2.1函数的概念
（一）函数的概念
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．
记作： y=f(x)，x ∈A ．（y 就是x 在f 作用下的对应值）
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． （二）构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域 （三）区间的概念
函数概念
1、如下图可作为函数)(x f =的图像的是( )
A
B
C
D
2. 下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是
求函数定义域
（1）|
x |x 1
)x (f -=
（2）x
111)x (f +=
（3）5x 4x )x (f 2
+--=
（4）1
x x 4)x (f 2
--=
（5）10x 6x )x (f 2+-=
（6）13x x 1)x (f -++-=
（7）f ( x ) = (x －1) 0 （8）x
x x f -++=21
1)( （9）x
x f -=
11)(
（10）2()1f x x
=-
（11）
()1x f x x =
-
（12）
22
111x x y x -+-=
-
1、函数2
26y kx kx k =-++的定义域为R ，求k 的取值范围
2、函数
224
(21)x y x m x m -=
+++的定义域为R ，求m 的取值范围
判断两函数是否为同一函数
1、判断两个函数是否为同一函数，说明理由
（1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x （3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x
2、判断两个函数是否为同一函数，说明理由
（1）
(3)(5)
3x x y x +-=
+； 5y x =- （2）11y x x =-+； (1)(1)y x x =-+
（3）343y x x =-； 3
1y x x =- （4）11y x =+
； 11u v =+
x y O x
y O x
y
O
x
y
O x
y
O x
y
O
x
y
O
O
y
x
A.
B.
C.
D.
求函数解析式
（1）代入法
1、 已知函数2
()1f x x =-,求()f x -，(1)f x +
2、 已知函数)31(12)(≤≤+=x x x f ，则 （ ）
A ．)1(-x f =)20(22≤≤+x x
B ． )1(-x f =)42(12≤≤-x x
C ． )1(-x f =)20(22≤≤-x x
D ． )1(-x f =)42(12≤≤+-x x
3、 已知2
()f x x m =+，()(())g x f f x =，求()g x 的解析式。
（2）换元法
1、已知2
(1)f x x +=，求()f x ；
2、已知函数2
(1)f x x +=，求()f x
3、 若
1()1x f x x =
-,求().f x 4、若(1)2f x x x +=+,求().f x
5. 已知?(x +1)=x+1，则函数?(x)的解析式为
A.?(x)=x 2
B.?(x)=x 2+1
C.?(x)=x 2-2x+2
D.?(x)=x 2-2x
6．已知2
)1(x x f =-，则()f x 的表达式为
（ ）
A ．2
()21f x x x =++ B ．2
()21f x x x =-+ C ．2
()21f x x x =+- D ．2
()21f x x x =-- 9、设函数()21f x x =+，则方程(21)f x x +=的解为
7. 已知)0(1)21(2
2≠-=-x x x x f ，则
)21
(f 的值为____________________。 8．已知f (2x －1)＝x 2，则f (5)＝______．
（3）待定系数法
1、若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = _________________.
2、已知
()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；
分段函数
函数图像
1. 已知函数解析法可表示为[][],0,12,1,2x x y x x ?∈?=?-∈??
，用图像表示这个函数。 2. 把下列函数分区间表示，并作出函数的图像
（1）1||y x =- （2）3||y x =+ （3）|1||4|y x x =-++
（4）
2
2
2(03)
()6(20)
x x x f x x x x ?-≤≤?=?+-≤≤?? （5）???≤，＜，＋)2(2)2(22x x x x （6）2
2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +-??=-<
1,1,x x y x x x x ?
?+∈-∞-?
=+∈-???-∈+∞?
求函数值
1. 作函数2,10
,01,12
x x y x x x x --<
=≤
的图像，并求11(0.8),(),()23f f f -
2、设函数3,(10)
()((5)),(10)x x f x f f x x -≥?=?
+
，则(5)f ＝_____
3、已知函数()(
)()3,10,
,85,10,x x f x x N f f f x x -≥??=∈=?
+
（ ）
Ａ．２
Ｂ．４
Ｃ．６
Ｄ．７
4、已知()()()1,13,1x x f x x x +≤??=?-+>??，那么12f f ??
?? ???????
的值是 （ ） A.
2
5 B.
2
3
C.
2
9
D. 2
1-
5.已知f （x ）=??
?
