三角函数
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.
●难点磁场
(★★★★★)已知2
π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53
,求sin2α的值
_________.
●案例探究
［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.
命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.
知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.
技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.
解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°
=
21 (1－cos40°)+21
(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21
cos160°+3sin20°cos(60°+20°)
=1－21cos40°+2
1
(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°
－sin60°sin20°)
=1－
21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－2
3
sin 220°
=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 4
1
解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=
2
1
，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =
41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4
1. ［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=
2
1
的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.
命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目
知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.
错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.
技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.
解：由y =2(cos x －2a )2－22
42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：
f (a )??
?
????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)
2( 12a a a a a a
∵f (a )=
21,∴1－4a =21?a =8
1
?［2,+∞) 故－22a －2a －1=2
1
，解得：a =－1，此时，
y =2(cos x +21)2+2
1
，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.
［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +
3
π
)－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［
12
π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－
1(1)的值. 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，
综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.
错解分析：在求f -－
1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维.
解：(1)f (x )=2cos x sin(x +
3
π
)－3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3
π
)－3sin 2x +sin x cos x
=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3
π
)
∴f (x )的最小正周期T =π
(2)当2x +3π=2k π－2
π，即x =k π－125π
(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.
(3)令2sin(2x +3
π
)=1，又x ∈［27,2ππ］,
∴2x +
3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则 x =4π，故f -－
1(1)= 4
π. ●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：
1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.
2.技巧与方法：
1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.
3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.
4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－
2,
2π
π)，则tan
2β
α+的值是( ) A.2
1 B.－2
C.
3
4 D.
2
1
或－2 二、填空题
2.(★★★★)已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=_________.
3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=5
3，sin(43π
+β)=135，则
sin(α+β)=_________.
三、解答题
4.不查表求值:
.10cos 1)
370tan 31(100sin 130sin 2?
+?+?+?
5.已知cos(4
π+x )=53，(1217π＜x ＜47π
)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.
6.(★★★★★)已知α－β=3
8
π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42
sin
2csc )cos(12βπαααπ-----的
最大值及最大值时的条件.
7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.
8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是
D ，x ∈D ，求函数y =10
43
2log 2
1
++x x 的最小值，并求取得最小值时x
的值.
参考答案
难点磁场
解法一：∵
2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜4
3π, ∴sin(α－β)=.5
4
)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα
∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］
=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) .65
56)53(1312)54(135-=-?+-?= 解法二：∵sin(α－β)=13
5,cos(α+β)=－54
,
∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572
sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－65
40
∴sin2α=65
56
)65406572(21-=--
歼灭难点训练
一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0.
tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2
π
,0),又
tan(α+β)=
342
tan 12tan
2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2
=β+α-β
+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0.解得tan 2
β+α=－2. 答案：B
2.解析：∵sin α=
53,α∈(2π,π),∴cos α=－54
则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－2
1
,
24
7)3
4()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(.34)2
1(1)
21(2tan 1tan 22tan 2
2
2=-?-+---=β?α+β-α=β-α-=---?=
β-β=β
答案：
24
7
3.解析：α∈(
43,4π
π),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π)=5
3. 65
56
)sin(.
6556
13554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]
43()4cos[(]
2
)43()4sin[()sin(.
13
12
)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=
β+α=?+-?-=β+π?π-α+β+π?π-α-=β+π
+π-α-=π
-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即 答案：
65
56 三、4.答案：2
752853)54(25
7)
4cos()
4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 5
4)4sin(,2435,471217.25
7)4(2cos 2sin ,53)4cos(
:.522=-?=++=-+=-
+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x
x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x ππ
ππππππππ
又解
2
)3
22sin(22)21()322sin(4.32243824,382
2
cos 2sin 42)2sin 2(sin 2)2sin 2121(42cos 2cos 22sin 2)22cos(14
2sin 1)cos 1(2sin )
44(sin 42
sin 2csc )cos(1:.622
22-π
-α-=--?π-α=∴π-α=π
-α=β-α∴π=β-α-β
-αβ+α=-β+α=β--αα?α=β-π--α-α+α=β
-π-α-αα-π-=
t t 令解 π≠αk （k ∈Z ）,3
22322π
-π≠
π-α∴k （k ∈Z ） ∴当,22322π-π=π-αk 即3
4π+π=αk （k ∈Z ）时,)32
2sin(π-α的最小值为－1.
7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则
｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (
3
3sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－
3
3
sin θ. 于是S PQRS =sin θ(cos θ－
33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(2
3sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)= 33sin(2θ+6π)－63.
∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π.∴21
＜sin(2θ+6
π)≤1.
∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6
π
，点P 为
的
中点，P (
2
1
,23). 8.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.
∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =2
3
2-t .
.2
1
,232,2,258log 2log 82log ,
0log .82
,2,42.
