选择题的解题方法与技巧
题型特点概述
选择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一般占全卷的40%左右，高考数学选择题的基本特点是：
(1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一．
(2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力．
目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．
数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段．
解题方法例析
题型一 直接对照法
直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．
例1 设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)?f(x ＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)
等于
( C )
A ．13
B ．2
C.13
2 D.213
思维启迪: 先求f(x)的周期． 解析 ∵f (x ＋2)＝13
f (x )，
∴f (x ＋4)＝13f (x ＋2)
＝13
13f (x )＝f (x )．
∴函数f (x )为周期函数，且T ＝4. ∴f (99)＝f (4×24＋3)＝f (3)＝13f (1)＝13
2.
探究提高 直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法 时,要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有
的结论，迅速得到所需结论．如本题通过分析条件得到f(x)是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键．
变式训练1 函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，
若f (1)＝－5，则f (f (5))的值为
( D )
A ．5
B ．－5
C.15
D ．－15
解析 由f (x ＋2)＝1f (x )，得f (x ＋4)＝1
f (x ＋2)＝f (x )，
所以f (x )是以4为周期的函数，所以f (5)＝f (1)＝－5，
从而f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝1
f (－1＋2)
＝1f (1)＝－15.
例2 设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有
一个公共点，则双曲线的离心率为
( D ) A.54
B ．5
C.52
D.5
思维启迪: 求双曲线的一条渐近线的斜率即ba 的值，尽而求离心率． 解析 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，这条直线与抛物线y ＝x 2＋1相切，联立
???
y ＝kx y ＝x 2
＋1
，整理得x 2
－kx ＋1＝0，则Δ＝k 2
－4＝0，解得k ＝±2，即b
a ＝2，故
双曲线的离心率e ＝c
a ＝
c 2a 2＝
a 2＋
b 2a 2＝
1＋(b a )2
＝ 5.
探究提高 关于直线与圆锥曲线位置关系的题目，通常是联立方程解方程组．本题即是利用渐近线与抛物线相切，求出渐近线斜率． 变式训练2
已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，以C 的右
焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是( B ) A ．a
B ．b
C.ab
D.a 2＋b 2
解析 x 2a 2－y 2b 2＝1的其中一条渐近线方程为：y ＝－b
a x ，即bx ＋ay ＝0，而焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离d ＝
|b ×
a 2＋
b 2|a 2
＋b
2
＝b .故选B
题型二 概念辨析法
概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正确选择．一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”．
例3 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，给出下列条 件，①a ＝k b (k ∈R)；②x 1x 2＋y 1y 2＝0；③(a ＋3b )∥(2a －
b )；④a ·b ＝|a ||b |；⑤x 21y 22＋x 22y 21≤2x 1x 2y 1y 2.
其中能够使得a ∥b 的个数是
( D ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 显然①是正确的，这是共线向量的基本定理；②是错误的，这是两个向量垂直的条件；③是正确的，因为由(a ＋3b )∥(2a －b )，可得(a ＋3a )＝λ(2a －b )，当λ≠12时，整理得a ＝λ＋32λ－1b ，故a ∥b ，当λ＝12时也可得到a ∥b ；④是正确的，
若设两个向量的夹角为θ，则由a ·b ＝|a ||b |cos θ，可知cos θ＝1，从而θ＝0，
所以a ∥b ；⑤是正确的，由x 21y 22＋x 22y 21≤2x 1x 2y 1y 2，
可得(x 1y 2－x 2y 1)2≤0，从而x 1y 2－x 2y 1＝0，于是a ∥b .
探究提高 平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概念，应熟练掌握共线向量的定义以及判断方法，同时要将共线向量与向量中的其他知识(例如向量的数量积、向量的模以及夹角等)有机地联系起来，能够从不同的角度来理解共
线向量．
变式训练3 关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c.
②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为
60°.
则假命题为( B )
A．①②B．①③C．②③D．①②③
解析①a·b＝a·c?a·(b－c)＝0，a与b－c可以垂直，而不一定有b＝c，故①为假命题．
②∵a∥b，∴1×6＝－2k.∴k＝－3.故②为真命题．
③由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60°，a＋b为其对角线上的向量，a 与a＋b夹角为30°，故③为假命题．
题型三数形结合法
“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论．
例4 用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋
2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( C ) A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
思维启迪: 画出函数f(x)的图象，观察最高
点，求出纵坐标即可．本题运用图象来求值，直观、易懂．
解析 由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．
变式训练4 设集合A ＝????
