第二章质点运动学（习题）
2.1.1 质点的运动学方程为
求质点轨迹并用图表示。
解:① . 轨迹方程为 y=5
② 消去时间参量 t 得：
2.1.2 质点运动学方程为，（ 1 ） . 求质点的轨迹；（ 2 ） . 求自 t=-1 至 t=1 质点的位移。
解;① 消去 t 得轨迹： xy=1,z=2
② , ,
2.1.3 质点运动学方程为，（ 1 ） . 求质点的轨迹；（ 2 ） . 求自 t=0 至t=1 质点的位移。
解:① . 消去 t 得轨迹方程
②
2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为
， 0.75s 后测得
均在铅直平面内。求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）。
解 :
代入数值得：
利用正弦定理可解出
2.2.2 一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为
（长度 mm ）。第一次观察到圆柱体在
x=249mm 处，经过时间 2ms 后圆柱体移到 x=234mm 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。
解:
2.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者 17m 。另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km ，收听者离收音机 2m ，问谁先听到声音？声速为
340m/s, 电磁波传播的速度为。
解 :
在广州的人先听到声音。
2.2.4 如果不允许你去航空公司问讯处，问你乘波音
747 飞机自北京不着陆飞行到巴黎，你能否估计大约用多少时间？如果能，试估计一下（自己找所需数据）。
解 :
2.2.5 火车进入弯道时减速，最初列车向正北以 90km/h 速率行驶， 3min 后以 70km/h 速率向北偏西方向行驶。求列车的平均加速度。
解，
2.2.6 （ 1 ）R 为正常数。求t=0, π /2 时的速度和加速度。（ 2 ）
求 t=0,1 时的速度和加速度（写出正交分解式）。
解：（ 1 ）
当 t=0 时，
当t= π /2 时，
（ 2 ）
当 t=0 时，
当 t=1 时，
2.3.1 图中 a 、 b 和 c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的 x-t 图，试说明三种运动的特点（即速度，计时起点时质点的坐标，位于坐标原点的时刻）。
解 : a 直线的斜率为速度
b 直线的斜率为速度
c 直线的斜率为速度
2.3.2 质点直线运动的运动学方程为 x=acost, a 为正常数。求质点速度和加速度并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）。
解 :
质点受力，是线性恢复力，质点做简谐振动，振幅为 a ，运动范围在，速度具有周期性。
2.3.3 跳伞运动员的速度为
v 铅直向下，β、 q 为正常量。求其加速度。讨论当时间足够长时（即t →∞），速度和加速度的变化趋势。
解 :
2.3.4 直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原行驶速度为，其速度变化规律如图所示。求列车行驶至 x=1.5km 时加速度的大小。
解 :
当 x=1.5km 时，
2.3.5 在水平桌面上放置 A 、 B 两物体，用一不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来。 C 点与桌面固定。已知物体 A 的加速度，求物体 B 的加速度。
解 :
以 C 为坐标原点，建立一维坐标系 o-x 。设绳的总长度为， B 的坐标为， A 的坐标为，则得
两端对 t 求导
2.3.6 质点沿直线的运动学方程为。
（ 1 ）将坐标原点沿 ox 轴正方向移动 2m ，运动学方程如何？初速度有无变化？
（ 2 ）将计时起点前移 1s ，运动学方程如何？初始坐标和初始速度都发生怎样的变化？加速度变不变？
解 :（ 1 ）
，代入上式得：
初速度不变。
（ 2 ）
代入上式得：
初坐标由 0 变为 -7m.
, 初速度由 10m/s 变为 4m/s.
加速度不变，都是.
以下四题用积分
2.4.1 质点由坐标原点出发时开始计时，沿 x 轴运动，其加速度，求在下列两种情况下质点的运动学方程、出发后 6s 时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程：
（ 1 ）初速度；
（ 2 ）初速度的大小为 9cm/s, 方向与加速度方向相反。
解 :（1），
，
当 t=6s时，
, ,
质点运动的路程：
(2) ,
,
当 t=6s时，
, ,
质点运动的路程如图，
，，质点运动的路程：
2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为
求至时间内的位移。
解 : ，
2.4.3一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为在 t=0 时，
其中均为正常数，求此质点的运动学方程。
解 : ，
，
2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动。刚着陆时，t=0时速度为且坐标为 x=0. 假设其加速度为， b= 常量，求此质点的运动学方程。
解 : ，
，
解以下四题中匀变速直线运动时应明确写出所选的坐标系、计时起点和初始条件。
2.4.5 在 195m 长的坡道上，一人骑自行车以 18km/h 的速度和 -20cm/s 2 的加速度上坡，另一自行车同时以 5.4km/h 的初速度和 0.2m/s 2 的加速度下坡。问（ 1 ）经过多长时间两人相遇；（ 2 ）两人相遇时，各走过多少路程。
解 :
建立坐标系 o-x, 原点为质点 1 的初始位置。
对上坡的质点 1:t=0,v 10 =5m/s, x 10 =0, a 1 =-0.2m/s 2 ,
对下坡的质点 2:t=0,v 20 =-1.5m/s,x 20 =195m,
a 2 =-0.2m/s 2 ,
相遇时， x 1 =x 2 , 所需时间设为 t ，则
质点 1 的速度表达式为：
，所以质点 1 的路程为两段路程之和，如图所式。前 25s 的路程：
后 5s 的路程：
质点 2 的路程： 195-62.5+2.5=135(m)
