普通最小二乘法

普通最小二乘法（OLS）

普通最小二乘法（Ordinary Least Square，简称OLS），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。

在已经获得样本观测值（i=1,2,…,n）的情况下（见图 2.2.1中的散点），假如模型（2.2.1）的参数估计量已经求得到，为和，并且是最合理

的参数估计量，那么直线方程（见图2.2.1中的直线）

i=1,2,…,n (2.2.2)

应该能够最好地拟合样本数据。其中为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。

(2.2.3)

为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。

由于

是、的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。根据罗彼塔法则，当Q对、的一阶偏导数为0时，Q达到最小。即

(2.2.4)

容易推得特征方程：

解得：

（2.2.5）

所以有：

（2.2.6）

于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。

为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。记

（2.2.6）的参数估计量可以写成

(2.2.7)

至此，完成了模型估计的第一项任务。下面进行模型估计的第二项任务，即求随机

误差项方差的估计量。记为第i个样本观测点的残差，即被解释变量的估计值与观测值之差。则随机误差项方差的估计量为

(2.2.8)

在关于的无偏性的证明中，将给出（2.2.8）的推导过程，有兴趣的读者可以参考有关资料。

在结束普通最小二乘估计的时候，需要交代一个重要的概念，即“估计量”和“估计值”的区别。由（2.2.6）给出的参数估计结果是由一个具体样本资料计算

出来的，它是一个“估计值”，或者“点估计”，是参数估计量和的一个具体数值；但从另一个角度，仅仅把（2.2.6）看成和的一个表达式，那么，则是的函数，而是随机变量，所以和也是随机变量，在这个角度上，称之为“估计量”。在本章后续内容中，有时把和作为随机变量，有时又把和作为确定的数值，道理就在于此。

最小二乘法及其应用..

最小二乘法及其应用 1． 引言 最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。 2. 最小二乘法 所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为： 21022)()(m in i i i i i x b b Y Y Y e --=-=∑∑∑∧ 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例. i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程）

递推最小二乘法推导(RLS)——全网最简单易懂的推导过程

递推最小二乘法推导（RLS）——全网最简单易懂的推导过程 作者：阿Q在江湖 先从一般最小二乘法开始说起 已知x和y的一系列数据，求解参数theta的估计。用矩阵的形式来表达更方便一些： 其中k代表有k组观测到的数据， 表示第i组数据的输入观测量，yi表示第i组数据的输出观测量。令： ，则最小二乘的解很简单， 等价于即参数解为：如果数据是在线的不断的过来，不停的采用最小二乘的解法来解是相当消耗资源与内存的，所

以要有一种递推的形式来保证对的在线更新。 进一步推导出递推最小二乘法（RLS） 我们的目的是从一般最小二乘法的解 推导出 的递推形式。一定要理解这里的下标k代表的意思，是说在有k组数据情况下的预测，所以k比k-1多了一组数据，所以可以用这多来的一组数据来对原本的估计进行修正，这是一个很直观的理解。下面是推导过程： 先看一般最小二乘法的解 下面分别对 和 这两部分进行推导变换，令

得到下面公式（1） 下面来变换得到公式（2） 下面再来，根据一般最小二乘法的解，我们知道下式成立，得到公式（3）（注：后续公式推导用到） 好了，有了上面最主要的三步推导，下面就简单了,将上面推导的结果依次代入公式即可：

至此，终于变成 的形式了。 通过以上推导，我们来总结一下上面RLS方程： 注：以上公式7中，左边其实是根据公式1，右边I为单位矩阵

公式（5）和（7）中，有些文献资料是用右边的方程描述，实际上是等效的，只需稍微变换即可。例如（5）式右边表达式是将公式（1）代入计算的。为简化描述，我们下面还是只讨论左边表达式为例。 上面第7个公式要计算矩阵的逆，求逆过程还是比较复杂，需要用矩阵引逆定理进一步简化。 矩阵引逆定理： 最终RLS的方程解为：

