中北大学
试题答案及评分标准
数值分析课程
（课程名称须与教学任务书相同）
2012/2013 学年第1 学期
试题类别 A
拟题日期2012.12.25 拟题教师
课程编号教师编号1120048
使用班级2012级研究生
备注：试题答案要求按指定规格计算机打印，并将电子稿上传至考务管理系统。
2012/2013 学年第 1 学期期末考试试题答案及评分标准
（A 卷）
数值分析
使用班级： 2012级研究生班 一、填空题(每空2分，共30分)
1. 设44.754923,44.732534a b ==作为x 与y 的近似值都有5位有效数字，则a 的绝对
误差限可取为 0.0005 ，用2a b u -= 作为2
x y
u -=的近似值具有 2 位有效数字，用1v
a b =+ 作为1
v x y
=+的近似值有 5 位有效数字； 2. 设52312
,02
6103
7A ????
? ?==-- ? ? ? ?-?
??
?
x ，则∞
=x 5 ，1A = 14 ，A 的谱半径()ρA
= 4 ；
3. 设20()35,,0,0,1,2,,k f x x x x kh h k =+=+>= ，则12[,,]k k k f x x x ++= 3 ，
123[,,,]k k k k f x x x x +++= 0 ；
4. 设函数()f x 在区间[0,3]上具有连续的4阶导数，若次数不超过3的多项式()3H x 满
足()()3,0,1,2H k f k k ==和()()311H f ''=，则用()3H x 近似计算()()()0,3f x x ∈的截断误差可表示为
()()()33R x f x H x =-=(
)
()()()()42
12,0,34!
f x
x x ξξ--∈；
5. 为使两点数值求积公式
()()()()1
1
1
d f x x f x f x λ-=+?具有最高的代数精度。则求积
节点0x
=，1x
=
，求积系数λ=
5
9
；(0x 、1x 的值可以互换) 6. 用Newton 迭代法求解方程3
10x =的迭代公式为312
210
,0,1,2,3k k k
x x k x ++== ；该公式具有 2阶的收敛速度；若取初始值03x =，则迭代一次后的近似解1x = 2.370
。
二、(每小题12分，共24分)
1. 用LU 分解法求解线性方程组123432
3
389
512102234141695181832x x x x ?????? ? ? ?
?
? ?
= ? ? ?
- ? ? ?
??????；
解：()3
2338323383
13129
512102212234|34141631312
9
5181832
1
112
LU A b ???? ?-- ? ?
? ?-=??→ ? ?--- ? ??? ?-?
?
100032
3381
3100013121,,,12100023413
131
001
22L U y x ????????
? ? ? ?--
? ? ? ?==== ? ? ? ?-- ? ? ? ?--????????
............................................................................ L U 矩阵(或对应元素每算对两个给1分)
2. 用Romberg 方法计算积分1
401
d 1I x x =
+?的近似值，要求计算到第一个Romberg 值
(3)0T ，说明共计算了多少个求积节点处的函数值，并将计算结果与准确
值
ln πI ?=
+????
进行比较，说明计算的精度； 解：取()4
1
0,1,1a b f x x ===+进行计算()()01,10.5f f ==，
(0)01
((0)(1))0.752
T f f =+= ............................................................................................... 1分
()0.5,0.50.9411765h f ==；(0)(0)101
(0.5)0.84558822
T T hf =+=，
....................... 2分 (0)(0)(1)
10040.87745103
T T T -== .......................................................................................... 3分
()()0.25,0.250.9961089, 0.750.7596439h f f ===
()()(0)(0)211
(0.25)0.750.86173232
T T h f f =++=， .................................................... 4分
(0)(0)(1)
21140.86711373
T T T -== .......................................................................................... 5分
(1)(1)(2)
100160.866424515
T T T -==......................................................................................... 6分
()()0.125,0.1250.9997559, 0.3750.9806081h f f ===()0.6250.8676128f =
()0.8750.6304448f =，()3(0)(0)3
2010.1250.250.86566892k T
T h f k =??
=++= ???
