四块分块矩阵的行列式值
在数学中，矩阵是一个非常重要的概念，是线性代数中的基础，广
泛应用于各个领域。而矩阵的行列式则是矩阵的一个重要的属性，它
是矩阵的一个实数值，经常用来描述线性变换后空间的变化。在这里，我们主要讨论一种特殊的矩阵：四块分块矩阵的行列式值。
四块分块矩阵是一种由四个形状相同的子矩阵组成的大矩阵，这四个
子矩阵的大小均为n x n。设四块分别为A,B,C,D，整个矩阵记为M，
那么四块分块矩阵可以表示为：
M =（A B）
（C D）
其中，A，B，C，D均为n x n的方阵。矩阵的行列式值是由每行每列
的元素按一定规律运算而得出的一个实数。这个规律就是著名的拉普
拉斯展开定理。
拉普拉斯展开定理告诉我们，一个矩阵的行列式值可以通过其中任意
一行或一列的元素来计算。而四块分块矩阵的行列式值同样可以通过
利用拉普拉斯展开定理来计算。
具体来说，我们可以以第一行或第一列作为展开的基准，进行分类讨论，分别计算出四个小矩阵的行列式值，然后再套用拉普拉斯展开定
理进行计算，最终得出整个矩阵的行列式值。
这里，我们以第一行为基准，进行分类讨论。
首先，我们将四块分块矩阵M展开为：
$$
M=
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
b_{11}&b_{12}& \cdots&b_{1n}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\
d_{11}&d_{12}&\cdots&d_{1n}\\
\end{bmatrix}
$$
如果我们以第一行为基准，那么展开式可以表示为：
$$
\begin{aligned} \det (M)&=a_{11}\left|\begin{matrix}
b_{22}&b_{23}&\cdots&b_{2n}\\ c_{22}&c_{23}&\cdots&c_{2n}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ d_{22}&d_{23}&\cdots&d_{2n}
\end{matrix}\right|-\cdots +(-1)^{1+n}a_{1n}\left|\begin{matrix}
b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2,n-1}\\ c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2,n-1}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ d_{21}&d_{22}&\cdots&d_{2,n-1}
\end{matrix}\right| \end{aligned}
式中，$\left|\begin{matrix} b_{22}&b_{23}&\cdots&b_{2n}\\
c_{22}&c_{23}&\cdots&c_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
d_{22}&d_{23}&\cdots&d_{2n} \end{matrix}\right|$等表示对应小矩阵
的行列式值。
接下来，我们可以利用类似的方法计算出其他三行（或列）的展开式，分别算出对应的小矩阵的行列式值，最终套用拉普拉斯展开定理，得
出整个四块分块矩阵的行列式值。
需要注意的是，四块分块矩阵的行列式值的计算比较繁琐，需要进行
多次矩阵的行列式计算。因此，在实际计算中，我们一般是利用图形
推导出一些通用的规律，来简化计算流程，提高计算效率。
通过四块分块矩阵的行列式值的计算，我们可以更深入地了解行列式
的基本性质和运算规律，深入学习和掌握线性代数的相关知识和技术，为我们今后在科学和工程中的应用奠定坚实的基础。
行列式的几种计算方法7篇 第1篇示例： 行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。 一、直接展开法 计算行列式最基本的方法就是直接展开法。以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为： \[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \] 通过公式展开，可以得到： \[