2.4.6 站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面。火车开动后经过△ t=24s ，第一节车厢的末尾从此人的面前通过。问第七节车厢驶过他面前需要多长时间？火车作匀加速运动。
解 :
设火车第六节末尾经过此人的时间为 t 6 ，
火车第七节末尾经过此人的时间为 t 7 ，
2.4.7 在同一铅直线上相隔 h 的两点以同样的速率 v 0 上抛二石子，但在高处的石子早 t 0 秒被抛出。求此二石子何时何处相遇。
解 :
解出 t 得：，
将 t 代入，得
2.4.8 电梯以 1.0m/s 的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板 0.50m 高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？
解 :
建立基本坐标系 o-x, 原点固结在地面上，建立运动坐标系原点固结在电梯的地板。
小孩相对运动参照系（电梯）跳起到落回地板所需时间设为 t ，则解出 td 得，
这段时间电梯下降的距离为,
2.5.1 质点在 o-xy 平面内运动，其加速度为
位置和速度的初始条件为 t=0 时
，求质点的运动学方程并画出轨迹（本题用积分）。
解 :由得
初始条件：
t=0 时 ,v 0x =0,v 0y =1,x 0 =1,y 0 =0
,
,
,
,
轨道方程：
2.5.2 在同竖直值面内的同一水平线上 A 、 B 两点分别以 30 0 、 60 0 为发射角同时抛出两小球欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求 A 、 B 两点的距离。已知小球在 A 点的发射速率
解 :
，
习题 2-1 质量为0.25kg 的质点，受力为()F ti SI =的作用，式中t 为时间。0t =时，该质点以 102v jm s -=?的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是_____. 解 因为 40.25 d v F t i ti dt m ===,所以()4d v t i d t =， 于是有()0 4v t v dv ti dt =? ?， 222v t i j =+；又因为 dr v dt =，所以()222dr t i j dt =+，于是有()222dr t i j dt =+??，3 223 r t i tj C = ++，而t=0时质点通过了原点，所以0C =，故该质点在任意时刻的位置矢量为3 223 r t i tj =+。 2-2 一质量为10kg 的物体在力(12040)()f t i SI =+作用下，沿x 轴运动。0t =时，其速度 106v im s -=?，则3t s =时，其速度为（ ） A. 1 10im s -? B. 1 66im s -? C. 1 72im s -? D. 1 4im s -? 解 本题正确答案为C 在x 方向，动量定理可写为()3 12040t dt mv mv +=-?，即0660mv mv -= 所以 ()10660660 67210 v v m s m -=+ =+=?。
2-3 一物体质量为10kg 。受到方向不变的力3040()F t SI =+的作用，在开始的2s 内，此力的 冲量大小等于______;若物体的初速度大小为1 10m s -? ，方向与F 同向，则在2s 末物体的 速度大小等于_______. 解 在开始的2s 内，此力的冲量大小为 ()2 3040140()I t dt N s = +=?? 由质点的动量定理得 0I mv mv =- 当物体的初速度大小为1 10m s -?，方向与F 同向时，在2s 末物体速度的大小为 101401024()10 I v v m s m -=+=+=? 2-4 一长为l 、质量均匀的链条，放在光滑的水平桌面上。若使其长度的1/2悬于桌边下，由静 止释放，任其自由滑动，则刚好链条全部离开桌面时的速度为（） A. B. C. D. 解 本题正确答案为B 。 根据题意作图2.15.设链条的质量为m ，则单位长度的质量为m l ，若选取桌面为零势能点，则由机械能守恒定律得 21 2422m l l m l g l g mv l l ????????????-???=-???+ ? ? ? ????????????????? 其中v 为链条全部离开桌面时的速度。解之得 v = 2-5 一弹簧原长为0.5m ，劲度系数为k ，上端固定在天花板上，当下端悬挂一盘子时，其长度为0.6m ，然后在盘子中放一物体，弹簧长度变为0.8m,则盘中放入物体后，在弹簧伸长过程中
第二章 质点运动学 思考题 2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？ 答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不变。如图所示。 2.2若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？ 答：质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作变速率直线运动；速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。 2.3“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法是否正确？如何正确表述瞬时速度的定义？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？ 答：“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确。因为瞬时速度与一定的时刻相对应。瞬时速度的定义是质点在t 时刻的 瞬时速度等于t 至t+△t 时间内平均速度t /r ?? ，当△t →0时的极 限，即 dt r d t r lim v 0t = ??=→?。很难直接测量，在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，测量可以达到很高的精确度。 2.4试就质点直线运动论证：加速度与速度同号时，质点作加速运动；加速度与速度反号时，作减速运动。是否可能存在这样的直线运动，质点速度逐渐增加但加速度却在减小？ 答： ,dt dv t v lim a x x 0 t x =??=→?加速度与速度同号时，就是说,0a ,0v 0a ,0v x x x x <<>>或以0a ,0v x x >>为例， 速度为正表示速度的方向与x 轴正向相同，加速度为正表示速度的
