解读因式分解系列之一 编制人：平生曜曜
因式分解的定义与基本方法
解读之一：因式分解的定义
1、因式分解的定义是什么？
答：把一个多项式，转化为几个整式，的连续乘积的形式，叫因式分解。
〈强调〉：因式分解结果中的每一个因式必须是“整式”，即是说，用于相乘的东西必须是整式，而不能是分式或根式。
所谓整式，是指“字母”既没有出现在“分母中”，也没有出现在“根号内”的代数式，整式包括“单项式”和“多项式”；
所谓分式，是指“字母”出现在“分母中”的代数式；
所谓根式，是指“字母”出现在“根号内”的代数式；
2、下面通过举例，来对“因式分解”的定义作更具体的解读：
（1）、例如，把多项式： x ＋2化为：x （1＋
x 2） ， 这种转化，不能称为因式分解，为什么呢？
因为，其中的“1＋
x
2”不是整式，而是分式。
（2）、又如，有人根据公式：x 2－y 2 =（x+y ）（x －y ），
先把多项式：x 2－3，理解为：（x ）2－（3）2 ，
然后再分解为：（x +3）（x －3） ，这种转化，可以算作是因式分解，但这不是在“有理数范围”内进行的因式分解，而是在“实数范围”内进行的因式分解。
〈强调〉：一般而言，题目没有明确要求在“实数”范围内进行因式分解时，我们只能理解为在“有理数”范围内进行因式分解。
（3）、再如：居然还有同学根据公式：x 2－y 2 =（x+y ）（x －y ），
先把多项式：x －3理解为：（x ）2－（3）2 ，
然后再分解为：（x +3）（x －3） ，这就绝对不是因式分解了！为什么呢？因为其中的“x ”不是整式，而是根式。
〈强调〉：因式分解的结果，必须是若干个“整式”之间的 “连乘式”。如果一个结果不是连乘式，那么它绝对不能当作因式分解的结果！
（4）、例如，有同学把多项式：a 2－b 2+1转化为：（a+b ）（a －b ）+1 ，这个结果根本就“不是因式分解”，因为其结果“不是连乘式”，只能说成是“对原式的局部进行了因式分解”！
（5）、又如，有同学生把多项式：x 2 －2x + 2，转化为：（x － 1）2 + 1，这个结果不是连乘式，当然也就不能称为是对原式进行了因式分解。
〈强调〉：这些转化过程并非毫无意义，虽然它们没有对原式的整体进行因式分解，而只是对原式的局部进行了因式分解，但这类具有“因式分解味道”的转化手段，在某些特定情况下，对解题却是凑效的。
（6）、如：无论x 取何值，代数式5x 4x 2
+-的值___________。
A 、可能是负数.
B 、可能是非正数.
C 、必定是≥1的数.
D 、必定是＞1的数.
解读之二
对一个多项式进行因式分解，其基本思路是什么
当我们要对一个多项式进行因式分解时，一般应遵循如下思路：
基本思路之1：提取公因式法，即：在原式中，寻求“公共因式”，然后再提取“公共因式”，最后再看能否再继续进行分解。
基本思路之2：运用公式法，即：先尝试 “用某个公式”（一般要考虑：平方差公式、
完全平方公式、“十字相乘法”公式……）去把原式进行因式分解，然后再看能否继续进行分解，直至彻底。
基本思路之3：分组分解法，即：如果前两条思路都不行，则应该考虑对原式进行合理的分组，寄以希望各小组能通过“提取公因式法”或“运用公式法”来先作第一步局部的分解，然后再观察这些局部分解的结果，一是观察它们是否产生了新的公因式以便能再一次通过继续提取公因式来作进一步的分解；二是观察它们是否可以运用公式再一次进行分解？
〈非常值得申明〉：分组是一个试错、尝试的过程，倘若发现分组分得不恰当（何为不恰当？答：不能实现最终分解的分组，就是不恰当的分组！）时，要及时微调、重组，以便使得分解能继续进行下去，直至进行到彻底不能再分解为止！
解读之三
对因式分解“第一条”思路
（即：提取公因式法）的具体阐述
1、公因式的定义是什么？
答：公因式是指一个多项式中，各个部分之间的公共因式。
2、公因式可分为三种不同的类型：
（1）、单项式公因式；
（2）、多项式公因式；
（3）、复合型公因式；
3、找公因式的方法是什么？
（1）、先判断有没有必要提取“－符号”；
（2）、找各部分系数的“最大公约数”；
（3）、找各部分“公共单独字母的最低次幂”；
（4）、找各部分“公共整体字母的最低次幂”；
4、下面通过举例，来对“提取公因式法”作具体的解读。
（1）、例如，分解因式：2x4y + 4 x3y －2 x2y ，…………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是：______________________________________。
〈分析〉：原式由“2x4y”、“+4 x3y”、“－2 x2y”三部分组成，
其公因式为：2x2y ，所以由“提取公因式法”可将原式分解因式。
解：原式=2x2y（x2+2x－1）；
〈声明〉：①、对于一个多项式，把它的“公因式”提出去过后，括号里应该剩下什么？可由口诀“提出去、保留商”来引导我们；
②、本题中的公因式“2x2y”就属于“单项式公因式”。
（2）、又例如，分解因式：x2（y2－2x）+ 2x（y2－2x）+（y2－2x），…………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是：______________________________________。
〈分析〉：原式由“x2（y2－2x）”、“+ 2x（y2－2x）”和“（y2－2x）”三部分组成，其公因式为：（y2－2x），所以由“提取公因式法”可将原式分解因式：
解：原式=（y2－2x）（x2+2x+1），其中x2+2x+1 ，还可分解为：（x+1）2
于是原式=（y2－2x）（x+1）2；
〈声明〉：本题中的公因式“（y2－2x）”就属于“多项式公因式”；
（3）、又例如，分解因式：x2（x－y）－x（y－x）+2（y－x ），…………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是：______________________________________。
〈分析〉：原式由“x2（x－y）”、“－x（y－x）”和“+2（y－x ）”这三部分组成，其中的“（x－y）”和“(y－x ）”，虽然不相同，但可以进行“恒等微调”，使它们变为相同。解：原式= x2（x－y）+ x（x－y）－2（x－y），理由:(y－x)= －（x－y）原式=（x－y）（x2+x－2），理由：提取公因式: （x－y）
