华东理工大学概率论答案
【篇一：华东理工大学概率论答案-15,16】
选择题：
1. 设随机变量?密度函数为p(x)，则??3??1的密度函数p?(y)为（ a ）。
1y?1y?11y?1
) b、3p() c、p(3(y?1)) d、3p() a、p(
33333
2. 设随机变量?和?相互独立，其分布函数分别为f?(x) 与f?(y)，则 ?＝max(?,?) 的分布函数f?(z) 等于（ b ） a．max{f?(z),f?(z)}b. f?(z)f?(z)
1
c．[f?(z)?f?(z)] d. f?(z)?f?(z)?f?(z)f?(z)
2
二. 填空：
已知?～n(0,1),??? 三. 计算题
, 则?的概率密度为??(y)?
3y22?
e
?
y6
2
。
1. 已知随机变量?~u[0,2]，求???2的概率密度。
?p{?y???
解: f?(y)?p{??y}??
0?
2
y}y?0
?f?(y)?f?(?y)
??y?0?0
y?0y?0
?1
p(y)?p?(?y)?
故p?(y)??2y?
?0?
??
?1
y?0?
＝?4yy?0??0
0?y?4其他
2. 设随机变量x
求y?sin(
?
2
x)的概率分布。
x?4k?1
x?2k k?1,2,? x?4k?3
??1x??
解：由于sin()??0
2?1
?
故随机变量y的可能取值为：-1，0，1。随机变量y的p{y??1}??p{x?4k?1}?? k?1
k?1
??
124k?1
?
112??； 8115
?124
p{y?0}??p{x?2k}??
k?1
?
1111???； 2k
143k?12?122
?
?
p{y?1}??p{x?4k?3}??
k?1
k?1
?
124k?3
?
118??， 2115
于是随机变量y的分布律为：
3．设?~u(0,1) ，求? =?解：对应于? =?
ln?
ln?
的分布。
lnx
，
y?x?e
(lnx)2
?f(x) ，由于
f(x)?e
(lnx)2
1
?2lnx? 。
x
lny
当x?(0,1)时，
??1
x?f(y)?ef(x)?0 ，
lny
?1?
e??1
??(y)=??(x)|x?f?1(y)|(f(y))|??2ylny
?0?
其中当y?(??,1]时，
,y?(1,??)
,.其它y
??(y)
=0是由x?(0,1)时y?(1,??) 而导出的。
?1?
4. 设? 、?是两个相互独立且均服从正态分布n?0,?的随机变量，求 ?2?e(|???|)。
解: 由已知条件可得：???~n(0,1)，所以
e(|???|)??|x|?
??
??
e
x22
dx?
22?
??
xe
?
x22
dx??
22e
?
x22
??
?
2
?
5. 已知随机变量? 、?的概率分布分别为
?
?114
012
1
?
p{??yj}
012
1
p{??xi}
1412
而且p{???0}?1。
(1)求? 、?的联合概率分布；(2)问? 、?是否独立？ (3)
求??max(? ,?)的概率分布。
解: 由于p(???0)?1,可以得到p(???1,??1)?p(??1,??1)?0,从而 11
, p(???1,??0)?p(???1)?, 241
p(??1,??0)?p(??1)?, p(??0,??0)?p(??0)?p(??0,??1)?0,
4p(??0,??1)?p(??1)?
汇总到联合分布列,即
(2)由于p(??i,??j)?p(??i)?p(??j),故?,?不独立. (3)
p(??0)?p(???1,??0)?p(??0,??0)?
3 4
p(??1)?p(???1,??1)?p(??0,??1)?p(??1,??0)?p(??1,??1)?
6．设随机变量? 、?相互独立，其密度函数分别为
?10?x?1
p?(x)??,
0其他?求? ??的概率密度函数。
解:由?,?相互独立得联合密度函数为
?e?y
p?(y)??
?0
y?0
y?0
?e?y, 0?x?1,y?0,
p(x,y)??
?0, 其他,
密度函数中非零部分对应的(x,y)落在区域d中,利用卷积公式,
当z?1时,p?(z)?
