运筹学模型的分类和类型
运筹学是一门应用于决策制定和问题解决的学科，它通过数学模型和分析方法来优化资源的利用。运筹学模型是在特定情境中描述问题和优化目标的数学表示。根据问题的性质和优化目标的类型，运筹学模型可以被分类为多种类型。在本文中，我将介绍一些常见的运筹学模型分类。
一、线性规划模型：
线性规划模型是最基本的运筹学模型之一。它的特点是目标函数和约束条件均为线性的。线性规划模型常用于求解资源分配、生产计划、物流运输等问题。通过线性规划模型，我们可以找到使资源利用最优化的决策方案。某公司需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润，且需满足各种资源约束条件，这时可以使用线性规划模型进行求解。
二、整数规划模型：
整数规划模型是在线性规划模型的基础上引入整数变量的扩展。在某些情况下，问题的决策变量只能取整数值，这时就需要使用整数规划模型进行求解。某物流公司需要确定车辆的调度方案，每辆车的装载量可以是整数，这时可以使用整数规划模型来求解最佳调度方案。
三、动态规划模型：
动态规划模型是一种考虑时间因素的决策模型。它通常用于求解多阶段决策问题。动态规划模型通过将问题划分为多个阶段，并建立各阶段之间的转移方程，来寻找最优决策序列。在项目管理中，我们需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总工期和成本，这时可以使用动态规划模型进行求解。
四、网络流模型：
网络流模型是一种描述网络中资源分配和流量传输的模型。它通常用于求解网络优化问题，如最小费用流问题、最大流问题等。网络流模型中，节点表示资源或流量的源点、汇点和中间节点，边表示资源或流量的传输通道。通过建立网络流模型，我们可以确定资源的最优分配方案，以及网络中的最大流量或最小成本。在供应链管理中，我们需要确定货物从生产商到消费者的最佳流向，以最小化总运输成本，这时可以使用网络流模型进行求解。
五、排队论模型：
排队论模型是一种描述排队系统的模型。它通常用于评估系统性能指标，如平均等待时间、平均逗留时间等。排队论模型通过建立排队系统的数学模型，来分析系统的运行特性和优化方案。某银行需要提高服务效率，减少客户的等待时间，这时可以使用排队论模型来评估服务台的数量和服务人员的安排。
以上仅是一些常见的运筹学模型分类，实际上还有很多其他类型的模型，如非线性规划模型、多目标规划模型等。不同类型的模型在解决不同问题时具有各自的优势和适用范围。在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点选择合适的运筹学模型，并结合适当的算法和工具进行求解。
总结回顾：
通过对运筹学模型的分类，我们可以看到不同类型的模型适用于不同类型的问题。线性规划模型适用于线性约束条件下的资源优化问题；整数规划模型适用于决策变量需要取整数值的问题；动态规划模型适用于多阶段决策问题；网络流模型适用于网络资源分配和流量传输问题；排队论模型适用于评估排队系统的性能指标。通过选择合适的模型和求解方法，我们可以更好地优化决策和问题解决过程。运筹学模型的应用领域广泛，包括供应链管理、生产计划、物流调度等，对提高资源利用效率和决策质量具有重要作用。
个人观点和理解：
运筹学模型的分类和类型在实际应用中具有重要意义。通过深入研究不同类型的模型，我们可以更好地理解和应用运筹学原理和方法。在选择和应用模型时，需要考虑问题的特点和约束条件，以及可行的求解方法和工具。还需要结合实际情况和决策目标，进行合理的模型假设和参数设定。通过运筹学模型的应用，可以优化决策和问题解决过程，提高资源利用效率和决策质量。
参考资料：
1. Operations Research: An Introduction (10th Edition), by Hamdy A. Taha
2. Operations Research Models and Methods, by Paul A. Jensen and Jonathan F. Bard
3. Operations Research: Applications and Algorithms (4th Edition), by Wayne L. Winston1. 引言：运筹学作为一门综合应用数学和管理科学的学科，对于提高决策质量和资源利用效率具有重要意义。通过深入研究不同类型的模型，我们可以更好地理解和应用运筹学原理和方法。
2. 模型的选择和应用：在选择和应用模型时，需要考虑问题的特点和约束条件。不同类型的问题可能需要采用不同的模型，如线性规划、整数规划、网络流等。我们需要了解问题的求解方法和工具，以确保模型的可行性和有效性。
3. 模型的合理性：为了使模型更符合实际情况和决策目标，我们需要进行合理的模型假设和参数设定。这些假设和参数的设定应该基于对问题本质的深入理解，并结合历史数据和专家意见进行判断。只有这样，我们才能得到准确可靠的模型结果。
4. 优化决策和问题解决过程：通过运筹学模型的应用，我们可以优化
决策和问题解决过程。运筹学方法能够帮助决策者发现最优方案，并提供决策依据。通过对资源的合理配置和调度，我们能够提高资源利用效率，并使得问题解决过程更加高效和可行。
5. 提高决策质量：运筹学模型的应用能够大大提高决策质量。它能够帮助决策者分析和评估不同决策方案的风险和效益，从而选出最优方案。运筹学方法还可以通过敏感性分析和决策制度的优化，提供更可靠和稳健的决策结果。
6. 结语：通过深入研究不同类型的模型，并结合实际情况和决策目标进行合理的模型假设和参数设定，运筹学模型的应用能够优化决策和问题解决过程，提高资源利用效率和决策质量。未来，随着技术的发展和数据的丰富，运筹学模型将发挥更大的作用，为各行各业提供更优化的解决方案。