原式=（x－y）（x+2）（x－1），理由：用“十字相乘法”分解x2+x－2
〈声明〉：对于某些“不同，但恰好互为相反数”的多项式，我们可以通过交换“被减数与
减数”的位置来实现“化成相同因式”的转化。
（4）、再例如，分解因式：3m2 n（n－m）2 + 6mn（m－n）3 …………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是：______________________________________。
〈分析〉：原式由“3m2 n（n－m）2”和“+ 6 mn（m－n）3”，两部分组成，其中的“（n －m）2”和“（m－n）3”虽然不相同，但可以进行“恒等微调”，使它们变为相同。解：原式=3m2 n（n－m）2 － 6 mn（n－m）3
〈解释〉：上一步的理由:+ 6 mn（m－n）3 = － 6 mn（n－m）3
原式 =3 mn（n－m）2[m－2 (n－m)]
〈解释〉：上一步的理由：提取公因式：3 mn（n－m）2
原式=3 mn（n－m）2（3m－2n）
另解：原式=3m2n（m－n）2 + 6 mn（m－n）3
〈解释〉：上一步的理由: 3 mn（n－m）2 = 3mn（m－n）2
原式=3 mn（m－n）2[m +2(m－n)]
〈解释〉：上一步的理由：提取公因式：3 mn（m－n）2
原式=3 mn（m－n）2（3m－2n）
〈声明〉：①、本题中的公因式“3 mn（n－m）2”就属于一种“复合型公因式”；②、本题的“恒等微调”过程，用到了以下公式:
（1）：（x+y）任意次方
=（y+x）
任意相同次方
（2）：（x－y）任意偶数次方
=（y－x）
任意相同偶数次方
（3）：（x－y）任意奇数次方
= －（y－x）
任意相同奇数次方
解读之四
对因式分解“第二条”思路中
运用“平方差公式、完全平方公式”的具体阐述
1、运用“平方差”公式：a2－b2=（a+b）（a－b）
2、运用“完全平方”公式：
（1）、“和”的完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2
（2）、“差”的完全平方公式：a2－2ab+b2=（a－b）2
3、运用“十字相乘法”公式：x2+（a+b）x + ab = （x+a）（x+b）
〈声明〉：十字相乘法的运用，一般有一个“尝试、试错、微调、修正”的过程，可以总结这样的口诀：
“竖起相乘分别得两边，交叉相乘之和得中间”。
4、下面通过举例，来对“运用公式法”作具体的解读。
（1）、例如，用平方差公式，分解因式：9x2 y2－25y2 …………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是：______________________________________。
〈分析〉：有同学一开始就注意到，原式可理解为：[3xy]2 －[5y]2 ，
从而可利用“平方差公式”来分解因式，于是这样来解题：
解：原式=[3xy]2 －[5y]2，理由：这样书写便于理解
=（3xy + 5y）（3xy －5y）理由：利用公式：a2－b2=（a+b）（a－b）
从而原式=y（3x + 5）×y（3x －5）理由：提取新产生的公因式：y
=y 2（3x + 5）（3x －5）理由：化简、整理：y×y = y 2
〈另析〉：有同学一开始就注意到，原式中有公因式：y2 ，从而可以从提取公因式开始，来迈出解题的第一步：
另解：原式= y 2（9x2－25）理由：提取公因式：y 2
从而原式 = y 2[（3x）2 －（5）2]
上一步书写的理由：写成“a2－b2”的形式，便于理解；
原式 = y 2（3x + 5）（3x －5）理由：利用公式：a2－b2=（a+b）（a－b）
〈声明〉：你感觉哪一种方法不容易犯错呢？这让我们联想到是否有必要去总结一种“防错策略”来避免以后重犯“类似的”错误呢？
（2）、又如，分解因式：25（a+b）2－9（a－b）2 …………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是：______________________________________。
〈分析〉：原式由“25（a+b）2”和“－9（a－b）2”两部分组成，二者之间没有任何公因式可提取，但可以注意到原式可理解为：
[5（a+b）]2－[3（a－b）]2 ，从而可以利用“平方差公式”来分解因式，于是这样来解题：
解：原式=[5（a+b）+ 3（a－b）]×[5（a+b）－3（a－b）]
上一步的理由是：利用公式：a2－b2=（a+b）（a－b）将原式分解因式；
从而原式=（8a + 2b）（2a + 8b）理由：化简、整理；
然后原式=4（4a + b）（a + 4b）
上一步的理由：每个小括号中，各提取一个公因式“2”，然后2×2 = 4
〈声明〉：如果你的答案是“（8a + 2b）（2a + 8b）”，你觉得寻思“防错策略”的问题迫切吗？
（3）、例如，用完全平方公式，分解因式：18a x2 + 24axy + 8a y2 …………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是：______________________________________。
〈分析〉：原式由“18a x2”、“+ 24axy”和“+ 8a y2”三部分组成，其中有公因式“2a”可提取，所以先“提取公因式”，再走着瞧！
解：原式=2a（9x2 + 12xy + 4y2）理由：提取公因式：2a
接下来的重点，该是去看“9x2 + 12xy + 4y2”还能否继续分解？
容易发现其中的“9x2”和“+ 4y2”刚好是两个“平方项”，它们分别是“首数3x”的平方，以及“尾数2y”的平方，倘若原式中的“+ 12xy”又恰好是首、尾两数的“2倍交叉项（即：2×3x×2y）”，那么就是“瞌睡遇到枕头”了！
这里，“9x2 + 12xy + 4y2”恰好是一个“完全平方式”！当我们的想法得到证实后，就可以继续如下作答：
原式=2a[（3x）2 +（2y）2 +2×3x×2y]
以上一步的理由：把“9x2 + 12xy + 4y2”写成“a2+ b2 +2ab”的形式，便于理解，其实这步大可省略不写。
于是，原式=2a[3x+ 2y] 2 这一步的理由：a2+2ab+b2=（a+b）2
