第四章动态规划
§1 引言
1.1 动态规划的发展及研究内容
动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。
例1 最短路线问题
下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。试寻求一条由A 到G距离最短（或费用最省）的路线。
例2 生产计划问题
工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来，自然可以降低成本（少付固定成本费），但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费，每季每千件的存储费为0.5（千元）。还规定年初和年末这种产品均无库存。试制定一个生产计划，即安排每个季度的产量，使一年的总费用（生产成本和存储费）最少。
1.2 决策过程的分类
根据过程的时间变量是离散的还是连续的，分为离散时间决策过程（discrete-time decision process）和连续时间决策过程（continuous-time decision process）；根据过程的演变是确定的还是随机的，分为确定性决策过程（deterministic decision process）和随机性决策过程（stochasticdecision process），其中应用最广的是确定性多阶段决策过程。
§2 基本概念、基本方程和计算方法
2.1 动态规划的基本概念和基本方程
一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包含以下要素。 2.1.1阶段
阶段(step)是对整个过程的自然划分。通常根据时间顺序或空间顺序特征来划分阶段，以便按阶段的次序解优化问题。阶段变量一般用n k ,,2,1 表示。在例1中由A 出发为1 k ，由)2,1( i B i 出发为2 k ，依此下去从)2,1( i F i 出发为6 k ，共
6 n 个阶段。在例2中按照第一、二、三、四季度分为4,3,2,1 k ，共四个阶段。
2.1.2 状态
状态（state ）表示每个阶段开始时过程所处的自然状况。它应能描述过程的特征并且无后效性，即当某阶段的状态变量给定时，这个阶段以后过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。通常还要求状态是直接或间接可以观测的。
描述状态的变量称状态变量（state variable ）。变量允许取值的范围称允许状态集合(set of admissible states)。用k x 表示第k 阶段的状态变量，它可以是一个数或一个向量。用k X 表示第k 阶段的允许状态集合。在例1中2x 可取21,B B ，或将i B 定义为
)2,1( i i ，则12 x 或2，而}2,1{2 X 。
n 个阶段的决策过程有1 n 个状态变量，1 n x 表示n x 演变的结果。在例1中7x 取
G ，或定义为1，即17 x 。
根据过程演变的具体情况，状态变量可以是离散的或连续的。为了计算的方便有时将连续变量离散化；为了分析的方便有时又将离散变量视为连续的。
状态变量简称为状态。 2.1.3决策
当一个阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段的某个状态，这种选择手段称为决策（decision ），在最优控制问题中也称为控制（control ）。
描述决策的变量称决策变量（decision variable ），变量允许取值的范围称允许决策集合（set of admissible decisions ）。用)(k k x u 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数，用)(k k x U 表示k x 的允许决策集合。在例1中)(12B u 可取21,C C 或3C ，可记作3,2,1)1(2 u ，而}3,2,1{)1(2 U 。
决策变量简称决策。 2.1.4策略
决策组成的序列称为策略（policy ）。由初始状态1x 开始的全过程的策略记作
)(11x p n ，即
)}(,),(),({)(221111n n n x u x u x u x p .
由第k 阶段的状态k x 开始到终止状态的后部子过程的策略记作)(k kn x p ，即
)}(,),({)(n n k k k kn x u x u x p ，1,,2,1 n k . 类似地，由第k 到第j 阶段的子过程的策略记作
)}(,),({)(j j k k k kj x u x u x p .
可供选择的策略有一定的范围，称为允许策略集合(set of admissible policies)，用)(),(),(11k kj k kn n x P x P x P 表示。
2.1.5. 状态转移方程
在确定性过程中，一旦某阶段的状态和决策为已知，下阶段的状态便完全确定。用状态转移方程（equation of state transition ）表示这种演变规律，写作
.,,2,1),,(1n k u x T x k k k k （1） 在例1中状态转移方程为)(1k k k x u x 。
2.1.6. 指标函数和最优值函数
指标函数(objective function)是衡量过程优劣的数量指标，它是定义在全过程和所有后部子过程上的数量函数，用),,,,(11, n k k k n k x x u x V 表示，n k ,,2,1 。指标函数应具有可分离性，即n k V ,可表为n k k k V u x ,1,, 的函数，记为
)),,,(,,(),,,,(111,111, n k k n k k k k n k k k n k x u x V u x x x u x V 并且函数k 对于变
量n k V ,1 是严格单调的。
过程在第j 阶段的阶段指标取决于状态j x 和决策j u ，用),(j j j u x v 表示。指标函数由),,2,1(n j v j 组成，常见的形式有：
阶段指标之和，即
n
k
j j j j n k k k n k u x v x x u x V ),(),,,,(11, ，
阶段指标之积，即
n
k
j j j j n k k k n k u x v x x u x V ),(),,,,(11, ，
阶段指标之极大（或极小），即
),((min)max ),,,,(11,j j j n
j k n k k k n k u x v x x u x V .
这些形式下第k 到第j 阶段子过程的指标函数为),,,(1, j k k j k x u x V 。
根据状态转移方程指标函数n k V ,还可以表示为状态k x 和策略kn p 的函数，即
),(,kn k n k p x V 。在k x 给定时指标函数n k V ,对kn p 的最优值称为最优值函数（optimal value
function ），记为)(k k x f ，即
),(opt )(,)
(kn k n k x P p k k p x V x f k kn kn
，
其中opt 可根据具体情况取max 或min 。 2.1.7 最优策略和最优轨线
使指标函数n k V ,达到最优值的策略是从k 开始的后部子过程的最优策略，记作
},,{***n k kn u u p 。*1n p 是全过程的最优策略，简称最优策略（optimal policy ）。从初始状态)(*
11x x 出发，过程按照*1n p 和状态转移方程演变所经历的状态序列},,,{*1*2*1 n x x x 称最优轨线（optimal trajectory ）
。 2.1.8递归方程
如下方程称为递归方程
1,,)},(),({opt )(10)(11)(1
1 n k x f u x v x f x f k k k k k x U u k k n n k k k 或（2）
在上述方程中，当 为加法时取0)(11 k n x f ；当 为乘法时，取1)(11 k n x f 。动态规划递归方程是动态规划的最优性原理的基础，即：最优策略的子策略，构成最优子策略。用状态转移方程（1）和递归方程（2）求解动态规划的过程，是由1 n k 逆推至1 k ，故这种解法称为逆序解法。当然，对某些动态规划问题，也可采用顺序解法。这时，状态转移方程和递归方程分别为：
n
k u x T x k k r k k ,,1),,(1 ，
n k x f u x v x f x f k k k k k x U u k k k r k k ,,1)},(),({opt )(10(11)(11
011 或）
纵上所述，如果一个问题能用动态规划方法求解，那么，我们可以按下列步骤，首
先建立起动态规划的数学模型：
（i ）将过程划分成恰当的阶段。
（ii ）正确选择状态变量k x ，使它既能描述过程的状态，又满足无后效性，同时确定允许状态集合k X 。
（iii ）选择决策变量k u ，确定允许决策集合)(k k x U 。
（iv ）写出状态转移方程。
（v ）确定阶段指标),(k k k u x v 及指标函数kn V 的形式（阶段指标之和，阶段指标之积，阶段指标之极大或极小等）。
（vi ）写出基本方程即最优值函数满足的递归方程，以及端点条件。 §3 逆序解法的计算框图
以自由终端、固定始端、指标函数取和的形式的逆序解法为例给出计算框图，其它情况容易在这个基础上修改得到。
一般化的自由终端条件为
1,1,11,,2,1),()( n i n i n n n i x x f (3) 其中 为已知。固定始端条件可表示为}{}{*
111x x X 。
如果状态k x 和决策k u 是连续变量，用数值方法求解时需按照精度要求进行离散化。设状态k x 的允许集合为
n k n i n i x X k k ki k ,,2,1,,,2,1},,,2,1|{ .
