圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： (1) 中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(小，儿)，匕2，)，2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。 x2 y2 如：(1) —+ —= 1(?>Z?>O)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,yo),則有cr lr 典+卑《 = 0。 a- \r 2 2 (2) 冷一亠= l(d>0“>0)与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M(x°,y°)則有cr Zr 算-辱0 a~ b- (3) y2=2px (p>0)与直线I 相交于A、B 设弦AB 中点为M (x。, y0),则有 2y?k=2p,即y o k=p. 典型例题给定双曲线，一斗=1。过A (2, 1)的直线与双曲线交于两点片及鬥，求线段片人的中点P的轨迹方程。 (2) 焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点p,与两个焦点仟、竹构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 X2 y2 典型例题设P(X, y)为椭IS—+ —= 1上任一点，F](—C0),化(c,0 )为焦点， cr lr
APF}F2 =a9 ZPF占=0。 (1) 求证离心率“血3+0): sin a + sin 0 (2) 求IPFf + PFJ’的灵值。 (3) 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定艾去解。 典型例题 抛物线方程y? =p(x +1)(p>0),直线x + y = t与x轴的交点在抛物线准线的右边。 (1) 求证：直线与拋物线总有两个不同交点 (2) 设直线与抛物线的交点为A、B,且0A丄0B,求p关于t的函数f(t)的表达式。 (4) 圆锥曲线的相关最值(范围)问题 < 圆锥曲线中的有关置值(范国)问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意艾，一般可用因形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。 (1) ,可以设法得到关于a的不等式?通过解不等式求出a的范囤，即：“求范囤，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把ANAB的面积表示为一个变董的函数，然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思想二 最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求心y的范國； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想： 3、利用判别式，对于二次函数求罠值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值：
圆锥曲线常考题型解题技巧总结 1 圆锥曲线定义的妙用 1．求动点轨迹 例1 一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x ＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．椭圆 思路点拨 分析题意，看满足哪种曲线的定义． 规范解答 x 2＋y 2＝1是圆心为原点，半径为1的圆，x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为标准方程为(x － 3)2＋y 2＝4，是圆心为A (3,0)，半径为2的圆．设所求动圆圆心为P ，动圆半径为r ，如图，则 ⎭ ⎪⎬⎪⎫|PO |＝r ＋1|P A |＝r ＋2⇒|P A |－|PO |＝1<|AO |＝3，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支． 答案 C 2．解三角形 例2 设F 1、F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23 －y 2＝1与C 1的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值． 思路点拨 利用椭圆与双曲线的定义求出|F 1F 2|，|PF 1|和|PF 2|，然后由余弦定理求解． 规范解答 曲线C 1：x 26＋y 22＝1与曲线C 2：x 23 －y 2＝1的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P 为第一象限的交点．则|PF 1|＋|PF 2|＝26，|PF 1|－|PF 2|＝23，解得|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3.又|F 1F 2|＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理可求得cos ∠F 1PF 2＝(6＋3)2＋(6－3)2－422×(6＋3)×(6－3) ＝13. 3．求离心率 例3 如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24 ＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 总论：常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K 参数、角参数） 7、代入法 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 （1）中点弦问题 （2）焦点三角形问题 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率) 4、弦长公式法 弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如 的方程，方程的两根设为 ， ，判别 式为△，则| |12a k △ ·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来
完整版)圆锥曲线大题题型归纳 圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1.待定系数法：求解直线方程中的系数，求标准方程中的 待定系数a、b、c、e、p等； 2.齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有 关的问题； 3.韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。但是，如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4.点差法：解决弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五 条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；
5.距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问 题转化为水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 基本思想： 1.“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2.“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然 会无解； 3.证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将 对象表示出来，再说明与此变量无关； 4.证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则 必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5.有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能 使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；
6.大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表 达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、已知F1，F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为多少？ 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1、已知F1,F2分别是双曲线3x^2-5y^2=75的左右焦点，P是双曲线右支上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2 的面积。 变式2、已知F1，F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点。 1）求|PF1|/|PF2|的最大值；