（4）、又例如，分解因式：－4x2 + 4xy －y2 …………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是：______________________________________。
〈分析〉：原式由“－4x2”、“+4xy ”和“－y2”三部分组成，这里没有
任何公因式可提取，咋办呢？接下来就看看它能否用“公式法”来分解因式吧！
晃眼一看，这个多项式貌似“完全平方式”，但我们又能发现其中的两个“平方项”：“－4x2”和“－y2”都是“负的”，而一个完全平方式中的两个平方项都必须是“正的”，咋ger办？我们姑且先通过提取“负符号”，把那两个该死的平方项化的符号化成正的，然后再随机应变吧！
解：原式 = －（4x2 －4xy + y2）理由：提取公因式：“－符号”
接下来，就看你的神识了！提走公因式之后，剩在“括号”里的“4x2 －4xy + y2”是完全平方式吗？哈哈！难道不是吗？
你看，两个平方项：首平方→（2x）2、尾平方→（y）2；
还配了，2倍交叉项：2×首×尾→－2×（2x）×（y）= －4xy；
我若说它不是“完全平方式”，你都说我哄鬼去吧！
显你的然，原式 = －（2x－y）2
〈感悟〉：在拼凑“完全平方式”时，必须要先保证两个“平方项”是_______
（选填：正、负）的，其次再去查验这两个“平方项”是否配备了“_______
倍交叉项”？
（5）、又例如，分解因式：（a－b）2 + 6a（a－b）+ 9a2
…………先………写………出………你………的………答………案…………
我的答案是：______________________________________。
〈分析〉：原式由“（a－b）2”、“+ 6a（a－b）”和“+9a2”三部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现若把“（a－b）”视为一个整体，则原式刚好是一个完全平方式！…………你………的………神………识………感………同………否…………
解：原式=（a－b）2 + 2 ×（a－b）×3a + （3a）2
上一步理由：把原式写成如下“模板形式”，便于大家看得顺眼
（原始a）2 +2×（原始a）×（原始b）”+（原始b）2
不废话，原式=[（a－b）+ 3a] 2
= （4a－b）2
〈声明〉：本题把“（a－b）”视为一个整体，这就是数学里的_____________
思想。在学习任何一个数学公式、法则的时候，我们都要理解其中的“字母”是可以代表其他“更为复杂”的整体式子的。
（6）、再例如，分解因式：（a+b）4 －8（a+b）2 +16 …………先………写………出………你………的………答………案……………………终………于………把………你………难………倒………了…………
请开始你的表演：______________________________________。…………你………觉………得………你………倒………下………没……………………想………过………防………错………策………略………吗…………
请慎重写出你的答案：____________________________________。
〈分析〉：原式由“（a+b）4”、“－8（a+b）2”和“+16”三部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现若把“（a+b）2”视为一个整体，则原式刚好是一个完全平方式。
解：原式=[（a+b）2] 2 －2 ×[（a+b）2 ] ×[4] +[4] 2
上一步理由：把原式写成如下“模板形式”，便于大家一目了然：
[首] 2 － 2 ×[首]×[尾] + [尾] 2
所以，原式=[（a+b）2 －4 ] 2
也就相当于= [（a+b）2 －（2）2] 2，
其中“[ ]”内形如：（原始a）2 －（原始b）2，
所以，又可利用平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）来分解。
于是，原式= [（a +b +2）（a+b－2）] 2
〈牙尖舌怪〉：如果你真的只做到“[（a+b）2 －4 ] 2”这步，说明你瞧不起有关“防错策略”的建议，亦或你根本就没去思考自己解题中出现的重要破绽该如何补牢的问题。
（7）、再例如，分解因式：（a2+ b2）2 －4 a2b2
请开始你的表演：______________________________________。
解：原式=（a2+ b2）2 －（2ab）2
=（a2+ b2 +2ab）（a2+ b2 －2ab）
=（a + b）2（a － b）2
也可以=[（a + b）（a － b）] 2
〈建议〉：凡因式分解的题，最后都该养成“是否已经分解彻底”的思考，对吧！
初中阶段因式分解的常用方法（例题详解） 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1.因式分解的对象是多项式； 2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5.结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7.因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法. 因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 一、提公因式法. 如多项式am+bm+cm=m(a+b+c), 其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2, a3±b3=(a±b)(a2ab+b2) 写出结果． 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am+an+bm+bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑 两组之间的联系。 解：原式=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n)每组之间还有公因式！ =(m+n)(a+b) 思考：此题还可以怎样分组？ 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。 例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解：原式=(2ax-10ay)+(5by-bx)原式=(2ax-bx)+(-10ay+5by) =2a(x-5y)-b(x-5y)=x(2a-b)-5y(2a-b) =(x-5y)(2a-b)=(2a-b)(x-5y) 练习：分解因式1、a2-ab+ac-bc2、xy-x-y+1
