实变函数论主要知识点
第一章 集 合
1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；
练习： ①证明()()A B C A B
C --=-； ②证明11[][]n E f a E f a n
∞=>=≥+； 2、 对等与基数的定义及性质；
练习： ①证明(0,1)
； ②证明(0,1)[0,1]；
3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；
练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；
②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；
④[0,1]中有理数集E 的相关结论；
4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；
练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；
第二章点集
1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念
度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。
n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：
（1）g(x,y)=g(y,x)；
（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
（3）g(kx,y)=kg(x,y)；
（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；
聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。
内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。
3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；
4、Cantor集的构造和性质；
5、练习：①P =，P'=，P=；
②
11
1,,,,
2n
'
??
??
??
= ；
第三章测度论
1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；
2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算
封闭）；可数可加性（注意条件）；
3、零测度集的例子和性质；
4、可测集的例子和性质；
练习：①mQ=，mP=；
②零测度集的任何子集仍为零测度集；
③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；
④[0,1]中有理数集E的相关结论；
5、存在不可测集合；
第四章可测函数
1、可测函数的定义，不可测函数的例子；
练习：①第四章习题3；
2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；
3、叶果洛夫定理及其逆定理；
练习：①第四章习题7；
4、依测度收敛的定义、简单的证明；
5、具体函数列依测度收敛的验证；
6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；
第五章 积 分 论
1、非负简单函数L 积分的定义；
练习： ①Direchlet 函数在1上的L 积分
2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；
3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；
4、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；
5、Riemann 可积的充要条件；
练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数不是R-可积的；
6、Lebesgue 可积的充要条件：若f 是可测集合E 上的有界函数，则f 在E 上L-可积?f 在E 上可测；
练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数是L-可积的；
②设3,()10,x x f x x ??=???为无理数为有理数
，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。
例1、求由曲线θ=γθ=γ2cos ,sin 22所围图形公共部分的面积 解：两曲线的交点???? ??π???
? ??π65,22,6,22 ()???
?????θθ+θθ=??ππ
π
60462d 2cos 21d sin 2212S =θθ-?π
d )2cos 1(6
0+?ππ
θθ4
6
d 2cos 2
1362sin 212sin 214