6最小二乘法推导公式

最小二乘法公式推导 首先，列出一元线性回归模型的回归方程： ε β+=X Y （1）（1）式中Y 为被解释变量，X 为解释变量，β待估参数，ε为税基误差项；其次，写处（1）式的相应的误差方程： Y X V -=β （2）（2）式中V 为改正数，β 为最佳估计值；最后，根据最小二乘原理求解V 的值， min V V T =（3）由（2）式可知：Y X V -=β ? )Y X (）Y X （）Y X （）Y X （V V T T T T --=--=ββββ T Y Y T T T +-=ββββ X Y -Y X X X T T T 要使（3）式成立当且仅当 0=??β V V T 又 ββββββ ?+-?=??)X Y -Y X X X (T T T Y Y V V T T T T 0X Y Y X X X T T T +??-??-??=β ββββββ T T 【注：使用的矩阵的求导公式： I X X =??T 、X Y Y Y Y T T T T T T *X Y *X X X )X (X X X X ??+??=??+??=??】ββ βββββββ X X *X X *X X T T T ??+??=??T T T β X X 2T =Y X *X Y Y X *Y X T T T T =??+??=??T T T ββ ββββ

Y X Y X **X Y X Y T T T T =??+??=??ββββββ T T ∴）Y X （2X Y X 2X X 2T T T -=-=??βββ V V T 又 0 =??β V V T ∴0）Y X （2X T =-β 将（3）式带入上式可知： 0V X T =

最小二乘法的编程实现

1、最小二乘法： 1）（用1 T A A 方法计算逆矩阵） #include #include #include #include #include #define N 200 #define n 9 void Getdata(double sun[N])//从txt文档中读取数据（小数）{ char data; char sunpot[10]={0000000000};//为防止结果出现‘烫’字int i=0,j=0; double d; FILE *fp=fopen("新建文本文档.txt","r"); if(!fp) { printf("can't open file\n"); } while(!feof(fp)) { data=fgetc(fp); if(data!='\n') { sunpot[i]=data; i++; } else if(data=='\n') { sunpot[i]='\0';//给定结束符 d=atof(sunpot);//将字符串转换成浮点数 sun[j]=d; j++; i=0;//将i复位 } } } void Normal(double sun[N],double sun1[N])//将数据进行标准化{

double mean,temp=0,variance=0; int i; for(i=0;i

最小二乘法原理

最小二乘法原理 1. 概念 最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m 个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。 2. 原理 给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m 。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi 处的偏差δi= φ(xi)-yi ，i=1,2,...,m 。 常见的曲线拟合方法： 1. 是偏差绝对值最小 11min (x )y m m i i i i i φδφ===-∑∑ 2. 是最大的偏差绝对值最小 min max (x )y i i i i φδ?=- 3. 是偏差平方和最小 2211min ((x )y )m m i i i i i φδ?===-∑∑ 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 推导过程： 1. 设拟合多项式为： 01...k k y a a x a x =+++ 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 2 2 011(...)m k i i k i i R y a a x a x =??=-+++??∑ 3. 为了求得符合条件的a 值，对等式右边求ak 偏导数，因而我们得到了： 011 2(...)0m k i k i i y a a x a x =??--+++=??∑ 011 2(...)0m k i k i i y a a x a x x =??--+++=??∑

…….. 0112( 0 k k i k i i y a a x a x x =??--+++=??∑ 4. 将等式简化一下，得到下面的式子 01111...n n n k i k i i i i i a n a x a x y ===+++=∑∑∑ 2 1011111...n n n n k i i k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ …… 12011111...n n n n k k k k i i k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ 5. 把这些等式表示成矩阵形式，就可以得到下面的矩阵： 11102111111121111.........n n n k i i i i i i n n n n k i i i i i i i i i n n n n k k k k k i i i i i i i i i n x x y a a x x x x y a x x x x y ===+====+====??????????????????????=?????????????????????? ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 6. 将这个范德蒙矩阵化简后得到： 0111122 21...1...1...k k k k n n n a y x x a y x x a y x x ??????????????????=????????????????????

