个人认为映射计数绝对是计数方法中最经典的一种，常常能将复杂至极的问题简单化，变成人人都会做的普通题目。但是想熟练掌握往往是不容易的，要求有大量的习题积累，才能形成建立映射的能力。 明确概念：对于y=f(x)
单射：不同的x 对应不同的y ，即|x|≤|y| 满射：每个y 至少有一个x 映射，即|x|≥|y| 双射：即是单射又是满射，即|x|=|y| 倍数映射：|x|=m|y| 1,≠∈+
m N m
注：双射即通常说的一一映射，有的人将双射理解为m=2的倍数映射或其他映射，这是不对的。不要从感觉上去理解。双射应当是“单射”“满射”的综合。
利用映射解题，一般是建立双射，将要证明的问题转化为其他的问题，但是计算总数不变。而我们不仅要会建立双射，也应会建立单射和满射，因为显然建立单射和满射是证明不等关系的极好方法，不可以忽略。利用倍数映射解决的题目，我目前还没遇到多少，但还是要时刻记着有这样一种方法。 一，建立双射 例
集合{1，2，……，2004}有多少个元素和为奇数的子集？
将正整数n 写成若干个1与若干个2之和，和项的顺序不同认为是不同的写法，所有写法的种数记为A(n)；将正整数n 写成若干个大于1的正整数之和，和项顺序不同认为是不同的写法，所有写法的种数记为B(n)，求证：A(n)=B(n+2)
注：此题即为很好的映射计数例子。因为即便不用映射我们可以把A(n)求出来，再把B(n+2)求出来，然后比较后会发现两者相等，但这显然是超大工作量，如果使用了映射计数，我们只需用一些技巧，在A(n)和B(n+2)中建立双射，此题即得到证明。 二，建立单射或满射 例
设n 为正整数，我们称{1,2,…,2n}的一个排列{x 1，x 2,…,x 2n }具有性质P ：如果存在1≤i ≤2n-1，使得|x i -x i+1|=n ，求证：对任何n ，具有性质P 的排列比不具有性质P 的排列个数多。
注：映射计数可能会有一定难度，如果觉得掌握不了也不要灰心，只要多练，时间一长自然就会了。
不等式与最值 1平均不等式 设+∈R a i (i=1,2,…,n) 调和平均值：∑==
n
i i
n a n H 11
几何平均值：n
n
i i
n a
G ∏==1
算术平均值：n
a
A n
i i
n ∑==
1
方幂平均值：n
a G n
i i n ∑==
1
2
n n n n G A G H ≤≤≤
等号成立当且仅当n a a a === 21
注意：运用平均不等式需注意各项均为正数！
题外话：有很多同学十分“痛恨”
∏∑这两个符号，总是看不懂，其实这两个符号是绝对好用的，并且以后会常常遇到，在大学课本中更是家常便饭，多看几次自然
也就习惯了。
例题：
，
，且1,,,=+++∈+d c b a R d c b a 求证：614141414<+++++++d c b a 分析：
为了凑出a+b+c+d ，以便充分利用条件，将4a+1,4b+1,4c+1,4d+1视作整体，利用平均不等式。
2柯西不等式及其变形
设R b a i i ∈,(i=1,2,…,n)，则 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 121221 其中等号成立，当且仅当i
i b a 为定值 注：这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于方和积”。等号成立条件比较特殊，要牢记。此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广。
常用变形一：
+∈∈R b R a i i ，若(i=1,2,…,n)，则
∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i n i i
n i i i i b a b a 112
12 注：要求b i 为正数
常用变形二：
若+∈R b a i i ，(i=1,2,…,n)，则
∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i i
i n i i n i i i b a a b a 12
11 注：要求a i ，b i 均为正数。当然，这两个式子虽常用，但是记不记并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用。
例：
若22225231
4765d c b a d c b a +++=+-+，求的最小值。并指出等号成立的条件。 分析：
由于a,b,c,d 各项系数不同，而且既有1次项，又有2次项，显然要用柯西不等式。而且使用柯西不等式不受-7c 这项的影响。使用时，注意写明等号成立条件，检验最小值能否取到。
柯西不等式推广——赫尔德不等式
若+∈R b a i i ，(i=1,2,…,n)，p>1，q>1且
111=+q p 则 q n
i q i p n i p i n i i i b a b a 111
11⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===
注：这个式子成立的前提挺多，不难看出当p=q=2时，这个式子即为柯西不等式。
