第一章随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量，分布函数 离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数 连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数 2．n维随机变量 其联合分布函数 离散型联合分布列连续型联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量连续型随机变量 方差：反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量）： 相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。 独立不相关 ４．特征函数离散连续 重要性质：，，， ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 泊松分布均匀分布略 正态分布 指数分布 ６．Ｎ维正态随机变量的联合概率密度 ，，正定协方差阵 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义 设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。 含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。 当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。 分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 ２．随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。（１）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。 （２）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。 （３）协方差函数且有 （４）相关函数(3)和(4)表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。
第二章随机过程的基本概念 §1随机过程及其概率分布 、随机过程概念： 一、随机过程概念： 初等概率论所研究的随机现象，基本上可以用随机变量或随机向量来描述.但在实际中有些随机现象要涉及(可列或非可列)无穷多个随机变量.
例1．某人扔一枚硬币，无限制的重复地扔下去，要表示无限多次扔的结果，我们不妨记正面为1，反面为0.第次扔的结果是一个，其分布，无限多次扔n n r vX ?{}{}1012n n P X P X ====，无限制的重复地扔，要表示无限多次扔的结果，我们不妨反面为其分布无限多次扔的结果是一个随机过程，可用一族相互独 立，，或表示.r v ?1X ，2X {},1n X n ≥
n n X 0n n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 ……
例2．当固定时，电话交换站在时间内来到的呼叫次数是，记， ，其中是单位时间内平均来到的呼叫次数，而，若从变到，时刻来到的呼叫次数需用一族随机变量表 它为非降的阶，在有呼唤来到的时刻阶跃地增加，假定在任一呼唤来到的时刻不可能来到多）(0)t t ≥[0,] t r v ?()X t ()()X t P t λ λ0λ>t 0∞t {}(),[0,)X t t ∈∞()X t ，电话交换站在记，若时刻示， 是一个随机过程. 对电话交换站作一次观察可得到一条表示以前来到的呼唤曲线，它为非降的阶梯曲线，在有呼唤来到的时刻阶跃地增加，（假定在任一呼唤来到的时刻不可能来到多于一次呼唤）. E t 1()x t
同理，第二次观察，得到另一条阶梯形曲线； 同理，第n 次观察，得到另一条阶梯形曲线. 2()x t ()n x t ，第二次观察，得到另一条阶梯形曲，第，得到另一条阶梯形曲 总之，一次试验得到阶梯形曲线形状具有随机性
随机过程分析 摘要随着科学的发展，数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位，因为在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系,从最简单的加减乘除，到复杂的建模思想等等。其中，随机过程作为数学的一个重要分支，更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键，也是今后通信业能否取得巨大进步的关键。 关键字通信系统随机过程噪声 通信中很多需要进行分析的信号都是随机信号。随机变量、随机过程是随机分析的两个基本概念。实际上很多通信中需要处理或者需要分析的信号都可以看成是一个随机变量，利用在系统中每次需要传送的信源数据流，就可以看成是一个随机变量。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。也就是说把随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数；把以时间t为参变量的随机函数称为随机过程。随机过程包括随机信号和随进噪声。如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种信号就称为随机信号；在通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声。下面对随机过程进行分析。 一、随机过程的统计特性 1、数学期望:表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心， 即均值
?∞ ∞-==11);()]([)(dx t x xp t X E t a 2、方差:表示随机过程在时刻t 对于均值a(t)的偏离程度。 即均方值与均值平方之差。 {}?∞ ∞ --=-=-==112222);()]([)]()([))](()([)]([)(dx t x p t a x t a t X E t X E t X E t X D t δ 3、自协方差函数和相关函数: 衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。 （1）自协方差函数定义 {} )]()()][()([);(221121t a t X t a t X E t t C x --=??∞∞-∞ ∞---=2121212211),;,()]()][([dx dx t t x x p t a x t a x 式中t1与t2是任意的两个时刻；a (t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望； 用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。 （2）自相关函数 ??∞∞-∞ ∞-==2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x p x x t X t X E t t R X 用途：a 用来判断广义平稳； b 用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。 二、平稳随机过程 1、定义（广义与狭义）： 则称X(t)是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。
