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人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_任意角和弧度制_基础

人教版高中数学必修四

知识点梳理

重点题型（常考知识点）巩固练习

任意角和弧度制

【学习目标】

1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。

2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.

3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。【要点梳理】要点一：任意角的概念

1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角.

零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释：

角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.

2.终边相同的角、象限角终边相同的角为{}|360k k Z βββα∈

=+∈，

角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.

要点诠释：

(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；

(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360?的整数倍. 3．常用的象限角

α是第一象限角，所以(){}|36036090,k k k Z αα<<+∈ α是第二象限角，所以(){}|36090360180,k k k Z αα+<<+∈ α是第三象限角，所以(){}|360180360270,k k k Z αα+<<+∈ α是第四象限角，所以(){}|360270360360,k k k Z αα+<<+∈

要点二：弧度制 1．弧度制的定义

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算

弧度与角度互换公式： 180rad π?

1rad=0

180π?? ???

≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：2||2

21r r l S α==. 要点诠释：

(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.

(2)角α的弧度数的绝对值是：r

=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】

类型一：角的概念的理解

例1．下列结论：

①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。

其中正确的结论为________。

【思路点拨】比较锐角和第一象限角的关系，比较负角和第一象限角的关系，这种问题可以通过列举出特殊角来得到结论．

【答案】②

【解析】①390°角是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确。

②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确。 ③－330°角是第一象限角，但它是负角，所以③不正确。 ④480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以④不正确。

⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确。

【总结升华】正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可。

举一反三：【变式1】（1）一个角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度是多少？

（2）时钟走了3小时20分，则分针所经过的角的度数为多少？时针所转过的角的度数是多少？【答案】（1）1110°（2）－1200° －100° 【解析】（1）终边按逆时针方向旋转三周，转过的角为360°×3=1080°，再加上原来的角度30°，所以旋转后的角是1110°。

（2）时针、分针都是顺时针方向旋转，故所转过的角度数为负值。3小时20分，分针转了1

周，故转过的角度数为－360°×13

3=－1200°，时针转了518周，故转过的角度数为－360°×518

=－100°。类型二：终边相同的角的集合

例2．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。（1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。

【思路点拨】根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，我们可以表示出与10030°的角终边相同的角β的集合，找出满足条件的k 值，即可得到答案．

【答案】（1）―50°（2）670°

【解析】（1）与10030°角终边相同的角的一般形式为β=k ·360°+10030°（k ∈Z ），由－360°＜k ·360°+10030°≤0°，得－10390°＜k ·360°≤－10030°，解得k=―28，故所求的最大负角为β=―50°。

（2）由360°≤k ·360°+10030°＜720°，得－9670°≤k ·360°＜―9310°，解得k=―26。故所求的角为β=670°。

【总结升华】把任意角化为α+k ·360°（k ∈Z 且0°≤α＜360°）的形式，关键是确定k 。可以用观察法（α的绝对值较小），也可用竖式除法。

举一反三：

【变式1】已知α=－1910°。

（1）把α写成360k β+??（k ∈Z ，0°≤β＜360°）的形式，指出它是第几象限的角。（2）求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ≤0°。【答案】（1）－6×360°+250° 第三象限的角（2）－470° 【解析】（1）∵－1910°÷360°=－6余250°， ∴－1910°=－6×360°+250°，

相应的β=250°，从而α=－6×360°+250°是第三象限的角。（2）令θ=250°+k ·360°（k ∈Z ），

取k=―1，―2就得到满足―720°≤θ≤0°的θ角； 250°－360°=－110°，250°－720°=－470°。类型三：角

所在象限的研究例3．若α是第二象限角，试分别确定2α，

2α，3

的终边所在的位置。【思路点拨】因为α是第二象限的角，所以k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°，把上式两边都乘以2、12、13，然后对k 进行讨论，就可得 2α，2α，3

的终边所在的位置。

【答案】第三、第四象限的角或角的终边在y 轴的负半轴上；第一或第三象限的角；第一或第二象限

或第四象限的角

【解析】

因为α是第二象限的角，所以k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）。（1）因为2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ），故2α是第三、第四象限的角或角的终边在y 轴的负半轴上。

（2）因为k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时，n ·360°+45°＜2

α＜n ·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时，n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°（k ∈Z ），所以2