决策)(ki ki x u 的允许集合为
n k n i n j u U k ki j ki ki ,,2,1,,,2,1},,,2,1|{)
( .
状态转移方程和阶段指标应对k x 的每个取值ki x 和ki u 的每个取值)
(j ki u 计算，即
),()(j ki ki k k u x T T ，),()(j ki ki k u x v v 。最优值函数应对k x 的每个取值ki x 计算。基本方
程可以表为
.
1,2,,,,,2,1,,,2,1),
(opt )()),
,((),()()()
(1)()( n k n i n j x f x f u x T f u x v x f k ki ki j k j
ki k j ki ki k k j ki ki k ki j k （4）
按照（3），（4）逆向计算出)(*
11x f ，为全过程的最优值。记状态ki x 的最优决策为
)(*ki ki x u ，由*1x 和)(*
ki ki x u 按照状态转移方程计算出最优状态，记作*k x 。并得到相应的
最优决策，记作)(**k k x u 。于是最优策略为)}(,),(),({*
**2*2*1*1n n x u x u x u 。
算法程序的框图如下。
图的左边部分是函数序列的递推计算，可输出全过程最优值)(*
11x f ，如果需要还可以输出后部子过程最优值函数序列)(ki k x f 和最优决策序列)(*
ki k x u 。计算过程中存
)(ki k x f 是备计算1 k f 之用，在1 k f 算完后可用1 k f 将k f 替换掉；存)(*
ki k
x u 是备右边部分读)(*
*k k x u 之用。
图的右边部分是最优状态和最优决策序列的正向计算，可输出最优策略
)}(,),(),({***2*2*1*1n n x u x u x u 和最优轨线},,,{*
*2*1n x x x 。
§4 动态规划与静态规划的关系
动态规划与静态规划（线性和非线性规划等）研究的对象本质上都是在若干约束条件下的函数极值问题。两种规划在很多情况下原则上可以相互转换。
动态规划可以看作求决策n u u u ,,,21 使指标函数),,,(2111n n u u u x V ，达到最优（最大或最小）的极值问题，状态转移方程、端点条件以及允许状态集、允许决策集等是约束条件，原则上可以用非线性规划方法求解。
一些静态规划只要适当引入阶段变量、状态、决策等就可以用动态规划方法求解。下面用例子说明。
例3 用动态规划解下列非线性规划
n
k k k
u g
1
)(max
；
s.t.
n
k k k
u a u
1
0,.
其中)(k k u g 为任意的已知函数。
解 按变量k u 的序号划分阶段，看作n 段决策过程。设状态为121,,, n x x x ，取问题中的变量n u u u ,,,21 为决策。状态转移方程为
.,,2,1,,11n k u x x a x k k k
取)(k k u g 为阶段指标，最优值函数的基本方程为（注意到01 n x ）
)]()([max )(110 k k k k x u k k x f x g x f k
k ；
1,2,,1,,0 n n k a x k ；
0)0(1 n f .
按照逆序解法求出对应于k x 每个取值的最优决策)(*
k k x u ，计算至)(1a f 后即可利用状态转移方程得到最优状态序列}{*
k x 和最优决策序列)}({*
*
k k x u 。
与静态规划相比，动态规划的优越性在于：
（i ）能够得到全局最优解。由于约束条件确定的约束集合往往很复杂，即使指标函数较简单，用非线性规划方法也很难求出全局最优解。而动态规划方法把全过程化为一系列结构相似的子问题，每个子问题的变量个数大大减少，约束集合也简单得多，易于得到全局最优解。特别是对于约束集合、状态转移和指标函数不能用分析形式给出的优化问题，可以对每个子过程用枚举法求解，而约束条件越多，决策的搜索范围越小，求解也越容易。对于这类问题，动态规划通常是求全局最优解的唯一方法。
（ii ）可以得到一族最优解。与非线性规划只能得到全过程的一个最优解不同，动态规划得到的是全过程及所有后部子过程的各个状态的一族最优解。有些实际问题需要这样的解族，即使不需要，它们在分析最优策略和最优值对于状态的稳定性时也是很有用的。当最优策略由于某些原因不能实现时，这样的解族可以用来寻找次优策略。
（iii ）能够利用经验提高求解效率。如果实际问题本身就是动态的，由于动态规划方法反映了过程逐段演变的前后联系和动态特征，在计算中可以利用实际知识和经验提高求解效率。如在策略迭代法中，实际经验能够帮助选择较好的初始策略，提高收敛速度。
动态规划的主要缺点是：
（i ）没有统一的标准模型，也没有构造模型的通用方法，甚至还没有判断一个问题能否构造动态规划模型的准则。这样就只能对每类问题进行具体分析，构造具体的模型。对于较复杂的问题在选择状态、决策、确定状态转移规律等方面需要丰富的想象力和灵活的技巧性，这就带来了应用上的局限性。 （ii ）用数值方法求解时存在维数灾（curse of dimensionality ）。若一维状态变量有m 个取值，那么对于n 维问题，状态k x 就有n
m 个值，对于每个状态值都要计算、存储函数)(k k x f ，对于n 稍大（即使3 n ）的实际问题的计算往往是不现实的。目前还没有克服维数灾的有效的一般方法。 §5 若干典型问题的动态规划模型
5.1 最短路线问题
对于例1一类最短路线问题（shortest Path Problem ），阶段按过程的演变划分，状态由各段的初始位置确定，决策为从各个状态出发的走向，即有)(1k k k x u x ，阶段指标为相邻两段状态间的距离))(,(k k k k x u x d ，指标函数为阶段指标之和，最优值函数
)(k k x f 是由k x 出发到终点的最短距离（或最小费用），基本方程为
;1,,)],())(,([min )(11)
( n k x f x u x d x f k k k k k k x u k k k k
.0)(11 n n x f
利用这个模型可以算出例l 的最短路线为G F E D C AB 22121， 相应的最短距离为18。
5.2 生产计划问题
对于例 2一类生产计划问题（Production planning problem ），阶段按计划时间自然划分，状态定义为每阶段开始时的储存量k x ，决策为每个阶段的产量k u ，记每个阶段的需求量（已知量）为k d ，则状态转移方程为