因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又 有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如：—3x2? x=-x3x —1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 1 1 注意：把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2「b2 =(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2± 2ab+ b2= a-b2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的
因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)
因式分解的几种方法 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。把一个多项式在一个范围(如有理数范围内分解，即所有项均为有理数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 因式分解的几种方法 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x3-2x2-x x3-2x2-x=x(x2-2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2+4ab+4b2 解：a2+4ab+4b2=(a+2b)2 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m2+5n-mn-5m 解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n
= (m2-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且 ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2-19x-6 分析：1×7=7,2×(-3)=-6 1×2+7×(-3)=-19 解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x2+6x-40 解x2+6x-40=x2+6x+(9) -(9 ) -40 =(x+ 3)2-(7 )2 =[(x+3)+7]*[(x+3) – 7] =(x+10)(x-4) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多 数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2) (a±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 例.已知是的三边，且， 则的形状是（ ）a b c ，，ABC ?2 2 2 a b c ab bc ca ++=++ABC ?A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=) ()(bn bm an am +++ = 每组之间还有公因式！ )()(n m b n m a +++ = ))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式= 原式=)5()102(bx by ay ax -+-) 510()2(by ay bx ax +-+- = =)5()5(2y x b y x a ---)2(5)2(b a y b a x --- = =)2)(5(b a y x --) 5)(2(y x b a --练习：分解因式1、 2、bc ac ab a -+-2 1 +--y x xy
因式分解的多种方法——--知识延伸，向竞赛过度 1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握.常用的公式:完全平方公式、平方差公式 例一：0322 =-x x 解：x(2x-3）=0， x1=0，x2=3/2这是一类利用因式分解的方程. 总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x —a ）因式,这对我们后面的学习有帮助。 2. 公式法 常用的公式:完全平方公式、平方差公式。注意:使用公式法前,部分题目先提取公因式。 例二：42-x 分解因式 分析:此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =（a+b)(a —b) 2解:原式=（x+2）(x —2） 3. 十字相乘法 是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。 这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1，a2的积a1?a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果 例三： 把3722+-x x 分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2＝1×2＝2×1; 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1）=（-1）×（—3）. 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 原式=（x —3)(2x —1). 总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0）,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积,即c=c1c2，把a1，a2,c1,c2,排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