第一章 随机过程的基本概念 1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求X （t ）的一维概率分布 解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)2 1 (0+ =k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p 若 0cos 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω 当 0cos 0>t ω时 ξπ ωωξd e t x X P t x F t x ? - = ??? ? ??≤=02 cos 0 2 021cos ),( 此时 ()t e x t x F t x f t x 0cos 2cos 1 21,),(022ωπ ω? =??=- 若 0cos 0 ?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F 解：（1）先求)21,(x F 显然???=?? ???-=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,212,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 ?????≥<≤<=??? ?? 11102 1 0021,x x x x F 再求F （x ,1） 显然? ??-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1 (1)====X p X p 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ???-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1 ( X X 于是 离散型随机变量的概念》教学设计 一、教材分析 《离散型随机变量的概念》是人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-3》第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的第一课时。本章是在必修三中学习了基本的概率统计知识的基础上，进一步学习 随机变量及其分布的知识。本节内容一方面承接了必修三的知识；另一方面，掌握好这一节课将有助于后续的学习，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，从而使得更多的数学工具有了用武之地。离散型随机变量是最简单的随机变量。本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法。 二、学情分析 学生在必修3概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础，教学时应充分注意这一教学条件；另外，为更好地形成随机变量和离散型随机变量两个概念，教学中可借助媒体列举和展现丰富的实例和问题，以留给学生更多的时间思考和概括。 三、教学策略分析 学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。本课以情境为载体，以学生为主体，以问题为手段，激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。 四、目标分析 1、知识与技能目标：理解随机变量和离散型随机变量的概念，能够运用随机变量表示随机事件，学会恰当的定义随机变量； 2、过程与方法目标：在教学过程中，以不同的实际问题为导向，弓I导学生分析问题的特点，归纳问题的共性，提高理解分析能力和抽象概括能力； 随机变量及其分布总结 1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示． 2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质： （1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格 6.两点分布列: 7超几何分布列： 一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品 数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k m C --===,其中 mi n {,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列 为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布 8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ， （k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - … q p C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。 9．离散型随机变量的均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 10．离散型随机变量的均值或数学期望的性质： （1）若ξ服从两点分布，则=ξE p ． （2）若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ． （3）()c c E =，c 为常数 （4）ξ～N (μ，2σ),则=ξE μ （5）b aE b a E +=+ξξ)( 11．方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么, ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋… 2 0 — 1分布 P(X 1) P,P(X 0) q EX DX pq 二项分布 P(X k) C ： EX np DX npq 泊松分布 P(X k) k! EX DX 均匀分布略 正态分布 N(a, 2) f(x) (X a)2 2 2 EX DX 第一章随机过程的基本概念与基本类型 一.