《线性代数 B 》 2010～ 2011 学年第
一 学期课程试卷 A
一、填空
1
1 1 1
2 3
4
5 12
.
1.
=
4
9 16 25 8
27
64
125
2． 设 A 、B 为 4阶方阵，且 | A 1
3 B
81，则|AB | 1/2
.
| 2 ,
3. 给定矩阵 A ，且 A
E 可逆, 满足 AB
E
A 2
B ,则B A
E
.
1 0 0
1 0 0
4．设 A
0 1 1 ，则 A 1
2
1 .
0 1
2
1
1
5．已知
1
,
2
, 3 线性相关 ,
3
不能由 1
,
2 线性表示，则
1
,
2 线性 相关
．
1
1
6．设 1
2 ,
2
t ,
3
2 ，且 1
,
2
,
3 线性相关， 则 t
8
．
3
6
1
1 2 3
7.设A 是4
3
矩阵,且 R(A)
2 ， B
0 1 0 则R(AB) __2___
3 1
2
．设三阶方阵 A 的每行元素之和均为零， 又
R(A) 2 ，则齐次线性方程组
Ax
O 的通解为
8
1 k 1 ( k
R )
.
1
1
3 0 1
9. 向量组
1
1
的一个最大线性无关组为
1
, 2
2 ,
3 1
,
4 1 1
1
3
1,2
,
4
.
10. 设 A 为 n 阶方阵 , Ax
0 有非零解 , 则 A 必有一个特征值为
0.
二、单项选择
x
3 1
x
2 y 4z
2 1.. 若 y
0 2
1 , 则
3
0 2 ( A )
z
2
1
1
2
1
(A)1 ； (B )
2 ； (C )
1 ；
(D) 0.
2．设 A , B , C 均为二阶方阵， AB
AC ，则当 (C ) 时，可以推出 B C ．
1 0 1 1 0 1 1 1 (A) A
;(B)A
; (C) A
; (D) A
.
1 0
1
1 1
3. 下列结论正确的是 ( A ) ．
( A )
1
,
2
,
,
s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合 ;
(B ) 若向量
1
,
2
,
3 线性相关，则 1 , 2 线性相关；
(C ) 若 n 阶方阵 A 与对角阵相似，则 A 有 n 个不同的特征值 ;
( D ) 若方程组 Ax
O 有非零解，则 Ax
b 有无穷多解 .
1
4 4. 已知
, 3 是四元方程组 Ax
2
， 2
4
1 ,
2
b 的三个解，其中 R( A)
3,
1
3 3
，
4
4
4
则以下不是方程组
Ax
b 的通解为 ( D ) .
2
1 1
1 1
2
3 1 0 2 ;
0 2 0 2 ;
( D ) k
2 2 ( A ) k
2 3 ( B ) k
; ( C ) k
2 1 .
1 3 1 3
4
4
2
4
2
2
4
5. 设向量组
1 ,
2
,
3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（
B ）
( A ) 1
2
,
2
3,31
;
( B ) 1
,
2 ,
3
1
;
(C )
1
,
2
,2
1
3 2 ;
( D )
2
,
3
,2
2
3
.
．若 n 阶矩阵 A , B 有共同的特征值，且各有
n 个线性无关的特征向量，则（
A
）
6
( A ) A 与B 相似;
(B) A B ，但|A B| 0;
(C )
A
B ;
(D) A 与 B 不一定相似，但 | A | |B |.
7. 设 Ap11 p1, Ap22 p2 , 且12 , 则以下结论正确的是（ B ） .