物流运筹学 在物流系统中，物流设施地址的选择是物流系统优化的一个具有战略意义的问题。物流设施是整个物流网络系统的关键节点，是连接上游和下游的重要环节，起着承上启下的作用，并且这些大型设施的建设与运营需要耗费大量的资源。因此，这些设施的选址十分重要，科学合理的设施选择可以有效的节约资源，降低物流成本，优化物流网络结构和空间布局，提高物流经济效益和社会效益，确保提供优质服务，是实现集约化经营，建立资源节约型物流至关重要的一步。 国内外学者在设施选址研究方面已形成了多种方法，大致可以分为定性研究法，定量研究法及定性与定量相结合的研究方法。 1.设施选址问题的定性研究：定性研究是以影响设施选址合理性的因素分析基础，如影响物流设施选址的因素很多，包括土地利用，环境保护，资源分布，产业布局，交通区位，公共设施，市场经营等各各个方面的因素，通过综合的定性分析，建立设施选址的评价指标体系，并且常常采用层次分析法，模糊综合评判法对各个备选方案进行指标评价，最后寻求最优地址。可见，定性研究从较全面的角度，将较多的因素考哦率在内，对设施选址进行决策，通过将定性指标进行评判，可以有效的吸纳决策者的经验，偏好，意愿等来进行方案的评价，但由于定性方法在研究过程中主观性比较强，大量的主观判断易造成评价偏差。 2.设施选址问题的定量研究：设施选址问题的定量研究主要是依据物流费用或物流成本最低的原则，建立数学模型，通过模型求解获得最佳选址方案，根据考虑的影响费用因素的简易与复杂程度，形成多种类型的选址模型，但总体上可以概括为连续模型与离散模型两类。 对现有设施选址研究的评述 有关设施选址问题，国内外学者都进行了大量的研究，由简单的选址因素分析、选址原则的制定到多层次、模糊的综合指标评判与决策，由重心法到多元离散选址模型，最后定性分析与定量模型相结合，各种研究方法从不同的角度和层次为设施选址的规划决策提供理论依据。但上述研究或多或少地存在着一些欠缺与问题。 1.定性分析方法考虑众多影响因素，通过对定性因素进行评测，可以较全面、综合地进行方案的比选，但是其中的定量因素的比较性被削弱，同时，大量的主观判断造成评价偏差较大。 2.设施选址的量化研究，通过建立数学模型，可以得到较为精确的最优解。在现有量化研究中，主要是建立在成本最低的原则之上，运输费用成为模型的目标函数唯一的或重要的影响因素，而没有考虑其他方面的因素，尤其是一些无法量化但又具有重大影晌的因素。 3.现有的量化模型只是对现实世界简单的抽象与模拟，如模型中假定物流设施与供需点之间为直线，相应地，运输距离、运输费用只能表示两点之间的距离或费用，无法较好地描述物流设施的空间布局特性和物流系统的网络特性，与实际相差甚远。 4.定性与定量研究相结合，使之在设施选址的准确性和完备性进行相互补充，但现有的研究仍然只是两种研究方法的简单叠加，无法克服现有研究中的存在的根本性问题。 因此，如何采用更加先进的新技术、新方法，与现实更加贴切地描述物流系统，
运筹学模型的类型 运筹学模型是指通过数学方法来描述和解决复杂问题的一种工具。根 据问题的性质和要求，运筹学模型可以分为以下几种类型： 1. 线性规划模型（Linear Programming Model，简称LP）：线性规划是一种优化问题，它的目标是在满足一些约束条件下，使某个线性 函数取得最大或最小值。线性规划模型广泛应用于生产调度、资源分配、物流运输等领域。 2. 整数规划模型（Integer Programming Model，简称IP）：整数 规划是线性规划的扩展，它要求决策变量只能取整数值。整数规划模 型常用于生产调度、排产计划、网络设计等问题。 3. 非线性规划模型（Nonlinear Programming Model，简称NLP）：非线性规划是一种优化问题，它的目标函数和约束条件都可以是非线 性的。非线性规划模型广泛应用于经济学、金融学、工程学等领域。 4. 动态规划模型（Dynamic Programming Model，简称DP）：动 态规划是一种优化方法，它将一个复杂问题分解为若干个子问题，并 逐步求解这些子问题。动态规划模型常用于生产调度、资源分配、投 资决策等问题。
5. 排队论模型（Queuing Theory Model，简称QT）：排队论是一种研究等待线性的数学理论，它可以用来描述和分析顾客到达、服务时间、系统容量等因素对系统性能的影响。排队论模型广泛应用于交通运输、通信网络、医疗卫生等领域。 6. 决策树模型（Decision Tree Model，简称DT）：决策树是一种分类和回归的方法，它可以将一个问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。决策树模型常用于金融风险评估、医学诊断、市场营销等领域。 总之，不同类型的运筹学模型适用于不同的问题领域和求解目标，选择合适的模型可以帮助我们更好地解决实际问题。
运筹学的工作步骤（1）提出和形成问题（2）建立模型（3）求解（4）解的检验（5）解的控制（6）解的实施 运筹学模型的三种基本形式(1)形象模型；(2)模拟模型；(3)符号或数学模型,目前用得最多的是符号或数学模型。 线性规划的三个特征（1）每一个问题都用一组决策变量（x1，x2，x3，……x n）表示某一方案，这组决策变量的值就代表一个具体方案。一般这些变量取值是非负且连续的。 （2）存在有关的数据，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。 （3）都有一个要求达到的目标，它可用决策变量及其有关的价值系数构成的线性函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 线性规划的数学模型（一般式形式），，c j为价值系数；a ij技术系数，b i限额系数 勃兰特规则：1）选取Cj-Zj＞0中下标最小的非基变量X k为换入变量。 ()0 min＞ j j z c j k- = 2）当按θ 规则计算存在两个和两个以上最小比值时，选择下标最小的基变量为换出变量。 