2,1( =n
于是 ∑∞
=+=
1
sin )sin cos
(),(n n n x l
n t l an B t l an A t x u π
ππ 今由始值确定常数n A 及n B ，由始值得
∑∞==1
sin 3sin n n x l n A l x π
π
∑
∞
==-1
sin )(n n x l n B l an x l x π
π 所以 ,13=A ,0=n A 当3≠n
?-=l
n xdx l n x l x an B 0
sin )(2π
π
??? ??+????
??+-=x l n x n l x l n n l x l n x n l l an ππ
ππππ
π
cos sin cos 2
22
22 )}
))1(1(4cos 2sin 2443
333222n l
an l x
l n n l x l n n x l --=--π
π
π
ππ 因此所求解为
∑∞
=--+
=1
4
43
s i n s i n )1(143s i n 3c o s ),(n n x l n t l an n a l x l t l a t x u π
ππππ
§4 高维波动方程的柯西问题
1． 利用泊松公式求解波动方程 )(2zz yy xx tt u u u a u ++=
的柯西问题 ?????=+===0
0230t t t u z
y x u
解：泊松公式
ds r a ds r a t u Sat M Sat M ????+??
??????????=ψ
πφπ4141 现 z y x 2
3
,0+==φψ
且 ????=Φ=Φ
ππ
?θθ?θ020|sin ),,(at r s d d r r ds r M
at
其中 )cos ,sin sin ,cos sin (),,(θ?θ?θ?θr z r y r x r +++Φ=Φ )cos ()sin sin ()cos sin (2
3
θ?θ?θr z y r x ++++= ?θ?θ?θ33222
2
2
2
3
cos sin cos sin
3cos sin 3r xr r x z y x ++++=
θ?θ?θcos sin sin sin sin 2222r y rz yzr +++
θ?θ?θθcos sin sin sin cos sin 2232r yr ++
计算
??Φππ
?θθ?θ020
sin ),,(d d r r
)
(4)cos (2)(sin )(23020
2323
z y x r z y x r d d r z y x
+=-?+=+??πθπψθθππ
π
????==?ππ
π
π
??θθ?θθ?θ020
202
2
22
0cos sin
3sin cos sin 3d d r
x d d r r x
????=?ππ
π
π??θθ?θθ?θ020
20
233222
cos sin 3sin cos sin 3d d xr d d r xr
π
πφφθθ20033]2sin 4
12[
]cos cos 31[3+?-=xr ?θθ?θπππ
d d r r xr sin cos sin 433020
3
?=??
3320
4
4
4cos sin xr d d r
π??θ
θπ
π
==?
?
????==?π
π
ππ
??θθ?θθ?θ0
202
2
020
0sin sin
2sin sin sin 2d d yzr d d r yzr
z r z r d d rz d d r z r 320
03320
20
3
020
2
2
2
3
4]2sin 412[]cos cos 31[sin sin sin sin sin π??θθ??θθ?θθ?θπππ
π
ππ
=-?-==?????
????==?π
π
ππ
?θθθ?θθθ0
20
2
2020
2
0sin cos sin cos d d r
y d d r r y
????==??π
πππ
??θθθ?θθ?θθ20
23020
2
sin cos sin 2sin sin sin 2d d yr d d r coc yr
???
?
=?=?ππ
ππ
??θθθ?θθθ?θ0
20
234020
2230
sin cos sin sin cos sin sin d d r d d r r
所以
]
3
1
[4]344)(4[22222233
22z t a t xa z y x at z r r z y x r ds r Sat
M
at
r +++=+++=Φ??=ππππ
u(x,y,z)=
??Φ
???Sat
M r
a t π41
z t a x t a z y x z t a t xa z ty tx t 2222232232233]
3
1
[+++=+++??=
即为所求的解。
3.
求解平面波动方程的柯西问题：
()
()
?????=+=+===0
||0202t t t yy
xx tt u y x x u u u a u
解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得：
()()
()()
????
?
∑----??
=??m
at
d d y x t a t a t y x u ηζηζηζ?π2
2
2
2,21,,
()
()()
??
