《等比数列》教学设计（共2课时）
一、教材分析：
1、内容简析：
本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。
2、教学目标确定：
从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）：
第一课时：
（1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导
（2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力
（3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识
第二课时：
（1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质
（2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用
3、教学重点与难点：
第一课时：
重点：等比数列的定义及通项公式
难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题
第二课时：
重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用
难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题
二、学情分析：
从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。
高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。
多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。
三、教法选择与学法指导：
由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握数列的相关知识。因此，在教法和学法上可做如下考虑：
1、教法：采用问题启发与比较探究式相结合的教学方法
教法构思如下：提出问题??????→?作用于原来的认知结构引发认知冲突???????→?析在原有认知的基础上分观察分析????→?在特殊情况下归纳概括???→?一般情况下得出结论???→?例题和练习
总结提高。在教师的精心组织下，对学生各种能力进行培养，并以促进学生发展，又以学生的发展带动其学习。同时，它也能促进学生学会如何学习，因而特别有利于培养学生的探索能力。
2、学法指导：
学生学习的目的在于学会学习、思考，达到创新的目的，掌握科学有效的学习方法，可增强学生的学习信心，培养其学习兴趣，提高学习效率，从而激发强烈的学习积极性。我考虑从以下几方面来进行学法指导：
（1） 把隐含在教材中的思想方法显化。如等比数列通项公式的推导体现了从特殊
到一般的方法。其通项公式11-=n n q a a 是以n 为字变量的函数，可利用函数
思想来解决数列有关问题。思想方法的显化对提高学生数学修养有帮助。
（2） 注重从科学方法论的高度指导学生的学习。通过提问、分析、解答、总结，
培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。训练逻辑思维的严密性和
深刻性的目的。
四、教学过程设计：
第一课时
1、创设情境，提出问题 （阅读本章引言并打出幻灯片）
情境1：本章引言内容
提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？
引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为：
1，2，,2,2,2432 ……，632 （1）
于是发明者要求的麦粒总数是 情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r ，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？
10000(1+r),100002)1(r +,100003)1(r +, (2)
情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？
,8
1,41,21…… （3） 问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得7)2
1( 2、自主探究，找出规律：
学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常??????2363
1+2+2+2++2
数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q )0(≠q 表示，即1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠。
如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r,
2
1 点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。
3、观察判断，分析总结：
观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理由，然后回答下面问题：
1，3，9，27，……
,8
1,41,21,1----…… 1，-2，4，-8，……
-1，-1，-1，-1，……
1，0，1，0，…… 思考：①公比q 能为0吗？为什么？首项能为0吗？
②公比1=q 是什么数列？
③0 q 数列递增吗？0 q 数列递减吗？
④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式：
这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。
选题分析；因为等差数列公差d 可以取任意实数，所以学生对公比q 往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况，以致于在不为具体数字（即为字母运算）时不会讨论以上两种情况，故给出问题以揭示学生对公比q 有防患意识，问题③是让学生明白0 q
时等比数列的单调性不定，而0 q 时数列为摆动数列，
要注意与等差数列的区别。 备选题：已知R x ∈则,,,32x x x ……n x ，……成等比数列的从要条件是什么？
4、观察猜想，求通项：
方法1：由定义知道,,,3134212312q a q a a q a q a a q a a =====……归纳得：等
比数列的通项公式为：11-=n n q a a )(*∈N n
（说明：推得结论的这一方法称为归纳法，不是公式的证明，要想对
这一方式的结论给出严格的证明，需在学习数学归纳法后完成，现阶
段我们只承认它是正确的就可以了）
方法2：迭代法
根据等比数列的定义有
23123n n n n a a q a q a q ---=?=?=?=……2121n n a q a q --=?=?