8
2
24142142104325.05.05
.0min 5.0max 2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=
∴x x t y M M y M t t t t
t t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当
第四章 三角函数
§4-1 任意角的三角函数 一、选择题：
1．使得函数 有意义的角在（ ）
（Ａ）第一，四象限 （Ｂ）第一，三象限 （Ｃ）第一、二象限 （Ｄ）第二、四象
限
２．角α、β的终边关于У轴对称，（κ∈Ζ）。则
（Ａ）α＋β＝２κπ （Ｂ）α－β＝２κπ
（Ｃ）α＋β＝２κπ－π （Ｄ）α－β＝２κπ－π ３．设θ为第三象限的角，则必有（ ） （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） ４．若 ，则θ只可能是（ ）
（Ａ）第一象限角 （Ｂ）第二象限角 （C ）第三象限角 （Ｄ）第四象限角 ５．若 且 ，则θ的终边在（ ）
(A)第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 二、填空题：
6．已知α是第二象限角且 则2α是第▁▁▁▁象限角， 是第▁▁▁象限角。 7．已知锐角α终边上一点A 的坐标为（2sina3,-2cos3）,则α角弧度数为▁▁▁▁。 8．设 则Y 的取值范围是▁▁▁▁▁▁▁。 9．已知cosx-sinx<-1，则x 是第▁▁▁象限角。 三、解答题：
10．已知角α的终边在直线 上，求sin α及cot 的值。 11．已知Cos(α+β)+1=0, 求证：sin(2α+β)+sin β=0。
12．已知 ，求?（1）+?（2）+?（3）+……+?（2000）的值。 §4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、选择题：
1． 化简结果是（ ）
（A ）0 （B ） （C ）2 2．若 ，且 ，则 的值为（ ） 或
3. 已知 ，且 ，则 的值为（ ）
4. 已知 ，并且 是第一象限角，则 的值是（ ）
5. 化简 的结果是（ ）
6. 若且，则角所在的象限是（）
（A）一、二象限（B）二、三象限（C）一、三象限（D）一、四象限
填空题：
7．化简▁▁▁▁▁▁。
8．已知，则的值为▁▁▁▁▁▁。
9．=▁▁▁▁▁。
10．若关于的方程的两根是直角三角形两锐角的正弦值，则▁▁▁▁。
解答题：
11．已知：，求的值。
12．已知，求证：
13．已知，且，求的值。
14．若化简：
§4-3：两角和与差的三角函数
1．“”是“”的（）
（A）充分必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
2．已知且为锐角，则为（）
或非以上答案
3．设则下列各式正确的是（）
4．已知，且则的值是（）
二、填空题：
5．已知则的值为
6．已知且
则
7．已知则
8．在中，是方程的两根，则
三、解答题：
9．求值。
10．求证：
11．中，BC=5，BC边上的高AD把面积分为，又是方程的两根，求的度数。§4-4 二倍角的正弦、余弦、正切
一．选择题：
1．的值为（）
2．已知, 则的值为（）
3．已知, 则的值为（）
4．函数的定义域是（）
5．中，，则的大小为（）
或或
二．填空题：
6．已知，若，则
若, 则
7．若, 则
8．若,则的值为_______
9．已知,则
三．解答题：
10．求值
11．化简
12．设均为锐角，且，求的最大值。
§4-5 三角函数的化简和求值
一．选择题：
1．在中，若，则的形状是（）
等腰三角形直角三角形等边三角形等腰直角三角形2．设，，则的值为（）
3．的值为（）
4．若，则的值为（）
5．已知，，则的值为（）
二．填空题：
6．函数的最小正周期
7．一个等腰三角形一个底角的正弦值为，则这个三角形顶点的正切为8．若，则
9．
三．解答题：
10．已知是第二，三象限的角，化简：
11．已知且，求和的值
12．求值：
13．已知，，，求的值。
§4-6 三角函数的恒等变形
1．求值：
2．求证：
3．求证：
4．试探讨，，成立的充要条件（A，B所满足的关系）。
5．已知三个内角A.B.C成等差数列，且，求的值（参考公式：）6．已知，为锐角，且，，求证。
§4-7 三角函数的图象
一．选择题：
１．要得到的图象，只要将函数的图象（）
向左平移单位向右平移单位向左平移单位向右平移单位
２．以下给出的函数中，以为周期的偶函数是（）
３．函数在同一区间内的处取最大值，在处取得最小值，则函数解析式为（）4．的图象是（）
5. 三角函数式
①②
③④
其中在上的图象如图所示的函数是（）
③①②①②④①②③④
二．填空题：
6．把函数的图象向左平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值是
7。若函数具有以下性质：
⑴关于y轴对称⑵对于任意，都有则的解析式
为（只须写出满足条件的的一个解析式即可）
8．若，且，求角的取值范围
9．已知且的周期不大于1，则最小正常数
三．解答题：
10．已知函数
（1）求函数的最小正周期
（2）求函数的增区间
（3）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得出？
（１）若把函数的图象向左平移单位得一偶函数，求的最小值
１１．已知函数
（１）求的定义域
（２）求函数的单调增区间
（３）证明直线是图象的一条对称轴
１２．设，周期为，且有最大值
（１）试把化成的形式，并说明图象可由的图象经过怎样的平移变换和伸缩变换得到
（２）若为的两根（终边不共线），求的值
１３．已知函数图象y= 上相邻的最高点与最低点的坐标分别为，求该函数的解析式．§４－８三角函数的性质
一．选择题：
1．下列函数中同时满足下列条件的是（）
①在上是增函数②以为周期③是奇函数
2．如果且，则（）
3。已知且，则可表示成（）