\begin{aligned} \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\ & = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) \end{aligned} \] 这样就可以直接计算出行列式的值。但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。 二、拉普拉斯展开法 \[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \] 以第一行为例，可以按照以下公式展开： \[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots + a_{1n}C_{1n} \] C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。 三、性质法 行列式有一些基本性质，可以帮助我们简化行列式的计算。常用性质包括： 1. 行列式对换行互换号不变 \[ \text{det}(A^T) = \text{det}(A) \] 3. 行列式某一行全部置为0，行列式为0 利用这些性质可以简化行列式的计算过程。 四、对角矩阵行列式的计算 对角矩阵是一种特殊的方阵，其非对角线元素均为0。对于一个n 阶对角矩阵，其行列式可以表示为对角元素的乘积：
四块分块矩阵的行列式值 在数学中，矩阵是一个非常重要的概念，是线性代数中的基础，广 泛应用于各个领域。而矩阵的行列式则是矩阵的一个重要的属性，它 是矩阵的一个实数值，经常用来描述线性变换后空间的变化。在这里，我们主要讨论一种特殊的矩阵：四块分块矩阵的行列式值。 四块分块矩阵是一种由四个形状相同的子矩阵组成的大矩阵，这四个 子矩阵的大小均为n x n。设四块分别为A,B,C,D，整个矩阵记为M， 那么四块分块矩阵可以表示为： M =（A B） （C D） 其中，A，B，C，D均为n x n的方阵。矩阵的行列式值是由每行每列 的元素按一定规律运算而得出的一个实数。这个规律就是著名的拉普 拉斯展开定理。 拉普拉斯展开定理告诉我们，一个矩阵的行列式值可以通过其中任意 一行或一列的元素来计算。而四块分块矩阵的行列式值同样可以通过 利用拉普拉斯展开定理来计算。 具体来说，我们可以以第一行或第一列作为展开的基准，进行分类讨论，分别计算出四个小矩阵的行列式值，然后再套用拉普拉斯展开定 理进行计算，最终得出整个矩阵的行列式值。
这里，我们以第一行为基准，进行分类讨论。 首先，我们将四块分块矩阵M展开为： $$ M= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ b_{11}&b_{12}& \cdots&b_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\ d_{11}&d_{12}&\cdots&d_{1n}\\ \end{bmatrix} $$ 如果我们以第一行为基准，那么展开式可以表示为： $$ \begin{aligned} \det (M)&=a_{11}\left|\begin{matrix} b_{22}&b_{23}&\cdots&b_{2n}\\ c_{22}&c_{23}&\cdots&c_{2n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ d_{22}&d_{23}&\cdots&d_{2n} \end{matrix}\right|-\cdots +(-1)^{1+n}a_{1n}\left|\begin{matrix} b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2,n-1}\\ c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2,n-1}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ d_{21}&d_{22}&\cdots&d_{2,n-1} \end{matrix}\right| \end{aligned}
§4 矩阵分块法 本节我们将介绍矩阵运算的一种有用的技巧——矩阵的分块，这种技巧在处理某些较高阶的矩阵时常常被用到。 一、分块矩阵的概念 设A 是一个矩阵，我们在它的行或列之间加上一些直线，把这个矩阵分成若干个小块，例如，设A 是一个43?矩阵 11121321 222331323341 4243a a a a a a A a a a a a a ?? ? ? = ? ??? 我们可以把它分成如下的四块 11121321 222331323341 42 43a a a a a a A a a a a a a ?? ? ? = ? ??? 用这种方法被分成若干个小块的矩阵称为分块矩阵，每一个小块称为A 的一个子块。 在一个分块矩阵中，每一个小块也可以看成是一个矩阵。例如，上面的分块矩阵A 是由以下四个矩阵组成的 111121a A a ?? = ??? 12131222 23a a A a a ??= ??? 312141a A a ??= ??? 3233224243a a A a a ??= ? ?? 我们可以把A 简单地写成 11 1221 22A A A A A ??= ??? 对一个矩阵来讲，可以有各种不同的分法。 二、分块矩阵的运算规则 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别说明
