四、心血管系统
心肌灌注显像显像剂：99m Tc-MIBI
心肌葡萄糖代谢显像显像剂：18F-FDG
极坐标靶心图：影像的中心为心尖，周边为基底，上部为前壁，下部为下壁和后壁，左侧为前、后间壁，右侧为前、后侧壁。
心肌灌注显像和心肌葡萄糖代谢显像临床应用：
1、冠心病心肌缺血的评价
⑴冠心病心肌缺血的早期诊断。
①心肌缺血的典型表现是负荷试验心肌灌注影像出现显像分布稀疏或缺损，而静息或再分布影像呈正常或明显充填，提示为可逆性心肌缺血。
②可以准确评价心肌缺血的部位、范围、程度和冠脉的储备功能。
③可检出无症状的心肌缺血。
⑵冠心病危险度分级。
Ⅰ高危的影像有以下特征：
①在两支以上冠状动脉供血区出现多发性可逆性缺损或出现较大范围的不可逆性灌注。
②定量或半定量分析有较大范围的可逆性灌注缺损。
③运动负荷后心肌显像剂肺摄取增加。
④运动后左心室立即呈暂时性扩大或右心室暂时性显影。
⑤左主干冠状动脉分布区的可逆性灌注缺损。
⑥休息时LVEF降低。
Ⅱ若低危表现或SPECT负荷心肌灌注显像正常，提示心脏事件年发生率低于1%，预后良好。
⑶负荷心肌灌注显像对冠心病的预测价值。
在冠心病概率较低的人群中阳性结果预测价值为36%，而在冠心病概率较高的人群中阳性结果预测价值为99%。
⑷缺血性心脏病治疗后的疗效评估。
冠心病患者在治疗前表现为病变部位可逆性缺损，治疗后择期进行心肌灌注显像，如出现可逆性损伤，则高度提示再狭窄或治疗无效。如出现正常，则提示血管通畅，治疗有效。
2、心肌梗死的评价
⑴急性心梗的诊断。
①负荷/静息心肌灌注图像表现为病变部位不可逆损伤。
②可较准确地判断心肌梗死的部位、大小和并发症的缺血面积。
③急性心梗是负荷试验的禁忌症，只能做静息显像。心梗6h后即可表现为病变部位的灌注异常。
⑵急性胸痛的评估。
①在急性心梗的患者，一般静息心肌显像时都会发现有灌注缺损。
②临床上急诊心肌显像为正常的患者中，几乎没有急性心梗或不稳定性心绞痛发生，而心肌显像为异常的患者，80%以上的病人后来证实为急性心梗可不稳定性心绞痛。
⑶指导溶栓治疗。
治疗前的病变部位存在放射性缺损区。治疗后显像，如果显示缺损区缩小或消失，治疗有效；如果显示缺损区无缩小，治疗无效。
⑷急性心梗预后的早期估计。
①所谓高危患者的指征主要包括梗死周围有明显的残留缺血灶（危险心肌），急性梗死
的远处出现缺血（多支血管病变）和心肌显像剂摄取增高等。
②心肌显像为正常以及表现为单支血管病变的小而固定的缺损都提示为低危患者。
③静息时或溶栓后心肌灌注缺损范围较大的患者比灌注缺损较小者的预后明显差。
3、心肌灌注显像用于术前心脏事件的预测
①如负荷心肌显像为正常或仅为固定缺损则提示为心脏事件的低危患者。
②对于有明显的负荷诱发的可逆性缺血患者，应做冠状动脉造影进一步认识，如果问题不大可以考虑继续手术，以降低手术和麻醉风险。
4、心肌活力评价
⑴负荷/静息心肌灌注显像。
①负荷/静息心肌灌注显像表现为病变部位呈可逆性缺损，则该部位心肌存活。
②若表现为病变部位不可逆性损伤，则支持心肌梗死诊断，进一步行MIBI硝酸甘油负荷试验或41TICL延迟显像，如表现为原固定缺损区的放射性填充，则该部位心肌存活；若仍为放射性缺损，则该部位心肌坏死。
⑵心肌灌注显像与心肌葡萄糖代谢显像联合。
①当心肌灌注缺损区18F-FDG摄取正常或增高时，提示心肌细胞存活；而血液灌注缺损区FDG代谢显像无显像剂摄取，则提示心肌坏死。
②血液与代谢显像心肌的显像分布均匀提示为正常。血流-代谢不匹配模型在心肌功能障碍的患者，是心肌存活的有力证据。
③局部心肌血液与葡萄糖代谢呈一致性减低，呈匹配图像，为心肌疤痕和不可逆损伤的标志。
⑶心肌葡萄糖代谢显像与心肌脂肪酸代谢显像联合。
①脂肪酸代谢显像缺损区，葡萄糖代谢显像示18F-FDG摄取正常，表明局部心肌存活。
②脂肪酸代谢显像与葡萄糖代谢显像呈一致性缺损，表明局部心肌不存活。
5、其他心肌疾病
⑴扩张性心肌病多表现为心肌显像剂分布呈不规则稀疏，或呈“花斑”样改变，心室腔明显扩大，形态失常。
⑵肥厚型心肌病表现为心肌壁呈不同程度的肥厚，非对称性肥厚者尤以间壁增厚更明显，间壁:下壁之比大于1.3，心室腔相对缩小。
⑶心肌炎辅助诊断，多表现为左心室心肌呈不规则的显像剂分布稀疏，严重者出现分布缺损。
五、骨骼系统
骨显像的原理：骨组织类似于离子交换柱，能与体液中可交换的离子或化合物发生离子交换或化学吸附作用。骨显像剂经注射随血液到达全身骨骼，通过离子交换或化学吸附作用而分布于骨骼组织。
骨显像的显像剂：99m Tc-HMDP
正常静态骨显像表现：
①在正常人骨显像图上，全身各部位骨骼结构显示清晰，放射性分布左右对称。
②通常密质骨或长骨骨干放射性较低，而松质骨或扁骨如颅骨、肋骨、椎骨、盆骨及长骨的骨骺端等显影较浓。
③显像质量好的图像应能分辨肋骨和椎骨，软组织不显影，但因显像剂从肾脏排泄，双肾和膀胱显影。
④儿童及青少年骨骺普遍较浓，尤以骨骺部位显示为放射性浓聚灶。
⑤在正常成人的骨显像图像上，还常可见一些正常的放射性摄取增高的表现。
超级骨显像：
超级骨显像指全身骨骼对放射性显像剂呈普遍、均匀的摄取增加，表现为全身骨骼显影异常增强和清晰，双肾常不显影，软组织放射性很低，其产生机制可能弥漫的反应性骨形成有关。超级骨显像见于原发性或继发性甲状旁腺机能亢进、恶性肿瘤骨骼广泛转移。
骨显像的临床应用：
1、转移性骨肿瘤
①骨显像可较X线早3~6个月发现骨转移灶，可进行全身骨检查，因此临床上全身骨显像被作为恶性肿瘤患者诊断骨转移灶时首选的筛选检查。
②骨转移性肿瘤病灶在骨显像上的特征性表现是多发性放射性浓聚灶，其分布以中轴骨及四肢骨近端受累较多，少数病例表现为单发病灶。断层图像椎弓根浓聚可作为骨转移的诊断。
③个别转移灶也可能以溶骨病变为主，呈放射性缺损区或“冷”“热”混合型改变。
④弥漫性骨转移可呈超级骨显像。
2、原发性骨肿瘤
①比X线早3~6个月，可以及早检出病变，且可进行全身骨检查。
②可准确显示原发肿瘤浸润的实际范围，骨显像显示的肿瘤浸润范围往往较X线检查的范围大。
③有助于检出远离部位的转移灶。
④有助于术后复发与转移的复查。
⑤恶性肿瘤可表现为病变部位的放射性高度浓聚，骨轮廓常变形，三相骨显像表现为病变部位的放射性浓聚。
⑥如骨样骨瘤：多见于少年儿童，好发于股、胫骨，常为单发。典型表现为病变部位放射性异常浓聚，可有“双密度”表现。
3、骨髓炎
①骨显像较X线早1~2周发现病变部位，最常见的征象是在病变部位出现局限性放射性异常浓聚。
②用三相骨显像可鉴别骨髓炎与软组织蜂窝强炎，因骨髓炎病变部位在骨骼，故三相骨显像时血流相、血池相和延迟相均可见病灶有放射性浓聚，而蜂窝织炎病变在软组织，血流相和血池相病灶呈放射性浓聚，而延迟相则病变部位放射性浓聚不明显。
4、骨创伤
⑴创作性骨折。
①对于某些部位如胸骨、骶骨、肩胛骨、手、足等处的隐匿性骨折，表现为异常放射性浓聚。
②监测和评价骨折的修复和愈合过程。正常的骨折愈合过程在骨显像上表现为由早期放射性浓聚随着骨折愈合而放射性浓聚逐渐养活，延迟愈合可表现为骨折处持续放射性异常浓聚。
⑵应力性骨折。
①可比X线早数周发现病变，常发生于胫、腓骨干。
②其特征性变化是在三相骨显像的血池相显示局部血流增加，延迟相骨折部位出现卵圆形或梭形的放射性浓聚影。
⑶骨移植。
①一般骨移植后2周至3个月，在三相骨显像上移植骨处放射性不低于周围正常骨组织，与骨床连接处放射性浓聚，提示血供良好，移植骨存活。
②相反，如果呈放射性缺损区则移植骨无成骨活性。
5、缺血性骨坏死
⑴股骨头坏死。
①比X线早数月发现病变，可预测股骨头存活情况。
②坏死早期表现为坏死区放射性缺损，周边放射性浓聚，呈典型的“炸面圈”样改变。
⑵儿童股骨头骨软骨病。