增量为正， t t ?+时刻的速度大于t 时刻的速度，质点作加速运动。 同理可说明 ,0a ,0v x x <<质点作加速运动。 质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小是可能存在的。例如初速度为x 0v ，加速度为 t 6a x -=，速度为 2 0t 0x 0x t 2 1t 6v dt )t 6(v v -+=-+=?， ,0v ,0a 6t x x >><时，速度逐渐增加。 2.5设质点直线运动时瞬时加速度=x a 常量，试证明在任意相等的 时间间隔内的平均加速度相等。 答：平均加速度 121 x 2x x t t v v a --= 由瞬时加速度 , dt a dv ,dt a dv ,dt dv a 2 1 2 x 1 x t t x v v x x x x x ??=== 得， 121x 2x x t t v v a --=，=x a 常量，即121 x 2x x t t v v a --= 为常 量。 2.6在参照系一定的条件下，质点运动的初始条件的具体形式是否与计时起点和坐标系的选择有关？ 答：有关。 例子，以地面为参照系，研究物体的自由下落。
第一章 __________ 学号 ____________《大学物理Ⅰ》答题纸姓名 第一章质点运动学 : 选择题一. B时，=0曲线如图所示，如tx轴作直线运动，其v?t ］1、[基础训练2]一质点沿［则t=4.5 s时，质点在x轴上的位置为质点位于坐标原点，(m/s)v (B) 2m．(A) 5m． (D) ?2 m．(C) 0． 5 m. (E) ?2v-t轴上的位置即为这段时间内【提示】质点在 x12.54.5(s)t图曲线下的面积的代数和。O43211?s4.5 ?)2(m1?2?2?2?(2?1)?x?vdt?(1?2.5)?0 D v r a表示[］2、基础训练4] 质点作曲线运动，表示速度，［表示位置矢量， a表示切向加速度分量，下列表达式中，加速度，s表示路程，t v?dtd t?adr/d v/，(2) ， (1) a?d v/dt v t?ds/d ，(3) (4) ．t(4)(1)、是对的．(B) 只有(2)、(4)是对的．(A) 只有只有(3)是对 的．(D) (C) 只有(2)是对的．v dds v??a即可判断。【提示】根据定义式，t tdd t A。1 km两个码头，相距5] 一条河在某一段直线岸边同侧有A、［B ］3、[基础训练4 返回。甲划船前去，船相对河水的速度为，再立即由B甲、乙两人需要从码头A到码头B，则到B．如河水流速为2 km/h, 方向从Akm/h；而乙沿岸步行，步行速度也为4 km/h 甲和乙同时回到A．A．(B) (A) 甲比乙晚10分钟回到A．(D) 甲比乙早2分钟回到A．甲 ???? 比乙早(C) 10分钟回到21km1km 【提示】甲：；) (?h??t?t?t AA?甲BB?3/2hkm/hkm424??11km?22t?t?t?t??(h)乙：；B乙AA?B?AB?24hkm/1?tt??10 (min)?t? (h)∴乙甲6 B 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为[自测提高2]］4、
第二章质点运动学 习题解答 2.1.1质点的运动学方程为 (1)；(2) 求质点的运动轨迹并用图表示。 解: （1） 则 轨迹为 y =5 的直线 （2 ） 则轨迹为 2.1.2质点运动学方程为(1).求质点轨迹。（2）求自t= -1至t= 1质点的位移。 解： （1） z=2 则xy=1 z=2即为轨迹 z=2 平面上的双曲线
（2）t=-1时， z=2 t=1时，，， 则位移 2.1.3质点的运动学方程为。 (1)求质点的轨迹。（2）求自t=0至t=1质点的位移。 解： （1） 轨迹为 （2）时 时 则 大小 方向与x轴夹角为26o36′ 2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为，度。
0.75S 后测得, 度,、均在铅直平面内。求飞机瞬时 速率的近似值和飞行方向(α角)。 解： 瞬时速率 飞行方向：由, 2.2.2一小圆柱体沿岸抛物线轨道运动,抛物线轨道为(长度:mm)。第一次观察到圆柱体在x=249米处,经过时间2ms后圆柱体移到x=234米处。求圆柱体瞬时速度的近似值。 解：由轨迹方程， ， ,， 瞬时速度的方向： 2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐,离演奏者17米，另一人在广州听同一演秦的转播,广州离北京2320km,收听者离收音机2米,问谁先听到声音?声速为340m/s。电磁波的传播速率为30万km/s。 解：
在广州的听众先听到。 2.2.5火车进入弯道时减速,最初列车向北以90km/h.速率行驶,3min后以70km/h速率向北偏西30度方向行驶.求列车的平均加求速度。 解： 方向：（正南 偏西） 2.2.6 (1) ,R为正常数.求（1）t=0,π/2时的速度和加速度。 (2).求t=0,1时的速度和加速度.(写出正交分解式)。 解：由 （1） t = 0 时，
普通物理
黄 武 英
第二章
一.牛顿第一定律
质点动力学
三.牛顿第三定律
§2.1 牛顿定律
二.牛顿第二定律
§2.2 常见的力
一.万有引力 五.四种基本力 二.重力 三.弹力 四.摩擦力
牛顿定律应用举例
§2.3 单位制和量纲 §2.4 动量定理和动量守恒定律 §2.5 动能定理和功能原理 §2.6 能量守恒定律 §2.7 角动量定理和角动量守恒定律
物理与电子信息学院
§2.4 动量定理和动量守恒定律
一、质点的动量定理 二、动量定理的应用 三、质点系的动量定理 四、质心运动定理 五、质点系的动量守恒定律 六、变质量物体的运动方程
§2.5 动能定理和功能原理
一、动能及功的定义 三、功率 五、保守力和非保守力 六、质点的功能原理 七、质点系的动能定理和功能原理 二、动能定理
四、功的计算举例
§2.6 能量守恒定律
一、机械能守恒定律 二、守恒定律(机械能与动量) 的综合应用 三、能量转化及守恒定律 四、碰撞
§2.7角动量守恒定律
一、力矩 二、角动量 三、角动量守恒定律
四、动能定理
K rb G K 2 2 1 Wab = ∫K f ? dr = 1 2 mVb ? 2 mVa
ra
本章小结 G G dp d (mv ) G 一、牛顿第二定律 = =F dt dt
二、质点系的动量定理