∑ ..... 7分 (0)(0)
(1)322
4=0.86698103
T T T -=， ....................................................................................... 8分
(1)(1)(2)
21116=0.866972215
T T T -=， ...................................................................................... 9分
(2)(2)(3)
10064=0.866980963
T T T -= ....................................................................................... 10分
计算到(3)0T ，共计算了9个求积节点处的函数值； ...........................................................11分
与准确值π 0.8669729887...I ?=
+=????
进行比较，以(3)
00.8669809T =作为I 的近似值，至少有4位有效数字。 ......................................................................... 12分
三、(每小题10分，共40分) 1． 设有非齐次线性方程组121
122
22x x b x x b ρρ-=?
?
+=?，其中ρ为实数。
(1) 写出求解此方程组的Gauss-Seidel 迭代法的迭代公式，并讨论其收敛性； (2) 设2ρ=，给定松驰因子1
2
ω=
，写出求解此方程组的SOR(逐次超松驰)迭代方法的迭代公式，并讨论其收敛性。 解：(1) Gauss-Seidel 方法的迭代公式为
()()()()()()()11021
012
0112212,12
k k k k x x b x x R x x x b ρρ+++?=+???=∈ ??
?=-+????任取.......................................................... 3分 迭代矩阵200GS G ρρ??= ?
-??
，谱半径为()2
GS G ρρ=，所以，上述迭代公式收敛的充分必要条件是
1ρ< ......................................................................................................... 5分
(2) 当2,ρ=取1
2
ω=
时，SOR 方法的迭代公式为 ()()()()()()()()()11012101
2011221221122,1124
k k k k k k x x x b x x R x x x x b +++?=++????=∈ ?? ?
???=-++??任取............................................... 8分 迭代矩阵SOR 0.510.50.5G ??=
?--??
，特征值i 2λ=±，谱半径为()SOR 1
2G ρ=，所以，上述迭代公式收敛。 ........................................................................................................... 10分
2． 利用函数011
y c c x =
+拟合下表所列数据(),i i x y
解：记1
u y
=
，则有01u c c x =
+ ............................................................................................ 1分 把原数据(),i i x y 变换成(),i i x u 如下：
分
令01c c c ??
= ???
，1 1.001 1.251
1.501 1.751
2.00A ??
? ?
?= ? ? ??
?
， .................................................................................................. 4分
对应的正规方程组T
T
A Ac A y =为
015.00007.50000.77447.500011.8750 1.1130c c ??????= ? ? ?????
?? ................................................ 6分 解此方程得
010.27140.0777c c ????= ? ?-?
??? ................................................................................. 8分
即最终的拟合函数 1
0.27140.0777y x
=
- .......................................................................... 9分
()1
1.6 6.79800.27140.0777 1.6y ≈≈-? ....................................... 10分
3． 写出用Newton 迭代法求解非线性方程组2323
90
340
x xy x y y ?+-=?--=?的步骤，并取初值00(,)(1.34,1.75)x y =计算近似解11(,)x y (只进行一次迭代)。
解：
()2323
9,34x xy F x y x y y ??
+-= ?--?? ................................................................... 1分
()322223,633x y xy F x y xy
x y ??
+'= ?-?? ....................................................... 3分
方程()()()(0)
(0)(0)(0)(0)
0,,x F x y F x y y ???'=- ? ?
???
为
()(0)08.039412.31130.022814.0700 3.80070.0675x y ???-????
=- ? ? ? ?-?????
?? ................................... 6分 其解为
()(0)00.00370.0042x y ???-??
= ? ? ???
??? ............................................................................ 9分 所以 ()(0)(1)(0)0(1)(0) 1.33631.7542x x x y y y ?????????
=+= ? ? ? ? ? ? ???
??????? ............................................... 10分
4． 设A=1
112??
???
，写出用反幂法求A 接近于2.6的特征值及相应的一个特征向量的计算过程。并取初始特征向量为(0)35x ??= ???
进行2次迭代计算，
行比较，说明计算的精度。 解： 1.612.610.6A I -??-= ?-??，取(0)
35u ??= ???
，则(0)0030.615 1.05u y u ∞????=== ? ????? ............... 1分
()(1)
(0)
2.6A I u
y
-=的解为3455??
???