.,,2,1,0,1n k x d u x x k k k k k (5)
设每阶段开工的固定成本费为a ，生产单位数量产品的成本费为b ，每阶段单位数量产品的储存费为c ，阶段指标为阶段的生产成本和储存费之和，即
,),(k k k k k k u bu a cx u x v (6) 指标函数kn V 为k v 之和。最优值函数)(k k x f 为从第k 段的状态k x 出发到过程终结的最
小费用，满足
.1,,)],(),([min )(11 n k x f u x v x f k k k k k U u k k k
k
其中允许决策集合k U 由每阶段的最大生产能力决定。若设过程终结时允许存储量为
01 n x ，则终端条件是
.0)(0
11 n n x f （7）
（5）~（7）构成该问题的动态规划模型。
5.3 资源分配问题
一种或几种资源（包括资金）分配给若干用户，或投资于几家企业，以获得最大的效益。资源分配问题（resource allocating Problem ）可以是多阶段决策过程，也可以是静态规划问题，都能构造动态规划模型求解。下面举例说明。
例4 机器可以在高、低两种负荷下生产。u 台机器在高负荷下的年产量是)(u g ，在低负荷下的年产量是)(u h ，高、低负荷下机器的年损耗率分别是1a 和1b （1011 a b ）。现有m 台机器，要安排一个n 年的负荷分配计划，即 每年初决定多少台机器投入高、低负荷运行，使n 年的总产量最大。如果进一步假设u u g )(，
u u h )(（0 ），即高、低负荷下每台机器的年产量分别为 和 ，结果将
有什么特点。
解 年度为阶段变量n k ,,2,1 。状态k x 为第k 年初完好的机器数，决策k u 为第k 年投入高负荷运行的台数。当k x 或k u 不是整数时，将小数部分理解为一年中正常工作时间或投入高负荷运行时间的比例。
机器在高、低负荷下的年完好率分别记为a 和b ，则11a a ，11b b ，有
b a 。因为第k 年投入低负荷运行的机器台数为k k u x ，所以状态转移方程是
)(1k k k k u x b au x （8） 阶段指标k v 是第k 年的产量，有
)()(),(k k k k k k u x h u g u x v （9） 指标函数是阶段指标之和，最优值函数)(k k x f 满足 .
1,2,,,0 )],
(),([max )(110 n k m x x f u x v x f k k k k k k x u k k k
k (10)
及自由终端条件
.0,0)(111m x x f n n n （11）
当k v 中的h g ,用较简单的函数表达式给出时，对于每个k 可以用解析方法求解极值问题。特别，若u u g )(，u u h )(，（10）中的)](),([1k k k k k x f u x v 将是k u 的线性函数，最大值点必在区间k k x u 0的左端点0 k u 或右端点k k x u 取得，即每年初将完好的机器全部投入低负荷或高负荷运行。
§6 具体的应用实例
例5 设某工厂有1000台机器，生产两种产品B A 、，若投入y 台机器生产A 产品，则纯收入为y 5，若投入y 台机器生产B 种产品，则纯收入为y 4，又知：生产A 种产品机器的年折损率为20%，生产B 产品机器的年折损率为10%，问在5年内如何安排各年度的生产计划，才能使总收入最高？
解 年度为阶段变量5,4,3,2,1 k 。
令k x 表示第k 年初完好机器数，k u 表示第k 年安排生产A 种产品的机器数，则
k k u x 为第k 年安排生产B 种产品的机器数，且k k x u 0。
则第1 k 年初完好的机器数
k k k k k k u x u x u x 1.09.0))(1.01()2.01(1 （12）
令),(k k k u x v 表示第k 年的纯收入，)(k k x f 表示第k 年初往后各年的最大利润之和。
显然
0)(66 x f （13）
则
)}(),({max )(110 k k k k k x u k k x f u x v x f k
k
)}(4{max )}()(45{max 110110 k k k k x u k k k k k x u x f x u x f u x u k
k k
k （14）
（1）5 k 时，由（13）、（14）式得
}4{max )(550555
5x u x f x u
554x u 关于5u 求导，知其导数大于零，所以554x u 在5u 等于5x 处取得最大值，
即55x u 时，5555)(x x f 。
（2）4 k 时，由（12）、（14）式得
}54{max )(5440444
4x x u x f x u
}5.85.0{max )}1.09.0(54{max 440444404
44
4x u u x x u x u x u
当44x u 时，4449)(x x f （3）3 k 时，
}94{max )(4330333
3x x u x f x u
}1.121.0{max )}1.09.0(94{max 330333303
33
3x u u x x u x u x u
当33x u 时，3332.12)(x x f （4）2 k 时，
}98.1422.0{max }2.124{max )(2203220222
22
2x u x x u x f x u x u
当02 u 时，22298.14)(x x f 。 （5）1 k 时，
}482.17498.0{max }98.144{max )(1102110111
11
1x u x x u x f x u x u
当01 u 时，111482.17)(x x f 。因为
10001 x （台）
所以由（12）式，进行回代得 9001.09.0112 u x x （台）
8101.09.0223 u x x （台） 6481.09.0334 u x x （台） 4.5181.09.0445 u x x （台）
注：4.5185 x 台中的0.4台应理解为有一台机器只能使用0.4年将报废。 例6 求解下面问题
32
21max u u u z
3
,2,10)
0(321i u c c u u u i 解： 按问题的变量个数划分阶段，把它看作为一个三阶段决策问题。设状态变量为4321,,,x x x x ，并记c x 1；取问题中的变量321,,u u u 为决策变量；各阶段指标函数按乘积方式结合。令最优值函数)(k k x f 表示第k 阶段的初始状态为k x ，从k 阶段到3阶段所得到的最大值。