??<=π>+)0x (0)0x ()0x (1x ，则f [f （－2）]＝________________.
6、已知，则()(){}
2,0,
,0,30,0.x x f x x f f f x π?>?
==-??????
那么的值等于
（ ）
Ａ．０
Ｂ．π
Ｃ．2
x
Ｄ．９
7. 定义在R 上的函数()f x 满足12
,0,
()(1)(2),0.
x
x f x f x f x x -?≤=?
--->?则(1)f -=______，
(33)f =______．
给出函数值求自变量的值
1、设函数f （x ）＝???≤，＜，
＋)2(2)2(22x x x x 则f （－4）＝____，又知f （0x ）＝8，则0x ＝____
2、设2
2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +-??=-<
3、函数y =??
?
??>+≤<+≤+1)( 5-1),(0
30),(
32x x x x x x 的最大值是_______. 4. 已知??
?
??+=2
1)(x x x f π ),0(),0(),0(<=>x x x 如果3)(0=x f ，那么=0x ____________。
5．已知函数???=x
x x f 4)(2 )1()
1(>≤x x 若9)(=x f ，则x = .
6、设函数2
(1).(1)
()4 1.(1)
x x f x x x ?+
7、 已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?
-
，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________
8、 已知?
??
<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式4
)2()12(≤+++x f x x 的解集是
函数单调性
单调性概念考察
1. 若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ）
（A ）必是增函数 （B ）必是减函数 （C ）是增函数或是减函数（D ）无法确定增减性 2．函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（ ） A ．)()(21x f x f < B ．)()(21x f x f > C ．)()(21x f x f =
D ．无法确定
3．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (2m ＋1)＞f (3m －4)，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，5)
B ．(5，＋∞)
C ．),5
3
(+∞
D ．)5
3,(-∞
4．函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()
f x 在),(b a 上是( )
（A ）增函数 （B ）减函数 （C ）奇函数 （D ）偶函数
5. 函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4
3
(f 的大小关系是______。 6．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 7．当
时，函数
的值有正也有负，则实数a 的取值范围是 （）
A ．
B ．
C ．
D ．
8. 已知函数f (x )在其定义域D 上是单调函数，其值域为M ，则下列说法中
①若x 0∈D ，则有唯一的f (x 0)∈M ②若f (x 0)∈M ，则有唯一的x 0∈D
③对任意实数a ，至少存在一个x 0∈D ，使得f (x 0)＝a ④对任意实数a ，至多存在一个x 0∈D ，使得f (x 0)＝a 错误的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )
10．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．
11. 已知：f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1) 常见函数单调性结论 1．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1 ≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 2. 函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则下列一定是y ＝f (x )＋5的递增区间的是( ) A ．(3，8) B ．(－2，3) C ．(－3，－2) D ．(0，5) 4、下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3. 下列函数中,在区间 上为增函数的是( ). A ． B ． C ． D ． 4. 在区间)0,(-∞上为增函数的是 （ ） A ．1=y B ． 21+-= x x y C ．122 ---=x x y D ．2 1x y += 5．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y = x 2 D ．y =2x 2＋x ＋1 6. 函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 7．函数y =-|x |在[a ，+∞)上是减函数，则a 的取值范围是 8．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 9．若函数y ＝ax 和x b y -=在区间(0，＋∞)上都是减函数，则函数1+=x a b y 在(－∞，＋∞)上的单 调性是______(填增函数或减函数或非单调函数)． 10. 函数f (x )=1-1 x 的单调递增区间是 11. 函数y =- 1 x -2 的单调区间是（ ） A 、R B 、（-∞，0） C 、（-∞，2），（2，+∞） D 、（-∞，2）?（2，+∞） 12．函数y =(x －1)- 2的减区间是___ _．(1，＋∞) 13．函数f (x )=21 ++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．( 2 1 ，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 14.函数f (x )＝2x 2 －mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 15．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ C ．]1,(),,0[-∞+∞ D. ),1[),,0[+∞+∞ 16．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1) 等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 17． 在 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。 A ． B ． C ． D ． 18. 函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．??? ? ? -∞-21, 19. 已知 5)2(22 +-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ） A ． 2a ≤- B ．2a ≥- C ．6-≥a D ．6-≤a 20.函数142+--=mx x y 在[2,)+∞上是减函数，则m 的取值范围是 。 21. 