五、质点系的功能原理和机械能守恒定律
Ekb + E pb ? ( Eka + E pa ) = W外 + W非保守内力
则： E kb + E pb = E ka + E pa 六、角动量定理和角动量守恒定律 K K dL 角动量定理 M= G dt 若 M =0 （条件）
功能原理
若外力和非保守内力都不作功或所作的总功为零（条件） 机械能守恒定律
G I =
∫
t2
t1
G G G F合外 dt = ∑ mi vi (t 2 ) ? ∑ mi vi (t1 )
i i
三、质点系的动量守恒定律 若系统不受外力作用，或所受外力的矢量和为零（条件） n K K K K 则： ∑ miVi＝m1V1 + m2V2 + " mnVn = 恒量
i =1
G
则
dL =0 dt
G L = 常矢量
角动量守恒定律
第二章质点运动学（习题） 2.1.1 质点的运动学方程为 求质点轨迹并用图表示。 解:① . 轨迹方程为 y=5 ② 消去时间参量 t 得： 2.1.2 质点运动学方程为，（ 1 ） . 求质点的轨迹；（ 2 ） . 求自 t=-1 至 t=1 质点的位移。 解;① 消去 t 得轨迹： xy=1,z=2 ② , ,
2.1.3 质点运动学方程为，（ 1 ） . 求质点的轨迹；（ 2 ） . 求自 t=0 至t=1 质点的位移。 解:① . 消去 t 得轨迹方程 ② 2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为 ， 0.75s 后测得 均在铅直平面内。求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）。 解 :
代入数值得： 利用正弦定理可解出 2.2.2 一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为 （长度 mm ）。第一次观察到圆柱体在 x=249mm 处，经过时间 2ms 后圆柱体移到 x=234mm 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。 解:
2.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者 17m 。另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km ，收听者离收音机 2m ，问谁先听到声音？声速为 340m/s, 电磁波传播的速度为。 解 : 在广州的人先听到声音。 2.2.4 如果不允许你去航空公司问讯处，问你乘波音 747 飞机自北京不着陆飞行到巴黎，你能否估计大约用多少时间？如果能，试估计一下（自己找所需数据）。 解 : 2.2.5 火车进入弯道时减速，最初列车向正北以 90km/h 速率行驶， 3min 后以 70km/h 速率向北 偏西方向行驶。求列车的平均加速度。 解，
大学物理第一章质 点运动学 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第一章章节测试题 一、选择题（每小题3分，共计15分） 1．以下四种运动形式中，a 保持不变的运动是 （ ） (A) 单摆的运动 (B) 匀速率圆周运动 (C) 行星的椭圆轨道运动 (D) 抛体运动 2．一物体从某一确定高度以0v 的速度水平抛出，已知它落地时的速度为t v ， 那么它运动的时间是 （ ） (A) g t 0v v - (B) g t 20v v - (C) ()g t 2/120 2 v v - (D) ()g t 22/120 2 v v - 3．下列说法中，哪一个是正确的 （ ） (A) 一质点在某时刻的瞬时速度是2 m/s ，说明它在此后1 s 内一定要经过2 m 的路程 (B) 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大 (C) 物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零 (D) 物体加速度越大，则速度越大 4．一质点沿x 轴运动，其运动方程为2353x t t =-，其中t 以s 为单位。当t=2s 时，该质点正在 （ ） （A ）加速 （B ）减速 （C ）匀速 （D ） 静止 5．下列关于加速度的说法中错误的是 （ ） （A ）质点加速度方向恒定，但其速度的方向仍可能在不断的变化着 （B ）质点速度方向恒定，但加速度方向仍可能在不断的变化着 （C ）某时刻质点加速度的值很大，则该时刻质点速度的值也必定很大 （D ）质点作曲线运动时，其法向加速度一般不为零，但也有可能在某时刻法向加速度为零
二、填空题（每空2分，共计20分） 1．一辆作匀加速直线运动的汽车，在6 s 内通过相隔60 m 远的两点，已知汽车经过第二点时的速率为15 m/s ，则汽车通过第一点时的速率v 1 =______________。 2．质点沿半径为R 的圆周运动，运动学方程为 223t +=θ，则ｔ时刻质点的法向加速度大小为a n = 。 3．一质点沿x 方向运动，其加速度随时间变化关系为：a = 3+2 t ，如果初始时刻质点的速度v 0为5 m/s ，则当ｔ为3s 时，质点的速度 v = 。 4．已知质点的运动学方程为：j t t i t t r )3 14()2125(32++-+=，当t = 2 s 时，速度的大小=v ，加速度的大小a = 。 5．在x 轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为0v ，初始位置为x 0，加速度2Ct a =（其中C 为常量），则其速度与时间的关系为=v ，位置与时间的关系为x= 。 6．一质点从静止出发沿半径R =1 m 的圆周运动，其角加速度随时间t 的变化规律是β =12t 2-6t ，则质点的角速度ω =____________________。 7．已知质点的运动学方程为24t r = i +(2t +3)j ，则该质点的轨道方程为_______________。 8．一质点沿x 轴作直线运动，它的运动学方程为x =3+5t +6t 2-t 3 (SI)，则加速度为零时，该质点的速度=v __________________。 三、简答题（每题5分，共计25分） 1、分子的体积很小，所以可以看作质点，你认为这种说法对吗？为什么？ 2、质点运动过程中，其加速度为负值，则说明质点是减速运动的，你认为这种说法对吗？说明原因 3、一个质点在做匀速率圆周运动时，其切向加速度、法向加速度是否变化？ 4、瞬时速率是瞬时速度的大小，平均速率是平均速度的大小，这种说法对吗？举例说明