①比X线早数月发现病变，单侧最为常见。
②特征表现为股骨头骨骺部位放射性摄取减低或呈放射性缺损。
6、代谢性骨病
⑴甲状旁腺功能亢进症。
①骨显像上呈广泛弥漫性显像剂摄取增加，以颅骨、长骨干骺端、肋软骨连接处和胸骨等更明显。形成肋骨连接处的“串珠征”和胸骨处的“领带症”。
②肾脏不显影或显影差。
⑵Pager’s病（骨炎）。
骨显像特点是受损骨呈高度放射性浓聚，浓聚区均匀且边缘整齐，常波及整个长骨，骨外形变粗弯曲，亦可表现为整个颅骨和一侧骨盆受累。
7、关节性疾病
⑴类风湿关节炎。
显像特点为双侧腕关节、掌指及指间关节的放射性浓聚。
⑵HPO（肥大性肺性骨关节病）。
骨显像见四肢骨干和干骺端的骨皮质呈对称性、弥漫性放射性增高，四肢长骨骨干皮质显影增强所形成所谓“轨道征”或“双条征”较具特征性。关节周围由于继发性骨膜炎亦呈放射性增高，上述改变下肢比上肢明显。
六、呼吸系统
肺灌注显像原理：经静脉注射大于肺毛细血管直径的放射性颗粒后，这些颗粒与肺动脉血混合均匀并随血流随机地一过性嵌顿在肺毛细血管或肺小动脉内，其在肺内的分布与局部肺血流量成正比，通过体外测定肺内放射性分布并进行肺显像即可反映局部肺血流灌注情况，肺动脉狭窄或时，其供血区放射性颗粒减少或缺如。
肺灌注显像的显像剂：99m Tc标记的MAA
肺通气显像原理：经呼吸道吸入一定量的放射性微粒之后，由于微粒直径的不同，将使之分别沉降在喉头、气管、支气管、细支气管以及肺泡壁上，使气道及肺显影。当呼吸道某部位被阻塞，雾化颗粒不能通过阻塞部位，则阻塞部位以下呼吸道至肺泡出现放射性缺损区。以此探测放射性气溶胶在呼吸道内的沉降情况，来判断气道通畅情况及病变状态，以达到诊断目的。
肺通气显像的显像剂：99m Tc-DTPA
肺灌注、通气显像诊断肺血栓栓塞症（PTE）：
灌注显像显示节段性缺乏而通气显像正常的，表示有肺栓塞。
⑴高度可能性。
①大于或等于2个肺段的灌注稀疏、缺损区，同一部位的肺通气显像与X线胸片未见异常，或灌注缺损大于异常的肺通气或X线胸片。
②一个较大的和2个以上中等的肺灌注稀疏、缺损区，同一部位的肺通气显像与X线胸片检查正常。
③4个以上中等灌注稀疏、缺损区，同一部位的肺通气显像和X线胸片检查正常。
⑵中度可能性。
①1个中等的和2个以下较大的肺灌注稀疏、缺损区，同一部位的肺通气显像和X线胸片检查正常。
②出现在肺下野的灌注、通气缺损区，同一部位的X线胸片检查正常。
③一个中等大小的灌注、通气缺损区，现一部位的X线胸片检查正常。
④灌注、通气显像均为放射性分布减低、缺损区，伴少量胸水。
⑶正常。
肺形态与X线胸片检查一致，无灌注稀疏、缺损。
七、胃肠道显像
异位胃粘膜显像的原理：正常胃粘膜具有快速摄取99m TcO4-的特性，异位的胃粘膜同样具有这种特性。
异位胃粘膜显像检查Meckel憩室：
在腹部脐周，通常在右下腹出现位置相对固定的灶状浓聚影，与胃同步显影，随着时间延长，影像渐浓。侧位显像时浓聚灶靠近腹侧是诊断要点。
八、肝胆显像
肝胆显像的显像剂：99m Tc-EHIDA
肝胆显像的正常影像：
①血流灌注相：自静脉注射后即刻至30~45s左右，心、肺、肾、大血管、肝脏依次显影。
②肝实质相：注射后1~3min肝脏已清晰显影，其影像逐渐增浓，15~20min达到高峰，以后肝影逐渐变淡。
③胆管排泄相：注射后5min胆管内即可出现放射性。逐次显现左、右胆管、总肝管和胆囊管、胆囊影像。胆囊一般在45min内已显影。胆系影像随肝影变淡而更清晰，有时可见“胆道树”结构。
④肠道排泄相：显像剂被排至肠道，一般不迟于45~60min。
肝胆显像的临床应用：
1、急性胆囊炎的诊断
在急腹症情况下，具有正常的肝脏影像、肝胆管显影、肠道排泄相正常，而胆囊持续不显影，可证实胆囊炎的临床诊断。相反，胆囊显影则可排除急性胆囊炎。为避免假阳性的发生，肝胆显像胆囊1h不显影时有三种进一步鉴别的方法可供选择：①给予Sincalide；②给予吗啡；③延迟显像至注射后2~4h。
2、诊断慢性胆囊炎
①慢性胆囊炎患者85%~90%的胆囊显影正常。胆囊在延迟1~4h显影是大部分慢性胆囊炎的明显特征。
②肠道先于胆囊出现放射性是慢性胆囊炎病人的一个非敏感的但却是非常特异性的征象。
③给以缩胆剂后排胆分数低于35%。
3、诊断胆管先天性囊状扩张症
其在肝胆动态显像图上表现为胆总管扩张部分的放射性滞留，构成椭圆形或梭形浓聚影，可在肝影、胆囊消退甚至进餐后仍残存。
4、诊断先天性胆管闭锁
一般至少要延迟显像观察至24h。肠道内出现放射性，即可诊断为新生儿肝炎。肠道内持续未见放射性，需给患儿口服鲁米那每天5mg/kg，持续7~10天，然后再次作肝胆动态显
像，如24h后肠道内仍无放射性，则诊断为先天性胆道闭锁。一旦出现放射性，则考虑为新生儿肝炎的诊断。
5、诊断胆总管梗阻
梗阻近端胆管，胆囊显影延缓并明显扩张、胆汁滞留，而梗阻远端的胆管以及肠道均无放射性。
6、诊断不完全性胆总管梗阻
核素肝胆动态显像可以通过显像剂从胆道至肠道转移延迟（大于60min）这一特征的表现来诊断或至少提示不完全性胆总管梗阻。
7、肝胆道手术后的评价
①无梗阻：肝脏浓聚显像剂迅速，肠道内在60min内出现，不管胆管是否扩张。
②不完全梗阻：肝肠通过时间延长，并有胆管扩张。
③完全梗阻：肝脏浓聚正常，胆管不显影，肠道内无放射性出现。
④胆汁漏：胆系外出现放射性浓聚区。
8、肝细胞癌的定性诊断
5min时的放射性稀疏、缺损区（或肝胶体显像、USG、MRI、CT诊断为占位性病变部位）在延迟显像中表现为放射性浓集，等于或超过周围肝组织，为显像剂阳性。
如何使用核医学方法诊断急性胆囊炎：
①用肝胆动态显像的方法进行诊断。
②静注99m Tc-EHIDA后进行动态观察。
③在急腹症情况下，具有正常的肝脏影像、肝胆管显影、肠道排泄相正常，而胆囊持续不显影，可证实胆囊炎的临床诊断。相反，胆囊显影则可排除急性胆囊炎。
④为避免假阳性的发生，肝胆显像胆囊1h不显影时有三种进一步鉴别的方法可供选择：①给予Sincalide；②给予吗啡；③延迟显像至注射后2~4h。
如何使用核医学方法鉴别诊断新生儿肝炎和先天性胆管闭锁：
①用肝胆动态显像的方法对二者进行鉴别诊断。
②静注99m Tc-EHIDA后进行动态观察。
③一般至少要延迟显像观察至24h。肠道内出现放射性，即可诊断为新生儿肝炎。肠道内持续未见放射性，需给患儿口服鲁米那每天5mg/kg，持续7~10天，然后再次作肝胆动态显像，如24h后肠道内仍无放射性，则诊断为先天性胆道闭锁。一旦出现放射性，则考虑为新生儿肝炎的诊断。
肝胶体显像原理：
肝胶体显像是以颗粒大小适当的放射性胶体为显像剂，经静脉注射后，被肝脏内具有吞噬功能的库普弗细胞所吞噬，且能在其间存留较长时间而不被迅速排出，通过核医学显像仪器获得肝脏或脾脏影像。
九、泌尿系统
异常肾图及其意义：
1、分侧自身异常
①持续上升型：出现在单侧者，多见于急性上尿路梗阻；双侧同时出现，多见于急性肾性肾功能衰竭和继发于下尿路梗阻所致的上尿路引流不畅。
②高水平延长型：多见于上尿路不全梗阻或梗阻性肾盂积水伴肾功能受损者。
③抛物线型：多见于脱水、肾缺血、肾功能受损和上尿路引流不畅伴轻、重度肾盂积水。
④低水平延长型：常见于肾功能严重受损，慢性上尿路严重梗阻，急性肾前性肾功能衰竭。当梗阻原因解除，肾图有可能很能快恢复正常。
⑤低水平递降型：见于肾脏无功能、肾功能极差、肾缺如或肾切除时。
⑥阶梯状递降型：见于输尿管反流和因疼痛、紧张、尿路感染、少尿或体位等所致尿路不稳定性功能性痉挛。
2、双侧对比异常
小肾图可见于肾动脉狭窄可先天性小肾，对诊断单侧肾血管性高血压有特殊价值。
肾动态显像的显像剂：99m Tc-DTPA
肾动态显像的临床应用：
1、肾血管病的诊断
