因式分解
一、复习回顾:
问题一整式乘法有几种形式? 问题二乘法公式有哪些?
(1)单项式乘以单项式(1)平方差公式:：
(2)单项式乘以多项式：a(m+n)= (2)完全平方公式：
(3)多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)=
二、自主学习:
1、计算：
（1）23=
?（2）（m+4）（m－4）=__________；
（3）（y－3）2=__________；（4）3x（x－1）=__________；
（5）m（a+b+c）=__________；（6）a（a+1）（a－1）=__________。
2、若a=101,b=99,则22
a b
-=___________；若a=99,b=-1,则22
2
a a
b b
-+=_______；
若x=-3,则2
2060
x x
+=
小结：一般地，把一个含字母的表示成若干个多项式的的形式，称把这个多项式因式分解。
思考：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形有什么不同?
因式分解与整式的乘法有什么区别和联系？
三、合作探究:
练习、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1) 2x-3x+1=x(x-3)+1 ；(2) (m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；
(3) 2m(m-n)=22m-2mn；(4) 42x-4x+1= ()2
21
x-；
(5) 32a+6a=3a（a+2）；（6）
()()
243223
x x x x x
-+=-++
(7)
2
2
2
11
2
k k
k k
??
++=+
?
??；(8) 3
18a bc=32a b·6ac。
3、下列说法不正确的是( )
A. a b -是22a b -的一个因式
B. xy 是223x y xy -的一个因式
C.222x xy y -+的因式是x y +和x y -
D. 222a ab b ++的一个因式是a b
+ 4、计算：(1) 287+87×13 (2) 2210199-
5、若 x 2+mx-n 能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n=
提公因式法因式分解
多项式am+bm+cm中各项都含有因式m，m就是这个多项式的公因式。
小结：
1、什么叫公因式？
2、什么叫提公因式法？
如果一个多项式的各项都含有_某个因式，那么就可以把这个因式提出来，从而将多项式化成两个或几个整式积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
3、把下列多项式写成整式的乘积的形式
（1）x2+x=_________ （2）am+bm+cm=__________
<一>、基础知识探究：
①多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？
②请将下列多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由.
mn+mb= 4x2－x= xy2－yz－y=
总结：用提公因式法分解因式的技巧：
各项有“公”先提“公”，首项有负常提负，某项提完莫漏1，括号里面分到“底”。
<二>、例1：下列从左到右的变形是否是因式分解？
（1）2x2+4=2（x2+2）（2）2t2－3t+1=（2t3－3t2+t）；
（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2；（4）m（x+y）=mx+my；（5）x2－2xy+y2=（x－y）2．2、请同学们指出下列各多项式中各项的公因式：
ax+ay+a 3mx-6mx2 4a2+10ah
4x2－8x6 x2y + xy2
12xyz-9x2y2 16a3b2－4a3b2－8ab4
总结：找最大公因式的方法：
①公因式的系数取各项系数的；
②公因式字母取各项的字母；
③公因式字母的指数取相同字母的最次幂．
概括为“三定”：（1）定系数；（2）定字母；（3）定指数
例2：把9x2–6xy+3xz 分解因式.
例3：下面的解法有误吗？如有错误请更正。
把 8a 3b 2 –12ab 3c +ab 分解因式.
解： 8a 3b 2 –12ab 3c +ab
=ab ?8a 2 b-ab ?12b 2 c+ab ?1
=ab(8a 2b- 12b 2c)
练习：1、将下列多项式分解因式
①8a 3b 2+12ab 2c ②–3m 3+9m 2-12mn
③3x 3-6xy+x ④-4a 3+16a 2-18
2、将下列多项式分解因式
①a 2b –2ab 2+ab ②–48mn –24m 2n 3
3、用简便的方法计算：①0.84×12+12×0.6－0.44×12． ② 992+99
小结：利用提公因式法因式分解，关键是找准 ．?在找最大公因式时应注
意： （1） （2） （3）
一、自主学习：
1、下列各式中的公因式是什么？
(1) a(x+y)+b(x+y) (2) x(a+3)-y(a+3)
(3) 6m(p-3)+5n(p-3) (4) x(m-n)-2y(m-n)
(5) x(a+b)+y(a+b)-z(a+b)
2、判断：下列各式哪些成立？
你能得到什么结论？
3322)4()())(3()())(2()1(a
b b a x y y x x y y x a b a b +=+-=--=--=-
二、合作探究：
例1：把a （x －3）+2b （x －3）分解因式
思考：提公因式时，公因式可以是多项式吗？
例2：把下列各式分解因式:
（1）a （x －y ）+b （y －x ）; （2）6（m －n ）3－12（n －m ）2
1、在下列各横线上填上“+”或“-”,使等式成立.
