6、函数之函数的单调性
函数单调性的相关知识点：
一：函数的单调性的定义。（设函数)(x f y =
的定义域为
I ）。
1.增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值
2121x x x x <，且、。当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是增
函数。相应的区间D 为函数)(x f 的单调递增区间。
2.减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值
2121x x x x <，且、。当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是减
函数。相应的区间D 为函数)(x f 的单调递减区间。
3.单调性：如果一个函数)(x f 在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函
数)(x f 在这个区间上具有单调性，或者说函数在区间上是单调的。
二：证明或判断单调性的方法与步骤。
1. 定义法：（1）取值。 （2）作差变形。 （3）定号。 （4）下结论。
2. 导数法：（1）求导。 （2）判断导函数f ′(x )的符号。若f ′(x ) > 0，则函数
为增函数。 若f ′(x ) < 0，则函数为减函数。
3. 图像法：主要用来判断。
三：函数单调性的有关性质。
若函数)()(x g x f 、在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质。 1. 函数C x f x f +)()(与具有相同的单调性。
2. 函数)()(x af x f 与，当0>a 时，具有相同的单调性，当0 调性。 3. 当函数)(x f 恒不等于0时。函数 )() (1 x f x f 与具有相反的单调性。 4. 当函数0)(≥x f 时。函数)()(x f x f 与具有相同的单调性。 5. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增（减）函数，则：)()(x g x f +为某个区间上的增（减）函数。 6. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增（减）函数，则)()(x g x f ?：当两者都恒大于零时，是增（减）函数；当两者都恒小于零时，是减（增）函数。 7. 奇函数在原点的两侧具有相同的单调性，偶函数在原点的两侧具有相反的单调性。 8. 互为反函数的两个函数具有相同的单调性。 9. 若)(x f 在区间D 上为增函数，且D x x ∈21,。则：()[]0 ) ()()3(0)()()()2() ()(12 12121212121>-->-?- 10. 若)(x f 在区间D 上为减函数，且D x x ∈21,。则：()[]0 ) ()()3(0)()()()2() ()(12 12121212121<--<-?->? 题型一、判断基本初等函数的单调性 1、下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2 B ．y ＝x 2＋x C ．y ＝－－x D ．y ＝ x x －1 答案 D 解析 选项D 中，y ＝ x x －1＝1＋1x －1 .易知其在(－∞，1)上为减函数．故选D ． 2、下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝1 x C ．y ＝lg x D ．y ＝x 3 答案 B 解析 y ＝－2x ＋1在定义域R 上为单调递减函数；y ＝lg x 在定义域(0，＋∞)上为单调递增函数；y ＝x 3在定义域R 上为单调递增函数；y ＝1 x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在定义域内不单调，故选B ． 3、函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1) 答案 A 解析 由已知易得??? x ＋1>0， x －3>0，即x >3，又0<0.5<1， ∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减． 四：复合函数单调性的判断方法： 1. 复合函数的定义：形如：[])(x g f y =的函数称为复合函数。 令：)(x g t =称为内层函数。)(t f y =为外层函数。 2. 判断方法。（同增异减） 题型二、用定义判断函数的单调性。 1、讨论函数x x x f 1 )(+=的单调性（引出对勾函数模型） 2、证明：函数1)(3+-=x x f 在),(+∞-∞上是减函数。 3、判断函数g (x )＝－2x x －1 在(1，＋∞)上的单调性． 题型三、求函数的单调区间。 类型1、数形结合求函数的单调区间。 1、函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞) 答案 A 解析 由于f (x )＝|x －2|x ＝??? x 2－2x ，x ≥2， －x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调递减区间是[1,2]． 2、求函数 y ＝－x 2＋2|x |＋1 的单调区间： 解 由于y ＝??? －x 2＋2x ＋1，x ≥0， －x 2－2x ＋1，x <0， 即y ＝??? －(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2 ＋2，x <0. 画出函数图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)． 3、求函数 f (x )＝|x 2－4x ＋3| 的单调区间： 解 先作出函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，由于绝对值的作用，把x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象．如图所示． 由图可知f (x )在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f (x )的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]． 4、32)(2++-=x x x f 5、)1()(-=x x x f 6、9696)(22++++-=x x x x x f 7、如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上减函数，那么实数a 的取值范围是 （ ） A ：3-≤a B ：3-≥a C ：5≤a D ：5≥a 8、若2)(+-=b x x f 在),0[+∞上是增函数，则实数b 的取值范围是 0≤b 。 类型2、复合函数单调区间的求法。 1、求函数y ＝log 12 (x 2－3x ＋2)的单调区间： 解 令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12 u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数． 令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2. ∴函数y ＝log 12 (x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝3 2，且开口向上， ∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log 12 u 在(0，＋∞)上是单调减函数， ∴y ＝log 12 (x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)． 