设33u x ， 223x u x ， c x u x 112 则有
33x u ， 220x u ， 110x u
用逆推解法，从后向前依次有
3333}{max )(3
3x u x f x u 及最优解 3*
3
x u ),(max )}({max )}({max )(2220222
2033220222
22
22
2x u h u x u x f u x f x u x u x u
由
0322
22222 u x u du dh ，得223
2x u 和02 u （舍去） 又222
2
2
262u x du h d ，而0223
2
22222
2 x du h d x u ，故223
2
x u
为极大值点。 所以3222274)(x x f
及最优解 2*
23
2x u 。 })(27
4
{max )}({max )(311102*********u x u x f u x f x u x u
同样利用微分法易知 4111641)(x x f ，最优解1*
14
1x u 。
由于1x 已知，因而按计算的顺序反推算，可得各阶段的最优决策和最优值。即
c u 41*
1 ，41164
1)(c x f
由
c c c u x x 4
341*
112
所以
c x u 21322*
2
，32216
1
)(c x f 由
c c c u x x 4
1
2143*
223
所以
c u 41*3
，c x f 4
1
)(33 因此得到最优解为：c u 41*1 ，c u 21*2 ，c u 4
1*
3 ；
最大值为：4
164
1)(max c c f z 。
习 题 四
1. 用Matlab 编程求例5的解。
2. 有四个工人，要指派他们分别完成4项工作，每人做各项工作所消耗的时间如
方法求解。
3. 为保证某一设备的正常运转，需备有三种不同的零件321,,E E E 。若增加备用零件的数量，可提高设备正常运转的可靠性，但增加了费用，而投资额仅为8000元。已
各种零件的备件数量应是多少为好？
4. 某工厂购进100台机器，准备生产I 、II 两种产品，若生产产品I ，每台
机器每年可收入45万元，损坏率为65％；若生产产品II ，每台机器每年收入为35万元，损坏率为35％，估计三年后将有新型机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？
这两个过程的步骤分述如下。 （A ）标号过程：
（i ）给发点标号为),(
s 。
（ii ）若顶点x 已经标号，则对x 的所有未标号的邻接顶点y 按以下规则标号： ①若A y x ),(，且xy xy u f 时，令},min{x xy xy y f u ， 则给顶点y 标号为),(y x ，若xy xy u f ，则不给顶点y 标号。
②A x y ),(，且0 yx f ，令},min{x yx y f ，则给y 标号为),(y x
，若
0 yx f ，则不给y 标号。
（iii ）不断地重复步骤（ii ）直到收点t 被标号，或不再有顶点可以标号为止。当t 被标号时，表明存在一条从s 到t 的可增广轨，则转向增流过程（B ）。如若t 点不能被标号，且不存在其它可以标号的顶点时，表明不存在从s 到t 的可增广轨，算法结束，此时所获得的流就是最大流。
（B ）增流过程 （i ）令t u 。
（ii ）若u 的标号为t v ,( ），则t vu vu f f ；若u 的标号为),(t v
，则
t uv uv f f 。
（iii ）若s u ，把全部标号去掉，并回到标号过程（A ）。否则，令v u ，并回
到增流过程（ii ）。
求网络),,,,(U A V t s N 中的最大流x 的算法的程序设计具体步骤如下： 对每个节点j ，其标号包括两部分信息
f(j))max ),(pred (j
该节点在可能的增广路中的前一个节点)(pred j ，以及沿该可能的增广路到该节点为止可以增广的最大流量)(f max j 。
STEP0 置初始可行流x （如零流）；对节点t 标号，即令)(f max t =任意正值（如1）。
STEP1 若0)(f max t ，继续下一步；否则停止，已经得到最大流，结束。 STEP2 取消所有节点V j 的标号，即令0)(f max j ，
0)(pred j ；令LIST={s }，对节点s 标号，即令 )(f max s 充分大的正值。 STEP3 如果LIST 且0)(f max t ，继续下一步；否则：（3a ）如果t 已经有标号（即0)(f max t ），则找到了一条增广路，沿该增广路对流x 进行增广（增广的流量为)(f max t ，增广路可以根据pred 回溯方便地得到），转STEP1。
（3b ）如果t 没有标号（即LIST= 且0)(f max t ），转STEP1。
STEP4 从LIST 中移走一个节点i ；寻找从节点i 出发的所有可能的增广弧：（4a ）对非饱和前向弧),(j i ，若节点j 没有标号（即0)(pred j ），对j 进行标号，即令
},)f(min{max )(f max ij ij x u i j ，i j )(pred ， 并将j 加入LIST 中。
（4b ）对非空后向弧),(i j ，若节点j 没有标号（即0)(pred j ），对j 进行标号，
即令
},)f(min{max )(f max ij x i j ，i j )(pred ，
并将j 加入LIST 中。
例14 用Ford-Fulkerson 算法计算如下网络中的最大流，每条弧上的两个数字分别表示容量和当前流量。
解 编写程序如下： clc,clear,M=1000;
u(1,2)=1;u(1,3)=1;u(1,4)=2; u(2,3)=1;u(2,5)=2; u(3,5)=1;
u(4,3)=3;u(4,5)=3;
f(1,2)=1;f(1,3)=0;f(1,4)=1; f(2,3)=0;f(2,5)=1; f(3,5)=1;
f(4,3)=1;f(4,5)=0; n=length(u); list=[]; maxf(n)=1;
while maxf(n)>0
maxf=zeros(1,n);pred=zeros(1,n); list=1;record=list;maxf(1)=M;
while (~isempty(list))&(maxf(n)==0) flag=list(1);list(1)=[];
index1=(find(u(flag,:)~=0));
label1=index1(find(u(flag,index1)...