3排序不等式
4琴生不等式
首先来了解凸函数的定义
一般的，设f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数x 1，x 2都有
()()222121x f x f x x f +≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ 则称f(x)是(a,b)内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下凸函数，例如y=x 2，从图像上即可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式。如果对于某一函数上述不等式的等号总是不能成立，则称此函数为严格凸函数。
注：凸函数的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。这个方法经常使用。此外利用二阶求导也可以判断一个函数为凸函数，凸函数的二阶导数是非负数。
凸函数具有的常用性质
性质一：
对于(a,b)内的凸函数f(x)，有
()n x f n x f n i i n
i i
∑∑==≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11
注：此即常说的琴生不等式
性质二：加权的琴生不等式
对于(a,b)内的凸函数，若11=∑=n i i a
，则
()∑∑==≤⎪⎭⎫ ⎝⎛n
i i i n i i i x f a x a f 1
1 注：加权琴生不等式很重要，当n
a i 1=时，即为原始的琴生不等式。 注：另外，对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分，如果将不等号全部反向，则得到的便是凹函数，以及凹函数的琴生不等式。
例
设x i >0（i=1,2,…,n ），∑==n i i x
11，求证：∑∑==-≥-n i n i i i i n x x x 111
1
注：不仅要用琴生不等式，注意知识综合利用。
5利用二次函数的性质
一般来说，许多题目是涉及x ，y ，z 三个量的证明题，由于二次函数的性质十分好用，因此凑出一个关于其中一个字母的二次函数，进而利用二次函数的性质可以解决最值问题。
例
设x,y,z ≥0，且x+y+z=1，求xy+yz+zx-3xyz 的最大最小值。
提示：
将x=1-y-z 代入，整理成关于y 的二次函数，最值即为
()()()()
134********
2-+----z z z z z z ，整理后不难得到z=0和z=1式分别取到最大值41和最小值0，然后只需举一例证明能够取到即可。
高中数学(竞赛)知识点提纲
【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set） 1.1集.合的阶，集.合之间的关系。1.2集.合的分划 1.3子集，子集族 1.4容斥原理 1.5极端原理 1.6抽屉原理 2. 函数（function） 2.1函数的基本概念 2.1.1映射 2.1.1.1单射 2.1.1.2满射 2.1.1.3一一映射（双射） 2.1.2函数的定义域、值域 2.2函数的性质 2.2.1对称性 2.2.2单调性 2.2.3奇偶性 2.2.4周期性 2.2.5凹凸性 2.2.6连续性 2.2.7可导性 2.2.8有界性 2.2.9收敛性 2.3初等函数 2.3.1一次、二次、三次函数 2.3.2幂函数 2.3.3双勾函数 2.3.4指数、对数函数 2.4函数的迭代 2.5函数方程 3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质 3.2三角函数运算 3.3三角恒等式、不等式、最值 3.4正弦、余弦定理 3.5反三角函数 3.6三角方程 4. 向量（vector）4.1向量的运算 4.2向量的坐标表示，数量积 5. 数列（sequence） 5.1数列通项公式求解 5.1.1换元法 5.1.2特征根法 5.1.3不动点法 5.1.4迭代法 5.1.5数学归纳法 5.1.6代换法 5.1.7待定系数法 5.1.8阶差法 5.2数列求和 5.2.1裂项相消法 5.2.2错位相减法 5.2.3倒序相加法 5.2.4分组分解法 5.2.5归纳猜想法 6．不等式（inequality） 6.1解不等式 6.2重要不等式 6.2.1均值不等式 6.2.2柯西不等式 6.2.3排序不等式 6.2.4契比雪夫不等式 6.2.5赫尔德不等式 6.2.6权方和不等式 6.2.7幂平均不等式 6.2.8琴生不等式 6.2.9 Schur不等式 6.2.10嵌入不等式 6.2.11卡尔松不等式 6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式 6.3.2调整法(放缩法) 6.3.3归纳法 6.3.4切线法 6.3.5展开法 6.3.6局部法 6.3.7反证法
高二数学竞赛题知识点