???∑----+
??
m
at
d d y x t a ηζηζηζψ2
2
22,
()
?
?-++??
=
π
θθθ?π20
2
2
20
sin ,cos 21rdrd r
t a r y r x t
a at
又
()()()θθθθ?sin cos cos sin ,cos 2r r y x r x r y r x ++++=++
()()()θθ2
2
2
cos
cos 2r y x r y x x y x x +++++=
()()θθθθθcos sin cos 2sin cos 2
2
++++xr r x ()θθθsin cos cos
2
3
++r
因为
???===π
ππ
πθθθθθθ20
2
20
20
c o s ,0s i n ,0c o s
d d d
.0sin cos ,0cos ,0cos sin 20
2
20
3
20
???===π
π
πθθθθθθθθd d d 所以
()
??
-++at rdrd r
t a r y r x 020
2
22sin ,cos θθθ?π
()
()?
?
-++-+=at
at
r
t a dr r y x r
t a rdr y x x 0
2
2
232
2
22
32ππ
又
?
=--=-at
at
at r t a r t a rdr 0
02222
22|
?
?-+--=-at
at
at rdr r t a r t a r r t a dr r 0
222022222
2232|
()33023
2223
2|32t a r t a a
=--=
于是 ()()()??
? ??+++??=
y x a y x ax t a t y x u 332221,,332
πππ
()()y x t a y x x +++=3222 即为所求的解。
6．试用4?第七段中的方法导出平面齐次波动方程 ),,()(2
t y x f u u a u yy xx tt ++= 在齐次初始条件 0,00
====t t
t u u
下的求解公式。
解：首先证明齐次化原理：若),,,(τt y x w 是定解问题
?????=+===)
,,(,0)
(2
ττy x f w w w w a w t o t yy xx tt
的解，则?
=t d t y x w t y x u 0
),,,(),,(ττ即为定解问题
?????==++===0
,0)
,,()(002
t t t yy xx tt u u t y x f u u a u
的解。
显然，00
==t u
ττττd t w d t w t y x w t u t
t
t ????=??+=??=0
0),,,( （ 0==τt w ）.所以
00
=??=t t
u
又 ττd t
w
t w
t
u t
t
???+??=??=0222
2
τττ
d y w
y u d x w x u d y
w
t y x f t
t
t
?????=????=????+=22
22
22
22
0220,),,(
因为w 满足齐次方程，故u 满足
)(),,(2222222y
x u a t y x f t u u ??+??+=?? 齐次化原理得证。由齐次方程柯西问题解的泊松公式知
ηζηζττηζπττd d y x t a f a
t y x w M
t a ??
∑-----=
-)
(2
2
2
2
)
()()()
,,(21),,,(
所以
θττθθπτπ
rdrd r
t a r y r x f a t y x u t t a ???
---++=
)(0
20
2
2
2
)()
,sin ,cos (21
),,(
即为所求的解。 所以 ???---++=
t t a d r d r d r
t a r y r x f a t y x u 0)(020222)()
,s i n ,c o s (21),,(τπτθττθθπ §2 混合问题的分离变量法
1． 用分离变量法求下列定解问题的解：
???
?
?
?
??
?<<=>=??=<<>??=??)0()()0,()0(0),(),0(0,0()222πππx x f x u t t x u t u x t x u a t u 解：设)()(t T x X u =代入方程及边值得
??
?
?
?=+'='==+00)(0)0(02"T a T X X X X λπλ 求非零解)(x X 得x n x X n n n 2
1
2sin )(,4)12(2+=+=λ ),1,0( =n
对应Ｔ为 t n a n n e
C t T 4)12(2
2)(+-
=
因此得 ∑∞=+-+=
4)12(2
1
2sin
),(22n t
n a n
x n e
C t x u 由初始值得 ∑∞=+=
2
1
2sin
)(n n x n C x f 因此 ?
+=
π
π
2
1
2sin
)(2
xdx n x f C n 故解为 ∑?
∞
=+-
+?+=
4
)12(2
12s i n 21
2s i n )(2
),(2
2n t n a x n e
d n f t x u π
ξξξπ
２．用分离变量法求解热传导方程的混合问题
???