是

第一或第三象限的角。

（3）因为k ·120°+30°＜3α＜k ·120°+60°（k ∈Z ）。当k=3n （n ∈Z ）时，n ·360°+30°＜3

＜n ·360°+60°；当k=3n+1（n ∈Z ）时，n ·360°+150°＜3

＜n ·360°+180°；当k=3n+2（n ∈Z ）

时，n ·360°+270°＜3α＜n ·360°+300°，所以3

是第一或第二象限或第四象限的角。

【总结升华】已知α的范围，确定n α

的范围，一般应先将α的范围用不等式表示，然后再两边同除

以n ，根据k 的取值进行分类讨论，以确定n

的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角

应引起注意。举一反三：

【变式1】（1）已知α是第三象限角，求2

是第几象限角；（2）已知α是第二象限角，求

是第几象限角。【答案】（1）第二或第四象限角（2）第一、第三或第四象限角【解析】（1）由下图（左）可知2

是第二或第四象限角。（2）由下图（右）可知

是第一、第二或第四象限角。

类型四：弧度制与角度制的互化

例4．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。

【思路点拨】这类题只要找到两射线对应的角，然后写成22()k x k k z απβπ+<<+∈即可，注意

αβ<。

【答案】（1）5|22,6

12k k k Z π

πθπθπ?

<<+

∈???

?（2）33|22,44k k k Z ππθπθπ??-<<+∈????

【解析】（1）如下图①，以OB 为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即6

-，而57575180

12π

π?=?

rad ，∴所求集合为5|22,612k k k Z ππθπθπ??

-<<+

∈????

。（2）如上图②，以OB 为终边的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即34

-，而3135135180

4π

π?=?

rad ，∴所求集合为33|22,44k k k Z ππθπθπ??-<<+∈????

。【总结升华】在表示角的集合时，一定要使用统一的单位，只能用角度制或弧度制中的一种，不能混

用。

例5．（1）（2015春浦东新区月考）3

弧度=________度；75°=________弧度；1弧度=________度（精确到小数点后一位）

（2）已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是________．

【答案】（1）60；

512π；57.3（2）12360π+，12360

π- 【解析】（1）∵π=180°，

∴

3π

弧度=60°， 75°=512π弧度，1弧度=180

()π

?=57.3°

故答案为：60；

512

；57.3．（2）设两个角的弧度数分别为x ，y ，因为1rad 180

，

所以有1180x y x y π+=???-=??，解得12360

12360x y ππ?=+???

?=-??

．即所求两角的弧度数分别为

12360π+

，12360

π-．【总结升华】（1）进行角度与弧度换算时，要抓住关系：πrad=180°；（2）度数×

180π=弧度数，弧度数×180π??

? ???

=度数。

举一反三：

【变式1】下列转化结果错误的是（）

A ．67°30′化成弧度是38π

B ．103π-化成度是―600°

C ．―150°化成弧度是76π-

D ．12

化成度是15°

【答案】C

【变式2】分别使用角度制与弧度制表示下列角的集合：

(1) 与α终边相同的角

(2) 终边在y 轴正半轴上的角的集合 (3) 终边在y 轴负半轴上的角的集合 (4) 终边在y 轴上的角的集合【答案】

（1）{}

|360,S S k k z α=?+∈，{}|2,S S k k z πα=+∈ （2）{}

|36090,S S k k z =?+∈，|2,2S S k k z π

π??=+

∈????

（3）{

}

|36090,S S k k z =?-∈，|2,2S S k k z π

π??=-

∈???

（4）{}

|18090,S S k k z =?+∈，|,2S S k k z π

π?

?=+

∈???

类型五：扇形的弧长、面积与圆心角问题

【：任意角和弧度制 385946例6】

例6．已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200度，求这条弧所在的圆的半径（精确到1cm ）。

【思路点拨】用弧长公式r l ||α=(α是圆心角的弧度数)去求解。【答案】15

【解析】10200200180

509R π∴=

?， 4515R π

∴=≈（cm ）

【总结升华】弧度制下扇形的弧长公式、面积公式均得到简化，解决这类问题通常采用弧度制。举一反三：

【变式1】（2014春福建武夷山市期末）已知扇形OAB 的周长为12．（1）若扇形AOB 的面积为8，求圆心角α的大小；

（2）当扇形AOB 的面积取到最大值时，求圆心角α的大小．

【思路点拨】（1）设扇形的AOB 的弧长为l ，半径为R ，依题意有212182

l R lR +=??