(1)____()y x x y -=-; (2)22()____()x y y x -=-; (3)33()_____()x y y x -=-.
2、分解因式：
).(2)(7)4();()()3(n m y n m x y x b y x a ----+-
3、分解下列因式：
;
3(2)3()2(）x b x a -+-;)()()3(22x y b y x a -+-23(4)()();a x y b y x -+-)
(3)(2)2(;32)1(c b c b a x ax +-+-);3(2)3()1(-+-x b x a
【学习重点与难点】：因式分解的方法和运用 【导学过程】 一、知识再现:（阅读教材，理解记忆） 1、因式分解： 2、用提公因式法分解因式 （1）基本方法，（2）找公因式的方法， 3、因式分解中运用的公式 （1）=-22b a ，（2）=+±222b ab a ， 4、因式分解的应用． 二、典例分析 1、提公因式法分解因式 例1 因式分解：b a ab 223+= 变式1、因式分解：x x 52- = 变式2、因式分解： 2263ab b a += 2、公式法分解因式 例2、因式分解：3212123a a a ++= 变式3、因式分解：296ab ab a +-= 变式4、因式分解：23ab a -=
3、因式分解的应用 例3 解方程的值求代数式224320042200452y x x y y x -?? ???=-=+ 变式5、若622=-n m 且2=-n m 则=+n m 三、巩固提高 1. 下列分解因式正确的是 （ ） A 、﹣a +a 3=﹣a （1+a 2） B 、2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b ） C 、a 2﹣4=（a ﹣2）2 D 、a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2 2．分解因式：321025=a a a -+ 3、因式分解：a 2 ﹣6a+9= 4、分解因式：3222b ab b a +-= 5、分解因式：8（x 2﹣2y 2）﹣x （7x+y ）+xy ．
【课堂反馈】 1、下列式子变形是因式分解的是【 】 A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6 B ．x 2 －5x ＋6＝(x －2)(x －3) C ． (x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6 D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3) 2、若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是（ ） (A)0x y z ++= (B) 20x y z +-= (C) 20y z x +-= (D) 2=0x z y +- 3、分解因式：3269x x x -+= 4、分解因式：=+-+)(3)(2y x y x 5、已知1=-b a ，则b b a 222--的值
靠山中学初二数学学案
教学内容 因式分解的概念及提公因式法分解因式 教学目标 1：知识与技能目标：使学生了解因式分解的意义，理解因式分解与整式乘法的联系与区别；使学生理解并熟练运用提公因式法分解因式。2：过程与方法目标：培养学生全面观察问题、分析问题和逆向思维的能力。 3：情感与态度目标：培养学生全面观察问题、分析问题和逆向思维的能力。教学重点和难点 教学重点：因式分解的概念及提公因式法。 教学难点：正确找出多项式各项的公因式。 教学方法选择与分析 1：利用知识的迁移，启发学生的思维。 2：采用自主探究式教学方式，培养学生的创新能力。 教学过程与设计 第一个环节：复习与激趣 教师活动： 1：出示提问题：乘法对加法的分配律用字母怎样表示？ 2：出示学生讨论题：630能被那些数整除？并说说你是怎么想的。 3：出示猜想题：既然有些数能分解因数，那么类似地有些多项式可以分解成几个整式的积吗？请同学们猜想。 学生活动： 1：对已有知识加深印象，为学习新知识作准备。 2：分组讨论，各抒己见，大胆猜想。 设计意图：
1：完整学生的知识点。 2：激发学生的学习兴趣和求知欲。 第二个环节：教学因式分解的概念 教师活动： 1：出示探究题：请同学们把下列多项式写成整式的积的形式（投影） （1）x2+x=_ (2)x2-1=_ 2:引导学生分析上面式子的特点，归纳因式分解的概念。 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。也叫做把这个多项式分解因式。3：引导学生分析整式乘法与因式分解的联系与区别。 联系：都是由几个相同的整式组成的等式。 区别：相同整式的位置比同，两者是相反的恒等变形。 例1 下列各式那些是因式分解？ （1）x2+x=x(x+1) (2)a(a-b)=a2-ab (3)(a+3)(a-3)=a2-9 (4)a2-2a+1=a(a-2)+1 学生活动： 1：完成探究题。 2：分组讨论探究题中式子的特点，试说出因式分解的定义。 3：分组讨论因式分解与整式乘法的联系与区别。 4：完成例1，小组派代表投影展示。 设计意图：培养学生自主学习，积极探究的精神、合作交流的意识和分析归纳的能力。 第三个环节：教学提公因式法分解因式
铁厂中学高效课堂数学教学设计 4.1 因式分解 铁厂中学李兴林 一．教材分析： 因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理 数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数 式恒等变形提供必要的基础。因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意 义． 本节是因式分解的第1小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生 体会数学思想——类比思想，分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的整体联系。 二．学情分析： 学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算， 因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维 对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具 体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点。 