??
??
?
???>==?????<<-≤<=<<>??=??)0(0
),1(),0(1
21
1210)0,()10,0(2
2t t u t u x x x x x u x t x u
t u 解：设)()(t T x X u =代入方程及边值得
??
?=+===+0
'0
)1()0(0"T T X X X X λλ
求非零解)(x X 得x n X n n n ππλsin ,22== n=1,2,……
对应Ｔ为 t
n n n e C T 22π-=
故解为 ∑∞
=-=
1
sin ),(2
2n t n n x n e C t x u ππ
由始值得
∑∞=??
???
<<-≤<=11
21
1210sin n n x x x x x n C π 因此 ??
-+=21
1
2
1]sin )1(sin [2xdx n x xdx n x C n ππ
12
12221
022]sin 1cos )1(1[2]sin 1cos 1[2x n n x n x n x n n x n x n ππ
ππππππ---++-= 2
sin
42
2π
πn n =
所以 ∑∞
=-=
1
2
2sin 2
sin
4
),(22n t
n x n e n n t x u ππππ 1． 证明拉普拉斯算子在球面坐标),,(?θr 下，可以写成
s i n 1)(s i n s i n 1)(1
2
222222=???+?????+?????=??θθθθθu
r u r r u r r r u
证：球坐标),,(?θr 与直角坐标),,(z y x 的关系：
?θcos sin r x =，?θsin sin r y =，θcos r z = （1） 2
22
22
2z
u y
u x
u u ??+
??+
??=
?
为作变量的置换，首先令θρsin r =，则变换（1）可分作两步进行 ?ρcos =x ， ?ρsin =y （2）
θρsin r =， θcos r z = （3）
由（2）
??
?
??????+-??=????+??=??)c o s ()s i n (s i n c o s ?ρ?ρ???ρy u x u u y u x u u
由此解出
???
?
??????+??=?????-??=??ρ???ρρ???ρcos sin sin cos u u y u u u x u （4）
再微分一次，并利用以上关系，得
)sin cos (2
2ρ
???ρ???-????=
??u u x x u )sin cos (sin )sin cos (cos ρ
?
??ρ?ρ?ρ
???ρρ?
???-?????-???-????=u u u u
+???+????-
??=222222
22
sin cos sin 2cos ?
ρ??ρρ
?
?ρ
?
u
u u
ρρ??ρ
?????+???+u
u 22sin cos sin 2
)c o s
s i n (2
2ρ
???ρ???+????=
??u u y y u )
c o s s i n (c o s )c o s s i n (s i n ρ
???ρ?ρ?ρ
???ρρ?
???+????++???+????=u u u u
ρρ??ρ
???
ρ??ρρ??ρ???+???-
-???+???+??=u
u u u u
2
222222222
c o s c o s s i n 2c o s c o s s i n 2s i n
所以
ρρ?ρρ???+
???
+
??=
??+
??u
u
u y u x u 11
2
22222222 （5）
ρ
ρ?ρρ???+???+
??+
??=
??+??+??u
u
z u u z u y u x u 112
222
22
22
22
22
2
再用（3）式，变换
2
22
2z
u u ??+
??ρ
。这又可以直接利用（5）式，得
r u r u
r r u z u u ???+???
+
??=
??+
??11222
2
22
22
2θ
ρ 再利用（4）式，得 r
u r u u θθθρcos sin ?
??+??=?? 所以
)cos sin (sin 1sin 1
112
2
22222
2
2222
222r
u r u r u
r r u
r u
r r u z u y u x u
θ
θθθ?θθ
???+??+
???
+
+???+???
+
??=??+??+
??
θθ?
θθ??+???+???
+
???
+
??=u
ctg r r u r u
r u
r r u 222222
222
212sin 1
1
即
0sin 1)(sin sin 1)(1
2222222=???+?????+?????=??
θθθθθu
r u r r u r r r u 6.用分离变量
法求解由下述调和方程的第一边界问题所描述的矩形平板
)0,0b y a x ≤≤≤≤（上的稳定温度分布：
?
???
?
????=====??+??.