4．若，则的值是（）
（不确定
5。下面函数的图象关于原点对称的是（）
6．函数的取值范围是（）
二．填空题：
7．函数的增区间为
8．设是以5为周期的函数，且当时，
则
9．设，其中均为非零实数，若，则的值为
三．解答题：
１０．若，试求的解析式
１1．已知函数
（１）求函数的定义域和值域
（２）用定义判定函数的奇偶性
（３）作函数在内的图象
（４）求函数的最小正周期及单调区间
１2．设函数的定义域为
（１）求证：函数关于点对称的充要条件是
（２）若函数的图象有两个不同对称点，，证明函数是周期函数．
§４－９三角函数的最值
一．选择题：
１．若的最大值为M，最小值为N，则（）
２．在直角三角形中两锐角为，则的值（）
（A）有最大值和最小值0 （B）有最大值，但无最小值
（C）既无最大值也无最小值（D）有最大值1，但无最小值３．函数，当时的值域为（）
４．函数，则此函数的最大值，最小值分别为（）
１．函数在区间上是增函数，且，则在区间上（）
（A）是增函数（B）是减函数（C）可取最大值2 （D）可取最小值
２．函数的值域为（）
二．填空题：
３．函数的定义域为值域为
４．函数的最大值为最小值为
５．设单位圆上的点，求过点斜率为的直线在ｙ轴上截距的最大值为
６．设直角三角形两个锐角为Ａ和Ｂ，则的范围是
三．解答题：
７．求下列函数的最值
８．已知关于ｘ的函数的最小值为，求的解析式。13．设函数的最大值为１，求实数的值。
９．在某海滨城市附近有一台风，据监测，当台风位于城市Ｏ（如图）的东偏南方面的海面处，并以的速度向西偏北方向移动。台风侵袭范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？并会持续多长时间？
三角函数单元测试题
一．选择题：
１．集合与的关系为（）
２．下列函数中周期为的奇函数是（）
３．函数在下列区间上为增函数的是（）
４．将函数的图象上每点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位，得到的函数解析式为（）
５．的值为（）
６．已知为锐角，且，则的值为（）
７．若，则为（）
８．函数的最大值是（）
非以上答案
９．要得到函数的图象，可以把函数的图象（）
右移右移左移左移
１０．若对任意实数，函数在区间上的值出现不少于４次且不多于８次，则的值为（）
或或
二．填空题：
１１．等腰三角形底角的正弦与余弦的和为，则顶角的弧度数为
1２．若为锐角，且，则
１３．的解集区间为
１４．下列命题中正确的序号为（你认为正确的都写出来）
①的周期为，最大值为
②若x是第一象限的角，则是增函数
③在中若则
④既不是奇函数，也不是偶函数
⑤且则
⑥的一条对称轴为
三．解答题：
15. 化简
16 已知是方程的两个实根，
求的值
17．已知函数
⑴求的最小正周期⑵确定函数的递减区间
⑶确定的最大值与最小值，并写出对应的的集合
⑷该函数图象可由函数图象经过怎样的变换得到？
18. 已知函数的图象在y轴右侧的第一个最高点为，与x轴在原点右侧的第一个交点，求这个函数的解析式。
19．求证：
20．如图所示，某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条重要公路。为解决该市区交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路。分别在到往正西和东北方向的公路上选取A．B两点，使环城公路A．Ｂ间为直线段．要求ＡＢ路段与市中心Ｏ的距离为１０公里，且使Ａ．Ｂ间的距离最小．试求Ａ，Ｂ两点的最短距离（不要求做近似计算）
三角函数参考答案：
ξ４－１．任意角的三角函数．
１．Ｃ，２．Ｃ，３．Ａ，４．Ｂ，５．Ｂ，６．三，一或三，７．
８．，９．二，１０．或，１２．０
ξ４－２．同角三角函数的基本关系及诱导公式．
１．Ａ，２．Ａ，３．Ｃ，４．Ａ，５．Ｂ，６．Ａ，７．，８．，９．０，１０．，１１．⑴．，⑵．，１３．１４．当是第一象限角时为，当是第三象限角时为ξ４－３．两角和与差的三角函数．
１．Ｂ，２．Ａ，３．Ｂ，４．Ｄ，５．，６．，７．，８．２，９．１，１１．ξ４－４．二倍角的正弦、余弦、正切．
１．Ｂ，２．Ｂ，３．Ｄ，４．Ｂ，５．Ａ，６．，７．，
８．，９．，１０．，１１．１，１２．
ξ４－５．三角函数的化简与求值．
１．Ａ，２．Ｃ，３．Ｃ，４．Ｂ，５．Ａ，６．，７．，８．，９．，１０．或，１１．，１２．，１３．
ξ４－７．三角函数的图象．
１．Ｄ，２．Ａ，３．Ｂ，４．Ｃ，５．Ｃ，６．，７．，８．，９．２，１０．⑴．，⑵．，⑶．左移个单位，上移２个单位，⑷．，
１１．⑴，⑵．，
１２．⑴．，⑵．，１３．
ξ４－８．三角函数的性质．
１．Ｃ，２．Ｃ，３．Ｄ，４．Ａ，５．Ｂ，６．Ｄ，７，８．，９．５，１０．，１１．⑴．定义域R，值域，⑵．偶函数，⑷．周期，增区间，减区间ξ４－９．三角函数的最值．
１．Ｃ，２．Ｂ，３．Ａ，４．Ｄ，５．Ｃ，６．Ｂ，７．定义域，值域，８．，９．，１０．，１１．⑴．，⑵．１２．，１３．，１４．１４小时，持续１２小时
单元测试题．
选择题：１．Ｂ，２．Ｃ，３．Ｃ，４．Ｂ，５．Ｃ，６．Ａ，７．Ｂ，８．Ｂ，９．Ａ，１０．Ｄ
填空题：１１．或，１２．，１３．，１４．①③④⑤⑥
解答题：１５．，１６．，１７．⑴．，⑵．，⑶．当时，的最小值为－５，当时，的最大值为５，１８．
２０．设，则，则,
令而
整理得：
由得：此时（符合条件）
故即最小值为