函数c bx x y ++=2 ))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 （ ） A ．2-≥b B ．2-≤b C ．2->b D ． 2- 22．如果二次函数()()2 15f x x a x =--+在区间1,12?? ??? 上是增函数，求()2f 的取值 23. 已知函数2 ()22,[5,5].f x x ax x =++∈- （1）当1a =-时，求函数的最大值和最小值； （2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[5,5]-上是单调函数。 24. 函数y =-a 2005 x 2在(0，+∞)上是减函数，则a 的取值范围是 25. 已知函数f (x )=k x 2-2x -4在[5，20]上是单调函数，求实数k 的取值范围。 26. 已知函数f (x )=ax 2 -2ax +3-b (a ≠0)在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值。 分段函数的单调性 1．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间 [1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 2．若函数???<-≥+=)1(1) 1(1)(2x ax x x x f 在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围是______． 考点 3. 求函数|1||24|y x x =-++的单调区间 4．作出函数()21y x x =-+的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间． 5、函数||2 x x y +-=，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 . 6. 函数1)(2-=x x f 的单调递减区间为______________________________。 复合函数单调性 1. 求函数 223y x x =--+的单调区间 2. 求函数2()6f x x x = +-的单调区间 3. 讨论函数2()1f x x =-的单调性. 4．求函数 的单调递减区间. 5. 函数y= 322-+x x 的递减区间是 6、函数y=234x x --的单调递增区间为________ 7、函数21 22y x x = -+的单调递增区间为________ 8. 已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是 A.0 B.0≤m ≤1 C.m ≥4 D.0≤m ≤4 抽象函数求单调性 1．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 2．已知)(x f 的递增区间为]3,1[-，求函数)1(+x f 得单调递减区间. 3已知)2-(x f 的递减区间是），（12-，求函数)(x f 的递减区间 4. 设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间． 5用单调性证明函数 2 ()f x x x =- 在区间(0,)+∞上是增函数 函数求最值 1、函数23,[1,3]y x x =+∈-的值域为_____________. 2、已知函数()23{|15}f x x x x N x =-∈∈≤≤，则函数的值域为＿＿＿＿＿＿＿ 3、已知函数f (x )＝3x ＋b 在区间[－1，2]上的函数值恒为正，则b 的取值范围是_____． 6、求函数的最大最小值，2 23y x x =+- [1,5] x ∈- 7、12)(2 ++=x x x f ，]2,2[-∈x 的最大值是 8、求函数()2 11y x x x =--≤≤的最大值，最小值． 9. 若 x 为实数，则y ＝x 2 ＋3x －5的值域为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．[－7，＋∞) D ．[－5，＋∞) 4、函数y =3 x+2 (x ≠-2)在区间[0，5]上的最大（小）值分别为（ ） A 、37 ,0 B 、32 ,0 C 、32 ,37 D 、3 7 ,无最小值 5、求函数1 2 -=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值 10. 函数2422-+=x x y 的单调递减区间是________． 11．求函数12++= x x y 的值域。 12．求函数224y x x =--+的值域 13．求函数2 1()223 f x x x = + -+的值域 14、求函数2322y x x =--+的最大值 当[0,1]x ∈时，求函数2 2 ()(26)3f x x a x a =+-+的最小值 15、函数])2,1[(1 2∈- =x x x y 的值域是______． 16、求下列函数的值域： （1）2 32,y x x x R =-+∈ （2）y=5+21+x (x ≥1). 17、函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 18、 已知x ∈[0，1]，则函数 的最大值为_______最小值为_________ 19、函数1y x x =++的值域为_____________________. 20、 2 ()22f x x a x =++在区间[1，3]上大于0恒成立，求a 的取值范围 21. 当)4 1,0(∈x 时，函数x x y 2 1-=的最小值为________． 22．函数4 ()([3,6])2 f x x x = ∈-的值域为____________。 23．求下列函数的值域 （1）x x y -+=43 （2）3 4252 +-=x x y （3）x x y --=21 24．函数2 22(03) ()6(20) x x x f x x x x ?-≤≤?=?+-≤≤??的值域是（ ） A ．R B ．[)9,-+∞ C ．[]8,1- D ．[]9,1- 25．利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域； 26．函数21y x x =++的值域是________________。 27．已知[0,1]x ∈，则函数21y x x =+--的值域是 . 28. 求232-+ -=x x y 的值域． y ∈[1，＋∞)． 29、1 122+-=x x y 的值域为( ) A ．[－1，1] B ．(－1，1] C ．[－1，1) D ．(－1，1) x x y --+=122 30．求函数1 3 222 2 +-+-= x x x x y 的值域。 31.66522 -++-= x x x x y 的值域为________．1|{=/ ∈y y R 且}5 1 -=/y 32．当]1,0[∈x 时，求函数2 2 3)62()(a x a x x f +-+=的最小值。 33．已知2 2 ()444f x x ax a a =-+--在区间[]0,1内有一最大值5-，求a 的值. 34. 求函数值域： ① 2 23y x x =+- [1,5]x ∈- ② 423x y x += + 3 [,5]2 x ∈- ③ 2245 23 x x y x x +-=++ ④ 2 245 23 x x y x x +-= ++ [1,3] x ∈- ⑤ 247 1 x x y x ++=+ [1,3] x ∈ ⑥ 2 25 346 x y x x +=++ 函数奇偶性 奇偶性概念考察 1、下面四个结论中，正确命题的个数是( ) ①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2、下列判断正确的是（ ） A.定义在R 上的函数f(x)，若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2)，则f(x)是偶函数； B.