660--π=θ+??????θ-θ=ππ
π
例2.边长为a 和b(a>b)的矩形薄片斜置欲液体中,薄片长边a 与液面平行位于深为h 处,而
薄片与液面成α角,已知液体的密度为ρ,求薄片所受的压力
解:取x 为积分变量,变化区间为[h,h+bsin α]从中取[x,x+dx]知道面积元素α
sin dx a dS = 压力元素αρsin dx xa
dP =,则 )sin 21(sin 1sin sin sin αραραραα
b h ab xdx a dx xa P b h h b h h +===??++
06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案 1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分) 证明一 设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>?δ,使得 ),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即 E x U ?),(0δ, 故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集. 证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集. (2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分) 证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ?中互异点列},{n x 使得 )(0∞→→n x x n . ………………………..2分 由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以 a x f x f x f n n n n ≥==∞ →∞ →)(lim )lim ()(0, 即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ??=?,……………………… 5分 知E E E E =?=Y ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分 证明三 由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证. 2. 证明Egorov 定理：设,{()}n mE f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>?δ, 存在子集E E ?δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且 .)\(δδ
2020浙江选调生备考：资料分析频考知识点 在行测笔试当中，资料分析的考察知识点有很多，其中有些题目我们不能丢分，因为这些题目在考试的时候很容易拿分。混合增速就是一个非常容易拿分的知识点。混合增速的考察一共有十二个字：介于之间、偏向钱多、十字交叉。这十二个字具体的含义就是整体的增长率介于部分之间，并且偏向于基数大的一边，如果通过这八个字不能判断出答案，我们将使用十字交叉去解决，我们先来看几个例子： 广东2013年分地区分产业固定资产投资结构情况表单位：亿元 【答案】B【解析】此题为增长率的求解，根据混合增速的前面四个字，介于之间，也就是说整体的增长率介于部分之间，不可能比最大的大，也不可能比最小的小，也就是说介于6.5和18.5之间，因此选择B。 通过这个例子的学习，不难看出，混合增速问题的求解主要就是找到部分和整体，才能进行快速的求解。整体和部分是资料分析的核心，继续看个例子： 2013年3月末，主要金融机构及小型农村金融机构、外资银行人民币房地产贷款余额12.98万亿元，同比增长16.4%。地产开发贷款余额1.04万亿元，同比增长21.4%。房产开发贷款余额3.2万亿元，同比增长12.3%。个人购房贷款余额8.57万亿元，同比增长17.4%。保障性住房开发贷款余额6140亿元，同比增长42.4%。
【例2】2013年3月末，房地产开发贷款余额同比增速约为( ) A.14.4% B.12.3% C.19.3% D.21.4% 【答案】A【解析】此题为增长率的求解，根据混合增速的前面四个字，介于之间，此题也就是介于12.3和21.4之间，排除B和D，然后根据偏向钱多，此题中，房产开发贷款余额为3.2,万亿元，地产开发贷款余额为1.04万亿元，房产开发贷款余额钱更多，因此偏向于3.2万亿元，也就是偏向于12.3%，选择A。 例2的考察就是前面八个字，公务员的考试中，对于混合增速的考察，前面八个字基本上可以解决大部分问题，考试中混合增速可能没有容易发现，考察的比较隐蔽，需要我们自己去发现，四川省考察还是比较多的。但是还有少部分的问题不能得以解决，还是需要掌握更多的知识：如： 2013年1 7月份，全市完成销售产值6258.1亿元，同比增长12.7%，其中，完成国内销售产值4995.2亿元，同比增长15.7%;完成出口交货值1262.9亿元。 【例3】2013年1 7月份该市完成出口交货值比上年约增长了( )