??(x ，y )???
x 2
4＋y 2
16＝1，
B ＝{}(x ，y )|y ＝3x
，则A ∩B 的子集的个数是
( A )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析 集合A 中的元素是椭圆x 24＋y 2
16＝1上的点，集合B 中的元素是函数y ＝3x 的图象上的点．由数形结合，可知A ∩B 中有2个元素，因此A ∩B 的子集的个数为4.
例5 函数f (x )＝1－|2x －1|，则方程f (x )·2x ＝1的实根的个数是 ( C) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
思维启迪:．若直接求解方程显然不可能，考虑到方
程可转化为f (x )＝? ????12x ，而函数y ＝f (x )和y ＝? ??
??12x 的图象又都可以画出，故可以利用数形结合的方法，通过两个函数图象交点的个数确定相应方程的根的个数．
解析 方程f (x )·2x
＝1可化为f (x )＝? ??
??12x
，在同一坐标
系下分别画出函数y ＝f (x )和y ＝? ??
??12x
的图象，如图所
示．可以发现其图象有两个交点，因此方程f (x )＝? ??
??12x
有两个实数根
．变式训练5 函数y ＝|log 12
x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的
长度b －a 的最小值是 ( D )
A ．2
B.32
C ．3
D.34
解析 作出函数y ＝|log 12
x |的图象，如图所示，由y ＝0解得x ＝1；由y ＝2，解
得x ＝4或x ＝14.所以区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值为1－14＝3
4.
题型四 特例检验法
特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题
设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等． 特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．
例6 已知A 、B 、C 、D 是抛物线y 2
＝8x 上的点，F 是抛物线的焦点，且FA →＋
FB →＋FC →＋FD →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＋|FD →
|的值为 ( D )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
解析 取特殊位置，AB ，CD 为抛物线的通径，显然F A →＋FB →＋FC →＋FD →
＝0， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＋|FD →
|＝4p ＝16，故选D.
探究提高 本题直接求解较难，利用特殊位置法，则简便易行．利用特殊检验法的关键是所选特例要符合条件．
变式训练6 已知P 、Q 是椭圆3x 2＋5y 2＝1上满足∠POQ ＝90°的两个动点，则1OP 2＋1
OQ 2等于 ( B )
A ．34
B ．8
C.8
15
D.34225
解析 取两特殊点P (33，0)、Q (0，55)即两个端点，则1OP 2＋1
OQ 2＝3＋5＝8.故选B
例7 数列{a n }成等比数列的充要条件是 ( B )
A ．a n ＋1＝a n q (q 为常数)
B ．a 2
n ＋1＝a n ·
a n ＋2≠0 C ．a n ＝a 1q n －1(q 为常数)
D ．a n ＋1＝a n ·a n ＋2
解析 考查特殊数列0,0，…，0，…，不是等比数列，但此数列显然适合A ，C ，D 项．故选B.
探究提高 判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定义法，也就是看a n ＋1a n 是
否为常数，但应注意检验一个数列为等比数列的必要条件是否成立． 变式训练7 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2n a n
＝4n －1
2n －1，
则S 2n
S n
的值为
( C )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
解析 方法一 (特殊值检验法)
取n ＝1，得a 2a 1＝31，∴a 1＋a 2a 1＝41＝4，于是，当n ＝1时，S 2n S n ＝S 2S 1＝a 1＋a 2
a 1＝4.
方法二 (特殊式检验法)
注意到a 2n a n ＝4n －12n －1＝2·
2n －12·n －1，取a n ＝2n －1，
S 2n
S n ＝1＋(4n －1)
2·2n 1＋(2n －1)2·n ＝4.
