3.4 定积分与微积分基本定理
一、选择题
1．与定积分∫d x 相等的是( )． 3π
01－cos x A.∫sin d x B.∫d x 23π
0x 2
23π0|sin x 2|C. D ．以上结论都不对
|2∫3π0sin x 2
d x |2. 已知f (x )为偶函数，且f(x)d x ＝8，则f(x)d x ＝( )
6∫0?-66A ．0 B ．4 C ．8 D ．16
3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )．
A. m
B. m
C. m
D. m 1603803403203
4．一物体以v ＝9.8t ＋6.5(单位：m /s )的速度自由下落，则下落后第二个4 s 内经过的路程是( )
A ．260 m
B ．258 m
C ．259 m
D ．261.2 m 5．由曲线y ＝，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为 x ( )．
A. B ．4 C. D ．6 1031636．已知a ＝2，n ∈N *，b ＝x 2d x ，则a ，b 的大小关系是( )． n ∑i ＝11n (i n )1∫0
A ．a >b
B ．a ＝b
C ．a D ．不确定 7．下列积分中 ①d x ； ②； ③d x ； ④d x ，积分值等于1的个数是( )． e ∫11x ?-22xdx 2 ∫04－x 2π() ?-20sin cos 22cos πx x x A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题 8．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为______． 9．曲线y ＝与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为____________． 1x 10．若(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于_________． k ∫ 11． |3－2x |d x ＝________. 2∫ 112．抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________． 三、解答题 13．如图在区域Ω＝{(x，y)|－2≤x≤2,0≤y≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数． 14．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值． (12，0) 15．曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1，点P，求过P的切线l与C围成的图形的面积． 16. 已知二次函数f(x)＝3x2－3x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t为常数，且0 (1)求函数S(t)的解析式； (2)定义函数h(x)＝S(x)，x∈R.若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线y＝h(x)(x∈R)的三条切线，求实数m的取值范围． 3.4 定积分与微积分基本定理 一、选择题 1．与定积分∫d x 相等的是( )． 3π 01－cos x A.∫sin d x B.∫d x 23π0x 223π 0|sin x 2|C. D ．以上结论都不对 |2∫3π0sin x 2d x |解析 ∵1－cos x ＝2sin 2，∴∫d x ＝ x 23π 01－cos x ∫|sin |d x ＝∫|sin |d x . 3π02x 2 23π0x 2答案 B 2. 已知f (x )为偶函数，且f(x)d x ＝8，则f(x)d x ＝( ) 6 ∫0 ?-66A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 解析 －6f(x)d x ＝2f(x)d x ＝2×8＝16. 6∫6∫ 0答案 D 3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )． A. m B. m C. m D. m 1603803403203解析 v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，(40－10t 2)d t ＝Error!＝40×2－×8＝(m)． 2∫ 020*******答案 A 4．一物体以v ＝9.8t ＋6.5(单位：m /s )的速度自由下落，则下落后第二个4 s 内经过的路程是( ) A ．260 m B ．258 m C ．259 m D ．261.2 m 解析 (9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t)Error!＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋ 8 ∫ 452－78.4－26＝261.2. 答案 D 5．由曲线y ＝，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为 x ( )． A. B ．4 C. D ．6 103163 解析 由y ＝及y ＝x －2可得，x ＝4，所以由y ＝及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为x x 4∫0 (－x ＋2)d x ＝Error!＝. 答案 C x (23x 32－12x 2＋2x )163 6．已知a ＝ 2，n ∈N *，b ＝x 2d x ，则a ，b 的大小关系是( )． n ∑i ＝11n (i n )1∫0 A ．a >b B ．a ＝b C ．a D ．不确定 答案 A 7．下列积分中 ①d x ； ②； ③d x ； ④d x ，积分值等于1的个数是( )． e ∫1 1x ?-22xdx 2∫04－x 2π()?-20sin cos 22cos πx x x A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析 ①Error!＝1，②Error!＝0， e 12－2③d x ＝ (π22)＝1， 2∫0 4－x 2π1π14④∫0d x ＝∫0(cos x ＋sin x )d x π2cos 2x 2 cos x －sin x 12π2 ＝(sin x －cos)|0＝1. 12π2 答案 C 二、填空题 8．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为______． 解析 由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，100x d x ＝0.18(J )． W ＝∫0.060答案 0.18 J 9．曲线y ＝与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为____________． 1x 答案 －ln 2 3210．若(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于_________． k ∫ 0解析 (2x －3x 2)d x ＝2x d x －3x 2d x ＝x 2＝k 2－k 3＝0， k ∫0k ∫0k ∫0|k 0－x 3|k 0∴k＝0或k ＝1. 答案 0或1 11． |3－2x |d x ＝________. 