第五讲、数据分析 一、数据的代表 （一）、（1）平均数：一般地，如果有n 个数,,,,21n x x x 那么，)(121n x x x n x +++= 叫做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。 注：如果有n 个数n x x x ,,,21 的平均数为x ，则①n ax ax ax ,,,21 的平均数为a x ； ②b x b x b x n +++,,,21 的平均数为x +b ； ③b ax b ax b ax n +++,,,21 的平均数为a x b +。 （2）加权平均数：如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次（这里n f f f k =++ 21），那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为n f x f x f x x k k ++=2211，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21 叫做权。 （3）平均数的计算方法 ①定义法:当所给数据,,,,21n x x x 比较分散时，一般选用定义公式：)(121n x x x n x +++= ②加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：n f x f x f x x k k ++=2211，其中n f f f k =++ 21。 ③新数据法：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式： a x x +='。其中，常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，a x x '11=，a x x '22=， …，a x x n n '=。)'''(1'21n x x x n x +++= 是新数据的平均数（通常把,,,,21n x x x 叫做原数据，,',,','21n x x x 叫做新数据）。 （4）算术平均数与加权平均数的区别与联系 ①联系：都是平均数，算术平均数是加权平均数的一种特殊形式（它特殊在各项的权相等，均为1）。 ②区别：算术平均数就是简单的把所有数加起来然后除以个数。而加权平均数是指各个数所占的比重不同，按照相应的比例把所有数乘以权值再相加,最后除以总权值。 （二）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。（注：不是唯一的，可存在多个） （三）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 （注：①在找中位数的时候一定要把数据按大小依次排列；②如果n 是奇数，则中位数是第21+n 个；若n 是偶数，则中位数处于第2n 和第2 n 1+个的平均数；③中位数一般都是唯一的） 二、数据的波动 （一）极差： （1）概念：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。 （2）意义：能够反映数据的变化范围，是最简单的一种度量数据波动情况的量，极差越大，波动越大。 （二）方差： （1）概念：在一组数据,,,,21n x x x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫
实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。 解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。
资料分析解题技巧与知识点汇总 解题技巧 1、首先应读懂图、表或文字。资料分析试题是以图、表或文字反映的信息为依据，看不懂资料，也就失去答题的前提条件。因此，应当把图表内容的阅读和理解作为正确答题的首要条件。 2、读资料时，最好带着题中的问题去读，注意摘取与试题有关的重要信息。这样一方面有利于对资料的理解，另一方面也可减少答题时重复看资料的时间。 3、适当采用“排除法”解决问题。资料分析题的备选答案，通常有一两项是迷惑性不强或极易排除的，往往通过图表或文字反映出的定性结论就可以排除；在进行计算时，往往通过比较数值大小、位数等可排除迷惑选项。 4、注意统计图表中的统计单位。 知识点收集与分析 产业 第一、第二、第三产业，是根据社会生产活动历史发展的顺序对产业结构的划分。它大体反映了人类生活需要、社会分工和经济发展的不同阶段，基本反映了有史以来人类生产活动的历史顺序，以及社会生产结构与需求结构之间相互关系，是研究国民经济的一种重要方法。产品直接取自自然界的部门称为第一产业，即农业，包括种植业、林业、牧业和渔业；对初级产品进行再加工的部门称为第二产业，即工业（包括采掘工业、制造业、自来水、电力蒸汽、热水、煤气）和建筑业；为生产和消费提供各种服务的部门称为第三产业，即除第一、第二产业以外的其他各业。根据我国的实际情况，第三产业可以分为两大部门：一是流通部门，二是服务部门。