，155β=， ................................................................. 3分
(1)(1)
(1)340.6181818155 1.000000055u y
u ∞
????=== ? ?????
............................................................................ 4分 ()(2)
(1)
2.6A I u
y -=的解为34.272727055.4545450??
???
，155.4545450β=， ................................. 6分
(1)(2)
(1)34.27272700.61803281
55.4545450 1.000000055.4545u y
u ∞
????=== ? ????? ................................................ 7分
所以可用1
1
2.6 2.6180328λβ=+
=作为矩阵A 的近似特征值， ................................... 8分
对应的特征向量可取为(1)
0.61818181.0000000y
??= ???或(2)0.61803281.0000000y ??= ???
。 ........................... 9分
2.6180339...=进行比较，近似特征值2.6180328具有6位有效数字。(绝对误差限可取为6
1.2110-?) ........................................................................................... 10分
四、(本题6分)
已知求解常微分方程初值问题()()000,,y f t y t t T
y t y '=≤≤???=??的线性多步法的一个显式公式
1113(5559379)24
n n n n n n h
y y f f f f +---=+
-+- 的局部截断误差为5(5)
61251()()720n n R h y t O h +=+；隐式公式 1112[9195+]24
n n n n n n h
y y f f f f ++--=++-
的局部截断误差为5(5)
6119()()720
n n R h y t O h +=-+。 (1) 上述两个公式分别是几阶公式？
(2) 给出一个由上述两个公式确定的预报校正格式，并利用外推技术，对其进行修正； (3) 为了使(2)所给算法能顺利进行，往往要用一个同阶单步法先计算123,,y y y (即造表头)，
请给出这样的一个同阶单步法的具体计算过程。
解：(1) 题中所给两个公式都是4阶公式；........................................................................... 2分 (2) 由题中所给公式可以构造出如下预报校正公式
112311112(5559379)24
[9(,)195+]
24
p
n n n n n n c p n n n n n n n h y y f f f f h y y f t y f f f +---+++--?=+-+-???
?=++-?? ...................................... 3分 它们的局部截断误差为
5(5)61115(5)6111251()()()720
19()()()720p p n n n n c c n n n n R y t y h y t O h R y t y h y t O h ++++++?=-=+???
?=-=-+??
利用外推原理，将上述公式作线性组合，消去局部截断误差主项，可得以下修正的预报校正公式
11231111112
11
11 (5559379)24251()
270[9(,)195+]
2419()270p
n n n n n n pm p c p n n n n
c pm n n n n n n n c c p n n n n h y y f f f f y y y y h y y f t y f f f y y y y +---+++++--++++?=+-+-??
?=+-??
?=++-???=--?
预测：修正：校正：修正： .......................... 4分 (4) 为了使(2)所给算法能顺利进行，可以选择经典4阶R-K 方法计算123,,y y y ，即
1
12341213
243(22)6
(,)11,0,1,2(,)
2211(,)22(,)
n n n n n n n n n n h y y k k k k k f t y n k f t h y hk k f t h y hk k f t h y hk +?
=++++??
=???
==++??
?=++??
=++?? .......................................... 6分
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
装 订 线 年 级 学 号 姓 名 专 业 一、填空题（本题40分, 每空4分） 1．设),,1,0()(n j x l j =为节点n x x x ,,,10 的n 次基函数，则 =)(i j x l 1 ,0,1,,0 i j i j n i j =?=? ≠? 。 2．已知函数1)(2++=x x x f ，则三阶差商]4,3,2,1[f = 0 。 3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数8 3,81 ) 3(2)3(1)3(0===C C C ，则=)3(3C 1/8 。 4．用迭代法解线性方程组Ax=b 时，迭代格式 ,2,1,0,)()1(=+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是 ()1B ρ< 。 5．设矩阵?? ? ???=1221A ，则A 的条件数2)(A Cond = 3 。 6.正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm 才能使其面积误差不超过12 cm 。（结果保留小数） 7.要使求积公式 )()0(4 1 )(111 x f A f dx x f +≈ ? 具有2次代数精确度，则 =1x 23 ， =1A 3 4 。 8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解 LU A =， ???? ? ???? ???-=135 9 45- 279 126 0 945- 0 45 1827- 9 18 9A 其中，则=L 10002100121023113?? ? ? ?- ? ?- ??? =U 918927 09 18 902815400 09-?? ?- ? ?- ??? 。 二、计算题（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y ），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式)(3x P 的3 x 的系数是6，试确定数据y 。 2011级数值分析 试题 A 卷 2011 ～ 2012学年，第 1 学期 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 年 级2011级 研究生 份 数 拟题人 王吉波 审核人
（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2）
（3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。
1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为
[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有
二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。
3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，，
4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端
这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵
，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ，
1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?