2 ∫ 1解析 ∵|3－2x |＝Error! ∴|3－2x |d x ＝∫1(3－2x )d x ＋(2x －3)d x 2∫1322∫32＝Error!1＋(x 2－3x )|2＝. 323212 答案 12 12．抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________． 解析 如图所示，因为y ′＝－2x ＋4，y ′|x ＝1＝2，y ′|x ＝3＝－2，两切线方程为y ＝2(x －1)和 y ＝－2(x －3)． 由Error!得x ＝2. 所以S ＝[2(x －1)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋[－2(x －3)－(－x 2＋4x －3)]d x 2∫13 ∫ 2 ＝(x 2－2x ＋1)d x ＋(x 2－6x ＋9)d x 2∫13∫ 2＝Error!＋Error!＝. 2 13223 答案 23 三、解答题 13．如图在区域Ω＝{(x ，y )|－2≤x ≤2,0≤y ≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数． 解析 区域Ω的面积为S 1＝16. 图中阴影部分的面积 S 2＝S 1－Error!＝. 2－2323 设落在阴影部分的豆子数为m ， 由已知条件＝， m 900S 2 S 1即m ＝＝600. 900S 2S 1因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒． 14．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值． 解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝(x －x 2)d x ＝Error!＝.又Error! 1∫01 016 由此可得， 抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为 x 3＝0，x 4＝1－k ，所以， ＝∫(x －x 2－kx )d x S 2 1－k 0＝Error! 1－ k 0＝(1－k )3.又知S ＝， 1616 所以(1－k )3＝， 12 于是k ＝1－ ＝1－. 312342 15．曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积． (12 ，0) 解析 设切点坐标为(x 0， y 0) y ′＝6x 2－6x －2， 则y ′|x ＝x 0＝6x －6x 0 －2， 20切线方程为y ＝(6x －6x 0－2)， 20(x －12 )则y 0＝(6x －6x 0－2)， 20(x 0－12 )即2x －3x －2x 0＋1＝(6x －6x 0－2). 302020(x 0－12 ) 整理得x 0(4x －6x 0 ＋3)＝0， 20解得x 0＝0，则切线方程为y ＝－2x ＋1. 解方程组Error! 得Error!或Error! 由y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1与y ＝－2x ＋1的图象可知 S ＝∫0[(－2x ＋1)－(2x 3－3x 2－2x ＋1)]d x 32 ＝∫0(－2x 3＋3x 2)d x ＝. 322732 16. 已知二次函数f(x)＝3x 2－3x ，直线l 1：x ＝2和l 2：y ＝3tx(其中t 为常数，且0 (1)求函数S(t)的解析式； (2)定义函数h(x)＝S(x)，x ∈R .若过点A (1，m )(m ≠4)可作曲线y ＝h (x )(x ∈R )的三条切线，求实数m 的取值范围． 解析 (1)由Error!得x 2－(t ＋1)x ＝0， 所以x 1＝0，x 2＝t ＋1. 所以直线l 2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t ＋1. 因为0 所以S(t)＝∫[3tx －(3x 2－3x)]d x ＋t ＋1[(3x 2－3x)－3tx]d x t ＋ 102∫ ＝Error!＋Error!＝(t ＋1)3－6t ＋2. t ＋ 102t ＋1(2)依据定义，h(x)＝(x ＋1)3－6x ＋2，x ∈R ，则h ′(x )＝3(x ＋1)2－6. 因为m ≠4，则点A (1，m )不在曲线y ＝h (x )上．过点A 作曲线y ＝h (x )的切线，设切点为M (x 0，y 0)， 则3(x 0＋1)2－6＝， x 0＋1 3－6x 0＋2－m x 0－1 化简整理得2x －6x 0 ＋m ＝0，其有三个不等实根． 30设g (x 0)＝2x －6x 0＋m ，则g ′(x 0 )＝6x －6. 3020由g ′(x 0)>0，得x 0>1或x 0<－1； 由g ′(x 0)<0，得－1 所以g (x 0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减， 所以当x 0＝－1时，函数g (x 0)取极大值； 当x 0＝1时，函数g (x 0)取极小值． 因此，关于x 0的方程2x －6x 0 ＋m ＝0有三个不等实根的充要条件是Error! 30即Error!即－4 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 1.6 微积分基本定理（ 2） 一、【教学目标】 重点：使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点：利用微积分基本定理求积分；找到被积函数的原函数． 能力点：正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩 证唯物主义观点，提高理性思维能力. 自主探究点：通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义. 易错点：准确找到被积函数的原函数，积分上限与下限代人求差注意步骤，以免符号出错. 考试点：高考多以填空题出现，以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义：如果函数() f x在区间[,] a b上连续，用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b，将区间[,] a b等分成n个小区间，在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n，作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分，记作() b a f x dx ?，即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?，这里a、b分别叫做积分的下限与上限，区间[,] a b叫做积分区间，函数() f x叫做被积函数，x叫做积分变量，() f x dx叫做被积式. 2．定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥，那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==（a b ≠），0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积. 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
微积分基本定理(17)
定积分及微积分基本定理练习题及答案
定积分及微积分基本定理练习题及答案
7.微积分基本定理练习题