①单侧血管主干病变时，表现为灌注相患侧肾影显示延缓，体积缩小，放射性分布减低，边缘欠清晰；功能相示肾影小，肾图曲线表现为患侧与健侧有明显差异，典型者呈小肾图。
②严重者肾脏不显影，肾图曲线呈无功能图形，提示该肾无灌注，或肾功能近似消失。
2、尿路梗阻的诊断
①非梗阻性尿路扩张：肾盂、肾盏或输尿管显影明显扩张，并消退缓慢。给以利尿剂后放射性明显排出。
②肾外上尿路机械型梗阻：肾盂、肾盏或输尿管显影明显扩张，并消退缓慢。给以利尿剂后放射性不排出。
③肾内梗阻示显影迟缓，肾影淡，排泄明显延迟，呈持续上升型肾图曲线。
3、分肾功能评价
①轻度的受损可仅表现为肾功能定量指标的异常。
②较严重的功能受损则显示血流灌注和显像剂摄取减低、分布稀疏及排泄延缓，甚至整个肾脏不显影。
4、肾移植术后监测
①移植成功且没有排异反应的肾，其血流灌注、显像剂摄取、排泄等表现与正常肾脏相似。
②急性肾小管坏死（A TN）绝大多数发生在移植初始24h内，肾动态显像表现为血流灌注仅轻度减少，而肾实质摄取显著低下，呈肾动脉灌注影浓于肾实质影的典型影像，膀胱内长时间无放射性。
③超急性排异多发生在术后几小时内，肾动态显像表现为血流灌注和肾实质均不显影。该时间段肾图呈低水平抛物线形应考虑超急性排异反应。
④急性排异反应多发生在术后5d~3m，肾动态显像示移植肾影增大，血流灌注明显减少，肾实质摄取放射性量少而且缓慢，清除延迟。
⑤慢性排异反应一般发生在术后几个月至数年，肾动态显像表现为肾血流灌注和肾实质摄取均减少。
5、肾内占位病变的鉴别诊断
①在肾动态显像功能相和灌注相均表现为病灶区放射性缺损或稀疏提示良性病变。
②在功能相显示放射性缺损，灌注相显示放射性聚集增强，提示恶性病变。
6、肾脏先天性疾病的诊断
①先天性在单侧肾脏缺如肾脏显像示患侧肾脏不显影，对侧肾脏常代偿性增大。
②马蹄肾前位影像可显示双肾下极相连，两侧肾脏大小可不一致。融合肾两个肾影重叠并融合。
③肾下垂者坐位时肾门中心部位下降超过3cm，卧位时可回复正常位置。
④异位肾常伴形态失常或体积缩小，位置也无法回复正常。
7、膀胱尿返流
肾动态显像完成后，令受检者憋尿，然后排尿，若肾脏和/或输尿管有明显放射性升高，
则提示存在膀胱尿返流。
十、血液和淋巴系统
骨髓活性水平分级及其临床意义：
再生障碍性贫血的骨髓显像表现分型：
①全身骨髓显像普遍稀疏，骨髓活性分级低于2级，甚至骨髓完全不显影，与再障患者造血组织总量减少有关，此类表现最为常见，提示造血功能衰竭，预后较差。
②在全身中心骨髓受不同程度抑制的同时，外周骨髓出现活性扩张或灶状放射性聚影，提示骨髓有一定代偿功能，预后较好，多见于慢性再障患者。
③全身骨髓分布基本正常，活性水平2级，这类患者贫血症状较轻，预后良好。
十一、放射性核素治疗
131I治疗Graves病的适应证和禁忌证：
⑴适应证。
①Graves病患者。
②对抗甲状腺药物过敏、或抗甲状腺药物疗效差、或用抗甲状腺药物治疗后复发、或甲状腺肿大明显的青少年及儿童患者。
③Graves病伴WBC或PLT减少的患者。
④Graves病伴房颤的患者。
⑤Graves病合并桥本病、内科药物治疗效果不佳、甲状腺摄碘率增高的患者。
⑵禁忌证。
①妊娠和哺乳患者。
②AMI患者。
131I治疗Graves病的疗效评价标准：
①痊愈：随访半年以上，患者甲亢症状和体征完全消失，血清TT3、TT4、FT3、FT4恢复正常。
②好转：甲亢症状减轻，体征部分消失，血清TT3、TT4、FT3、FT4明显降低，但未降至正常水平。
③无效：患者的症状和体征均无改善或反而加重，血清TT3、TT4、FT3、FT4水平无明显降低。
④复发：131I治疗后的患者，已达痊愈标准之后，再次出现甲亢的症状和体征，血清中甲状腺激素水平再次升高。
⑤甲低：131I治疗后的患者出现甲低的症状和体征，血清甲状腺激素水平低于正常，TSH 高于正常。
人教版小学数学知识点归纳 第一章数和数的运算 一概念 （一）整数 1、整数的意义自然数和0都是整数。 2 、自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、数的整除 整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。例如15÷3=5，所以15能被3整除，3能整除15。 如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。倍数和约数是相互依存的。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53 、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如把28分解质因数 28=2×2×7 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公因数。 公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： 1和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
高三数学知识点总结归纳三篇 在高考这场没有硝烟的战场上，得数学者得天下！数学可以帮助同学们与其他人拉开一大段距离。高三复习好数学实在是太重要了。 高三数学知识点总结(一) 1.函数的奇偶性 (1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x); (2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数); (3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)f(-x)=0或(f(x)0); (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; 2.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式ag(x)b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 (2)复合函数的单调性由同增异减判定;
3.函数图像(或方程曲线的对称性) (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然; (3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); (4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0; (5)若函数y=f(x)对xR时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称; (6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称; 4.函数的周期性 (1)y=f(x)对xR时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数; (2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数; (3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数; (4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数; (5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(ab)对称，则函数y=f(x)是周
