2018市中区二模
一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分）
1．国家主席习近平在2018年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中3400000用科学记数法表示为（ ） A ．0.34×107 B ．3.4×106
C ．3.4×105
D ．34×105
2．图甲是某零件的直观图，则它的主视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，已知AB ∥CD ，DE ⊥AC ，垂足为E ，∠A=120°，则∠D 的度数为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．50°
D ．40°
4．下列计算正确的是（ ）
A. 134=÷a a
B. 734a a a =+
C. ()
124
3
82a a = D. 734a a a =?
5．如图，△ABC 内接于⊙O ，连接OA ，OB ，∠C=40°，则∠OBA 的度数是（ ）
A ．60°
B ．50°
C ．45°
D ．40°
6．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．C．D．
8．初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下表所示，有两个数据被遮盖，如下表：那么被遮盖的两个数据依次是（）
A．35，2 B．36，3 C．35，3 D．36，4
9．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m 至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）
A．54m B．53m C．51m D．47m
10．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m B．m＞1 C．m＜1 D．m且m≠1
11．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y 轴上，连OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，则点A′的坐标（）
A．（﹣，）B．（﹣2，4）C．（﹣，）D．（﹣3，4）
12．如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，直线l1交
x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：
①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S
=5，其中正确的个数有（）
四边形ABCD
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
13．分解因式：8
-a
a=
22+
8
14. 不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．从中任意
摸一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是
15. 已知方程组，则x+y的值为．
16．如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为．
第16题图第17题图第18题图
17．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=
在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是．
18．如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN，连接AC 交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为4，则线段CF 的最小值是．
三．解答题（共9小题） 19. （本小题满分6分） 计算：()?+-+??
?
??---45cos 2823131
π
20. （本小题满分6分）
先化简，再求值：2,11132=-?
??? ??+-+a a a a a a a
其中
21. （本小题满分6分）
如图，在矩形ABCD ，AD=AE ，DF ⊥AE 于点F ，求证：AB=DF
22．（本小题满分8分）
工人师傅用一块长为10dm ，宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）.在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积
为12dm 2时，裁掉的正方形边长多大？
23．（本小题满分8分）
为响应“书香校园”号召，重庆一中在九年级学生中随机抽取某班学生对2016年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，每名学生阅读中外名著的本数，最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）该班学生共有名，扇形统计图中阅读中外名著本数为7本所对应的扇形圆心角的度数是度，并补全折线统计图；
（2）根据调查情况，班主任决定在阅读中外名著本数为5本和8本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或表格求出这两名学生阅读的本数均为8本的概率．
24．（本小题满分10分）
如图1，?OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3，A（2，1），反比例函数y=（x ＞0）的图象经过点B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将线段OA延长交y=（x＞0）的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，
①求直线BD的解析式；
②求线段ED的长度．
25．（本小题满分10分）
定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的“对角线正方形”．如图②，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB以5cm/s 的速度运动，当点P与点B不重合时，作线段PB的“对角线正方形”，设点P的运动时间为t（s），线段PB的“对角线正方形”的面积为S（cm2）．
（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的“对角线正方形”．