习 题 二 2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 [解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv (1) 由牛顿第二定律 t v m ma f d d == 即 t v m kv d d ==- 所以 t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0 d d 0 得 t m k v v -=0ln 因此 t m k e v v -=0 (2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 x v mv kv d d =- 所以 v x m k d d =- 对上式两边积分 ??=-00 0d d v s v x m k 得到 0v s m k -=- 即 k mv s 0 = 2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正 方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 t v m ma f F mg d d ==--
即 t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =-- 对上式两边积分 ??=--t v m t kv F mg v 00 d d 得 m kt F mg kv F mg -=---ln 即 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时 2 T kv mg = 即 k mg v = T 有牛顿第二定律 t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2= - 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21d d 00 2?? =- 得 m t v k mg v k mg = +-ln 整理得 T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-=
一. 选择题: ［ C ］1、[基础训练1]如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的 运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 【提示】如图建坐标系，设船离岸边x 米， 222l h x =+，22dl dx l x dt dt =， dx l dl dl dt x dt x dt ==，0dl v dt =-， 2 2 0dx h x v i v i dt +==- 2203v h dv dv dx a i dt dx dt x ==?=- 可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化。 ［ B ］2、[基础训练2]一质点沿x 轴作直线运动，其v -t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) -2 m ． (E) -5 m. 【提示】质点在x 轴上的位置即为这段时间内v-t 曲线下的面积的代数和。 4.50 (1 2.5)22(21)122()s x vdt m = =+?÷-+?÷=? ［ D ］3、[基础训练4] 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，s 表示路程，t a 表示切向加速度分量，下列表达式中， (1) a t = d /d v ， (2) v =t r d /d ， (3) d d /t =s v ， (4) t a t =d /d v ． (A) 只有(1)、(4)是对的． (B) 只有(2)、(4)是对的． (C) 只有(2)是对的． (D) 只有(3)是对的． 【提示】根据定义式d d t =s v ，d d t a t =v ，d d a a t ==v 即可判断。 ［ C ］4、[基础训练6]一飞机相对空气的速度大小为 200 km/h, 风速为56 km/h ，方向从西向东．地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h ，方向是 -12
第一章 质点运动学 1–1 描写质点运动状态的物理量是 。 解：加速度是描写质点状态变化的物理量，速度是描写质点运动状态的物理量，故填“速度”。 1–2 任意时刻a t =0的运动是 运动；任意时刻a n =0的运动是 运动；任意时刻a =0的运动是 运动；任意时刻a t =0，a n =常量的运动是 运动。 解：匀速率；直线；匀速直线；匀速圆周。 1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟，他能以与水平成30°角，其值为30m/s 的初速从一边起跳，刚好到达另一边，则可知此沟的宽度为 （)m/s 102=g 。 解：此沟的宽度为 m 345m 10 60sin 302sin 220=??==g R θv 1–4 一质点在xoy 平面运动，运动方程为t x 2=，229t y -=，位移的单位为m ，试写出s t 1=时质点的位置矢量__________；s t 2=时该质点的瞬时速度为__________，此时的瞬时加速度为__________。 解：将s t 1=代入t x 2=，229t y -=得 2=x m ，7=y m s t 1=故时质点的位置矢量为 j i r 72+=（m ） 由质点的运动方程为t x 2=，229t y -=得质点在任意时刻的速度为 m/s 2d d ==t x x v ，m/s 4d d t t x y -==v s t 2=时该质点的瞬时速度为 j i 82-=v （m/s ） 质点在任意时刻的加速度为 0d d ==t a x x v ，2m/s 4d d -==t a y y v s t 2=时该质点的瞬时加速度为j 4-m/s 2 。