小学数学理论归纳（知识点整理） 第一章数和数的运算 (3) 一概念 (3) （一）整数 (3) （二）小数 (4) （三）分数 (5) 二方法 (6) （一）数的读法和写法 (6) （二）数的改写 (6) （三）数的互化 (7) （四）数的整除 (7) （五）约分和通分 (7) 三性质和规律 (8) （一）商不变的规律 (8) （二）小数的性质 (8) （三）小数点位置的移动引起小数大小的变化 (8) （四）分数的基本性质 (8) （五）分数与除法的关系 (8) 四运算的意义 (8) （一）整数四则运算 (8) （二）小数四则运算 (9) （三）分数四则运算 (9) （四）运算定律 (9) （五）运算法则 (10) （六）运算顺序 (10) 五应用 (10) （一）整数和小数的应用 (11) （二）分数和百分数的应用 (17) 第二章度量衡 (19) 一长度 (19) 二面积 (19)
三体积和容积 (19) 四质量 (19) 五时间 (19) 六货币 (20) 第三章代数初步知识 (20) 一、用字母表示数 (20) 二、简易方程 (21) 三、解方程 (21) 四、列方程解应用题 (21) 五比和比例 (22) 第四章几何的初步知识 (24) 一线和角 (24) 二平面图形 (24) 三立体图形 (26) -第五章简单的统计 (27) 一统计表 (27) 二统计图 (27)
第一章数和数的运算 一概念 （一）整数 ★整数的意义：自然数和0都是整数。 ★自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 ★计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 ★数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 ★数的整除：整数a除以整数b(b ≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a 。 ★如果数a能被数b（b ≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。（因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数）★一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10 的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 ★一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 ★个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。 ★一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 ★一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 ★一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 ★一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 ★能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 ★一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
小学数学知识点总结归纳 一、整数部分 (1) 二、小数部分 (2) 三、分数和百分数 (2) 四、数的整除 (4) 五、整数、小学、分数四则混合运算 (6) 六、简易方程 (7) 七、比和比例 (8) 八、量的计算 (10) 九、平面图形的认识和计算 (11) 一、整数部分： 十进制计数法；一（个）、十、百、千、万……都叫做计数单位。其中“一”是计数的基本单位。10个1是10，10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是十。这种计数方法叫做十进制计数法 整数的读法：从高位一级一级读，读出级名（亿、万），每级末尾0都不读。其他数位一个或连续几个0都只读一个“零”。 整数的写法：从高位一级一级写，哪一位一个单位也没有就写0。 四舍五入法：求近似数，看尾数最高位上的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。 整数大小的比较：位数多的数较大，数位相同最高位上数大的就大，最高位相同比看第二位
较大就大，以此类推。 二、小数部分： 把整数1平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……这些分数可以用小数表示。如1/10记作0.1,7/100记作0.07。 小数点右边第一位叫十分位，计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位，计数单位是百分之一（0.01）……小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。小数部分有几个数位，就叫做几位小数。如0.36是两位小数，3.066是三位小数 小数的读法：整数部分整数读，小数点读点，小数部分顺序读。 小数的写法：小数点写在个位右下角。 小数的性质：小数末尾添0去0大小不变。化 小数点位置移动引起大小变化：右移扩大左缩小，1十2百3千倍。 小数大小比较：整数部分大就大；整数相同看十分位大就大；以此类推。 三、分数和百分数 ■分数和百分数的意义 1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示取了多少份的数，叫做分数的分子；其中的一份，叫做分数单位。 2、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数的形式，而用特定的“%”来表示。百分数一般只表示两个数量关系之间的倍数关系，后面不能带单位名称。 3、百分数表示两个数量之间的倍比关系，它的后面不能写计量单位。 4、成数：几成就是十分之几。 ■分数的种类
第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= - b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做n a 10?±的形式，其中101<≤a ，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