高二数学竞赛题知识点 在高二数学竞赛中，学生们通常会遇到各种各样的数学问题和题目。为了取得好成绩，竞赛选手需要了解并掌握一些重要的数学知识点。本文将介绍一些高二数学竞赛中常见的知识点和相应的解题技巧。 一、函数与方程 1. 一元二次方程 一元二次方程是高中数学中的重要内容。解一元二次方程可以使用求根公式和配方法。在竞赛中，对于一元二次方程的解法要熟练掌握，并注意考虑方程是否有唯一解或无解的情况。 2. 指数与对数函数 指数与对数函数是高中数学中的另一重要内容。学生们需要了解指数与对数的基本性质，掌握指数与对数函数的图像和性质，以及指数方程与对数方程的解法。 二、平面几何 1. 相似三角形
相似三角形是平面几何中的重要概念。学生们需要知道相似三 角形的基本定义和性质，能够判断两个三角形是否相似，并应用 相似三角形的性质解决相关问题。 2. 圆的性质 圆是平面几何中的基本图形，学生们需要了解圆的圆心、半径、直径等基本概念，以及圆的切线、弦、弧、扇形等性质。在竞赛中，对于圆的性质的掌握十分重要。 三、立体几何 1. 空间几何体的体积、表面积与相关性质 学生们需要掌握立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等常 见几何体的体积和表面积的计算方法，了解它们的相关性质，并 能够应用这些知识解题。 2. 空间向量 空间向量是高中数学中的重要概念，学生们需要掌握向量的加法、减法和数量积的计算方法，了解向量的共线与垂直关系等基 本性质。在竞赛中，向量的应用常常涉及平面向量和空间向量的 结合。
四、概率与统计 1. 排列与组合 排列与组合是概率与统计中的基本内容，学生们需要熟练掌握排列与组合的计算方法，并能够应用它们解决相关问题。 2. 概率的计算 概率是概率与统计的核心内容，学生们需要掌握概率的基本定义、性质和计算方法，能够利用概率解决实际问题，例如计算事件的概率、条件概率和独立事件等。 总结： 高二数学竞赛题目涉及的知识点广泛且深入，要取得好成绩，学生们需要充分准备。本文介绍了一些高二数学竞赛题常见的知识点和解题技巧，包括函数与方程、平面几何、立体几何以及概率与统计。希望这些知识点和技巧对竞赛选手们有所帮助，能够在竞赛中取得好成绩。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不
高中数学竞赛知识点
高中数学竞赛知识点 高中数学竞赛一直是让许多学生头疼的问题。它不仅要求我们掌握 基础的数学知识，还需要我们在限定的时间内迅速解决各种复杂的问题。然而，只要我们掌握了一些关键的数学竞赛知识点，我们就能够 在竞争中脱颖而出。 首先，让我们来看一下数列与数列极限的相关知识。数列是数学竞 赛中经常出现的一个概念，它指的是按照一定规律排列的一组数。我 们需要掌握数列的基本性质，包括递推公式、通项公式以及数列的求 和公式等。同时，了解数列的极限概念，包括收敛与发散，也是非常 重要的。在竞赛中，我们会遇到一些关于数列的难题，只有熟悉了数 列的性质，才能够迅速解决问题。 其次，代数方程也是高中数学竞赛的重要内容之一。代数方程是指 含有未知数的等式，我们需要运用代数方程的解题方法来解决各种复 杂的问题。在解代数方程的过程中，我们需要注意方程的整数解、有 理根与无理根等基本概念。同时，熟悉一些有用的代数恒等式，如二 项式定理、配方法和因式分解等，也可以帮助我们在数学竞赛中事半 功倍。 另外，概率与统计也是高中数学竞赛的重要考点。掌握概率与统计 的基本概念，包括事件的概率、条件概率、随机变量、概率分布等， 是解决概率与统计问题的关键。在竞赛中，我们常常需要运用概率与 统计的知识来解决一些实际问题，如抛硬币、掷骰子、抽样等。只有 熟悉了这些知识点，我们才能够快速准确地解答各种概率与统计问题。
最后，解析几何也是高中数学竞赛的重要内容。解析几何是指运用 代数方法研究几何问题的一种数学方法。了解解析几何的基本概念， 如直线方程、平面方程、圆方程以及二次曲线方程等，可以帮助我们 求解各种几何问题。在解析几何中，我们需要掌握坐标系的建立与利用，解决线段相交、面积比例以及直线与圆的位置关系等问题。 总的来说，高中数学竞赛知识点非常广泛，但我们只要掌握了一些 关键的知识点，就能够在竞赛中有所斩获。数列与数列极限、代数方程、概率与统计以及解析几何，这些都是我们需要重点关注的知识点。在备战数学竞赛的过程中，我们还需要注重培养解题技巧与思维能力，多做一些相关的练习题，提高我们的解题速度与准确度。只有坚持不懈，不断提高，我们才能够在高中数学竞赛中取得更好的成绩。
高中数学竞赛基础平面几何知识点总结
1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图所示，若AM平分∠BAC，则
该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点，且满足则AD 是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角∠CAE，则 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE
高中数学竞赛平面几何基本定理(非常全面)