如下： （1）分块矩阵的加法 设()ij m n A a ?=，()ij m n B b ?=，采用同样的分块方法得 1111r s sr A A A A A ?? ?= ? ??? ， 1111 r s sr B B B B B ?? ?= ? ? ?? 其中ij A 与ij B 的行数与列数都相同，则 1111111 1r r s s sr sr A B A B A B A B A B ++?? ? += ? ? ++?? （2）数乘分块矩阵 设1111 r s sr A A A A A ?? ? = ? ? ?? ，λ为实数，则 1111 r s sr A A A A A λλλλλ?? ? = ? ? ?? （3）分块矩阵的乘法 设()ij m l A a ?=，()ij l n B b ?=，分别分块成 1111t s st A A A A A ?? ?= ? ??? ， 1111 r t tr B B B B B ?? ?= ? ? ?? 其中12,,i i it A A A （1,2,,i s = ）的列数分别等于12,,,j j t j B B B （1,2,,j r = ）的行数，则
矩阵与行列式的关系 矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1． 行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势． 矩阵的定义 有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法． 定义1[]2 设A 是n m ?矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则 ?? ?? ? ? ? ??=rs r r s s A A A A A A A A A A 21 22221 11211 ， 就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ?矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）． 注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块，
计算行列式常用的7种方法 行列式是线性代数中的重要概念，用于描述线性方程组的性质和解的 情况。在计算行列式时，有多种方法可供选择，下面将介绍行列式的常用 计算方法。 1.代数余子式展开法 代数余子式展开法是计算行列式的最常用方法之一、对于n阶行列式，可以选择其中的任意一行或一列展开。选择一行展开时，可以使用代数余 子式，即将每一元素乘以其代数余子式后再求和。例如，对于3阶行列式\(\begin{bmatrix}a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{bmatrix}\) 选择第一行展开，计算行列式的值为\(aA_{11} - bA_{12} + cA_{13}\)，其中\(A_{ij}\)表示第i行第j列元素的代数余子式。类似地，可以选择列展开，使用代数余子式计算行列式的值。 2.初等变换法 初等变换法是计算行列式的另一种常用方法。通过一系列的行变换或 列变换，将行列式转化为三角形矩阵或对角矩阵。对于三角形矩阵，行列 式的值即为对角线上元素的乘积；对于对角矩阵，行列式的值即为对角线 上元素的乘积。初等变换包括行交换、行缩放和行加减，可以有效地简化 行列式的计算过程。 3.拉普拉斯展开法 拉普拉斯展开法是计算行列式的一种常用方法，适用于任意阶的行列式。选择其中的一行或一列展开，将行列式拆解为一系列子行列式的乘积。