此外，通常说的办“三产”，其内容并不一定都是第三产业，把企事业单位创办的主业之外的营利性的经济实体都称之为“三产”是不确切的。例如：所办的实体如是养牛场则属于第一产业，如果是工厂、施工队则属于第二产业，如果是商店、招待所、咨询机构、游艺厅等才属于第三产业。 三次产业各年度的比重（%） 199119921993199419951996199719981999 第一 8.1 6.9 6.2 6.9 5.8 5.2 4.7 4.3 4.0 产业 第二 52.248.748.046.144.142.340.839.138.9 产业 第三 39.744.445.847.050.152.554.556.657.1 产业 第三产业是由流通部门和服务部门的有关行业组成，它的基本属性决定了第三产业必须为第一产业和第二产业提供各种配套服务 。在我国，由于长期受计划经济的影响，第三产业没有受到足够的重视，以致长期处于滞后状态。80年代以来，随着我国改革开放的不断深入，第三产业迅速恢复和发展起来，成为国民经济的重要组成部分。但第三产业的发展和其它经济产业一样，也必须遵循客观发展的规律。就现阶段来看，在我国第一和第二产业仍占经济的主导地位，对国民经济的支配作用并没有改变，而第三产业正处在培育和发展阶段。因此，还不能说第三产业在国民经济中的比重越高越好，而应该和其它产业保持适当的比例关系，相互协调，共同促进国民经济的健康发展。如果片面强调第三产业的作用，不切实际地提高第三产业增加值占国内生产总值的比重，就可能出现“泡沫”经济现象，难以保持国民经济持续、稳定、健康发展。同时，第
2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在
[0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案：B
[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集
C:可数集 参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1
资料分析（知识点归纳） 1：统计术语： 增长量： 增长率/增长幅度/（增幅）/增长速度（增速）：发展速度： 拉动增长：B是A的一部分 X%=B增量/A基期量 增长贡献率：B是A的一部分 X%=B增量/A增量 平均增长率： 平均增长量： 同比增长： 环比增长： 百分数、百分点： 翻番： 累计数额：前N个时期的累计数值 定基指数：现期指数:限期数值=100:基期数值 环比指数：增长率=现期指数-上期指数 GDP：国内生产总值 GNP：国民生产总值 贸易顺差、贸易逆差：
基尼系数：衡量收入差距的指标 恩格尔系数：衡量食品支出占比的指标 五年计划：2016年-2020年是十三五期间，五年推断。（二五断3年） 三大产业： 第一产业：农业，林业，畜牧业，渔业 第二产业：采矿业，制造业，建筑业，电力，热力，燃气及水生产和供应业。 第三产业：除一二外其他各行业，俗称服务业。 产业增加值：就是GDP 做题步骤： 1、看第一题问题（图表类直接做题） 2、阅读材料 3、标记中心词 4、找出第一题数据后完成第一题 5、阅读全文，标注全文段中心词（增长或降低不必标记） 6、根据题目找所需数据 7：注意时间表述及单位表述 8、选项计算简单的优选计算，可通过排除得出答案
必会速算技巧 1、图形法： 柱状图、趋势图: 数据大小通过柱的长短或点的高低判断 数据的增减可以“柱”的长度增减或“点”的高低变化判定，有时候可以通过固定格数来判定。 由于基期一直在变，所以柱状图斜率不能当成增长率，可以表示增长量的增长速度。 1、直线上升，增长量不变，增长率减小。 2、直线下降，增长量不变，增长率绝对值增大。 饼状图： 数据大小通过扇形角度大小判定，明显比例直接目测。 直尺法：增长量直接用直尺量 量角器法：角度/360 2、估算法：定性分析
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
资料分析知识点汇编 资料分析主要考查基本概念和常用计算比较方法。基本概念包括增长、比重、倍数、平均数等，其中增长、比重考查占比大，是考试重点。常用计算比较方法有特征数字法、有效数字法、观察比较法等，这些方法应用范围较广，需重点把握。 知识点一、资料分析之增长 （一）常见概念 基期值：描述基期的具体数值。（基期指统计中计算指数或变化情况等动态指标时，作为参照标准的时期）。 现期值：描述现期的具体数值。（现期是相对于基期而言的，是与基期相比较的后一时期）。 增长率是现期值与基期值相比较的增长幅度，常表述为增幅、增速、增长速度。 增长量指现期值较基期值变化的数值。 （二）常用公式 增长率基期值增长率 增长率 现期值基期值现期值增长量?=+?==1- %100%100-?=?= 基期值 基期值 -现期值增长量现期值增长量增长率 增长率 增长量 增长率现期值增长量现期值基期值=+= =1- 增长率） （1基期值增长量基期值现期值+?=+= 【例】2017年年末石家庄市共有医疗卫生机构（含诊所）7334个。其中，医院235个，疾病预防控制中心（防疫站）24个，妇幼保健院（所、站）25个，社区卫生服务中心（站）189个，村卫生室4003个，乡镇卫生院222个。 2016年年末石家庄市共有医疗卫生机构（含诊所）6892个。其中，医院205个，疾病预防控制中心（防疫站）24个，妇幼保健院（所、站）24个，社区卫生服务中心（站）193个，村卫生室3973个。