2、求函数f (x )＝ 1 3－2x －x 2 的单调区间： 解 ∵3－2x －x 2>0，∴－3 由二次函数图象(图略)可知f (x )的递减区间是(－3，－1]，递增区间为[－1,1)． 3、函数)4(log )(23 1x x x f -=的单调递增区间为 。 4、函数)32(log )(22 1+--=x x x f 的单调递减区间为 。 5、函数x x x f +-=11)(的递减区间是 。 6、函数5 42 2)(++-=x x x f 的递增区间 。 7、函数f (x )＝x 2＋x －6的单调增区间是 类型3、导数法求函数的单调区间。 1、函数42)(23++-=x x x x f 的单调递增区间 。 2、函数x x x f ln 2)(-=的减区间 。 题型四、利用函数的单调性比较大小 1、已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ? ?? ?? －12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 答案 D 解析 由题意知y ＝f (x )图象关于x ＝1对称，且当x >1时，y ＝f (x )是减函数，∵a ＝f ? ???? －12＝ f ? ????52，∴f (2)>f ? ?? ?? －12>f (3)，即b >a >c ，故选D ． 2、设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)满足f (m )<0，则( ) A ．f (m ＋1)＝0 B ．f (m ＋1)≤0 C ．f (m ＋1)>0 D ．f (m ＋1)<0 答案 C 解析 ∵f (x )图象的对称轴为x ＝－1 2，f (0)＝f (－1)＝a ，∴f (x )的大致图象如图所示．结合图象，由f (m )<0，得－1 ∴f (m ＋1)>f (0)>0.故选C ． 3、已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，则f (－1)与f (a 2－2a ＋3)的大小关系是( ) A．f(－1)≥f(a2－2a＋3)B．f(－1)＝f(a2－2a＋3) C．f(－1)>f(a2－2a＋3)D．f(－1) 答案D 解析a2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2，由偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，可得f(－1)＝f(1) 题型五、利用单调性求参数的值或范围 1、若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为() A．－3B．－2 C．－1D．1 答案B 解析∵f(x)＝(x－1)2＋m－1，∴f(x)在[3，＋∞)上是增函数，f(x)min＝f(3)＝3＋m，∵3＋m＝1，∴m＝－2. 2、已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是() A．(－∞，1]B．(－∞，－1] C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞) 答案A 解析因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.故选A． 3、函数y＝－2x2－4ax＋3在区间[－4，－2]上是单调函数，则a的取值范围是() A．(－∞，1]B．[4，＋∞) C．(－∞，2]∪[4，＋∞)D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案C 解析函数y＝－2x2－4ax＋3的图象的对称轴为x＝－a，由题意可得－a≤－4或－a≥－2，解得a≤2或a≥4，故选C． 4、若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝ 2m x ＋1 在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(0,1] B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0，＋∞) D ．(0,1] 答案 D 解析 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝ 2m x ＋1 的图象由y ＝2m x 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．故选D ． 5、已知f (x )＝??? (3a －1)x ＋4a ，x <1， log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是 ( ) A ．(0,1) B ．? ? ???0，13 C ．??????17，13 D ．???? ??17，1 答案 C 解析 由f (x )在R 上单调递减， 则有???? ? 3a －1<0，0 (3a －1)＋4a ≥0，解得17≤a <1 3. 6、函数y ＝2－x x ＋1 ，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2) C ．[1,2) D ．[－1,2) 答案 D 解析 ∵函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3 x ＋1 －1，∴当x ∈(－1，＋∞)时，函数是减函数，又 当x ＝2时，y ＝0， ∴－1≤m <2，故选D ． 7、已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) 答案 C 解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.故选C ． 8、设f (x )＝???? ? (x －a )2，x ≤0，x ＋1 x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2] 答案 D 解析 ∵当x >0时，f (x )的最小值为f (1)，∴当x ≤0时，f (x )的最小值为f (0)，∴??? a ≥0， a 2≤2＋a ， 即??? a ≥0， a 2－a －2≤0，解得0≤a ≤2. 9、设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知m >0，n <0，且f (m ) A ．m ＋n <0 B ．m ＋n >0 C ．f (－m )>f (－n ) D ．f (－m )·f (－n )<0 答案 B 解析 因为m >0，所以－m <0.由函数f (x )为偶函数，得f (m )＝f (－m )，故不等式f (m ) 10、若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1≠x 2，有f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 <0，则( ) A ．f (3) B ．f (3) C ．f (－2) D ．