每个子行列式的阶数比原行列式小1，可以继续进行递归的计算。拉普拉 斯展开法可以使用代数余子式进行计算，也可以利用构造矩阵的方式计算。 4.三对角矩阵法 三对角矩阵法适用于计算特殊形式的行列式，即矩阵中除了对角线和 相邻对角线上的元素外，其他元素都为0的情况。计算三对角矩阵的行列 式可以通过逐步化简为二阶或一阶行列式进行计算。这种方法可以加速计 算过程，特别适用于较大阶数的行列式。 5.特殊行列式法 对于特殊形式的行列式，例如范德蒙行列式、希尔伯特行列式等，可 以利用其特殊性质进行计算。范德蒙行列式中的元素具有特殊的形式，可 以通过一定的变换将其转化为一个容易计算的行列式。希尔伯特行列式中 的元素可以进行分解，将行列式的计算转化为累乘和累加的形式。 6.特征值法 特征值法适用于计算方阵的行列式，通过求解方阵的特征值，可以得 到行列式的值。特征值可以通过求解特征方程来得到，特征方程即为行列 式与单位矩阵的差的行列式，将其展开并求解零根得到特征值。特征值的 乘积即为行列式的值。 7.矩阵分块法 矩阵分块法适用于计算较大阶的行列式，通过将大矩阵拆分为多个小 矩阵，计算各个小矩阵的行列式，并进行合并计算得到整个行列式的值。 矩阵分块法可以有效地简化复杂矩阵的行列式计算过程。
分块矩阵计算 分块矩阵在线性代数中是一个重要的概念，它可以用来简化复杂矩阵的运算。在本文中，我们将介绍分块矩阵的定义、性质以及如何进行分块矩阵的运算。 我们来了解一下什么是分块矩阵。分块矩阵是由若干个子矩阵按照一定的规则排列而成的大矩阵。这些子矩阵可以是任意大小的矩阵，它们之间可以有重叠或间隔。分块矩阵可以简化复杂矩阵的运算，使得计算更加方便。 接下来，我们来介绍一下分块矩阵的性质。分块矩阵的加法和减法运算可以分别对子矩阵进行独立的运算。具体来说，如果两个分块矩阵A和B具有相同的分块结构，那么它们的和C和差D也具有相同的分块结构，并且C和D的每个子矩阵分别等于A和B的对应子矩阵的和和差。 除了加法和减法，分块矩阵的乘法运算也非常重要。分块矩阵的乘法运算可以分为两种情况：一种是分块矩阵与标量的乘法运算，另一种是分块矩阵与分块矩阵的乘法运算。对于分块矩阵与标量的乘法运算，只需要将每个子矩阵乘以该标量即可。而分块矩阵与分块矩阵的乘法运算则需要按照一定的规则进行。 在进行分块矩阵的乘法运算时，我们需要注意分块矩阵的乘法不满
足交换律。具体来说，如果A和B是两个分块矩阵，那么一般情况下AB不等于BA。因此，在进行分块矩阵的乘法运算时，我们需要根据具体的分块结构进行计算。 分块矩阵的乘法运算可以通过分块矩阵的乘法规则来进行。具体来说，如果A是一个m×n的分块矩阵，其中每个子矩阵的大小分别为ai×bj，那么A的乘积AB的大小为m×l，其中l是B的列数。在计算AB时，我们可以按照以下步骤进行： 1. 将A和B分别按照相同的方式进行分块，得到分块矩阵A'和B'； 2. 对于A'的每个分块矩阵Aij和B'的每个分块矩阵Bjk，计算它们的乘积Cij= Aij×Bjk； 3. 将所有的Cij按照相应的位置进行相加，得到AB的分块矩阵C'； 4. 将C'中的每个分块矩阵重新排列，得到最终的结果C。 通过以上步骤，我们可以得到分块矩阵的乘法结果。需要注意的是，分块矩阵的乘法运算在实际计算中可能会比普通矩阵的乘法运算复杂一些，但它可以有效地简化复杂矩阵的运算，提高计算效率。 除了加法和乘法运算，分块矩阵还有一些其他的运算性质。例如，分块矩阵的转置运算可以分别对每个子矩阵进行转置。分块矩阵的行列式也可以通过每个子矩阵的行列式来计算。此外，分块矩阵还可以进行分块LU分解、分块QR分解等。 分块矩阵是一种重要的矩阵表示方式，它可以简化复杂矩阵的运算，
分块对角矩阵的行列式 分块对角矩阵的行列式计算是线性代数中经常遇到的问题，它在矩阵分析、图像处理、信号处理等领域中有着广泛的应用。下面将介绍分块对角矩阵及其行列式的计算方法。 分块对角矩阵的定义 分块对角矩阵是一个具有如下形式的矩阵： $A=\begin{pmatrix}A_1 & & \\ & \ddots & \\ & & A_k\end{pmatrix}$ 其中$A_1,A_2,\cdots,A_k$都是方阵。在分块对角矩阵中，每一个分块$A_i$都对角化了。这种矩阵有许多性质，其中最重要的一条是它的行列式可以简单地计算出来。 分块对角矩阵的行列式计算方法 由于分块对角矩阵是一个对角矩阵，所以它的行列式就是各个对角元素的乘积。即： $|A|=|A_1||A_2|\cdots|A_k|$ 这个式子并不复杂，但是我们可以将它进一步简化。假设$A_i$的维数
为$n_i$，则$A$的维数为： $n=\sum_{i=1}^{k}n_i$ 因此，我们可以用一个$1\times n$的行向量$r$和一个$n\times 1$的列向量$c$来表示矩阵$A$： $r=\begin{pmatrix}r_1 & r_2 & \cdots & r_n\end{pmatrix}$ $c=\begin{pmatrix}c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n\end{pmatrix}$ 其中$r_i$和$c_i$分别是矩阵$A$中第$i$行和第$i$列的元素。 现在，我们来看一下如何用$r$和$c$来表示$A$的行列式。根据行列式的定义，我们可以将矩阵$A$的行列式写成： $|A|=\sum_{\sigma\in S_n}(- 1)^{\sigma}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$ 其中$S_n$是$n$个元素的置换群，$a_{i\sigma(i)}$表示矩阵$A$的第$i$行、第$\sigma(i)$列的元素，$\sigma$的符号$(-1)^{\sigma}$表明$\sigma$是奇置换还是偶置换。 现在，我们将每个$a_{i\sigma(i)}$都用$r$和$c$来表示。考虑第$i$个元素$a_{i\sigma(i)}$，它对应着$r_i$和$c_{\sigma(i)}$。由于$r$和$c$都