0),(,sin )0,(0),(),0(0
2222b x u a x
x u y a u y u y u x
u π
解：令)()(),(y Y x X y x u =代入方程 ，得
λ-='
'-=''Y
Y x X x X )()( 再由一对齐次边界条件0),(),0(==y a u y u 得
0)()0(==a X X
由此得边值问题 ??
?===+''0
)()0(0
a X X X X λ
由第一章讨论知，当2
)(a n n πλλ==时，以上问题有零解 .sin )(x a
n x X n π
= ),2,1( =n 又 0)(2=-''n n
Y a
n Y π
求出通解，得
y a n n y a
n n
n e
B e A Y ππ-
+=
所以 ∑∞
=-
+=1.sin
)()(n y
a n n y a n n
x a
n e
B e
A y x u ππ
π， 由另一对边值，得
???
????
+=+=∑∑∞
=-∞
=11sin )(0sin )(sin n b a n n b a n n
n n n x
a n e B e
A x
a n B A a x
ππ
ππ
π
由此得，
???
??==+==+=+-
,2,10,3,20
111n e B e
A n
B A B A b
a n n
b a n n n n π
π，
解得 b
a
sh
e A b a
π
π
--=
2
11 b
a
sh
e B b
a π
π
2
11=
,3,20===n B A n n
代入),(y x u 的表达式得
x a
e e b
a
sh
y x u y b a y b a ππ
π
π
sin
)(12
1),()()
(----?=
x a
y b x
sh b
a
sh
π
π
π
sin
)(1
-=
《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 是第 （ ）类边界条件，其中为边界. 5.设函数的傅立叶变换式为，则方程的傅立叶变换 为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有= （ ）. 8.计算积分 （ ） . 9.勒让德多项式的微分表达式为（ ） . ?f u n u S =+??)(σS ),(t x u ),(t U ω2 2 222x u a t u ??=??=)(0x J dx d )(3 1)(3202x P x P +=?-dx x P 2 1 12)]([)(1x P
10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1. 2.? ? ? ? ?? ? ? ? < < = ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = = 3 0,0 , 3 ,0 0 ,3 0, 2 3 2 2 2 2 2 ,0 x t u x x t x x u t u t t x u u u ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = x t x x u t u u u u t x x 2 ,0 ,0 ,4 0, 4 2 2
3. ???? ? ????<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,162002022 222x t u t x x u t u t t x x u u u
数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有
二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??-2 3 222)( 22 52222 32222 2) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - )2()(2 2223 222y x t y x t ++?--=- x y x t x u ?--=??- 23 222)( ()() 225222232222 23x y x t y x t x u - ---+--=?? ( )()222 252222y x t y x t -+- -=- 同理 ()()222 25 2222 22y x t y x t y u +---=??- 所以 ()() .22 22 2225222222 2t u y x t y x t y u x u ??=++--=??+ ??- 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） ??? ? ???==??=??=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)
热传导方程及MATLAB 在其的应用 摘要：数学物理方程主要是偏微分方程，热传导方程是最为典型的数学物理方程之一。为了对热传导方程有个清晰地理解，论文重新阐述了热传导方程的推导。同时，求解热传导方程的方法也有很多种，但所得的结果往往是一个复杂的积分或级数，不能直观地表达出其物理意义，为了使这些公式中的物理图像展现出来，论文对MATLAB 在其的应用作了些浅略的探讨。 关键字：数学物理方程 热传导方程 数学物理方程是指在物理学、力学、程 2 2 2 2 2 22 2 2 ( ) u u u u t x y z a ????= + + ????、热传导方程 u t ?= ?斯方程 2 2 2 2 2 2 0u u u x y z ???+ + =???是最为典型的三个方程。 在参考相关文献的基础上，本论文主要对热传导方程及MATLAB 在其的应用做一个简要的介绍。 物体温度分布不均匀，物体内部必然会产生热应力，热应力过于集中，物体就会产生裂变，从而破坏物体原有的形状和结构，工程技术中称此现象为热裂。在建造大坝时，混凝土释放的水化热使大坝的温度分布极不均匀；在浇铸铸件过程中，散热条件不同，会导致铸件各点间温度变化的梯度过大……。此外，还有好多可以产生热裂的现象。为有效防止热裂，就必须清楚物体各点的温度分布情况。[1] 一、热传导方程的导出 物理方程是实际上是寻求不同定解问题的解，而定解问题有定解条件和泛定方程组成。不同的物理问题可能得到同一类方程，但因定
