第六章动态电路§6-4 三要素法
全响应是由外施激励和动态元件的初始储能共同引起的响应。
如图所示电路中，电容C 在开关S 闭合前已充电，其电压为U 0。开关闭合后，电路中的响应是由直流电压源和电容的初始储能共同引起，故属全响应。
一、全响应
我们用经典法来分析计
算这个电路，首先以为u c 变
量，根据KVL 列出换路后的微分方程
S C C U u dt
du RC =+这是一个一阶常系数非齐次微分方程，它的解由特解和对应的齐次微分方程的通解组成，即C
u 'C
u ''C C
C u u u ''+'=满足非齐次微分方程的任一个解都可以作为特解，通常取换路后的稳态值作为该方程的特解，即
S C
U u ='
对应的齐次微分方程0=+C C u dt
du RC 的通解为τ-=''t C
Ae u 其中τ=RC 。因此τ-+=''+'=t S C C C Ae U u u u 将初始条件0)0()0(U u u C C ==-+代入上式，可求得
于是, 得u C 、u R 和i 为S
U U A -=0τ
--+=t S S C e U U U u )(0τ--=-=t S C S R e
U U u U u )(0τ
--==t S R e R U U R u i 0
的曲线如图所示；
0U S
u C
t
U 0
线如图所示：0
U S
u C
U 0
t
如U 0=U S ，电容在换路后既不充电也不放电，电路不发生过渡过程，u C 随时间变化的曲线如图所示：0U 0=U S
u C
t
二、一阶电路全响应的两种分解
全响应是由外施激励和动态元件的初始储能共同引起的响应。根据叠加定理，线性电路的全响应等于仅由动态元件的初始储能引起的零输入响应和仅由外施激励引起的零状态响应的叠加，即
全响应=零输入响应+零状态响应
用经典法求解一阶电路的全响应，建立的微分方程是一阶常系数非齐次微分方程，它的解由特解和对应的齐次微分方程的通解两部分组成。特解为换路后的稳态值，称为稳态分量。通解为一指数函数，随时间而衰减，最终趋于零，是一个暂时存在的分量，称为暂态分量。因此，全响应又等于稳态分量与暂态分量的叠加，即
全响应=稳态分量+暂态分量
换路后，既有稳态分量，又有暂态分量，电路进入过渡过程，等到暂态分量衰减为零时，只剩下稳态分量，过渡过程结束，进入新的稳态。暂态分量衰减越慢，过渡过程持续的时间越长。如果换路后，没有暂态分量，电路就不出现过渡过程，立即进入稳态。
把全响应分解为稳态分量与暂态分量，便于分析电路的工作状态。把全响应分解为零输入响应和零状态响应，便于分析响应与激励的因果关系。
因为一阶非齐次微分方程的解由特解和对应的齐次微分方程的通解组成，特解为换路后的稳态值，通解为一指数函数，所以一阶电路的响应
τ
-+'=''+'=t Ae
t f t f t f t f )()()()(常数A 由初始值确定：由A f f +'=++)0()0(得)
0()0(++'-=f f A 因此，一阶电路响应的一般表达式为
τ
-++'-+'=t e f f t f t f )]0()0([)()(三、一阶电路的三要素法
τ
-++'-+'=t e f f t f t f )]0()0([)()(只要求出稳态分量、初始值、时间常数这三要素，代入上式便可得到一阶电路的响应，这种方法称为三要素法。
在直流电源作用下，稳态分量和稳态分量的初始值是相同的，即
)
()0()(∞='='+f f t f 因此，直流一阶电路响应的一般表达式为
τ
-+∞-+∞=t e f f f t f )]()0([)()(
注意：
?三要素法仅适用于一阶线性电路。
?一阶电路的任何响应都具有上式的形式。?在同一个一阶电路中的各响应具有相同的时间常数。
τ
-++'-+'=t e
f f t f t f )]0()0([)()(
【例6-5】如图所示电路原已稳定，U S1=30V ，R 1=2kΩ，U S2=40V ，R 2=2kΩ，C=2uF 。试用三要素法求换路后的i 1、i 2和i 3。
解：（1）求初始值。