方法三 (直接求解法)
由a 2n a n ＝4n －12n －1，得a 2n －a n a n ＝2n 2n －1，即nd a n ＝2n 2n －1，∴a n ＝d (2n －1)2，于是，S 2n
S n ＝a 1＋a 2n
2·2n
a 1＋a n
2
·n
＝2·a 1＋a 2n
a 1＋a n
＝2·d 2＋d
2(4n －1)d 2＋d
2
(2n －1)＝4. 题型五 筛选法
数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符
合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论． 例8 方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( C )
A ．0 B ．a<1 C ．a≤1 D ．0 解析 当a ＝0时，x ＝－1 2 ，故排除A 、D.当a ＝1时，x ＝－1，排除B.故选C. 探究提高 选择具有代表性的值对选项进行排除是解决本题的关键．对“至少有一个负根”的充要条件取值进行验证要比直接运算方便、易行．不但缩短时间，同时提高解题效率． 变式训练8 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( D ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] 解析 令m ＝0，由f (x )＝0得x ＝1 3 适合，排除A 、B.令m ＝1，由f (x )＝0得：x ＝1适合，排除C. 题型六 估算法 由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目， 不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次． 例9若A 为不等式组???? ? x ≤0y ≥0 y －x ≤2 表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1 时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( C ) A.3 4 B ．1 C.74 D ．2 解析 如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S △OAB ＝1 2×2×2＝2小，故选C 项． 探究提高 “估算法”的关键是应该确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在所求值应该比△AOB 的面积小且大于其面积的一半． 变式训练9 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( D ) A.16 9π B.8 3 π C.4π D.649 π 解析 ∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝23 3，则S 球＝ 4πR 2≥4πr 2 ＝16 3π>5π，故选D. 规律方法总结 1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法． 2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃． 3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力. 知能提升演练 1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(?N B)等于( A) A．{1,5,7} B．{3,5,7} C．{1,3,9} D．{1,2,3} 解析由于3∈?N B，所以3∈A∩(?N B)∴排除B、C、D，故选A. 2．已知向量a，b不共线，c＝k a＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( D) A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向 解析 当k ＝1时，c ＝a ＋b ，不存在实数λ，使得a ＝λb .所以c 与d 不共线，与c ∥d 矛盾．排除A 、B ；当k ＝－1时，c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，所以c ∥d ，且c 与d 反向．故应选D. 3．已知函数y ＝tan ωx 在? ?? ?? －π2，π2内是减函数，则( B ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1 D ．ω≤－1 解析 可用排除法，∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数，∴排除A 、C ，又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小 于π，∴y ＝tan ωx 在? ?? ?? －π2，π2内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除D ， 故选B. 4．已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 ( B ) A ．(0,2) B ．(0,8) C ．(2,8) D ．(－∞，0) 解析 当m ＝1时，f (x )＝2x 2－6x ＋1，g (x )＝x ，由f (x )与g (x )的图象知，m ＝1满足题设条件，故排除C 、D.当m =2时，f (x )=4x 2-4x +1,g (x )=2x ,由其图象知， m =2满足题设条件，故排除A.因此，选项B 正确． 5．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA → 与向量OB → 的夹角的取值范围是 ( D ) A ．[0，π 4 ] B ．[5π12，π2] C ．[π4，5π12 ] D ．[π12，5π 12 ] 解析 ∵|CA → |= 2，∴A 的轨迹是⊙C ，半径为 2.由图可知∠COB ＝π4，设向量OA →与向量OB → 的夹角为θ，则π4－π6≤θ≤π4＋π 6，故选D. 6．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝? ???? f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为 ( C ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞) 解析 函数 f (x )＝2－|x |＝(12 )|x |，作图 f (x )≤K ＝1 2?x ∈(－∞，－1]∪[1,＋∞),故在 (－∞,－1)上是单调递增的,选C 项． 7．设x ，y ∈R ，用2y 是1＋x 和1－x 的等比中 项，则动点(x ，y )的轨迹为除去 x 轴上点的 ( D ) A ．一条直线 B ．一个圆 C ．双曲线的一支 D ．一个椭圆 解析 (2y )2＝(1－x )(1＋x )(y ≠0)得x 2＋4y 2＝1(y ≠0)． 8．设A 、B 是非空数集，定义A *B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∈A ∩B }，已知集合A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，则A *B 等于 ( C ) A ．[0,1]∪(2，＋∞) B ．[0,1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[0,2] 解析 A ＝R ，B ＝(1，＋∞)，故A *B ＝(－∞，1]，故选C. 9．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2 ＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为 双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP → 的取值范围为 ( B ) A ．[3－23，＋∞) B ．[3＋23，＋∞) C ．[－7 4，＋∞) D ．[7 4，＋∞) 解析 由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2 ＝1.设P (x ，y )(x ≥3)， OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y ) ＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2 ＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x ≥3)． 