随机变量及其分布 1 .随机变量X ,分布函数F(x) P(X X) 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 P k P(X x k )分布函数 F(x) P k 连续型随机变量 X 的概率分布用概率密度 f(x) 分布函数F(x) X f(t)dt 2. n 维随机变量 X (X 1,X 2, ,X n ) 其联合分布函数 F (X ) F (X 1,X 2, , X n ) P(X 1 X [ , X 2 X 2 , , X n X n ,) 离散型 联合分布列 连续型联合概率密度 3 .随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量 X EX X k P k 连续型随机变量 X EX xf (x)dx 2 2 2 方差：DX E(X EX) EX (EX) 反映随机变量取值的离散程度 协方差(两个随机变量 X,Y )： B XY E[(X EX )(Y 相关系数(两个随机变量 X, Y ) : XY t _ ____________________________________ VDX v'DY 独立 不相关 5 ?常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 B XY EY)] E(XY) EX EY 则称X,Y 不相关。 4 ?特征函数 g(t) E(e ItX ) 离散 g(t) e ItX k p k 连续 g(t) e ltx f (x)dx 重要性质：g(0) 1 , g(t) 1 , g( t) g(t) , g (0) EX k 第三章多维随机变量及其分布 在实际应用中,有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.例如,研究某地区学龄前儿童的发育情况时,就要同时抽查儿童的身高H 、体重 W ,这里,H 和W 是定义在同一个样本空间上的两个随机变量.又如,考察某次射 击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标X 和纵坐标Y .在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多为随机变量的分布.由于从二维推广到多维一般无实质性的困难,故我们重点讨论二维随机变量. §3.1多维随机变量的概念 一、二维随机变量及分布函数 1定义:由随机变量,X Y 构成的有序数),(Y X ，称),(Y X 为二维随机变量或二维随机向量. 注：(),X Y 在几何上，二维随机变量可看作平面上的随机点的坐标． 2定义:设),(Y X 是二维随机变量,对任意实数y x ,,二元函数 },{)} {()}{(),(y Y x X P y Y P x X P y x F ≤≤≤≤=记为 称为二维随机变量),(Y X 的分布函数或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数. 3二元分布函数的几何意义 (,)(,)X Y X Y 若将二维随机变量看成是平面上随机点的,(,)(,)F x y X Y 的坐标则分布函数就表示随机点落在以点(,)x y 为顶点的左下方的无限矩形域内的概率 4随机点(,)X Y 落在矩形区域:1212,x X x y Y y <≤<≤内的概率为 1212{,}P x X x y Y y <≤<≤＝22122111(,)(,)(,)(,)F x y F x y F x y F x y --+ 5分布函数(,)F x y 的性质: （1）,1),(0≤≤y x F 且对任意固定的,y ,0),(=-∞y F 对任意固定的, 0),(,=-∞x F x ;1),(,0),(=+∞+∞=-∞-∞F F (2)),(y x F 关于x 和y 均为单调不减函数,即 对任意固定的,y 当),,(),(,1212y x F y x F x x ≥> 对任意固定的,x 当);,(),(,1212y x F y x F y y ≥> (3)),(y x F 关于x 和y 均为右连续,即).0,(),(),,0(),(+=+=y x F y x F y x F y x F 4（）对任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<有 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 注：上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数。具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数．破坏之一，则不是。 二、二维离散型随机变量及其概率分布 1定义：若二维随机变量),(Y X 只取有限对或可数对值,则称),(Y X 为二维离散型随机变量. 结论：),(Y X 为二维离散型随机变量当且仅当Y X ,均为离散型随机变量. 2定义：若二维离散型随机变量),(Y X 所有可能的取值为),(j i y x ,,2,1, =j i 则 随机过程的基本概念 马尔可夫性质： 马尔可夫性质，或称作无记忆性，或称作无后效性。 马尔可夫过程和马尔可夫链，分别表示具有马尔可夫性质的随机过程和随机序列。马尔可夫性质是说过程的历史对将来的影响，都是通过当前状态对将来的影响来表示，即当前的状态概括了过去历史对将来的影响。这样一来，任意维数的马尔可夫过程和马尔可夫链的概率分布，都可以用它们的初始分布和条件转移概率分布来表示。 定义1，马尔可夫过程（使用条件概率密度函数，或条件概率分布函数来表示） 设有一个随机过程{}T t t ∈),(ξ，T t t t t m m ∈<<<<+121 ，若在这些时刻观察到随机过程的值是121,,,+m m x x x x ，若它的条件概率密度和条件分布函数满足条件， )/(),,/(1/211,/1211m m t t m m t t t t x x f x x x x f m m m m ++++= 或 )/(),,/(1/211,/1211m m t t m m t t t t x x F x x x x F m m m m ++++= 则称这类随机过程为具有马尔可夫性质的随机过程或马尔可夫过程。 性质，马尔可夫过程的有限维概率密度 ) ()/()/()/() ,,,(112/1/1/121,,11211121x f x x f x x f x x f x x x x f t t t m m t t m m t t m m t t t t m m m m m m ???