方法3：由递推关系式或定义写出：,,,342312q a a q a a q a a ===……q a a n n =-1
，通过观察发现???342312a a a a a a ……q q q a a n n ??=-1
……1-=n q q 11
-=∴n n q a a ，即：11-=n n q a a )(*∈N n （此证明方法称为“累商法”，在以后的数列证明中有重要应用） 公式11-=n n q a a )(*∈N n 的特征及结构分析：
（1） 公式中有四个基本量：n a q n a ,,,1，可“知三求一”，体现方程思想。
（2） 1a 的下标与的1-n q 上标之和n n =-+)1(1，恰是n a 的下标，即q 的指数比
项数少1。
5、问题探究：通项公式的应用
例、已知数列{}n a 是等比数列，64,283=-=a a ，求14a 的值。
备选题：已知数列{}n a 满足条件：n n p a )54(=，且25
44-=a 。求8a 的值 6、课堂演练：教材138页1、2题
备选题1：已知数列{}n a 为等比数列，4
5,106431=+=+a a a a ，求4a 的值 备选题2：公差不为0的等差数列{}n a 中，632,,a a a 依次成等比数列，
则公比等于
7、归纳总结：
（1）等比数列的定义，即11
n n a q a -=)0(≠q （2）等比数列的通项公式11-=n n q a a )(*∈N n 及推导过程。
8、课后作业：
必作：教材138页练习4；习题1（2）（4）2、3、4、5
选作：1、已知数列{}n a 为等比数列，且1231237,8a a a a a a ++==，求n a
2、已知数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+
（1）求证：{}1n a +是等比数列；。
（2）求{}n a 的通项n a 。
第二课时
1、复习回顾：
上节课，我们学习了……（打出幻灯片）
（1） 等比数列定义：1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠
（2） 通项公式：11-=n n q a a (,0)n N q *∈≠
（3）若11n n a n a n
--=，数列{}n a 是等比数列吗？111()n n n a a n --=?对不对？ （注意：考虑公比q 为常数）
2、尝试练习：
在等比数列{}n a 中
（1）2418,8a a ==，求1,a q
（2）514215,6,a a a a -=-=求n a
（3）在－2与－8之间插入一个数A ，使－2，A ，－8成等比数列，求A
（鼓励学生尝试用不同的方法求解，相互讨论分析不同的解法，然后归纳出等比数列的性质）
3、性质探究：
（1）若a,G,b 成等比数列，则2G ab =有，称G 为a,b 的等比中项，
即G =(a b 与同号）；
思考：2a 是谁的等比中项？3a 呢？n a 呢？
总结归纳得到性质（2）
（2）211(2)n n n a a a n -+=?≥
逆向思考：若数列{}n a 满足211(2)n n n a a a n -+=?≥，它一定是等比数列吗？
（3）若m n p q +=+，则(,,,m n p q a a a a m n p q ?=?为正整数）
（4）(,,)n m n m a a q n m n m N -*=?∈
4、灵活运用：
下面我们来看应用等比数列性质可以解决那些问题。
例1、 在等比数列{}n a 中，35100a a ?=，求4a
变式1、等比数列{}n a 中，若262,162a a ==，则10a =
变式2、等比数列{}n a 中，若7125a a ?=，则891011a a a a ???=
变式3、等比数列{}n a 中，若1231237,8a a a a a a ++=??=，则n a ＝
例2、 已知数列{}{},n n a b 是项数相同的等比数列，求证：{}n n a b ?是等比数列。
变式1、已知数列{}{},n n a b 是项数相同的等比数列，问数列{}n n a b +是等比数列吗？ 变式2、已知数列{}n a 是等比数列，若取出所有偶数项组成一个新数列，此数列还是等比数列
吗？若是，它的首项和公比分别为多少？
变式3、已知数列{}n a 是等比数列，若取出102030,,,a a a ……组成一个新数列，此数列还是等比
数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？
变式4、已知数列{}n a 是等比数列，若每一项乘以非零常数C 组成一个新数列，此数列还是等
比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？
（通过上述问题的讨论求解，归纳、总结、推广得出等比数列的一些性质）
例3、 三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积为64，求这三个数。
备选题、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求这
四个数。
5、课堂演练：
教材138页3、4、5
备选题：已知数列{}n a 为等比数列，且2435460,225n a a a a a a a ++=则35a a += 备选题：有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项
的和为18，求这四个数。
6、归纳总结：
（1）等比中项的概念
（2）等比数列有关性质
7、课后作业：
必作：教材139页习题6、7、10、11
选作：1、在数列{}{},n n a b 中，0,0n n a b ，且1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成
等比数列，1121,2,3a b a ===，求:n n a b 的值。
2、设2x y ，且,,,y x y x y x y x +-能按某种顺序构成等比数列，求这个等比数列。
第五届全国高中青年数学教师优秀课大赛 教学设计 课题: 等比数列 (第一课时) 执教人: 韩灵 单位: 山西省太原市育英中学
1.1.1 正弦定理 教学目标︰ 1、通过实例，理解等比数列的概念 通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型，使学生认识到这一类型数列也是现实世界中大量存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳等比数列的定义的过程。 2、 探索并掌握等比数列的通项公式 通过等差数列的通项公式的推导过程的类比，探索等比数列的通项公式，通过与指数函数的图象类比，探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数之间的关系。 3、 通过等比数列与指数函数的关系体会数列是一种特殊的函数。 教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一， 探索并掌握等比数列的通项公式。 教学难点：等比数列与其对应函数的关系。 教学过程： 一、 创设情境,引入新课 在前几节课中,我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义，今天我们就来学习另外一种特殊的数列，首先看实例1。 ● 实例分析1：在《数学3》(必修)中，我们认识了二进制数。它是一串由“0”和“1”构 成的数。计算机存储数据时就是以二进制数的形式储存的。计算机存储的最基本单位是“位(bit)”，每一位只能存储一个“0”或一个“1”，所以1个位可以存储0、1两种不同的信息.如果有2个位，就可以存储00、01、10、11四种不同的信息.我们记n 个位共能储存的不同信息 n a 种，写出{ n a }的前5项。 【老师】首先请一位同学读题，最后一句话说的是什么含义呢？老师引导学生分析本题的含义，并画出树状图形象的表示。 【学生】通过观察，分析，理解题意，从而得到{ n a }的前5项为2,4,8,16,32。 ① ● 实例分析2：公元前5至前3世纪，中国战国时，《庄子》一书中有“一尺之棰， 日取其半，万世不竭”的关于物质无限可分的观点。你能解释这个论述的含义吗？ 【学生】思考、讨论，用现代语言叙述。