普通最小二乘法(OLS)

普通最小二乘法（OLS ） 普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。 在已经获得样本观测值i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下 （见图中的散点），假如模型（）的参数估计量已经求得到， 为^0β和^ 1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见 图中的直线） i i x y ^ 1^0^ββ+= i=1,2,…,n 应该能够最 好地拟合样本数据。其中^i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。 ),()(1022101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()()),(min ????1021 10212?,?1100ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== 为什么用平方和因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。 由于 2 1 ^1^012 ^ ))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝ 是^0β、^1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。根据罗彼塔法则，当Q 对^0β、^ 1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。即

0011001100?,?1 ?,?0 =??=??====ββββββββββQ Q 容易推得特征方程： ()0)??(0?)??(1011 10==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i i n i i i i i i n i i e x x y x e y y x y ββββ 解得： ∑∑∑∑∑+=+=2^ 1^0^1^0i i i i i i x x x y x n y ββββ （） 所以有：???? ?????-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i 10121 21121111??)())(()()()(?βββ （） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。 为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。记 ∑=-i x n x 1 ∑=-i y n y 1 y y y x x x i i i i -=-= （）的参数估计量可以写成

最小二乘法的原理及其应用

最小二乘法的原理及其应用 一、研究背景 在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。 其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。 二、最小二乘法的原理 人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型 , q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。 通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。一般情况下，观测值远多于所选择的参数。 其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。 确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。用函数表示为：

递推阻尼最小二乘法辨识算法公式的详细推导与说明

控制理论与控制工程 学位课程《系统辨识》考试报告 递推阻尼最小二乘法公式详细 推导 专业：控制理论与控制工程 班级：2011双控（研） 学生姓名：江南 学号：20110201016 任课教师：蔡启仲老师 2012年06月29 日

摘要 在参数辨识中，递推最小二乘法是用得最多的一种算法。但是，最小二乘法存在一些缺点，如随着协方差矩阵的减小，易产生参数爆发现象；参数向量和协方差矩阵的处置选择不当会使得辨识过程在参数收敛之前结束；在存在随机噪声的情况下，参数易产生漂移，出现不稳定等。为了防止参数爆发现象，Levenberg 提出在参数优化算法中增加一个阻尼项，以增加算法的稳定性。本文在一般的最小二乘法中增加了阻尼因子，构成了阻尼最小二乘法。又根据实时控制的要求，详细推到了递推阻尼最小二乘公式，实现在线辨识。 关键字：系统辨识，最小二乘法，递推算法 正文 1.题目的基本要求 已知单入单出系统的差分方程以及噪声，在应用最小二乘法进行辨识的时候，在性能指标中加入阻尼因子，详细推导阻尼最小二乘法的递推公式。 2.输入辨识信号和系统噪声的产生方法和理论依据 2.1系统辩识信号输入选择准则 （1）输入信号的功率或副度不宜过大，以免使系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信噪比太小，直接影响辩识精度； （2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应使正负向扰动机会几乎均等； （3）工程上要便于实现，成本低。 2.2白噪声及其产生方法 （1） 白噪声过程 （2）白噪声是一种均值为0、谱密度为非0常数的平稳随机过程。 （3）白噪声过程定义：如果随机过程 () t ω的均值为0，自相关函数为 ()()2 R t t ωσδ= （2.2.1） 式中()t δ 为狄拉克（Dirac) 分布函数，即 (){ (),00,0 1t t t dt δδ∞ ∞=≠∞ ==? -且t （2.2.2） 则称该随机过程为白燥声过程。 2.3白噪声序列 (1) 定义 如果随机序列{() }w t 均值为0，并且是两两不相关的，对应的自相关函数为 ()2 ,0,1,2w l R l l σδ==±± 式中{1,0 0,0 l l l δ=≠=则称这种随机序列{()}w t 为白噪声序列。 2.4白噪声序列的产生方法 (1) （0，1）均匀分布随机数的产生 在计算机上产生（0，1）均匀分布随机数的方法很多，其中最简单、最方便的是数学方法。产生伪随机数的数学方法很多，其中最常用的是乘同余法和混合同余法。 ①乘同余法。