=-++-++ 定义2，马尔可夫链（使用转移概率、条件概率） 设有一个随机过程{} 2,1,0),(=n n ξ是离散状态的随机过程，且)(n ξ满足条件， {}{} n n i n j n P i n i i j n P ==+=====+)(/)1()(,)1(,)0(/)1(10ξξξξξξ 则称这类随机过程是马尔可夫链。 性质，马尔可夫链的有限维概率密度 {} {}{}{}{} 001110)0()0(/)1()(/)()(/)1()1(,)(,)1(,)0(i P i i P i n i n P i n j n P j n i n i i P n n n n =?====?==+==+===-ξξξξξξξξξξξ 二阶矩过程： 定义1，二阶矩过程 2随机过程的基本概念 §2.1 基本概念 随机过程是指一族随机变量 . 对随机过程的统计分析称为随机过程论 , 它是随机数学中的一个重要分支,产生于本世纪的初期 . 其研究对象是随机现象 ,而它特别研究的是随“ 时间” 变化的“ 动态” 的随机现象 . 一随机过程的定义 1 定义设 E 为随机试验, S 为其样本空间,如果 (1对于每个参数 t ∈ T , X(e,t为建立在 S 上的随机变量, (2对每一个 e ∈ S , X(e,t为 t 的函数,那么称随机变量族 {X(e,t, t∈ T, e∈ S}为一个随机过程,简记为 {X(e,t, t∈ T}或 X(t。 ((((({} {} [](为随机序列。时,通常称 , 取可列集合当可以为无穷。 通常有三种形式: 参数一般表示时间或空间, 或有时也简写为一个轨道。 随机过程的一个实现或过程的样本函数,或称随机的一般函数,通常称为为对于 :上的二元单值函数。 为即若用映射来表示注意: t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X R S T t e X t 21321, , , , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , 3, 2, 1, 0T , . 4, . 3, , 2, :, . 1=---==??×?′?′L L L 为一个随机过程。则令 掷一均匀硬币, 例 , ( (cos (}, {1 t e X t X R t T e t H e t t X T H S =??íì====p2 随机过程举例 例 2:用 X(t表示电话交换台在 (0, t 时间内接到的呼唤的次数 , 则 (1对于固定的时刻 t, X(t为随机变量 , 其样本空间为{0, 1, 2, …..}, 且对于不同的 t, 是不同的随机变量 . (2对于固定的样本点 n, X(t=n是一个 t 的函数 . (即:在多长时间内来 n 个人 ? 所以 {X(t,t>0}为一个随机过程 . 相位正弦波。为随机过程,称为随机则令例 ( 题目建筑热过程随机分析的背景、方法和应用 南京大学信息与控制学院，南京210044 摘要：本文分析了建筑热过程的随机特性的背景，提出一种研究室外随机气象条件和室内随机自由得热共同作用下的建筑热过程的随机分析的方法，并给出该方法在暖通空调中的几个应用领域，以及对该方法的理论和实测的验证过程。 关键词：建筑热过程；随机分析；供暖空调 Title Building thermal process background, the method of stochastic analysis and Applications Nanjing University, Nanjing 210044 Abstract：This paper analyses the stochastic characteristics of building thermal processes in the background, the method of stochastic analysis of a research on outdoor random weather conditions and indoor random free building heat under the interaction process, and gives the method in HV AC applications, as well as the method of theoretical and experimental verification process. keywords：building thermal process；random analysis；heating and air conditioning 1 引言 建筑热过程是研究建筑环境特性、分析评价节能建筑、设计建筑环境的控制系统（供热、通风、空调）的基础。建筑热过程是由于室外气象条件和室内各种热源（人、照明及设备）作用在建筑物上而造成的建筑室内环境的温湿度变化。因此它取决于室外气象状况、室内热源状况及建筑物结构的热性能参数。然而，由于室外气象参数与室内的各种热源均不是确定的过程，而是具有很大的不确定成分的随机过程，因此，这些随机因素作用于建筑物，使建筑内的热环境变化过程（理论变化过程）亦成为一随机过程。 随机过程读书笔记 《应用随机过程》读书笔记 早期的概率论和分析是两个截然不同的领域.1933年，Kolmogorov建立了概率论公理基础，这标志着概率论成为一个严密的分支.此后学者们更感兴趣于用概率方法来解决分析问题.于是上世纪40到50年代间，随机分析学迅速发展成为一门新的学科，被誉为“随机王国中的牛顿定律”.随机分析学的理论受到了众多领域专家、学者的研究和关注。它的发展是迅速的，也是巨大的，其应用领域越来越广泛，紧密联系着数学的各个分支，也是近代概率论中最活跃的分支之一。随着其内容的不断丰富，随机分析己被广泛应用于点过程、估计理论等理论分支。 在放假期间，我看了《应用随机过程》第六章---鞅的内容。鞅是一类特殊的随机过程，鞅的初始概念是源于公平竞争的思想，也就是在竞争中付出与所期望的收入相匹配。直观地讲，在公平竞争中我们无法凭空创造则富。鞅仅描述现在所拥有的价值，离散时间鞅仅仅是对过程有个大致的描述，而连续时间鞅则是对招个过程的一个综合把握，可以细致而紧凑地研究过程的走向。下面就简单介绍一下鞅的基本概念及其相关性质。 一定义1 随机过程Xn,n0称为关于Yn,n0的下鞅，如 果对 n0,Xn时(Y0,,Yn)的函数，EXn，并且E(Xn1|Y0,,Yn)Xn，这里 如果对Xnmax0,Xn。我们称过程Xn,n0为关于Yn,n0的上鞅，n0,Xn是(Y0,,Yn)的函数，EXn，并且E(Xn1|Y0,,Yn)Xn，这里 Xnmax0,Xn。若Xn,n0兼为关于Yn,n0的下鞅与上鞅，则称 之为关于Yn,n0的鞅。 根据鞅的定义，我们可以直接推出以下命题： 适应列Xn,Fn,n0是下鞅当且仅当Xn,Fn,n0是上鞅。如果Xn,Fn，Yn,Fn是两个下鞅，a，b是两个正常数，则aXnbYn,Fn是下鞅。 