?=??，解不等式组代入角

的弧度数的定义可得；（2）由12=1+2R 结合基本不等式可得1R ≤18，可得1

S lR =≤，当且仅当l =2R =6时，取等号，可得此时圆心角α．

【答案】（1）1或4；（2）2

【解析】（1）设扇形AOB 的弧长为l ，半径为R ，

依题意有212

182

l R lR +=??

?=??，解得44l R =??=?或82l R =??=?，

∴1l

α=

=或4 （2

）∵1212R =+≥

6，即lR ≤18，当且仅当l =2R =6时，取等号，

∴1

S lR =≤，当且仅当l =2R =6时，取等号，此时圆心角2l

α==

人教版高中数学必修四《弧度制》导学案

§1.1.2 弧度制 1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系. 3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题. 一、课前准备（预习教材P6~ P9，找出疑惑之处）在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？二、新课导学 ※探索新知问题1：什么叫角度制？问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？

问题5：角的集合与实数集R 之间建立了________对应关系。问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合. 问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。 ※ 典型例题例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法）（1） 5 3π （2）3.5 （3）252o （4）11o151 变式训练：①填表 ②若6-=α，则α为第几象限角？ ③用弧度制表示终边在y 轴上的角的集合 ___ ____. 用弧度制表示终边在第四象限的角的集合

__ _____. 例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60o，求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积变式训练（1）：一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积. 变式训练 (2)：A=()? ??? ??∈? -+=Z k k x x k ,21π π, B=? ?? ? ?? ∈+=Z k k x x ,22π π则A 、B 之间的关系为 . ※ 动手试试 1、将下列弧度转化为角度：（1） 12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）6 13π = °； 2、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ；（2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ； 3、已知集合M =｛x ∣x = 2 π ? k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2 π π± ?k , k ∈Z ｝，则（） A ．集合M 是集合N 的真子集

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合：或，整数集合：，有理数集合：，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .

2、如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集，个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设那么上是增函数；上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断格式：解：设

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【设计意图】以时政热点为话题导入新课，极大地调动了学生的学习热情，而且能提高学生的参与度，对培养学生的综合能力和提升课堂效率都很有帮助. 2.问题情境1：中国国土面积960万平方千米，故宫面积约1080亩；中国领海宽度12海里；中国高铁运营里程达到3万公里，位居世界第一；中国黄金储备6245盎司；中国钢铁产量超过10亿吨，连续16年位居世界第一. 【设计意图】以祖国的成就设为问题情境，调动学生的学习积极性，同学们都能够感受到祖国的强大，激起同学们浓烈的爱国思想；类比研究面积、长度、质量可以选择不同的单位，不同的单位制能为我们解决问题带来方便，引出度量角的另一种单位制. 3.问题情境2：回忆初中学习的锐角三角函数定义，教师引出其他版本教材有不一样的定义. 提出问题：为什么有的教材将锐角的正弦、余弦、正切定义成三角比呢？请你结合高中函数的定义进行分析. 【设计意图】通过引出其他版本教材有不一样的定义，利用新旧知识所蕴含的矛盾引发认知冲突一方面引出本节课的主题，另一方面学生发现问题、提出问题的能力在潜移默化中得到培养，这个问题是本节知识的切入点是引发学生思考，培养学生素养的关键. （二）探究新知，得到概念 1.教师提出问题：在半径为r 的圆O 中，当B 点在圆周上运动时，你发现了什么？（教师几何画板演示）学生活动1：学生讨论后总结，弧长变大，圆心角变大，因为我们要用实数度量圆心角，所以由180r n l π=，变形得r l n ?π=180. 师继续追问：当半径发生变化时，你发现了什么？能不能仅用弧长或者半径来度量圆心角？（教师几何画板演示）学生活动2：学生讨论后总结，不能仅用弧长或者半径来度量圆心角的大小. 教师再总结：仅用半径和弧长中的一个量不能度量圆心角的大小，但它又与半径r 和弧长l 相关. A