线性规划问题的所有可行解构成的集合为凸集集合，也可能为无界域集合，它有有限个顶点，每个顶点对应于线性规划问题的基可行解，若它有最优解，则必在集合的某个顶点上达到。 如果把约束方程x 1＋3x 2≤4 标准化为x 1＋3x 2＋x 3 = 4 2x1 ＋5x 2≥5 2x1 ＋5x 2－x4＋x5 =5 则：x1为决策变量，x2为决策变量，x3为非负松弛变量，x4为非负剩余变量，x5为人工变量。 线性规划问题的基可行解与基解的区别：基解是基可行解的分量≥0。 已知原线性规划数学模型m ax Z=CX，AX= b，X≥0m inω=Yb，YA≥C，Y为无约束。 在单纯形法中，初始基可能由决策变量、松弛变量、人工变量三种类型组成。 P78 运输问题的数学模型，它包含m×n个变量，（m＋n）个约束方程，（m＋n－1）个基变量。对产销平衡的运输问题，其数学模型，最多只有（m＋n－1）个独立约束方程，即系数矩阵的秩≤（m＋n－1）。 5个产地，5个销地的平衡运输问题，基变量有9个。 设运输问题，求最大值，当所有的检验数≤0 时，求得最优解。 非基变量的系数 CN1－C B B-1N1就是第一章中用符合c j-z j表示的检验数。 判断题： 1、线性规划的基可行解,与可行域D的顶点一一对应(√) 2、若X_是原问题的可行解，Y_是对偶问题的可行解，则存在CX_≤Y_b (√) 3、对偶的两个数学模型，其中一个有最优解，那么另一个问题也有最优解。√ 4、凡是基解一定是可行解。× 5、基解对应的基是可行基。× 6、线性规划的最优解一定是基最优解。× 7、互为对偶问题或者同时有最优解或无最优解。√ 8、对偶问题有可行解，原问题也有可行解。× 9、（m＋n－1）个变量构成基本变量组的充要条件是它们不包闭回路。√ 10、原问题有无界解，对偶问题有不可行解或不可行。√ 例：用图解法和单纯形法求解下题。 m ax Z=2x1＋5x2 x1≤4 2x2 ≤12 3x1＋2x2≤18 x1，x2≥0 解：图解法 建立坐标系，横轴为x1，纵轴为x2,。分别画出x1=4，x2=6，3x1＋2x2=18的图形。其交点为A1(0,6)、A2(2,6)、A3(4,3)、A4(4,0)。 x 2 =3 ＋5×0=8。最大值为Z﹡=34为最优解。
运筹学模型的分类和类型 运筹学是一门应用于决策制定和问题解决的学科，它通过数学模型和分析方法来优化资源的利用。运筹学模型是在特定情境中描述问题和优化目标的数学表示。根据问题的性质和优化目标的类型，运筹学模型可以被分类为多种类型。在本文中，我将介绍一些常见的运筹学模型分类。 一、线性规划模型： 线性规划模型是最基本的运筹学模型之一。它的特点是目标函数和约束条件均为线性的。线性规划模型常用于求解资源分配、生产计划、物流运输等问题。通过线性规划模型，我们可以找到使资源利用最优化的决策方案。某公司需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润，且需满足各种资源约束条件，这时可以使用线性规划模型进行求解。 二、整数规划模型： 整数规划模型是在线性规划模型的基础上引入整数变量的扩展。在某些情况下，问题的决策变量只能取整数值，这时就需要使用整数规划模型进行求解。某物流公司需要确定车辆的调度方案，每辆车的装载量可以是整数，这时可以使用整数规划模型来求解最佳调度方案。
三、动态规划模型： 动态规划模型是一种考虑时间因素的决策模型。它通常用于求解多阶段决策问题。动态规划模型通过将问题划分为多个阶段，并建立各阶段之间的转移方程，来寻找最优决策序列。在项目管理中，我们需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总工期和成本，这时可以使用动态规划模型进行求解。 四、网络流模型： 网络流模型是一种描述网络中资源分配和流量传输的模型。它通常用于求解网络优化问题，如最小费用流问题、最大流问题等。网络流模型中，节点表示资源或流量的源点、汇点和中间节点，边表示资源或流量的传输通道。通过建立网络流模型，我们可以确定资源的最优分配方案，以及网络中的最大流量或最小成本。在供应链管理中，我们需要确定货物从生产商到消费者的最佳流向，以最小化总运输成本，这时可以使用网络流模型进行求解。 五、排队论模型： 排队论模型是一种描述排队系统的模型。它通常用于评估系统性能指标，如平均等待时间、平均逗留时间等。排队论模型通过建立排队系统的数学模型，来分析系统的运行特性和优化方案。某银行需要提高服务效率，减少客户的等待时间，这时可以使用排队论模型来评估服务台的数量和服务人员的安排。
运筹学知识点： 绪论 1.运筹学的起源 2.运筹学的特点 第一章线性规划及单纯形法 1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。 2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。 3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。 线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。 4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负 5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量 6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系 7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解 8.用图解法只有解决两个变量的决策问题 9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。 