令g (x )＝43x 2 ＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增．g (x )min ＝g (3)＝ 3＋2 3. 10．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，则( C ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 102<0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51 解析 取满足题意的特殊数列a n ＝0，则a 3＋a 99＝0，故选C. 11．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－1 2a 8的值为 (C ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 解析 令等差数列{a n }为常数列a n ＝16.显然a 7－1 2 a 8＝16－8＝8.故选C. 12．若1a <1 b <0，则下列不等式：①a ＋b b >2中，正确的不等式是 (C ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 解析 取a ＝－1，b ＝－2，则②、③不正确，所以A 、B 、D 错误，故选C. 13.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为 ( C ) 解析 观察并联想P 运动轨迹与d 的关系，当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当开始运动时d 递减，排除B. 14．若函数f (x )＝???? ?? x 2 x 2＋1－a ＋4a 的最小值等于3，则实数a 的值等于 (A ) A. 34 B ．1 C. 3 4 或1 D ．不存在这样的a 解析 方法一 直接对照法令 x 2 x 2＋1 ＝t ，则t ∈[0,1)．若a ≥1，则f (x )＝|t －a |＋4a ＝5a －t 不存在最小 值；若0≤a <1，则f (x )＝|t －a |＋4a ，当t ＝a 时取得最小值4a ，于是4a ＝3，得a ＝3 4 符合题意；若a <0， f (x )＝|t －a |＋4a ＝t ＋3a ，当t ＝0时取得最小值3a ，于是3a ＝3，得a ＝1不符合题意．综上可知，a ＝ 34 . 方法二 试验法 若a ＝1，则f (x )＝??? ?? ???x 2 x 2＋1－1＋4>4，显然函数的最小值不是3，故排除选项B 、C ；若a ＝34，f (x )＝????? ???x 2x 2＋1－34＋3，这时只要令x 2x 2＋1－34＝0，即x ＝±3，函数可取得最小值3，因此A 项正确，D 项错误． 15．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2 <θ<π)，则tan θ 2等于( D ) A. m －3 9－m B ．|m －3 9－m | C. 13 D ．5 解析 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，故m 为一确定的值，于是sin θ，cos θ的值应与m 的值无关，进而tan θ2的值与m 无关，又π2<θ<π，π4<θ2<π2，∴tan θ2>1， 故选D项． 16．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如下图，那么y＝f(x)，y＝g(x)图象可能是( D ) 解析从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B项，再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢，可明显看出y＝f(x)的导函数是减函数，所以原函数应该增加的越来越慢，排除A、C两项，最后只有D项，可以验证y＝g(x)导函数是增函数，增加越来越快． 高考数学填空选择压轴题试题汇编（理科） 目录（120题） 第一部分函数导数(47题)······································2/23 第二部分解析几何(23题)······································9/29第三部分立体几何（11题）·····································12/31 第四部分三角函数及解三角形（10题）··························14/32 第五部分数列（10题）········································15/33 第六部分概率统计（6题）·····································17/35 第七部分向量（7题）·········································18/36 第八部分排列组合（6题）······································19/37 第九部分不等式（7题）········································20/38 第十部分 算法（2 题）··········································21/40 第十一部分 交叉部分（2 题）·····································22/40 第十二部分 参考答 案············································23/40 【说明】：汇编试题来源 河南五年高考真题5套；郑州市2011年2012年一模二模三模试题6套；2012年河南省各地市检测试题12套；2012年全国高考文科试题17套。共计40套试题.试题为每套试卷选择题最后两题，填空最后一题。 第一部分 函数导数 1.【12年新课标】（12）设点P 在曲线1 2 x y e = 上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的 最小值为( ) 2.【11年新课标】(12)函数x y -= 11 的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于( ) 3.【10年新课标】（11）()??? ??>+-≤<=10,62 1100,lg x x x x x f ，若c b a ,,均不相等，且 ()()()c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（ ） 4.【09年新课标】（12）用{}c b a ,,m in 表示c b a ,,三个数中的最小值。设 (){}()010,2m in ≥-+=x x x x f ,则()x f 的最大值为( ) 5.【11年郑州一模】12．若定义在R 上的偶函数()(2)()f x f x f x +=满足，且当 [0,1],(),x f x x ∈=时则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 6.【11年郑州二模】 7.【11年郑州二模】设()x f 是R 上的奇函数，且()01=-f ，当0>x 时， () ()()021'2 <-+x xf x f x ，则不等式()0>x f 的解集为________. 高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。 首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景。 （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。 （3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。 （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。 （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义。 （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系。 5. 向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。 