f (1) 答案 B 解析 ∵对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1≠x 2，有f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1<0，∴当x ≥0时，函数f (x ) 为减函数，∴f (3) 11、已知函数f (x )＝???? ? －x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－2] C ．[－3，－2] D ．(－∞，0) 答案 C 解析 由题意可知???? ? －a 2≥1，a <0， －1－a －5≤a ， 解得－3≤a ≤－2，即实数a 的取值范围为[－3， －2]． 12、已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________. 答案 (－∞，1] 解析 f (x )＝??? e x －a ，x ≥a ， e a －x ，x f (x )单调递增，当x 在[1，＋∞)上是增函数，所以a ≤1. 13、是否存在实数a ，使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求a 的范围．a > 1 14、若ax x x f 2)(2+-=与1)(+=x a x g 在区间上都上[1,2]减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ：)1,0()0,1( - B ：]1,0()0,1( - C ：)1,0( D ：]1,0( 15、已知)2log()(ax x f -=在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是（ ） A ：)1,0( B ：)2,1( C ：)2,0( D ：),2[+∞ 16、已知2 1 )(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，则a 取值范围是 a > 1/2 。 17、函数()()2231f x ax a x =+++在区间[)2,-+∞上递增，则实数a 的取值范围是( ) A. (],3-∞ B. (]0,3 C. []0,3 D. []3,+∞ 18、若函数()(),1 { 231,1 a x f x x a x x >=-+≤ 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2,13?? ??? B. 3,14?????? C. 23,34?? ??? D. 2,3??+∞ ??? 19、已知函数()()222,1{ 1,(1) x ax a x f x ax x -+-≥=+<满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立， 则实数a 的取值范围是__________． 20、已知f (x )＝?? ? 3a －1x ＋4a ，x <1， log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围 是( ) A ．(0,1) B.? ????0，13 C.??????17，13 D.?????? 17，1 21、已知函数f (x )＝???? ? －x 2－ax －5(x ≤1)，a x (x >1)是R 上的增函数，则a 的取值范围是( ) A ．－3≤a <0 B ．－3≤a ≤－2 C ．a ≤－2 D ．a <0 22、已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a []ax 2－(2－a )x ＋3在?????? 13，2上是增函数，则a 的取值范 围是________． 23、设函数f (x )＝??? 2x ，x <2， x 2，x ≥2， 若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，2] C ．[2,6] D ．[2，＋∞) 24、已知函数f (x )＝??? log 2(1－x )＋1，－1≤x <0， x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的值域是[0,2]，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1， 3 ] C ．[1,2] D ．[3，2] 25、已知f (x )＝x x －a (x ≠a )． (1)若a ＝－2，证明：f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解 (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2 . 设x 1 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2 x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1) 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2 x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a >0，x 2－x 1>0， 所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0 题型六、利用单调性求最值。 1．函数()23 1 x f x x += -，当[)2,x ∈+∞时，函数的值域为（ ） A. (],7-∞ B. ()(],22,7-∞? C. (]2,7 D. [)2,+∞ 2. 函数f (x )＝? ????13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 3. 求函数的值域。 题型七、利用单调性解决不等式问题。 1、已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)满足f (a ＋1)>f (a ＋2)，则f (2x －3)>0的解集是( ) A ．(－∞，2) B ．? ????23，1 C ．? ????32，2 D ．(2，＋∞) 答案 C 解析 因为函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)满足f (a ＋1)>f (a ＋2)，所以00可化为0<2x －3<1，求解可得3 2 2、f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A ．(8，＋∞) B ．(8,9] C ．[8,9] D ．(0,8) 答案 B 1x 1x y --+= 解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有???? ? x >0，x －8>0， x (x －8)≤9. 解得8 3、已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________. 答案 (－3，－1)∪(3，＋∞) 解析 由已知可得???? ? a 2－a >0， a ＋3>0， a 2－a >a ＋3， 解得－33，所以实数a 的取值范围为(－ 3，－1)∪(3，＋∞)． 4、函数y ＝f (x )是R 上的增函数，且y ＝f (x )的图象经过点A (－2，－3)和B (1,3)，则不等式|f (2x －1)|<3的解集为________. 答案 ? ?? ?? －12，1 解析 因为y ＝f (x )的图象经过点A (－2，－3)和B (1，3)，所以f (－2)＝－3，f (1)＝3.