-f(flag,index1)~=0));
label1=setdiff(label1,record); list=union(list,label1); pred(label1)=flag;
maxf(label1)=min(maxf(flag),u(flag,label1)... -f(flag,label1));
record=union(record,label1); label2=find(f(:,flag)~=0); label2=label2';
label2=setdiff(label2,record); list=union(list,label2); pred(label2)=-flag;
maxf(label2)=min(maxf(flag),f(label2,flag)); record=union(record,label2); end
if maxf(n)>0 v2=n;
v1=pred(v2); while v2~=1 if v1>0
f(v1,v2)=f(v1,v2)+maxf(n); else
v1=abs(v1);
f(v2,v1)=f(v2,v1)-maxf(n); end v2=v1;
v1=pred(v2); end end end f
§8 最小费用流及其求法 8.1 最小费用流
上面我们介绍了一个网络上最短路以及最大流的算法，但是还没有考虑到网络上流的费用问题，在许多实际问题中，费用的因素很重要。例如，在运输问题中，人们总是希望在完成运输任务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。这就是下面要介绍的最小费用流问题。
在运输网络),,,,(U A V t s N 中，设ij c 是定义在A 上的非负函数，它表示通过弧
),(j i 单位流的费用。所谓最小费用流问题就是从发点到收点怎样以最小费用输送一已知量为)(f v 的总流量。
最小费用流问题可以用如下的线性规划问题描述：
A
j i ij
ij f c
),(min
s.t.
A i j j ji A j i j ij t
s i t i f v s i f v f f ),(:),(:,,0),(),(，
A j i u f ij ij ),(,0.
显然，如果 )(f v 最大流)(max f v ，则本问题就是最小费用最大流问题。如果
)()(max f v f v ，则本问题无解。
8.2 求最小费用流的一种方法—迭代法
这里所介绍的求最小费用流的方法叫做迭代法。这个方法是由Busacker 和Gowan 在1961年提出的。其主要步骤如下：
(i)求出从发点到收点的最小费用通路),(t s 。
(ii)对该通路),(t s 分配最大可能的流量：
}{min )
,(),(ij t s j i u f
并让通路上的所有边的容量相应减少f 。这时，对于通路上的饱和边，其单位流费用相应改为 。
(iii)作该通路),(t s 上所有边),(j i 的反向边),(i j 。令
f u ji ，ij ji c c
(iv)在这样构成的新网络中，重复上述步骤(i)，(ii)，(iii)，直到从发点到收点的全部流量等于)(f v 为止（或者再也找不到从s 到t 的最小费用道路）。
下面我们编写了用Floyd 算法求最短路的函数floydpath 和最小费用最大流函数mincostmaxflow 。
最短路函数如下：
function path=floydpath(w); num=length(w);
M=sum(sum(w)).*num;
w=w+((w==0)-eye(num)).*M; p=zeros(num); for k=1:num for i=1:num for j=1:num
if w(i,j)>w(i,k)+w(k,j) w(i,j)=w(i,k)+w(k,j); p(i,j)=k; end end end end
if w(1,num)>=M path=[]; else
path=zeros(num); s=1;t=num;m=p(s,t); while ~isempty(m) if m(1)
s=[s,m(1)];t=[t,t(1)];t(1)=m(1);
m(1)=[];m=[p(s(1),t(1)),m,p(s(end),t(end))]; else
path(s(1),t(1))=1;s(1)=[];m(1)=[];t(1)=[]; end end end
最小费用最大流函数如下：
function flow=mincostmaxflow(rongliang,cost,flowvalue);
%第一个参数：容量矩阵；第二个参数：费用矩阵；
%第三个参数：指定容量值（可以不写，表示求最小费用最大流）
%前两个参数必须在不通路处置零，且为同维矩阵
%返回值为可行流矩阵
%必须有函数文件floydpath.m
M=sum(sum(rongliang));
flow=zeros(size(rongliang));allflow=sum(flow(1,:));
if nargin<3
flowvalue=M;
end
while allflow w=(flow path=floydpath(w);%调用floyd if isempty(path) return; end theta=min(min(path.*(rongliang-flow)+(path.*(rongliang-flow)==0).*M)); theta=min([min(path'.*flow+(path'.*flow==0).*M),theta]); if allflow+theta>flowvalue theta=flowvalue-allflow; end flow=flow+(rongliang>0).*(path-path').*theta; allflow=sum(flow(1,:)); end 对于习题五中的第7题，我们的调用函数如下： clear;clc; cost=[ 0 4 1 0 0; 0 0 0 6 1; 0 2 0 3 0; 0 0 0 0 2; 0 0 0 0 0; ]; rongliang=[ 0 10 8 0 0; 0 0 0 2 7 ; 0 5 0 10 0; 0 0 0 0 4; 0 0 0 0 0; ]; y=mincostmaxflow(rongliang,cost) 习题五 1. 一只狼、一头山羊和一箩卷心菜在河的同侧。一个摆渡人要将它们运过河去，但由于船小，他一次只能运三者之一过河。显然，不管是狼和山羊，还是山羊和卷心菜，都不能在无人监视的情况下留在一起。问摆渡人应怎样把它们运过河去？ 2. 北京（Pe）、东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa)各城市之间的航线距离如下表： L M N Pa Pe T L 56 35 21 51 60 M 56 21 57 78 70 N 35 21 36 68 68 Pa 21 57 36 51 61 Pe 51 78 68 51 13 T 60 70 68 61 13 3. 某台机器可连续工作4年，也可于每年末卖掉，换一台新的。已知于各年初购置一台新机器的价格及不同役龄机器年末的的处理价如下表所示。又新机器第一年运行及维修费为0.3万元，使用1-3年后机器每年的运行及维修费用分别为0.8，1.5，2.0万元。试确定该机器的最优更新策略，使4年内用于更换、购买及运行维修的总费用为最j 第一年 第二年 第三年 第四年 年初购置价 使用了j 年的机器处理价 2.5 2.0 2.6 1.6 2.8 1.3 3.1 1.1 i 至j 市场的路径的运输能力如下表所示（表中数字0代表无路可通），试求从仓库可运仓库i 市场j 1 2 3 4 可供量 A B C 30 0 20 10 0 10 0 10 40 40 50 5 20 20 100 需求量 20 20 60 20 文，甲、乙、丙、丁懂英文，甲、丙、丁懂日文，乙、戊懂德文，戊懂法文，问这5个人是否都能得到聘书？最多几个得到聘书，招聘后每人从事哪一方面翻译工作？ 6. 下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价表。将此问题转化为最小费用最产量 销地 1 2 3 产量 A B 20 30 24 22 5 20 8 7 销量 4 5 6 7. 求下图所示网络的最小费用最大流，弧旁数字为),(ij ij u c 动态规划算法原理及其应用研究 系别：x x x 姓名：x x x 指导教员： x x x 2012年5月20日 摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。关键词：动态规划多阶段决策 1.引言 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数 第四章动态规划 §1 引言 1.1 动态规划的发展及研究内容 动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。 例1 最短路线问题 下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。试寻求一条由A 到G距离最短（或费用最省）的路线。 例2 生产计划问题 工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来，自然可以降低成本（少付固定成本费），但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费，每季每千件的存储费为0.5（千元）。