g3.1049 三角函数的化简、求值与证明 一、知识回顾 1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 二、基本训练 1、已知θ是第三象限角，且445 9 sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ） A 、223 B 、223- C 、23 D 、23 - 2、函数23 232 y sin x cos x =--+的最小正周期 （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3、tan 70cos10(3tan 201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－2 4、已知46 sin 3cos (4)4m m m αα--=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 5、设1 0,sin cos 2 απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。 三、例题分析 例1、化简： 4221 2cos 2cos 2.2tan()sin () 44 x x x x ππ -+ -+ 例2、设3177cos(),45124 x x π ππ +=<< ，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。 例3、求证：sin(2)sin 2cos().sin sin αββ αβαα +-+=
2011突破难点 （十六）三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 (★★★★★)已知 2 π ＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2 α的值_________. ●案例探究 ［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =2 1 (1－cos40°)+2 1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+ 3sin20° (cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－2 1cos40°－4 1cos40°－ 43sin40°+43sin40°－2 3sin 220°
=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 4 1 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=2 1 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4 1. ［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=2 1的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值. 命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错. 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等. 解：由y =2(cos x －2a )2－22 42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得： f (a )??? ????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122 ) 2( 12a a a a a a ∵f (a )=21,∴1－4a = 21?a =8 1 ?［2,+∞) 故－22a －2a －1=2 1 ，解得：a =－1，此时， y =2(cos x +21)2+2 1 ，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5. ［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3 π )－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；
第七节三角函数的化简与求值 [选题明细表] 知识点、方法题号 三角函数式的化简15 三角函数的求值1,2,3,5,9,10,11,13 三角变换的综合应用4,6,7,8,12,14 一、选择题 1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α=,则cos 2α等于( B ) (A)(B)(C)-(D)- 解析:因为sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=.故选B. 2.设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为( A ) (A)(B)(C)(D) 解析:因为α为锐角,即0<α<, 所以<α+<+=. 因为cos(α+)=, 所以sin(α+)=.
所以sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+) =2×× =. cos(2α+)=2cos2(α+)-1=. 所以sin(2α+)=sin(2α+-) =sin(2α+)cos -cos(2α+)sin =×-× =. 故选A. 3.若α∈(,π),且3cos 2α=sin(-α),则sin 2α的值为( D ) (A)(B)-(C)(D)- 解析:cos 2α=sin(-2α) =sin[2(-α)] =2sin(-α)cos(-α), 代入原式,得6sin(-α)cos(-α)=sin(-α),
因为α∈(,π),所以cos(-α)=, 所以sin 2α=cos(-2α)=2cos2(-α)-1=-. 故选D. 4.函数y=的单调递增区间是( A ) (A)(2kπ-π,2kπ+)(k∈Z) (B)(2kπ-,2kπ+)(k∈Z) (C)(2kπ-,2kπ-)(k∈Z) (D)(kπ-,kπ+)(k∈Z) 解析:y== = = =tan(+), 当+∈(kπ-,kπ+),k∈Z时,函数为增函数, 此时x∈(2kπ-,2kπ+),k∈Z. 故选A.
