微积分期末试卷(考试必做)

一、填空题(每小题2分,共16分)

1、=+?

-

22

d )cos e

(4

π

π

x x x x

.

2、

=?

∞+1

2

d ln x x

x .

3、设x y y x z +=,则函数在)1,1(处的全微分为 .

4、D 是由0,1,0,e ====y x x y x 所围成区域,则??=D

σd .

5、当a 满足 时,

=--1

21)1(n a

n

n

条件收敛.

6、幂级数∑

=?-1

4

)1(n n

n

n x 的收敛域为 .

7、交换积分次序后 =

?

?-

y y

x y x f y d ),(d 10

.

8、微分方程

1d d -=-

x

y x

y 的通解为 .

二、单项选择题(每小题3分,共15分)

1、下列广义积分收敛的是( ).

(A )?

∞+ 1

d ln x x (B )?

∞+ 1

2

d 1x x

(C )?

∞+ 1

d 1x x

(D )?

+ 1

d e x x

2、设f 是连续函数,积分区域01:22≥≤+y y x D 且,则??+D

y x y x f d d )(22可化为

( ).

(A )?10

d )(r r f r π (B )?1

d )(2r r f r π

(C )?10

d )(2r r f π (D )?1

d )(r r f π

3、设)sin(2

y x z +=, 则

=

??2

2

x

z ( ).

(A ))sin(2y x +- (B ))cos(2y x +- (C ))sin(2y x + (D ))cos(2y x +

4、极限x

t x x cos 1dt

)1ln(lim

2sin 0

-+?

→等于( ).

(A )1 (B )2 (C )4

(D )8

5、微分方程0=+''y y 的通解是( ).

(A )x C x C y sin cos 21+= (B )x x C C y -+=e e 21 (C )x x C C y e )(21+=

(D )21e C C y x +=

三、计算题(一)(每小题5分,共20分)

1、已知?

+

=20

3

d )()(x x f x x f , 求)(x f .

2、设),(y x f z =是由方程012

1e 2

=-++z xyz z x 确定的隐函数,求

y

z

x z

????,

.

3、判断∑∞

=+

-1

)11ln()1(n n n

的敛散性;若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛.

4、求微分方程 5d d tan =-y x

y x

的通解.

四、计算题(二)(每小题7分,共28分) 1、求 ?

++30

d 1ln

)1(x x x .

2、计算 ?

?

-=110

d e

d 12

x

y

y x x

I .

3、求幂级数 ∑

=?1

3

n n

n n x

的收敛域及和函数.

4、求微分方程 x y y y sin 1034=+'-'' 的通解.

五、应用题(每小题8分,共16分)

1、设某厂生产甲、乙两种产品,其销售单价分别为10万元、9万元。若生产x 件甲种产品和y 件乙种产品的总成本为 )33(01.032400),(22y xy x y x y x C +++++=万元。又已知两种产品的总产量为100件,问两种产品的产量各为多少时,企业利润最大?

2、经过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.求:(1)D 的面积;(2)D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

六、证明题(5分)

设)(x f 在]1,0[上可微,且?=21

d )(2)1(x x xf f ,试证存在)1,0(∈ξ,使

0)()(='+ξξξf f .

杭州商学院08/09第二学期《微积分(下)》试卷(A)参考答案

一、1、2 2、1 3、 d d y x + 4、1e - 5、2

10<≤a

6、)5,3[-

7、?

?-11

12

d ),(d x

y y x f x 8、x x Cx y ln -=

二、1、B 2、A 3、A 4、C 5、A 三、1、解:1、设?

=

2

d )(x x f I ,两边从0到2积分,

I I x x I 242d 20

3

+=+=

?

, 即4-=I ,所以 4)(3

-=x x f .(5分)

2、解:方程两边关于x 求偏导,022

1)()e e (=???

?+

??++??+x

z z x

z xy

yz x

z z x x ,

z

xy yz z x

z x x

+++-

=???e

e

(3分)

方程两边关于y 求偏导,0

22

1)(e =???

?+

??++??y

z z y

z xy

xz y

z x ,

z

xy xz y

z x

++-

=??e

(5分)

3、解: 因为 11)

11ln(lim =+

→n

n

n ,而∑

=1

1n n

发散,故原级数非绝对收敛 (2分)

原级数为交错级数,且)}11{ln(n

+

单调下降趋向于零,故原级数条件收敛.(5分).