还规定年初和年末这种产品均无库存。试制定一个生产计划，即安排每个季度的产量，使一年的总费用（生产成本和存储费）最少。 1.2 决策过程的分类 根据过程的时间变量是离散的还是连续的，分为离散时间决策过程（discrete-time decision process）和连续时间决策过程（continuous-time decision process）；根据过程的演变是确定的还是随机的，分为确定性决策过程（deterministic decision process）和随 数学建模知识——之新手上路 一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。例题：一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有 8 个头和 22 只脚，问该笼子中有多少只鸡和多少只兔？解：设笼中有鸡 x 只，有兔 y 只，由已知条件有 x+y=8 2x+4y=22 求解如上二元方程后，得解 x=5,y=3，即该笼子中有鸡 5 只，有兔 3 只。将此结果代入原题进行验证可知所求结果正确。根据例题可以得出如下的数学建模步骤： 1）根据问题的背景和建模的目的做出假设（本题隐含假设鸡兔是正常的，畸形的鸡兔除外） 2）用字母表示要求的未知量 3）根据已知的常识列出数学式子或图形（本题中常识为鸡兔都有一个头且鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚） 4）求出数学式子的解答 5）验证所得结果的正确性这就是数学建模的一般步骤三、数模竞赛出题的指导思想传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，不允许用计算器完成。对此而言，数模竞赛题是一个“课题”，大部分都源于生产实际或者科学研究的过程中，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。其答案往往不是唯一的（数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的），呈报的成果是一篇论文。由此可见“数模竞赛”偏重于应用，它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。四、竞赛中的常见题型赛题题型结构形式有三个基本组成部分： 1. 实际问题背景涉及面宽——有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。一般都有一个 实验报告 （2009/2010学年第一学期） 课程名称算法分析与设计A 实验名称动态规划法 实验时间2009 年11 月20 日指导单位计算机学院软件工程系 指导教师张怡婷 学生姓名丁力琪班级学号B07030907 学院(系) 计算机学院专业软件工程 实验报告 实验名称动态规划法指导教师张怡婷实验类型验证实验学时2×2实验时间2009-11-20一、实验目的和任务 目的：加深对动态规划法的算法原理及实现过程的理解，学习用动态规划法解决实际应用中的最长公共子序列问题。 任务：用动态规划法实现求两序列的最长公共子序列，其比较结果可用于基因比较、文章比较等多个领域。 要求：掌握动态规划法的思想，及动态规划法在实际中的应用；分析最长公共子序列的问题特征，选择算法策略并设计具体算法，编程实现两输入序列的比较，并输出它们的最长公共子序列。 二、实验环境(实验设备) 硬件：计算机 软件：Visual C++ 三、实验原理及内容（包括操作过程、结果分析等） 1、最长公共子序列（LCS）问题是：给定两个字符序列X={x1,x2,……,x m}和Y={y1,y2,……,y n}，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。 例如：X={a,b,c,b,d,a,b},Y={b,d,c,a,b,a}。它们的最长公共子序列LSC={b,c,d,a}。 通过“穷举法”列出所有X的所有子序列，检查其是否为Y的子序列并记录最长公共子序列并记录最长公共子序列的长度这种方法，求解时间为指数级别的，因此不可取。 2、分析LCS问题特征可知，如果Z={z1,z2,……，z k}为它们的最长公共子序列，则它们一定具有以下性质： （1）若x m=y n，则z k=x m=y n，且Z k-1是X m-1和Y n-1的最长公共子序列； （2）若x m≠y n且x m≠z k，则Z是X m-1和Y的最长公共子序列； （3）若x m≠y n且z k≠y n，则Z是X和Y的最长公共子序列。 这样就将求X和Y的最长公共子序列问题，分解为求解较小规模的问题： 若x m=y m，则进一步分解为求解两个（前缀）子字符序列X m-1和Y n-1的最长公共子序列问题； 如果x m≠y n，则原问题转化为求解两个子问题，即找出X m-1和Y的最长公共子序列与找出X 和Y n-1的最长公共子序列，取两者中较长者作为X和Y的最长公共子序列。 由此可见，两个序列的最长公共子序列包含了这两个序列的前缀的最长公共子序列，具有最优子结构性质。 3、令c[i][j]保存字符序列X i={x1,x2,……,x i}和Y j={y1,y2,……,y j}的最长公共子序列的长度，由上述分析可得如下递推式： 0 i=0或j=0 c[i][j]= c[i-1][j-1]+1 i,j>0且x i=y j max{c[i][j-1],c[i-1][j]} i,j>0且x i≠y j 由此可见，最长公共子序列的求解具有重叠子问题性质，如果采用递归算法实现，会得到一个指数时间算法，因此需要采用动态规划法自底向上求解，并保存子问题的解，这样可以避免重复计算子问题，在多项式时间内完成计算。 4、为了能由最优解值进一步得到最优解（即最长公共子序列），还需要一个二维数组s[][]，数组中的元素s[i][j]记录c[i][j]的值是由三个子问题c[i-1][j-1]+1,c[i][j-1]和c[i-1][j]中的哪一个计算得到，从而可以得到最优解的当前解分量（即最长公共子序列中的当前字符），最终构造出最长公共子序列自身。 数学建模常用的十种解题方法 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。 关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。 一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。 1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法 二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数) 实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ??,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。 定理 1 )1( 设式()y x f ,区域 D 上的有界函数, 用均匀随机数计算()??D dxdy y x f ,的方法: (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω,a ≦x ≦b, c ≦y ≦d , 其面积A =(b 一a) (d 一c) ; ()j i y x ,,i=1,…,n 在Ω上的均匀分布随机数列,不妨设()j i y x ,, j=1，…k 为落在D 中的k 个随机数, 则n 充分大时, 有 -56- 第四章动态规划 §1 引言 1.1 动态规划的发展及研究内容 动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。20 世纪50 年代初R. E. Bellman 等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。1957 年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广 泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时 间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是 一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。 例1 最短路线问题 图1 是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。试寻求一条由A 到G 距离最短（或费用最省）的路线。 图1 最短路线问题 例2 生产计划问题 工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3 （千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来，自然可以降低成本（少付固定成本费），但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费，每季每千件的存储费为0.5（千元）。还规定年初和年末这种产品均无库存。试制定一个生产计划，即安排每个季度的产量，使一年的总费用（生产成本和存储费）最少。 