分块矩阵行列式 分块矩阵行列式： 1. 介绍： 分块矩阵行列式是一种数学表示法，它可以用来计算矩阵的行列式，从而解决复杂的线性代数问题。在实际的研究和应用中，分块矩阵行列式可以简化计算，提高计算效率和准确性。 2. 定义： 分块矩阵可以将矩阵的行列式分解成一些较容易计算的部分。它是一个由更小的矩阵式子构成的相似矩阵，其格式如下所示： |$A_1$|$A_2$| |-----|-----| |$B_1$|$B_2$| 其中，A1, A2, B1, B2等是小矩阵，它们共同构成了原始矩阵。 3. 运算： 分块矩阵行列式可以使用矩阵拆分、变形和乘法公式来计算。通常可以把原始matrix表示为：_det(AB)=(detA~detB)det(A·B)_ 其中，A和B表示A1,A2,B1,B2对应的小矩阵系数，·表示矩阵乘法，
det表示矩阵的行列式。 4. 示例： 例如，计算以下矩阵的分块矩阵行列式： |$A$|$B$| |-----|-----| |$C$|$D$| 其中，A,B,C,D分别是以下各个小矩阵： $A=\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3\\ \end{bmatrix} $ $B=\begin{bmatrix} 1 & 7\\ 2 & 3\\ \end{bmatrix} $ $C=\begin{bmatrix} 4 & 9\\ -3 & 5\\
\end{bmatrix} $ $D=\begin{bmatrix} -2 & 0\\ 1 & -1\\ \end{bmatrix} $ 可以用公式计算得出：det(AB)=(detA~detB)det(A·B)=-288。 5. 应用： 分块矩阵行列式可以用于计算复杂的矩阵和线性方程组的解，可以简化复杂的计算工作，提高效率和准确性。此外，它还可以用于研究几何表达式、向量、增量和其他数学工具，用于求解复杂的数学问题。
行列式的分块运算法则 行列式是线性代数中一个重要的概念，它可以用来解决方程组问题、矩阵的特征值和特征向量问题等。在实际应用中，我们常常需要对较大的矩阵进行运算，而行列式的分块运算法则就是一种常用的方法，可以使运算更加简便和高效。 1.行列式的定义 行列式是一个方阵所对应的一个标量值。对于n阶方阵A={aij}，它的行列式记作|A|，可以用下面的公式来计算： |A| = Σ(1)^(i+j)aijMij 其中，Mij是A的第i行第j列元素的代数余子式，即去掉第i 行第j列后所剩下的(n-1)阶矩阵的行列式。 2.分块运算法则 分块运算法则是指将一个大矩阵分成若干个小矩阵，然后利用这些小矩阵的行列式来计算整个矩阵的行列式。这样可以简化运算，提高效率。 对于一个n阶矩阵A，假设它被分成了四个小矩阵，如下所示： A = [A11 A12 A21 A22] 其中，A11、A12、A21、A22都是矩阵。那么，A的行列式可以表示为： |A| = |A11 A12| |A21 A22|
根据行列式的定义，我们可以将它展开为： |A| = Σ(1)^(i+j)aijMij 其中，aij表示A的第i行第j列元素，Mij表示去掉第i行第j列后剩下的行列式。 根据矩阵的分块，我们可以将A的代数余子式Mij表示为： Mij = (-1)^(i+j)|Bij| 其中，Bij表示去掉A11中第i行和A22中第j列所剩下的(n-1)阶矩阵。根据这个公式，我们可以将A的行列式表示为： |A| = Σ(1)^(i+j)aij(-1)^(i+j)|Bij| 将两个负号合并，得到： |A| = Σaij|Bij| 这个公式就是分块运算法则的核心。它告诉我们，可以将一个大矩阵的行列式表示为若干个小矩阵的行列式之和。 3.应用举例 下面，我们通过一个实例来说明分块运算法则的应用。 假设有一个4阶矩阵A，如下所示： A = [a b c d e f g h i j k l m n o p] 我们可以将它分成四个2阶矩阵： A = [a b | c d