10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。 11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。 12.单纯形法的计算过程，可能出计算题 13.入单纯形表前首先要化成标准形式。 14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。 15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。 16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表 17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合
运筹学模型 运筹学是研究决策问题的科字，它主要研究如何在有限的资源条件下获得最佳解。它是个综合性的学科，是由多学科科学的知识、方法和经验结合而成的。运筹学模型是用来分析决策问题的重要工具，它利用数学技术和计算机技术，根据具体情况构建模型，从而获得最优解。 运筹学模型的构建过程主要有三个步骤，即问题求解、模型开发和解算。首先，根据实际环境和问题特征，正确描述和理解问题，将其表示为一个模型。其次，根据模型的表示形式，采用恰当的运筹学方法，按照一定的程序进行求解。最后，将求解的结果以图表、数据等形式呈现出来，供决策者参考；此外，还可对结果进行分析，以便做出更有效的管理决策。 运筹学模型主要应用于交通运输、医疗保健、人力资源、金融投资、能源管理、质量管理、生产调度、计划管理、物流管理等领域，有助于节约时间和资源，提高自动化决策的精度和效率。 运筹学模型的开发主要集中在模型构建、数值算法两个方面。模型构建也就是建立模型的过程，这个过程需要根据实际问题一步步进行，确定模型的变量、约束条件以及目标函数，并要求解出最优解。数值算法则是实现模型的过程，大多数模型只能通过迭代的方式近似求解，因此，对数值算法的选择也是重要的。常见的运筹学方法有贪婪法、动态规划、整数规划等，它们都有一定的优缺点，可以根据问题的特性和实际情况，合理选择适当的算法，以求得最优解。
此外，为了更好地服务决策者，运筹学模型还需要系统化地进行建模和验证。在建模时，必须结合实际环境，考虑问题的复杂性，全面准确地把握各个变量和约束条件；在验证时，需要采用合适的方法，测试模型的准确性，与实际环境相匹配，以保证模型的可用性。 总之，运筹学模型是决策问题分析的有效工具，它有助于节约时间与资源，提高决策的准确性。运筹学模型的开发主要集中在模型构建和数值算法两个方面，要求在建模过程中考虑问题复杂性、全面把握各个变量，而在验证过程中，要采用合适的方法测试模型的准确性，与实际环境相匹配。只有这样，才能更好地为决策者服务，实现最优解。
运筹学方法与模型 运筹学是运用数学、统计学和计算机科学等专业知识和技术，以科学 化的方法帮助人们做出最佳决策的学科。运筹学研究的对象包括决策分析、优化算法、模拟系统、控制论以及信息论等多个方面。 方法。 1.数学方法：运筹学在问题解决中利用了大量数学原理和方法，如线 性规划、非线性规划、统计分析、概率论等。 2.统计方法：运筹学在处理大量数据时应用的方法，如数据采集、整理、分析和解释等，让人们可以据此推断数据的趋势。 3.计算机方法:运筹学借助计算机技术，使用计算机建模和仿真技术，将复杂的问题转化为简单的研究对象，并求解其最优解。 4.运筹思想：运筹学旨在找到最优策略，其思想是在各种因素和条件 的制约下，达到最佳结果的决策。这是一个重要的应用范畴。 模型。 1.线性规划模型：这是一种基本的运筹学模型，它通过建立一系列线 性等式或不等式来描述形式化问题。通过优化算法求解，找到最优解。 2.整数规划模型：整数规划模型是在线性规划的基础上，加上整数限 制条件的扩展。为求解整数规划问题，需要使用各种启发式算法、分枝限 界法等。 3.随机规划模型：随机规划模型是在考虑风险或不确定性因素的情况下，寻找最优策略的模型。
4.动态规划模型：动态规划模型是用于描述决策过程的数学模型。通 过建立方程组，求解最优决策方案，它广泛应用于生产、库存、资源分配 问题等领域。 总结。 运筹学作为一门独立的学科，旨在建立数学模型，找到最优决策方案。在现代企业管理和科学研究中，它的应用越来越广泛。运筹学所涉及的方 法和模型丰富多样，它不断的激发着人们通过科学的手段来寻找最佳解决 方案的创新思维。
运筹学模型 运筹学发展至今已有五十多年的历史，其作用是为决策者在作决策时提供科学依据。运筹学在生产管理、工程技术、军事科学、科学试验、经济和社会科学中都有着极其广泛的应用。 运筹学的分支很多，我们只介绍数学建模中常见的：线性规划、非线性规划、库存、决策、对策和动态规划等几个方面的几个数学模型。 第一节线性规划问题的数学模型 在生产管理、工程投术、交通运输以及工商贸易等各项经济活动中，都有提高经济效益，做到耗费较少的人力物力，创造出较多经济效益的问题。 提高经济效益可以通过两种途径：一种是技术方面的各种改进，改革生产工艺，使用新设备和新材料等。另一种是改进计划和生产管理安排，合理安排人力物力，合理组织生产过程，在条件不变的情况下，统筹安排，使总的经济效益最好。后者就是运筹学研究的主要内容。 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用较广、比较成熟的一个分支。它研究的问题主要有两类：一类是当一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到用最少的人力物力资源去完成这一任务。二是已有一定数量的人力物力资源，如何安排使用它们，使得完成任务最多。其实这两类问题是一个问题的两个方面，就是所谓寻求整个问题的某个整体指标最优的问题。在经济领域中，这类问题特别多。