又|f (2x －1)|<3，所以－3 2x －1>－2，2x －1<1，即??? ?? x >－12， x <1， 所以－1 2 5、已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________． 6、已知函数f (x )＝??? x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2 ，x ＜0. 若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 7、已知函数()()3,0 { 1,0 x x f x ln x x ≤=+>，若()()22f x f x ->，则实数x 的取值范围是 ____________. 8、已知()f x 是定义在()0,+∞上的单调增函数，若()()2f x f x >-，则x 的取值范围（ ） A. 1x > B. 1x < C. 02x << D. 12x << 9、()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的(]0a b ∈-∞，，， 当a b ≠时，都有()()0f a f b a b ->-. 若()()121f m f m +<-，则实数m 的取值范围为_________. 10、已知函数()1 e e x x f x =-，则不等式()() 2240f x f x -+-<的解集为________． 11、设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()20f =，则不等式()() 0f x f x x --<的解集为 （ ） A. ()()2,02,-?+∞ B. ()(),20,2-∞-? C. ()(),22,-∞-?+∞ D. ()()2,00,2-? 12、若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0 13、已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ? ?? ?? 1x －1>f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(1,2) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 题型八、抽象函数的单调性与不等式问题 1、函数f (x )对任意的m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2. 解 (1)证明：设x 1 f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1， 所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0?f (x 1) (2)因为m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1， 所以f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1?f (2)＝2f (1)－1， f (3)＝4?f (2＋1)＝4?f (2)＋f (1)－1＝4?3f (1)－2＝4， 所以f (1)＝2， 所以f (a 2＋a －5)<2＝f (1)， 因为f (x )在R 上为增函数，所以a 2＋a －5<1?－3 2、已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ? ???? 12＝1，如果对于0 有f (x )>f (y )，不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2的解集为( ) A ．[－1,0)∪(3,4] B ．[－1,4] C ．(3,4] D ．[－1,0) 答案 D 解析 令x ＝12，y ＝1，则有f ? ????12＝f ? ????12＋f (1)，故f (1)＝0；令x ＝12，y ＝2，则有f (1)＝f ? ???? 12＋ f (2)，解得，f (2)＝－1，令x ＝y ＝2，则有f (4)＝f (2)＋f (2)＝－2；∵对于0＜x ＜y ，都有f (x )＞f (y )，∴函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，故f (－x )＋f (3－x )≥－2可化为f (－x (3－x ))≥f (4)，故???? ? －x >0， 3－x >0， －x (3－x )≤4，解得－1≤x ＜0.∴不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2的解集为[－1,0)，故选D ． 3、定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足下面三个条件： ①对任意正数a ，b ，都有f (a )＋f (b )＝f (ab )； ②当x >1时，f (x )<0； ③f (2)＝－1. (1)求f (1)的值； (2)试用单调性的定义证明：函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数； (3)求满足f (3x －1)>2的x 的取值集合． 解 (1)由f (a )＋f (b )＝f (ab )得f (1)＋f (1)＝f (1)，则f (1)＝0. (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1 x 2x 1＝f (x 2)， 则f (x 2)－f (x 1)＝f ? ?? ?? x 2x 1. 由x 2x 1>1得f ? ???? x 2x 1<0，则f (x 2) ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数． (3)∵f (2)＝－1，∴f (4)＝f (2)＋f (2)＝－2， 又f (4)＋f ? ????14＝f (1)＝0，∴f ? ?? ?? 14＝2. 又f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在其上是减函数， ∴??? ?? 3x －1<14， 3x －1>0， 解得13 12. 故满足要求的x 的取值集合为? ???? 13，512. 4、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25) B ．f (80) C ．f (11) D ．f (－25) 5、f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋ f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A ．(8，＋∞) B ．(8,9] C ．[8,9] D ．(0,8) 6、函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2. 7、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ? ?? ?? x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值； (2)证明：f (x )为单调递减函数； (3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 8、已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23 . (1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 9、已知函数f (x )对于任意m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且当x >0时f (x )>1. (1)求证：函数f (x )在R 上为增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2. 