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必修4 任意角和弧度制、任意角的三角函数各题型与练习题型一角的概念辨析例1 下列各命题正确的是（） A ．0°~90°的角是第一象限角 B ．第一象限角都是锐角 C ．锐角都是第一象限角 D ．小于90°的角都是锐角题型二终边相同的角例2 与-457°角终边相等的角的集合是（） A ．}{Z k k ∈?+??=，457360|αα B ．}{Z k k ∈?+??=，97360|αα C ．}{Z k k ∈?+??=，263360|αα D ．}{Z k k ∈?-??=，263360|αα 例3 如果角α与β终边相同，则有（） A ．α-β=π B ．α+β=0 C ．α-β=2k π（k ∈Z ） D ．α+β=2k π（k ∈Z ）题型三已知角α所在象限，求角2α、2α 所在象限问题例4 已知角α是第二象限角，求角2α是第几象限角例5 若α是第一象限角，则2α 是第几象限角？题型四弧度制的概念问题例6 下列诸命题中，假命题是（） A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．一度的角是周角的3601，一弧度的角是周角的π21 C ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关题型五角度与弧度互化问题例7 （1）将112°30′化为弧度（2）将125π -rad 化为度题型六与弧长、扇形面积有关问题例8 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，试求扇形的中心角的弧度数题型七用弧度表示终边相同角的问题例9 将-1485°表示成Z k k ∈+,2απ的形式，且πα20<≤

高中数学必修4——任意角与弧度制导学案

任意角【学习目标】1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念； 2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示. 【重点难点】正确理解终边相同的角的概念【学习过程与方法】 1．角的定义： 2．角的分类：正角：按方向旋转形成的角叫做正角；负角：按方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线旋转，我们称它为零角。说明：零角的始边和终边重合。 3．象限角：在直角坐标系中，使角的与坐标原点重合，角的与x 轴的非负轴重合，若角的在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。如：30,390,330-都是第象限角； 300,60-是第象限角。注：非象限角（也称象限间角、轴线角）：如果角的终边在上，就认为这个角不属于任何象限。例如：90,180,270等等。 4．终边相同的角的集合所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合： {}|360,S k k Z ββα==+?∈，小结：1、任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 2、终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。【典型例题】例1．（1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？（2）若将钟表拨慢10分钟，则时针和分针分别转了多少度？

例2．在00到0360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）0650 （2）0150- （3）0'99015- 例3、若3601575,k k Z α=?-∈，试判断角α所在象限。例4．已知α与0240角终边相同，判断2α 是第几象限角. 例5．写出终边落在第一、三象限的角的集合. 【课堂练习】 1.与500°终边相同的角为（） A .()36040k k Z ?+∈ B.()360140k k Z ?+∈ C .()360240k k Z ?+∈ D.()360340k k Z ?+∈ 2.下列各命题，其中正确的有（） ①相等的角终边相同； ②终边相同的角一定相等； ③第二象限的角一定大于第一象限的任意角； ④若0180α<<,则α必是第一或第二象限的角

人教版高中数学必修四任意角和弧度制

任意角和弧度制 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式 3.熟记特殊角的弧度数 (一)角的概念： 1 任意角正角：按顺时针方向形成的角负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数）（1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或（3）区间角的表示： ①象限角：象限角象限角的集合表示第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α??+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α?+?+∈Z } 第三象限角的集合 o o o o {|360180<<360270,x k k k α?+?+∈Z } 第四象限角的集合 o o o o {|360270<<360360,x k k k α?+?+∈Z } ②写出图中所表示的区间角：由α的终边所在的象限，来判断 2α所在的象限，来判断3 α 所在的象限 (二)弧度制 1 弧度角的规定.

必修4-任意角和弧度制-练习题整理

1、下列六个命题：其中正确的命题有 . ①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限 ⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角 2、练习：角度与弧度互化： 0°= .；30° ；45° ；3π ；2π ；120° ；135° ；150° ； 54π ，－43π 、310 π 、－210° 、75° ，0330 ，0900 23π- ，405° ， -280° ， 1680° ， π411- ，5π ，67π 780° ，-1560° ，67.5° ，π310- ， 12π ，4 7π 3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成0360()k k Z α?+∈的形式）－150° 、1040° 、－940° .0 300 01125 0660- －1050° 01485- 4、下列各对角中终边相同的角是( ) A.πππk 222+-和（k ∈z ） B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9 122320ππ和 5、用弧度制表示下列角的集合。 (1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与 6 π的终边关于x 轴对称的角； (4)终边在直线y=x 上。 (5) 终边落在一、三象限角平分线上 6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)． 7、若α 是第二象限的角，则2 α所在的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则2 α角的终边在 . 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) 2α (3) 3 α终边所在的位置

高中数学必修四《弧度制》优秀教学设计

1.1.2弧度制一、教学目标： 1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系. 2、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备. 二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化. 教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制. 【探究新知】 1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ，自行解决上述问题.