解条件不同，因而就可能得到不同的定界问题。 （一）热传导方程泛定方程的推导 在三维空间中，考虑一均匀、各向同性的物体，物体内部由于温度分布不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象称为热传导。 构建物体热传导物理模型时，我们必须基于两个方面。一是能量守恒定律：物体内部的热量增加等于通过物体的边界流入的热量与物体内部的热源所产生的热量的总和，即： 2 1 Q Q Q Q -= +入 内 其中(1,2)i i Q =表示在i t 时刻物体内部的热量，Q 入表示在12t t ????，时刻内通过边界流入物体的热量，Q 内表示在12t t ????，时刻内物体内部热源产生的热量。 二是热传导傅里叶定理：考察某物体G 的热传导问题时，以函数 ( u x (,,,)x y z 处及t 时刻的温度。在物体内任意 沿法向n 方向，物体在无穷小时段d t 内，流过 d t 、热量通过的面积ds 及温度沿 (,,)u dQ k x y z dsdt n ?=-? 其中，(,,)k x y z 称为物体在(,,)x y z 处的热传导系数，它应该取正值； u n ?? 称为温度的法向导数，它表示温度沿法向n 的方向的变化率；等式中 的负号表示热量是由高温向低温流动，而温度梯度gradu n ? 是由低温
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解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0)1(''2=++T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，t a C t a C T 22211sin 1cos λλ+++= 由边值条件得： 22)( ,0l n C πλ== l x n t a A t a B u n n n πλλcos )1sin 1cos (221+++=∑∞= ?= l n dx l x n x l B 0cos )(2π?，?+=l n dx l x n x a l A 02cos )(12πψλ(15’) 证明：设代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。(15’)
解：设),(ηξp 是第一象限内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点),(ηξ-p 格林函数： 22)()(1ln 21),,,(ηξπηξ-+-= y x y x G 22)()(1ln 21ηξπ++--y x (8’) ] )[(22220ηξπη+-=??-=??=x y G n G y 方程的解：dx x x f u ?+∞∞-+-=22)()(),(ηξπ ηηξ(15’) 五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分) ),,,()(2t z y x f u u u a u zz yy xx tt =++- ),,,(0z y x u t ?== ),,,(0 z y x u t t ψ== ).,,,(t z y x g u =Γ 其中,),,(,0Ω∈>z y x t Γ为Ω的边界. 解:设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程得： 0)(2=++-zz yy xx tt u u u a u 00==t u 00 ==t t u .0=Γu 设dxdydz u u u a u t E z y x t ])([21)(22222???Ω +++= =dt t dE )(dxdydz u u u u u u a u u zt z yt y xt x tt t ])([22???Ω +++ dxdydz u u u a u u zz yy xx tt t ])([[2 2??? Ω++-= 0=(10’)
第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中张力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=?????∈-∈===0 ] ,2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变力t F ωsin 0的作用而振动。”则该定解问题为( B )。 A ．?????===<<-=-===0 ,0,0)0(,)(sin 0000 2 t l x x xx tt u u u l x x x t F u a u ρ δω u x h 2 /l 0 u 图〈1〉
数学物理方程模拟试卷 一、写出定解问题（10分） 设枢轴长为l ，建立枢轴纵振动在下列情形下的运动方程： （a ） 在x=0固定，在x=l 作用力F ，在t=0时刻作用力突然停止 （b ） 在x=l 一端是平衡位置，而从t=0时刻作用力 F(t) 解：（a ）() ()()() ???? ?????≥='=≤≤==><<
,13c x y dx dy +-=→= 令???-=+=y x y x 3ηξ ???===-=======∴0,1,30,1,1yy xy xx y x yy xy xx y x ηηηηηξξξξξ （2） ??? ????++++=+++++=++++=+=+=yy yy y y y y yy xy xy y x x y y x y x xy xx xx x x x xx y y y x x x u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u ηξηηξξηξηηηξηξξξηξηηξξηξηξηξηηξηξξηξηηξηξξηξηηξηξξηξηξ22222)(2, （3） 将（2）代入（3），可得 ?????????+-=-+=++=-=+=ηη ξηξξηηξηξξηηξηξξηξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y 2329632 （4） 把（4）代入（1），可得 0666236364296=-+++-+--++++ηξηξηηξηξξηηξηξξηηξηξξu u u u u u u u u u u u u 0816=+∴ξξηu u 即 02 1=+ξξηu u 这就是我们所求的标准的双曲型方程。 三、（每小题10分，共20分） ①证明：)52()52(),(t x G t x F t x y -++=为方程2222254x y t y ??=??的通解。 ②求满足条件：0),(),0(==t y t y π，x x y 2sin )0,(=，0)0,(=x y t 的特解。 解：①设v t x u t x =-=+52,52，得 )()(v G u F y +=， )5()('5)('-?+?=????+????=??v G u F t v v G t u u F t y )('5)('5v G u F -=， （1）