【知识要点】 利用同角三角函数的基本关系式——平方关系、商数关系、倒数关系和两角和差倍半角公式来化简求值. 和差化积、积化和差公式： sin sin 2sin cos 22αβ αβαβ+-+= sin sin 2sin cos 22 αβαβαβ-+-= cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+= cos cos 2sin sin 22 αβαβαβ+--= 1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++- 1cos sin [sin()sin()]2 αβαβαβ=+-- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=+-- 【典型例题】 例1求234cos cos cos cos 9999 π πππ的值. 例2化简下列各式： （1）2sin10cos 20sin 20?-?? （2）22sin sin cos sin cos tan 1x x x x x x +---（3）66441sin cos 1sin cos θθθθ---- 例3已知tan 2α=，求：（1） 4sin 2cos 5sin 3cos αααα -+；（2）223sin 3sin cos 2cos αααα+-.
例4已知sin()410πα- =，7cos 225α=，求sin α及tan()3πα+的值. 例5已知α为第二象限内的角，3sin 5α= ，β为第一象限内的角，5cos 13 β=，求tan （2α-β）的值. 【课堂练习】 1.若sin cos 2sin cos x x x x +=-，则sin cos x x =（ ）.
三角函数诱导公式专项练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（） A． B． C． D． 2．的值为（） A． B． C． D． 3．已知，则cos（60°–α）的值为 A． B． C． D．– 4．已知，且，则（）A． B． C． D． 5．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A． B．－ C．± D． 6．已知，则=( ) A． B． C． D． 7．已知，，则（） A． B． C． D． 8．已知，则（） A． B． - C． D． - 9．如果，那么 A． - B． C． 1 D． -1 10．已知，则（） A． B． C． D． 11．化简的值是（）
A． B． C． D． 12．的值是（） A． B． C． D． 13．已知角的终边经过点，则的值等于 A． B． C． D． 14．已知，则（） A． B． C． D． 15．已知的值为（）A． B． C． D． 16．已知则（） A． B． C． D． 17．已知，且是第四象限角，则的值是( ) A． B． C． D． 18．已知sin＝，则cos＝( ) A． B． C．－ D．－ 19．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( ) A．－ B． C．± D．－k 20．＝( ) A． sin 2－cos 2 B． sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D． cos 2－sin 2 21．的值为 A． B． C． D． 22．（） A． B． C． D．
三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 已知 2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=13 12,sin(α+β)=－53 ,求sin2α的值_________. ● 案例探究 ［例1］ 不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° = 21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21 cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20° －sin60°sin20°) =1－ 21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－2 3sin 220° =1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°= 2 1 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y = 41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4 1.
第三讲 一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧 1、网络
2、三角函数变换的方法总结 （1）变换函数名 对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。 【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。 练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。 2）变换角的形式 对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。 【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。练习已知，求的值
【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α ＋β）＝ 提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β） （3）以式代值 利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。 【例4】化简： （4）和积互化 积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。 【例5】解三角方程：sin2x＋sin22x＝sin23x
高考 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的 重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场(★★★★★)已知 2 π ＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.● 案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体 会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°= 21 (1－cos40°)+2 1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－2 1 cos40° +2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－ 21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－4 3 (1－ cos40°)= 4 1 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－ 3cos20°sin80°，则x +y =1+1－3sin60°=21 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°= －2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x =y =4 1 ，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° =41.［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座 等.解：由y =2(cos x －2 a )2－22 42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得： f (a )?? ? ????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122) 2( 12 a a a a a a ∵f (a )=21,∴1－4a =21?a =81?［2,+∞)故－ 22a －2a －1= 21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+2 1 ，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x + 3 π )－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值；(3)若当x ∈［12 π，127π ］时，f (x )的反函数