选择题的解题方法与技巧 题型特点概述 选择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一般占全卷的40%左右，高考数学选择题的基本特点是： (1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一． (2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力． 目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断． 数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段． 解题方法例析 题型一 直接对照法 直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解． 例1 设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)?f(x ＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99) 等于 ( C ) A ．13 B ．2 C.13 2 D.213 思维启迪: 先求f(x)的周期． 解析 ∵f (x ＋2)＝13 f (x )， ∴f (x ＋4)＝13f (x ＋2)＝13 13 f (x )＝f (x )． ∴函数f (x )为周期函数，且T ＝4. ∴f (99)＝f (4×24＋3)＝f (3)＝13f (1)＝13 2. 探究提高 直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法 时,要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有 的结论，迅速得到所需结论．如本题通过分析条件得到f(x)是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键． 常用逻辑用语(附参考答案) 一、选择题 1．命题“如果x≥a 2+b 2,那么x≥2ab”的逆否命题是( ) A ．如果x4；221 0231 x x x x ++3-+，则非p 是非q 的______ ___条件． 三、解答题 10．求证：a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直的充要条件． 11．已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-mx+2=0}，若A 是B 的必要不充分条件，求实数m 范围． 12．给定两个命题,P ：对任意实数x 都有012 >++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程 02=+-a x x 有实数根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围． 专题1 函数 (理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。 综合小测1 一、选择题 1.函数y =2x +1的图象是 2.△ABC 中，cos A = 135，sin B =53 ,则cos C 的值为 A. 65 56 B.－6556 C.－6516 D. 65 16 3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N*，则可作出的l 的条数为 A.1 B.2 C.3 D.多于3 4.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 A.f (x ·y )=f (x )·f (y ) B.f (x ·y )=f (x )+f (y ) C.f (x +y )=f (x )·f (y ) D.f (x +y )=f (x )+f (y ) 5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是 A.b ∥α,c ∥β B.b ∥α,c ⊥β C.b ⊥α,c ⊥β D.b ⊥α,c ∥β 6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ） A.14 B.16 C.18 D.20 7.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 A.8种 B.10种 C.12种 D.32种 8.若a ,b 是异面直线，a ?α,b ?β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为 A.l 与a 、b 分别相交 B.l 与a 、b 都不相交 C.l 至多与a 、b 中的一条相交 D.l 至少与a 、b 中的一条相交 9.设F 1，F 2是双曲线4 2 x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1 PF ·2PF =0，则|1 PF |·|2PF |的值等于 A.2 B.22 C.4 D.8 10.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N*)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为 A.31 B.40 C.31或40 D.71或80 11.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率 A.小 B.大 C.相等 D.大小不能确定 12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在 A.P 点 B.Q 点 C.R 点 D.S 点 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 二、填空题 13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________. 14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________. 15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________. 高考数学历年考点框架 理科数学每年必考知识点： 复数、程序框图、三视图、函数与导数、三角函数、圆锥曲线、球的组合体、（计数原理、概率与统计模块）等。 理科数学每年常考的知识点： 常用逻辑用语、集合、线性规划、数列、平面向量、解三角形、定积分、直线与圆等。 最后冲刺指导（14个专题） 1、集合与常用逻辑用语小题 （1）集合小题 历年考情： 针对该考点，近9年高考都以交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。 常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是还是。 2020高考预测： （2）常用逻辑用语小题 历年考情： 9 年高考中2017 年在复数题中涉及真命题这个概念．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称（2015 考的冷点），思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂。 简单叙述：小范围是大范围的充分不必要；大范围是小范围的必要不充分。 2020高考预测： 2、复数小题 历年考情： 9 年高考，每年1 题，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等。 无法直接计算时可以先设z=a+bi 2020高考预测： 3、平面向量小题 历年考情： 高中数学50个解题小技巧 XX：__________ 指导：__________ 日期：__________ 1 . 适用条件 [直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。 注：上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。 2 . 函数的周期性问题(记忆三个) (1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。 注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。 c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。 3 . 关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下 (1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a， b)中心对称 4 . 