( A ) p1p2不一定是A的一个特征向量;( B )p1p2一定不是A的一个特征向量 ;
(C ) p1p2一定是A的一个特征向量 ;( D )p1p2为零向量 .
x 1x 2x 41,
三、 k 为何值时 ,线性方程组
x 1 2 x2x 3 2 x 4 3 ,
有解，并在有解时求通解 . x 1x 2x 3x4 6 ,
x 2x4k
1101111011
解 :
1212301112
A
111600105
1
0101k0101k
1101111011
0111201112
0010500105
0010k 20 0 00k 3
当 k3时，方程组有解，
10004
01013
A
010
，
05
00000
x 1440 x 2 3 x 4，（12分）通解为 X3k1 x 3550 x 4x 401
a0b
四、已知矩阵 A010的特征值之和为1，特征值之积为 1 ．
b00
(1) 求a , b( b0) 的值；(2)求可逆矩阵 P 和对角阵，使得 P 1
. AP
a101001
解a0, b 1.A010, 2
1
b
100
01
E A010(
2
1 )1, 3 1 .
1 ) (12
10
10110101当1
2
1时， E A000000,p11, p20
10100001
1011011
当31时，EA020010, p30
1010001 0111
取 P100
1
1有P AP
0111
a 11a1a1
五、计算 D n a 2 a 21 a 2
.
a n a n a n1
111 n a 2a21a2
解 D r1r n a i
（1)
i1
a n a n a n1
c2c1
100 n a
2
10（ a i1)
c n
i1
c1
a n01 n
（ a i 1 )(1) n 1
i1
六、设 A 为3阶矩阵， 1 ,2为 A 的分别属于特征值1,1特征向量，向量 3 满足A
32 3
，
证明（ 1）
1 ,
2
,
3
线性无关；（）令
P1
,
2
,
3
，求1.
2P AP
证明 k 1
1
k
2 2
k 3
3
O (1)，
A ( k 1 1 k 2
2
k 3
3
)
O
即 k
1 1
k 2
2
k 3 (
2
3
)
O (2) (2)-(1)
2 k 1
1
k
3 2
O
因为
1
,
2 线性无关，
k 1
k 3
0 ,
代入（ 1），得 k 2
2
O ,
2
O , k 2 0
1,2
,
3 线性无关
1 0
（2）P 1AP
0 1 1 0
1
《线性代数 B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷 B
一、填空
1 2 3 6
1. 设
2 2 2 2 又 是 a
ij 的代数余子式 则
A
42
A 43 A 44 =0
| A | | ( a ij )4 4 |
1 0 7, A ij
, A 41
2
3
4
1
8
2 设 A 、B 为 3阶方阵，且 | A|
2, 3 B
1
81 ，则|A
1
B
| 1/6 .
3. 设 A 为方阵 ,满足 A
2
0,则 A
1
A
E
.
A 2 E
2
1 1 0
1 3
1 0
4．设 A
130，则A 1 1 1 0
.
2 2
1
5．向量组 1 , 2 ,
3 ,
1 线性
相 关．
6．设 A 是 m
n 矩阵 , R ( A )
r ,则齐次线性方程组 Ax O 有非零解的充分必要条件是
r n
1 2 3
7.设A 是4
3
矩阵,且 R(A)
2 ， B
0 1 0 则R(AB) __2___
3
1
2
8．设三阶方阵 A 的每行元素之和均为 3，则 A 有特征值
3 .
1 3
1
9. 向量组
1
1 3 的一个最大线性无关组为
1 ,
2
.
1
, 2
,3
5 8 9
1
1
7
10．属于方阵 A 的不同特征值的特征向量一定 线性无关.
二、单项选择
a
11
a 12 a 13 a
11
a 12
a 21
a
22
1.. 若 a
21
a 22
a 23
1 , 则
a 13
a 23
a
31
a
32 a
33
a
12 a
22
(A)1
；
(B )
2 ； (C)1；
2．设 A 为 m n 矩阵，且 m n ，则一定有 ( D ) ．
(A)RA
m ;
(B)R A n ; (C ) m R A
n ;
(D) RA
m .
3. 下列结论错误的是 ( D ) ．
a
31
a 32
a 33
(A).
a
32
(D) 0.
( A )
1
, 2 ,
,
s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合 ;
(B ) 若向量 1
,
2 ,
3 线性无关，则
1
,
2 线性无关；
(C )
n 阶方阵 A 与对角阵相似是 A 有 n 个不同的特征值的必要条件
;
( D ) 若方程组 Ax O 有非零解，则
Ax
b 有无穷多解 .