1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ
1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分
数值分析A 试题 2007.1 第一部分：填空题10?5 1.设3112A ?? = ??? ,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ??= ??? 分解成T A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________ ,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数：a = ___________ b =___________ 4.方程13 cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =，迭代方法 113 cos 244 k k x x π+=-的收敛阶是 5.解方程2 210x x -+=的Newton 迭代方法为___________，其收敛阶为___________ 6.设()s x = 323 2 323,[0,1]31,[1,2] ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________ b =___________ 7.要想求积公式： 1 121 ()(()f x dx A f f x -≈+? 的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________ 8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设 ,0,f y μμ=?其绝对稳定性空间是___________ 9.用线性多步法 2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题 00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________
2 A J ：；［则 || A 「一— 仙二 ------------- 'a+1 2 3 设「_1 J ，当a 满足条件 时，A 可作LU 分解。 (试卷一) 一 (10 分)已知％ =1.3409, x 2 =1.0125都是由四舍五入产生的近似值， 判断x-i x 2及x 1 - x 2 有几位有效数字。 二 ( 1 多项式 三(15分)设f(x)? C 4［a,b ］，H (x )是满足下列条件的三次多项式 H (a)二 f (a) , H (b)二 f (b) , H (c) = f (c) , H (c)二 f (c) ( a ：：： c ：： b ) 求f (x) -H(x)，并证明之。 1 四(15分)计算， : =10』。 o 1 +X 五(15分)在［0，2］上取X 。= 0, X 1 = 1, X 2 = 2，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代 数精度。 六(10分)证明改进的尢拉法的精度是 2阶的。 七(10分)对模型y ■ = ■?y , ■：■ 0，讨论改进的尢拉法的稳定性。 八(15分)求方程x 3 4x 2 - 7x - 1 = 0在-1.2附近的近似值，；=10 "。 (试卷二) 一 填空(4*2分) 1 { k (x) }k￡是区间［0，1］上的权函数为'(x)=x 2的最高项系数为1的正交多项式族，其中 1 （x ） =1，贝y . X 0（ x ）dx = ------------ ， 1（X ）工 ------- 数值分析试题集
3 2 * * * 4设非线性方程f (x)二(x -3x - 3x -1)(x ? 3) = 0，其根& = -3 ,他 =-1，则求为的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是 -------------------------------------- 。 广1 —0.5 a ' 二(8 分)方程组AX=b，其中A= — 0.5 2 -0.5，X, R3 l -a -0.5 1 』 1试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，a取何值时雅可比迭代 收敛最快？ 2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a的取值范围。 "V " = f(X y) 三(9分)常微分方程初值问题丿'的单步法公式为y n* = y n」+2hf (x n, y n)，求该 、、y°= y(x°) 公式的精度。 四(14分)设A X =b为对称正定方程组 1求使迭代过程X k 1二X k ?〉(b-A?X k)收敛的数〉的变化范围； 『2 -1 -1、、 1、『0 、 2用此法解方程组-12 0-X2=1 L1 0 例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1） 故所求二次拉格朗日插值多项式为 （2）一阶均差、二阶均差分别为 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平 方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111()46S x x =+ 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近 多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有 所以，法方程为 解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为 例4、 用4n = 的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1 ? 。 解： （1）用4n =的复合梯形公式 由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式 由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，()12 220,1,2,3k x k k + =+=，所以，有 例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解：先消元 再回代，得到33x =，22x =，11x = 所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x = 例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。 