函数奇偶性 (1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空 5 . 数列爆强定律 (1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);(2)等差数列中： S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立(4)等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q 6 . 数列的终极利器，特征根方程 首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p2(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。 二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7 . 函数详解补充 1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外 2、复合函数单调性：同增异减 3、重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。 8 . 常用数列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2记忆方法 前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2 9 . 适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式 k椭=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k双={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k抛=p/yo 注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 10 . 强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技 已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条件)a1a2+b1b2=0;若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[这个条件为了 高考数学选择题满分答题技巧 前面讲到，高考选择题占高考分数比重十分可观，750分中约有320分为选择题，占总分的45%左右。其中数学选择题的分数为60分，而且单项分数很高，两道选择题的分数等于一道大题的分数。学生的在选择题这类题型上，又普遍失分严重，据不完全统计，400分左右的学生，选择题丢分高达150~240分。500分左右的学生选择题丢分80~150分。所以，一直以来，选择题是拉开同学们分数距离的一条屏障，老师总是利用选择题的特点，让高考的选拔形成梯度。如果选择题不丢分，同学们的总分就可以大幅度的提升，快速跨越当前的局限。 解答高考选择题既要求准确破解，又要快速选择，正如《考试说明》中明确指出的，应“多一点想的，少一点算的”。我们都会有算错的时候，怎样才不会算错呢？“不算就不会算错” 因此，在解答时应该突出一个＂选＂字，尽量减少书写解题过程，在对照选择支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取。我们不要给任何“方法”做出限定，重要的是这种解答的思想方式。下面略举数例加以说明： 快速解题思维一、利用题目中的已知条件和选项的特殊性。对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。 大家看题目，就可以看到所有选项都是数值。并且这个数值正是我们所求的k1k2的值。这么说来，无论任何情况下，都能满足这个条件。于是我们可以令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为短轴上的一个顶点，那么就极大地简化了计算过程，省去了“标准答案”中提供的设置未知数，产生庞大的计算量。通过特殊图形的构建，就能简化整个计算过程，最终得出选项为B（请大家自行计算）。 例2 △ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，B是A和C的等差中项，则a+c与2b的大小关系是 （） A a+c<2b B a+c>2b C a+c≥2b D a+c≤2b 大家看这道题，本题中没有给定三角形的具体形状，故说明任何三角形都可以得出一个唯一选项。所以我们不妨令A=B=C=600，则可排除A、B，再取角A，B，C分别为300，600，900，可排除C，故答案为D。 2019年高考理科数学选择填空的答题技巧第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分 1～12，单选 选择题只有一个答案是正确的，因此可充分利用题目提供的信息，排除迷惑支的干扰，正确、合理、迅速地从选择支中选出正确支。选择题中的错误支具有两重性，既有干扰的一面，也有可利用的一面，只有通过认真的观察、分析和思考才能揭露其潜在的暗示作用，从而从反面提供信息，迅速作出判断。 高考理科数学选择题答题套路 理科数学选择题答题套路：剔除法：利用已知条件和选项所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。 理科数学选择题答题套路：特特殊值检验法：对于具有一般性的数学问题，在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。 高考数学选择题的解法 1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真， 则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。例：△ABC的三个顶点在椭圆4x2+5y2=6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为 A.-5/4 B.-4/5 C.4/5 D.2√5/5 解析：因为要求k1k2的值，由题干暗示可知道k1k2的值为定值。题中没有给定A、B、C三点的具体位置，因为是选择题，我们没有必要去求解，通过简单的画图，就可取最容易计算的值，不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为椭圆的短轴上的一个顶点，这样直接确认交点，可将问题简单化，由此可得，故选B。 2.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。 3.剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士 高中数学函数知识点总结 1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是y x x x = --432 lg ()()()（答： ，，，）022334Y Y 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数 x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数 x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？ []的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 []（答：，）a a - 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解 出x 的范围，即为 [])(x g f y =的定义域。 例 若函数 )(x f y =的定义域为?? ? ???2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。 分析：由函数 )(x f y =的定义域为?? ? ???2,21可知：221≤≤x ； 所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4 第四部分题型专练 客观题专练(一) 【选题明细表】 一、选择题 1.(2014肇庆一模)若全集U={1,2,3,4,5},集合 M={1,3,5},N={3,4,5},则?U(M∩N)等于( C ) (A){2} (B){1,2} (C){1,2,4} (D){1,3,4,5} 解析:M∩N={3,5},所以?U(M∩N)={1,2,4},故选C. 2.