利用导数研究方程的根和函数的零点 总结：方程()0=x f 的根()的零点函数x f y =?
()轴的交点的恒坐标的图像与函数x x f y =?
方程()()x g x f =的根()()的根方程0=-?x g x f ()()()的零点x g x f x h -=? ()()。的图象的交点的横坐标与函数x f y x g y ==?
1．设a 为实数，函数()a x x x x f +--=23，当a 什么范围内取值时，曲线()x f y =与x
轴仅有一个交点。
2、已知函数f (x )=－x 2
+8x,g (x )=6ln x+m
（Ⅰ）求f (x )在区间[t ,t +1]上的最大值h (t );
（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。
解：（I ）22()8(4)16.f x x x x =-+=--+ 当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++
当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，
2()()8.h t f t t t ==-+综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ?-++?
（II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数 ()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
22()86ln ,
62862(1)(3)'()28(0),x x x x m x x x x x x x x x x
φφ=-++-+--∴=-+==>Q 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数；当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数；
当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数；当1,x =或3x =时，'()0.x φ= ()(1)7,()(3)6ln 315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值
Q 当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ>
∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 ()70,()6ln 3150,x m x m φφ=->???=+-
最大值最小值 即7156ln3.m <<-所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,156ln 3).-
3、已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。
（I ）求()f x 的解析式；
（II ）是否存在自然数,m 使得方程37()0f x x
+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。
恒成立问题：
4：已知函数()()0ln 2
>+-=a a x a x x f 在()∞+，0满足()0≥x f 恒成立，求a 的取值范围。
5：已知函数()(),ln 2,22x x x g x
a x x f +-=+=其中0>a ，若对于(),,0,21+∞∈?x x
都有()()21x g x f ≥恒成立，求a 的取值范围。
课后练习
2、已知函数3
()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间；
()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m
的取值范围。 .解析：（1）'22()333(),f x x a x a =-=-
当0a <时，对x R ∈，有'
()0,f x > 当0a <时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞
当0a >时，由'()0f x >解得x
由'()0f x <解得x <<
当0a >时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；()f x 的单调减区间为
(。
（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值，
所以'2(1)3(1)30, 1.f a a -=?--=∴=
所以3'2()31,()33,f x x x f x x =--=-
由'()0f x =解得121,1x x =-=。
由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=， 在1x =处取得极小值(1)3f =-。
因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，(3)171f =>，
结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是(3,1)-。
3、设函数329()62
f x x x x a =-+-． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；
（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．
解：(1) '2
()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,
因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ?=--≤, 得34m ≤-
，即m 的最大值为34- (2) 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >;
所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2
f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;
故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52
a >
. 4、方程076223=+-x x ，在()2,1内根的个数
利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。 一定要用零点判定定理确定零点个数 ④综上所述送1分. )(x f ' )(x f
(三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2 --=存在唯一 的极大值点0x ,且202 2)(--< 第六节利用导数研究函数零点问题 考点一 研究函数零点个数 [典例] (2018·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝1 3x 3－a (x 2＋x ＋1)． (1)若a ＝3，求f (x )的单调区间； (2)证明：f (x )只有一个零点． [解] (1)当a ＝3时，f (x )＝1 3x 3－3x 2－3x －3， f ′(x )＝x 2－6x －3. 令f ′(x )＝0，解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3. 当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间为(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)，单调递减区间为(3－23，3＋23)． (2)证明：因为x 2＋x ＋1>0， 所以f (x )＝0等价于x 3 x 2＋x ＋1－3a ＝0. 