6、函数之函数的单调性 函数单调性的相关知识点： 一：函数的单调性的定义。（设函数)(x f y = 的定义域为 I ）。 1.增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 2121x x x x <，且、。当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是增 函数。相应的区间D 为函数)(x f 的单调递增区间。 2.减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 2121x x x x <，且、。当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是减 函数。相应的区间D 为函数)(x f 的单调递减区间。 3.单调性：如果一个函数)(x f 在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函 数)(x f 在这个区间上具有单调性，或者说函数在区间上是单调的。 二：证明或判断单调性的方法与步骤。 1. 定义法：（1）取值。 （2）作差变形。 （3）定号。 （4）下结论。 2. 导数法：（1）求导。 （2）判断导函数f ′(x )的符号。若f ′(x ) > 0，则函数 为增函数。 若f ′(x ) < 0，则函数为减函数。 3. 图像法：主要用来判断。 三：函数单调性的有关性质。 若函数)()(x g x f 、在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质。 1. 函数C x f x f +)()(与具有相同的单调性。 2. 函数)()(x af x f 与，当0>a 时，具有相同的单调性，当0 调性。 3. 当函数)(x f 恒不等于0时。函数 )() (1 x f x f 与具有相反的单调性。 4. 当函数0)(≥x f 时。函数)()(x f x f 与具有相同的单调性。 5. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增（减）函数，则：)()(x g x f +为某个区间上的增（减）函数。 6. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增（减）函数，则)()(x g x f ?：当两者都恒大于零时，是增（减）函数；当两者都恒小于零时，是减（增）函数。 7. 奇函数在原点的两侧具有相同的单调性，偶函数在原点的两侧具有相反的单调性。 8. 互为反函数的两个函数具有相同的单调性。 9. 若)(x f 在区间D 上为增函数，且D x x ∈21,。则：()[]0 ) ()()3(0)()()()2() ()(12 12121212121>-->-?-? 一、函数的单调性 1.增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，，当时，都有f() （2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的，有以下几个特征：一是任意性，，即“任意取，”，“任意”两字不能丢；二是有大小，通常规定；三是属于同一单调区间（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正逆互推，即由f(x)是增函数且f（）< （4）有的函数不具有单调性，如函数y=，它的定义域为R，但不具有单调性，函数y=x+1,x∈Z它的定义域不是区间，也不能说它在其定义域上具有单调性 （5）如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B 上都是增（减）函数，一般不能认为f（x）在A∪B上是增（减）函数，例如f(x)=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，但是不能说其在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，在这里，正确的写法应为：“（-∞，0），（0，+∞）”或“（-∞，0）和（0，+∞）” （6）图像特征：在某区间上，单调递增的函数f(x)，从左向右看，其图像时上升的，单调递减的函数f(x)，从左向右看，其图像时下降的 （7）函数在某一点处的单调性无意义 高中数学 第6课时函数的单调性（1）（教师版） 苏教 版 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．理解函数单调性概念； 2．掌握判断函数单调性的方法，会证 明一些简单函数在某个区间上的 单调性； 3．提高观察、抽象的能力．； 自学评价 1．单调增函数的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为 A ，区间I A ?． 如果对于区间I 内的任意两个值1x ， 2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那 么就说()y f x =在区间I 上是单调增 函数，I 称为()y f x =的单调 增 区间． 注意：⑴“任意”、“都有”等关键词； ⑵. 单调性、单调区间是有区别的； 2．单调减函数的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为 A ，区间I A ?． 如果对于区间I 内的任意两个值1x ， 2x ，当12x x <时，都有 12()()f x f x >， 那么就说()y f x =在区间I 上是单调 减 函数，I 称为()y f x =的单调 减 区间． 3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是 上升 图像；而函数在其单调减区间上的图像是 下降 的图像。（填＂上升＂或＂下降＂） 12x x < ； （2） 比较12(),()f x f x 大小 ； (3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增 （或减）函数＂ . 【精典范例】 一．根据函数图像写单调区间： 例1：画出下列函数图象，并写出单调区间． （1）2 2y x =-+； （2）1 y x =； （3）21, 0 ()22, 0x x f x x x ?+≤=?-+>? ． 【解】 （图略） （１）函数2 2y x =-+的单调增区间为 (,0)-∞，单调减区间为(0,)+∞； （２）函数1 y x = 在(,0)-∞和(0,)+∞上分别单调减，即其有两个单调减区间分别是(,0)-∞和 (0,)+∞． （３）函数21, 0 ()22, 0x x f x x x ?+≤=?-+>? 在实数集R 上是减函数； O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 第一课时：单调性 知识点一 函数的单调性 思考 画出函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象，并指出f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象的升降情况如何？ 