定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则f(x)在R 上不是减函数； C.定义在R 上的函数f(x)在区间(,0]-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数，则f(x)在R 上是减函数； D.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个。 3、对于定义域为R 的任意奇函数f(x)一定有( ) A ．f(x)－f(－x)＞0 B ．f(x)－f(－x)≤0 C ．f(x)·f(－x)＜0 D ．f(x)·f(－x)≤0 4、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( ) （A ）0)()(=+-x f x f （B ）)(2)()(x f x f x f -=-- （C ）)(x f ·)(x f -≤0 （D ）1 )() (-=-x f x f 判断函数奇偶性 1．下列函数中： ①y ＝x 2(x ∈[－1，1])； ②y ＝｜x ｜； ;1 )(x x x f +=③ ④y ＝x 3(x ∈R )， 奇函数的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2. 下列函数中是偶函数的是（ ） A 、y =x 4 (x <0) B 、y =|x +1| C 、y =2 x 2+1 D 、y =3x -1 3．判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f -+-=11)( (2)2211)(x x x f -+-= （3）x x y 2112-+-= （4）?? ? ??<--=>+=)0(2)0(0) 0(222x x x x x y （5）2 |4|49x y x --= - （6）? ? ?<+≥-=)0(1) 0(1)(x x x x x f （7）1 22)(2++=x x x x f ； （8） a x f =)( （R x ∈） （9）???+-=)1()1()(x x x x x f . 0, 0<≥x x （10）22()33f x x x =-+- （11）1+x f(x)=(x-1)1-x （12）22x (0) f(x)=x (0) x x x x ?+?? （13）|1||1|y x x =-++ 4、若f (x )是偶函数，则=--+ )2 11( )21(f f ______． 5、下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 （A ）2x y =（B ）2y x x =-（C ）2y x =（D ）3 y x = 6.已知函数(1)() ()x x b f x x ++=的图象关于原点对称，则b =________________．-1 奇偶函数四则运算性质 1、判断下列函数的奇偶性 (1)241 3)(x x x f += (2)x x y 1 3 += （3）x x y +=4 （4） x x x f 2)(3-=； （5）2 ||1y x x =-+ （6）1|| y x x =- 2、函数px x x y +=||，R x ∈是 （ ） A ．偶函数 B ．奇函数 C ．不具有奇偶函数 D ．与p 有关 3．已知函数2 ()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)f x x -<的解集为 _____．0，{|12}x x <<； 4、若3)3()2()(2 +-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间？ 5、已知函数)0()(2 3 ≠++=a cx bx ax x f 是偶函数，判cx bx ax x g ++=2 3 )(的奇偶性。 6、已知函数3x )1m (x )2m ()x (f 2 +-+-=是偶函数，求该函数的最大值并写出它的单调递增区间。 7、若函数2()(1)3f x kx k x =+++ 是偶函数，则()f x 的递减区间是 8、若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a= 利用函数奇偶性求解函数解析式 1、设f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x 3)，那么当x ∈(－∞，0]时，f (x )＝______． 2、已知f （x ）的定义域为R ，当(0,)x ∈+∞时，()(12)x f x x =+，若f （x ）为奇（偶）函数，求f （x ）的解析式 3、函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+= x x x f ，则当0 4、已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )=x (1+x );当x <0时，f (x )=( ) A 、-x (1-x ) B 、x (1-x ) C 、-x (1+x ) D 、x (1+x ) 5、 已知函数()f x 是偶函数，且0x ≤时，()1.1x f x x += -．求 (1) ()5f 的值，(2) ()0f x =时x 的值；(3)当x >0时，()f x 的解析式 部分函数奇偶性解题 1、已知8)(32005 -- +=x b ax x x f ，10)2(=-f ，求)2(f . 2、已知函数f (x )=x 7+ax 5+bx -5，若f (-100)=8,那么f (100)=( ) A 、-18 B 、-20 C 、-8 D 、8 3、已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)＝_______． 4、设函数3 ()21f x ax bx =+-，且(1)3f -=，则(1)f =______ 题型六、函数单调性与奇偶性考察 1、设奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，且f(3)=5,则f(x)在区间[―7，―3]上应有最___值为_________ 2、已知()f x 是定义(),-∞+∞上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数．下列关系式中正确的是 ( ) Ａ．()()55f f >- Ｂ．()()43f f > Ｃ．()()22f f -> Ｄ．()()88f f -≥ 3、 设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ],0[+∞∈时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（ ） （A ）f (π)>f (-3)>f (-2) （B ）f (π)>f (-2)>f (-3) （C ）f (π) 4、 如果奇函数f (x )在[2，5]上是减函数，且最小值是-5，那么f (x )在[-5,-2]上的最大值为 5、如果偶函数在],[b a 具有最大值，那么该函数在],[a b --有 （ ） A ．最大值 B ．最小值 C ．没有最大值 D ． 没有最小值 6、 函数f (x )是定义在区间[-5，5]上的偶函数，且f (1) 7、设函数()f x 是R 上的偶函数，且在(,0)-∞上是减函数，若()(1)f a f >，则实数a 的取值范围 8、已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围为 。 9、定义在[-1，1]上的减函数y=f(x)是奇函数。若f(a 2-a-1)+f(4a-5)>0,求实数a 的取值范围 10、设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，则f (－2)与f (a 2－2a ＋3)(a ∈R )的大小 关系是______． 