最小二乘法的本原理和多项式拟合

第一节 最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一 最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值i m i r ≤≤0max ，即误差 向量 T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=m i i r 0 ，即误差向量r 的1— 范数；三是误差平方和∑=m i i r 02 的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=m i i r 02 来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整 体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即 ∑=m i i r 0 2 =[]∑==-m i i i y x p 0 2 min )( 从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最 小的曲线)(x p y =（图6-1）。函数)(x p 称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法. 6—1 二 多项式拟合 假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一 Φ ∈=∑=n k k k n x a x p 0 )(,使得 [] min )(0 02 02 =??? ??-=-=∑∑∑===m i m i n k i k i k i i n y x a y x p I (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘 拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。

应用EXCEL实现最小二乘法计算的方法

应用EXCEL实现最小二乘法计算的方法有：利用EXCEL函数、利用数据分析工具、添加趋势线等。 ⑴表格与公式编辑 将最小二乘法计算过程，应用电子表格逐步完成计算，得到结果。 ⑵应用EXCEL的统计函数 A、LINEST（） 使用最小二乘法对已知数据进行最佳直线拟合，然后返回描述此直线的数组。也可以将LINEST 与其他函数结合以便计算未知参数中其他类型的线性模型的统计值，包括多项式、对数、指数和幂级数。因为此函数返回数值数组，所以必须以数组公式的形式输入。 B、SLOPE（） 返回根据known_y's和known_x's中的数据点拟合的线性回归直线的斜率。斜率为直线上任意两点的重直距离与水平距离的比值，也就是回归直线的变化率。 C、INTERCEPT（） 利用现有的x值与y值计算直线与y轴的截距。截距为穿过已知的known_x's和known_y's数据点的线性回归线与y轴的交点。当自变量为0（零）时，使用INTERCEPT函数可以决定因变量的值。 D、CORREL（） 返回单元格区域array1和array2之间的相关系数。使用相关系数可以确定两种属性之间的关系。 ⑶添加趋势线 添加趋势线的应用较其他方法直观，可以用来完成直线回归，也可以用来完成非线性回归。具体方法不再赘述。 ⑷数据分析工具 “回归”分析工具通过对一组观察值使用“最小二乘法”直线拟合来执行线性回归分析。本工具可用来分析单个因变量是如何受一个或几个自变量的值影响的。 “回归分析”对话框 Y值输入区域在此输入对因变量数据区域的引用。该区域必须由单列数据组成。 X值输入区域在此输入对自变量数据区域的引用。Microsoft Office Excel 将对此区域中的自变量从左到右进行升序排列。自变量的个数最多为16。 标志如果数据源区域的第一行或第一列中包含标志项，请选中此复选框。如果数据源区域中没有标志项，请清除此复选框，Excel将在输出表中生成适当的数据标志。 置信度如果需要在汇总输出表中包含附加的置信度，请选中此选项。在框中，输入所要使用的置信度。默认值为95%。 常数为零如果要强制回归线经过原点，请选中此复选框。 输出区域在此输入对输出表左上角单元格的引用。汇总输出表至少需要有七列，其中包括方差分析表、系数、y 估计值的标准误差、r2值、观察值个数以及系数的标准误差。 新工作表单击此选项可在当前工作簿中插入新工作表，并从新工作表的A1 单元格开始粘贴计算结果。若要为新工作表命名，请在框中键入名称。 新工作簿单击此选项可创建新工作簿并将结果添加到其中的新工作表中。 残差如果需要在残差输出表中包含残差，请选中此复选框。 标准残差如果需要在残差输出表中包含标准残差，请选中此复选框。 残差图如果需要为每个自变量及其残差生成一张图表，请选中此复选框。 线性拟合图如果需要为预测值和观察值生成一张图表，请选中此复选框。 正态概率图如果需要生成一张图表来绘制正态概率，请选中此复选框。