①2017年年末石家庄市的医疗卫生机构比2016年同期增加了（ ）张床位。 A.4064 B.4285 C.8230 D.16860 【答案】B 。解析：2016年年末石家庄市卫生机构实有床位53357张，2017年年末为57642张，同比增加57642-53357=XXX5张。故本题选B 。 ②截止到2017年年末石家庄医疗卫生机构（含诊所）同比增长了： A.15% B.8.7% C.6.4% D.6.0% 【答案】C 。解析：2016年末石家庄市共有医疗卫生机构（含诊所）6892个，2017年为7334个，同比增长了（7334-6892）÷6892=442÷6892≈442÷6890=6.4X%，故本题选C 。 知识点二、资料分析之比重 （一）含义 比重指某部分在整体中所占的比例。 （二）常用公式 整体值部分值比重= ×100%；比重 部分值 整体值=；比重整体值部分值?= 部分增长率 整体增长率 现期比重部分增长率整体增长率整体值部分值基期比重++?=++?= 1111 部分增长率>整体增长率，现期比重比基期比重大，即比重上升。 部分增长率<整体增长率，现期比重比基期比重小，即比重下降。 部分增长率=整体增长率，现期比重与基期比重相等，即比重不变。 比重变化=现期比重-基期比重=现期比重×部分增长率 整体增长率 部分增长率+1-，用百分点 描述。 【例】2016年年末石家庄市共有医疗卫生机构（含诊所）6892个。其中，医院205个，疾病预防控制中心（防疫站）24个，妇幼保健院（所、站）24个，社区卫生服务中心（站）193个，村卫生室3973个。卫生机构实有床位53357张，其中，医院拥有床位441972张。拥有卫生技术人员70593人。其中，执业医师31781人，注册护士27749人。 2016年年末石家庄市执业医师和注册护士人数约占卫生技术人员人数的： A.69% B.75% C.78% D.84%
1.基期与现期：做为对比参照的是基期，而相对于比较的是现期。 2.增长量与增长率：增长量是用来表述变化的绝对量；增长量则表述两者变化的相对 量。 3.年均增长率、年均增长量：现期量 =基期量×（1+年均增长率）n ，其中n为相差年数；年均增长量=（现期量-基期量）÷n，其中n为相差年数。 4.百分数与百分点：量A占量B的百分比例：A÷B×100%，n个百分点即n% 5.同比与环比：同比：指 和某一相同时期（比如去年同一时期）相比较的情况。环比：指和与之紧紧相连的上一统计周期相比较的情况。 6.成数与翻番：成数：几 成相当于十分之几。翻番：翻一番为原来的2倍；翻两番为原来的4倍；以此类推，翻n番为原来的2n倍。 7.倍数：增长n倍（增长了、增长、多了），即增加n00%，就是增长率，现值=原 值×（1+n）；是原来的几倍（增长到、是），说的是增长后的结果，现值=原值×n。 8.斜率≠增长率 9.比重：比重是指部分在总体中所占的比率，占、比重、贡献率、利润率、产销率。
主要公式：比重=部分÷总体；利润率=利润÷收入；产销率=销量÷产 量；增长贡献率=部分增量÷整体增量。 10.平均数：均；每；单位。公式：平均数=后面÷前面，人均 GDP=GDP÷人数；每户 消费=消费÷户数；单位面积产量=产量÷面积。 11.顺差和逆差：顺差： 在一个时期内，一个国家（或地区）的出口商品额大于进口商品额， 叫作对外贸易 顺差（又称出超）。出口-进口>0 逆差：在一个时期内，一个国家（或地区）的出口商品额小于进口 商品额，叫作对外贸易逆差（又称入超）。进口-出口<0 12.三大产业：第一产业： 农、林、牧、渔、业（不含农、林、牧、渔服务业）。第二产业： 采矿业（不含开采辅助活动），制造业（不含金属制品、机械和设 备修理业），电力、热力、燃气及水生产和供应业，建筑业。第三 产业：除第一、第二产业以外的其它各业，一般俗称服务业。 13.GDP（国内生产总值）：它是指一个国家（或地区）所有常住单 位在一定时期内 生产的最终产品和服务价值的总和，常被公认为衡量国家经济状况 的最佳指标。一个国家的国内生产总值就是三大产业增加值之和。 14.GNP（国民生产总值）：它是指一个国家（或地区）所有国民在 一定时期内生产
实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A U U 2．设n E R ?，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数 a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ? x E ∈ （是否成立） 二、选择题 1、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C =I U I U I （B ）(\)A B A =?I