11、下列命题中， ①函数x y 1 = 是奇函数，且在其定义域内为减函数； ②函数y ＝3x (x －1)0是奇函数，且在其定义域内为增函数； ③函数y ＝x 2是偶函数，且在(－3，0)上为减函数； ④函数y ＝ax 2＋c (ac ≠0)是偶函数，且在(0，2)上为增函数； 真命题是______． 12、已知函数 f(x)为偶函数，在（0,+)∞上为减函数，若f()2 1 ﹥0﹥f(3)，则方程f(x)＝ 0的根的个数是 （ ） A 2 B 2或1 C 3 D 2或3 13、定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)2()6(a f a f <-，则a 的取值范围是如何？ 14、 设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式()0 式 ()() 0f x f x x --<的解集为（ ） A ．() ()2,02,-+∞ B ．() (),20,2-∞- C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()()2,00,2- 16、已知偶函数()f x 在(0,)+∞上为减函数， 且(2)0f =，则不等式 ()() 0f x f x x +->的解集 为 ．() ()--202∞，， 。 17.奇函数f(x)在(,0)-∞上单调递增，若f(-1)=0,则不等式f(x)<0的解集是( ) A. (,1)(0,1)-∞- B. (,1)(1,)-∞-+∞ C. (1,0)(0,1)- D. (1,0)(1,)-+∞ 18、设f(x)是奇函数，且在区间（0，+∞）上是增函数，又f(－2)=0,求不等式f(x －1)<0的解集。 19、已知()y f x =是偶函数且图像与x 轴有四个交点，则方程()0f x =的所有实根之和= 20、已知()f x 定义在R 上，对任意,x y R ∈，有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，且(0)0f ≠ （1）求证：(0)1f = （2）求证：()y f x =是偶函数 21、已知函数()f x ，x R ∈，若对任意实数,a b ，都有()()()f a f b f a b +=+，求证：()f x 为奇函数。 22、已知函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数且 2 ()()2g x f x x x +=-+，求()f x ，()g x 的解析式 23、若函数()y f x =是定义在 R 上的奇函数，对任意,x y R ∈，恒有 ()()(),(3)f x y f x f y f m f +=+-=求 24、 函数 2()1ax b f x x += +是定义在(1,1)-上的奇函数，且12 ()25f = （1）确定函数()f x 的解析式 （2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上是奇函数 （3）解不等式(1)()0f t f t -+< 幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义 对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质 对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ； 过点（1，0），即当x =1，y =0； 在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小： （1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例4、设函数f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数； （2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围． 解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ． （2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）． 3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型 如： ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 常针对根号，举例： 令 ，原式转化为： ，再利用配方法。 ⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： )0(>+ =k x k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高中数学必修基本初等 函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y ＝x 叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质 解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝ 1 2 x 图象 定义域R R R{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函 数 单调性在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0]上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0)上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递减 在[0，＋ ∞)上单调 递增 定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y＝x 3 ；②y＝12x ?? ? ?? ；③y＝4x 2；④y＝x 5 ＋1；⑤y＝(x －1)2；⑥y＝x ；⑦y＝a x (a>1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝()2 2231m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y＝()2 2231m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 高中函数大题专练 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。 高中数学必修1《函数的应用》知识点(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,. 0.y f x a b p q y f x a b f a f b ????? ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()( )1 2121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ? 高中数学必修一幂函数 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高中数学必修一幂函数教案 教学目标： 知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点： 重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 问题引入． 索一般幂函数的图象规律． 教学过程与操作设计： 环节教学内容设计师生双边互动 组织探究 材料二：幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定 义，并且图象都过点（1，1）； （2）0 > α时，幂函数的图象通过原 点，并且在区间) ,0[+∞上是增函数．