(一) 运输问题 在某个区域内，有某种产品的产地与销地若干个，把这种产品从各个产地调运到各个销地，调运方案可以很多，应如何组织调运，才能使总的费用或运输量(即总的运行吨公里数)最少。 (二) 生产的组织与计划问题 一个工厂或车间有各种不同类型的车床各若干台，各种不同类型车床生产各种零件的效率不同，在一个生产周期，应如何安排各车床的生产时间，使得成套的产品总量最大。类似的还有劳动力的安排问题 (三) 合理下料问题 在加工中需要将某种条材或板材下不同规格的毛坯，各种毛坯的数量也可能不同，应如何选取合适的裁法，使毛坯数量符合要求，并且使总料头最少(即所用原材料最少)。 (四) 配料问题 在食品、化工、冶炼等企业，常常用几种原料，制成达到含有一定成分的产品，而这些不同原料价格不同，应如何决定配料的方案，才能使生产的产品所含成分合乎要求，而产品的成本最低。 (五) 布局问题 各种农作物在不同土壤上单位面积产量不一样，如何合理安排各种作物在各种不同土壤上的种植面积，达到因地制宜，在完成种植计划的前提下，使总产量最多。这是作物布局问题。将某几个地方出产的原料，集中到某几个地方加工成成品，然后再运到某几个成品需
《运筹学模型与方法》课题研究报告 论文关键词：线性规划运筹学数学方法整数规划投资问题论文摘要：线性规划是运筹学的一个基本分支，它广泛应用现有的科学技术和数学方法，解决实际中的问题，帮助决策人员选择最优方针和决策。本文主要研究如何把线性规划的知识运用到企业中，使企业能够提高效率，通过建立模型并利用相关软件，对经济管理中有限资源进行合理分配，从而获得最佳经济效益。 古人作战讲“夫运筹帷幄之中，决胜千里之外”。在现代商业社会中，更加讲求运筹学的应用。我们更应该能够熟练地掌握、运用运筹学的精髓，用运筹学的思维思考问题。即：应用分析、试验、量化的方法，对实际生活中人、财、物等有限资源进行统筹安排。 随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。企业必须不断提高盈利水平，增强其获利能力，在生产、销售、新产品研发等一系列过程中只有自己的优势，提高企业效率，降低成本，形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用线性规划进行合理的配置，从而增加了企业的生产，使企业的利润不能达到最大化。所以就有必要利用线性规划的知识对战略计划、生产、销售各个环节进行优化从而降低生产成本，提高企业的效率。 运筹是对资源进行统筹安排,决策者进行决策提供最优解决方案,以达到最有效的管理.高速,可靠的计算是运筹学解决问题的基本保障.它被广泛应用到各种行业中,诸如,工商企业,军事部门以及民政事业等研究组织内的统筹协调问题. 现在普遍认为，运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决。前者提供模型，后者提供理论和方法。 在各类经济活动中，经常遇到这样的问题：在生产条件不变的情况下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效益最好。这样的问题常常可以化成或近似地化成所谓的“线性规划”问题。 本着这样的心态，在本学期运筹学即将结课之时，我得出以下关于运筹学的
运筹学模型及其应用 第1章绪论 运筹学模型及其应用 第1章绪论 运筹学主要研究经济活动、军事活动以及工程技术中能用数量来表达的有关策划、管理、设计等方面的实际问题。应用运筹学理论解决问题的思路可以概括为：根据问题的要求建立相应的数学模型，借助计算机求解，得出多种结果，最后由决策者确定最终的实施方案。 1.1运筹学的发展及内容体系 运筹出自《史记·太史公自序》“运筹帷幄之中，制胜于无形，子房计谋其事，无知名，无勇功，图难于易，为大于细。”《史记·留侯世家》、《汉书·张良传》“运筹帷幄之中，决胜于千里之外，子房功也。”以及《史记·高祖本纪》“夫运筹帷幄之中，决胜千里之外，吾不如子房。”意思都是说，张良坐在军帐中运用计谋，就能决定千里之外战斗的胜利。后来人们就用“运筹帷幄”表示善于策划用兵，指挥战争。 在我国古代有不少关于运筹学思想方法的记载。 田忌赛马出自《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》，是中国历史上有名的揭示如何善用自己的长处去对付对手的短处，从而在竞技中获胜的事例。 一举而三役济出自《梦溪笔谈·权智》，宋真宗时，皇宫失火，由晋国公丁渭负责修复皇宫。丁渭的施工方案省时省力，妥善地解决了取土、运输和处理建筑垃圾的问题，一举而三得，体现了现代系统工程思想。 现代运筹学（operational research(英国)或operations research(美国)）的起源现在普遍认为是从第二次世界大战初期的军事
任务开始的。当时迫切需要把各项稀少的资源以有效的方式分配给各种不同的军事活动，所以美国军事管理当局号召大批科学家运用科学手段来处理战略与战术问题，这些科学家小组正是最早的运筹小组。“二战”后为恢复工业生产，运筹学进入工商企业和其他部门，在20世纪50年代以后得到了广泛的应用，形成了比较完备的一套理论，如规划论、图论、存储论、排队论、决策论、对策论等。此后，电子计算机的问世，又大大促进了运筹学的发展。世界上不少国家已成立了致力于该领域及相关活动的专门学会。美国于1952年成立了运筹学会，并出版期刊《运筹学》。世界其他国家也先后创办了运筹学会与期刊。1957年成立了国际运筹学协会。 规划论包括线性规划、运输问题、整数规划、多目标规划、动态规划等。 规划论又称为数学规划，是运筹学的一个重要分支。数学规划解决的主要问题是在给定条件下，按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。