设g (x )＝x 3 x 2＋x ＋1－3a ， 则g ′(x )＝x 2(x 2＋2x ＋3) (x 2＋x ＋1)2≥0， 仅当x ＝0时，g ′(x )＝0， 所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点． 又f(3a－1)＝－6a2＋2a－1 3＝－6? ? ? ? a－ 1 62－ 1 6<0，f(3a＋1)＝ 1 3>0， 故f(x)有一个零点． 综上，f(x)只有一个零点． [解题技法]判断函数零点个数的3种方法 [对点训练] 设函数f(x)＝ln x＋m x，m∈R. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x 3零点的个数． 解：(1)由题意知，当m＝e时，f(x)＝ln x＋e x(x>0)， 则f′(x)＝x－e x2， ∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增， ∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋e e＝2， ∴f(x)的极小值为2. (2)由题意知g(x)＝f′(x)－x 3＝ 1 x－ m x2－ x 3(x>0)， 令g(x)＝0，得m＝－1 3x 3＋x(x>0)． 设φ(x)＝－1 3x 3＋x(x≥0)， 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)． 当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， 因此x＝1也是φ(x)的最大值点， 导函数零点问题 一．方法综述 导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略 类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+， 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-， 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数. 利用导数研究方程的根和函数的零点--教案 利用导数研究方程的根和函数的零点 总结：①方程()0=x f的根()的零点 ? y= f 函数x ()轴的交点的恒坐标 ? f y= x 函数x 的图像与 ②方程()()x g f=的根 x ()()的根 f x x h- ? = g = x 方程0 - ?x f()()()的零点 x g ()()。 g y= x ? = 的图象的交点的横坐标 与 函数x f y 1．设a为实数，函数 ()a 3，当a什么范 - f+ - =2 x x x x 围内取值时，曲线()x f y= 与x轴仅有一个交点。 2、已知函数f(x)=－x2+8x,g(x)=6ln x+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t); （Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。 解：（I）22 =-+=--+ ()8(4)16. f x x x x 当14,t +<即3t <时，() f x 在[],1t t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++ 当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，2()()8.h t f t t t ==-+综上，2267,3,()16,34, 8,4t t t h t t t t t ?-++? （II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数 ()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 22()86ln , 62862(1)(3)'()28(0),x x x x m x x x x x x x x x x φφ=-++-+--∴=-+==>Q 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数；当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数；当1,x =或3x =时，'()0.x φ= ()(1)7,()(3)6ln 315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值 Q 当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ> ∴ 要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 利用导数研究函数的图像及零点问题 【复习指导】 本讲复习时，应注重利用导数来研究函数图像与零点问题，复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用． 双基自测 1．已知曲线C ：x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)与函数y ＝ln x 及函数y ＝e x 的图像分别交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2212x x +的值为 ．9 2．[10浙江]已知0x 是函数1()21x f x x =+-的一个零点．若10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞，则1()f x ，2()f x 的符号分别______________．解：负；正； 3．已知函数()ln x f x e x -=+(e 是自然对数的底数)，若实数0x 是方程()0f x =的解，且1020x x x <<<，则1()f x 2()f x (填“＞”，“≥”，“＜”，“≤”)． 4．已知234101()1234101x x x x f x x =+-+-+???+，234101()1234101x x x x g x x =-+-+-???-，若函数()f x 有唯一零点1x ，函数()g x 有唯一零点2x ，则1x ，2x 所在的区间 为 ．1(1,0)x ∈-，2(1,2)x ∈ 考点一 函数的图像问题 【例1】对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠．定义：设''()f x 是函数 ()y f x =的导数'()y f x =的导数， 若方程''()0f x =有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数()y f x =的“拐点”；已知函数32()654f x x x x =-++，请回答下列问题； ⑴．求函数()y f x =的“拐点”A 的坐标； ⑵．检验函数()y f x =的图像是否关于“拐点”A 对称，对于任意的三 高中数学：利用导数求解函数的零点或方程的根的问题 (2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝2a 2ln x －x 2(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间； (3)讨论函数f (x )在区间(1，e 2)上零点的个数(e 为自然对数的底数)． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2ln x －x 2， ∴f ′(x )＝2x －2x ，∴f ′(1)＝0， 又f (1)＝－1，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋1＝0. (2)∵f (x )＝2a 2ln x －x 2， ∴f ′(x )＝2a 2x －2x ＝2a 2－2x 2x ＝－2(x －a )(x ＋a )x ， ∵x ＞0，a ＞0， ∴当0＜x ＜a 时，f ′(x )＞0，当x ＞a 时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在(0，a )上是增函数，在(a ，＋∞)上是减函数． (3)由(2)得f (x )max ＝f (a )＝a 2(2ln a －1)． 