（C ）(\)B A A =?I （D ）A B A B ?U I 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点 2．若()E R ?的外测度为0，则（ ） （A ）E 是可测集 （B ）0mE = （C ）E 一定是可数集 （D ）E 一定不是可数集 3．设mE <+∞，{}()n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，如果()(),()n f x f x x E ?∈，则下列哪些结果不一定成立（ ） （A ）()E f x dx ?存在 （B ）()f x 在E 上L -可积 （C ）.()()()a e n f x f x x E →∈ （D ）lim ()()n E E n f x dx f x dx →∞=?? 4．若可测集E 上的可测函数()f x 在E 上有L 积分值，则（ ） （A ）()()f x L E +∈与()()f x L E - ∈至少有一个成立 （B ）()()f x L E +∈且()()f x L E - ∈ （C ）|()|f x 在E 上也有L -积分值 （D ）|()|()f x L E ∈
数据分析知识点 一、选择题 1．如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（） A．极差是8℃B．众数是28℃C．中位数是24℃D．平均数是26℃【答案】B 【解析】 分析：根据折线统计图中的数据可以判断各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题． 详解：由图可得， 极差是：30-20=10℃，故选项A错误， 众数是28℃，故选项B正确， 这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C 错误， 平均数是：202224262828303 25 77 ++++++ =℃，故选项D错误， 故选B． 点睛：本题考查折线统计图、极差、众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，能够判断各个选项中结论是否正确． 2．甲、乙、丙三个不同品种的苹果树在同一地区进行对比试验，从每个品种的苹果树中随机各抽取10棵，对它们的产量进行统计，绘制统计表如下： 品种甲乙丙 平均产量/(千克/棵)9090
若从这三个品种中选择一个在该地区推广，则应选择的品种是() A．甲B．乙C．丙D．甲、乙中任选一个【答案】A 【解析】 【分析】 根据平均数、方差等数据的进行判断即可． 【详解】 根据平均数、方差等数据的比较可以得出甲品种更适在该地区推广． 故选：A 【点睛】 本题考查了平均数、方差，掌握平均数、方差的定义是解题的关键． 3．某单位招考技术人员，考试分笔试和面试两部分，笔试成绩与面试成绩按6:4记入总成绩，若小李笔试成绩为80分，面试成绩为90分，则他的总成绩为（） A．84分B．85分C．86分D．87分 【答案】A 【解析】 【分析】 按照笔试与面试所占比例求出总成绩即可. 【详解】 根据题意，按照笔试与面试所占比例求出总成绩： 64 ?+?=（分） 809084 1010 故选A 【点睛】 本题主要考查了加权平均数的计算，解题关键是正确理解题目含义. 4．甲、乙两名同学分别进行6次射击训练，训练成绩（单位：环）如下表 对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是（） A．他们训练成绩的平均数相同B．他们训练成绩的中位数不同
资料分析知识点全梳理 ——铜陵华图教育 距2017年国考还有近一个月的时间，这一个月也是备考的关键时刻，行百里者半九十，希望大家在最后一个月的时间里能有质的飞跃。本文就国考容易拿分的资料分析部分进行梳理，相信会对大家梳理知识点，由点到面提供帮助。 广大考生都知道资料分析在行测中的地位非常重要，题量大、分值高，近年来不管是国考还是联考难度都有所降低，所以想在这部分拿满分较行测的其他模块要容易的多。 资料分析主要测查报考者对各种形式的文字、图表等资料的综合理解与分析加工能力，这部分内容通常由统计性的图表、数字及文字材料构成。主要考察的还是对材料信息的快速准确的提取和加工能力，这点从2016年真题即可看出，虽然仍然是20道题目但材料拆成了5篇，增大了阅读量，因此考生平时在做资料分析时注意结构阅读，找关键信。看清楚题干，注意时间、关键主体和相关的统计术语快速找到对其定位，这个能力是基础一定要夯实。 接下来我们梳理下考点中的题型和知识点。资料分析包括三大类题型：计算类、比较类和综合分析类。每类题目有自己独特的解题技巧，但在你动笔之前一定要先看选项。如果是简单计算类的题目一般找到相应的数据即可，为了节省时间不必动笔去画，能心算的尽快选出来，能省一秒你就多一分胜出的机会。如果是需要计算的，我们还要记得分析选项之间的差距采用相应的估算、直除、插值、放缩、差分和公式法等;比较类题目很多都是纸老虎，很容易根据分数的性质直接排除两个选项，然后再剩下的两个里面选，方法用的较多的是化同法、差分法和直除法;综合分析类的题目一定要记住简单着手节省时间，行测考试很多题目不是你不会做，而是没时间做。