它可以表示成求目标函数在满足约束条件下的极大极小值问题。 数学规划和古典的求极值问题有本质上的不同，古典方 法只能处理具有简单表达式和简单约束条件的情况。而现代数学规划中的问题其目标函数和约束条件都很复杂，而且要求给出某种精确度的数值解，因此算法的研究特别受到重视。 如果约束条件和目标函数都是呈线性关系的称为线性规划。1939年康托洛维奇和希奇柯克等人首先研究和应用了线性规划方法。1947年丹捷格等人提出了求解线性规划问题的单纯形方法，为线性规划的理论与计算奠定了基础。运输问题由于条件约束的特殊性属于特殊的线性规划问题。 多目标规划处理多个相互矛盾目标并存的问题，从而弥补了传统单目标规划的局限性，1961年由美国学者查纳斯和库伯首次提出。 动态规划是求解决策过程最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家贝尔曼等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法
运筹学知识点要求 运筹学知识点要求 第一部分结论 1、运筹学的特点 （1）以最优性或合理性为核心。 （2）以数量化、模型化为基本方法。 （3）具有强烈的系统性、交叉性特征。 （4）以计算机为重要的技术支持。 2、运筹学模型求解方法： 知道迭代算法的原理步骤。 3、运筹学模型 （1）运筹学模型：使用较多的是符号或数学模型，大多数为优化模型。 （2）模型的一般结构 （3）模型的三大要素 决策变量、目标函数及优化方向、约束条件。 （4）了解模型的分类 4、建立优化模型解决实际问题 （1）要求能对较简单的实际问题建立优化模型。主要涉及：一般线性规划模型，整数（特别是0－1规划）规划模型。 5、了解运筹学运用领域。 第二部分线性规划 1、线性规划模型的几种表示形式及特点 2、线性规划模型的标准形式及如何标准化 3、线性规划问题各种解的概念及关系（关系图示） （可行解、非可行解、基本解、基本可行解、最优解，基本可行解的个数小于等于） 4、线性问题有关解的基本定理（主要是概念理解） （1）不一定都有最优解
（2）若有，一定会在基本可行解上达到 （3）基本可行解的个数有限小于等于（4）并非所有最优解都是基本可行解 （5）了解凸集与凸组合的概念，理解两个最优解的凸组合都是最优解。 （6）可行解为基本可行解的充要条件 5、线性规划单纯形法 （1）制作初始单纯表（注意非基变量检验系数的求法，特别注意求有待定系数时的检验系数） （2）各种解的判别条件，对于最大化目标函数问题，包括： 唯一最优解：有最优解无穷多最优解存在一个k 有：（或称之为线性规划问题存在可择最优解） 无界解，存在k 有：（3）线性规划问题求解结果中解的情况 有最优解（唯一最优解、无穷多最优解），无界解，无可行解 （4）基变换中入基变量的确定 A 、入基变量的必要条件（） B 、最速上升准则的理解，不是使目标函数改进最大，而是使目标函数改进速度最大。 m n C m n C 0< j σ0≤j σ0≤j σ0=j σ0 ,0'≤>k k p 且σ0≥j σ （5）最小比值确定出基变量的目的：保证基变换后新的基本解是可行的。 （6）会单纯形迭代计算求解线性规划问题 6、什么是线性规划问题退化情况？会引起什么样后果？ 7、大M法（罚函数法）：（1）辅助问题目标函数的构造，（2）辅助问题解与问题解的关系（3）能用大M法（罚函数法）求解线性规划问题。 8、两阶段法：（1）第一阶段的目的
第一部分 运筹学 一、什么是运筹学？ 实例：一公司有： 三个工厂：A 、B 、C 。 各工厂分别有140吨、120吨、50吨产品待运； 三个仓库：甲、乙、丙。甲库可存货60吨，乙库可存货100吨，丙库可存货150吨； 直观思路：1、距离最短A －丙。（140吨）； 2、B －丙。（10吨）；依此类推。 可得调运方案： 总吨公里数＝140＊1.5＋60＊12＋50＊13.5＋10＊3＋50＊4.5＝1860。 最佳方案： 对该问题如果利用数学符号（即建立数学模型）来表示,可如下讨论： 设工厂A 向仓库甲、乙、丙的调运吨数分别为11x 、12x 、13x ，工厂B 向仓库甲、乙、丙的调运吨数分别为21x 、22x 、23x ，工厂C 向仓库甲、乙、丙的调运吨数分别为31x 、32x 、 33x ，则调运货物的总吨公里数（相当于运输费用）为 33323133222113121195.4635.13125.169x x x x x x x x x z ++++++++=
现在需要求该函数的最小值，而限制条件为： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪ ⎪⎪⎪⎨⎧≥=++=++=++=++=++=++0,,,,,,,,150 100 6050120 14033 323123222113121133231332 2212 312111333231232221 131211x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 运筹学：以系统为研究对象，把系统的功能和特点用模型表示，通过对模型的定量分析，从总体上寻求最优策略，为决策和揭露新问题提供数量根据，并以研究结果的应用为目的，保证系统高效运行。 运筹学建立模型的最终目的是实现系统的最优化，帮助管理者作出正确的决策，使系统正常有效地运行。这里的最优化是指在一定条件下求最优解（可以是求最大值，也可以是求最小值）。 运筹学研究系统的基本方法由以下5个阶段构成： 第一阶段：观察所要研究的系统，确定存在的问题、影响问题的因素、约束、假设以及准备优化的目标。 第二阶段：对系统进行描述――建立模型。 模型的复杂程度视具体问题而定，过份简单则不能准确反映系统的实质，过份复杂则造成求解的困难。模型是所研究系统的一个理想（简化的）表达形式。一个现实系统的性质可能受到许多因素的影响，但是一般只有一小部分因素真正支配着系统的特性。