讨论函数f (x )的零点情况如下： ①当a 2(2ln a －1)＜0，即0＜a ＜e 时，函数f (x )无零点，在(1，e 2)上无零点； ②当a 2(2ln a －1)＝0，即a ＝e 时，函数f (x )在(0，＋∞)内有唯一零点a ，而1＜a ＝e ＜e 2， ∴f (x )在(1，e 2)内有一个零点； ③当a 2(2ln a －1)＞0，即a ＞e 时， 由于f (1)＝－1＜0，f (a )＝a 2(2ln a －1)＞0，f (e 2)＝2a 2lne 2－e 4＝4a 2－e 4＝(2a －e 2)(2a ＋e 2)， 当2a －e 2＜0，即 e ＜a ＜e 22时，1＜e ＜a ＜e 22＜e 2，f (e 2)＜0， 由函数的单调性可知，函数f (x )在(1，a )内有唯一零点x 1，在(a ， 作者：非成败 作品编号：92032155GZ5702241547853215475102 时间：2020.12.13 利用导数研究方程的根 函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 1、已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线211 2 y x x =++有唯一公共点. 【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率 k=(1)g'. 1(1)g'x 1 (x)g'==?= k .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线12 1 2++=x x y 有唯一公共点,过程如下. 则令,,121 121)()(22R x x x e x x x f x h x ∈---=---= )0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数 因此, 单调递增 时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0x h y x h x x h y x h x =?>>=?<<0 )(,0)0(')('===≥=?x R x h y h x h y 个零点上单调递增，最多有一在所以 所以,曲线y=f(x)与曲线12 12 ++=x x y 只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2、已知函数()1x a f x x e =-+ (a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)求函数()f x 的极值; (2)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值. 专题04 函数与导数之零点问题 一．考情分析 零点问题涉及到函数与方程，但函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标,函数y ＝f (x )也可以看作二元方程f (x )－y ＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： ①是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：②是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性 质,达到化难为易,化繁为简的目的. 许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点. 二．经验分享 1.确定函数f (x )零点个数(方程f (x )＝0的实根个数)的方法： (1)判断二次函数f (x )在R 上的零点个数，一般由对应的二次方程f (x )＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断． (2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题． (3)若函数f (x )在[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f (a )·f (b )＜0，则y ＝f (x )在区间(a ，b )内有唯一零点． 2.导数研究函数图象交点及零点问题 利用导数来探讨函数)(x f y =的图象与函数)(x g y =的图象的交点问题，有以下几个步骤： ①构造函数)()()(x g x f x h -=； ②求导)('x h ； 利用导数研究函数的零点 （求导求出极值，画出函数的草图分析） 1.已知曲线C ：32 112132 y x x x = --+，直线:l y a = （1）若直线l 与曲线C 有唯一一个交点，求a 的取值范围；（73a <-或13 6a >） （2）若直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求a 的取值范围；（73a =-或13 6a =） （3）若直线l 与曲线C 有三个不同的交点，求a 的取值范围.（76a -<13 6 <） 解：令2 '2(1)(2)y x x x x =--=+-0=得11,x =-或22x = 当12x -<<时，'0y <；当1x <-或2x >时，'0y >. 所以()g x 在(1,2)-为减函数，在(,1)-∞-，(2,)+∞为增函数. 当1x =-时，取得极大值max 13 6 y =；当2x =时， 取得极大值min 73y =- ； （1）当73a <-或13 6a >时，直线l 与曲线C 有唯一一个交点； （2）当73a =-或13 6a =时，直线l 与曲线C 有两个不同的交点； （3）当713 36 a -<<时，直线l 与曲线C 有三个不同的交点. 2.已知函数3 ()31,1f x x ax a =--≠ （1）函数()y f x =的单调区间； （2）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y m =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.（-3,1） 解: (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0， ∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a . 由f ′(x )<0，解得－a 第3讲 导数与函数的切线及函数零点问题 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B 级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考命题的另一热点. 真 题 感 悟 (2016·江苏卷)已知函数f (x )＝a x ＋b x (a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1). (1)设a ＝2，b ＝12. ①求方程f (x )＝2的根； ②若对任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值. 解 (1)①由已知可得2x ＋? ?? ??12x ＝2， 即2x ＋1 2x ＝2.∴(2x )2－2·2x ＋1＝0， 解得2x ＝1，∴x ＝0. ②f (x )＝2x ＋? ?? ??12x ＝2x ＋2－x ， 令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2. 