三．教学目标： 1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。 2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形）。 3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养变形与化归的能力。 4.培养学生认识矛盾的对立统一，勇于探索的精神和实事求是的学习态度。 四．教学重点：因式分解的概念。 教学难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系。 五．教学过程： 本节课设计了五个教学环节：复习回顾（整式乘法），自主探究概念，小组合作学习， 检测巩固，小结。 （一）复习回顾 1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式：3a?4ab= (2)单项式乘以多项式： a(m+n)=_______ (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=_____________ 千教万教，教人求真
因式分解学案02-提取公因式法同步练习08 板块二：提公因式法 提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法： 系数——取多项式各项系数的最大公约数； 字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 【例 1】 分解因式： ⑴ad bd d -+； ⑵4325286x y z x y - ⑶322618m m m -+- ⑷23229 632x y x y xy ++ 【巩固】 分解因式：22(1)1a b b b b -+-+- 【巩固】 ⑴23361412abc a b a b --+；⑵32461512a a a -+- 【例 2】 分解因式 ⑴23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b ---+- ⑵346()12()m n n m -+- 【巩固】 分解因式： ⑴55()()m m n n n m -+- ⑵()()()2a a b a b a a b +--+ 【巩固】 分解因式： ⑴2316()56()m m n n m -+- ⑵(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+- 【巩固】 化简下列多项式：()()()() 23200611111x x x x x x x x x ++++++++++
【例 3】 分解因式： ⑴()()2121510n n a a b ab b a +---(n 为正整数) ⑵212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数) 【巩固】 分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数. 【例 4】 (2005年长沙市中考题) 先化简再求值，()()()2y x y x y x y x +++--，其中2x =-，12y =． 【巩固】 求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-，其中23x =-. 【例 5】 已知：2b c a +-=-，求2222 1 ()()(222)33333a a b c b c a b c b c a --+-+++-的值. 【巩固】 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----.
一、例题详解： 考点一 提公因式法 把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下： ()ma mb mc m a b c ++=++ 注： 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂. 例1、因式分解 ⑴y x y x y x 3234268-+-； ⑵23()2()x x y y x --- 练习 分解因式 （1）y x y x y x 3 234268-+-； （2）m m m 126323+--； （3）323)(24)(18)(6x y x y y x ---+-- (4) (x -y )n -(x -y )n -2 (5)(2x +1)y 2+(2x +1)2y . 考点二 公式法
把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. ⅰ）平方差公式 22()()a b a b a b -=+- 注意：①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式； ③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么. ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=- 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式； ③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）； ④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整 理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量. 补充：常见的两个二项式幂的变号规律： ①22()()n n a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） 例1、因式分解 ⑴22364a b -； ⑵22122 x y - （1）164+-a ； （2）a a 43- （3）221694b a -； （4）22)(4)(n m n m --+ (5)2633x x - (6)22)2(4)2(25x y y x --- 例2、因式分解 ⑴2244x y xy --+； ⑵543351881a b a b a b ++ 练习（1）1224+-x x (2)222221y xy x +- （3）2 1222++x x