4. 设矩阵 A m n 的秩 R ( A ) m
n ，下述结论中正确的是
D.
( A ) A 的任意 m 个列向量必线性无关； ( B ) A 的任意一个 m 阶子式不等于零；
(C ) 齐次线性方程组
Ax
0 只有零解；
( D ) 非齐次线性方程组
Ax
b 必有无穷多解 .
5. n 阶矩阵 A , B , C 满足 ABC
E , 则下列各式中成立的是
D
.
( A ) ACB
E ;
( B )CBA E ;
(C )BACE ;
( D )BCA
E
1
．设矩阵 A
ab
4 2 的秩为 2，则 C
6
2
4
a 2
（ A ） a
0 , b
0 ； （ B ） a 0 , b 0 ； （ C ） a
0 , b 0 ； （ D ） a
0 , b 0 .
7. A , B 均为 n 阶方阵，则下列结论中 B 成立．
（ ） AB 0 , 则 A O , 或 B O ；
（ ） 0 ,则
A
0, 或
B
0 ；
A
B AB
（C）AB O,则A O,或B O ；（D）AB O,则 A0,或 B 0．
三、 k 为何值时，线性方程组有解．并在有解时求通解．
x1x2x 3x 4x 51,
3 x1 2 x2x 3x
4 3 x 50 ,
x 2 2 x 3 2 x 4 6 x 5k .
111111
解 A321130
01226k
111111111111
012263012263
01226k00000k 3
当 k3时， R( A)R(B )2 5 , 所以有依赖于 3 个独立参数的无穷多解．
101152
012263
00000k3
x1x 3x4 5 x52
x 2 2 x 3 2 x 4 6 x53
得 x 3x 3
x 4x 4
x 5x 5
1152
2263
x c11c20c300(c1 , c2 , c3R ).
0100
0000
101
四、已知矩阵A010 ,求可逆矩阵P 与对角阵,使得 P 1
. AP
101
101
解E A010( 1 )(2),10 , 21, 3 2 ，
101
进一步可求得相应的特征向量为
101
p10 , p21, p30。
101
101
取P010，
101
有 P1AP=1
2
a 11 a 2 a n
五、计算行列式 D n a 1 a 21 a n
.
a 1 a 2 a n1
1 a
2 a n n1 a 21 a n
解 D c1c n a i
（1)
i1
1 a 2a n 1
r2r1
1 a
2 a n
n010（ a i1)
i1
r n r1
001
n
a i 1
i 1
1000
1100
六、已知 n 阶矩阵A1110,证明| A |中所有元素的代数余子式的和为1.
1111
A
11A
21
A
n 1
证|A|1,1分A A
12
A
22
A
n 2，
A
1 n
A
2 n
A
nn
n
A i 1 | A |i1
n
A A又 A A
A i 2
，i1
| A |
n
A in
i 1
n n
比较第一列元素之和有A ij1
j 1 i1
×××大学线性代数期末考试题
一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 2 分，共 10 分）
131
1.若05x0 ，则__________。
122
x1x2x30
2．若齐次线性方程组x1x2x30只有零解，则应满足。
x1 x2x 3 0
3．已知矩阵A，B，C (c
ij
)
s n，满足 AC CB ，则 A与B分别是阶矩阵。
a
11a
12
4．矩阵 Aa 21a
22的行向量组线性。
a
31a
32
5． n 阶方阵
2
3 A E
1
。A满足 A0，则A
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×” 。每小题 2 分，共 10 分）
1.若行列式 D 中每个元素都大于零，则 D 0。（）
2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）
3.向量组 a1， a 2，， a m中，如果a1与 a m对应的分量成比例，则向量组a1， a 2，， a s线性相关。（）
0100
4.