高中数学知识点总结精简

高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a 属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法： ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x| x-3>2} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B? A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

高中数学秘籍高中数学知识点总结

高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ A 表示函数y=lgx 的定义域， B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}1|032|2===--=ax x B x x x A ，如：集合若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是，这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n

种选择，即集合A 有2n 个子集。当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??==I Y （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==，有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 ,A B A B A B A B ==U I I U 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 50 1539252 2∈--0) 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想到m ，n 实际上就是方程的2个根 5、熟悉命题的几种形式、 ()()(). ∨∧?可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非” 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧

高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总(教师版)

任意角与弧度制知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。例1、若 13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45）（180,270） 2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。正角：按照逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。负角：按照顺时针方向旋转的角。例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是-960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是3 π． 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。例1、30?；390?；-330?是第象限角 300?；-60?是第象限角 585? ； 1180?是第象限角 -2000?是第象限角。例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=④（填序号）. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}

③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ） A ．B=A∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2 α 的终边所在位置. 解∵α是第二象限的角， ∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）. （1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜ 2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ），当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2 α＜n ·360°+90°；当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜ 2α＜n ·360°+270°. ∴2 α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？ ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3 α＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜ 3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3 α的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜ 3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3 α的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜ 3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3 α的终边在第四象限.

高中数学人教版必修4任意角和弧度制教学设计

1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角整体设计教学分析教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务. 学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义. 三维目标 1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念. 2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义. 3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础. 重点难点教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合. 教学难点:用集合来表示终边相同的角. 课时安排 1课时教学过程导入新课图1 思路 1.(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉

高中数学必修4北师大版弧度制学案1

§3 弧度制 1．度量角的单位制 (1)角度制规定周角的______为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫角度制． (2)弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为__________，它的单位符号是______，读作______．这种以______作单位度量角的单位制，叫作弧度制．预习交流1 角α＝3这种表达方式正确吗？ 2．弧度数的计算预习交流2 (1)扇形弧长为18 cm ，半径为12 cm ，则圆心角的弧度数是__________． (2)一条弦的长度等于圆半径的 1 2 ，则这条弦的圆心角的弧度数是( )． A.π6 B.π3 C.1 2 D ．以上都不对 3．角度与弧度的互化

预习交流3 填空．(记住下面一些特殊角的度数与弧度数的互化) 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则预习交流4 (1)在弧度制下的扇形面积公式S ＝1 2lr 可类比哪种图形的面积公式加以记忆？ (2)圆的半径为6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的弧长为______cm ，面积为______cm 2. 答案：1．(1)1 360 (2)1弧度的角 rad 弧度弧度预习交流1：提示：正确．角α＝3表示3弧度的角，这里将“弧度”省略了． 2．正数负数 0 预习交流2：(1)3 2 (2)D 预习交流3：30° 45° 120° 0 π12 π3 5π12 3π4 5π6 5π4 3π 2 4.|α|πr 180 |α|r |α|πr 2 360 12lr 12 |α|r 2 预习交流4：(1)提示：此公式可类比三角形的面积公式来记忆． (2)π2 3π2

高中数学知识点汇总(最新版)

高中数学资料汇总 1、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式; (3)零点式. 2、四种命题的相互关系原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否 § 函数 1、若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数. 2、函数的图象的对称性 (1)函数的图象关于直线对称 .

(2)函数的图象关于直线对称 . 3、两个函数图象的对称性 (1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. (2)函数与函数的图象关于直线对称. (3)函数和的图象关于直线y=x对称. 4、若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象. 5、互为反函数的两个函数的关系：. 6、若函数存在反函数,则其反函数为,并不是 ,而函数是的反函数. 7、几个常见的函数方程 (1)正比例函数,. (2)指数函数,. (3)对数函数,.