答案 两函数的图象如下： 函数f (x )＝x 的图象由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的. 梳理 一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义： 设函数f (x )的定义域为I ： (1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 于f (x )＝1 x 的定义域. 梳理 一般地，有下列常识： (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D ?定义域I . (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大. 类型一 求单调区间并判断单调性 例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数. 反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有. 跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性. 解 先画出f (x )＝????? x 2－2x －3，x <－1或x >3，－(x 2 －2x －3)，－1≤x ≤3 的图象，如图. 1 ” 课题：§ 1.3.1函数的单调性 教学目的：(i )通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意 义； (2 )学会运用函数图象理解和研究函数的性质； (3 )能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性. 教学重点：函数的单调性及其几何意义. 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 教学过程： 一、 引入课题 1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ① 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ② 能否看出函数的最大、最小值？ ③ 函数图象是否具有某种对称性？ 2. 画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1 . f(x) = x ② 从左至右图象上升还是下降 __________ ? ②在区间 _______________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ___________ . 2. f(x) = -2x+1 ② 从左至右图象上升还是下降 __________ ? ②在区间 _______________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ___________ . 3. f(x) = x 2 ②在区间 _______________ 上，f(x)的值随 -* ----- 1 ----- ? -1 1 x y 」 lb 1 ■ -1 1 x -1 ■ y 」 1 1 --- ■ -1 1 x -1 y 小 -厂 着x 的增大而_________ ． ③在区间________________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而_________ ． 二、新课教学 (一)函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x) 的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1 , X2,当X1VX2时，都有f(x 1) 导数应用：含参函数的单调性讨论教师版 https://www.doczj.com/doc/064594633.html,work Information Technology Company.2020YEAR 导数应用：含参函数的单调性讨论教师版 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数 在区间时上为增函数 在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('... ,)(...0)('... ,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f +=)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('222≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2)(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f >-或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+=x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) 高中数学教师资格面试函数的单调性教案 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 高中数学教师资格面试《函数的单调性》教案： 函数的单调性 课题：函数的单调性 课时：一课时 课型：新授课 一、教学目标 1.知识与技能： （1）从形与数两方面理解单调性的概念。 （2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。 2.过程与方法： （1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力。 （2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法。 （3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。 3.情感态度价值观： 通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题。 二、教学重点 函数单调性的概念形成和初步运用。 三、教学难点 函数单调性的概念形成。 四、教学关键 通过定义及数形结合的思想，理解函数的单调性。 五、教学过程 （一）创设情境，导入新课 教师活动：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律，描述前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。然后提出两个问题：问题一：二次函数是增函数还是减函数问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数 学生活动：观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述，y=2x的图象自变量x 在实数集变化时，y随x增大而增大，y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增 基础梳理 1．如果函数f(x)对区间D内的任意x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D内是增函数；当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D内是减函数． 