解： 设 则由A LU =的对应元素相等，有 1114u = ，1215u =，1316u =， 2111211433l u l =?=，3111311 22 l u l =?=， 2112222211460l u u u +=?=-，2113232311 545l u u u +=?=-， 2003 ~2004学年 第2学期 数值分析试题A 评分标准及标准答案 班级_______ 学号_______ 姓名_______ 一、 填空题(每题3分，共30分) 1. 设x= 2.40315是真值x*=2.40194的近似值，则x 有__3__位有效数字，相对误差限为0.51*10- 3. 2. 拉格朗日插值多项式基函数的和∑=n k k l 0＝__1__. 3. 均差与导数的关系 f[x 0,…,x n ] =f (n)(ξ)/n!. 4. 勒让德多项式 })1{(!21)(2n n n n n x dx d n x P -=，是否为正交多项式是. 5. n+1个点插值型求积公式 ?∑==b a n k k k x f A dx x f 0)()(的代数精度至少是 __n__. 6. 求高次非线性方程近似解的弦截法的收敛阶为___1.618___. 7. 牛顿－柯特斯求积公式的系数和∑==n k k n C 0)(_____1______. 8. 设下x=(1,-1,1)T ，???? ??????-=152101110A ，则2Ax ＝32. 9. 设?? ????--=4321A ，则∞Ax ＝__7__. 10. 设?? ????=5232A ,则A 的普半径ρ(A)为2337+. 二、 计算机题(每题9分，共54分) 1. 已知实验数据如下： . ???? ?????+=+=+=+=+=22222 44*8.9738*3.7331*4925*3.3219*19b a b a b a b a b a ………………………………….2分 另 r=(a+b*192-19)2+(a+b*252-32.3)2+ (a+b*312-49)2 + (a+b*382-73.3)2+ (a+b*442-97.8)2 ???????=??=??00b r a r …………………………………….6分 a=0.9726046,b=0.0500351. …………………………………….9分 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数字),计 算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--% 数值分析A试题 1.(1)sin(x)的pade(3*3)逼近 (2)确定求击公式的待定参数，使代数精度尽量高并指出代数精度是多少，判断是否为 Gauss型 2.给出一多步线性方法，要求作出 (1)该方法误差主项和阶的判定 (2)相容性判定 (3)是否满足根条件 (4)是否A稳定 3.给定矩阵，要求作上Hessenberg阵和基本QR分解 4.给一非线性方程组，要求 (1)写出相应的牛顿法迭代公式 (2)自己再设计一种迭代方式，并判定其局部收敛性 5.给一矩阵A，含有参数a，要求 (1)用J法的充要条件求a的范围 (2)若a＝0，写出SOR法的分量计算公式，并求最优松弛因子 6.压缩影射原理中不动点的存在性和唯一性证明 ------------------------------------------------------------------------------ 1.1)求sin(x)的pade(3*3)逼近R33 2)确定求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高并指出代数精度是多少， 判断是否为Gauss型 (区间是-2到2,被积函数是f(x),求积公式为Af(-α)+Bf(0)+Cf(α)) 2.给出一多步线性方法，y(n+2)=y(n)+h[f(n)+f(n+2)] 1)求此方法局部截断误差主项,并判断方法的阶 2)是否相容 3)是否满足根条件,是否收敛 4)是否A稳定 3.给定矩阵A,B. 5 1 -2 3 4 0 A= -3 2 1 B= 4 4 1 4 1 3 0 0 2 1)用正交相似变换把A变化成上Hessenberg型矩阵 2)对B做一次QR分解 4.给一非线性方程组 数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公 第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5105.0-?,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325*102 1102 1---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需 41*102 1 -?≤-ππ，3*3102 1102 1--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +， b a ?有几位有效数字（有效数字的计算） 解：3*1021 -?≤-a a ，2*102 1-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤ -+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤ -+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算） 解：已知δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=， 已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差 限与相对误差限。（误差限的计算） 解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 πππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 相对误差限为 %420 1 20525) 5,20() 5,20(),(2 ==??≤ -ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 解：%* *a x x x =-， )%(* **** *na x x x n x x x y y y n n n =-≤-= - 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大（函数误差的计算）数值分析整理版试题及答案
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