第一章 《大学物理学》辅导答疑 质点运动学 ～3～ 第一章 质点运动学 一、教材系统的安排和教学目的 本章从如何描写质点的运动谈起引入描写平动的四个基本物理量：位置矢量、位移、速度和加速度，进而讨论常见的几种运动情况。关于直线运动，分别用数学公式和图线加以表示，着重阐明已知运动方程，可用微分法求出各时间内的位移、各个时刻的位置、速度和加速度；已知速度（或加速度）与时间的关系和初始条件，可用积分法求出位移公式和运动方程；以及研究质点运动问题的基本思路和步骤。关于平面曲线运动，着重阐明对曲线运动问题的处理方法，主要讲述直角坐标分析法和圆周运动自然坐标分析法。本章的教学目的是：使学生明确如何描写物体（质点）的运动，确切理解位置矢量、位移、速度和加速度概念，掌握匀变速直线运动和圆周运动的规律，以及研究运动学问题的思路和方法，为学习动力学打下良好的基础。 二、教学要求 1、理解描写质点运动的四个基本物理量。 （1）位置矢量是描写质点在空间中位置的物理量，是描写质点状态的一个参量。位置矢量是一个矢量，它具有矢量性；选取不同的参照系，以及在同一参照系中建立不同的坐标系，它的数值和方向是不同的，它的描述具有相对性；在质点运动过程中，位置矢量是随时间改变的，在各个时刻的大小和方向一般是不同的，它具有瞬时性。 （2）位移是描写质点在给定时间内位置变动的大小和方向的物理量，是个过程量。要明确它的矢量性和相对性，并明确位移与路程的区别。 （3）速度是描写质点位置变动的快慢和方向的物理量，是个状态量。要明确速度的瞬时性、矢量性和相对性的性质。 （4）加速度是描写质点运动速度变化快慢的物理量。要明确它的物理意义及其瞬时性、矢量性和相对性。 2、关于运动的图象（x-t 图，v-t 图）表示，要求学生明确图上每一点和每一条线都表示什么物理内容，并学会用x-t 图，v-t 图表示每种直线运动及位移、速度和加速度。 3、明确运动方程的物理内容，会由运动方程求位移、速度和加速度；由速度（或加速度）和初始条件求运动方程。 4、牢固掌握匀变速直线运动的速度公式和位移公式：v=v 0+at 和x-x 0=v 0t+(1/2)at 2。利用这两个公式的解题思路和步骤是： （1）根据题意，确定研究对象。同时，要明确研究对象的物理过程（即做什么运动），必要时，最好做一个草图； （2）选定坐标原点，建立坐标系（如果研究直线运动，就要规定正方向）； （3）根据运动过程的特征，列方程。有几个未知量，就是应列几个方程； （4）求解。必要时可进行分析、讨论 5、明确研究质点曲线运动的处理方法，并学会计算抛体运动和圆周运动的有关问题。平面曲线运动比直线运动要复杂些。作曲线运动的质点，不能用一个坐标的数值来描写它在空间中的位置，必须用两个坐标x,y 来描写。也可用另一种方法：从原点向质点所在位 置引有向线段 r ，如图1—1所示。 r 叫做位置矢量，简称为矢径。x,y 分别是位矢 r 在x,y
第二章质点运动学 思考题 质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动质点沿直线运动，其 位置矢量是否一定方向不变答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。质点沿直线运动, 质点位置矢量方向不一定不变。如图所示。 若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动答：质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作变速率直线运 动；速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。 “瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法是否正确如何正 确表述瞬时速度的定义我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测 量瞬时速度 答：“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确。因为瞬时速度与一定的时刻相对应。瞬时速度的定义是质点在t时刻的瞬时速度等于t至t+ △ t时间内平均速度r / t，当△ t-0时的极限，即卩 r dr v lim t 0t dt。很难直接测量，在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，测量可以达到很高
的精确度。 试就质点直线运动论证：加速度与速度同号时，质点作加速运动； 加速度与速度反号时，作减速运动。是否可能存在这样的直线运动, 质点速度逐渐增加但加速度却在减小 V x 0,a x 0或 V x Oa 0,以 V x 0,a x 0 为例， 速度为正表示速度 的方向与 x 轴正向相同，加速度为正表示速度的 增量为正，t t 时刻的速度 大于t 时刻的速度，质点作加速运动, 同理可说明 V x , a x 0 ,质点作加速运动。 质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小是可能存在 的。例如初速度为V 0x ，加速度为 a x 6 t ，速度为 t 1 2 V x v °x (6 t)dt v 。6t 2t t 6 时， a x , V x ,速度逐渐增加。 设质点直线运动时瞬时加速度 a x 间隔内的平均加速度相等。 常量，试证明在任意相等的时间 a x lim 丄 d- 答： 七0 t dt '加速度与速度同号时，就是说
第1章 质点运动学题目无答案 一、选择题 1. 一物体在位置1的矢径是 r 1, 速度是 v 1． 经?t 秒后到达位置2，其矢径是 r 2, 速度 是 v 2．则在?t 时间内的平均速度是 [ ] (A) )(2112v v - (B) )(2112v v + (C) t r r ?-12 (D) t r r ?+12 2. 一物体在位置1的速度是 v 1, 加速度是 a 1．经?t 秒后到达位置2，其速度是 v 2, 加 速度是 a 2．则在?t 时间内的平均加速度是 [ ] (A) )(112v v -?t (B) )(112v v +?t (C) )(2112a a - (D) )(2 112a a + 3. 关于加速度的物理意义, 下列说法正确的是 [ ] (A) 加速度是描述物体运动快慢的物理量 (B) 加速度是描述物体位移变化率的物理量 (C) 加速度是描述物体速度变化的物理量 (D) 加速度是描述物体速度变化率的物理量 4．运动方程表示质点的运动规律, 运动方程的特点是 [ ] (A) 绝对的, 与参考系的选择无关 (B) 只适用于惯性系 (C) 坐标系选定后, 方程的形式是唯一的 (D) 参考系改变, 方程的形式不一定改变 5. 竖直上抛的物体, 在t 1秒末时到达某一高度, t 2秒末再次通过该处，则该处的高度是 [ ] (A) 2121t gt (B) )(21 21t t g + (C) 2 21)(21t t g + (D) )(2 112t t g - 6. 一质点作曲线运动, 任一时刻的矢径为 r , 速度为 v , 则在?t 时间内 [ ] (A) v v ?=? (B) 平均速度为??r t (C) r r ?=? (D) 平均速度为t r ?? 7. 一质点作抛体运动, 忽略空气阻力, 在运动过程中, 该质点的t d d v 和t d d v 的变化情 T 1-1-1图 T 1-1-2图