最小二乘法原理及应用【文献综述】

毕业论文文献综述 信息与计算科学 最小二乘法的原理及应用 一、国内外状况 国际统计学会第56届大会于2007年8月22-29日在美丽的大西洋海滨城市、葡萄牙首都里斯本如期召开。应大会组委会的邀请，以会长李德水为团长的中国统计学会代表团一行29人注册参加了这次大会。北京市统计学会、山东省统计学会，分别组团参加了这次大会。中国统计界（不含港澳台地区）共有58名代表参加了这次盛会。本届大会的特邀论文会议共涉及94个主题，每个主题一般至少有3-5位代表做学术演讲和讨论。通过对大会论文按研究内容进行归纳，特邀论文大致可以分为四类：即数理统计，经济、社会统计和官方统计，统计教育和统计应用。 数理统计方面。数理统计作为统计科学的一个重要部分，特别是随机过程和回归分析依然展现着古老理论的活力，一直受到统计界的重视并吸引着众多的研究者。本届大会也不例外。 二、进展情况 数理统计学19世纪的数理统计学史, 就是最小二乘法向各个应用领域拓展的历史席卷了统计大部分应用的几个分支——相关回归分析, 方差分析和线性模型理论等, 其灵魂都在于最小二乘法; 不少近代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来, 作为其进一步发展或纠正其不足之处而采取的对策, 这包括回归分析中一系列修正最小二乘法而导致的估计方法。 数理统计学的发展大致可分 3 个时期。① 20 世纪以前。这个时期又可分成两段，大致上可以把高斯和勒让德关于最小二乘法用于观测数据的误差分析的工作作为分界线，前段属萌芽时期，基本上没有超出描述性统计量的范围。后一阶段可算作是数理统计学的幼年阶段。首先，强调了推断的地位，而摆脱了单纯描述的性质。由于高斯等的工作揭示了最小二乘法的重要性，学者们普遍认为，在实际问题中遇见的几乎所有的连续变量，都可以满意地用最小二乘法来刻画。这种观点使关于最小二乘法得到了深入的发展，②20世纪初到第二次世界大战结束。这是数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期。许多重要的基本观点和方法，以及数理统计学的主要分支学科，都是在这个时期建立和发展起来的。这个时期的成就，包含了至今仍在广泛使用的大多数统计方法。在其发展中，以英国统计学家、生物学家费希尔为代表的英国学派起了主导作用。③战后时期。这一时期中，数理统计学在应用和理论两方面继续获得很大的进展。

最小二乘法公式

最小二乘法公式 ∑(X--X平)(Y--Y平) =∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平) =∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平 =∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平 =∑XY--nX平Y平 ∑(X --X平)^2 =∑(X^2--2XX平+X平^2) =∑X^2--2nX平^2+nX平^2 =∑X^2--nX平^2 最小二乘公式（针对y=ax+b形式） a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2) b=y(平均)-ax（平均） 最小二乘法 在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)²〕最小为“优化判据”。 令: φ = ∑(Yi - Y计)² (式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。

(式1-4) (式1-5) 亦即 m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6) (∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式 1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。 R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊ 在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一最小二乘法 从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求与之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的个数据, , …, , 则在平面上, 可以得到个点 , 这种图形称为“散点图”, 从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁, 我们认为与之间近似为一线性函数, 下面介绍求解步骤. 考虑函数 , 其中和是待定常数. 如果在一直线上, 可以认为变量之间的关系为 . 但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记 , 它反映了用直线来描述 , 时, 计算值与实际值产生的偏差. 当然要求偏差越小越好, 但由于可正可负, 因此不能认为总偏差时, 函数就很好地反