先求独立初始值
V
U u u S C C 30)0()0(1===-+然后画t=0+时刻的等效电路，再求相关初始值
020003030)0()0(111=-=-=++R u U i C S mA
A R u U i C S 5005.02000
3040)0()0(223==-=-=++mA
i i i 550)0()0()0(312=+=+=+++
（2）求稳态分量。
mA
A R R U U i S S 5.20025.02000
20004030)(21211-=-=+-=+-=∞0
)(2=∞i mA
i i 5.2)()(13=∞-=∞（3）求时间常数。把电容C 看作外电路，其余部分为一有源二端网络，等效电阻为
Ω=+?=+=10002000
2000200020002121R R R R R i s C R i 3
61021021000--?=??==τ
（4）把三要素代入一阶电路响应的一般表达式得
mA e
e i i i i t t )5.25.2()]()0([)(5001111-τ-++-=∞-+∞=mA e e
i i i i t t
50022225)]()0([)(-τ-+=∞-+∞=mA
e e e
i i i i t t t )5.25.2()5.25(5.2)]()0([)(5005003333--τ-++=-+=∞-+∞=
【例6-6】如图所示电路原已稳定，U S =60V ，R 1=200Ω，R 2=400Ω，R 3=80Ω，L=1H,C=4uF,试求换路后的u L 、i 1、i 3和i 4。
解此电路虽含两个动
态元件，但开关S 闭合
后，C 与R3串联的支路、
R2支路均被短路，L 与
C 互不影响，它们各自
形成独立的一阶电路。
我们把这两个一阶电路
分开进行计算。
（1）求初始值。先求独立初始值
A R R U i i S 1.0400
20060)0()0(2111=+=+==-+V R R R U u u S C C 40400400
20060)0()0(221=?+=+==-+
接着画出t=0+时刻的等效电路
V
U i R u S
L 40601.0200)0()0(11=+?-=+-=++A R u i C 5.080
40)0()0(33-=-=-=++（2）求稳态分量
A
R U i S 3.0200
60)(11===∞0
)(=∞L u 0
)(3=∞i
（3）求时间常数。
s R L 200111==τs C R 4
632102.310480--?=??==τ（4）分别代入一阶电路响应的一般表达式得
V e e
u u u u t t L L L L 20040)]()0([)(1-τ-+=∞-+∞=A e
e e
i i i i t t t )2.03.0()3.01.0(3.0)]()0([)(20020011111--τ-+-=-+=∞-+∞=A
e e i i i i t t 312533335.0)]()0([)(2-τ-+-=∞-+∞=
（5）根据KCL 求i 4
A e e e e
i i i i t t t t )5.02.03.0()5.0(0)2.03.0(312520031252003214----+-=----=--
=
S u s1 R L i 图6.15 例6.3图 R R u s 2 分析一阶电路全响应的三要素法 由6-35可见，只要求出电路的初始值、稳态值和时间常数，就可方便的求出电路的零输入、零状态和全响应。所以仿照上式，可以写出在直流电源激励下，求解一阶线性电路全响应的通式，即 t e f f f t f )]()0([)()(（6-36） 式中)(t f 代表一阶电路中任一电压、电流函数。初始值)0(f ，稳态值)(f 和时间常数称为一阶电路全响应的三要素。 1、求初始值)0(f 的要点： (1)求换路前的)0()0(L C i u 、； (2)根据换路定则得出)0()0() 0()0(L L C C i i u u ； (3)根据换路瞬间的等效电路，求出未知的)0(u 或)0(i 。 