初中因式分解的常见方法 因式分解的概念与原则 1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。 2、原则： （1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）； （2）结果最后只留下小括号； （3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号； （4）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简； （5）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前； （6）相同因式的乘积写成幂的形式； （7）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。如另有要求，在要求的范围内分解。 因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； （3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解； （4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。 也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。” 因式分解的常用方法 因式分解与整式乘法是互逆的运算，是学好代数的基础之一，希望同学给以足够的重视。因式分解的每一步都必须是恒等变形，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用。在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等。下面通过例题一一介绍。 一.提取公因式法 (一)公因式是单项式的因式分解 1.分解因式 确定公因式的方法 ①系数:取各项系数的最大公因数;②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式); ③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂. 注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项. 解:原式=一4m2n(m2一4m+7). (二)公因式是多项式的因式分解 2.因式分解
初中常用因式分解公式 2013.6.6 一．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 二．因式分解方法： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有相同因式，那么就可以把这个相 同因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x2-2x 解：x2-2x =x(x -2) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 +4ab+4b 解：a2 +4ab+4b =（a+2b）（a+2b）完全平方公式 最常用的公式： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 注意该方法的核心是分组后能提取公因式！ 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 交差相乘再相加2-21=-19 解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配凑法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个我们已经会的分式分解方法，然后就能将其因式分解。
几种常见的因式分解方法 1． 提取公因式法 2． 分组分解法 3． 应用公式法，常用的公式有： （1）222)(2b a b ab a ±=+± （2）))((22b a b a b a -+=- （3）))((2233b ab a b a b a +±=± （4）33223)(33b a b ab b a a ±=±+± （5）2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++ （6）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 公式（5）证明如下： ac bc ab c b a 222222+++++ 222)22()2(c bc ac b ab a +++++= 22)(2)(c c b a b a ++++= 2)(c b a ++= 公式（6）证明如下： abc c b a 3333-++ abc ab b a c b ab b a a 333332233223---++++= )333(])[(2233abc ab b a c b a ++-++= )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]3)())[((22ab c c b a b a c b a -++-+++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++= 在特殊情况下，当c b a ++＝0时，就有abc c b a 3333-++＝0，