三角函数化简求值专题复习 高考要求 1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。 2、 掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式） 3、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 热点分析 1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至20XX 年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题 3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解. 【例1】求值： ? +?? ??+?+?80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2. 解：原式的分子? ? ?+??+ ?=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2 ? ?+ ?=20cos 10cos 20sin 2?? +?=20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =? ? ?=??+?= ， 原式的分母＝ ? ? +?=??+?80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()??+?+?=80sin 80cos 40cos 40cos ?? ?+?=80sin 20cos 60cos 240cos 310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =? ? ?=??+?= ， 所以，原式＝１． 【变式】1、求值 () ? +??+?+?10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2 解：()()2 5cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 23 10cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=? ??=??+?=??-?+?=? ?? ? ? ???+?+?=??+?+?=·原式 【变式】2、求00 20 210sin 21)140 cos 1140sin 3( ?- 。 分析：原式= 202020210sin 21 140cos 140sin 140sin 140cos 3? -
专题12 三角函数的化简与求值 一、复习目标 1．掌握三角函数恒等变形的一般思路与方法； 2．能利用恒等变形进行三角函数式的化简与求值． 二、基础训练 1．=-15cot 15tan ( ) A ．2 B ．32+ C ．4 D ．32- 2．3,(2),2 P π απ=<<若 则化简P 可得 （ ） A ．2 cos α - B ．2 cos α C ．2 sin α- D ．2 sin α 3． 若α为锐角，且,3 1 )6sin(=- π α则=αcos ． 42 cos 1010)1cos 10170 --= ． 三、典型例题 1．（1）若等于则θ θ θ2sin 12cos ,21tan +- = （ ） A ．2- B ．2 1 - C ．3- D ．3 （2）若71cos = α，??? ??∈2,0πα，则??? ? ? +3cos πα=__________。 2．已知)3 tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π +αα=α=π-α及求
3．化简：2 2221sin sin cos cos cos 2cos 22 αβαβαβ?+?-? ． 4．已知1 0,sin cos 25 x x x π - <<+= ． （Ⅰ）的值求x x cos sin -； （Ⅱ）求2 23sin 2sin cos cos 2222tan cot x x x x x x -++的值．
四、课堂练习 1． 对任意的锐角βα，，下列不等关系中正确的是 （ ） A ．sin()sin sin αβαβ+>+ B ．sin()cos cos αβαβ+>+ C ．cos()sin sin αβαβ+<+ D ．cos()cos cos αβαβ+<+ 2． 已知,16 3,16π βπ α= = 则 =+?+)tan 1(tan 1βα）（ ． 3． 已知α为第二象限的角，53sin =α，β为第一象限的角，13 5 cos =β，求) 2tan(βα-的值． 五、巩固练习 1．已知=-=+= +)4 tan(,223)4tan(,52)tan(π βπαβα那么 （ ） A ．51 B ．41 C ．1813 D ．2213 2．若=+=-)232cos(,31)6sin(απ απ则 （ ） A ．97- B ．31- C ．31- D ．9 7 3．若βα，均是锐角，且2 sin cos(),ααβ=-则的关系是与βα （ ） A ．αβ> B ．αβ< C ．βα= D ．2 π αβ+> 4．函数x x x x f cos )cos 4sin 3()(-=的最小正周期为 ． 5．已知α为锐角，且2 2 sin sin cos 2cos 0,αααα--=则αtan = ，
４三角函数得化简、求值与证明日期:２０09年月日星期 ,能正确地运用三角公式进行三角函数式得化简与恒等式得证明、 用、 (１)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角;③三角公式得逆用等。(2)化简要求：①能求出值得应求出值； ②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 ２、三角函数得求值类型有三类:(1）给角求值:一般所给出得角都就就是非特殊角,要观察所给角与特殊角间得关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角得三角函数值问题;(２）给值求值:给出某些角得三角函数式得值,求另外一些角得三角函数值，解题得关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角得式子表示，求解时要注意角得范围得讨论；(３)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题,由所得得所求角得函数值结合所求角得范围及函数得单调性求得角。 3、三角等式得证明:(1)三角恒等式得证题思路就就是根据等式两端得特征,通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端得化“异”为“同”;(2）三角条件等式得证题思路就就是通过观察,发现已知条件与待证等式间得关系，采用代入法、消参法或 、三角函数得求值: ,化非特殊角为特殊角; ?2、正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角得三角函数值; ?3、一些常规技巧：“１”得代换、切割化弦、与积互化、异角化同角等、 1、三角函数式得化简: 三角函数式得化简常用方法就就是：异名函数化为同名三角函数,异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角得三角函数互化、 ?2、三角恒等式得证明: 三角恒等式包括有条件得恒等式与无条件得恒等式、①无条件得等式证明得基本方法就就是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端得“异”化为“同”;②有条件得:代入法、消去法、综合法、分析法等、 ( A) A、B、C、D、 2、函数得最小正周期( B) Ａ、B、C、D、 3、等于( Ｄ） A、1 B、2 C、－1 D、-２ ４、已知，则实数得取值范围就就是__[-1,]＿＿_。 _＿＿_。 ,(),则?( ) ???或 略解:由得或(舍)，∴,∴、 例2、已知,就就是第三象限角,求得值、 解：∵就就是第三象限角，∴（）, ∵,∴就就是第四象限角,∴, ?∴原式 221 cos(15)sin(15)sin(75)cos(75) 3αααα + =---=+-+=-、 例3、已知，求得值、
数学(第 二 轮)专 题 训 练 第九讲: 三角函数的化简与求值 学校 学号 班级 姓名 知能目标 1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式. 2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明. 综合脉络 三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三 角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常 用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之 间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题 获解.对角的变形如下: )2()2()(,2304560304515α -β-β+α=β-β+α=α=-=-= , )4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4 (24α-π -π=α+π 特别地, α+π4与α-π 4 为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高. 2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是 基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名. 3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常 数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=2 2 2 2 2 2 cot csc tan sec cos sin 1. 4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的 方法. 常用降幂公式有: 1cos sin ,2 2cos 1cos ,22cos 1sin 2222 =α+αα +=αα-= α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂 公式是相对而言的. 5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式 的应用. 如: )tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β?αβ±α=β±αα α =α 等. (一) 典型例题讲解: 例1. (1)当2x 0π <<时，函数x 2sin x sin 8x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为 ( ) A. 2 B. 32 C. 4 D. 34 (2) 已知=α=α cos ,32 tan 则 .