?
1
e?(z?x)dx?(e?1)e?z,
当0?z?1时,p?(z)?当z?0时,p?(z)?0,
?
z
e?(z?x)dx?1?e?z,
?(e?1)e?z, z?1,??z
故 p?(z)??1?e,0?z?1,
?0, z?0. ?
7. 电子仪器由4个相互独立的部件li(i?1,2,3,4)组成，连接方式如图所示。设各个部件的使用寿命?i服从指数分布e(1)，求仪器使用寿命?的概率密度。
l1l3
l l
解:设各并联组的使用寿命为?j(j?1,2)，则
??min{?1,?2},?1?max{?1,?2},?2?max?{3,?4} 由?i独立同分布知?1,?2也独立同分布。现
?1?e?xf?(x)??
?0
2
x?0
x?0
y?0
y?0
?(1?e?y)2
所以 f?(y)?f?(y)??
0?从而
??1?1?(1?e?z)2
f?(z)?1??1?f?(z)???
?0?
2
??
2
?2z?z2
z?0?1?e(2?e)
??
0z?0?
z?0
z?0
?4e?2z(1?e?z)(2?e?z)z?0
。 ?p?(z)???
0z?0?
8．某厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量 ?（单位：吨）服从 [0,5] 上的均匀分布。这种产品生产出来后，在市场上每售出1吨可获利6万元。如果
产量大于需求量，则每多生产1吨要亏损4万元。如果产量小于需求量，则不亏损，但只有生产出来的那一部分产品能获利。问：为了使每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量 a 应该定为多少吨？这时，平均每月利润是多少元？
?50?x?5
解：因为?～u(0,5),所以?的概率密度为??(x)?? 。
?0其他设月产量为
a（0?a?5），每月的利润为 ?，则
?6??4(a??)?10??4a当??a时。 ??f(?)??
6a当??a时?该厂平均每月利润为
e?
??
?ef(?)??f(x)?(x)dx
??
【篇二：华东理工大学概率论答案-21,22】
一、填空题
1. 将合适的数字填入空格，其中：（1）置信水平?，（2）置信水平1??，（3）精确度，（4）准确度。
置信区间的可信度由（2）控制，而样本容量可用来调整置信区间的（3）。
2．有一大批糖果，先从中随机地取16袋，称的重量（单位：g）如下：506508 499 503 504 510497 512514505 493 496 506 502509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布n(?,?2)，则总体均值?的置信水平为95%的置信区间为?的置信水平为95%的置信区间为 [4.582,9.599]。
二、选择题
1．设从总体?~n(?1,?12)和总体?~n(?2,?22)中分别抽取容量为9，16的独22立样本，以x，y，sx，sy分别表示两个独立样本的样本均值和样本方差，
若已知?1=?2，则?1??2的95%的置信区间为（） a. (??u0.975 b. (??u0.975?129?2?216，??u0.975?129?2?216)
22sx2sysx2sy??) ，??u0.975916916
29sx2?16syt0.975(23)swt0.975(23)sw)，其中sw?c. (??，?? 5523
29sx2?16syt0.975(25)swt0.975(25)sw)，其中sw?d. (??，?? 5525
2．关于“参数?的95%的置信区间为(a,b)”的正确理解的是（）
a. 至少有95%的把握认为(a,b)包含参数真值?；
b. 有95%的把握认为(a,b)包含参数真值?；
c. 有95%的把握认为参数真值?落在区间(a,b)内；
d. 若进行100次抽样，必有95次参数真值?落在区间(a,b)内。
三、计算题
1．设某地旅游者日消费额服从正态分布n(?,?2)，且标准差??12，今对该地
旅游者的日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信水平相信这种估计误差小于2（元），问至少需要调查多少人？
解：由于总体为正态分布,且标准差?(?12)已知,又由1???0.95,
即??0.05,
查表可得u1??
2?u0.975?1.96，
误差小于2
即u?