《等比数列的前n项和》说课稿 各位老师，大家好，今天我要说课的内容是人教版高中数学必修5第二章第五节的《等比数列的前n项和》.我的说课主要分为下面六个过程来进行：教学理念、教材内容分析、教学目标及学情分析、教学的重难点分析、教学方法的分析、教学过程的设计. 一、教学理念 新的课程标准明确指出“数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质．”其含义就是：我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值． 因此，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变． 二、教材内容分析 在学习《等比数列前n项和公式》之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础.本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点. 从高中数学的整体内容来看，《数列》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着决定性的作用.首先：数列有着广泛的实际应用.例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等. 其次：数列有着承前启后的作用.数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础. 再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材.学习数列要经常观察、分析、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高. 三、教学目标及学情分析 作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识.以下是我的教学目标分析和学情分析： 1、教学目标分析 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，依据《课标》我制定了如下的教学目标： ［知识与技能］ 理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ［过程与方法］ 通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等
尊敬的各位评委各位老师： 大家好，我是高中数学组号考生，今天我说课的题目是《等比数列》。下面我将从说教材、说学情、说教学目标、说教学过程等几个方面来展开我的说课。 首先来说说教材。本课是北师大版高中数学必修5第1章第3.1节的内容。数列是中学数学的重要内容之一，它作为离散型函数是《函数》内容的延伸，也是数学归纳法、数列极限等后续课程的基础。此节课的主要学习任务是从生活实际出发，归纳总结出等比数列的定义，并在此基础上继续探究等比数列的通项公式。通过本课的学习，有利于学生进一步研究等比数列的性质及前n项和的推导以及应用。 基于以上教材地位以及新课标的要求，我确定了以下三维教学目标： 1、掌握等比数列的概念；理解等比数列的通项公式的推导过程；了解等比数列的函数特征，这是本课教学的重点。 2、通过对等比数列概念及通项公式推导的探究，培养学生观察、类比、归纳和猜想证明等发现规律的一般方法，使学生的思维能力得到锻炼，这也是本课教学的难点。 3、通过本节课的学习，激发学生对数学学习的兴趣，增进对数学学习的信心，培养勇于探索和善于发现的精神，体会学习的快乐。 数学课程标准倡导“合作、自主、探究”的学习方法。所以，本堂课的教学，我准备采用演示法、情境教学法、讨论分析法等。在学法上，我将以“把学习的主动权还给学生”为指导思想，采取领会法、
合作学习法、研究性学习法等。 为了完成既定的教学目标，解决教学重难点，课堂教学我将按照以下几个环节展开： 环节一：激趣导入，未成曲调先有情 上课伊始，我会以生动活泼的例子开始的我课程，为激发学生兴趣，我设计了如下导语： 上节课我们学习了数列的概念，请同学们观察下以下三个数列：1、1， 2，4，8，16，…；2、1，1 2， 1 4， 1 8， 1 16，…：3、1,3,9,27…看看 以上3个数列有什么共同特征。是不是从第二项起，后一项与前一项的比都等于同一个常数？下面请同学们跟随老师一起进入今天的数学探究：等比数列（板书）。 这样的设计意图通过情景知识，引发学生的认识冲突。并顺势引出课题。学生在教师引导带着问题去独立思考，能够快速进入学习状态。 环节二：引入新知，高屋建瓴勇探究 在这一环节，我首先让同学解答上一环节的问题。同学经过思考后不难回答：第一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都是2；第二个数列从第2项起，每一项与前一项的差都是1/2；第三个数列从第2项起，每一项与前一项的差都是3。此时提出以下问题：同学们能否总结出等比数列的定义？（板书），经学生思考后，由教师引导学生总结得到等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比
6-3等比数列 基础巩固强化 1.(文)(2011·北京朝阳一模)已知{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和，若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 5的值是( ) A.69 2 B ．69 C ．9 3 D ．189 [答案] C [解析] 由a 2a 4＝a 23＝144得a 3＝12(a 3＝－12舍去)， 又a 1＝3，各项均为正数，则q ＝2. 所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝3×(1－32)1－2 ＝93. (理)(2012·哈尔滨质检)已知等比数列{a n }中，a 5、a 95为方程x 2＋10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( ) A ．256 B ．±256 C ．64 D ．±64 [答案] D [解析] 由韦达定理可得a 5a 95＝16，由等比中项可得a 5a 95＝(a 50)2 ＝16，故a 50＝±4，则a 20a 50a 80＝(a 50)3＝(±4)3＝±64. 2．(2012·沈阳质检)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1、a ＋1、a ＋4，则该数列的通项a n ＝( ) A ．4×(2 3)n －1 B ．4×(2 3)n C ．4×(32)n D ．4×(32 )n －1 [答案] D [解析] 据前三项可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故等比数列的首项为4，q ＝a 2a 1＝3 2 ，