最小二乘法原理

最小二乘法 最小二乘法是一种在误差估计、不确定度、系统辨识及预测、预报等数据处理诸多学科领域得到广泛应用的数学工具。最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法公式： 设拟合直线的公式为 , 其中：拟合直线的斜率为： ；计算出斜率后，根据 和已经确定的斜率k，利用待定系数法求出截距b。

在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y 直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 Y计= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意实数 为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)²〕最小为“优化判据”。 令: φ= ∑(Yi - Y计)² (式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ= ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 (式1-4) (式1-5) 亦即 m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)

(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。 在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于0 越好。 R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) * 在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。微积分应用课题一最小二乘法 从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式. 本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求与之间近似成线性关系时的经验公式. 假定实验测得变量之间的个数

最小二乘法--计算方法

生活中的计算方法应用实例——— 最小二乘法，用MATLAB实现1. 数值实例 下面给定的是某市最近1个月早晨7：00左右（新疆时间）的天气预报所得到的温度 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 温度9 10 11 12 13 14 13 12 11 9 天数11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 温度10 11 12 13 14 12 11 10 9 8 天数21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 温度7 8 9 11 9 7 6 5 3 1 下面用MATLAB编程对上述数据进行最小二乘拟合，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。 2、程序代码 x=[1:1:30]; y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7, 6,5,3,1]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合% a2= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合% a3= polyfit(x,y,15) %十五次多项式拟合% b1= polyval(a1,x) b2= polyval(a2,x) b3= polyval(a3,x) r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和% r2= sum((y-b2).^2) %九次次多项式误差平方和% r3= sum((y-b3).^2) %十五次多项式误差平方和% plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像% hold on plot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像% hold on plot(x,b2, 'g') %用绿色线画出x,b2图像% hold on plot(x,b3, 'b:o') %用蓝色o线画出x,b3图像% 3、数值结果 不同次数多项式拟合误差平方和为： r1=67.6659

数值计算_第6章 曲线拟合的最小二乘法

第6章曲线拟合的最小二乘法 6.1 拟合曲线 通过观察或测量得到一组离散数据序列，当所得数据比较准确时，可构造插值函数逼近客观存在的函数，构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即。此时，序列与 是相等的。 如果数据序列，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1 所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数最优地靠近样点，即向量与的误差或距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。 图6.1 含有“噪声”的数据

图6.2 一条直线公路与多个景点 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。 向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如： 用各点误差绝对值的和表示： 用各点误差按模的最大值表示： 用各点误差的平方和表示： 或（6.1） 其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按 均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。 在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。

关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。 在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。 例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列；设主干路为一条直线 ，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差最小值而确定直线方程（见图6.2）。 6.2线性拟合和二次拟合函数 线性拟合 给定一组数据，做拟合直线，均方误差为 （6.2） 是二元函数，的极小值要满足

最小二乘法基本原理

该方程的参数估计步骤如下： 取n 组观测值n i x x x y ki i i i ,,2,1),,,,(211 =代入上式中可得下列形式： ?????????++??+++=++??+++=++??+++=m mk k m m m k k k k u x x x y u x x x y u x x x y ββββββββββββ2211022222211021 112211101 （2） (2)的矩阵表达形式为： U B X y += （3） 对于模型（3），如果模型的参数估计值已经得到，则有： ^^B X y = （4） 那么，被解释变量的观测值与估计值之差的平方和为： ∑∑==--==-==n i i i n i i B X Y B X Y e e y y e Q 1 ^ '^'2^12)()()( （5） 根据最小二乘法原理，参数估计值应该是下列方程： 0)()(^' ^^=--??B X Y B X Y B （6） 的解。于是，参数的最小二乘估计值为： Y X X X B '1'^)(-= （ 7）