第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。 由假设，在任意时刻t 到t t ?+内流入截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ?+在截面为 x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??-- =??--=11 1124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得： ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??，再令0→?x ，0→?t 得精确的关系： ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt n u D dM ??-=，其中D 为扩散系数，得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等，由奥、高公式得： ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程： ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的 水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则 Q dt dQ β-=，其中β为常数。又假设砼的比热为c ，密度为ρ，热传导系数为k ，求它在浇后温度u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设，放 热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2 4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度0u 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程 ()2201224.0ρω ρωρc r i u u c P k x u c k t u +--??=?? 其中i 及r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，ω表示横截面面积，而k 表示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为
2011-2012 一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 在下列每小题的4个备选项中，只有一项是最符合题意的，请将代码 （A 、B 、C 、D ）填在题后相应的括号内。 1、偏微分方程与（ ）结合在一起，统称为定解问题. (A)定解条件； (B)初始条件； (C)边界条件； (D)以上均不正确. 2、下列偏微分方程中，属于二阶、线性、齐次的是（ ）. (A) 2260u u u u t x ??++-=??； (B) 2222cos 40?+-?-=?u t t u x x ； (C) 2 90???+-= ???? u xu t t ； (D) 22 60??+?-?=??t u u e xt u x t . 3、以下说法中错误的是（ ）. (A) Bessel 方程222'''()0x y xy x n y ++-=通解为()(),n n y AJ x BJ x -=+其中A, B 为任意常数； (B) n 阶Bessel 函数()x J n 的实零点关于原点是对称分布的； (C) 半奇数阶的第一类Bessel 函数都是初等函数； (D) 当0x =时，n 阶Bessel 函数()x J n 为有限值，而()x Y n 为无穷大. 4、定解问题的适定性是指解的（ ）. (A) 存在性、唯一性、收敛性； (B) 存在性、稳定性、收敛性； (C) 存在性、唯一性、稳定性； (D)唯一性、稳定性、收敛性. 5、设3 R Ω?为有界区域，边界Γ为光滑的封闭曲面，则下面说法错误的是（ ）. (A) 若2 ()()u C C ∈ΩΩ，则狄氏问题20,|u u f Γ??=Ω?=?在内 的解是唯一确定的； (B) 若2 1() ()u C C ∈ΩΩ，则2u u dV dS n Ω Γ??=?????? ； (C) 牛曼内问题20,|1u u n Γ??=Ω? ??=???在内有解且不唯一；
第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 (2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x u x E t l T ??=) (),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的 偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --==
数学物理方程期末考试试题及答案 一、求解方程（15分） ?????===-=+=-. )()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψ? 其中)0()0(ψ?=。 解：设? ??+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得： )()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψ?=+=+ 由)0()0(ψ?=即得： )0()2 ()2( ),(?ψ?--++=at x at x t x u 。 二、利用变量分离法求解方程。（15分） ?????==≥==∈=-====)(,)(, 0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψ? 其中l x ≤≤0。0>a 为常数 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，at C at C T λλsin cos 21+= 由边值条件得：
21)( ,0l n C πλ== l x n at A at B u n n n πλλsin )sin cos (1+=∑∞= ?=l n dx l x n x l B 0sin )(2π?，?=l n dx l x n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与 稳定性. (15分) 证明：设u e v ct -=代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。 四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分). ,0,0>=++=?z u u u u zz yy xx ).(0x f u z == 解：设),,(ζηξp 是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点 ),,(?ηξ-p 格林函数： 222)()()(141 ),,,(?ηξπ ηξ-+-+--=z y x y x G 222)()()(141 ?ηξπ++-+-+z y x