又f (2x )＝22x ＋2－2x ＝t 2－2， 故f (2x )≥mf (x )－6可化为t 2－2≥mt －6， 即m ≤t ＋4t ，又t ≥2，t ＋4 t ≥2 t · 4t ＝4(当且仅当t ＝2时等号成立)， ∴m ≤? ????t ＋4t min ＝4，即m 的最大值为4. (2)∵0＜a ＜1，b ＞1，∴ln a ＜0，ln b ＞0. g (x )＝f (x )－2＝a x ＋b x －2， g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b 且g ′(x )为单调递增，值域为R 的函数.∴g ′(x )一定存在唯一的 【题型一】函数的零点个数 【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。 【例1】已知函数3 ()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间； ()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。 变式：已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间[0,2]上是增函数，若方程 ()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根，则 【答案】 -8 【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足，所以，所以, 由为奇函数，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0,2]上 是增函数，所以在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知，．所以 ． 【题型二】复合函数的零点个数 复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。 【解题技巧】函数()(())h x f f x c =-的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想 分两步进行。即令()f x d =，则()()h x f d c =- 第一步：先判断()f d c =的零点个数情况 第二步：再判断()f x d =的零点个数情况 【例2】已知函数3()3f x x x =- 设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数 1．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数 322()39(0)f x x ax a x a =--≠.若方程'2()12169f x nx ax a a =---在[l,2]恰好有两 个相异的实根,求实数a 的取值范围(注:1n2≈: 【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点 【解题技巧】（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。即： 如果函数()f x 在区间[]a b ，上是一条连续不断曲线，并且()()0f a f b ?<，则函数()f x 在区间()a b ，上至少有一个零点。即存在一点()0x a b ∈，，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根. （2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为： 如果函数()f x 在区间[]a b ，上是单调函数，并且()()0f a f b ?<，则函数()f x 在区间 ()a b ，上至多有一个零点。 【例3】设函数3 2 9()62 f x x x x a =- +-． （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围． 利用导数研究方程的根 函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 1、已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线211 2 y x x =++有唯一公共点. 【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'. 1(1)g'x 1 (x)g'==?= k .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线12 1 2++=x x y 有唯一公共点,过程如下. 则令,,121 121)()(22R x x x e x x x f x h x ∈---=---= 0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数 因此, 单调递增 时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0x h y x h x x h y x h x =?>>=?<<0)(,0)0(')('===≥=?x R x h y h x h y 个零点上单调递增，最多有一在所以 所以,曲线y=f(x)与曲线12 12 ++=x x y 只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2、已知函数()1x a f x x e =-+ (a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)求函数()f x 的极值; (2)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值. (1)()1x a f x e '=- , ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值. ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =. (),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>. 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增, 故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值. 第三篇导数及其应用 专题3.5导数与函数的零点 【考点聚焦突破】 考点一判断零点的个数 【例1】(2019·青岛期中)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)＝f(x) x－4ln x的零点个数． 【答案】见解析 【解析】(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}， ∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0. ∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3. (2)由(1)知g(x)＝x2－2x－3 x－4ln x＝x－3 x－4ln x－2， ∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋3 x2－ 4 x＝ (x－1)(x－3) x2，令g′(x)＝0，得x1 ＝1，x2＝3. 当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表： X(0，1)1(1，3)3(3，＋∞) g′(x)＋0－0＋ g(x)极大值极小值 当0 故g(x)仅有1个零点． 