小学数学1-6年级所有重点知识点汇总 数学法则知识 1.笔算两位数加法，要记三条 A.相同数位对齐； B.从个位加起； C.个位满10向十位进1。 2.笔算两位数减法，要记三条 A.相同数位对齐； B.从个位减起； C.个位不够减从十位退1，在个位加10再减。 3.混合运算计算法则 A.在没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法的，都要从左往右按顺序运算； B.在没有括号的算式里，有乘除法和加减法的，要先算乘除再算加减； C.算式里有括号的要先算括号里面的。 4.四位数的读法 A.从高位起按顺序读，千位上是几读几千，百位上是几读几百，依次类推； B.中间有一个0或两个0只读一个“零”； C.末位不管有几个0都不读。 5.四位数写法 A.从高位起，按照顺序写； B.几千就在千位上写几，几百就在百位上写几，依次类推，中间或末尾哪一位上一个也没有，就在哪一位上写“0”。 6.四位数减法也要注意三条 A.相同数位对齐； B.从个位减起； C.哪一位数不够减，从前位退1，在本位加10再减。 7.一位数乘多位数乘法法则 A.从个位起，用一位数依次乘多位数中的每一位数； B.哪一位上乘得的积满几十就向前进几。 8.除数是一位数的除法法则 A.从被除数高位除起，每次用除数先试除被除数的前一位数，如果它比除数小再试除前两位数； B.除数除到哪一位，就把商写在那一位上面； C.每求出一位商，余下的数必须比除数小。 9.一个因数是两位数的乘法法则
A.先用两位数个位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数个位对齐； B.再用两位数的十位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数十位对齐； C.然后把两次乘得的数加起来。 10.除数是两位数的除法法则 A.从被除数高位起，先用除数试除被除数前两位，如果它比除数小， B.除到被除数的哪一位就在哪一位上面写商； C.每求出一位商，余下的数必须比除数小。 11.万级数的读法法则 A.先读万级，再读个级； B.万级的数要按个级的读法来读，再在后面加上一个“万”字； C.每级末位不管有几个0都不读，其它数位有一个0或连续几个零都只读一个“零”。 12.多位数的读法法则 A.从高位起，一级一级往下读； B.读亿级或万级时，要按照个级数的读法来读，再往后面加上“亿”或“万”字； C.每级末尾的0都不读，其它数位有一个0或连续几个0都只读一个零。 13.小数大小的比较 比较两个小数的大小，先看它们整数部分，整数部分大的那个数就大，整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大，十分位数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次类推。 14.小数加减法计算法则 计算小数加减法，先把小数点对齐（也就是把相同的数位上的数对齐），再按照整数加减法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点位置，点上小数点。 15.小数乘法的计算法则 计算小数乘法，先按照乘法的法则算出积，再看因数中一共几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 16.除数是整数除法的法则 除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。 17.除数是小数的除法运算法则 除数是小数的除法，先移动除数小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移几位，被除数小数点也向右移几位（位数不够在被除数末尾用0补足）然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 18.解答应用题步骤 A.弄清题意，并找出已知条件和所求问题，分析题里的数量关系，确定先算什么，再算什么，最后算什么；
小学数学超详细知识归纳总结（打印版） 基本概念 第一章数和数的运算 一、概念 （一）整数 1、整数的意义 自然数和0都是整数。 2、自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。其中“一”是计数的基本单位。 10个1是10，10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
4、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。 6、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 7、一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 ⑴准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把1254300000 改写成以万做单位的数是125430 万；改写成以亿做单位的数12.543 亿。 ⑵近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。例如：1302490015 省略亿后面的尾数是13 亿。⑶四舍五入法：求近似数，看尾数最高位上的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。
第一章有理数考点一、实数的概念及分类（3 分） 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2、无理数：7, 3 2 π ，+8，sin60o。 3 第二章整式的加减 考点一、整式的有关概念（3 分） 1、单项式 只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如- 4 1 a 2 b ，这3 种表示就是错误的，应写成-13 a 2 b 。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如3 -5a3b 2 c 是6 次单项式。 考点二、多项式（11 分） 1、多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 2、同类项 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 第三章一元一次方程 考点一、一元一次方程的概念（6 分） 1、一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程 ax +b =（0 x为未知数，a ≠ 0）叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项。 第四章图形的初步认识 考点一、直线、射线和线段（3 分） 1、点和直线的位置关系有线面两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。 ②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 2、线段的性质 （1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。 （2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。 （3）线段的中点到两端点的距离相等。