于是， （7）abc c b a 3333=++ 这就是说，如果三个整式的和为零，那么这三个整式的立方和等于这三个整式乘积的三倍． 4．十字相乘法 （1）有二次三项式q px x ++2，如果常数q 能分解成两个因数a 、b 的积，并使a ＋b ＝p ，则有 ))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++ （2）有二次三项式c bx ax ++2，如果二次项系数a 分解成两个因数a 1和a 2，常数项c 分解成两个因数b 1和b 2，并且使b b a b a =+2211，则有 c bx ax ++2211221221)(b b x b a b a x a a +++= ))((2211b x a b x a ++= （3）二元二次多项式f ey dx cy bxy ax +++++22的因式分解． 设f ey dx cy bxy ax F +++++=22 ))((222111c y b x a c y b x a ++++= 则])][()[(222111c y b x a c y b x a F ++++= 211122212211)()())([(c c y b x a c y b x a c y b x a y b x a +++++++= 可以看出，a 1、a 2、b 1、b 2是由22cy bxy ax ++确定的，这样可对22cy bxy ax ++先进行因式分解，再把f 分解成因数c 1和c 2．如果 ey dx y b x a c y b x a c +=+++)()(112221 则F 就可分解成两个一次因式111c y b x a ++和222c y b x a ++的积．这种分解方法可视为双十字相乘法． 对一个较复杂的多项式进行因式分解时，经常要综合运用以上方法，有时需要拆项和增减项，但在拆项和增减项时，要注意和原来的多项式保持相等．
公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：
例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
因式分解常用的几种方法 十字相乘法。 双十字相乘法运用很巧妙，可以将一个很复杂的数据简单地呈现，我们一起来学习一下吧！！ 双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。 双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下: ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f x、y为未知数，其余都是常数 用一道例题来说明如何使用。 例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12． 分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 解：图如下，把所有的数字交叉相连即可 x 2y 2 ① ② ③ x 3y 6 ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)． 双十字相乘法其步骤为： ①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中 x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)； ③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。 纯粹数学可以是实际有用的，而应用数学也可以是优美高雅的。下面，就来看看因式分解的题目了，你们想必也会乐在其中。 1．△ABC的三边a、b、c有如下关系式： -c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a+2b+c)=0． ∵a、b、c是△ABC的三条边， ∴a+2b+c>0． ∴a－c=0， 即a=c，△ABC为等腰三角形。 3证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33
因式分解的方法(初中版) 因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。 1】提取公因式 这种方法比较常规、简单，必须掌握。 常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等 例一：2 2x -3x=0 解：x(2x-3)=0 1x =0,2x =3/2 这是一类利用因式分解的方程。 总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式 这对我们后面的学习有帮助。 2】公式法 将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。 常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等 注意：使用公式法前，建议先提取公因式。 例二：2x -4分解因式 分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解：原式=(x+2)(x-2) 3】十字相乘法 是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。 这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21.a a 的积21.a a ，把常数项c 分解成两个因数21.c c 的积21.c c ，并使1221c a c a 正好是一次项b ，那么可以直接写成结果 例三： 把2 2x -7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ╳ 2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 原式=(x-3)(2x-1). 总结：对于二次三项式2 ax +bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=21.a a ，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=21.c c ，把2121,,,c c a a ，排列如下： 1a 1c ╳ 2a 2c 1221c a c a