【规律方法】利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数． (2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 【训练1】已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝x＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…. (1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点； (2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1)证明由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x， 所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－2>0， 所以h(1)h(2)<0， 所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点． (2)解由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x. 由g(x)＝x＋x知x∈[0，＋∞)， 而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点． 又h(x)在(1，2)内有零点， 因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点． h′(x)＝e x－1 2x－1 2 －1，记φ(x)＝e x－ 1 2 x－1 2 －1， 则φ′(x)＝e x＋1 4 x－3 2 . 当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点， 即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点， 利用导数研究函数零点问题 数形结合法研究零点问题 [典例引领] 已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性； (2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不相等的解，求a 的取值范围． 【解】 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ， 其定义域为(0，＋∞)， 所以F ′(x )＝2ax －2x ＝2（ax 2－1）x (x ＞0)． ①当a ＞0时，由ax 2－1＞0，得x ＞1 a ， 由ax 2－1＜0，得0＜x ＜ 1a ， 故当a ＞0时，F (x )在区间?? ??1a ，＋∞上单调递增，在区间? ???0，1 a 上单调递减． ②当a ≤0时，F ′(x )＜0(x ＞0)恒成立． 故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减． (2)原式等价于方程a ＝2ln x x 2在区间[2，e]上有两个不等解． 令φ(x )＝2ln x x 2，由φ′(x )＝2x （1－2ln x ）x 4易知，φ(x )在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为 减函数， 则φ(x )ma x ＝φ(e)＝1 e ， 而φ(e)＝2e 2，φ(2)＝ln 2 2 . 由φ(e)－φ(2)＝2e 2－ln 22＝4－e 2ln 22e 2＝ln e 4－ln 2e 22e 2＜ln 81－ln 2 7 2e 2 ＜0， 所以φ(e)＜φ(2)． 所以φ(x )min ＝φ(e)， 如图可知φ(x )＝a 有两个不相等的解时，需ln 22≤a ＜1e . 即f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不相等的解时a 的取值范围为[ln 22，1 e )． 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x 表示参数的函数，作出该函数图象，根据图象特征求参数的范围． 利用函数性质研究函数零点 [典例引领] 已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数)． (1)当a ＝4时，求函数y ＝g (x )在x ＝0处的切线方程； (2)如果关于x 的方程g (x )＝2e x f (x )在区间???? 1e ，e 上有两个不等实根，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝4时，g (x )＝(－x 2＋4x －3)e x ，g (0)＝－3， g ′(x )＝(－x 2＋2x ＋1)e x ，g ′(0)＝1， 所以，所求的切线方程为y ＋3＝x －0，即y ＝x －3. (2)由g (x )＝2e x f (x )， 可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3，a ＝x ＋2ln x ＋3x . 设h (x )＝x ＋2ln x ＋3 x (x >0)， 所以h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1） x 2 ， 所以x 在???? 1e ，e 上变化时，h ′(x )，h (x )的变化如下： 广东实验学校2020届高三理科数学寒假作业----导数专题 函数的切线及函数零点问题 1.已知函数f (x)＝a x＋b x(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1). (1)设a＝2，b＝12. ①求方程f (x)＝2的根； ②若对任意x∈R，不等式f (2x)≥mf (x)－6恒成立，求实数m的最大值； (2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f (x)－2有且只有1个零点，求ab的值. 考点整合 1.求曲线y＝f (x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k ＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程. 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下： 3.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法 研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图象，如单调性、值域、与x轴的交点等，其常用解法如下： ①转化为形如f (x1)·f (x2)＜0的不等式：若y＝f (x)满足f (a)f (b)＜0，则f (x)在(a，b)内至少有一个零点； ②转化为求函数的值域：零点及两函数的交点问题即是方程g(x)＝0有解问题，将方程分离参数后(a＝f (x))转化为求y＝f (x)的值域问题； ③数形结合：将问题转化为y＝f (x)与y＝g(x)的交点问题，利用函数图象位置关系解决问题. (2)研究两条曲线的交点个数的基本方法 ①数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案. ②函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数. 2.已知函数f (x)＝2x3－3x. ①求f (x)在区间[－2，1]上的最大值； ②若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f (x)相切，求t的取值范围. 利用导数研究方程的根和函数的零点 总结：方程()0=x f 的根()的零点函数x f y =? ()轴的交点的恒坐标的图像与函数x x f y =? 方程()()x g x f =的根()()的根方程0=-?x g x f ()()()的零点x g x f x h -=? ()()。