人教版数学必修一函数的单调性与最大值
一、函数的单调性 1.增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，，当时，都有f()f()，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 2.函数的单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间 （1）在某个区间具有单调性：①这个区间可以是整个定义域.如：y=x 在整个定义域R上是增函数，②这个区间也可以是定义域的真子集，如：y=x2在定义域（-∞，+∞）上不具有单调性，但在（-∞，0 ] 上是减函数，在 [ 0，+∞）上是增函数
（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的，有以下几个特征：一是任意性，，即“任意取，”，“任意”两字不能丢；二是有大小，通常规定；三是属于同一单调区间（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正逆互推，即由f(x)是增函数且f（）< （4）有的函数不具有单调性，如函数y=，它的定义域为R，但不具有单调性，函数y=x+1,x∈Z它的定义域不是区间，也不能说它在其定义域上具有单调性 （5）如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B 上都是增（减）函数，一般不能认为f（x）在A∪B上是增（减）函数，例如f(x)=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，但是不能说其在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，在这里，正确的写法应为：“（-∞，0），（0，+∞）”或“（-∞，0）和（0，+∞）” （6）图像特征：在某区间上，单调递增的函数f(x)，从左向右看，其图像时上升的，单调递减的函数f(x)，从左向右看，其图像时下降的 （7）函数在某一点处的单调性无意义
函数的单调性知识点总结与题型归纳
函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升哪些区间下降？ 解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？
高中数学 第6课时函数的单调性(1)(教师版) 苏教版
高中数学 第6课时函数的单调性（1）（教师版） 苏教 版 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．理解函数单调性概念； 2．掌握判断函数单调性的方法，会证 明一些简单函数在某个区间上的 单调性； 3．提高观察、抽象的能力．； 自学评价 1．单调增函数的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为 A ，区间I A ?． 如果对于区间I 内的任意两个值1x ， 2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那 么就说()y f x =在区间I 上是单调增 函数，I 称为()y f x =的单调 增 区间． 注意：⑴“任意”、“都有”等关键词； ⑵. 单调性、单调区间是有区别的； 2．单调减函数的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为 A ，区间I A ?． 如果对于区间I 内的任意两个值1x ， 2x ，当12x x <时，都有 12()()f x f x >， 那么就说()y f x =在区间I 上是单调 减 函数，I 称为()y f x =的单调 减 区间． 3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是 上升 图像；而函数在其单调减区间上的图像是 下降 的图像。（填＂上升＂或＂下降＂） 12x x < ； （2） 比较12(),()f x f x 大小 ； (3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增 （或减）函数＂ . 【精典范例】 一．根据函数图像写单调区间： 例1：画出下列函数图象，并写出单调区间． （1）2 2y x =-+； （2）1 y x =； （3）21, 0 ()22, 0x x f x x x ?+≤=?-+>? ． 【解】 （图略） （１）函数2 2y x =-+的单调增区间为 (,0)-∞，单调减区间为(0,)+∞； （２）函数1 y x = 在(,0)-∞和(0,)+∞上分别单调减，即其有两个单调减区间分别是(,0)-∞和 (0,)+∞． （３）函数21, 0 ()22, 0x x f x x x ?+≤=?-+>? 在实数集R 上是减函数；
人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题
O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0
知识点一-导数与函数的单调性
1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间；
函数的单调性知识点总结及练习
2.3 函数的单调性 学习目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值． 重点难点：函数单调性的应用 一、知识点梳理 1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D, 当x 1 f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的减函数，D 叫f(x)单调递减区间． 2．函数单调性的判断方法： （1）定义法．步骤是： ①任取x 1，x 2∈D ，且x 1若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =????在x 的区间D 内单调递减． 3．常见结论 若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ； 若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数) (1x f 在其定义域内为减函数． （ 二、例题精讲 题型1：单调性的判断 1．写出下列函数的单调区间 （1）,b kx y += （2）x k y =， （3）c bx ax y ++=2． * 2．求函数22||3y x x =-++的单调区间． # ３．判断函数f （x ）＝1 x 2－4x 的增减情况．
7第七讲 函数的单调性及最值(教师版)
第一课时：单调性 知识点一 函数的单调性 思考 画出函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象，并指出f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象的升降情况如何？ 答案 两函数的图象如下： 函数f (x )＝x 的图象由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的. 梳理 一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义： 设函数f (x )的定义域为I ： (1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数. 知识点二 函数的单调区间 思考 我们已经知道f (x )＝x 2的减区间为(－∞，0]，f ( x )＝1 x 的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？ 答案 f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1 x 的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属 第七节.函数的单调性与最值 基本不等式
于f (x )＝1 x 的定义域. 梳理 一般地，有下列常识： (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D ?定义域I . (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大. 类型一 求单调区间并判断单调性 例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数. 反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有. 跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性. 解 先画出f (x )＝????? x 2－2x －3，x <－1或x >3，－(x 2 －2x －3)，－1≤x ≤3 的图象，如图.