人教版三年数学上册知点 第一元分秒 1、面上有 3 根，它是（）、（分）、（秒），其中走得最快的是（秒 ），走得最慢的是（）。（最短，秒最） 2、面上有 (12) 个数字， (12) 个大格， (60) 个小格；每两个数是 (1) 个大格，也就 是(5) 个小格。 3、走 1 大格是 (1) 小；分走 1 大格是 (5) 分，走 1 小格是 ( 1) 分；秒走 1 大格是 (5) 秒，走 1 小格是 (1) 秒。 4、走 1 大格，分正好走 (1) 圈，分走 1 圈是 (60) 分，也就是 (1) 小。走 1 圈，分要走 (12) 圈。 5、分走 1 小格，秒正好走 (1) 圈，秒走 1 圈是 (60) 秒，也就是 (1) 分。 6、从一个数走到下一个数是(1 小 ) 。分从一个数走到下一个数是(5 分 ) 。 秒从一个数走到下一个数是(5 秒 ) 。 7、面上和分正好成直角的有：（ 3 点整）、（ 9 点整）。 8、公式。（每两个相的位之的率是60） 1=60 分1分=60秒60分=160秒=1分半=30分30分=半 9、常用的位：、分、秒、年、月、日、世等。（ 1 世 =100 年， 1 年=12 个月?? ) 第二、四元万以内的加法和减法 1、整千数（：10个一千是一万） 2、数和写数（数写字写数写阿拉伯数字） ①一个数的末尾不管有一个0 或几个 0，个 0 都不。 ②一个数的中有一个0 或的两个 0，都只一个 0。 3、数的大小比： ①位数不同的数比大小，位数多的数大。 ②位数相同的数比大小，先比两个数的最高位上的数，如果最高位上的数相 同，就比下一位，以此推。
小学数学知识点总汇 禄新中学小学部：黄玉粉 一、常用计算公式表 1、长方形面积=长×宽，计算公式S=ab 2、正方形面积=边长×边长，计算公式S=a×a=a2 3、长方形周长=（长+宽）×2，计算公式C=(a+b)×2 4、正方形周长=边长×4，计算公式C=4a 5、平行四边形面积=底×高，计算公式S=ah 6、三角形面积=底×高÷2，计算公式S=a×h÷2 7、梯形面积=（上底+下底）×高÷2，计算公式S=(a+b)×h÷2 ★正方体的表面积= 棱长×棱长×6 ★长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 8、长方体体积=长×宽×高，计算公式V=abh 10、正方体体积=棱长×棱长×棱长，计算公式V=a3 11、长方体和正方体的体积都可以写成：底面积×高，计算公式V=sh 9、圆的面积=圆周率×半径平方，计算公式V=πr2 ★圆的周长=л×直径或л×半径×2即C =лd或C = 2лr ★半圆的周长= 圆的周长的一半+ 直径即：лr + 2r
★环形的面积=3.14×（大半径的平方－小半径的平方） ★圆柱体的表面积=2个底面积+ 侧面积 侧面积=底面周长×高 ★圆柱体的体积= 底面积×高 （二十）同分母分数加减的法则 同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。 （二十一）同分母带分数加减的法则 带分数相加减，先把整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。（二十二）异分母分数加减的法则 异分母分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减的法则进行计算。（二十三）分数乘以整数的计算法则 分数乘以整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 （二十四）分数乘以分数的计算法则 分数乘以分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 （二十五）一个数除以分数的计算法则 一个数除以分数，等于这个数乘以除数的倒数。 （二十六）把小数化成百分数和把百分数化成小数的方法 把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；把百分数化成小数，把百分号去掉，同时小数点向左移动两位。 （二十七）把分数化成百分数和把百分数化成分数的方法 把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽通常保留三位小数），再把小数化成百分数；
小学数学总复习资料 常用的数量关系式 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍 数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时 间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数 量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减 数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除 数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式
1、正方形（C：周长 S：面积 a：边长）周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2、正方体（V:体积 a:棱长） 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长） 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4、长方体（V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高） (1)表面积(长×宽+长×高+宽× 高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5、三角形（s：面积 a：底 h：高） 面积=底×高÷2s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积 ×2÷高 6、平行四边形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高 s=ah
7、梯形（s：面积 a：上底 b：下底 h： 高） 面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)× h÷2 8、圆形（S：面积 C：周长л d=直 径 r=半径） (1)周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×л 9、圆柱体（v:体积 h:高 s：底面积 r: 底面半径 c:底面周长） (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体（v:体积 h:高 s：底面积 r: 底面半径） 体积=底面积×高÷3 11、总数÷总份数＝平均数 12、和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 13、和倍问题