特别 地，当1 > α时，幂函数的图象下凸；当 1 0< <α时，幂函数的图象上凸； （3）0 < α时，幂函数的图象在区间 ) ,0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从 右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼 近y轴正半轴，当x趋于∞ +时，图象在x轴 上方无限地逼近x轴正半轴． 师：引导学生 观察图象，归纳概 括幂函数的的性质 及图象变化规律． 生：观察图 象，分组讨论，探 究幂函数的性质和 图象的变化规律， 并展示各自的结论 进行交流评析，并 填表． 探究与发现 1．如图所示，曲线 是幂函数αx y=在第一象 限内的图象，已知α分别 取2, 2 1 ,1,1 -四个值，则相 应图象依次 为：． 2．在同一坐标系内，作出下列函数的图 象，你能发现什么规律？ （1）3- =x y和3 1 - =x y； （2）4 5 x y=和5 4 x y=． 规律1：在第 一象限，作直线 )1 (> =a a x，它同 各幂函数图象相 交，按交点从下到 上的顺序，幂指数 按从小到大的顺序 排列． 规律2：幂指 数互为倒数的幂函 数在第一象限内的 图象关于直线x y= 对称． 作业回馈 1．在函数 1 , , 2 , 1 2 2 2 = + = = =y x x y x y x y中，幂函数的个数为： A．0 B．1 C．2 D．3 环节呈现教学材料师生互动设计2．已知幂函数) (x f y=的图象过点 )2 ,2(，试求出这个函数的解析式． 3．在固定压力差（压力差为常数）下， 当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管 道半径r的四次方成正比． （1）写出函数解析式； （2）若气体在半径为3cm的管道中，流 量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率R的表达式； （3）已知（2）中的气体通过的管道半 径为5cm，计算该气体的流量速率． 4．1992年底世界人口达到54．8亿， 若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人 口数为y（亿），写出： （1）1993年底、1994年底、2000年底 的世界人口数； （2）2008年底的世界人口数y与x的 函数解析式． 人教版高中数学必修一 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 指数函数、对数函数、幂函数综合 【学习目标】 1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算． 2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质． 4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理． 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质． 6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a≠1）． 【知识框图】 【要点梳理】 要点一：指数及指数幂的运算 1．根式的概念 a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈ 当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n 为偶数时，正数 的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0． n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 2．n 次方根的性质： （1）当n a =；当n ,0, ,0;a a a a a ≥?==? - )0,,,1m n a a m n N n =>∈>；()10,,,1m n m n a a m n N n a - = >∈> 要点诠释： 0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质： ()0,0,,a b r s Q >>∈ （1）r s r s a a a += （2）()r s rs a a = （3）()r r r ab a b = 要点二：指数函数及其性质 1．指数函数概念 一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2 必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数，且a=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. 典例分析 题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ） A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数： ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方； ③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2：区间的表示 例1：用区间表示下列集合 （1） }{1≥x x =_____________。 （2）}{42≤ 2.3 幂函数 整体设计 教学分析 幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究 y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x -1 ,y ＝x 2 1 等函数的性质和图象,让学生认识到 幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习. 将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x 2,y=x -1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径. 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 三维目标 1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣. 2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望. 3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力. 重点难点 教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1 1.如果张红购买了每千克1元的水果w 千克,那么她需要付的钱数p （元）和购买的水果量w （千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p 是w 的函数. 2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a 2,这里S 是a 的函数. 3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a 3,这里V 是a 的函数. 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高中数学学科测试试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（共__小题） 1．已知幂函数f（x）过点，则f（4）的值为（） A．