沧港中心学校导学案课题多项式的因式分解 学生姓名评卷情况 主备人杨玲审核人 科目七年级数学备课时间20XX年3月27日 方程、简化计算等方面都常用因式分解。3、理解因式分解是多项式乘法的逆变形。 学习重点: 因式分解的概念。 学习难点: 理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 一、复习回顾: 问题一整式乘法有几种形式? 问题二乘法公式有哪些? (1)单项式乘以单项式(1)平方差公式:： (2)单项式乘以多项式：a(m+n)= (2)完全平方公式： (3)多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)= 二、自主学习: 1、计算： （1）23= ?（2）（m+4）（m－4）=__________； （3）（y－3）2=__________；（4）3x（x－1）=__________； （5）m（a+b+c）=__________；（6）a（a+1）（a－1）=__________。 2、若a=101,b=99,则22 a b -=___________；若a=99,b=-1,则22 2 a a b b -+=_______； 若x=-3,则2 2060 x x += 小结：一般地，把一个含字母的表示成若干个多项式的的形式，称把这个多项式因式分解。 思考：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形有什么不同? 因式分解与整式的乘法有什么区别和联系？ 三、合作探究:
四、课堂检测 1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1) 2x-3x+1=x(x-3)+1 ；(2) (m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)； (3) 2m(m-n)=22m-2mn；(4) 42x-4x+1= ()2 21 x-； (5) 32a+6a=3a（a+2）；（6） ()() 243223 x x x x x -+=-++ (7) 2 2 2 11 2 k k k k ?? ++=+ ? ??；(8) 3 18a bc=32a b·6ac。 3、下列说法不正确的是( ) A. a b -是22 a b -的一个因式 B. xy是2 23 x y xy -的一个因式C.22 2 x xy y -+的因式是x y +和x y - D. 22 2 a a b b ++的一个因式是a b + 4、计算：(1) 2 87+87×13 (2) 22 10199 - 5、若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n= 家长签字：
第四章因式分解 第一节因式分解 (1)计算下列各式： ①(m+4)(m-4)=__________;②(y-3)2=__________; ③3x(x-1)=__________;④m(a+b+c)=__________; ⑤a(a+1)(a-1)=__________. (2)根据上面的算式填空： ①3x2-3x=( )( );②m2-16=( )( ); ③ma+mb+mc=( )( );④y2-6y+9=( )2 ⑤a3-a=( )( ) 在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法;那么在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解。因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。 一、因式分解的定义：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式。也可以叫做分解因式。 定义解析：（1）等式左边必须是 （2）分解因式的结果必须是以的形式表示； （3）分解因式必须分解到每个因式都有不能分解 为止。 二、合作探究 探究一：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不
是分解因式？为什么？ （1）22 111x x x x x x ????- =+- ???? ??? （2）()22 2424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=- 解: （7）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是 A 、29)3)(3(x x x -=+- B 、))((2233n mn m n m n m ++-=- C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y D 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 探究二：连一连： 9x 2 －4y 2 a （a ＋1）2 4a 2－8ab ＋4 b 2 －3a （a ＋2） －3a 2 －6a 4（a －b ）2 a 3 ＋2a 2＋a （3x ＋2y ）（3x －2y ） 三、提升训练 1． 下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）. A ．a （a －b ）＝a 2 －ab ； B ．a 2 －2a ＋1＝a （a －2）＋1 C ．x 2 －x ＝x （x －1）； D ．x 2 －y y ?1 ＝（x ＋y 1）（x －y 1） 2.连一连： a 2－1 (a +1)(a －1) a 2+6a +9 (3a +1)(3a －1) a 2－4a +4 a (a － b )
因式分解教学案(浙教版) 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址www.5y kj.co m 课题 6、1因式分解 授课时间 学习目标 、 了解因式分解的概念. 2、了解因式分解与整式乘法的关系. 学习重难点 重点：因式分解的概念. 难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能够意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题，这是本节课的难点. 自学过程设计 教学过程设计 看一看 ．把一个多项式化成几个______的______的形式，叫做因式分解． 2．（x－2）（x+3）=x2+x－6是表示______与______相乘，