成都理工大学 《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分?10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u n u S =+??)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边 界. 5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22 222x u a t u ??=??的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 =)(0x J dx d （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(3 1)(3 202x P x P += （ ）. 8.计算积分 =? -dx x P 2 1 1 2)]([（ ） . 9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）： 1.??? ? ? ????<<=??===><
2.???? ? ?? ??===><<<+??=??====20,0,8,00,20,16200202 2 2 22x t u t x x u t u t t x x u u u 三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?? ???=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）： ??? ? ???=+=>>=???==, 1, 10,0,1002y x u y u y x y x u 五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）： )(1)()(' 0' '02x J x x J x J -= 六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足 θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:
2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2 x l x -，试写出其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)：
???????==??=??=+=-).()(002 22 2 2x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 22220 0, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+=
数学物理方程习题解 习题一 1，验证下面两个函数： (,)(,)sin x u x y u x y e y == 都是方程 0xx yy u u += 的解。 证明：（1 ）(,)u x y = 因为322 2 22 2222 2222 22 322 222 2222 2222 222222 222222 1 1()22 () 2()()11()22()2()()0()() x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y y u y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-? ?=- +++-?-=-=++=-??=-+++-?-=-=++--+=+=++ 所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。 （2）(,)sin x u x y e y = 因为 sin ,sin cos ,sin x x x xx x x y yy u y e u y e u e y u e y =?=?=?=-? 所以 sin sin 0x x xx yy u u e y e y +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。 2，证明：()()u f x g y =满足方程 0xy x y uu u u -=
其中f 和g 都是任意的二次可微函数。 证明：因为 ()()u f x g y = 所以 ()(),()()()() ()()()()()()()()0 x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=?=?''=?''''-=?-??= 得证。 3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。 解：令x y ξλ=+则(,)()u x y f ξ= 所以2 (),()x xx u f u f ξλξλ'''=?=? (),(),()xy y yy u f u f u f λξξξ'''''=?== 将上式带入原方程得2 (43)()0f λλξ''-+= 因为f 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以2 -430 λλ+=从而12 =3,1λλ=， 故1122(,)(3),(,)()u x y f x y u x y f x y =+=+都是原方程的解，12,f f 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有 12(,)(3)()u x y f x y f x y =+++为通解。 4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相 同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x 轴。在杆上任意截取位于 [,]x x x +?的一段微元，杆的截面积为s ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应 变）分别是 (,)u x t x ??与(,)u x x t x ?+??，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为()(,)u SE x x t x ??与()(,)u SE x x x x t x ?+?+??，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：()(,)()(,)u u SE x x x x t SE x x t x x ??+?+?-??