例如：若f(x)＝2x－1，能证明出函数f(x)在R上为增函数吗？____. 2．函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)[或f(x1)＞f(x2)]． 例如：f(x)是R上的单调函数，若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调____函数；若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调增函数吗？____. 3．若函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间． 4．若函数y＝f(x)是R上的增函数，当a＞b时，则f(a)____f(b); 若函数y＝f(x)是R上的减函数，当a＞b时，则f(a)____f(b)．5．函数f(x)＝x2＋2x＋11的单调增区间是________, 基础梳理 1．能 2.递增不是 4.＞＜ 5.[－1，＋∞) 思考应用 1．如果f(x)在区间D上是单调函数，则函数f(x)是增函数(减函数)的说法正确吗？ 1．解析：不正确．函数的单调性是函数的局部性质，所以必须说明函数在哪个区间上是增(减)函数． 2. 函数f(x)在区间D上是增(减)函数，对于任意x1，x2∈D，则有“若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]”，反之是否也成立呢？ 2．解析：成立．即函数f(x)在D上是增(减)函数，对于?x1，x2∈D，若f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]，则x1＜x2，这个性质从函数单调性的图形定义中能形象地体现出来． 自测自评 1．下列结论正确的是() 1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计 【教学目标】 1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义； 3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性. 【导入新课】 1.通过对函数x y 2=、x y 3-=、x y 1=及2x y =的观察提出有关函数单调性的问题. 2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念. 3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题： ① 以y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形； 问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称； （2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等. ② 以y 轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形： 问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称； （2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，－f(x)）也在函数图象上，即 函数的单调性（教学设计） 一、本节内容在教材中的地位与作用： 《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 二、学情、教法分析： 按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。 三、教学目标与教学重、难点的制定： 依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为： 单调增区间 函数y ＝x x +-11的递减区间是(―∞, ―1)、(―1, ＋∞) .函数y ＝log 12 (4＋3x －x 2)的一个单调递增区间是 ( ) A.(－∞，32] B.[32 ，＋∞) C.(－1，32) D.[32 ，4) 解析：由t ＝4＋3x －x 2＞0得－1＜x ＜4，即函数y ＝log 12 (4＋3x －x 2)的定义 域为(－1,4)， 又y ＝log 12t 是减函数，t ＝4＋3x －x 2在[32 ，4)上递减， 所以函数y ＝log 12(4＋3x －x 2)在[32 ，4)上递增. 答案：D 函数x x x f ln 2)(2-=的增区间是 2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间 （1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++ 解：(1)2221(0)21(0)x x x y x x x ?-++≥?=?--+得或，函数2223(1)4y x x x =--=-- 即22(1)4(13)(1)4(13) x x y x x x ?--+-≤≤?=?--<->??或 如图所示，单调增区间为[1,1][3,]-+∞和，单调减区间为(,1][1,3]-∞-和 单调性的应用 1.求参数范围 安徽省合肥市第三十二中学2014年高中数学 1.3.1 函数的单 调性教案新人教版必修1 【教学目标】 1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． 2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】计算机、投影仪． 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 课前布置任务： (1) 艾宾浩斯记忆遗忘曲线、连一连 (2)下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数x y x y x y x y 1,,2,22= =+-=+=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？ 预案：(1)函数2+=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而增大；函数2+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小． (2)函数2x y =在),0[+∞上 y 随x 的增大而增大，在)0,(-∞上y 随x 的增大而 知识点5：函数单调性的定义及应用： 定义：在函数()x f y =的定义域A 的某一区间I 内任取1x ,2x I ∈,且21x x <. ○ 112x x ,则称()x f y =在区间I 上为减函数. 说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质； （2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性且单调区间不可写并集； （3）函数单调性的定义中，有两层意思： ①对于任意的1x ，2x M ∈，若12x x <，有12()()f x f x <，则称()f x 在M 上是增函数； ②若()f x 在M 上是增函数，则当12x x <时，就有12()()f x f x <恒成立． （4）图象特征：图象是上升趋势的为增函数；图象是下降趋势的为减函数. 1.