1.2 决策过程的分类 根据过程的时间变量是离散的还是连续的，分为离散时间决策过程（discrete-time -57- decision process）和连续时间决策过程（continuous-time decision process）；根据过程的演变是确定的还是随机的，分为确定性决策过程（deterministic decision process）和随 机性决策过程（stochastic decision process），其中应用最广的是确定性多阶段决策过程。§2 基本概念、基本方程和计算方法 2.1 动态规划的基本概念和基本方程 一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包含以下要素。 2.1.1 阶段 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的 《算法设计与分析》课程报告 课题名称：动态规划——编辑距离问题 课题负责人名（学号）： 同组成员名单（角色）：无 指导教师：左劼 评阅成绩： 评阅意见： 提交报告时间：2010年 6 月 23 日 动态规划——编辑距离问题 计算机科学与技术专业 学生指导老师左劼 [摘要]动态规划的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解成若干份的子问题，先分别解决好子问题，然后从子问题中得到最终解。但动态规划中的子问题往往不是相互独立的，而是彼此之间有影响，因为有些子问题可能要重复计算多次，所以利用动态规划使这些子问题只计算一次。将字符串A变换为字符串所用的最少字符操作数称为字符串A到B的编辑距离。 关键词：动态规划矩阵字符串操作数编辑距离 一、问题描述 1、基本概念：设A和B是2个字符串。要用最少的字符操作将字符串A转换为字符串B。字符串操作包括： (1) 删除一个字符； (2) 插入一个字符； (3) 将一个字符改为另一个字符。 将字符串A变换为字符串B所用的最少字符操作数称为字符串A 到B的编辑距离，记为d(A,B)。 2、算法设计：设计一个有效算法，对于给定的任意两个字符串A 和B，计算其编辑距离d(A,B)。 3、数据输入：输入数据由文件名为input.txt的文本文件提供。文件的第1行为字符串A，第二行为字符串B。 4、结果输出：将编辑距离d(A,B)输出到文件ouput.txt的第一行。 输入文件示例输出文件示例 input.txt output.txt fxpimu 5 xwrs 二、分析 对于本问题，大体思路为：把求解编辑距离分为字符串A从0个字符逐渐增加到全部字符分别想要变为字符串B该如何变化以及变化的最短距离。 具体来说，首先选用数组a1存储字符串A(设长度为n)，a2存储字符串B(设长度为m)，d矩阵来进行具体的运算；这里有两个特殊情况比较简单可以单独考虑，即A的长度为0而B不为0还有A不为0B为0，这两种情况最后的编辑距离分别为m和n；讨论一般情况，d矩阵为d[n][m]，假定我们从d[0][0]开始一直进行以下操作到了d[i][j]的位置，其中删除操作肯定是A比B长，同理，插入字符操作一定是A比B短，更改字符操作说明一样长，我们所要做的是对d[i][j-1] 动态规划的原理及应用 动态规划是运筹学的一个分支，是求解多阶段决策过程的最优化数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类问题的新方法——动态规划。 动态规划主要用于以时间划分阶段的动态过程优化问题，但一些与时间无关的静态规划如线性规划或非线性规划，人为引进时间因素后，把它们看成多阶段过程，也可用动态规划求解。 1．动态规划的基本理论 一．动态规划的术语 在研究现实的系统时，我们必须将系统具体的术语抽象为数学统一的术语。在此先简要介绍动态规划中的常用术语。 级：我们把系统顺序地向前发展划分为若干个阶段，称这些阶段为“级”。在离散动态规划中，“级”顺序的用自然整数编号，即1，2，…，n. 状态（λ）：用来描述、刻画级的特征。状态可以是单变量，也可以时向量。在此，我们假设研究的状态具有“无记忆性”，即当前与未来的收益仅决定于当前的状态，并不依赖于过去的状态和决策的历史。 状态空间（Λ）：由全部系统可能存在的状态变量所组成。 决策：在每一级，当状态给定后，往往可以做出不同的决定，从而确定下一级的状态，这种决定称为决策。描述决策的变量称为决策变量。对每个状态λ∈Λ，有一非空集X(λ)称为λ的决策集。决策变量x(λ)∈X（λ）。 变换：若过程在状态λ，选择决策x(λ)，可确定一个状态集T（λ，x(λ)）,过程将从λ移动到其中某个状态.T(λ,x(λ))称为变换函数，它确定过程从一个状态到另一个状态的演变。T（λ,x(λ)）可分为两种类型，即确定型和不确定型。确定型的T（λ,x(λ)）只含有一个元。不确定型指我们不能确切知道决策的结果，但作为某已知概率分布支配的变换结果，在每级状态和决策是确定的。这时，集函数T（λ,x(λ)）将包含多个元素。当T（λ,x(λ)）=0 时，过程终止。 策略：顺序排列的决策集，记为v。所有可能的策略集构成策略空间Γ。 收益：评价给定策略的目标函数r(λ，v)，它依赖于状态和策略。总收益是集收益s(λ,v)的某个组合（通常为集收益之和）。若T（λ,x(λ)）=0，则r(λ1，v1)= s(λ1,v1)；若T（λ,x(λ)）= λ2，则r(λ1，v)= s(λ1,v1)+ r(λ1，v2)。 二．序贯决策过程 动态规划的寻优过程可以有正序、逆序两种方式。当初始状态给定时，用逆序方式比较好，当终止状态给定时，用正序方式较好。 采用分级的序贯决策方法，把一个含有n个变量的问题转化为求解n个单变量问题。为了应用最优化原理，必须满足分级条件，即目标函数可分性和状态可分性。 目标函数可分性： 数学建模的基本步骤 一、数学建模题目 1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。 2）给出若干假设条件： 1. 只有过程、规则等定性假设； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形等。 根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。 二、建模思路方法 1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。 2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有： 1）. 回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式。 2）. 时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。 3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。 3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。 三、模型求解： 模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合 适的求解软件的选择至关重要，常用求解软件有matlab，mathematica，lingo，lindo，spss，sas等数学软件以及c/c++等编程工具。 Lingo、lindo一般用于优化问题的求解，spss，sas一般用于统计问题的求解，matlab，mathematica功能较为综合，分别擅长数值运算与符号运算。 常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,通常使用spss、sas、Matlab作为工具. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用Lindo、Lingo,Matlab软件。 图论算法,、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法, 模拟退火法、神经网络、遗传算法。 四、自学能力和查找资料文献的能力： 建模过程中资料的查找也具有相当重要的作用，在现行方案不令人满意或难以进展时，一个合适的资料往往会令人豁然开朗。常用文献资料查找中文网站：CNKI、VIP、万方。 五、论文结构： 0、摘要 1、问题的重述，背景分析 2、问题的分析 3、模型的假设，符号说明 4、模型的建立（局部问题分析，公式推导，基本模型，最终模型等） 5、模型的求解 6、模型检验:模型的结果分析与检验，误差分析 7、模型评价:优缺点，模型的推广与改进 8、参考文献 9、附录 六、需要重视的问题 数学建模的所有工作最终都要通过论文来体现，因此论文的写法至关重要： -1- 第一章线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济 效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947 年G. B. Dantzig 提出 求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性 规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000 元与3000 元。 生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2 小时和1 小时；生产乙机床 需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时 数分别为A 机器10 小时、B 机器8 小时和C 机器7 小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1 x 台甲机床和2 x 乙机床时总利润最大，则1 2 x , x 应满足 （目标函数）1 2 max z = 4x + 3x (1) s.t.