三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例 C知负整介 1. 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线____________ 的角叫仰角，在水平线____________ 的角叫俯角(如图①). ① ② 2. 方位角 3. 方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) (1) 北偏东a °即由指北方向顺时针旋转a (2) 北偏西a°即由指北方向逆时针旋转 况°到达目标方向. (3) 南偏西等其他方向角类似. 【思考探究】1仰角、俯角、方位角有什么区别? 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为 到达目标方向.
何图形为背景,求解有关长度角度、面积、最值和 转化至u三角形中，利用正軽舷理加以解决n在解决 _ 常先引入变量（如边长、角度等），然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之. 以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问题，通 常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决?在解决某些具体问题时，常先引 入变量（如边长、角度等），然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来， 再利用正、余弦定理列出方程，解之. 如右图，D是直角△ ABC斜边BC上一点，AB = AD， 记/ CAD = ，/ ABC= B . (1)证明：sin + cos 2B= 0; ⑵若AC= 3 DC，求B的值. =10，AB= 14，/ BDA = 60°，/ BCD= 135° 贝S BC 的长为 、最值和优化等问题，通常 亠一某些具体问题时, 【变式训练】 1.如图，在四边形ABCD中，已知AD丄CD，AD A R
§3 解三角形的实际应用举例 [学习目标] 1.能够从实际问题中抽象出数学模型，然后运用正弦、余弦定理及三角函数的有关知识加以解决.2.巩固深化解三角形实际问题的思维方法，养成良好的研究、探索习惯.3.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力． [知识链接] 在下列各小题的空白处填上正确答案： (1)如图所示，坡角是指坡面与水平面的夹角．(如图所示) (2)如上图，坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝tan α＝h l (i 为坡比，α为坡角)． (3)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线． (4)方位角：从某点的北方向线起，顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向． [预习导引] 1．仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)． 2．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示) ①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向． ②北偏西α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．
要点一 测量距离问题 例1 某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31千米的公路上的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 为21千米，求此人在D 处距A 还有多少千米？ 解 如图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中，cos B ＝312＋202－2122×31×20＝23 31， 所以sin B ＝123 31 . 在△ABC 中，AC ＝BC sin B sin ∠CAB ＝31× 12331sin 60°＝24(千米)． 由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠CAB 得AB 2－24AB －385＝0， 解得AB ＝35或AB ＝－11(舍去)． ∴AD ＝AB －BD ＝15(千米)， 故此人在D 处距A 还有15千米． 规律方法 测量距离问题分为两种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解． 跟踪演练1 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522 m 答案 A 解析 ∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，
解三角形的实际应用举例 【学习目标】 1.了解斜三角形在测量、工程、航海等实际问题中的应用；能选择正弦定理、 余弦定理解决与三角形有关的实际问题. 2.在解三角形的实际问题中，进一步体会数学建模的思想，掌握数学建模的 方法. 3.体会数学知识来源于实际生活，体会正弦定理、余弦定理在实际生活中的 广泛应用. 【学习重点】 熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题. 【学习难点】 数学建模的过程及解三角形的运算. 【课前预习案】 1.有关概念： 仰角与俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图 ). 方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②) 2．方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． a (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． 思考：方位角与方向角的区别
3. 坡度与坡角:坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面与垂直高度 h 和水平宽度l 的比叫坡度. 1. 解三角形的一般思路 （1）读懂题意,理解问题的实际背景,理解题中的有关名词的含义，如坡度、仰角、俯角、方位角等. （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型, （3）选择正弦定理、余弦定理等有关知识求解. （4）将三角形的解还原为实际意义,检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍. 【课堂探究案】 解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 探究一：测量地面上两个不能到达的地方之间的距离 例1.如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是42m ，∠BAC=45?，∠ACB=?75。求A 、B 两点的距离. 变式1.为了开凿隧道，要测量隧道上D 、E 间的距离，为此在山的一侧选取适当点C ，如图，测得CA=400m ，CB=600m ， ∠ACB=60°，又测得A 、B 两点到隧道口的距离AD=80m ，BE=40m(A 、D 、E 、B 在一条直线上)，计算隧道DE 的长. 探究二：测量高度问题 例2、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，H 、G 、B 三点在同一条水平直线上。在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是030ADE ∠=、045ACE ∠=、20CD m =，测角仪器的高是1h m =，求建筑物高度
解三角形在实际生活中的应用 高一数学教研组冯一波 一、背景说明： 在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事。明月高悬，我们仰望星空，会有无限遐想。不禁会问，遥不可及的月球离地球到底有多远？1671年，两个法国天文学家测出大约距离为385400千米。他们是怎样测出的呢？在数学发展史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动。解三角形的理论不断发展，并被用于解决许多测量问题方面。 二、课题目的和意义： 三角形是基本的几何图形，三角形中的数量关系是基本的数量关系，有着极其广泛的应用。我们将在以前学习的有关三角形、三角函数和解直角三角形的知识基础上，通过对于任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的变长与角度之间的数量关系，并解决一些实际问题。学而不思则罔，只有通过自己的独立思考才能真正学会数学，同时应当掌握科学的思维方法，特别是学习类比、推广等数学思考方法，提高我们的数学思维能力。三、设计思想 本节重点利用解斜三角形解决相关实际问题．解斜三角形知识在生产实践中有着广泛的应用，解斜三角形有关的实际问题过程，贯穿了数学建模的思想．这种思想就是从实际出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学建模，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解．强化上述思维过程，既是本节的重点，