B．1C．2D．8 答案：A 解析： 解：设幂函数f（x）=x a，x＞0， ∵幂函数f（x）过点， ∴，x＞0， ∴，∴， ∴f（4）==． 故选A． 2．幂函数y=（m2+2m-2）的图象过（0，0），则m的取值应是（）A．-3或1B．1C．-3D．0＜m＜4 答案：B 解析： 解：由幂函数的定义得：m2+2m-2=1，且-m2+4m＞0， 解得：m=1， 3．函数y= 的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 答案：C 解析： 解：∵函数y=的定义域是[0，+∞）， ∴排除选项A 和B ， 又∵，∴曲线应该是下凸型递增抛物线． 故选：C ． 幂函数y=x -1及直线y=x ，y=1，x=1将平面直角坐标系的第一 象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图象经过的“卦限”是（ ） A ．④⑦ B ．④⑧ C ．③⑧ D ．①⑤ 答案：D 解析： 解：取x=得∈（0，1），故在第⑤卦限； 再取x=2得∈（1，2），故在第①卦限 5．幂函数f（x）=xα的图象经过点，则的值为（） A．4B．3C．2D．1 答案：C 解析： 解：幂函数f（x）=xα的图象经过点，所以，∴ ∴ 故选C． 二．填空题（共__小题） 6．若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=______． 答案： 解析： 解析：设f（x）=xα，则有=3，解得2α=3，α=log23， ∴f（）= = = = =． 故答案为： 7．设，则使函数y=xα的定义域为R且为偶函数的所有的α值为______．答案：，2 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,.0.y f x a b p q y f x a b f a f b ????? ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()()12121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ? §2.3幂函数 教学目标： 知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性． 教学重点： 重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 问题引入． 幂函数的图象和性质． 教学过程与操作设计： 环节教学内容设计师生双边互动 创设情境 阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列 问题： 1．它们的对应法则分别是什么？ 2．以上问题中的函数有什么共同特征？ （答案） 1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4） 开方；（5）取倒数（或求－1次方）． 2．上述问题中涉及到的函数，都是形如αx y= 的函数，其中x是自变量，是α常数． 生：独立思考完成引 例． 师：引导学生分析归纳 概括得出结论． 师生：共同辨析这种新 函数与指数函数的异 同． 组织探究 材料一：幂函数定义及其图象． 一般地，形如 α x y=) (R a∈ 的函数称为幂函数，其中α为常数． 下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出下列函数的图象： （1）x y=；（2）2 1 x y=；（3）2x y=； （4）1- =x y；（5）3x y=． [解] ○1列表（略） ○2图象 师：说明： 幂函数的定义来 自于实践，它同指数函 数、对数函数一样，也 是基本初等函数，同样 也是一种“形式定义” 的函数，引导学生注意 辨析． 生：利用所学知识和方 法尝试作出五个具体 幂函数的图象，观察所 图象，体会幂函数的变 化规律． 师：引导学生应用画函 数的性质画图象，如： 定义域、奇偶性． 师生共同分析，强调画 图象易犯的错误． 环节教学内容设计师生双边互动 1.2函数及其表示 §1.2.1函数的概念 【教学目的】 1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域； 3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号； 4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点】 在对应的基础上理解函数的概念 【教学难点】 函数概念的理解 【教学过程】 一、复习引入 〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函 数的传统定义。 〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 〖提问〗问题1：y =1（x ∈R ）是函数吗？ 问题2：y =x 与y = x x 2 是同一函数吗？ 〖投影〗观察对应： 〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？ 二、讲授新课 函数的概念 （一）函数与映射 〖投影〗函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个 数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。 函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。 函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射. 如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解 (1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射B A f →: 函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等 函数的定义域和值域均为非空的数集 对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像 对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的值与之对应 对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像 对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应 函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 〖注意〗（1）函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f ：A →B 。这里A ，B 为非空的数集。 （2）A ：定义域，原象的集合；{)(x f |x ∈A}：值域，象的集合，其中{)(x f |x ∈A}?B ；f ：对应法则，x ∈A ，y ∈B （3）函数符号：y =)(x f ，y 是x 的函数，简记) (x f 〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域： 1、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：定义域R ，值域R 2、反比例函数)(x f = x k (k ≠0)：定义域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0} 3、二次函数)(x f =ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)：定义域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥a b a c 442 -｝； 函数部分难题汇总 1．