⒈正数和负数的概念 0大的数 0既不是正数，也不是负数负数：比0小的数正数：比是正-aa表示负数时，：①字母注意a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，0。-a数；当a表示0时，仍是 +a,-a 就不能做出简单判断）这种说法是错误的，例如的正数的符号是正号。”省略不写。所以省略“+”+②正数有时也可以在前面加“+”，有时“ 具有相反意义的量2. 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：℃；零下8℃表示为：-8℃8零上℃表示为：+8 表示的意义个人，就是说教室里没有人；，如教室里有0没有”⑴0表示“ 0是正数和负数的分界线，既不是正数，也不是负数。如：⑵0有理数 1.有理数的概念和正整数统称为自然数）⑴正整数、0、负整数统称为整数（0 ⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是理解有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。……也是偶数，-1,-3,-5像注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，-2,-4,-6,-8 也是奇数。 2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分 正整数正整数 正有理数 0 整数 负整数正分数 （0不能忽视）有理数有理数 0 正分数负整数 分数负有理数 负分数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 数轴 ⒈数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数） 3.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
小学数学必备知识点归纳 常用单位换算 1、长度单位换算:1千米=1000米1米=10分米 1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米 2、面积单位换算:1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米 3、体(容)积单位换算:1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升1立方米=1000升 4、重量单位换算:1吨=1000千克1千克=1000克 1千克=1公斤 5、人民币单位换算:1元=10角1角=10分 1元=100分 6、时间单位换算:1世纪=100年1年=12月 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月,小月(30天)的有:4)6\9\11月, 平年2月28天，闰年2月29天，平年全年365天，闰年全年366天, 1日=24小时,1时=60分,1分=60秒,1时3600秒 常用数量关系等式 1、份数:每份数×份数=总数 总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数 2、倍数: 1倍数×倍数=几倍数 几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数 3、路程：速度×时间=路程 路程÷速度=时间路程÷时间=速度 4、价量: 单价×数量=总价 总价÷单价=数量总价÷数量=单价 5、工作量:工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 6、数据运算:加数+加数=和和-一个加数=另一个加数
被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数 因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数常用图形计算公式 1、正方形 (C:周长 S:面积 a:边长) 周长=边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2、正方体 (V:体积 a:棱长) 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3、长方形(C:周长 S:面积 a:边长) 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4、长方体(V:体积 s:面积 a:长 b:宽 h:高) 表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) 体积=长×宽×高 V=abh 5、三角形(s:面积 a:底h: 高) 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形(s:面积a;底h:高) 面积=底×高 s=ah 7、梯形(s:面积 a:上底 b:下底 h:高) 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷2 8、圆形(S:面积 C:周长d=直径 r=半径) 周长=直径×π=2×π×半径 C=πd=2πr 面积=半径×半径×π 9、圆柱体(v:体积 h:高 s:底面积 r:底面半径 c:底面周长) 侧面积=底面周长×高=ch(2πr或πd) 表面积=侧面积+底面积×2 体积=底面积×高，体积=侧面积÷2×半径 10、圆锥体(v:体积h:高 s:底面积r:底面半径) 体积=底面积×高÷3 v=sh÷3
第一章数和数的运算 6、整数的读法： ①从高位到低位，一级一级地 读。②读亿级、万级时，先按照个级的读法去 （一）整数 读，再在后面加一个“亿”或“万”字。③每 1、 自然数和 0 都是整数。 级末尾的 0 都不读，其它数位连续有几个 0 都 2、自然数 只读一个零。 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的 0， 7、整数的写法： 从高位到低位，一级一级地 写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个 1， 2，3 叫做自然数。 一个物体也没有，用 0 表示。 0 也是自然数。 数位上写 0。 3、正数和负数 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它 正数：大于 0 的数叫做正数（不包括 0），数轴 改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还 上 0 右边的数叫做正数。 负数：在数轴线上，负数都在 可以根据需要，省略这个数某一位后面的数， 0 的左侧，所有 写成近似数。 的负数都比 0 小。负数用负号“ - ”标记，如 - （二）小数 2， -0.6,-32 等。 1、小数的读法： 读小数的时候，整数部分按照 0 既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界 整数的读法读，小数点读作“点” ，小数部分从 限。正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一 左向右顺次读出每一位数位上的数字。 切负数。 2、小数的写法： 写小数的时候，整数部分按照 整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线 叫数轴。 数部分顺次写出每一个数位上的数字。 所有的数都可以用数轴上的点来表示。也可以 3、小数的分类 用数轴来比较两个数的大小。 ⑴有限小数：小数部分的数位是有限的小数， 数轴的三要素：原点、单位长度、正方向。 叫做有限小数。例如： 41.7 、25.3 、0.23 都是 在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方 有限小数。 向的数。 ⑵无限小数：小数部分的数位是无限的小数， 4、计数单位 叫做无限小数。例如： 4.33 3.1415926 个、十、百、千、万、十万、百万、千万、 ⑶无限不循环小数：一个数的小数部分，数字 亿 都是计数单位。每相邻两个计数单位之 排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限 间的进率都是 10。这样的计数法叫做十进制计 不循环小数。例如：л 数法。 ⑷循环小数：一个数的小数部分，有一个数字 5、数位 或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占 循环小数。 的位置叫做数位。个位、十位、百位