1. 已知3,1616 π παβ==,则(1tan )(1tan )αβ++（1+tanα）的值为 。 2. 已知5sin 5α=,10sin 10 β=,且,αβ为锐角，则αβ+的值是 。 3. 若cos 222sin() 4απα=--，则sin cos αα+的值为 。 4. 已知()4 3sin 2,,252π πααπ??-=∈ ???,则sin cos sin cos αα αα+-等于 。 5. 若23 5cos 2,3252x x π π=<<,则sin 2x 和tan 2x 的值分别是 。 6. sin50(13tan10)+=___________________。 7. 44sin 22.5cos 22.5-=______________________。 8. 化简22cos() cos()23cos 2tan ()cos ()sin() 2π θθπ ππθθθ+--=?-+?-___________。 9. 已知向量(c o s ,s i n )a b ααββ==，25 5a b -=, 若0,022π παβ<<-<<，且5 sin 13β=-,则sin α的值为_______。 10. 已知23cos ()5cos()12x x π π++-=，求226sin 4tan 3cos ()x x x π+--的值． 11. 已知方程sin(3)2cos(4)απαπ-=-，求) sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπ απαπ----+-的值。 12. 已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+，且(0)8,()126f f π == （Ⅰ）求实数,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值.
三角函数与解三角形知识拓展 (1) 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限． (2)同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cosα)2＝1±2sin αcosα； (sin α＋cosα)2＋(sin α－cosα)2＝2； (sin α＋cosα)2－(sin α－cosα)2＝4sin αcosα. (3)降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α 2 ,sin2α＝ 1－cos 2α 2 . (4)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α,1－cos 2α＝2sin2α. 题型分析 (一) 三角变换,角为先锋 三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果. 【例1】【江苏省苏州市2017-2018学年高三上学期期中】已知 π tan2 4 α?? -= ? ?? ,则cos2α的 值是_____． 【答案】 4 5 - 【解析】因为 π tan2 4 α?? -= ? ?? , 所以cos2α= π sin2 2 α ?? -- ? ?? = 22 ππ 2sin cos 44 ππ sin cos 44 αα αα ???? -- ? ? ???? - ???? -+- ? ? ???? = 2 π 2tan 4 π tan1 4 α α ?? - ? ?? - ?? -+ ? ?? = 4 5 - 【点评】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β),α＝(α＋β)－β,β＝α＋β 2 － α－β 2,α＝ α＋β 2 ＋ α－β 2 , α－β 2 ＝(α＋ β 2 )－( α 2 ＋β)等．
三角函数公式练习题（答案） 1．1．29 sin 6 π=（ ） A ．2- ．12- C ．12 D ．2 【答案】 【解析】C 试题分析：由题可知，2 165sin )654sin(629sin ==+=ππππ； 考点：任意角的三角函数 2．已知1027)4 (sin = -π α，25 7cos2=α，=αsin （ ） A ． 54 B ．54- C ．5 3- D ．53 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 ： 由 7 sin()sin cos 4105 πααα-=?-= ①， 2277cos2cos sin 2525 ααα= ?-= 所以()()7cos sin cos sin 25αααα-+=②，由①②可得1 cos sin 5 αα+=- ③， 由①③得，3 sin 5α= ，故选D 考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式 点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式 3．cos690=o （ ） A ． 21 B ．2 1- C ．23 D ．23- 【答案】C 【解析】 试题分析：由( )()cos 690cos 236030 cos 30cos30 =?-=-== o o o o o ，故选C 考点：本题考查三角函数的诱导公式 点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值 4．π3 16 tan 的值为 A.33- B.3 3 C.3 D.3- 【答案】 C 【解析】
试题分析tan π=tan（6π﹣）=﹣tan =． 考点：三角函数的求值，诱导公式． 点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值． 5．若2 02παβπ<<<<- ，1cos()43πα+=，3cos()42πβ-= cos()2β α+= A ． 33 B ．33- C ．935 D ．9 6 - 【答案】C ． 【解析】 试题分析：因为202παβπ<<<<- ，1cos()43πα+=，所以4 344π αππ< +<，且322)4 sin( = +απ ；又因为3cos()42πβ-=，且02 <<-βπ，所以2 244π βππ<-<，且36)24sin(= -βπ．又因为)24()4(2βπαπβα--+=+，所以) 2 4sin()4sin()24cos()4cos()]24()4cos[()2cos(β παπβπαπβπαπβ α-++-+=--+=+ 9 35363223331=?+?= ．故应选C ． 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式． 6．若角α的终边在第二象限且经过点(13)P -，则sin α等于 A ． 32 B ．32- C ．12- D ．1 2 【答案】A 【解析】 试题分析：由已知2 3sin 2,3,1== ?=∴= -=r y r y x α，故选A ． 考点：三角函数的概念． 7．sin70Cos370- sin830Cos530 的值为（ ） A ．21- B ．21 C ．2 3 D ．23- 【答案】A 【解析】 试题分析： sin70Cos370- sin830Cos530 ()() ο οοοοο3790sin 790cos 37cos 7sin ---=