1000
，则1 A 。（）A
001
A
0010
5. 若 为可逆矩阵 A 的特征值，则 A
1
的特征值为 。 ( )
三、单项选择题 (
每小题仅有一个正确答案，
将正确答案题号填入括号内。 每小题 2 分，共 10 分)
1. 设 A 为 n 阶矩阵，且
A
2，则 A A T
（
）。
n
②
n 1
③ n 1
④ 4
① 2 2
2
2. n 维向量组
1
，
2， ， s （ 3
s
n ）线性无关的充要条件是（ ）。
①
1， 2， ， s 中任意两个向量都线性无关
②
1， 2， ， s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示
③
1， 2， ， s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示
④
1， 2， ， s 中不含零向量
3. 下列命题中正确的是 ( )。
① 任意 n 个 n 1 维向量线性相关 ② 任意 n 个 n 1 维向量线性无关
③ 任意 n 1 个 n 维向量线性相关 ④
任意 n
1 个 n 维向量线性无关
4. 设 A ， B 均为 n 阶方阵，下面结论正确的是
( )
。
① 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆
② 若 A ，B 均可逆，则
A B 可
逆
③ 若 A
B 可逆，则
A B 可逆
④ 若 A
B 可逆，则 A ，B 均可
逆
5. 若 1，
2
， 3
，
4 是线性方程组
A
0 的基础解系，则1
234
是A
0 的
（ ）
① 解向量
② 基础解系 ③ 通解
④ A 的行向量
四、计算题 ( 每小题 9 分，共 63 分 )
x a
b c d
1. 计算行列式
a x
b c d 。
a
b x
c d
a
b
c
x
d
解·
x a b c d x a b c d
b c d a x b c d x a b c d x b c
d a b x c d x a b c d b x c
d
a
b
c
x d x a b c d b
c
x d
1
b
c d
1 b c d
1 x b c d 0 x 0 0 3
( x a b c d )
b x
c ( x a b c
d )
0 0 x 0 ( x a b c d ) x
1 d
1
b
c
x d
0 0
x
3 0 1
2. 设AB
A 2
B ，且A 1 1
0 , 求B 。
1
4
2
1 1
解 .(A 2E)B
A
(A 2E) 1
2 2 1 ，
1
1
1
5
2 2 B (A 2E) 1A
4 3 2
2
2
3
1 1 0 0
2 1
3 4
0 1 1 0 ,
0 2 1 3 满足关系式 X(C B)
'
求
3. 设B
0 1 1 C
0 2 且矩阵
E , 0 0 1 0
1
2
。
1
1
2
a
2
1
4. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？1
1
, 2a , 3 。
2
2
1 a
1
2
2
x 1
x 2 x 3
3 5.为何值时，线性方程组x 1
x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无
x 1
x 2
x 3
2
穷多解时求其通解。
① 当 1 且 2 时，方程组有唯一解；
②当 2 时方程组无解
211
③当 1 时，有无穷多组解，通解为0c1 1c2 0
001
1213
49010
6.设1, 2, 3, 4. 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其
1137
0317
余向量用该极大无关组线性表示。
100
7.设A010，求 A 的特征值及对应的特征向量。
021
五、证明题 (7分)
若 A 是n阶方阵，且 AA I ，A1，证明 A I0 。其中I为单位矩阵。
×××大学线性代数期末考试题答案
一、填空题
1. 5
2.
1
3. s s ， n
n
4.
相关
5. A 3 E 二、判断正误
1.
×
2.
√
3.
√
4.
√ 5.
×
三、单项选择题
1. ③
2.
③
3.
③
4. ②
5.
①
四、计算题
1.
x a
b c d x a b c d
b c d a x b c d x a b c d x b c
d a b x c d x a b c d b x c
d
a
b
c
x d x a b c d b
c
x d
1 b c d
1 b c d
1 x b c d 0 x 0 0 3
( x a b c d )
b x
c ( x a b c
d )
0 0 x 0 ( x a b c d ) x
1 d
1
b
c
x d
0 0
x
2.