21??2?1.96?2?n?138.2976，故至少要调查139人。
2．设某种清漆的干燥时间服从正态分布n(?,?2)。现有该清漆的9
个样本，干燥时间分别为 6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0。试求该种清漆平均干燥时间的置信度为95%的置信区间。
解：据题意，要求?的置信度为95%的置信区间，且方差未知。
2由样本得：n?9，?6，sn?1?0.33，查t分布表得t0.975(8)?2.06则?的置信度为95%的置信上下限为
?t0.975(8)?
sn?1n?6?2.06?0.33?6?0.44 即该种清漆平均干燥时间的置信度为95%的置信区间为(5.56,6.44)。
3．某厂生产一批圆形药片，已知药片直径x~n(?,?2)，随机抽取16粒药片，测得样本均值x?4.87mm，样本标准差s?0.32mm，求总
体的方差?2在置信水平为0.95下的置信区间。
解：由样本值得s?0.32,n?16，??0.05，自由度为n?1?15。
22查表得?0)?27.488。所以， .025(15)?6.262，?0.975(15
15?0.322
??0.0559, 227.488?0.975(15)
15?0.322
??0.2453. 26.262?0(15).025(n?1)s2(n?1)s2
?。 ,0.2453即?2的置信水平为0.95的置信区间为：?0.0559
第二十二次作业
一．填空题：
1．假设检验的基本思想是基于
2. 选择原假设最重要的准则是_________含有等号_____________
3. 假设检验可能犯的错误是___和___
4. 假设检验的基本步骤是_ __ __
二. 选择题：
1. 假设检验中分别用h0和h1表示原假设和备择假设，则犯第一类
错误的概率是指 ( c )。
a. p{接受h0|h0为真}
b. p{接受h0|h0不真}
c. p{拒绝h0|h0为真}
d. p{拒绝h0|h0不真}
2. 一个显著性的假设检验问题，检验的结果是拒绝原假设还是接受
原假设,与之有关的选项中, 正确的( d )
a. 与显著性水平有关
b. 与检验统计量的分布有关
c. 与样本数据有关
d. 与上述三项全有关
c. 这个检验也可能会犯第二类错误
d. 这个检验两类错误都可能会犯
c. 与检验统计量的分布有关
d. 是h0接受域的补集
三. 计算题：
1．已知在正常生产情况下某厂生产的汽车零件的直径服从正态分布 n(54,0.752)，在某日生产的零件中随机抽取10件，测得直径（cm）如下：
54.0 ，55.1 ，53.8，54.2 ，52.1 ，54.2，55.0 ，55.8，55.1，
55.3
如果标准差不变，在显著水平??0.05情况下,能否认为该日生产零件直径的均值与标准值54cm无显著差异？
解：由样本观测值计算,得?54.46，本问题相当于要检验
h0:??54.46,h1:??54.46，
考虑到总体服从正态分布n(54,0.752),故采用双侧u检验法，
????1.9395，取检验统计量的测试值为u由水平??0.05,查表得
u1??
2??u?u0.975?1.96,由于0.975，
故接受h0，即该日生产得零件直径的均值与标准值没有显著差异。
2．从一批矿砂中，抽取5个样品，测得它们的镍含量（单位：%）如下：
3.25 3.24 3.263.27 3.24
设镍含量服从正态分布，问：能否认为这批矿砂中镍含量的平均值
为3.25（显著水平??0.05）。
解:由样本观测值计算,得?3.252,sn?1?0.013，本问题相当于要检验
h0:??3.25,h1:??3.25
考虑到总体服从正态分布n(?,?2),其中方差?2未知,故采用双侧t检
验法，
????0.3440，取检验统计量的测试值为t由水平??0.05，查表得
t1??