初三数学知识点考点归纳总结 一、相似三角形7个考点 考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小 考核要求：1理解相似形的概念;2掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小. 考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理 考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算. 注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用. 考点3：相似三角形的概念 考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义. 考点4：相似三角形的判定和性质及其应用 考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理和性质，并能较好地应用. 考点5：三角形的重心 考核要求：知道重心的定义并初步应用. 考点6：向量的有关概念 考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算 考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算 二、锐角三角比2个考点 考点8：锐角三角比锐角的正弦、余弦、正切、余切的概念，30度、45度、60度角的三角比值. 考点9：解直角三角形及其应用 考核要求：1理解解直角三角形的意义;2会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形. 三、二次函数4个考点
考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数 考核要求：1通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;2知道常值函数;3知道函数的表示方法，知道符号的意义. 考点11：用待定系数法求二次函数的解析式 考核要求：1掌握求函数解析式的方法;2在求函数解析式中熟练运用待定系数法. 注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原. 考点12：画二次函数的图像 考核要求：1知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像;2理解二次函数的图像，体会数形结合思想;3会画二次函数的大致图像. 考点13：二次函数的图像及其基本性质 考核要求：1借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;2会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质. 注意：1解题时要数形结合;2二次函数的平移要化成顶点式. 四、圆的相关概念6个考点 考点14：圆心角、弦、弦心距的概念 考核要求：清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断. 考点15：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考核要求：认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明. 考点16：垂径定理及其推论 垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一. 考点17：直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系 直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆 的位置关系中，常需要分类讨论求解. 考点18：正多边形的有关概念和基本性质
太全啦！ | 小学1-6年级数学知识点总结！ 一、概念 （一）整数 1、整数的意义 自然数和0都是整数。 2、自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、数的整除 整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。 因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。 个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
小学数学知识点总结: 棱锥：棱锥是小学数学的基础内容，小学毕业试题中分值约为4分，多以选择题，填空题，判断题的形式出现，难易度属于简单。近几年主要考察：①棱锥的体积问题。②棱锥的侧面积问题。突破方法：牢固掌握有关棱锥的概念，边角之间的关系。这个要通过一定量的练习来掌握。 认识位置与方向：认识位置与方向是小学数学的基础内容，小学毕业试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，简答题的形式出现，难易度属于简单。近几年主要考察一下几个方面：①给出三视图，说出组成物体最少或最多立方体的个数。②给出物体，画出三视图。突破方法：①平时注意积累。②熟练掌握三视图的画法。 图形的直观认识：图形的直观认识是小学数学的基础内容，小学毕业试题中分值约为6-12分，多以选择题，填空题，证明题的形式出现，难易度属于中等。主要考察一下几个方面：①圆的问题，多数是计算题。②三角形的计算问题。突破方法：①对圆的各个性质熟记，能简单画图。②熟练掌与三角形有关的性质等等。 直线和线段:直线和线段是小学数学的基础内容，小学毕业试题中分值约为4-8分，多以选择题，填空题的形式出现，难易度属于简单。近几年主要考察一下几个方面：①线段长度的计算。②数轴上点的
距离问题。突破方法：①掌握有关线段的比，线段的中点的概念。 ②熟练掌握数轴概念。 角的初步认识：角的初步认识是小学数学的基础内容，小学数学试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题的形式出现，难易度属于简单。近几年主要考察一下几个方面：①角的分类。②角的计算。突破方法：①牢固掌握有关角的概念。②熟练掌握角的计算问题，特别是是多个角的问题。 长方形与正方形：长方形与正方形是小学数学的基础内容，小学毕业试题中分值约为5-10分，多以选择题，填空题，解答题的形式出现，难易度属于中等。近几年主要考察一下几个方面：①面积和周长问题。 ②体积，边长问题。突破方法：①牢固掌握有关长方形与正方形的概念：如边，对边，角等，特别是对角线的概念。②熟练掌握长方形与正方形的各种性质。 平行四边形：平行四边形是小学数学的基础内容，小学毕业试题中分值约为4-8分，多以选择题，填空题，解答题的形式出现，难易度属于中等。近几年主要考察一下两个个方面：①平行四边形的周长与面积。②等腰梯形的周长和面积。突破方法：①牢固掌握有关平行四边形的性质。②等腰梯形的性质等等。