2、求稳态值)(f 的要点： (1)画出新稳态的等效电路（注意:在直流电源的作用下, C 相当于开路, L 相当于短路）； (2)由电路的分析方法，求出换路后的稳态值。 3、求时间常数的要点： (1)求0t 时的； (2) eq eq R L C R ,； (3) 将储能元件以外的电路，视为有源一端口网络，然后应用戴维南定理求等效内阻的方法求eq R 。 [例6.3]图 6.15所示电路原已处于稳态，0t 时开关闭合。已知82s u V ，L=1.2H, R1= R2= R3=2, 求电压源401s u V 激励时的电感电流L i 。 [解]: 换路前电路为直流稳态电路，所以2)0(322 R R u i s L A 换路后电感电压为有限值，所以电感电流的初始值为 )0(L i 2)0(L i A 换路后电感两端的等效电阻为3 2 12 13R R R R R R eq 所以时间常数为
.-一阶电路的三要素法
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12.2 一阶电路的三要素法 考纲要求：1、理解瞬态过程中时间常数的物理意义。 2、掌握一阶电路瞬态过程中电流、电压初始值、稳态值和时间常数的计算。 教学目的要求：1、理解瞬态过程中时间常数的物理意义。 2、掌握一阶电路瞬态过程中电流、电压初始值、稳态值和时间常数的计算。教学重点：一阶电路瞬态过程中电流、电压初始值、稳态值和时间常数的计算。 教学难点：一阶电路瞬态过程中电流、电压初始值、稳态值和时间常数的计算。 课时安排：4节课型：复习 教学过程： 【知识点回顾】 一、一阶线性电路：。 二、一阶电路的三要素：、、。 应用三要素条件：。 三、应用三要素电路中各部分电压、电流的表达式：。 四、应用三要素解题步骤： 1、作出t=0-（稳态1）时的等效电路图，求出uc（0-）和iL(0-)； 此时在稳态1时，电容可看作，电感可看作。 2、作出t=0+时的等效电路图，根据换路定理确定uc（0+）和iL(0+)，其他的初始值按t=0+时刻的等效电路，依据基尔霍夫定律计算确定。 此时在换路瞬间，电容未储能，则电容可看作，若电容储能，则电容可看作。电感未储能，则电感可看作，若电感储能，则电感可看作。 3、作出t=∞（稳态2）时的等效电路图，根据基尔霍夫定律求出所要求得f(∞)。 此时在稳态2时，电容可看作，电感可看作。 4、求时间常数τ：把储能元件断开，画出无源二端网络的电路图，求出两端的等效电阻R。 此时在RC电路中，τ= ；在RL电路中，τ= 。 5、写出电压或电流的表达式：。【课前练习】 一、判断题 1、初始值、有效值、时间常数称为一阶电路的三要素。 ( ) 2、一阶RC放电电路，换路后的瞬态过程和R有关，R越大，瞬态过程越长。 ( ) 3、稳态电路中的电压、电流一定是不随时间变化的。 ( ) 二、选择题 1、一只已充电压100V的电容器，经一电阻放电，经20S后电压降压到67V，则时间常数τ的值约为( ) A．20S B．大于20S C．小于20S D.无法计算
第六章一阶电路 ——经典分析法（微分方程描述） ——运算分析法（代数方程描述）见第十三章 一、重点和难点 1. 动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定； 2. 一阶电路时间常数、零输入响应、零状态响应、冲激响应、强制分量、自由分量、稳态分量和 暂态分量的概念及求解； 3. 求解一阶电路的三要素方法； 电路初始条件的概念和确定方法； 1.换路定理（换路规则） 仅对动态元件（又称储能元件）的部分参数有效。 ①电容元件：u C(0-) = u C(0+)；（即：q C(0-) = q C(0+)）；i C(0-) ≠i C(0+)。 ②电感元件：i L(0-) = i L(0+)；（即：ΨL(0-) = ΨL(0+)）；u C(0-) ≠u C(0+)。 ③电阻元件：u R(0-) ≠u R(0+)；i R(0-) ≠i R(0+)。 