结果是_______，?属于______运算． 做一做： ．判断下列变形是否为因式分解（填“是”或“不是”）（1）3（x－1）=3x－3（ ）； （2）x2－y2=（x－y）（x+y）（ ）； （3）x2－y2－1=（x－y）（x+y）－1（ ）； （4）（x+y）2=x2+2xy+y2（ ）． 2．分解因式： （1）∵（x－1）（x+2）=x2+x－2 ∴x2+x－2=________； （2）∵（m+5n）（ ）=m2－25n2 ∴m2－25n2=________； （3）∵（ ）2=a2－6a+9 ∴a2－6a+9=（ ）2． 3．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（
） A．（x+3）（x－3）=x2－9 B．x2－2xy+y2=（x－y）2 c．a2－3=（a+2）（a－2）+1 D．2a（b－1）=2ab－2a 4．下列各式从左到右变形错误的是（ ） A．（a－b）2=（b－a）2 B．－a+b=－（a+b） c．（a－b）3=－（b－a）3 D．－x－y=－（x+y） 5．如果2x2+ax－2可因式分解成（2x+1）（x－2），则a 的值是（ ） A．1 B．－1 c．3 D．－3 6．用简便方法计算： （1）39×20.06+51×20.06+10×20.06 （2）XX2－XX×XX 想一想
因式分解 【学习目标】 因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础，是解决许多数学问题的重要“工具”，也是各级考试的一个热点，现将关于这部分知识的常见考点介绍如下： 1．因式分解的意义； 2．直接提公因式分解； 3．直接利用公式因式分解； 4．提公因式后再用公式； 5．利用因式分解进行数字计算； 6．利用因式分解求值； 7．利用因式分解求解整除问题； 8．利用因式分解求解矩形、正方形问题； 9．利用因式分解求解实际问题； 【学习过程】 一、因式分解的意义 此类题大多以选择题的形式出现，求解时应严格的按照因式分解的定义和要求去分析、求解。 例1．下列各式的变形是因式分解的是（） A、3x（2x+5）=6x2+15x B、2x2－x+1=x（2x－1）+1 C、x2－xy=x（x－y） D、a2+b2=（a－b）（a+b） 析解：根据因式分解的定义和要求，可知选项A、B应先排除，而选项D的右侧虽是因式积的形式。但由平方差公式可知：其左侧应是a2－b2的形式，才能得（a－b）（a+b）。故该式是错误的。所以本题应选C。 练习： 下列各式的变形，哪一个是因式分解 A、x2－4x+7=x（x－4）+7 B、m（a+b）=m a+m b C、（n－m）（b－a）=（b－a）（m－n）
D 、a （a +b +c ）+b （b +c+a ）+c （c+a +b ）=（a +b +c ）2 二、直接提公因式分解 此类题大多以选择或填空题的形式出现，其中找出公因式是关键。求解时应按照提公因式法则将公因式提出即可。 例2．因式分解：=__________。 析解：本题的公因式为x ，所以本题的结果为x （x －1）。 练习：分解因式：ma ＋mb 三、直接利用公式因式分解 求解此类题掌握所学的几个公式的特点是关键，求解时应根据题目的特点选择合适的公式求解。 例3．分解因式:a 2－1=_______。 析解：本题符合平方差公式的特点，故可直接利用平方差公式求解。其结果为： （a －1）（a ＋1） 练习：分解因式：四、提公因式后再用公式 此类题大多以填空或选择题的形式出现，求解时应首先将公因式提出，再选择有关公式求解。 例4．把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（ ） A (a+ab)(a －ab) B a (a 2－b 2) C a(a+b)(a －b) D a(a －b)2 析解：本题首先将公因式a 提出，提出公因式后发现余下的部分符合平方差公式，故再利用平方差公式求解，其结果应选C. 练习∶分解因式：五、利用因式分解进行数字计算 此类题求解时，应首先观察题目的特点，利用有关法则或公式将所求式巧妙的组合，再运用因式分解求解。 例5．计算：2－22－23－……－218－219+220, 析解：我们注意到：－219+220=219（2－1）=219，而219－218=218。按此规律采用“逆序”的方法，将218再与前面的数字作减法运算，并以此规律采用同样的方法继续运算下去，直至求出最后的结果为止。其结果为：6。 2x x -22 4x y -244x y xy y -+=
八年级下册第二章《因式分解》复习学案 一、 因式分解的意义：一个多项式 →几个整式的积 二、 因式分解的方法与步骤： 一提 ① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。 二套 ② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。 对于三项式，考虑 应用完全平方公式或十字相乘法分解。 三分组： ③再考虑分组分解法 四检查：特别看看多项式因式是否分解彻底 二、因式分解的方法： （1）、提公因式法：练习一： ①322322693x y x y x y -+ ②()()p x y q y x --- （2）运用公式法：平方差公式或完全平方公式 练习二：把下列各式分解因式 1). 2327m - 2).41a - 3). 29124x x -+ 4). 244x x -+- 5). 32244y xy x y ++ 练习三：把下列各式分解因式 1). 416x - 2). 2()14()49x y x y ---+ 3). 223 2x y xy y -+ 4). 222(4)16a a +- 5). 2214 x xy y -+ 6）.229662a b b ab a +++++ 三、检测 （一）、把下列各式分解因式： (1) 22481x y - (2) 221122x xy y ++ ⑶ 33222x y x y xy --- (4) 4481a b - ⑸2(2)42)1x y x y +--+ （6)222669x xy x y y --+++ ⑺ 2212x y xy +- (8) (1)(5)4x x +++
（二）、应用： 1、 若 23(2)9x m x -++是关于x 一个完全平方式, 则m =___________ 2、计算10150(2)(4)-+- 3、已知三角形三边a 、b 、c 满足关系式2()()0a b a b c -+-=,试判断此三角形的形状。 （三）、能力提高：把下列各式分解因式 1).323228126a b ab c a b -+- 2). 322a a a --+ 3). 22(2)(2)x y x y +-+ 4). 2718x x -- 5). 22222()4m n m n +- 6).222(6)18(6)81x x x x -+-+ 7) 224424a b a b ab ++--+ 8)2222()2()()m n m n m n +--+-