第二章 质点运动学 思考题 2、1质点位置矢量方向不变,质点就是否作直线运动？质点沿直线运动,其位置矢量就是否一定方向不变？ 答:质点位置矢量方向不变,质点沿直线运动。质点沿直线运动,质点位置矢量方向不一定不变。如图所示。 2、2若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变,质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？ 答:质点的速度矢量的方向不变仅大小改变,质点作变速率直线运动;速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。 2、3“瞬时速度就就是很短时间内的平均速度”这一说法就是否正确？如何正确表述瞬时速度的定义？我们就是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？ 答:“瞬时速度就就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确。因为瞬时速度与一定的时刻相对应。瞬时速度的定义就是质点在t 时 刻的瞬时速度等于t 至t+△t 时间内平均速度t /r ??ρ ,当△t →0时 的极限,即 dt r d t r lim v 0t ρρρ = ??=→?。很难直接测量,在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度,随着技术的进步,测量可以达到很高的精确度。 2、4试就质点直线运动论证:加速度与速度同号时,质点作加速运动;加速度与速度反号时,作减速运动。就是否可能存在这样的直线运动,质点速度逐渐增加但加速度却在减小？ 答: ,dt dv t v lim a x x 0 t x =??=→?加速度与速度同号时,就就是说,0a ,0v 0a ,0v x x x x <<>>或以0a ,0v x x >>为例, 速度为正表示速度的方向与x 轴正向相同,加速度为正表示速度的增量为正,t t ?+时刻的速度大于t 时刻的速度,质点作加速运动。同 理可说明 ,0a ,0v x x <<质点作加速运动。 质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小就是可能存在
第2章质点动力学 一、质点： 是物体的理想模型。它只有质量而没有大小。平动物体可作为质点运动来处理，或物体的形状大小对物体运动状态的影响可忽略不计是也可近似为质点。 二、力： 是物体间的相互作用。分为接触作用与场作用。在经典力学中，场作用主要为万有引力（重力），接触作用主要为弹性力与摩擦力。 1、弹性力：（为形变量） 2、摩擦力：摩擦力的方向永远与相对运动方向（或趋势）相反。 固体间的静摩擦力：（最大值） 固体间的滑动摩擦力： 3、流体阻力：或。 4、万有引力： 特例：在地球引力场中，在地球表面附近：。 式中R为地球半径，M为地球质量。 在地球上方（较大），。 在地球内部（），。 三、惯性参考系中的力学规律牛顿三定律 牛顿第一定律：时，。牛顿第一定律阐明了惯性与力的概念，定义了
惯性系。 牛顿第二定律： 普遍形式：； 经典形式：（为恒量） 牛顿第三定律：。 牛顿运动定律是物体低速运动（）时所遵循的动力学基本规律，是经典力学的基础。 四、非惯性参考系中的力学规律 1、惯性力： 惯性力没有施力物体，因此它也不存在反作用力。但惯性力同样能改变物体相对于参考系 的运动状态，这体现了惯性力就是参考系的加速度效应。 2、引入惯性力后，非惯性系中力学规律： 五、求解动力学问题的主要步骤 恒力作用下的连接体约束运动：选取研究对象，分析运动趋势，画出隔离体示力图，列出 分量式的运动方程。 变力作用下的单质点运动：分析力函数，选取坐标系，列运动方程，用积分法求解。 第2章质点动力学 二、解题示例 【例2-1】如题图2-1a所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦
质点 动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α） 上以初速度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0=① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 由①、②式消去t ，得 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为常数.求物体升高到最高点 时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += y 分量：dt dV m KV mg =-- 即dt m KV mg dV 1-=+ mg K e KV mg K V t m K 1)(10-+=?-①
0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+=② ∵dt dy V = ∴Vdt dy = 021()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=????③ 0t t =时，max y y =， 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平 桌面，链子的一端由极小的一段长度被推出桌子边 缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌 面时的速度. 解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同， 沿链条方向，受力为 m xg l ，根据牛顿定律，有 图2-4 通过变量替换有 m dv xg mv l dx = 0,0x v ==，积分00 l v m xg mvdv l =?? 由上式可得链条刚离开桌面时的速度为v gl = 2-5 升降机内有两物体，质量分别为1m 和2m ，且2m ＝21m ．用 细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a ＝ 12 g 上升时，求：(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察1m 和 2m 的加速度各为多少? 解: 分别以1m ,2m 为研究对象，其受力图如图所示． (1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a '，则2m 对地加速