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 2．为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ） A ．沿x 轴向右平移1个单位 B ．沿x 轴向右平移 1 2个单位 C ．沿x 轴向左平移1个单位 D ．沿x 轴向左平移1 2 个单位 3．设? ??<+≥-=)10()],6([) 10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ） A ．[]052 ， B. []-14， C. []-55， D. []-37， 5．函数x x x y += 的图象是（ ） 6．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()2 3(f f f <-<- B ．)2()2 3()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<- 幂函数（学案） 学习目标 1.理解幂函数的概念，能区分什么样的函数是幂函数； 2.体会幂函数在第一象限内的变化规律； 3.借助解析式研究幂函数的性质，并能根据性质作出幂函数的图象； 学法指导 自学课本108页——109页例1上方。 通过课本引例，体会幂函数在第一象限内的变化规律。 特别强调：指数决定曲线的趋势。 ; 自学检测 1.幂函数的定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α为常数. 注：幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，为“形式”定义。 练习1：判断下列函数哪些是幂函数 . ①1 y x =； ②22y x =； ③3y x x =-； ④1y = ； ⑤x 2.0y =；⑥5 1x y =； ⑦3x y -=； ⑧2x y -=. ` 练习2：已知某幂函数的图象经过点)2,2(，则这个函数的解析式为_________________ 练习3：函数3 22 )1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，求其解析式。 | 2.根据课本引例，你能总结出幂函数的图象在第一象限内的变化规律吗 （1）0<α<1时， （2） α=1时， （3） α>1时， ` （4） α<0时， 4.研究函数1 2 132x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的性质，完成下表： 课堂小结 幂函数的的性质及图象变化规律： （1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点 ； （2）0α>时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0,)+∞上是 （增、减）函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸； — （3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是 （增、减）函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（形状类似于x y 1 = 在第一象限的图象） 能力提升 求出下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性，并且作出简图。 （1） 32 x y =（2）23x y =（3）5 3x y =（4）0 x y =（5）3 2-=x y （6） 2 3x y - =（7）5 3- =x y 人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念： 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0=0。 注意：(1)n a = (2)当 n a = ，当 n ,0 ||,0a a a a a ≥?==?-∈>且 正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m n m n a a m n N n a *= >∈>且 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）(0,,)r s r s a a a a r s R +=>∈ （2）()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ （3）(b)(0,0,)r r r a a b a b r R =>>∈ 注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122 [(1]11≠ （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数x y a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a ≠1 2 注意： 指数增长模型：y=N(1+p)指数型函数： y=ka 3 考点：（1）a b =N, 当b>0时，a,N 在1的同侧；当b<0时，a,N 在1的 异侧。 （2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比 较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a 0)进行传递或者利用（1）的知识。 （3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 （4）分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a ，用x=1去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数：y=N(1+p)x 简写：y=ka x 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果x a N = ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作： log a x N = （ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式） 说明：1. 注意底数的限制，a>0且a ≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式． 2、两个重要对数： （1）常用对数：以10为底的对数, 10log lg N N 记为 ； （2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论：（1）负数和零没有对数 （2）log a a=1, log a 1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 (3) 对数恒等式：log N a a N = （二）对数的运算性质 如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有： 1、 log M N log log a a a M N ?=+（） 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 2 、N M N M a a a log log log -= 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差高中数学必修一幂函数及其性质
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