（约束条件） ?? ? ?? ? ? ≥ ≤ + ≤ + ≤ , 0 7 8 2 10 1 2 2 1 2 1 2 x x x x x x x （2） 这里变量1 2 x , x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性 数学建模常用方法 建模常用算法,仅供参考： 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必 用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通 常使用L i n d o、L i n g o软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种 暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计 算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文 中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理） 一、在数学建模中常用的方法： 1.类比法 2.二分法 3.量纲分析法 4.差分法 5.变分法 6.图论法 7.层次分析法 8.数据拟合法 9.回归分析法 10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划） 11.机理分析 12.排队方法 数学建模8-动态规划和目标规划 一、动态规划 1.动态规划是求解决策过程最优化的数学方法，主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的 优化问题。但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 2.基本概念、基本方程： （1）阶段 （2）状态 （3）决策 （4）策略 （5）状态转移方程： （6）指标函数和最优值函数： （7）最优策略和最优轨线 （8）递归方程： 3．计算方法和逆序解法（此处较为抽象，理解较为困难，建议结合例子去看） 4．动态规划与静态规划的关系：一些静态规划只需要引入阶段变量、状态、决策等就可以用动态规划方法求解（详见书中例4） 5．若干典型问题的动态规划模型： （1）最短路线问题： （2）生产计划问题:状态定义为每阶段开始时的储存量x k，决策为每个阶段的产量，记每个阶段的需求量（已知量）为d k，则状态转移方程为 （3）资源分配问题：详见例5 状态转移方程： 最优值函数： 自有终端条件： （4）具体应用实例：详见例6、例7。 二、目标规划 1．实际问题中，衡量方案优劣要考虑多个目标，有主要的，有主要的，也有次要的；有最大值的，也有最小值的；有定量的，也有定性的；有相互补充的，也有相互对立的，这时可用目标规划解决。其求解思路有加权系数法、优先等级法、有效解法等。 2．基本概念： （1）正负偏差变量： （2）绝对（刚性）约束和目标约束 ，次位赋（3）优先因子（优先等级）与权系数：凡要求第一位达到的目标赋予优先因子P 1……以此类推。 予P 2 （4）目标规划的目标函数： （5）一般数学模型： 数学建模常用方法以及常见题型 核心提示： 数学建模方法一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自 数学建模方法 一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。 3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。 4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型 1.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 2.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 3.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 4.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 动态规划算法的应用 一、实验目的 1．掌握动态规划算法的基本思想，包括最优子结构性质和基于表格的最优值计算方法。 2．熟练掌握分阶段的和递推的最优子结构分析方法。 3．学会利用动态规划算法解决实际问题。 二、实验内容 题目一：数塔问题 给定一个数塔，其存储形式为如下所示的下三角矩阵。在此数塔中，从顶部出发，在每一节点可以选择向下走还是向右走，一直走到底层。请找出一条路径，使路径上的数值和最大。 输入样例（数塔）： 9 15 10 6 8 2 18 9 5 19 7 10 4 16 输出样例（最大路径和）： 59 三、实验步骤 （1）需求分析 通过动态规划法解决数塔问题。从顶部出发，在每一节点可以选择向下或者向右走，一直走到底层，以找出一条数值最大的路径。 （2）概要设计 本次实验程序主要用到二维数组，以及通过动态规划法进行比较每个数的大小。主要运用两个for循环语句实现动态规划。 （3）详细设计 第一步，输入给定的二维数组并打印出相应的数组： int array[5][5]={{9}, /* */{12,15}, /* */{10,6,8}, /* */{2,18,9,5}, /* */{19,7,10,4,6}}; int i,j; for(i=0;i<5;i++) { for(j=0;j<5;j++) cout< 数学建模方法模型 一、统计学方法 1 多元回归 1、方法概述: 在研究变量之间的相互影响关系模型时候用到。具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如:y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx 来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候，一定要注意两件事: (1) 回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) (2) 回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) 检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤: (1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2)选取适当的回归方程; (3)拟合回归参数; (4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验 (5)进行后继研究(如:预测等) 2 聚类分析 1、方法概述 该方法说的通俗一点就是，将 n个样本，通过适当的方法(选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述)选取 m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离 Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法(一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近)来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas 软件或者 spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。这种模型的的特点是直观，容易理解。 2、分类 聚类有两种类型: (1) Q型聚类:即对样本聚类; (2) R型聚类:即对变量聚类; 通常聚类中衡量标准的选取有两种: (1) 相似系数法 (2) 距离法 聚类方法: (1) 最短距离法 (2) 最长距离法 (3) 中间距离法 (4) 重心法 (5) 类平均法 (6) 可变类平均法 (7) 可变法 实验标题 1、矩阵连乘 2、最长公共子序列 3、最大子段和 4、凸多边形最优三角剖分 5、流水作业调度 6、0-1背包问题 7、最优二叉搜索树 实验目的掌握动态规划法的基本思想和算法设计的基本步骤。 实验内容与源码1、矩阵连乘 #include动态规划算法原理与的应用
数学建模算法动态规划
数学建模知识及常用方法
南京邮电大学算法设计实验报告——动态规划法
数学建模常用的十种解题方法
数学建模-动态规划
数学建模中常见的十大模型
算法设计动态规划(编辑距离)
10427-数学建模-动态规划的原理及应用
数学建模的基本步骤
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数学建模8-动态规划和目标规划
常用数学建模方法
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动态规划算法实验报告
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