平面几何基础知识（基本定理、基本性质） 1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2 22222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-?⊥． 高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例． 如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+= （其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ． 10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？） 11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角． 12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：） 13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边． 14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点． 15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ． 16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ． 17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．
高中数学竞赛基本知识集锦
高中数学竞赛基本知识集锦 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 2 cos 12sin αα -±= 2 cos 12cos αα+±= ααααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan +=-=+-± = 积化和差 ()()[]βαβαβα-++=sin sin 2 1cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 2 1sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 2 1cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1sin sin 和差化积 2 cos 2sin 2sin sin βαβ αβα-+=+ 2 sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2 cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 万能公式 α αα2tan 1tan 22sin += α αα22tan 1tan 12cos +-= α αα2tan 1tan 22tan -=
三倍角公式 ()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos πππ++ 提示：乘以72sin 2π，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 22 来个复杂的 设n 为正整数，求证n n n i n i 21212sin 1+=+∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x
高中数学竞赛基本知识集锦教学内容
高中数学竞赛基本知 识集锦
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学竞赛基本知识集锦 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 α α ααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 tan +=-=+-± = 积化和差 ()()[]βαβαβα-++= sin sin 21 cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21 sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21 cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1 sin sin 和差化积 2cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- 万能公式 α αα2 tan 1tan 22sin += α α α22tan 1tan 12cos +-=