因此，又称电容的电压、电感的电流为状态变量。电容的电流、电感的电压、电阻的电压和电流为非状态变量。如非状态变量的数值变化前后出现相等的情况则视为一种巧合，并非是一种规则。 2.画t=0+时刻的等效电路 画t=0+时刻等效电路的规则： ①对电容元件，如u C(0-) = 0，则把电容元件短路；如u C(0-) ≠ 0，则用理想电压源（其数值为u C(0-)）替代电容元件。 ②对电感元件，如i L(0-) = 0，则把电感元件开路；如i L(0-) ≠ 0，则用理想电流源（其数值为 i L(0-)）替代电感元件。 画t=0+时刻等效电路的应用： 一般情况下，求解电路换路后非状态变量的初始值，然后利用三要素法求解非状态变量的过渡过程。 3. 时间常数τ
今日作业： 6-9 6-11 6.4 一阶电路的一般求解方法 ——三要素法 其中： 1(0)2()3,C L f f L RC R ττ+∞== 、为电路初始值；、新的稳态解；、。()()[(0)()]t f t f f f e τ ? +=∞+?∞) 三要素法仅适用于直流或正弦交流作用下的一阶电路！ 三要素法应用举例 100Q 0()()C t t t u t i t <=>例：时电路稳定，时开关闭合，求后的、，并定性地画出它们的曲线。 +_2K Ω 3μF Q(t =0) + _ i C u C 24V 2K Ω i 3 3 310310()1212V 0()66mA t C t u t e t i t e t ??? ×? ×=?>=+>答案 三要素法应用举例 200Q 0()L t t t i t <=>例：时电路稳定，时开关闭合，求后的，并定性地画出它的曲线。 0.5 () 5.5 3.5A 0 t L i t e t ? =?>答案 + _6Ω 2H Q(t =0) i L 25V +_ 16V 2Ω3Ω 三要素法应用举例 300Q 0()t t t i t <=>例：时电路稳定，时开关从1合向2，求后的，并定性地画出它的曲线。 1.8 () 1.8 1.6A 0 t i t e t ?=?>答案 _+ 1Ω 3H Q(t =0) i L 3V 1 2 +_3V i 2Ω 1Ω 三要素法应用举例 L 400Q 0()()t t t i t u t <=>例：时电路稳定，时开关从1合向2，求后的和，并定性地画出它的曲线。 2L -2()12e 0()3-6e 0 t t i t A t u t V t ?=+>=>答案 3H Q(t =0) i L 6A 2 +_12V u 6Ω3Ω1 +_ 6Ω 6Ω
12.2 一阶电路的三要素法 考纲要求：1、理解瞬态过程中时间常数的物理意义。 2、掌握一阶电路瞬态过程中电流、电压初始值、稳态值和时间常数的计算。 教学目的要求：1、理解瞬态过程中时间常数的物理意义。 2、掌握一阶电路瞬态过程中电流、电压初始值、稳态值和时间常数的计算。教学重点：一阶电路瞬态过程中电流、电压初始值、稳态值和时间常数的计算。 教学难点：一阶电路瞬态过程中电流、电压初始值、稳态值和时间常数的计算。 课时安排：4节课型：复习 教学过程： 【知识点回顾】 一、一阶线性电路：。 二、一阶电路的三要素：、、。 应用三要素条件：。 三、应用三要素电路中各部分电压、电流的表达式：。 四、应用三要素解题步骤： 1、作出t=0-（稳态1）时的等效电路图，求出uc（0-）和iL(0-)； 此时在稳态1时，电容可看作，电感可看作。 2、作出t=0+时的等效电路图，根据换路定理确定uc（0+）和iL(0+)，其他的初始值按t=0+时刻的等效电路，依据基尔霍夫定律计算确定。 此时在换路瞬间，电容未储能，则电容可看作，若电容储能，则电容可看作。电感未储能，则电感可看作，若电感储能，则电感可看作。 3、作出t=∞（稳态2）时的等效电路图，根据基尔霍夫定律求出所要求得f(∞)。 此时在稳态2时，电容可看作，电感可看作。 4、求时间常数τ：把储能元件断开，画出无源二端网络的电路图，求出两端的等效电阻R。 此时在RC电路中，τ= ；在RL电路中，τ= 。 5、写出电压或电流的表达式：。【课前练习】 一、判断题 1、初始值、有效值、时间常数称为一阶电路的三要素。 ( ) 2、一阶RC放电电路，换路后的瞬态过程和R有关，R越大，瞬态过程越长。 ( ) 3、稳态电路中的电压、电流一定是不随时间变化的。 ( ) 二、选择题 1、一只已充电压100V的电容器，经一电阻放电，经20S后电压降压到67V，则时间常数τ的值约为( ) A．20S B．大于20S C．小于20S D.无法计算