（2）当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值．（3）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式．
（4）在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．
26．（本小题满分12分）
如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，cosA=，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．
（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
27．（本小题满分12分）
如图1，抛物线y=ax2+bx+经过A（1，0），B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC．
（1）求抛物线的解析式；
=S△ABC？若存在，请求出（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S
△ABM
点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；
②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长．
参考答案和评分标准
一、选择
1. B
2. A
3. A
4. D
5. B
6. C
7.C
8.D 9. C 10. D 11. C 12.C
9.解：作BM⊥DE于M．设DE=x，
在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，
∴DA=x≈1.7x，
在Rt△ABC中，BC：AC=1：3，BC=9，
∴AC=27，
∵四边形BCDM是矩形，
∴BM=CD=1.7x+27，DM=BC=9，
在Rt△BEM中，tan∠EBM=，
∴=0.4，
∴x=60，
∴DE=60（m），
11．解：如图，过点A′作A′D⊥x轴与点D；
设A′D=λ，OD=μ；
∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB=∠OCB=90°；四边形ABA′D为梯形；
设AB=OC=γ，BC=AO=ρ；
∵OB=，tan∠BOC=，
∴，
解得：γ=2，ρ=1；
由题意得：A′O=AO=1；△ABO≌△A′BO；
由勾股定理得：λ2+μ2=1①，
由面积公式得：②；
联立①②并解得：λ=，μ=．
故答案为（，）．
12.解：∵直线l1：y=﹣3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（1，0），B（0，3），
∵点A、E关于y轴对称，
∴E（﹣1，0）．
∵直线l2：y=﹣3x+9交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，∴D（3，0），C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，
把y=3代入y=﹣3x+9，得3=﹣3x+9，解得x=2，
∴C（2，3）．
∵抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点，
∴，解得，
∴y=﹣x2+2x+3．
①∵抛物线y=ax2+bx+c过E（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，故①正确；
②∵a=﹣1，b=2，c=3，
∴2a+b+c=﹣2+2+3=3≠5，故②错误；
③∵抛物线过B（0，3），C（2，3）两点，
∴对称轴是直线x=1，
∴抛物线关于直线x=1对称，故③正确；
④∵b=2，c=3，抛物线过C（2，3）点，
∴抛物线过点（b，c），故④正确；
⑤∵直线l1∥l2，即AB∥CD，又BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S四边形ABCD=BC?OB=2×3=6≠5，故⑤错误．
综上可知，正确的结论有3个．
二．填空
13.2（a﹣2）214.15.3 16.﹣．
17. 2≤k≤18. 2﹣2
17．解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，
∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y=，
∴k≥2．
随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，
经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y=﹣x+7，
，得x2﹣7x+k=0
根据△≥0，得k≤
综上可知2≤k≤．
18.解：在正方形ABCD中，AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），
∴∠1=∠2，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠ADF+∠3=∠ADC=90°，
∴∠1+∠ADF=90°，
∴∠AFD=180°﹣90°=90°，
取AD的中点O，连接OF、OC，
则OF=DO=AD=2，
在Rt△ODC中，OC===2，根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，
∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值=OC﹣OF=2﹣2．
故答案为：2﹣2．
三、解答题
19.解：原式=1﹣3+2﹣2+...............4分
=3﹣4．.....................6分
20.解：原式=?.........................1分
=2（a﹣1）...........................3分
=2a﹣2．............................4分
当a=2时
原式=2×2-2=2.....................6分 21.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B=90°， ..........1分 ∴∠AEB=∠DAE ，............2分 ∵DF ⊥AE ，
∴∠AFD=∠B=90°，.............3分 在△ABE 和△DFA 中 ∵
∴△ABE ≌△DFA ，...........5分 ∴AB=DF ．.................6分
22.解：设裁掉的正方形的边长为xdm ，...............1分 由题意可得()()12262-10=-x x ................5分