(2014大连二模)设复数z满足zi=-3+i(i为虚数单位),则z的虚部是( C ) (A)-3 (B)-3i (C)3 (D)3i 解析:zi=-3+i ∴z===1+3i, 故z的虚部为3,选C. 3.(2014商丘三模)命题p:?x∈[0,+∞),2x≥1,则 p是( A ) (A)?x 0∈[0,+∞),<1 (B)?x∈[0,+∞),2x<1 (C)?x 0∈[0,+∞),≥1 (D)?x∈[0,+∞),2x≤1 解析:全称命题的否定为特称命题,故选A. 4.(2014江门模拟)已知a=(1,-2),|b|=2,且a∥b,则b等于( C ) (A)(2,-4) (B)(-2,4) (C)(2,-4)或(-2,4) (D)(4,-8) 解析:设b=(x,y),则 解得或 故b=(2,-4)或(-2,4),选C. 5.(2014郑州一模)如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的体积为( B ) (A)3(B)9(C)6(D)18 解析:由三视图知原图是一个底面为边长为3的正方形,高为的斜四棱柱,所以V=Sh=3×3×=9,故选B. 6.(2014哈师大附中模拟)若sin (x-)=,则cos (-2x)等于( C ) (A) (B)-(C)(D)- 解析:cos (-2x)=cos (2x-)=cos [2(x-)]=1-2sin2 (x-)=1-2×()2=,故选C. 7.(2014山西四校联考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a2、a5是方程2x2-3x-2=0的两个根,则S6等于( A ) (A)(B)5 (C)-(D)-5 解析:由韦达定理可知a2+a5=,由等差数列的性质知a2+a5=a1+a6,根据等差数列的求和公式S6==,故选A. 8.(2014吉林三模)某社区医院为了了解社区老年人与儿童每月患感冒的人数y(人)与月平均气温x(℃)之间的关系,随机统计了某4个月的月患病(感冒)人数与当月平均气温,其数据如下表: 10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧 特值法： 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 例1 (2017·卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b 2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1 b C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2 a D.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2 a 例2．设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈，则()f n =（ ） A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一（特值法）：令0n =，则34 4 7 10 421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--，对照选项，只有D 成立。 思路二：f （n ）是以2为首项，8为公比的等比数列的前4n +项的和，所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--，选D 。这属于直接法。 例3.若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（ ） A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】：因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2 (1)y x =-，则(2)y f x =变为2 (21)y x =-，即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ，选C 例4．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，=m(++)OH OA OB OC ，则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ，点O 为斜边的中点，点H 与三角形直角顶点C 重合，这时候有=++OH OA OB OC ，所以m=1 高中数学九大解题技巧 1、配法通过把一个解析式利用恒等变形的，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的，叫配。配用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的恒等变形的，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题。通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的 综合测试题 一、选择题（60分） 1．(2010·全国Ⅱ理，1)复数??? ?3－i 1＋i 2 ＝( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4i D ．3＋4i 2曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为（ ） （A ） 3 8 （B ） 3 7 （C ） 3 5 （D ） 3 4 3、已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（ ） （A ） e 1 （B ）e 1- （C ） e 2 （D ）e 2- 4. 已知14a b c =+= =则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a>b>c B ．c>a>b C ．c>b>a D ．b>c>a 5. 有一段“三段论”推理是这样的： 对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中（ ） A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 6. .在复平面内, 复数1 + i 与31+i 分别对应向量OA 和OB , 其中O 为坐标原点,=（ ） A.2 B.2 C. 10 D. 4 7、函数2 ()1 x f x x = -（ ） A ．在(0,2)上单调递减 B ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递增 C ．在(0,2)上单调递增 D ．在(,0)-∞和(2,)+∞上单调递减 8.某个命题与正整数有关，若当 ) (* N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时 该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得( ) (A)当6=n 时，该命题不成立 (B)当6=n 时，该命题成立 (C)当4=n 时，该命题成立 (D)当4=n 时，该命题不成立 9、用数学归纳法证明不等式“ )2(24 13212 11 1>>+ +++ +n n n n ”时的过程中，由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（ ） （A ）增加了一项 ) 1(21+k （B ）增加了两项 ) 1(211 21++ +k k 高考数学选择题技巧精 选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8- 高考数学选择题的解题策略 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。 （一）数学选择题的解题方法 1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人至少有2次 击中目标的概率为 （ ） 解析：某人每次射中的概率为，3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆 于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（ ）高考数学填空选择压轴题试题汇编
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