2008高考数学专题训练 三角函数的化简与求值 学校 学号 班级 姓名 知能目标 1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式. 2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明. 综合脉络 三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三 角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常 用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之 间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题 获解.对角的变形如下: )2()2()(,2304560304515α -β-β+α=β-β+α=α=-=-= , )4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4 (24α-π -π=α+π 特别地, α+π4与α-π 4 为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高. 2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是 基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名. 3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常 数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=2 2 2 2 2 2 cot csc tan sec cos sin 1. 4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的 方法. 常用降幂公式有: 1cos sin ,2 2cos 1cos ,22cos 1sin 2222 =α+αα +=αα-= α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与 降幂公式是相对而言的. 5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式 的应用. 如: )tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β?αβ±α=β±αα α =α 等. (一) 典型例题讲解: 例1. (1)当2x 0π <<时，函数x 2sin x sin 8x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为 ( ) A. 2 B. 32 C. 4 D. 34
三角函数诱导公式练习题 一、选择题(共21小题) 1、已知函数f(x)=sin,g(x)=tan(π﹣x),则( ) A、f(x)与g(x)都就是奇函数 B、f(x)与g(x)都就是偶函数 C、f(x)就是奇函数,g(x)就是偶函数 D、f(x)就是偶函数,g(x)就是奇函数 2、点P(cos2009°,sin2009°)落在( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3、已知,则=( ) A、B、C、D、 4、若tan160°=a,则sin2000°等于( ) A、B、C、D、﹣ 5、已知cos(+α)=﹣,则sin(﹣α)=( ) A、﹣ B、 C、﹣ D、 6、函数得最小值等于( ) A、﹣3 B、﹣2 C、 D、﹣1 7、本式得值就是( ) A、1 B、﹣1 C、 D、 8、已知且α就是第三象限得角,则cos(2π﹣α)得值就是( ) A、B、C、D、 9、已知f(cosx)=cos2x,则f(sin30°)得值等于( ) A、B、﹣C、0 D、1 10、已知sin(a+)=,则cos(2a﹣)得值就是( ) A、B、C、﹣D、﹣ 11、若,,则得值为( )
A、B、C、D、 12、已知,则得值就是( ) A、B、C、D、 13、已知cos(x﹣)=m,则cosx+cos(x﹣)=( ) A、2m B、±2m C、 D、 14、设a=sin(sin20080),b=sin(cos20080),c=cos(sin20080),d=cos(cos20080),则a,b,c,d 得大小关系就是( ) A、a＜b＜c＜d B、b＜a＜d＜c C、c＜d＜b＜a D、d＜c＜a＜b 15、在△ABC中,①sin(A+B)+sinC;②cos(B+C)+cosA;③tantan;④,其中恒为定值得就是( ) A、②③ B、①② C、②④ D、③④ 16、已知tan28°=a,则sin2008°=( ) A、B、C、D、 17、设,则值就是( ) A、﹣1 B、1 C、 D、 18、已知f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(a,b,α,β为非零实数),f(2007)=5,则f(2008)=( ) A、3 B、5 C、1 D、不能确定 19、给定函数①y=xcos(+x),②y=1+sin2(π+x),③y=cos(cos(+x))中,偶函数得个数就是( ) A、3 B、2 C、1 D、0 20、设角得值等于( ) A、B、﹣C、D、﹣ 21、在程序框图中,输入f0(x)=cosx,则输出得就是f4(x)=﹣csx( )
模块4——三角函数的化简、求值与证明 一、知识回顾 1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 二、基本训练 A 组 1、已知θ是第三象限角，且4 4 59 sin cos θθ+= ，那么2sin θ等于 （ ） A 、 3 B 、3- C 、 23 D 、23 - 2 、函数2 22 y sin x x =--+的最小正周期 （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3 、tan 70cos10201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－2 4 、已知46 sin (4)4m m m αα-- = ≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 5、设1 0,sin cos 2 απαα<<+=，则cos 2α＝＿＿＿＿＿。 6、化简： 42 2 12cos 2cos 2.2tan( )sin ( ) 4 4 x x x x ππ-+ -+ 7、设3177cos(),45124x x π ππ+=<<，求2 sin 22sin 1tan x x x +-的值。 8、求证： sin(2) sin 2cos().sin sin αββαβα α +-+=