一般来说能直接找到原文信息的先看，不需要计算的比需要计算的要简单，一步计算比多步计算简单等，还要注意经常会设置的时间、运算、范围等陷阱。 资料分析的考点包括简单计算类，增长率、增长量相关，比重相关，倍数、平均数相关等的知识点。简单计算包括简单计算、比较，包括读书排序、读数后一步计算、比较等，这类题目一定要细心，找清楚时间、关键词。增长率、增长量相关是资料分析考试中的重要知识点，必考。相关的题目包括基期量、现期量的求解、大小比较，间隔基期量、预计现期多少年等形式。增长率包括求解、大小比较、混合增长率、年均增长率、间隔增长率、年均增长率、发展速度等，其中重点为增长率求解和大小比较，难点是混合增长率、平均数的增长率、年均增长率。增长量相关的包括增量的求解和比较，一般计算增量会给我们常用特殊分数，直接用现期量除以一加增长率的倒数即可，如果比较增量大小题目给出现期量和增速差距大，可直接比较二者的乘积。比重的考察也是国考的重难点，比较多的会让我们比较现期比重的大小、求基期比重的大小(估算)、计算比重变化(直接看部分和整体的增速大小，估
《实变函数论》习题选解 一、集合与基数 1.证明集合关系式： （1）)()()()(B D C A D C B A --?---Y ； （2）)()()()(D B C A D C B A Y I I -=--； （3）C B A C B A Y )()(-?--； （4）问)()(C B A C B A --=-Y 成立的充要条件是什么？ 证 （1）∵c B A B A I =-，c c c B A B A Y I =)(（对偶律）， )()()(C A B A C B A I Y I Y I =（交对并的分配律） ， ∴)()( )()()()(D C B A D C B A D C B A c c c c c Y I I I I I ==---第二个用 对偶律 )()()()()()(B D C A D B C A D B A C B A c c c c c --=?=Y I Y I I I Y I I 交对并 分配律 . （2）)()() ()()()(c c c c D B C A D C B A D C B A I I I I I I I ==--交换律 结合律 )()()()(D B C A D B C A c Y I Y I I -== 第二个用对偶律 . （3）)()() ()()(C A B A C B A C B A C B A c c c c I Y I Y I I I = ==--分配律 C B A C B A c Y Y I )()(-=?. （4）A C C B A C B A ??--=-)()(Y . 证 必要性（左推右，用反证法）： 若A C ?，则C x ∈? 但A x ?，从而D ?，)(D A x -?，于是)(C B A x --?； 但C B A x Y )(-∈，从而左边不等式不成立，矛盾！ 充分性（右推左，显然）：事实上， ∵A C ?，∴C C A =I ，如图所示： 故)()(C B A C B A --=-Y . 2.设}1 ,0{=A ，试证一切排列 A a a a a n n ∈ ),,,,,(21ΛΛ 所成之集的势（基数）为c . 证 记}}1 ,0{),,,,,({21=∈==A a a a a a E n n ΛΛ为所有排列所成之集，对任一排列}1 ,0{ ),,,,,(21=∈=A a a a a a n n ΛΛ，令ΛΛn a a a a f 21.0)(=，特别， ]1 ,0[0000.0)0(∈==ΛΛf ，]1 ,0[1111.0)1(∈==ΛΛf ， 即对每一排列对应于区间]1 ,0[上的一个2进小数]1 ,0[.021∈ΛΛn a a a ，则f 是一一对
1. 证明:()B A A B -=U 的充要条件就是A B ?、 证明:若()B A A B -=U ,则()A B A A B ?-?U ,故A B ?成立、 反之,若A B ?,则()()B A A B A B B -?-?U U ,又x B ?∈,若x A ∈,则 ()x B A A ∈-U ,若x A ?,则()x B A B A A ∈-?-U 、总有()x B A A ∈-U 、故 ()B B A A ?-U ,从而有()B A A B -=U 。 证毕 2. 证明c A B A B -=I 、 证明:x A B ?∈-,从而,x A x B ∈?,故,c x A x B ∈∈,从而x A B ?∈-, 所以c A B A B -?I 、 另一方面,c x A B ?∈I ,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈?,从而x A B ∈-, 所以 c A B A B ?-I 、 综合上两个包含式得c A B A B -=I 、 证毕 3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式与定理9、 证明:定理4中的(3):若A B λλ?