2
1 1
5
2 2
(A 2E)BA
(A 2E)
1
2 1 1
4 3 2
2 ，B (A 2E) A
1
1
1
2
2
3
3.
12341000
0123，
B )'2100
C B
012(C
3210
00014321
10001000
'12100'12100
C B
210，X ECB
210
11
01210121 4.
a 11 22
a1， a2， a 31a11( 2a 1) 2 (2 a2) 当a 1
1 时，向量组 a1， a2， a 3线
或 a
2282
11
a
22
性相关。
5.
① 当 1 且2时，方程组有唯一解；
②当 2 时方程组无解
211
③当 1 时，有无穷多组解，通解为0c11c2 0
001
6.
121312131213
(a1， a 2， a 3， a4 )4901001420142 113703410001616 03170317001313
1002 0102 0011 0000
则 r a1， a2， a 3， a 4 3 ，其中 a1， a2， a 3构成极大无关组， a 4 2 a1 2 a2 a 3
7.
100
E A010(1)3
021
00010
特征值
123
1 ，对于λ1＝1，1 E A000，特征向量为 k 0l 0
02001
五、证明题
A I A A A A I A I A I A
∴ 2 I A0 ，∵ I A0
一、选择题（本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1、设A，B为 n 阶方阵，满足等式AB0 ，则必有（）
(A) A0或B0;(B)A B0；（C）A0或B0;(D) A B0。
2、A和B均为n阶矩阵，且( A B ) 2 A 2 2 AB B 2，则必有（）
(A)A E；(B)B E；（C）A B.(D)AB BA。
3、设A为m n 矩阵，齐次方程组Ax0 仅有零解的充要条件是（）
(A) A 的列向量线性无关；(B) A 的列向量线性相关；
（C） A 的行向量线性无关；(D) A 的行向量线性相关.
4、n 阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是（）
(A) A 的秩小于n；(B)A0 ；
(C) A 的特征值都等于零；(D) A 的特征值都不等于零；
二、填空题（本题共 4 小题，每题 4 分，满分16 分）
5、若 4 阶矩阵A的行列式A 5 ， A是 A 的伴随矩阵，则A =。
6、A为n n阶矩阵，且2A 2 E0，则 (A1。
A 2 E )
121x11
7、已知方程组23a2x 23无解，则 a。
1a2x 34
8 、二次型 f ( x1, x2, x3) 2 x12 3 x 22tx 32 2 x1 x2 2 x1 x3是正定的，则 t 的取值范围是。
三、计算题（本题共 2 小题，每题 8 分，满分16 分）
1x111
9、计算行列式D 11x11 11 1 y1 1111y
10、计算n阶行列式
x1 3x2x n
x1x2 3x n
D n
x1x2x n3
四、证明题（本题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分。写出证明过程）
11、若向量组 1 ,
2
,
3 线性相关，向量组2 , 3 , 4线性无关。证明：
(1)1能有2, 3 线性表出；
(2) 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出。
12、设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，A E 可逆，且 f ( A ) ( E A )( E A ) 1。
证明
（ 1）( E f ( A ))( E A ) 2 E ；
（ 2） f ( f ( A )) A。
五、解答题（本题共 3 小题，每小题12 分，满分 32 分。解答应写出文字说明或演算步骤）
200
13、设A 032，求一个正交矩阵 P 使得P1AP为对角矩阵。
023
x1x2x 30
14、已知方程组x1 2 x 2ax 30 与方程组x1 2 x2x3 a 1 有公共解。
x1 4 x2
2
0 a x3
求 a 的值。
15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且
21
32
1，23
43
54
求该方程组的通解。
解答和评分标准
一、选择题
1、C； 2 、D； 3 、A； 4 、A。
二、填空题
5、-125;
6、；7 、-1；8、t3。
25
三、计算题
9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：
x x00
1 1 x11
D
0y y
111 1 y
x000
第二列减第一列，第四列减第三列得：
1x10
分）D
0y
（4 00
101y
按第一行展开得
x10
D x 0y0
01y
按第三列展开得
x0
2 y 2。（4 分）
Dxy x
1y
n
10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子换化为上三角形行列式
x i3，再通过行列式的变i1
1x2x n
n1x2 3x n
D n（ 4分）
x i 3
i1
1x2x n 3
四、证明题
11、证明：
(1) 、 因为
1 x
2 x n n
0 3
x i
3
i 1
0 0
3
n