如果Xn,Fn，Yn,Fn是两个下鞅，则 。 max(Xn,Yn),Fn或min(Xn,Yn),Fn是下鞅 下面以一个例子加以说明：考虑一个公平博弈的问题，设X1,X2独立同分布，分布函数为PXi1PXi1，于是，可以将Xi(i1,2,)看做一个投硬币的游戏的结果：如果出现正面就赢1元。 12出现反面就输1元。假设我们按以下的规则来赌博，每次投掷硬币之前的赌注都比上一次翻一倍，直到赢了赌博即停。令Wn表示第n次赌博后所输的总钱数，W00，无论如 第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布1．随机变量，分布函数离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数2．n 维随机变量其联合分布函数离散型联合分布列连续型联合概率密度 3 .随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量连续型随机变量 方差：反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量）： 相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。 独立不相关 4?特征函数离散连续 重要性质：，，， 5 ?常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 0 — 1分布 二项分布泊松分布均匀分布略 正态分布 指数分布 6.N维正态随机变量的联合概率密度，，正定协方差阵 二.随机过程的基本概念 1.随机过程的一般定义设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。 含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。 当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增 量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 2 .随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。 （1）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。 （2）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。 （3）协方差函数且有 （4）相关函数（3）和（4）表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。 (5)互相关函数：，是两个二阶距过程，则下式称为它们的互协方差函数。 ，那么，称为互相关函数。若，则称两个随机过程不相关。 3 ?复随机过程 均值函数方差函数 协方差函数相关函数 4?常用的随机过程 (1)二阶距过程：实(或复)随机过程，若对每一个，都有(二阶距存在) ，则称该随机过程为二 阶距过程。 (2)正交增量过程：设是零均值的二阶距过程，对任意的，有 ，则称该随机过程为正交增量过程。 第二章 随机过程的基本概念和基本类型 教学目的：（1）掌握随机过程的定义； （2）了解有限维分布族和Kolmogorov 定理； （3）掌握独立增量过程和独立平稳增量过程概念。 教学重点：（1）有限维分布和Kolmogorov 定理； （2）随机过程的基本类型。 教学难点：（1）有限维分布和Kolmogorov 定理。 2.1 基本概念 教学目的：掌握随机过程的定义；了解随机过程的按状态集和参数的分类。 教学重点：随机过程的定义。 在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。在极限定理中，我们研究了无穷多个随机变量，但局限在它们相互独立的情形。将上述情形加以推广， 即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。 定义2.1：设),,(P ∑Ω是一概率空间，对每一个参数T t ∈,),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量，则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω,为该概率空间上的一随机过程。T 称为参数集。 随机过程的两种描述方法：用映射表示T X ，R T t X →Ω?:),(ω，即),(??X 是一定义在Ω?T 上的二元单值函数，固定,T t ∈),(?t X 是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的Ω∈0ω，),(0ωt X 是一个关于参数T t ∈的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现。记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为).(t X 参数T 一般表示时间或空间。参数常用的一般有： (1) },,2,1,0{0 ==N T 时间此时称之为随机序列或随机序列写为序列.，)({n X }0≥n }.,1,0,{ =n X n 或 (2) },2,1,0{ ±±=T (3) ],[b a T =.,0∞+∞-可以取或可以取其中b a 当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。随机过程});({T t t X ∈可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S. S 中的元素称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。 同的类：的不同过程可以分成不和根据S T 参数空间分类：?? ?≥==}0|{}2,1,0{t t T T 如连续参数如离散参数 状态空间分类：?? ?取值是连续的 连续状态取值是离散的离散状态 S S 随机过程分为以下四类： (1) 离散参数离散型随机过程； (2)连续参数离散型随机过程； (3)连续参数连续型随机过程； (4)离散参数连续型随机过程。 以随机过程的统计特征或概率特征的分类，一般有： 独立增量过程； 二阶矩过程； 平稳过程； Poission 过程； 更新过程；《离散型随机变量的概念》教学设计
随机变量附其分布列概念公式总结
随机过程知识点汇总
§3.1多维随机变量的概念
随机过程的基本概念
第二章随机过程基本概念.
随机分析论文
随机过程读书笔记
随机过程知识点汇总
随机过程的基本概念和基本类型
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