(λ∈∧),则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I 、 证:若x A λλ∈∧ ∈I ,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ?(? λ∈∧)成立 知x A B λλ∈?,故x B λλ∈∧ ∈I ,这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I 、 定理4中的(4):()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 证:若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ,则有' λ∈∧,使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U 、 反过来,若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U 、 不妨设x A λλ∈∧ ∈U ,则有' λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U 、 故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U 、 综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧ =I U 、 证:() c x A λλ∈∧ ?∈I ,则x A λλ∈∧ ?I ,故存在' λ∈∧ ,'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ??U 从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧ ?I U 、 反过来,若c x A λλ∈∧ ∈U ,则' λ?∈∧使'c x A λ?,故'x A λ?, x A λλ∈∧ ∴?I ,从而()c x A λλ∈∧ ∈I ()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ∴?I U 、 证毕 定理9:若集合序列12,,,,n A A A K K 单调上升,即1n n A A +?(相应地1n n A A +?)对一切n 都成立,则 1 lim n n n A ∞ →∞ ==U (相应地)1 lim n n n A ∞ →∞ ==I 、 证明:若1n n A A +?对n N ?∈成立,则i m i m A A ∞ ==I 、故从定理8知
资料分析 第一节 增长 【例1】2012年国家外汇储备33116亿美元，2011年国家外汇储备31812亿美元。 {求增长量}○12012年国家外汇储备比上年增加了多少亿美元？ {求增长率}○22012年国家外汇储备比上年增加了百分之几？ 解析：○133116-31812；○2%10013181233116%100318123181233116??? ? ??-=?- 【例2】2012年2月因低温冷冻天气造成直接经济损失61亿元，比1月份减少27亿元，比2011年2月减少21亿元。2012年2月的损失比1月减少了百分之几？比上年2月减少了百分之几？ 解析：○1%100276127?+；○ 2%100216121?+ 【例3】2012年社会消费品零售总额183996亿元，2012年社会消费品零售总额比2011年增长了14.3%。
{求基期量}①2011年社会消费品零售总额为多少亿元？（% 3.141183996+） {求现期量}②按此增速，到2013年社会消费品零售总额预计达到多少亿元？（()%3.141183996+?） {求现期量}③2012年社会消费品零售总额比2011年多多少亿元？（%3.14% 3.141183996?+） 第二节 同比增长与环比增长 1.同比是强调相同时间特性下的两个量之间的比较；而环比则是强调时间顺延下的两个量之间的比较。 2、有关公式
第三节 年均增长与年均增长率 时间差 首段时间该指标量末段时间该指标量平均增长量-= 如果第m 年数据指标为A ，第n 年数据指标为B ，那么这几年 年均增长量=m n A B -- ★年均增长量是指标在一段时间内平均每年的增长幅度。如果第m 年数据指标为A ，第n 年数据指标为B ，这几年的年均增长率为x ，且1-=-m n A B x ① （1）已知第m 年数据指标为A ，年均增长率为x ，求第n 年数据指标B 。 [] 略大于该值）B x m n A x A B m n ()(1)1(-+?≈+?=-②（前提：x ＜10%） （2）已知第m 年数据指标为A ，第n 年数据指标为B ，求年均增长率。 第n 年相对于第m 年的增长率为x ，1-=A B x 根据①式得()A B x m n =+-1，则有()11+=+-x x m n 根据二项式展开得()()()2 2 1x m n m n x m n x ---+-≈③，()实际值1-
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