因式分解の16種方法 因式分解沒有普遍の方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式輪換對稱多項式法，餘數定理法，求根公式法，換元法，長除法，除法等。 注意三原則 1 分解要徹底 2 最後結果只有小括弧 3 最後結果中多項式首項係數為正（例如：()1332--=+-x x x x ） 分解因式技巧 1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左邊必須是多項式；②分解因式の結果必須是以乘積の形式表示； ③每個因式必須是整式，且每個因式の次數都必須低於原來多項式の次數； ④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。 注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。 基本方法 ⑴提公因式法 各項都含有の公共の因式叫做這個多項式各項の公因式。 如果一個多項式の各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積の形式，這種分解因式の方法叫做提公因式法。 具體方法：當各項係數都是整數時，公因式の係數應取各項係數の最大公約數；字母取各項の相同の字母，而且各字母の指數取次數最低の；取相同の多項式，多項式の次數取最低の。 如果多項式の第一項是負の，一般要提出“-”號，使括弧內の第一項の係數成為正數。提出“-”號時，多項式の各項都要變號。 提公因式法基本步驟： （1）找出公因式； （2）提公因式並確定另一個因式： ①第一步找公因式可按照確定公因式の方法先確定係數在確定字母； ②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得の商即是提公因式後剩下の 一個因式，也可用公因式分別除去原多項式の每一項，求の剩下の另一個因式； ③提完公因式後，另一因式の項數與原多項式の項數相同。 口訣：找准公因式，一次要提淨；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把22a +21變成2(2a +4 1)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。 平方差公式：2a 2b -=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：2a ±2ab ＋2b ＝()2 b a ±
【例1】 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是( ) A ．223()33ab a b a b ab +=+ B ．222 2421x x x x ?? +=+ ??? C ．224(2)(2)a b a b a b -=+- D ．23633(2)x xy x x x y -+=- 因式分解概念及基本方法
【例2】 把下列各式分解因式 ⑴8x3y2＋12xy3z ＝4xy2·( )＋4xy2·( ) ＝4xy2·( ＋) ⑵2a(b＋c)－3(b＋c) ＝( )·(b＋c)－( )·(b＋c) ＝( －)·(b＋c) ⑶12abc－9a2b2＝__________； ⑷(x＋3)2－(x＋3)＝__________。 【例3】 因式分解： ⑴(x＋y)2－3(x＋y)＝________。 ⑵x(a－b)2n＋y(b－a)2n＋1＝_________。 ⑶x(m－x)(m－y)－m(m－x)(m－y)＝_________。 ⑷m(x＋y)＋n(x＋y)－x－y＝_________。 【例4】 把下列各式因式分解 ⑴4a2－9 ＝( )2－( )2 ＝( ＋)( －)
⑵(x＋m)2－(x＋n)2 ＝[( )＋( )][( )－( )] ＝( )( ) ⑶4x2＋12x＋9 ＝( )2＋2·( )·( )＋( )2 ＝( )2 ⑷-a2＋4ab－4b2 ＝-( ) ＝- [( )2－2·( )·( )＋( )2] ＝-( )2 ⑸把x3－2x2y＋xy2分解因式，结果正确的是( ) A．x(x＋y)(x－y) B．x(x2－2xy＋y2) C．x(x＋y)2 D．x(x－y)2 ⑹因式分解：x3－xy2＝___________； ⑺分解因式：27x2＋18x＋3＝___________。 【例5】 因式分解： ⑴16m4－72m2＋81； ⑵-(a＋1)2－2(a2－1)－(a－1)2； ⑶4b2c2－(b2＋c2－a2)2。 知识框架重现 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式。方法：1．提公因式法2．公式法3．囧4．囧
学生做题前请先回答以下问题 问题1：因式分解的定义是什么？里面有几个关键词，分别是什么？ 问题2：因式分解有几种方法，分别是什么？ 问题3：提公因式法需要注意哪些要点？ 问题4：当利用公式法分解因式时：两项通常考虑_________，三项通常考虑___________；并且需要注意两点：①___________；②____________． 问题5：当多项式的项数比较多时常考虑__________法． 问题6：因式分解的口诀是什么？分别是什么意思？ 问题7：是因式分解吗？为什么？ 因式分解的四种方法（北师版） 一、单选题(共20道，每道5分) 1.下列选项中，从左到右的变形是分解因式的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式的定义 2.将分解因式时，应提取的公因式是( ) A.a2 B.a
C.ax D.ay 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法 3.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法 4.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法 5.下列选项中，能用完全平方公式分解因式的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法 6.下列选项中，能用公式法分解因式的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法 7.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法 8.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) a +4ab+4 b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析：1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