人教版_数学Ⅰ_131函数的单调性
1 ” 课题：§ 1.3.1函数的单调性 教学目的：(i )通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意 义； (2 )学会运用函数图象理解和研究函数的性质； (3 )能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性. 教学重点：函数的单调性及其几何意义. 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 教学过程： 一、 引入课题 1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ① 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ② 能否看出函数的最大、最小值？ ③ 函数图象是否具有某种对称性？ 2. 画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1 . f(x) = x ② 从左至右图象上升还是下降 __________ ? ②在区间 _______________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ___________ . 2. f(x) = -2x+1 ② 从左至右图象上升还是下降 __________ ? ②在区间 _______________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ___________ . 3. f(x) = x 2 ②在区间 _______________ 上，f(x)的值随 -* ----- 1 ----- ? -1 1 x y 」 lb 1 ■ -1 1 x -1 ■ y 」 1 1 --- ■ -1 1 x -1 y 小
-厂 着x 的增大而_________ ． ③在区间________________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而_________ ． 二、新课教学 (一)函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x) 的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1 , X2,当X1VX2时，都有f(x 1)高中函数单调性知识点及习题
函数的简单性质 一、函数的单调性 1、单增函数：在函数y=f(x)的定义域的一个区间M中，如果对于任意两个值x1，x2，当改变量x2>x1时，有Δy＝f(x2)－f(x1)>0，即：f(x2)> f(x1)那就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，． 2、单减函数：在函数y=f(x)的定义域的一个区间M中，如果对于任意两个值x1，x2，当改变量x2>x1时，有Δy＝f(x2)－f(x1)<0，即：f(x2)< f(x1)就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数， 2．单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单增函数或是单减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 3、证明单调性： 用定义证明函数单调性的步骤 (1)设x1，x2是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x15、常用结论： （1）若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数 （2）若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数 （3）若f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在f(x)和g(x)的共定义域上f(x)+g(x)为增（或减）函数 （4）若f(x)>0,且为增函数，则函数为增函数，为减函数若f(x)>0,且为减函数，则函数为减函数，为增函数练习： 1、（函数单调性的判断） （1）证明函数x x f- = ) (在定义域上是减函数。（定义法） （2）证明函数3 ()2 f x x x =--在R上是单调递减函数；（定义法） （3）证明函数2 ()231 f x x x =-+-在区间 3 (,] 4 -∞上是单调递增函数；（图 像法）
导数应用：含参函数的单调性讨论教师版
导数应用：含参函数的单调性讨论教师版 https://www.doczj.com/doc/8417025050.html,work Information Technology Company.2020YEAR
导数应用：含参函数的单调性讨论教师版 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数 在区间时上为增函数 在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('... ,)(...0)('... ,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f +=)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('222≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2)(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f >-或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+=x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号)
函数的单调性 知识点与题型归纳
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1
2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是增函数；
3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 10，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数． 注意：(补充) （1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，
高中数学教师资格面试函数的单调性教案
高中数学教师资格面试函数的单调性教案 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
高中数学教师资格面试《函数的单调性》教案： 函数的单调性 课题：函数的单调性 课时：一课时 课型：新授课 一、教学目标 1.知识与技能： （1）从形与数两方面理解单调性的概念。 （2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。 2.过程与方法： （1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力。 （2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法。 （3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