质点运动学 .选择题： : C ] 1、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中 的船向岸边运动?设该人以匀速率 v 0收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A)匀加速运动. (B)匀减速运动. (C)变加速运动. (D)变减速运动. (E)匀速直线运 动. 提示：如图建坐标系，设船离岸边 X 米, 可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化 提示：质点在x 轴上的位置即为这段时间内V-t 图 曲线下的面积的代数和。 4 ?5s x 二 vdt = (1 2.5) 2 2-(2 1) 1 2=2(m) [D : 3、一运动质点在某瞬时位于矢径 r x, y 的端点处，其速度大小为 (A ) d r dt (C ) dr dt (B) (D) d r dt /f d x^Jdy ^2 认 dt 丿idt 丿 2l dl =2x dX dt dt dx I dl x 2 h 2 dl dl dt x dt x dt (A) 5m . (B) 2m. (C) 0 . (D) -2 m. (E) -5 m. I 2 二 h 2 x 2 , 二 _v 0 4 dx ? J h 2 + x 2 4 dt dx dt x :B : 2、一质点沿x 轴作直线运动，其 v-t 曲线如图所示，如t=0时，质点位于 坐标原点，则t=4.5 s 时，质点在x 轴上的位 置为
:C :4、一飞机相对空气的速度 大小为 200 km/h,风速为56 km/h ，方向从 西向东.地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h ，方向是 (A)南偏西16.3°; (B)北偏东16.3°; (C)向正南或向正北； (D)西偏北16.3° ; (E)东偏南16.3 提示：根据三个速率的数值关系，以及伽利略速度变换式 v 机，地=盒痊气+V 空气，地，可以画出三个速度 之间的矢量关系，女口图所示 v 机庄气=200m/s, V 空气地 =56m/s, v 机，地 =192m/s ，根据余弦定理, 2 2 2 200 =56 192 -2 56 192cos 二，解得 cos*0，所以二=「. 2 [C ] 5、某物体的运动规律为dv/dt =-kv 2 t ，式 中的k 为大于零的常量.当t= 0 时，初速为 V 0,则速度v 与时间 t 的函数关系是 (A) v 」kt 2 v °. (B) v 兰一 ■- kt 2 v 2 2 1 kt 2 1 1 kt 2 1 (C)- + (D) + 5 — v 2 v ° v 2 v° :dv /dt = -kv ，分离变量并积分, v 0 dv ' /曰 1 kt 2 1 2 二-ktdt ，得 =——亠一 v v 0 v 2 v ° :B : 6、在相对地面静止的坐标系内， A 、B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船 沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向.今在 A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系 (x 、y 方向 单位矢用i 、j 表示)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度(以 m/s 为单位)为 提示: dt dy 扌 dt j ， dx2 dy 2 ,dt dt (A) 2 i + 2 j . (B) -2i + 2 j (C) — 2i — 2 j . (D) 2 i — 2 j
第1章 质点运动学 一、基本要求 1．理解描述质点运动的位矢、位移、速度、加速度等物理量意义； 2．熟练掌握质点运动学的两类问题：即用求导法由已知的运动学方程求速度和加速度，并会由已知的质点运动学方程求解位矢、位移、平均速度、平均加速度、轨迹方程；用积分法由已知的质点的速度或加速度求质点的运动学方程； 3．理解自然坐标系，理解圆周运动中角量和线量的关系，会计算质点做曲线运动的角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度和总加速度； 4．了解质点的相对运动问题。 二、基本内容 （一）本章重点和难点 重点：掌握质点运动学方程的物理意义，利用数学运算求解位矢、位移、速度、加速度、轨迹方程等。 难点：将矢量运算方法及微积分运算方法应用于运动学解题。（提示：矢量可以有黑体或箭头两种表示形式，教材中一般用黑体形式表示，学生平时作业及考试必须用箭头形式表示） （二）知识网络结构图 ? ?? ?? ??? ?? ? ??? ??? ?????? ?? ??相对运动 总加速度法向加速度切向加速度角加速度角速度曲线运动轨迹方程参数方程 位矢方程质点运动方程运动方程形式平均加速度加速度平均速度速度位移 位矢基本物理量,,,,:)(,,
（三）基本概念和规律 1．质点的位矢、位移、运动方程 （1）质点运动方程（)(t r ）：k t z j t y i t x t r )()()()(++=（描述质点运动的空间位置 与时间的关系式） （2）位矢（r ）：k z j y i x r ++= （3）位移（r ?）：k z j y i x r ?+?+?=? （注意位移r ?和路程s ?的区别，一般情况下：S r ?≠? ，r r r ??≠?或； 位移大小：()()222)(z y x r ?+?+?= ? ； 径向增量：2121212 2222212z y x z y x r r r r ++-++= -=?=? （4）参数方程：?? ? ??===)()() (t z z t y y t x x （5）轨迹方程：从参数方程中消去t ，得：0),,(=z y x F 2．速度和加速度 直角坐标系中