圆锥曲线解题技巧归纳（9篇） 化为一元二次方程，利用判别式求最值篇一 如果能把圆锥曲线的最值问题转化为含有一个未知量的一元二次方程，利用，解得要求未知量的范围，然后确定其最值。 例3：直线，椭圆C：。求以椭圆C的焦点F1、F2为焦点，且与直线 l有公共点M的椭圆中长轴最短的。 分析：因为直线l与所求椭圆有公共点，可以由方程组得到一个一元 二次方程，再利用判别式确定所求椭圆长轴的`最小值。 解：椭圆C的焦点。 说明：直线l与椭圆有公共点，可得方程组，消去一个未知数，得到 一个一元二次方程，由一元二次方程有实根的条件得，构造参变量的不等式，确定的最小值，这种解法思路清晰、自然。 圆锥曲线的八大解题方法：篇二 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K参数、角参数） 7、代入法中的顺序
8、充分利用曲线系方程法 圆锥曲线的解题方法：篇三 一、求圆锥曲线方程 （1）轨迹法：设点建立方程，化简证明求得。 例题：动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=—5 的距离少2。求动点P的轨迹方程。 解析：依题意可知，{C}，由题设知{C}，{C}{C}。 （2）定义法：根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。 上述例题同样可以由定义法求出曲线方程：作直线x=—3，则点P到 定点A与到定直线x=—3的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以 x=—3为准线的抛物线。 （3）待定系数法：通过题设条件构造关系式，待定参数即可。 例1：已知点（—2，3）与抛物线{C}的焦点的距离是5，则P=_____。 解析：抛物线{C}的焦点为{C}，由两点间距离公式解得P=4。 例2：设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同，离心率为{C}， 则椭圆的方程为_____。 解析：抛物线{C}的焦点坐标为（2，0），所以椭圆焦半径为2，故 离心率{C}得m=4，而{C}，所以椭圆方程为{C}。 一、化为二次函数，求二次函数的最值
圆锥曲线题型归纳及解题技巧 学好圆锥曲线的几个关键点 1、牢记核心知识点 核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。 2、计算能力与速度 计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。 当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。 3、思维套路 拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：
一设二联立三韦达定理。 一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。 二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。 三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。 走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。 4、题型总结 圆锥曲线中常见题型总结 1、直线与圆锥曲线位置关系
这类问题主要采用分析判别式，有 △＞0，直线与圆锥曲线相交； △=0，直线与圆锥曲线相切； △＜0，直线与圆锥曲线相离． 若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。 2、圆锥曲线与向量结合问题 这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。 3、圆锥曲线弦长问题 弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B （x2，y2）两点，则：
数学圆锥曲线题解题技巧方法总结 圆锥曲线最值问题从方程与曲线着手，反映了数学问题中的数与形的密切关系，这类问题涉及的数学知识较多，解题方法灵活。下面是小编为大家整理的关于数学圆锥曲线解题技巧，希望对您有所帮助! 圆锥曲线解题技巧 题型一：求曲线方程 <1>曲线形状已知,待定系数法解决 <2>曲线形状未知，求轨迹方程 题型二：直线和圆锥曲线关系 把直线方程代入到曲线方程中，解方程，进而转化为一元二次方程后利用判 别式、韦达定理，求根公式等来处理(应该特别注意数形结合的思想) 题型三：两点关于直线对称问题 求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。 题型四：两直线垂直 斜率相乘等于-1 题型五：中点弦问题 点差法：设曲线上两点为(X1,Y1)，(X2,Y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(注意斜率不存在D的情况讨论)，从而消去四个参数。 题型六：焦点三角形 椭圆或双曲线上一点和其两个焦点构成三角形，多用正余弦定理解决问题。 题型七：最值问题(求范围) <1>若命题条件和结论有几何意义，可用图形性质来解答。 <2>若命题条件和结论有函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。
圆锥曲线大题解题技巧 首先，我们要知道直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用。 其次当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”。 典型例题1： 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解。 对于判定直线与圆锥曲线的位置关系时，我们通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)。 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0直线与圆锥曲线相交; Δ=0直线与圆锥曲线相切; Δ<0直线与圆锥曲线相离. 若a=0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点。 典型例题2： 最后同学们一定要记住，解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法。 1、若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法; 2、若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法。
圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等; 2. 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3. 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注 意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4. 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式 两个、斜率公式一个共五个等式； 5. 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问 题、比例问题、坐标问题； 基本思想： ,* I X 1 \ ' 1. “常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2. “是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3. 证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； ,--j I * 4. 证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5. 有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6. 大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 2 2 例1、已知F i, F2为椭圆—+ —=1的两个焦点，P在椭圆上，且/ F I PF2=60°则厶F1PF2的面积为多少？ 100 64 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。
【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2）中点弦长问题：（2 法）首选方法：“点差法”（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形
精心整理 圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注 4． 5． 1．2．3无关； 45“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +2 64 y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少？ 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且 12F PF ∠=120︒，求12F PF ∆的面积。