L i 图6.15 例6.3图 分析一阶电路全响应的三要素法 由6-35可见，只要求出电路的初始值、稳态值和时间常数，就可方便的求出电路的零输入、零状态和全响应。所以仿照上式，可以写出在直流电源激励下，求解一阶线性电路全响应的通式，即 τt e f f f t f -+∞-+∞=)]()0([)()(（6-36） 式中)(t f 代表一阶电路中任一电压、电流函数。初始值)0(+f ，稳态值)(∞f 和时间常数τ称为一阶电路全响应的三要素。 1、求初始值)0(+f 的要点： (1)求换路前的)0()0(--L C i u 、； (2)根据换路定则得出)0()0() 0()0(-+-+==L L C C i i u u ； (3)根据换路瞬间的等效电路，求出未知的)0(+u 或)0(+i 。 2、求稳态值)(∞f 的要点： (1)画出新稳态的等效电路（注意:在直流电源的作用下, C 相当于开路, L 相当于短路）； (2)由电路的分析方法，求出换路后的稳态值。 3、求时间常数τ的要点： (1)求0>t 时的τ； (2) eq eq R L C R ==ττ,； (3) 将储能元件以外的电路，视为有源一端口网络，然后应用戴维南定理求等效内阻的方法求 eq R 。 [例6.3] 图6.15所示电路原已处于稳态，0=t 时开关闭合。已知82=s u V ，L=1.2H, R1= R2= R3=2Ω, 求电压源401=s u V 激励时的电感电流L i 。 [解]: 换路前电路为直流稳态电路，所以 2)0(322=+=-R R u i s L A 换路后电感电压为有限值，所以电感电流的初始值为 =+)0(L i 2)0(=-L i A 换路后电感两端的等效电阻为 Ω=++ =32 1213R R R R R R eq 所以时间常数为
§5.4 一阶电路的全响应与三要素 在上两节中分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应，电路要么只有外激励源的作用，要么只存在非零的初始状态，分析过程相对简单。本节将讨论既有非零初始状态，又有外激励源共同作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。 5.4.1 RC 电路的全响应 电路如图5-9所示，将开关S 闭合前，电容已经充电且电容电压0)0(U u c =-，在t=0时将开关S 闭合，直流电压源S U 作用于一阶RC 电路。根据KVL ，此时电路方程可表示为： C u 图 5-19 一阶RC 电路的全响应 S C C U u t u RC =+d d （5-19） 根据换路原则，可知方程（5-19）的初始条件为 0)0()0(U u u C C ==-+ 令方程（5-9）的通解为 C C C u u u ''+'= 与一阶RC 电路的零状态响应类似，取换路后的稳定状态为方程的特解，则 S C U u =' 同样令方程（5-9）对应的齐次微分方程的通解为τt C Ae u - =''。其中RC =τ为电路的时间常数，所以有 τ t S C Ae U u -+= 将初始条件与通解代入原方程，得到积分常数为 S U U A +=0 所以电容电压最终可表示为 τ t S S c e U U U u - -+=)(0 （5-20） 电容充电电流为 e t S C R U U t u C i τ--==0d d 这就是一阶RC 电路的全响应。图5-20分别描述了s U ，0U 均大于零时，在0U U s >、