12.5 因式分解 第1课时 学习目标 1. 了解因式分解的概念，掌握因式分解与整式乘法的区别与联系。 2. 能正确找出多项式的公因式，能运用提公因式法分解因式。 温故知新 知识点一、因式分解的定义 1.运用前两节所学的知识填空 (1) m(a+b+c)=__________； (2) (x+1)(x-1)=_________； (3) (a+b)2 =___________。 2.把下列多项式写成乘积的形式 (1)ma+mb+mc=_________； (2) 12-x =________； (3)222b ab a ++=____________。 . 因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,这就是____________。 1、判断下列各题从左到右是否为因式分解，如果不是请说明理由 1)am+bm+c=m(a+b)+c 2)24x 2y=3x ·8xy 3)x2-1=(x+1)(x-1)。 4）(2x+1)2=4x2+4x+1 5）x2+x=x2(1+ x 1 ) 知识点二、提公因式法分解因式. 例题例1 找 3x 2– 6 xy 的公因式. 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做______________. 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 找一找: 下列各多项式的公因式是什么？ (1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2- a 3 (4)4(m+n ）2+2(m+n) (5)9m 2n-6mn (6)-6x 2y-8xy 2 例2 把下列各式分解因式： 注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 数学病院 1、小明的解法有误吗？ 2、小华的解法有误吗？ 把12x 2y+18xy 2分解因式. 把 - x 2+xy-xz 分解因式. 解：原式 =3xy(4x + 6y) 解：原式= -x(x+y-z). (1) 8a 3b 2 + 12ab 3c ； (2) 2a(b+c) - 3(b+c)
因式分解法 学习目标： 1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。 2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。 重点、难点 1、重点：应用分解因式法解一元二次方程 2、难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程. 【课前预习】阅读教材P38 — 40 , 完成课前预习 1：知识准备 将下列各题因式分解 am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2= 因式分解的方法： 解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 2：探究 仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？ 3、归纳： （1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的形式，
再使_________________________，从而实现_____ ____________， 这种解法叫做__________________。 （2）如果0a b ?=，那么0a =或0b =，这是因式分解法的根据。 如：如果(1)(1)0x x +-=，那么10x +=或_______，即1x =-或________。 练习1、说出下列方程的根： （1）(8)0x x -= （2）(31)(25)0x x +-= 练习2、用因式分解法解下列方程： (1) x 2-4x=0 (2) 4x 2-49=0 (3) 5x 2-20x+20=0 【课堂活动】 活动1：预习反馈 活动2：典型例题 例1、 用因式分解法解下列方程 (1) 2 540x x -= (2) (2)20x x x -+-= （3）3(21)42x x x +=+ (4) 2(5)315x x +=+ 例2、 用因式分解法解下列方程 （1）4x 2-144=0 （2）(2x-1)2=(3-x)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
因式分解——提公因式法 学习目标 1．了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系. 2．会用提公因式法进行因式分解. 3．树立学生全面认识问题、分析问题的思想，提高学生的观察能力、逆向思维能力. 学习重点：掌握提取公因式，公式法进行因式分解. 学习难点：怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底. 学习过程 一、自主学习(预习教材114-115例题结束，独立完成下列问题，12min) 1.探索：你会做下面的填空吗？ （1）2x ＋6＝（ ）（ + ）； （2）3x 2＋x 3＝（ ）（ + ）； （3）ma ＋mb ＋mc ＝ . 2.归纳：是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解（也叫 分解因式）. 因式分解和整式的乘法是方向相反的变形。 3.反思：①分解因式的对象是______________,结果是____________的形式. ②分解后每个因式的次数要 （填“高”或“低”）于原来多项式的次数. 4、填空： ①3x 2+x 3有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式. ②ma+mb+mc 有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式. ◆ 多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式. ★公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂. ▲5．提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可 以 ，从而将多项式写成 与另一个因式的乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如：ma ＋mb ＋mc ＝m （a ＋b ＋c ） 二、基础自清（独立完成下列习题，8min ） 1.辨一辨:下列各式从左到右的变形，是因式分解吗?▼ （1）4a(a ＋2b)＝4a 2＋8ab ； （2）6ax －3ax 2＝3ax(2－x)； （3）a 2－4＝(a ＋2)(a －2)； （4）x 2－3x ＋2＝x(x －3)＋2． （5）36ab a b a 1232?= （6）?? ? ??+=+x a b x a bx 2. 试一试： 用提公因式法分解因式： （1）3x+6=3( ) （2）7x 2-21x=7x( ) （3）24x 3+12x 2 -28x=4x( ) （4）-8a 3b 2+12ab 3c-ab=-ab( ) 3.把下列多项式分解因式： 例如 -5a 2+25a 分析（1）：由公因式的确定方法，我们可以这样确定公因式： ①定系数：系数-5和25的最大公约数为5，故公因式的系数为 （ ）
因式分解 一、复习回顾: 问题一整式乘法有几种形式? 问题二乘法公式有哪些? (1)单项式乘以单项式(1)平方差公式:： (2)单项式乘以多项式：a(m+n)= (2)完全平方公式： (3)多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)= 二、自主学习: 1、计算： （1）23= ?（2）（m+4）（m－4）=__________； （3）（y－3）2=__________；（4）3x（x－1）=__________； （5）m（a+b+c）=__________；（6）a（a+1）（a－1）=__________。 2、若a=101,b=99,则22 a b -=___________；若a=99,b=-1,则22 2 a a b b -+=_______； 若x=-3,则2 2060 x x += 小结：一般地，把一个含字母的表示成若干个多项式的的形式，称把这个多项式因式分解。 思考：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形有什么不同? 因式分解与整式的乘法有什么区别和联系？ 三、合作探究: 练习、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1) 2x-3x+1=x(x-3)+1 ；(2) (m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)； (3) 2m(m-n)=22m-2mn；(4) 42x-4x+1= ()2 21 x-； (5) 32a+6a=3a（a+2）；（6） ()() 243223 x x x x x -+=-++ (7) 2 2 2 11 2 k k k k ?? ++=+ ? ??；(8) 3 18a bc=32a b·6ac。
《提取公因式法》导学案 我的学习目标 1.了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系。 2.了解公因式的概念和掌握提取公因式的方法。 3.会使用提公因式法分解因式 本节知识重点 1.区分整式乘法和分解因式 2.能提取公因式分解因式 本节特别要注意的知识点 确定公因式以及提出公因式后的另一个因式 探究新知1: 1.完成填空： (1)3x(x-1)=。 3x2-3x=______。 (2)m(a+b+c) =。 ma+mb+mc=_______。 (3)(m+4)(m-4)=。 m2-16=_________。 (4)(x-3)2=。x2-6x+9=________ 。 (5)a(a+1)(a-1)=。 a3-a=___________。 2.根据以上填空小组讨论： （1）由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? （2）由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同? 3.分解因式的定义：把一个化成几个的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式。 (a+b)2。 分解因式与整式乘法有什么关系? 如：a2+2ab+b2向右分解因式 向左整式乘法 由此可知二者的运算关系是。 4.判断下列各式是否是分解因式 (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) （） (2).2x(x-3y)=2x2-6xy( ) (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 （） (4).x2+4x+5=(x+2)2+1( ) (5).(a-3)(a+3)=a2-9 （） (6).2πR+ 2πr=2π(R+r)( )
探究新知2： 1.观察下列各式 (1)5×3+5×?6+5×2(2)2πR+2πr (3)ma+mb (4)cx?cy+cz (5)x a2+b2+y a2+b2 通过观察发现以上各式都含有相同的或相同的。我们把一个多项式中每一项都含有的相同因式叫做。公因式可以 是数，，等。 2.提取公因式法： 把一个多项式的各项含有的提取出来，写成公因式与另一个因式的，这种分解因式的方法叫做。 3.小组讨论提取公因式时，遇到数字因数该如何提取？遇到字母因式该如何提取？ 4.试试看，提取下列各式公因式 （1）ax+ay 公因式为：（2）-ax—ay 公因式为： （3）3mx-6my 公因式为：（4）12xyz-9x2y2公因式为： 5.大家试试来将下列式子因式分解 323 试分析：多项式中，各项系数的最大公因数是，相同因式a a b ab c 812 的最低次幂是，相同因式b的最低次幂是，第一项不含因式c，因此这个多项式的公因式是，最后分解因式后得到的式子是。 6.继续挑战将下列各式分解因式 （1）ax+ay=（2）-ax—ay= （3）3mx-6my=（4）12xyz-9x2y2= (4) cx?cy+cz =(5) x a2+b2+y a2+b2= （6）2a(b+c)－3(b+c)=（6）2a y?z?3b(z?y)= 7.大家一起讨论：提取公因式法的一般步骤是怎么样的？写出自己的想法来（1） （2） （3） （4） （5）