变式2、已知F 1，F 2为椭圆22 2 1100x y b +=(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点． （1）求|PF 1|?|PF 2|的最大值； （2）若∠F 1PF 2=60°且△F 1PF 2的面积为643 3 ，求b 的值 题型二过定点、定值问题 例2．（淄博市2017届高三3月模拟考试）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>经过点3(1,)，离心 率为 3 ，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）当0AP AQ •=u u u r u u u r 时，求OPQ ∆面积的最大值； （Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：OPQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点. 处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。 例3、（聊城市2017届高三高考模拟（一））已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，一个 顶点在抛物线24x y =的准线上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设O 为坐标原点，,M N 为椭圆上的两个不同的动点，直线,OM ON 的斜率分别为1k 和2k ，是否存在常数p ，当12k k p =时MON ∆的面积为定值？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由. 变式1、已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的焦距为1223,A A ，点为椭圆的左右顶点，点M 为椭圆 上不同于12,A A 的任意一点，且满足121 4 A M A M k k ⋅=-． (I)求椭圆C 的方程： (2)已知直线l 与椭圆C 相交于P ，Q(非顶点)两点，且有11A P A Q ⊥． (i)直线l 是否恒过一定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由． (ii)求2PA Q ∆面积S 的最大值． 点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明
圆锥曲线题型、解题方法与技巧 一、直线过曲线焦点，求弦长与面积问题 1．设直线l 过椭圆 2 2 143 x y + =的右焦点2F ，直线交椭圆于A 、B 两点． （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求线段A B 的距离； （Ⅱ）若线段24 ||7 A B =，求直线l 的斜率．（用四种方法求解） 2．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，且点3 (1,)2 在该椭圆上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若A O B ∆的面积为 7 ， 求直线l 的方程．（用三种方法求解） 3．已知椭圆2 2 : 142 x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过1F 交C 于,P Q 两点， 且11||2||PF Q F =，求||PQ ．（用三种方法求解） 4．已知椭圆 2 2 132 x y +=的焦点为1F ， 2F ．过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、 C 两点，且A C B D ⊥，垂足为P ．求四边形A B C D 的面积的最小值． （用三种方法求解） 补充： 1．已知双曲线 2 2 2 21x y a b -=的右焦点为2F ，直线l 过点2F 与双曲线交于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角为θ，则||AB = ． 2．设抛物线2 2(0)x py p =>，过抛物线焦点F 的直线的倾斜角为θ，直线与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = ． 练习 1．（2012北京理）在直角坐标系xo y 中，直线l 过抛物线2 4y x =的焦点F ，且与该抛物 线相交于A 、B 两点，其中，A 点在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60︒，则O A F ∆的 面积为 ．（用四种方法求解） 2．（2012,1海淀）已知椭圆C : 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的右焦点为1F (1,0)，离心率为 12 . （Ⅰ）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标； （Ⅱ）设过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若P A B ∆的面积为 3613 ，求直线A B 的方程． （用三种方法求解） 3．（2012,4石景山）
圆锥曲线常见题型归纳 一、根底题 涉及圆锥曲线的根本概 念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程， 求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应留意： （1）娴熟驾驭圆锥曲线的图形构造，充分利用图形来解题；留意离心率与曲线形态的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）状况； （3）留意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区分及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222 b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程c a x 2±=； 例题： （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满意下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ） A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）； （2） 方程8表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支） （3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y = 上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） （4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答： 11 (3,)(,2)22 ---）； （5）双曲线的离心率等于 25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214 x y -=）； p e c b a ,,,,
圆锥曲线的解题技巧 一、惯例七大题型： （1）中点弦问题 拥有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 ( x 1 , y 1 ) ， ( x 2 , y 2 ) ，代入方程，而后双方程相减，再应用中点关系及斜率公式（自然 在这里也要注意斜率不存在的请款议论），消去四个参数。 如：（ 1） x 2 y 2 1( a b 0) 与直线订交于 A 、B ，设弦 AB 中点为 M(x 0,y 0) ，则有 a 2 b 2 x 0 y 0 。 a 2 b 2 k （2） x 2 y 2 1(a 0, b 0) 与直线 l 订交于 A 、B ，设弦 AB 中点为 M(x 0,y 0) 则有 a 2 b 2 x 0 y 0 0 a 2 b 2 k （3）y 2 =2px （ p>0）与直线 l 订交于 A 、B 设弦 AB 中点为 M(x 0,y 0), 则有 2y 0k=2p, 即 y 0 k=p. 典型例题 给定双曲线 x 2 y 2 1 。过 A （ 2，1）的直线与双曲线交于两点 P 1 及 2 P 2 ，求线段 P 1 P 2 的中点 P 的轨迹方程。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点 P ，与两个焦点 F 1 、 F 2 组成的三角形问题，常用正、余弦 定理搭桥。 典型例题 设 P(x,y) 为椭圆 PF 1F 2 ， PF 2 F 1 。 x 2 y 2 1 上任一点， F 1 ( c,0) ， F 2 (c,0) 为焦点， a 2 b 2
（1）求证离心率 e sin( ) ； sin sin （2）求| PF1|3PF2 |3的最值。 （3）直线与圆锥曲线地点关系问题 直线与圆锥曲线的地点关系的基本方法是解方程组，从而转变为一元二次方程后利用鉴别式、根与系数的关系、求根公式等来办理，应特别注意数形联合的思想， 经过图形的直观性帮助剖析解决问题，假如直线过椭圆的焦点，联合三大曲线的定 义去解。 典型例题 抛物线方程 y 2 ( 1) ( p 0) ，直线 x y t与 x轴的交点在抛物线准线的右 侧。 p x （1）求证：直线与抛物线总有两个不一样交点 （2）设直线与抛物线的交点为A、 B，且 OA⊥OB，求 p 对于 t 的函数 f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论拥有显然的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论表现明确的函数关系式，则可成立目标函数（往常利用 二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 （1），能够想法获得对于 a 的不等式，经过解不等式求出 a 的范围，即：“ 求范围，找不等式”。或许将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出 a 的范围；对于（ 2）第一要把△ NAB的面积表示为一个变量的函数，而后再求它的最大 值 , 即：“ 最值问题，函数思想”。 最值问题的办理思路：