《数学物理方程》习题精练5 (椭圆型方程的边值问题) 内容 1.分离变量法 2.调和函数的性质与极值原理 3.Dirichlet 问题的Green 函数法 1. 分离变量法 (1)Poisson 方程边值问题的“特解法” Poisson 方程描述稳恒场的分布情况，对于Poisson 方程的边值问题，虽不像波动方程和热传导方程那样有所谓的Duhamel 原理，但若能找到Poisson 方程的一个特解，常可把它转化成Laplace 方程的边值问题来求解，这便是所谓的“特解法”. 今有边值问题 (*)??????∈=∈=+?D y x y x u D y x y x f u u D yy xx ),( ),,(),( ),,(? 设),(y x w 是Poisson 方程的一个解(特解)，),(y x u 是所给边值问题的解.令 ),(),(),(y x w y x v y x u +=， 则),(y x v 满足如下的边值问题 (**)??????∈-=∈=+??D y x w y x v D y x v v D D yy xx ),( ,),(),( ,0? 亦即),(y x v 是域D 上的调和函数.这样，就把Poisson 方程的边值问题(*)转化成Laplace 方程的边值问题(**).对于特殊的区域D ，我们还可以用分离变量法来求解(**). 例1 求解Poisson 方程的边值问题 ??? ? ?=<+-=+=+.0)( ,2 22222a y x yy xx u a y x xy u u 解 ①先寻求Poisson 方程的一个特解),(y x w . 显然，xy xy y x -=+- ?)](12 1[33 ，于是得到一个特解为 θθρcos sin 12 1 )(121)(121),(42233-=+-=+-=xy y x xy y x y x w . 令 θθθρ2sin 24 1 cos sin 1214-=-=+=v v w v u ， 则新的未知函数v 满足如下的定解问题：
数学物理方程试题（一） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1.长为π的两端固定的弦的自由振动，如果初始位移为x x 2sin ，初始速度为 x 2cos 。则其定解条件是 2. 方程 03=??-??x u t u 的通解为 3.已知边值问题???===+0 )()0(0 )()('"πλX X x X x X ，则其固有函数)(x X n = 4.方程0)(222'"2=-++y n x xy y x α的通解为 二.单项选择题（每小题5分，共15分） 1. 拉普拉斯方程02222=??+??y u x u 的一个解是（ ） （A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u += （C ）2 21),(y x y x u += （D ）22ln ),(y x y x u += 2. 一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为),(t x F ,热传导系数为k ，侧面绝热,体密度为ρ,比热为c ，则热传导方程是 ( ) （A ）ρc t x F x u a t u ),(222 22+??=?? （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+??=?? (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+??=?? (D) ρc t x u x F a t F ),(22 2+??=?? (其中ρc k a =2) 3. 理想传输线上电压问题??? ??? ?=??=??=??=x aA t u x A x u x u a t u t ωωωsin ,cos )0,(0 2 2 222 ( 其中C L a 1 2 = )的解为（ ） （A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(= （C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω
习题2.1 2. 长为L ，均匀细杆，x=0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b 静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆做自由振动。试写出方程的定解条件。 解： 边界条件：u(x,t)|0=x =0 自由端x=L ，u x |L x ==0 初始条件：u(x,t)|0=t =x L b u t |0=t =0 习题2.2 1. 一根半径为r ，密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 的匀质圆杆，如同截面上的温度相同，其侧面与温度为1u 的介质发生热交换，且热交换的系数为1k 。试导出杆上温度u 满足的方程。 解：热传导的热量=温度升高吸收的热量+侧面热交换的热量 rdxdt u u k t x u dt t x u dx r c dt t x u t dx x u r k x x πρππ2)()],(),([)],(),([1122-+-+=-+即为： rdxdt u u k dt dxu r c dxdt u r k t xx πρππ2)(1122-+= )(211u u k ru c kru t xx -+=ρ 所以温度u 满足的方程为 r c u u k u c k u xx t ρρ)(211--=- 习题2.3 4. 由静电场Gauss 定理?????= ?V dV dS E ρε 1 ,求证： ερ = ??E ，并由
此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。 证明： ???S dS E =??????=??V V dV EdV ρε 1 所以 ερ = ??E 又因为 ερ???=-?=-???=????-?=2)(E E 习题2.4 2. （2）032=-+yy xy xx u u u 解： 特征方程：032)( 2=--dx dy dx dy ，则有1-3或=dx dy 即为 13c x y += 2c x y +-= 令x y +=η x y 3-=ξ 则由：ηηξηξξu u u u xx +-=69 ηηξηξξu u u u xy +--=23 ηηξηξξu u u u yy ++=2 推得 0=ξηu 则解得 )()3()()(x y g x y f g f u ++-=+=ηξ （5）031616=++yy xy xx u u u 解：由特征方程：0316)(162=+-dx dy dx dy 解得 4 1 43或=dx dy 则可令 x y -=4ξ x y 34-=η
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上