的图象的交点的横坐标与函数x f y x g y ==? 1．设a 为实数，函数()a x x x x f +--=23，当a 什么范围内取值时，曲线()x f y =与x 轴仅有一个交点。 2、已知函数f (x )=－x 2 +8x,g (x )=6ln x+m （Ⅰ）求f (x )在区间[t ,t +1]上的最大值h (t ); （Ⅱ）是否存在实数m ，使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。 解：（I ）22()8(4)16.f x x x x =-+=--+ 当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++ 当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减， 2()()8.h t f t t t ==-+综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ?-++? （II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数 ()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 22()86ln , 62862(1)(3)'()28(0),x x x x m x x x x x x x x x x φφ=-++-+--∴=-+==>Q 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数；当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数；当1,x =或3x =时，'()0.x φ= ()(1)7,()(3)6ln 315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值 Q 当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ> ∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 ()70,()6ln 3150,x m x m φφ=->???=+- 利用导数研究含参函数零点问题 利用导数研究含参函数零点问题主要有两中方法： （1）利用导数研究函数 f （ x ）的最（极）值，转化为函数 f （x ） 图像与 x 轴的交点问题，主 要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题； （2）分离参变量， 即由 f （x ） 0分离参变量， 得 a g （x ），研究 y a 与 y g （x ）图像交 点问题。 x 1 例 1．已知函数 f x a x e x 1 lna （ a 0且 a 1）， e 为自然对数的底数． a （Ⅰ）当 a e 时，求函数 y f x 在区间 x 0,2 上的最大值； （Ⅱ）若函数 f x 只有一个零点，求 a 的值． Ⅰ）求函数 f x 的单调区间； Ⅱ）当 m 0 时，讨论函数 f x 与 g x 图像的交点个数． 例 2.（2014 年湖北卷 ）已知函数 f x lnx 1ax 2（ a R ） 变 1：设函数 1 x 2 mln x ， 2 gx x 2 m 1 x ． 2 （1）求函数f x 的单调区间； （2）讨论函数f x 在区间1,e2上零点的个数. 变2：（2017 年全国卷1）已知函数f （x） a e2x（a 2） e x x （1）讨论f （ x）的单调性； （2）若f （x）有两个零点，求 a 的取值范围. 练习1．( 2018 年全国卷2)已知函数 f (x) e x ax2． (1)若 a 1 ，证明：当x≥0时， f (x)≥1； (2)若f(x)在(0, )只有一个零点，求a． 1 2.(2018 年福建联考)已知函数f (x) (x 1)e x ax2 2 ( 1)讨论f ( x) 的单调性； ( 2)若f ( x) 有两个零点，求 a 的取值范围. 利用导数研究方程的根 欧阳光明（2021.03.07） 函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 1、已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112 y x x =++有唯一公共点. 【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'. 1(1)g'x 1 (x)g'==?= k .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线121 2++=x x y 有唯一公共点,过程如 下. )0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数因此, 所以,曲线y=f(x)与曲线12 12++=x x y 只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2、已知函数()1x a f x x e =-+ (a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)求函数()f x 的极值; (2)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值. (1)()1x a f x e '=- , ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值. ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =. (),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>. 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增, 故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值. 综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值; 当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值. (2)当1a =时,()11x f x x e =-+ . 直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于关于x 的方程111x kx x e -=-+在R 上没有实数解,即关于x 的 方程: ()11x k x e -= (*) 在R 上没有实数解. ①当1k =时,方程(*)可化为1 0x e =,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为 1 1 x xe k =-. 令()x g x xe =,则有()()1x g x x e '=+. 令()0g x '=,得1x =-, 当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:第六节 利用导数研究函数零点问题
导数与函数零点问题解题方法归纳
利用导数研究方程的根和函数的零点--教案
利用导数研究函数的图像及零点问题(提高)
利用导数求解函数的零点或方程的根的问题
2020年导数研究函数零点问题
2021届高三数学之函数与导数(文理通用)专题04 函数与导数之零点问题
利用导数研究函数的零点
第3讲 导数与函数的切线及函数零点问题
导数与函数的零点讲义
导数研究函数零点问题
2020高考专题3.5 导数与函数的零点(解析版)
利用导数研究函数零点问题
导数与函数的切线及函数零点问题
利用导数分析方程的根和函数的零点教(学)案
利用导数研究函数零点(完美总结)
2021年导数研究函数零点问题
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