2(n?1)?t0.975(4)?2.776， ??t(4)，故接受h，由于t0.9750
即可以认为这批矿砂中的镍含量得平均值为3.25。
3．用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度7次。测得温度（?c）：112.0， 113.4， 111.2，112.0，114.5，112.9，113.6
而用某精确办法测得温度为112.6（可看作温度真值），试问热敏
电阻测温仪的间接测量有无系统偏差？（显著水平??0.05）。解：
由样本观测值计算，得?112.8,sn?1?1.1358，
本问题相当于要检验h0:??112.6,h1:??112.6，
考虑到方差?2未知，故采用双侧t检验法。
????0.4659，计算检验统计量的值为t由水平??0.05，查表得t1?? 2(n?1)?t0.975(6)?2.4469， ??t(6)，故接受h，由于t0.9750
即可以认为热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差.
4. 某工厂生产的铜丝的折断力（n）服从标注差为40的正态分布，某日抽取 10 根铜丝进行折断力试验，测得结果如下：
2830，2800，2795，2820，2850，2830，2890，2860，2875, 2785
在显著性水平??0.05情况下,能否认为该日生产的铜丝折断力的标准差无显著性改变？ 2解：由样本观测值计算，
得?2833.5,sn?1?1228.0556，
本问题相当于要检验h0:?2?402,h1:?2?402，
考虑到均值?未知，故采用双侧?2检验法，取检验统计量的测试值为??
由水平??0.05，查表得
222?2
?(n?1)??0.975(9)?19.023,??(n?1)??0.025(9)?2.700，
1?22?22(n?1)sn?12?0?9?1228.0556?6.9078 240
由于?
20.0252(9)????0.975(9)，故接受h0， ?2即可以认为该日生产的
铜丝折断力的标准差无显著性改变。
【篇三：华东理工大学概率论答案-3】
与数理统计
作业簿（第一册）
学院 ____________专业 ____________班级 ____________
学号 ____________姓名 ____________任课教师
____________
第一次作业
一．填空题：
?1??1
1．设s??x0?x?2?，a??x?x?1?，b??x?x?
?2??43?
?
2?，具体写出下列
?11b=x?x?或者1?x? ?各事件：42?3?
?，?b=s，=b，ab=a。
2?
2．设a、b、c表示三个随机事件，试将下列事件用a、b、c表示
出来：
（1）事件abc表示a、b、c都发生； (2) 事件表示a、b、c都不
发生；（3）事件abc表示a、b、c不都发生；
（4）事件a?b?c表示a、b、c中至少有一件事件发生；
（5a、b、c中最多有一事件发生。
二．选择题：
1．设??{1,2,3,?,10}，a?{2,3,5}，b?{3,4,5,7}，c?{1,3,4,7}，则事
件
?bc?( a )。
a.{1,6,8,9,10}
b. {2,5}
c. {2,6,8,9,10}
d. {1,2,5,6,8,9,10}
2．对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件a?“恰有一弹击中飞机”, 事件
b= “至少有一弹击中飞机”，事件c=“两弹都击中飞机”, 事件d?“两
弹都没击中飞机”，又设随机变量?为击中飞机的次数，则下列事件
中( c )不表示{??1}。
a. 事件a
b. 事件b?c
c. 事件b?
d. 事件d?c
3．设a、b是两个事件，且a??，b??，则?a?b?a?b表示（ d ）。
a. 必然事件
b. 不可能事件
c. a与b不能同时发生
d. a与b中恰有
一个发生
4．以a表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件表示（ d）。
a. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”
b. “甲、乙两种产品均畅销”
c. “甲种产品畅销”
d. “甲种产品滞销，或乙种产品畅销”
三．计算题：
1．写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的
集合：
（1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分
制记分，只取整数）；
设事件a表示：平均得分在80分以上。
（2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；设事
件a表示：第一颗掷得5点；
设事件b表示：三颗骰子点数之和不超过8点。
（3）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计
投篮的次数；设事件a表示：至多只要投50次。解：
（1）样本空间可以表示为??{0，1,2,3,?,100}；事件
a?{81,82,?,100}。（2）样本空间可以表示为??{3,4,5,?,18}；事件a?{7,8,?,17}，
b?{3,4,?,8}。
?