建模时应该抓住这些支配系统的因素，从现实系统中抽象出一个“假想的现实系统”，然后把这些因素之间的关系确定下来，并简化成一个适合于分析的形式，这种形式就是模型。 第三阶段：根据实际条件对模型进行检验。 模型一旦确定，就应该根据实际条件对模型的正确性、可靠性进行分析检验。一般可按照下述三种情况之一处理：（1）给出有关方程的统一的精确解法；（2）如果没有统一解法，则可以代入具体数据进行测算，分析测算结果是否和实际情况相符；（3）如果该模型不能用任何正规的数学方法处理，则可以用类比方法进行模拟处理。 第四阶段：分析模型。按优化目标的要求选取最优解，即在模型规定的约束条件下求出符合目标函数要求的最优条件组合。 这一阶段还需要检验在这些约束条件下最优解的敏感程度，即弄清楚当约束条件之一稍有变化时最优解会不会改变。经过检验，就可以知道最优解对各个约束条件的依赖程度。 第五阶段：贯彻执行。 二、规划问题的几个基本概念： 决策变量：规划问题需要求解的一组变量，这组变量的每一组定值就对应规划问题的一个具体实施方案。如上例中的ij x ； 目标函数：规划问题一定有一个要求目标，并且这个要求目标可以表示为决策变量的函数，问题的解决归结为寻求一组决策变量的值，使目标函数实现最大或最小；如上例中的函数z ； 约束条件：每一个规划问题中，决策变量都要满足一定的约束条件，这些条件可用包
运筹学模型 源于第二次世界大战期间的运筹学研究，有效地解决了如何将有限的资源分配于各项军事活动，以取得最优的战争效果等重大军事决策问题，为盟军取得二战的胜利作出了不可磨灭的贡献。战后，该项技术不但在军事科学上不断发展，在工农业生产、科学实验、工程技术、经济管理和社会科学中都有着广泛的应用和发展。特别是计算机技术的引入，更使得运筹学的研究和应用如虎添翼，一些大规模或超大规模的决策变量和约束条件问题的求解也变成了现实。 运筹学的分支较多，这里我们只介绍线性规划、整数规划、动态规划等方面的运筹学应用和模型，读者通过学习解决这些运筹学问题的思想和方法，而对运筹学模型的建立、应用和求解有更深的认识。 一、线性规划模型 1．线性规划数学模型的一般形式 例1．农作物的生产安排问题 1）问题的提出 以色列的某社区联盟，其农业生产受农田面积和灌溉配水量的限制，其资料如表4.1所示 表4.1 适合该地区种植的农作物有甜菜、棉花和栗子，其每英亩的期望净收益、用水量及可种植的最大面积如表4.2所示 表4.2
试问，该社区联盟应如何安排这三种农作物的生产，方使总的收益最大？ 2）假设与分析 决策变量)9,,2,1( =j x j 分别表示这三个社区三种农作物的种植面积（见表4.3所示）。 表4.3 则该问题的线性规划模型为： 目标函数 )(100)(300)(400 m ax 987654321x x x x x x x x x z ++++++++= 约束条件为： 非负性： )9,,2,1( 0 =≥i x i 土地约束： 300600 400963852741≤++≤++≤++x x x x x x x x x 水资源约束： 37523800 2360023963852741≤++≤++≤++x x x x x x x x x
运筹学模型一 本章重点： 线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题 复习要求： 1.进一步理解基本建模过程,掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵. 2.进一步理解数学模型的作用与特点. 本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来,要求大家会建立简单的线性规划模型,把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握,当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型,这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型,至于求解是另外一回事,一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外,关于图论模型的问题涉及到最短路问题,具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题,该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题. 1.营养配餐问题的数学模型 或更简洁地表为 其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格,a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量,b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量. 2.合理配料问题的数学模型 有m 种资源B 1,B 2,…,B m ,可用于生产n 种代号为A 1,A 2,…,A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ,获利为C j 单位,第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产,使总利润达到最大 设生产第j 种产品x j 个单位j =1,2,…,n ,则有 或更简单地写为 3.运输问题模型 运输问题也是一种线性规划问题,只是决策变量设置为双下标变量.假如问题具有m 个产地和n 个销地,第i 个产地用A i 表示,其产量为a i i =1,2,…,m ,第j 个销地用B j 表示,其销量为b j j =1,2,…,n ,从A i 运往B j 的运价为c ij , 而∑∑===m i n j j i b a 11表示产销平衡.那么产销平衡运输问题的一般模型可以写成为 4.目标规划模型 某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品,这两种产品都要经甲、乙两个车间加工,并经检验与销售两部门处理.已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时,每小时费用分别为80元和20元,其它数据如下表 表4-1 工厂领导希望给出一个可行性生产方案,使生产销售及检验等方面都能达标. 问题分析与模型假设 经与工厂总经理交谈,确定下列几条： p 1： 检验和销售费每月不超过4600元； p 2： 每月售出产品I 不少于50件；