4、解法1 分离变量并两边积分,得 ??

=

+x x y y d cot d 5

1

(2分)

|

|ln |sin |ln |5|ln C x y +=+

(4分) 故原方程的通解为x C y sin 5=+

(5分)

解法2 原方程写为

x y x x

y cot 5cot d d =-,是一阶线性微分方程,其通解为

)d e cot 5(e d cot d cot C x x y x x y x +??=?-)d e cot 5(e

sin ln sin ln C x x x

x +=?- )d sin 1cot 5(sin C x x

x x +?=?)sin 5(

sin C x

x +-=5sin -=x C (5分)

四、1、解:令t x =+1,

?

=

41

d ln 2

1t t t 原式?

=

4

1

2

)d(ln 4

1t t )d 1|ln (41

4

1

2

41

2

??

-=

t t

t t t

)|2

14ln 16(4

14

12

t -

=8

152ln 8-

=. (7分)

2、解:交换积分次序,

?

?

-=

2

2

10

d 1d e

y y

x x

y 原式?

-=

10

d e

22

y y y

1

2

e

y

--=.e

11-

= (7分)

3、解:收敛半径,33

3

)1(lim

lim

1

1

=??+==+∞

→+∞

→n

n n n n n n n a a R

端点处,3-=x , ∑

=-1

)1(n n

n

,收敛;3=x ,∑

=1

1n n

,发散,收敛域为[)3 ,3-.(3分)

设∑

=?=

1

3

)(n n

n n x

x S ,逐项求导得

,313

/11

31

)

3

(

3

1)(1

1

x

x x x S n n -=

-?

=

=

'∑

=- )

3,3(-∈x ,

因为0)0(=S ,所以,3ln )3ln(3d d )()(0

+--=-=

'=

?

?

x x

x x x S x S x

x [)3 ,3-∈x .(7

分)

4、解:特征方程 0342=+-r r ,特征根为3,1=r ,(2分) 对应齐次方程的通解为 x x C C Y 321e e +=,(4分)

由于i i =+ωλ不是特征根,故设原方程的特解为x B x A y sin cos +=*, 代入原方程解得1,2==B A ,即x x y sin cos 2+=*.

所以原方程的通解为 x x C C y x x sin cos 2e e 321+++= (7分) 五、1、解:利润为 )]33(01.032400[91022y xy x y x y x L +++++-+=

)33(01.0400682

2

y xy x y x ++--+=

约束条件:100=+y x (2分)

设拉格朗日函数 )100()33(01.04006822-++++--+=y x y xy x y x F λ,

令 ??

?

??=+=+--='=+--='100001.006.06001.006.08y x x y F y x F x x λλ,解得30,70==y x ,

由实际问题,此时利润最大。(8分)

或解:x y y x -=?=+100100,代入L 得:100705.02-+-=x x L

令3070071.0=?=?=+-='y x x L x 2、解:设切点为)ln ,(00x x ,则切线方程为 )(1ln 00

0x x x x y -=-,

因为切线过原点)0,0(,)0(1ln 000

0x x x -=

-,

解得e 0=x ,从而10=y ,得切点为)1,e (. (2分)

(1) 所求面积为

?

-

??=

e 1

d ln

e 121x x S ?

?

-

-=

e 1

e 1

d 1ln [2

e x x

x x

x

1e 2

1)]1e (e [e 2

1-=

---=

. (5分)

(2) 所求面积为 ?

-??=

e 1

2

2

d ln

e 13

x x V x π

π

)2e (e 3

--=

ππ

e 3

22ππ-

=. (8分)

六、证:设)()(x xf x F =,则)1()1(f F =,??==210

210

d )(2d )(2)1(x x F x x xf f ,

)(x F 在]1,0[上连续,由积分中值定理,)2

1,

0(∈?η,使

)()(2

1

2d )(2)1(21

ηηF F x x F f =??

==?

,于是 )()1(ηF F =,(3分) )(x F 在]1,0[上可导,且)()()(x f x x f x F '+=',在]1,[η上对)(x F 应用罗尔定理, )1,0()1,(?∈?ηξ,使0)(='ξF ,即0)()(='+ξξξf f .(5分)

x

y

O

1e

x

y ln =A

B

C

1

e x

y

=

相关推荐
相关主题
热门推荐