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 α α α2tan 1tan 22tan -= 三倍角公式 ()() αααααα+-=-=οο60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-=οο60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 除了课本中的以外，还有一些 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos πππ++ 提示：乘以7 2sin 2π ，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 22
高一上学期数学竞赛知识点
高一上学期数学竞赛知识点 一、整数与有理数 1. 整数的性质与整数的四则运算 整数的性质包括自然数、正整数、负整数、零以及整数的比较大小等。整数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。要注意整数的加法与减法满足交换律和结合律，乘法满足交换律和结合律，除法需要注意被除数与除数的正负关系。 2. 有理数的性质与有理数的四则运算 有理数包括整数和分数，有理数的性质包括有理数的比较大小以及有理数的表示。有理数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。有理数的加法和乘法满足交换律和结合律，减法和除法需要注意符号的变化。 3. 整数和有理数的应用 整数和有理数的应用包括数轴的表示与应用、温度的表示与应用等。 二、代数与方程
1. 代数运算 代数运算包括代数式的加法、减法、乘法和除法，以及代数式的化简和展开。 2. 方程与不等式 方程是含有未知数的等式，要通过变量代换、移项和合并同类项等方法求解方程，包括一元一次方程、一元二次方程等。不等式是含有不等号的关系式，求解不等式要注意改变不等式符号的规则。 3. 平方根与实数 平方根是方程x²=a的解，实数是有理数和无理数的统称。要求解含有平方根的方程时，需要注意引入合适的等式变形和解的范围。 三、数列与函数 1. 算术数列与等差数列
算术数列是指后一项与前一项之差相等的数列，等差数列是一 种特殊的算术数列。要求解数列中的某一项或数列的前n项和， 可以利用通项公式和求和公式。 2. 函数与映射 函数是一种特殊的关系，具有唯一性和对应性。函数的表示可 以用函数表、公式或图象等形式。 3. 一次函数与二次函数 一次函数是变量的一次多项式，二次函数是变量的二次多项式。要求解一次函数和二次函数的零点、最值等问题，需要利用解方 程和求导等方法。 四、立体几何 1. 空间几何基本概念和性质 空间几何包括点、线、面、体等基本概念，以及它们之间的关 系和性质。 2. 空间图形的计算与应用
(完整版)高中数学竞赛知识点
数学 均值不等式 被称为均值不等式。·即调停平均数不高出几何平均数，几何平均数不高出算术平均数，算术平均数不高出平方平均数，简记为“调几算方”。 其中：，被称为调停平均数。 ，被称为几何平均数。 ，被称为算术平均数。 ，被称为平方平均数。 一般形式 设函数（当 r 不等于 0 时）；（当r=0时），有时，。 可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn 仅是上述不等式的特别状况，即 。 特例 ⑴对实数 a,b ，有（当且仅当a=b 时取“号=”），（当且仅当 a=-b 时取“=号”） ⑵对非负实数a,b，有，即 ⑶对非负实数a,b，有 ⑷对实数 a,b ，有 ⑸对非负实数a,b，有 ⑹对实数 a,b ，有
⑺对实数 a,b,c ，有 ⑻对非负数a,b ，有 ⑼对非负数a,b,c ，有 在几个特例中，最出名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM 不等式）： 当 n=2 时，上式即： 当且仅当时，等号成立。 依照均值不等式的简化，有一个简单结论，即。 排序不等式 基本形式： 排序不等式的证明 要证 只需证 依照基本不等式 只需证 ∴原结论正确 棣莫弗定理 设两个复数（用三角形式表示），则： 复数乘方公式：. 圆排列 定义 从 n 个不同样元素中不重复地取出m （1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n 个不同样元素的圆排列。若是一个m-圆排列旋转可以获取另一个m- 圆排列，则认为这两个圆排列相同。 计算公式 n 个不同样元素的特别地，当m=n m- 圆排列个数N 为： 时， n 个不同样元素作成的圆排列总 数 N 为：。