矩阵分块求行列式 矩阵分块求行列式是一种通过将一个大矩阵分割成多个小矩阵来计算行列式的方法。这种方法通常在处理大型矩阵时非常有用，因为它可以将复杂的行列式计算问题简化为计算较小矩阵的行列式问题。 具体来说，假设我们有一个n×n的矩阵A，可以将其分成若干个大小相等的块矩阵。设A的形式如下： A = [A11 A12 (1) A21 A22 (2) ... ... ... ... An1 An2 ... Anm] 其中，每个Aij都是一个子矩阵。根据矩阵行列式的性质，我们可以将矩阵A的行列式表示为以下形式： det(A) = det([A11 A12 (1) A21 A22 (2) ... ... ... ... An1 An2 ... Anm]) 根据该公式，我们可以将整个矩阵的行列式计算问题转化为计算每个子矩阵的行列式问题。这样做的好处是，每个子矩阵的大小通常较小，因此计算它们的行列式相对容易。 例如，假设我们将矩阵A分成4个大小相等的子矩阵：
A = [A11 A12 A21 A22] 其中，A11、A12、A21和A22都是n/2×n/2的子矩阵。那么，根据上述公式，我们可以将矩阵A的行列式表示为以下形式：det(A) = det([A11 A12 A21 A22]) 接下来，我们可以依次计算子矩阵A11、A12、A21和A22的行列式，并将它们的值代入上述公式来计算整个矩阵的行列式。 需要注意的是，矩阵分块求行列式的关键在于合理选择子矩阵的大小和分割方式。通常情况下，选择子矩阵的大小使得它们的行列式能够更容易地计算出来。此外，还需要考虑子矩阵之间的关系，以确保计算的正确性。 总结起来，矩阵分块求行列式是一种通过将大矩阵分解成小矩阵来计算行列式的方法，可以简化复杂的计算问题。然而，具体的分块策略需要根据矩阵的特点和计算要求进行合理选择。
矩阵代数式计算 矩阵代数式与代数式计算法则不同(用矩阵代替实数)。 §1矩阵基本运算 1矩阵加法 从两个矩阵加到每一个对应元素加法。元素之间的加法互相不影响，所以遵守实数加的一切规律。 .1加法零元 0A A += .2逆元 ,0A B A B ∀⇒∃+=，称B 为 A 的加法逆元A - .3交换律 A B B A +=+ .4结合律 ()A B C A B C ++=++ 2矩阵数乘 每个元素数量乘相同的数。数量乘法式集合。 .5数乘不变元 1A A ⋅= .6交换律A k k A ⋅=⋅ .7结合律 ()()k A kA λλ= 说明：因为是数乘，所以只能在数的计算上符合结合律，而不出现矩阵乘法。 .8数乘对矩阵加法的分配律 ()A B A B λλλ+=+ .9数加对矩阵数乘的分配律 ()k A A kA λλ+=+ 说明：矩阵加法与数乘称为矩阵线性运算，并且符合交换，结合，分配律。 ⇒ 从加法逆元与数乘可得，矩阵减法 .10 ()A B A B -=+- 3矩阵乘法 不满足交换律,矩阵乘法分为左乘右乘。
.11乘法不变元m m n m n m n n E A A A E λλλ⨯⨯⨯== .12矩阵乘法结合律()ABC A BC = .13数乘的结合律()()A B AB λλ= .14矩阵乘法对加法的左乘分配律：()C A B CA CB +=+ .15矩阵乘法对加法的右乘分配律：()A B C AC BC +=+ 说明：1)分配律在异号间，不存在不同阶同号间。 2) 根据多项式等式有 .16 2 2 2 2 2 ()2AB BA A B A B AB BA A B AB =+=+++−−−→++ .17 2 2 2 2 2 ()AB BA A B A B AB BA A B AB =-=+--−−−→+- .18 2 2 2 2 ()()AB BA A B A B A B AB BA A B =+-=--+−−−→+ 2),A BA AB ∀=,且A 不是对称阵，则B 是数量阵（不是对角阵）。 3)AB 是A 的行矩阵和B 的列矩阵相乘，BA 是B 的行矩阵和A 的列矩阵相乘.因此如果A,B 的行向量和列向量都相等，那么AB BA =。 4) 矩阵代数式与等式仍可使用移项，合并同类项等计算方法。 5)向量可看作单行矩阵： 12121122[,,...,],......n n n n b b a a a a b a b a b b αβαβ⎡⎤ ⎢⎥ ==⇒=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11 12 121 2221 2 ..................... n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a βα⎡⎤⎢⎥ =⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 4矩阵的转置(行作用与列作用交换) .19T A 与A 的关系：()T T A A = .20转置与加法的关系：()T T T A B A B +=+