已知函数y=f(x)是定义在R 上的增函数，则f(x)=0的根 （ C ） A.有且只有一个 B.有2个 C.至多有一个 D.以上均不对 2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间［a ，b ］（D ）A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有惟一的实根 题型1：证明函数的单调性：步骤：一设，二作差，三变形判断符号，四结论 变形常用的手段有：通分，提取公因式、配方法、有理化、因式分解。 1.利用单调性的定义证明函数+2 ()+1 x f x x = 在(-1,)+∞上是减函数。 解：在(-1,)+∞上任取12x x <， 则121212+2+2 ()()+1+1x x f x f x x x -=-2121 (+1)(+1)x x x x -= 因为211x x >>-，所以21210,+1>0,+10x x x x ->>。 2121>0(+1)(+1)x x x x -∴，所以21()()0f x f x ->；即21()>()f x f x ， 故+2()+1 x f x x =在区间(-1,+)∞上为减函数。 练.证明函数3 ()2f x x =-在R 上的单调递增。 题型2.函数单调性的判定，有一些规律 〈1〉若()x f y =↑,()x g y =↑,则()()x g x f y +=↑.（若)(x f 单增,)(x g 单减,则)()(x g x f -单增） 〈2〉若()x f y =↓,()x g y =↓,则()()x g x f y +=↓. 〈3〉若()x f 是增函数，那么()x f 是增函数，()()x f x f 1 , -（00)(<>或x f 部分）是减函数。 〈4〉若()x f 是减函数，那么 ()x f 是减函数，()()x f x f 1 ,-（00)(<>或x f 部分）是增函数。 1.设()f x 是定义在A 上的减函数，且()0f x >，则下列函数①32()y f x =-；② 21()y f x =+ ；③1()()y f x f x =-；④1 ()() y f x f x =-,其中为增函数的个数是（ ） （A ）1 （B ） 4 （C ）2 （D ）3 解：()f x 是定义在A 上的减函数，且()0f x >， ()y f x ∴=-、1()y f x =为增函数，1 () y f x =-为 减函数， 32()y f x ∴=-、2 1() y f x =+、1()()y f x f x =-为增函数，故选D 。 2.讨论函数())0(,12 ≠-=a x ax x f 在区间(-1，1)内的单调性. 解：设-1＜x 1＜x 2＜１，则f(x 1)-f(x 2)＝ 2 1 11x ax -- 2 2 21x ax -＝ ) 1)(1() 1)((2 2212121x x x x x x a --+- ∵x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1＜x ２，∴x 1-x 2＜0，1+x 1x 2＞0，(1-x 2 1)(1-x 2 2)＞0 函数的单调性 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性； 2、 掌握单调性的判断方法，并能简单应用； 一、函数单调性的定义 1、图形描述： 对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递减函数。 2、定量描述 对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有1()f x <)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是减函数。 3、单调性与单调区间 若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 特别提醒： 1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2 x y =（图1），当[)0,x ∈+∞时是增函数，当(] ,0 x ∈-∞时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、21,x x 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。 二、用定义证明函数的单调性： 定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： 1、取量定大小：即设21,x x 是区间上的任意两个实数，且1x <2x ； 2、作差定符号：即()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形； 3、判断定结论： 即根据定义得出结论。 第三节 函数的单调性 1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1 函数的单调性教学设计 一．教学内容解析： 1．教材内容及地位 本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地． 2．教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性．3．教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证．二．教学目标设置 1．理解函数单调性的相关概念．掌握证明简单函数单调性的方法．2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法． 3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量． 4．引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力． 三．学生学情分析 1．教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“y随x的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势．蒲城县尧山中学重点班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力． 2．教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度．而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强．另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱．这些都容易产生思维障碍． 四、教学策略分析 在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y随x的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度．为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料： 1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成． 2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结6、函数之函数的单调性(教师版)
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