（3）样本空间可以表示为??{10,11,12,?}；事件a?{10,11,12,?,50}。 2．某电视台招聘播音员，现有三位符合条件的女士和两位符合条
件的男士前来应聘：
（2）写出招聘两名播音员的样本空间。设事件a表示“招聘到两名
女士”，把该
事件表示为样本点的集合。解：用wi表示招聘了的第i(i?1,2,3)位
女士，用mj表示招聘了第j(j?1,2)位男士。
w1m1,w1m2,w2m1,w2m2,w3m1,w3m2?。（1）???
???w1m1,w1m2,w1w2,w1w3,w2m1,w2m2,w2w3,w3m1,w3m2,m
1m2? （2）
a??w1w2,w1w3,w2w3?。
3．如果事件a与事件b互为对立事件，证明：事件a与事件b也
互为对立事件。证:
由于a与b互为对立事件,故ab??,a?b??,因此就有???,??,所以
与也互为对立事件.
4．化简事件算式?ab??????????。
解：?ab????????????ab???????a???。 5．证明下列等
式?a?ab??b?。
证明：因为
a?ab?b?a?ab?aab???ab?????????????
所以：?a?ab??b?。
6．设a、b为两个事件，若ab??，问a和b有什么关系？解：a
和b为对立事件。
第二次作业
一．填空题：
1． 10个螺丝钉有3个是坏的，随机抽取4个。则恰好有两个是坏的概率是，
4个全是好的概率是。
2．把12本书任意地放在书架上，则其中指定的4本书放在一起
的概率
9!4!1
?。 12!55
3． 10层楼的一部电梯上同载7个乘客，且电梯可停在10层楼的
每一层。求不
7
a10189
发生两位及两位以上乘客在同一层离开电梯的概率7??0.06048。
312510
4．袋中装有编号为1,2,?,n的n个球，每次从中任意摸一球。若按照有放回
k?1
?n?1?方式摸球，则第k次摸球时，首次摸到1号球的概率为。若按照无
nk
放回方式摸球，则第k次摸球时，首次摸到1号球的概率为
1
。 n
二. 选择题：
1. 为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进行比赛, 则最强的两个队被分在不同组内的概率为( b )。 11051 a.b.
c.d.
1919102
2. 从一副扑克牌(52张)中任取4张,4张牌的花色各不相同的概率( c ) 134113413
a.b.4c.4d.
1352?51?50?49c52c52
三. 计算题：
1. 将长为a的细棒折成三段，求这三段能构成三角形的概率。
解
?:
: 设
?a?
三
)
段
y??(
分
0a?
别为x,y,a?x?y,样本空间
(x?0能构成三角形须满足(图中阴影部分) x?y?a
a?
x?y???x?y?a?x?y2??y?a?x?y?x
a??
?0?x? ??
2?a?x?y?x?y?
??0?x?a,0?y?a?0?y?a
?2?
故这三段能够成三角形的概率为
1
. 4
2. 同时掷五颗骰子，求下列事件的概率：（1）a=“点数各不相同”；（2）b=“至少出现两个6点”；（3）c=“恰有两个点数相同”；（4）d=“某两个点数相同，另三个同是另一个点数”；
p65解：（1） p(a)?5；
6
5554
（2）p(b)?1?5?5?5；
66
2c5?6?5?4?325
?（3）p(c)?； 5
5462
c5?6?525
?（4）p(d)?； 64865
3. 将10根绳的20个头任意两两相接，求事件a={恰结成10个圈}
的概率。解:
p(a)?
5 4.从双不同的鞋子中任取4只，求此4只鞋子中至少有两只鞋子
配成一双的概率。
122112c5c2c4c2c2?c513
解：p? 。 ?4
c1021
20!!1
?20!19!!
5. 在区间（0，1）中随机地取两个数，求两数之差的绝对值小于解：样本空间为???(x,y)0?x?1,0?y?1?，
1
的概率。 2
?1?
记a??(x,y)(x,y)??,x?y??，
2??
p(a)?
sa3
?s?4
。
6. 在正方形d??(x,y)?1?x?1,?1?y?1?中任取一点，求使得关于u
的方程
（2）有两个正根的概率。 u2?xu?y?0有（1）两个实根的概率；