(4)幂函数,. (5)余弦函数,正弦函数，，§ 数列 1、数列的同项公式与前n项的和的关系 ( 数列的前n项的和为). 2、等差数列的通项公式；其前n项和公式为 . 3、等比数列的通项公式；其前n项的和公式为或. 4、等比差数列:的通项公式为；其前n项和公式为 . § 三角函数

1、同角三角函数的基本关系式，=，. 2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3、和角与差角公式 ; ; . (平方正弦公式); . =(辅助角所在象限由点的象限决定, ). 4、二倍角公式 .

人教版高中数学必修四学案任意角的三角函数及弧度制小结

【知识掌握】：弦长公式，扇形的面积公式、三角函数的定义、单位圆与三角函数线【知识点精讲】 1. 弦长公式、，扇形的面积公式 2.任意角的三角函数的定义： 3.三角函数线：（1）三条有向线段的位置：（2）三条有向线段的方向：（3）三条有向线段的正负：（4）三条有向线段的书写： 4.三角函数的定义域：函数定义域 x y sin o x y M T P A x y o M T P A （Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）

5.三角函数值在各象限的符号（一全二正弦，三切四余弦） 6.诱导公式（一）所以终边相同的角的同一三角函数的值相等，诱导公式（1）用途： 5.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：（2）倒数关系：（3）商数关系：【达标训练】 A 组 1．已知角α 终边上一点P 的坐标为（2＋5，2－5），求这个角的六个三角函数值． 2．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）70°；（2）－110°；（3）π54 ；（4）3 π7-． 3．给出下列命题：（1）正角的三角函数值是正的，负角的三角函数值是负的；

（2）设),(y x P 是角α 终边上的一点，因为sin α ＝r y ，所以α 的正弦值与点P 的纵坐标y 成正比；（3）若sin θ·cos θ ＞0，则θ 一定在第一象限；（4）两个角的差是2π 的整数倍，则这两个角的同一个三角函数的值必相等；（5）若角α 的终边落在y 轴上，则角α 的正弦线是单位长度的有向线段．其中正确命题的序号是????????．（将正确的都写出来） 4．确定下列各三角函数值的符号：（1） 182sin ；（2）)40cos( -；（3）4 π7tan ；（4） 980sin ；（5）3π10cos ；（6）6 π 25tan ． 5．求满足下列条件的角x 的范围：（1）0tan sin

高中数学必修四教学方案：《任意角和弧度制》

高中数学必修四教学方案：《任意角和弧度制》高中数学必修四教学方案：《任意角和弧度制》数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献。下面跟着一起来看看吧。教学准备教学目标 1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；（4）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 2、过程与方法通过创设情境：转体，逆（顺）时针旋转，角有大于角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示

方法，学会运用运动变化的观点认识事物. 教学重难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 教学工具投影仪等. 教学过程【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准?当时间校准以后，分针转了多少度? [取出一个钟表，实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上，这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容任意角. 【探究新知】 1.初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢? [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点o按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角a.旋转开始时的射线叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点o叫做叫a的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：转体（即转体2周），转体（即转体3周）等，都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中大于的角

人教版高中数学必修四 1.1.1任意角

一、选择题 1．把－1 485°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是() A．315°－5×360°B．45°－4×360° C．－315°－4×360°D．－45°－10×180° 解析：∵0°≤α<360°，∴排除C、D选项，经计算可知选项A正确．答案：A 2．－435°角的终边所在的象限是() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限解析：设与－435°角终边相同的角为α，则α＝－435°＋k·360°，k∈Z. 当k＝1时，α＝－75°. 因为－75°角为第四象限角，所以－435°角的终边在第四象限．答案：D 3．若角α和β的终边关于y轴对称，则有() A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z C．α＋β＝k·360°，k∈Z D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z 解析：结合图形分析，知α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)．答案：D 4．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有() A．1个B．2个 C．3个D．4个解析：由于－90°<－75°<0°，故－75°角为第四象限角；由于180°<225°<270°，故225°角是第三象限角；由于360°＋90°<475°<360°＋180°，故475°角是第二象限角；由于－360°<－315°<－270°，故－315°角是第一象限角，所以①②③④均为真命题．答案：D 二、填空题 5．若角α满足180°<α<360°，角5α与角α有相同的始边，又有相同的终边，那么角α

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