一、知识梳理 1、因式分解的概念 把一个多项式化为若干个多项式的乘积的形式，叫做把多项式因式分解. 注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解. 2、提取公因式法 把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下： ()ma mb mc m a b c ++=++ 注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂. 3、运用公式法 把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法. ⅰ）平方差公式 22()()a b a b a b -=+- 注意:①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式； ③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么. ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=- 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式； ③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）； ④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤， 把二次三项式整理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量. 补充：常见的两个二项式幂的变号规律：
1.1 多项式的因式分解 教学目标： 1、了解因式分解的意义。 2、使学生理解因式分解是多项式乘法的逆变形。 一、复习回顾 问题一整式乘法有几种形式?(1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式：a(m+n)= (3)多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)= 问题二乘法公式有哪些?(1)平方差公式:：(2)完全平方公式： 二、预习检测 1、一般地，把一个含字母的表示成若干个多项式的的形式，称把这个多项式因式分解。 2、由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形有什么不同? 三、探究案 四、自主检测
3、解方程：(1)3x2-x=0 (2) x2-6x+9=0 拓展提升： 1.若a=101,b=99,求a2-b2的值. 2.若x=-3,求20x2-60x的值. 3.20102+2010能被2010整除吗?能被2011整除吗? 五、课堂小结 请说说这节课你有什么收获。
1.2 提公因式（1） 【学习目标】：通过本节课学习,能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式。 【学习重点】：掌握用提公因式法把多项式分解因式。 【学习难点】：如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式． 【学习过程】： 一、自学检测 1、把下列多项式写成整式的乘积的形式 （1）x2+x=_________ （2）am+bm+cm=__________ 2、填空：如果一个多项式的各项含有_________，那么就可以把这个_________提出来，从而将多项式化成两个或几个_________形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 二、探究案： <一>、基础知识探究： ①多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？ ②请将下列多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由. mn+mb= 4x2－x= xy2－yz－y= 用提公因式法分解因式的技巧： 各项有“公”先提“公”，首项有负常提负。某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 <二>、应用提高：例1：下列从左到右的变形是否是因式分解？ （1）2x2+4=2（x2+2）（2）2t2－3t+1= （2t3－3t2+t）； （3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2；（4）m（x+y）=mx+my；（5）x2－2xy+y2=（x－y）2． 2、请同学们指出下列各多项式中各项的公因式： ax+ay+a 3mx-6mx2 4a2+10ah 4x2－8x6 x2y + xy2 12xyz-9x2y2 16a3b2－4a3b2－8ab4 通过以上学习活动，你能总结一下找最大公因式的方法吗？
因式分解教学设计 一、背景介绍 因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。 二、教学设计 【教学内容分析】 因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个重要概念。教材在引入中是结合剪纸拼图来阐述这一概念的，也可以与小学数学里因数分解的概念类比予以说明。在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的三种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的。 【教学目标】 1、认知目标：（1）理解因式分解的概念和意义 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 2、能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。 3、情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。 【教学重点、难点】 重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 【教学准备】 实物投影仪、多媒体辅助教学。 【教学过程】 ㈠、情境导入 看谁算得快：（抢答） (1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________； (2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________； (3)若x=-3,则20x2+60x=____________。 【初一年级学生活波好动，好表现，争强好胜。情境导入借助抢答的方式进行，引进竞争机制，可以使学生在参与的过程中提高兴趣，并增强竞争意识和探究欲望。】 ㈡、探究新知