多变量预测模型是以多元线性回归方程为基础，其一般形式为： i ki k i i i u x x x y +++++=ββββ 22110 （8） 其中：k n i ;,,2,1 =为解释变量的数目；k x x x ,,,21 为解释变量，)1(+k 为解释变量的数目；k βββ ,,21为待估参数；u 为随机干扰项；i 为观测值下标。 统计检验是依据统计理论来检验模型参数估计值的可靠性。主要包括方程显著性检验（F 检验）和变量显著性检验（F 检验）。前者计算出F 统计量的数值；给定一个显著性水平α，查F 分布表，得到一个临界值),1,(--k n k F α当)1,(-->k n k F F α时，通过F 检验。后者计算出t 统计量的数值；给定一个显著性水平α，查t 分布表，得到一个临界值)1(2/--k n t α，当)1(||2/-->k n t t α时，通过t 检验。

22-“最小二乘法公式推导”教学的“惑”与“获” 中学数学教学参考(上旬刊)2012年第8期

“最小二乘法公式推导”教学的“惑”与“获” 安徽省六安第一中学 陆学政（邮编：237009） 安徽省六安第一中学 顾朝阳（邮编：237009） 最小二乘法是统计学中用来求两个线性相关变量的回归直线方程的一种方法，“二乘”就是“平方”的意思.教材在分析了最小二乘法的思想之后，便直接给出回归直线斜率b 和截距a 的计算公式，而省略了公式的推导过程.笔者对此有两个困惑：公式的推导，教还是不教？若教，如何教？带着这两个困惑，笔者认真研读有关资料，仔细揣摩公式推导的数学实质，终于有所收获，现简述如下，并就教于方家. 困惑1 公式推导，教不教？ 不教的理由似乎很充分：该公式不要求记忆，目前在考试中若用到则直接给出；公式推导比较复杂，太耽误时间，也不是教学重点；在后续的学习（选修2-3“统计案例”）中再推导也不迟，等等. 思考1.1 数学教学的目的是什么？ 高中数学教学的主要目的是：使学生学好数学基础知识，形成基本技能，进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力等数学能力以及创新意识、良好的个性品质和辩证唯物主义观点.其中，数学能力的培养必须落实在数学知识的学习和数学技能的训练过程中，离开“双基”学习来培养能力，那是纸上谈兵.另外，无论是数学“双基”还是能力，它们都是在数学活动中形成和发展的，也只有在数学活动过程中才能得到体现，这就产生了日常数学教学活动中是否以“能力”立意的问题.最小二乘法公式的推导，教还是不教，不能取决于记忆要求，更不能取决于考试要求，而是取决于公式推导对学生能力培养和思想方法渗透的价值，即取决于对学生数学发展的价值. 思考1.2 公式推导的价值何在？ 在∑ =- -=n i i i a bx y b a Q 1 2 )(),(中，已知数据都是用字母表示，且含有求和符号，这可能是很多教师和学生感到复杂，并放弃推导公式的重要原因.舍去枝节问题，透过现象看本质，可以发现，这其实就是关于两个独立变量的二次式的配方过程.配方法是高中数学的重要思想方法，学生也有一定的知识基础（初中求解二次方程、二次函数问题就多次用到配方法）；同时，由于是两个独立变量，且有混合项，需要用“主元法”进行处理，因此是对初中所学的配方法的进一步发展，加之式子复杂，对代数恒等变形能力的要求也较高.因此，这是培养学生代数变形能力和推理能力、渗透数学思想方法的绝好机会.学生数学能力的培养、数学素养的提高不就是利用一次次的“机会”实现的吗？至于选修2-3的教材处理，完全可以简化为高一学生易于接受的形式.所以，公式推导具有较大的教学价值. 困惑2 公式推导，如何教？ 明确了“公式推导”的定位后，接下来就是如何进行教学.不可否认的是，推导过程确有一定的难度，因此如何根据学生的认知基础，顺应学生的思维规律，进而设计科学的教学过程便成为教学的关键. 思考2.1 公式推导的难点在哪？ 公式推导的难点在于学生如何想到用配方法求),(b a Q 的最小值.这是因为，学生之前学习的配方法基本上只涉及单一变量，对涉及两个独立变量的式子接触很少，何况式子还含有两个变量