费马小定理 小定理 (Fermat Theory) (a,p)=1 ，那么 a(p- 1) ≡1（ mod p 有一个公数 1) ，那么 a 的 (p-1)是数中的一个重要定理，其内容：若是 p 是数，且 ）。即：若是 a 是整数， p 是数，且 a,p 互 (即两者只次方除以 p 的余数恒等于 1。 组合恒等式 合数 C(k,n) 的定：从n 个不同样元素中取k 个行合的个数。 基本的合恒等式 nC(k,n)=kC(k-1,n-1) C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m) ∑C(i,n)=2^n ∑[(-1)^i]*C(i,n)=0 C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（个性叫合的【聚合性】） C(k,n)+C(k,n+1)+ ⋯⋯ +C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1) -C(k+1,n) C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+ ⋯⋯ +C(p -1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n) 韦达定理 逆定理 若是两数α和β 足以下关系：α+β= ，α·β=，那么两个数α和β是方程 的根。 通达定理的逆定理，可以利用两数的和关系构造一元二次方程。[5] 实行定理 达定理不可以明一元二次方程根与系数的关系，可以实行明一元n 次方程根与系数的关系。 定理： （ i=1 、 2、 3 、⋯⋯n）是方程： 的 n 个根，k 整数），有：。[实系数方程虚根成对定理： 系数一元n 次方程的虚根成出，即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，=a-bi 也是一个根。 无量递降法 无降法是明方程无解的一种方法。其步： 假方程有解，并X 最小的解。 从 X 推出一个更小的解Y。
高一数学竞赛知识点大全
高一数学竞赛知识点大全 数学是一门重要的学科，对于学生来说，提前熟悉并掌握数学竞赛的知识点是非常重要的。本文将为大家总结高一数学竞赛的知识点，帮助大家更好地备战竞赛。 一、代数与函数 1. 初步的代数运算：四则运算、分配律、合并同类项等基础运算法则。 2. 整式与分式的乘除：整式与分式的乘法展开、整式与分式的除法。 3. 因式分解：公因式提取法、差平方、完全平方等因式分解方法。 4. 分式运算：分式的加减、化简、乘除等常用运算规则。 5. 线性方程与不等式：一元一次方程与不等式的解法、二元一次方程组的解法和应用。 6. 二次方程与不等式：求根公式、韦达定理、二次不等式的解法和应用。 7. 指数与对数：指数的运算法则、对数的运算法则、指数方程与对数方程的解法。
8. 函数的概念与性质：函数的定义、函数的性质、函数的图像 与性质。 9. 函数的运算：函数的加减、乘、除等运算法则。 10. 函数的图像与性质：一次函数、二次函数、反比例函数的 图像与性质。 11. 幂函数与指数函数：幂函数与指数函数的图像与性质、幂 指对函数的运算法则。 二、几何与立体几何 1. 二维图形的性质：重心、垂直、平行、三角不等式等性质。 2. 三角形的性质：角平分线定理、中线定理、垂心与垂足等性质。 3. 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形等性质。 4. 圆的性质：圆心角定理、弧长、扇形等性质。 5. 直线与圆的位置关系：点到直线、直线到圆的距离、切线等。 6. 空间几何图形的性质：球的表面积和体积、立体几何图形的 面积与体积。
三、概率与统计 1. 概率的基本概念：随机事件、样本空间、事件概率等。 2. 概率的计算：频率、古典概型、几何概型等概率计算方法。 3. 统计的基本概念：总体、样本、频数等统计学基本概念。 4. 统计图表的制作与分析：条形图、折线图、饼图等常见统计 图的制作与分析方法。 四、数列与数表 1. 数列的定义与性质：数列的概念、等差数列、等比数列等性质。 2. 数列的运算与运算规律：数列的加减、乘除等运算法则。 3. 递推数列的求解：递推公式的建立、递归公式的求解等方法。 4. 等比数列的应用：等比数列在几何图形中的应用。 五、解析几何 1. 平面坐标系与直线：点的坐标、直线的方程与性质。 2. 平面几何图形的方程：圆的方程、抛物线的方程、椭圆的方 程等。
高中数学竞赛公式定理大全
高中数学竞赛公式定理大全包括但不限于： 1. 集合运算的分配律与反演律（摩根律）、容斥原理、有限等集的性质。 2. 直线与方程：克莱姆法则、二维对称点坐标公式、二维投影点坐标公式、直线的参数方程、交轨法、定比分点公式。 3. 圆锥曲线：阿波罗尼斯圆、圆的直径式方程、曲线系、圆幂定理、调和点列、椭圆和双曲线的第二定义、各种切割线方程、特殊类型的双曲线、抛物线的各种几何性质、阿基米德三角形、齐次化方法、双根式、仿射变换、隐函数、蒙日圆、等角定理、二次锥面形成圆锥曲线的过程、极点与极线。 4. 立体几何：祖暅原理、用行列式求平面的法向量、三维对称点坐标公式、三维投影点坐标公式、直角四面体勾股定理、四面体余弦定理、三射线定理、三余弦定理、三面角余弦定理、三正弦定理、平行六面体的性质、立体几何中的正余弦定理。 5. 导数与极限：夹逼定理、洛必达法则、极限运算法则、常用极限、对数求导法则、隐函数求导、多个极值判定法、抽象函数的构造、对数平均不等式、指数平均不等式。 6. 数列：等差数列中，S奇=na中，例如S13=13a7；等差数列中，S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差；等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立；等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q；数列的终