3.情感态度价值观： 通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题。 二、教学重点 函数单调性的概念形成和初步运用。 三、教学难点 函数单调性的概念形成。 四、教学关键 通过定义及数形结合的思想，理解函数的单调性。 五、教学过程 （一）创设情境，导入新课 教师活动：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律，描述前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。然后提出两个问题：问题一：二次函数是增函数还是减函数问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数 学生活动：观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述，y=2x的图象自变量x 在实数集变化时，y随x增大而增大，y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增
高中数学人教版习题《函数的单调性》
基础梳理 1．如果函数f(x)对区间D内的任意x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D内是增函数；当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D内是减函数． 例如：若f(x)＝2x－1，能证明出函数f(x)在R上为增函数吗？____. 2．函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)[或f(x1)＞f(x2)]． 例如：f(x)是R上的单调函数，若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调____函数；若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调增函数吗？____. 3．若函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间． 4．若函数y＝f(x)是R上的增函数，当a＞b时，则f(a)____f(b); 若函数y＝f(x)是R上的减函数，当a＞b时，则f(a)____f(b)．5．函数f(x)＝x2＋2x＋11的单调增区间是________, 基础梳理 1．能 2.递增不是 4.＞＜ 5.[－1，＋∞) 思考应用 1．如果f(x)在区间D上是单调函数，则函数f(x)是增函数(减函数)的说法正确吗？ 1．解析：不正确．函数的单调性是函数的局部性质，所以必须说明函数在哪个区间上是增(减)函数． 2. 函数f(x)在区间D上是增(减)函数，对于任意x1，x2∈D，则有“若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]”，反之是否也成立呢？ 2．解析：成立．即函数f(x)在D上是增(减)函数，对于?x1，x2∈D，若f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]，则x1＜x2，这个性质从函数单调性的图形定义中能形象地体现出来． 自测自评 1．下列结论正确的是()
函数的单调性的题型分类及解析
函数的单调性 知识点 1、增函数定义、减函数的定义： （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间M ?A ，如果取区间M 中的任意两个值21,x x ,当改变量012>-=?x x x 时，都有0)()(12>-=?x f x f y ，那么就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数，如图（1）当改变量012>-=?x x x 时，都有0)()(12<-=?x f x f y ，那么就称 函 数)(x f y =在区间M 上是减函数，如图（2） 注意：单调性定义中的x 1、x 2有什么特征：函数单调性定义中的x 1,x 2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间． 1、 根据函数的单调性的定义思考：由f (x )是增(减)函数且f (x 1)x 2) 2、我们来比较一下增函数与减函数定义中y x ??,的符号规律，你有什么发现没有？ 3、如果将增函数中的“当012>-=?x x x 时，都有0)()(12>-=?x f x f y ”改为当 012<-=?x x x 时，都有0)()(12<-=?x f x f y 结论是否一样呢？ 4、定义的另一种表示方法 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2,若 0) ()(2 121>--x x x f x f 即 0>??x y ，则函数y=f(x)是增函数，若0)()(2 121<--x x x f x f 即0函数单调性和奇偶性情况总结复习资料
课次教学计划（教案） 课题 函数的单调性和奇偶性 教学目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别 2. 结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性 教学策略 重点难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数 教学策略：讲练结合，查漏补缺 1.例1：观察y=x 2的图象，回答下列问题 问题1：函数y=x 2的图象在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？?随着x 的增加，y 值在增加。 问题2：怎样用数学语言表示呢？ ?设x 1、x 2∈[0，+∞]，得y 1=f(x 1), y 2=f(x 2).当x 1f(x 2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 12（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。 3.例2.己知函数f （x ）＝－x 2＋2x ＋3,⑴画出函数的图象;⑵根据图象写出函数f(x)的单调区间;⑶利用定义证明函数f （x ）＝－x 2＋2x ＋3在区间(-∞,1］上是增函数;⑷当函数f(x)在区间(一∞,m ］上是增函数时,求实数m 的取值范围. 1、 用定义判断单调性： A ． 设所给范围∈21,x x 且21x x <； B ．计算f (x 1)－f (x 2)=几个因式的乘积形式 C ．判断上述差的符号； D.下结论。如果)()(f 21x f x <，则函数是增函数；如果)()(f 21x f x >，则函数是减函数 用定义法判断单调性 1．试用函数单调性的定义判断函数2()1 x f x x = -在区间（0，1）上的单调性.
《函数的单调性与奇偶性》教学设计(人教A版必修)
1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计 【教学目标】 1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义； 3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性. 【导入新课】 1.通过对函数x y 2=、x y 3-=、x y 1=及2x y =的观察提出有关函数单调性的问题. 2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念. 3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题： ① 以y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形； 问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称； （2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等. ② 以y 轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形： 问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称； （2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，－f(x)）也在函数图象上，即