因式分解常用方法总结 【知识回顾】 分式方程的解法及注意（增根问题） 例1、已知关于x 的分式方程a x a =++1 12无解，试求a 的值（提示：先把x 求出来，即用a 来表示x ） 【新知识讲解】 一、分解因式与整式乘法的关系. 因式分解的特点：它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. 例： 由（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式； 由a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这 两个过 程正好相反. 二、分解因式常用的方法. 1、找公因式的一般步骤. （1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； （2）取相同的字母，字母的指数取较低的； （3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的. （4）所有这些因式的乘积即为公因式. 例2：993－99能被100整除吗？还能被那些数整除? 2、公式法： (1）平方差：a 2—b 2=（a +b ）（a —b ） 例3：1）25－16x 2; 2）9a 2－4 1b 2. 3）9（m +n ）2－（m －n ）2 4）2x 3 －8x . （2）完全平方和：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2 （3）完全平方差：（a —b ）2=a 2—2ab +b 2
三、十字相乘法分解因式：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 例4、在多项式232++x x 分解时，也可以借助画十字交叉线来分解。2x 分解为x x ?，常数项2分解12?，把它们用交叉线来表示： 所以)2)(1(232++=++x x x x 同样：q px x ++2=))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++可以用交叉线来表示： 其中ab q =，b a p += 例5：用十字相乘法分解因式： （1）1272+-x x （2）1242--x x （3）1282++x x （4）12112--x x 四、用分组分解法分解因式 （1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利 用分式法分解， 但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如： 22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 （2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 （3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。 例6 把下列各式分解因式 （1）bc ac ab a -+-2 （2）bx by ay ax -+-5102 （3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++ x x +2 +1 x x +a +b
因式分解－提公因式法 (1)32844x x x ++. (2) 3232a a a ++. (3)26325 1339ab x a b x -- (4)3(x －y )2 － (y －x )3 . （5）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （6）a a b a b a ab b a ()()()-+---322 22 （7）-+-41222332m n m n mn （8）a x abx acx adx n n n n 22 11++-+--（n 为正整数） （9）a a b a b a ab b a ()()()-+---3222 22 (10)x (x -y )-y (y -x ) (11)-12x 3 ＋ 12x 2y -3xy 2 (12)(x ＋y )2 ＋mx ＋my (13)a (x -a )(x ＋y )2 -b (x -a )2 (x ＋y ) （14）15×（a －b ）2 －3y （b －a ） （15）（a －3）2－（2a －6）（16）－20a －15ax （17）（m ＋n ）（p －q ）－（m ＋n ）（q ＋p ） （18）39×37-13×34 （19）29×19.99+72×19.99+13×19.99-19.99×14
因式分解－公式法 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1、24x - 2、2 9y - 3、2 1a - 4、2 2 4x y - 5、2125b - 6、2 2 2 x y z - 7、2240.019m b - 8、2 2 19 a x - 9、 2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、2 2 2549p q - 13、 2422 a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 16、44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1、22()()x p x q +-+ 2、 22(32)()m n m n +-- 3、 22 16()9()a b a b --+ 4、2 2 9()4()x y x y --+ 5、2 2 ()()a b c a b c ++-+- 6、2 2 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1、53x x - 2、2 2 4ax ay - 3、3 22ab ab - 4、3 16x x - 5、2 4 33ax ay - 6、2 (25)4(52)x x x -+- 7、3 2 4x xy - 8、3 4 3 322x y x - 9、44 16ma mb -