0=s U 、0U U s <三种情况下c u 与i 的波形。 (a) (b) 图5-20 C u ，i 的波形图 将式（5-20）重新调整后，得 )1(0ττ t S t C e U e U u - --+= 从上式可以看出，右端第一项正是电路的零输入响应，第二项则是电路的零状态响应。显然，RC 电路的全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，即 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 研究表明，线性电路的叠加定理不仅适用于RC 电路，在RC 电路的分析过程中同样适用，同时，对于n 阶电路也可应用叠加定理进行分析。 进一步分析式（5-20）可以看出右端第一项是电路微分方程的特解，其变化规律与电路外加激励源相同，因此被称之为为强制分量；式（5-20）右端第二项对应于微分方程的通解，其变化规律与外加激励源无关，仅由电路参数决定，称之为自由分量。所以，全响应又可表示为强制分量与自由分量的叠加，即 全响应 = 强制分量 + 自由分量 从另一个角度来看，式（5-20）中有一部分随时间推移呈指数衰减，而另一部分不衰减。显然，衰减分量在∞→t 时趋于零，最后只剩下不衰减的部分，所以将衰减分量称为暂态分量，不衰减的部分称为稳态分量，即 全响应 = 稳态分量 + 暂态分量 5.4.2 三要素法 一阶电路都只会有一个电容（或电感元件），尽管其它支路可能由许多的电阻、电源、控制源等构成。但是将动态元件独立开来，其它部分可以看成是一个端口的电阻电路，根据戴维南定理或诺顿定理可将复杂的网络都可以化成图5-21所示的简单电路。下面介绍的三要素法对于分析类复杂一阶电路相当简便。 C u +- C u + - C u (a) (b)
一阶暂态电路三要素法例题 例题1图1所示电路中，换路前已处于稳态。试求换路后（t ≥0）的电流i L （t ）和电压u L （t ）。 图1例题1图 解：用三要素法求解（1）确定初始值 根据换路定则有 L L 10(0)(0)10.520 +-==-=i i mA （2）确定稳态值 L 121010()10.5101010 ∞=+=?-=-+i i i mA （3）确定时间常数 1000.0110(1010)//20 τ===?+L R s 综上所述，则电流和电压分别为 []100L L L L ()()(0)(0)0.5-τ+=∞+-=-+t -t -i t i i i e e mA 1003100L L d ()()100(1001010d -==?-?=--t -t i t u t L e e t )V 例题2图2（a ）所示电路中U S =8V ，其他参数如图所示，当电路达到稳定状态后，在t =0时开关S 闭合。试求电流i （t ）和i s （t ）。
图2例题2图 解：用三要素法求解 t =0–时的等效电路如图2（b ）所示，可得 3S 23234814424//4 -?=?=++L L （0）=（0）+R U i i =R +R R+R //R A C C L 2000414-+-===?=（）（）（）u u i R V 当开关S 闭合后电路达到稳定状态时，则有 L ()0∞=i A C ()0∞=u V 时间常数为 6411220010410--τ==??=?R C s 3 322100.25104 --τ===?L R s 故有 4000L ()-=t i t e A ，2500C ()4-=t u t e V 6425002500C C d ()20010102d ---==-??=-t t u i t C e e t A 当开关S 闭合后电阻R 3被短接，故 3()0=R i t A 40002500L C 3()()()()2--=++=-t t R i t i t i t i t e e A 4000250040002500S S 8()()(2)422 -----=--=-+t t t t U i t =i t e e e e R A