又是本节难点． 解三角形应用题的另一个难点是运算问题，由于将正弦定理、余弦定理看成几个“方程“，那么解三角形的应用题实质上就是把已知信息按方程的思想进行处理，解题时应根据已知和未知合理选择一个“容易解”的方程，从而是解题过程简洁．同时，由于具体问题中给出的数据通常是近似值，故运算过程一般较为复杂，必须借助于计算器计算，因此要加强训练，达到“算法简炼，算式工整，计算准确”的要求． 知识结构： 四、实际应用 1.测量中正、余弦定理的应用 例1 某观测站C 在目标A 南偏西25?方向，从A 出发有一条南偏东35?走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？ 分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD ?，求角B .再解ABC ?，求出AC ，再求出AB ，从而求出AD （即为所求）. 解：由图知，60CAD ∠=?. 22222231202123cos 22312031 BD BC CD B BC BD +-+-===???， sin 31B =. 在ABC ?中，sin 24sin BC B AC A ?==. 由余弦定理，得2222cos BC AC AB AC AB A =+-??. 即2223124224cos60AB AB =+-????. 整理，得2 243850AB AB --=，解得35AB =或11AB =-（舍）. A C D 31 21 20 35? 25? 东 北
《§3 解三角形的实际应用举例》教学案1 教学目标 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。 2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。 3、培养和提高分析、解决问题的能力。 教学重点难点 1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。 2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。 教学过程 一、复习引入 1、正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C === 2、余弦定理： ,cos 2222A bc c b a -+=? bc a c b A 2cos 222-+= ,cos 2222B ca a c b -+=? ca b a c B 2cos 222-+= C ab b a c cos 2222-+=，?ab c b a C 2cos 222-+= 二、例题讲解 引例：我军有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B 岛和C 岛间的距离，请你算算看。 解：060=A 075=B ∴045=C 由正弦定理知00 45sin 1060sin =BC 6 545sin 60sin 1000 ==?BC 海里 750 600 C B A
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度(如图)．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为/02060，AC 长为1.40m ，计算BC 的长(保留三个有效数字)． 分析：这个问题就是在ABC ?中，已知AB=1.95m ，AC=1.4m ， 求BC 的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC 。 解：由余弦定理，得 答：顶杠BC 长约为1.89m. 解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。 2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。 3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。 练1.如图，一艘船以32海里/时的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东020， 30分钟后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东065方向上，求灯塔S 和B 处的距离.(保留到0.1) 解：16=AB 由正弦定理知 020sin 45sin BS AB = ' 2066'20660?=?+?=∠BAC A AC AB AC AB BC cos 2222?-+=)(89.1571.3'2066cos 40.195.1240.195.122m BC ≈∴= ????-+=D C B A 1.40m 1.95m 6020/ 600 ?S B A 1150 450650200
课题：解三角形的实际应用举例 一、教材分析 本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。 二、教学目标 1、知识与技能 ①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义 ②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等） 2、过程与方法 ①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架 ②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用 3、情感态度价值观 ①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值 ②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 三、教学重点、难点 1、重点：①实际问题向数学问题的转化 ②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法 2、难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 四、教学方法与手段 本节课的重点是正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形，而正确运用两个定理的关键是要结合图形，明确各已知量、未知量以及它们之间的相互关系。通过问题的探究，要让学生结合实际问题，画出相关图形，学会分析问题情景，确定合适的求解顺序，明确所用的定理；其次，在教学中让学生分析讨论，在方程求解繁与简的基础上选择解题的思路，以提高学生观察、识别、分析、归纳等思维能力。
解三角形的实际应用 一、基础知识 测量中的有关几个术语 目标视线 目标视线在水平 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标 的范 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，例：(1)北偏东α：(2)南偏西α： 坡面的垂直 坡角α坡度i ＝ h l ▲相对于某一正方向的水平角 (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向； (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似． 考点一 测量高度问题 [典例] 如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m. [解析] 在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°，
由正弦定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即1 20022＝AC 3 2 ，解得AC ＝6006(m)． 在△ACD 中，∵t a n ∠DAC ＝CD AC ＝33 ， ∴CD ＝6006×3 3 ＝6002(m)． [答案] 600 2 [解题技法] 测量高度问题的3个注意点 (1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． [题组训练] 1.如图，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，在A ，B 两点 分别测得树顶P 处的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为10 m ，则树的高度h 为( ) A ．(5＋53)m B ．(30＋153)m C ．(15＋303)m D ．(15＋33)m 解析：选A 在△P AB 中，由正弦定理，得10sin (45°－30°)＝PB sin 30°，因为sin(45°－30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝6－2 4 ，所以PB ＝5(6＋2)(m)，所以该树的高度h ＝PB sin 45°＝(5＋53) m. 2.如图，在离地面高400 m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角 为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知∠BAC ＝60°，则山的高度BC 为( ) A ．700 m B ．640 m C ．600 m D ．560 m 解析：选C 根据题意，可得在Rt △AMD 中， ∠MAD ＝45°，MD ＝400(m)， 所以AM ＝MD sin 45° ＝4002(m)． 因为在△MAC 中，∠AMC ＝45°＋15°＝60°，