（4 分）
3 n 1
x i 3
i 1
2 ，
3 , 3
线性无关，所以
2 ，
3 线性无关。，
又 1 ， 2 ， 3 线性相关，故
1
能由
2
，
3
线性表出。
(4
分 )
r (
1
， 2
，
3) 3
，
（ 2）、（反正法）若不，则 4 能由 1
，
2
,
3
线性表出，
不妨设
4
k 1
1
k 2
2
k 3 3
。
由（ 1）知， 1 能由 2
， 3
线性表出，
不妨设 1
t
12
t 2 3
。
所以 4 k 1 ( t 1 2
t 2
3
)
k 2
2
k 3
3
，
这表明
2
，
3
,
4 线性相关，矛盾。 12 、证明
（1） (E
f ( A ))( E A ) [ E ( E A)(E
A )1
](E A)
(E A) (E
A)( E
1
A) (E A) (E
A)
2 E
（4 分）
A) (E
（ 2） f ( f ( A ))
[ E
f ( A )][ E
f (A)] 1
由（ 1）得： [ E
1
1 ( E
A ) ，代入上式得
f ( A )]
2
f ( f ( A )) [E (E A)(E
1
1 ( E
A )
1
(E A) (E
A)( E A ) 1
1 A )
A ) ] 2 2
( E
2
1
1
(E
A)
(E
A)
A
2
2
五、解答题
13、解：
（1）由 E A
0 得 A 的特征值为 1
1 ， 2
2 ， 3
5 。
（2） 1
1 的特征向量为
1
1 ，
1
1
2
2 的特征向量为
2
0 ，
3
5 的特征向量为
3
1 。
（3 分）
1
（ 3）因为特征值不相等，则
1, 2
,
3
正交。
（2 分）
1 0 （4）将 1, 2, 3 单位化得 1 1
， p 2
， p 3
1 p 1
1
2
1 0
2
1
1 0
1 0
1
（ 5）取 P p 1 , p 2 , p 3
2
2
1 0
1
2
2
1 0 0
1
2 0 （6）P AP0
0 5
14、解：该非齐次线性方程组
Ax
b 对应的齐次方程组为
（4 分）
（4 分）
（2 分）
（1 分）
Ax 0
因 R ( A )
3 ，则齐次线性方程组的基础解系有 1 个非零解构成， 即任何一个非零解都是
精品文档 线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020 考研数学基础训练） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2， α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 【答案】C 【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)k k ≠倍加至另一列（行），行列式的值不变。本题中，B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C 。 【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)k k ≠倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。 【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。 【历年考题链接】 （2008,4）1．设行列式D=3332 31 232221 131211a a a a a a a a a =3，D 1=33 32 3131 2322212113 12 1111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．15 答案：C 。 2.计算行列式3 2 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( ) A.-180 B.-120
精品文档 C.120 D.180 【答案】A 【解析】本题考查了行列式的计算。行列式可以根据任意一行（列）展开。一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。本题，按第三列展开，有： 44 1424344433 313233 3 0 2 0 302 2 10 5 000033(1)2105 0 0 2 000 2 2 3 2 3 3 3(002)6(1) =630180. 210 A A A A A A A ++--=?+?+?+?=-----=?+?-=---?=- 【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算，如对角矩阵，上（下）三角矩阵，还有分块矩阵。 【点评】行列式的计算是每年必考的，常出现在选择、填空和计算中，选择、填空居多。近几年，填空题的第一题一般考察这个内容。需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆。 【历年考题链接】 （2008,1）11.若,02 11 =k 则k=_______. 答案：1/2。 3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.21 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算，和矩阵行列式的运算性质。由于1 1,A A -= 由已知| A -1 |=2，从而12A = ，所以3 122842 A A ==?=。