运筹学基础分类号 一、什么是运筹学 1.1 运筹学的定义 运筹学是一门综合了数学、计算机科学和管理学等学科的研究领域。它致力于研究如何通过数学模型和优化算法来做出最佳决策。 1.2 运筹学的应用领域 •供应链管理：通过优化物流、库存和生产等环节，提高供应链的效率和利润。•生产计划：通过合理安排生产资源和作业顺序来实现最佳的生产效益。 •交通运输：通过优化运输路径和货物调度，提高运输效率和降低成本。 •资源分配：通过合理配置资源，实现资源的最优利用。 •项目管理：通过优化项目进度和资源分配，提高项目的成功率和效率。 二、运筹学的基础分类号 2.1 运筹学的主要分类 •线性规划：求解线性约束下的最优解。 •整数规划：求解整数约束下的最优解。 •非线性规划：求解非线性约束下的最优解。 •动态规划：通过将问题划分为子问题，并存储子问题的解来求解最优解。•近似算法：通过近似解法寻找问题的次优解。 2.2 运筹学的具体分类号 •901：线性规划 •902：整数规划 •903：非线性规划 •904：动态规划 •905：近似算法
三、运筹学的基本原理与方法 3.1 线性规划 线性规划是运筹学中最基础也是最常用的方法之一。它适用于目标函数和约束条件均为线性关系的优化问题。线性规划通过建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。 3.2 整数规划 整数规划是线性规划的扩展，它将决策变量限定为整数，适用于优化问题中存在离散决策的场景。整数规划的求解比线性规划更复杂，需要借助一些特殊的整数规划算法来求解。 3.3 非线性规划 非线性规划适用于目标函数和约束条件包含非线性关系的问题。非线性规划方法的求解相对更加困难，通常需要利用数值优化算法来求得最优解。 3.4 动态规划 动态规划是一种在多阶段决策过程中求解最优解的方法。它通过将问题划分为子问题，并利用递推关系来求解最优解。动态规划通常适用于具有最优子结构和重叠子问题特征的问题。 3.5 近似算法 近似算法是一种在有限时间内寻找问题的次优解的方法。近似算法通常通过对问题进行适当的放松或近似处理来获得快速的解决方案。 四、运筹学在实践中的应用案例 4.1 供应链优化 •利用线性规划方法确定供应链中的最佳运输方案，以降低物流成本。 •使用整数规划方法优化库存控制策略，以减少库存持有成本。 •运用动态规划方法规划生产进度，以提高生产效率和交付准时率。
第四章 运筹学模型 本章教学重点是： 线性规划模型 目标规划模型 运输模型及其应用 图论模型 最小树问题 最短路问题 最大流问题与最小割 复习要求 1．进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。 2．进一步理解数学模型的作用与特点。 本章复习重点是线性规划模型、运输问题模型和目标规划模型。具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单。运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单。你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求。目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型。这是主要的考虑方向。另外，关于图模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型。这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图模型。还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到。另外在个别场合可能会涉及一笔划问题。 1．营养配餐问题的数学模型为 或更简洁地表为 其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量. 例1 医院为病人配制营养餐，要求每餐中含有铁不低于50单位，蛋白质不低于40单位，钙不低于42单位．假设仅有两种食品A 和B 可供配餐，相关数据见下表．试问，如何购买两种食品进行搭配，才能即使病人所需营养达到需求，又使总花费最低？ 解：设购买食品A 和B 依次为x 1和x 2（kg ），则有 营养最低要求满足： 10x 1+5x 2≥50 （铁含量） 5x 1+8x 2≥40 （蛋白质含量） 6x 1+5x 2≥42 （钙含量） 总花费数记为Z ，则有数学模型 s .t .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+0 ,) 3.3(,4256)2.3(,4085)1.3(,5051021212121x x x x x x x x 用图解法求解上述问题． 首先以x 1,x 2为坐标轴，建立平面直角坐标系（如图3-10），由于x 1,x 2均非负，故只画出了第一象限．