极利器，特征根方程等。 7. 其他公式和定理：三角形垂心爆强定理；维维安尼定理；爆强思路；常用结论；爆强公式；函数y=(lnx)/x在(0，e)上单调递增，在(e，+无穷)上单调递减等。 这些公式和定理是高中数学竞赛的重要知识点，需要学生熟练掌握和应用。同时，学生还需要具备灵活运用知识的能力和创造性思维，才能取得优异的成绩。
数学竞赛知识基本知识集锦
数学竞赛知识基本知识集锦 数学竞赛一直以来都是学生们展现自己数学能力和解题思维的舞台。参加数学竞赛不仅能够提升数学水平，还能培养逻辑思维和解决问题 的能力。本文将为大家整理数学竞赛的基本知识，希望对参加数学竞 赛的同学们有所帮助。 一、基础概念与定理 1. 数列与数列的性质： 数列是按照一定规律排列的数的序列。常见的数列有等差数列、等 比数列等。掌握数列的通项公式及常见性质，能够更好地解决与数列 相关的问题。 2. 平面几何与立体几何： 平面几何主要涉及图形的性质、坐标系以及三角形、四边形等形状 的性质。立体几何则关注空间图形的特征与性质。定理的掌握和灵活 应用是解决几何问题的关键。 3. 三角函数与三角恒等式： 三角函数是解决三角形问题的基础，包括正弦、余弦、正切等。同时，熟悉三角恒等式的应用，能够简化计算过程，提高解题效率。 4. 数论基础知识： 数论是研究整数性质的学科，涉及素数、约数、同余等概念。对数 论基础知识的掌握，对于解决一些特定的数学竞赛问题非常有帮助。
5. 初等代数与高等代数： 初等代数包括方程、函数等基本概念与运算，高等代数则讨论向量、矩阵等更为复杂的代数运算。掌握代数运算的方法和技巧是解决代数 题的关键。 二、解题技巧与方法 1. 抽象问题的具体化： 遇到一些抽象的问题时，可以尝试将其具体化，通过构建具体的例 子或者特殊情况来分析问题，从而找到解题的思路和方法。 2. 推理与演绎： 在解决一些需要推理和演绎的问题时，可以采用逆向思维，从题目 要求出发，逆向推导，找到问题的根源和解决方法。 3. 规律与模式的寻找： 许多数学竞赛问题都存在一定的规律和模式，通过观察、总结，找 到问题的规律，可以更加高效地解决问题。 4. 分析与综合： 分析题目的条件和要求，将问题进行拆解，寻找其中的关联与规律，再进行综合运用，能够更好地解决复杂的数学竞赛问题。 三、参考书目与学习资源 1. 《挑战杯数学竞赛》
(完整版)高中数学竞赛讲义(五)──数列
高中数学竞赛讲义（五） ──数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。其中a1 叫做数列的首项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n表示{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式： S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q， 则a n+a m=a p+a q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn. 定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等比数列，q叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=； 当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。 定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈ N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等 比数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n ≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n=ax n-1+bx n-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则x n=c1a n-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则x n=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。
高中数学竞赛精品资料
高中数学竞赛精品资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3. 初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子
定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。