整理得01282=+-x x
解得21=x ，62=x （舍去）.................7分
答：裁掉的正方形的边长为2dm 时底面积 12dm 2..............8分 23.解：（1）该班学生共有30÷60%=50名， 圆心角的度数是15÷50×360°=108°， 50﹣2﹣30﹣15=3（人）...................2分 补全如图：
.................4分
（2）因为阅读5本的有2人，阅读8本的有3人，所以可设A 、B 表示阅读5本的学生，C 、D 、
E表示阅读8本的学生，画树状图得：
............6分
∵共有20种等可能的结果，抽得这两名学生阅读的本数均为8本的有6种情况，∴P（两名学生都读8本）=6÷20=．................8分
24.解：（1）如图1，过点A作AP⊥x轴于点P，
则AP=1，OP=2．
又∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC=3，
∴B（2，4）．.............................2分
∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过的B，
∴4=．
∴k=8．
∴反比例函数的关系式为y=．................4分
（2）①点A（2，1），
∴直线OA的解析式为y=x（Ⅰ）．.............5分
∵点D在反比例y=（Ⅱ）函数图象上，
联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，或
..................6分
∵点D在第一象限，
∴D（4，2）．
由B（2，4），点D（4，2），
∴直线BD的解析式为y=﹣x+6．.................7分
②如图2，把y=0代入y=﹣x+6，解得x=6．
∴E（6，0），....................8分
过点D作DH⊥x轴于H，
∵D（4，2），
∴DH=2，......................9分
HE=6﹣4=2，
由勾股定理可得：ED==2．...................10分
25.解：（1）线段AB的“对角线正方形”如图所示：
....................2分
（2）如图4中，当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x，
∵PE∥AB，
∴=，..................3分
∴=，
解得x=，...................4分
∴PE=，CE=4﹣=，
∴PC==，..............5分
∴t==s；...................7分
（3）①如图5中，当D、E在∠BAC的平分线上时，易知AB=AP=3，PC=2，∴t=s．
.............8分
②当点P运动到点A时，满足条件，此时t=1s．................9分
③如图6中，当点E在∠BAC的角平分线上时，作EH⊥BC于H．
易知EB平分∠ABC，
∴点E是△ABC的内心，四边形EOBH是正方形，OB=EH=EO=BH==1（直角三角形内切圆半径公式），
∴PB=2OB=2，
∴AP=1，
∴t=s，.....................10分
综上所述，在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠CAB的平分线上时，t的值为s 或1s或s；
26.解：（1）∵∠ACB=90°，
∴，
∵AC=8，
∴AB=10，........................1分
∵D是AB边的中点，
∴，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=∠DEC=90°，
∴，
∴AE=4，
∴CE=8﹣4=4，
∵在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2，
∴DE=3，
∵DF⊥DE，
∴∠FDE=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，.................2分
∴DF=EC=4，
∵在Rt△EDF中，DF2+DE2=EF2，
∴EF=5........................3分
（2）不变....................4分
如图2，
过点D作DH⊥AC，DG⊥BC，垂足分别为点H、G，由（1）可得DH=3，DG=4，......................5分
∵DH⊥AC，DG⊥BC，
∴∠DHC=∠DGC=90°
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DHCG是矩形，.........................6分
∴∠HDG=90°，
∵∠FDE=90°，
∴∠HDG﹣∠HDF=∠EDF﹣∠HDF，
即∠EDH=∠FDG，
又∵∠DHE=∠DGF=90°
∴△EDH∽△FDG，∴，......................7分
∵∠FDE=90°，∴，.....................8分
（3）①当QF=QC时，
∴∠QFC=∠QCF，
∵∠EDF+∠ECF=180°，
∴点D，E，C，F四点共圆，
注：正常应用角度转换，而不是用四点共圆.
∴∠ECQ=∠DFE，∠DFE+∠QFC=∠ECQ+∠QCF=∠ACB=90°，即∠DFC=90°，
又∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴，
∴，................10分
②当FQ=FC时，
∴∠BCD=∠CQF，
∵点D是AB的中点，
∴BD=CD=AB=5，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠BCD=∠FCQ，∠BDC=∠CFQ，
∴△FQC∽△DCB，
由①知，点D，E，C，F四点共圆，
∴∠DEF=∠DCF，
∵∠DQE=∠FQC，
∴△FQC∽△DEQ，
即：△FQC∽△DEQ∽△DCB
∵在Rt△EDF中，，
∴设DE=3k，则DF=4k，EF=5k，
∵∠DEF=∠DCF=∠CQF=∠DQE，
∴DE=DQ=3k，
∴CQ=5﹣3k，
∵△DEQ∽△DCB，
∴，
∴，
∴，
∵△FQC∽△DCB，
∴，
∴，
解得，
∴，∴，..........................11分
③当CF=CQ时，如图3，
∴∠BCD=∠CQF，
由②知，CD=BD，
∴∠BDC=∠BCD，
∵△EDQ∽△BDK，
在BC边上截取BK=BD=5，过点D作DH⊥BC于H，∴DH=AC=4，BH=BC=3，由勾股定理得，同②的方法得，△CFQ∽△EDQ，
∴设DE=3m，则EQ=3m，EF=5m，
∴FQ=2m，
∵△EDQ∽△BDK，
∴，