微 信 公 众 号 ： 学 习 资 料 杂 货 铺 同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第一学期 一、填空题（每空3分，共24分） 1、 设1α、2α、3α均为3维列向量，已知矩阵 123(,,)A ααα=, ()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3，且1A =，那么B = -12 . 2、 设分块矩阵A O C O B ?? =? ??? , ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为4 . (A).若,A B 均可逆, 则C 也可逆. (B).若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C).若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化. 3、 设23413 451 45617891 D = ，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0. 4、 设向量组(I):12,,,r αααL 可由向量组(II):12,,,s βββL 线性表示，则 D 成立.(注：此题单选) (A)．当r s <时，向量组（II）必线性相关 (B)．当r s >时，向量组（II）必线性相关 (C)．当r s <时，向量组（I）必线性相关 (D)．当r s >时，向量组（I）必线性相 关 5、 已知方阵A 满足2 23A A O +=, 则() 1 A E ?+= E+2A . 6、 当矩阵A 满足下面条件中的 ABC 时,推理“若AB O =， 则B O =”可成立. （注：此题可多选） (A).A 可逆(B).A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数） (C).A 的列向量组线性无关 (D).A O ≠7、 设矩阵,A B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1,2?为 A 的特征值， B 的所有对角元的和为5， 则矩阵B 的全部特征值为 1,-2,6 . 8、 设n J 是所有元素均为1的n 阶方阵(2n ≥)，则n J 的互不相同的特征值的个数为2 . 二、（10分）已知矩阵200011031A ????=??????，100052021B ????=??????, 112101030C ???? =??????? .
2016年线性代数期中考试试卷
A 卷 考试日期: 2016.5 第 2 页 共 9 页 考试时间120分钟 中国民航大学《线性代数》期中试题A 卷 一、填空、选择题(每题3分，共24分) 1、 设自然数从小到大为标准次序，则排列32514的逆序数是_______________ 2、矩阵A =??????????--452301143的伴随阵=*A _______________ 3、矩阵A =??????????-174532321的秩为_______________ 4、若44535231a a a a a j i 是5阶行列式中带正号的一项，则i,j 的值为（ ） A 、i=1,j=3 B 、i=2,j=3 C 、i=1,j=2 D 、i=2,j=1
第 3 页共 9 页考试时间120分钟
第 4 页 共 9 页 考试时间120分钟 求444342414226A A A A +-+ 3、设A =??????????--111111111，B =??????????--150421321，求AB 3及B A T 4，求方阵A =???? ??????---011145223的逆矩阵。
第 5 页 共 9 页 考试时间120分钟 三、（8分）计算n 阶行列式 x a a a x a a a x D n .
第 6 页 共 9 页 考试时间120分钟 四、（8分）设100,,421,312A ab A b a T 求=????? ??-=????? ??= 五、（10分）设 .,82),1,2,1(B E BA BA A diag A 求矩阵-=-=*
昆明理工大学2017年硕士研究生招生入学考试试题(A卷) 考试科目代码：845考试科目名称：光学（几何光学基础+波动光学） 考生答题须知 1．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。 请考生务必在答题纸上写清题号。 2．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。 3．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。 4．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。 一、选择题（单选，每题5分，共60分） 1、光由空气进入水中后，下列哪个叙述是错误的： （Ａ）光速将减慢（Ｂ）波长不变（Ｃ）频率不变（Ｄ）波长将缩短 2、理想光学系统的成像性质中不包括下列哪一项 （Ａ）点成像为点（Ｂ）物方焦点成像为像方焦点 （Ｃ）直线成像为直线（Ｄ）平面成像为平面 3、显微镜目镜上所标出的倍率是指目镜的 （Ａ）视角放大率（Ｂ）角放大率（Ｃ）垂轴放大率（Ｄ）轴向放大率 4、几何光学中所说的实像是指： （A）实际存在的像（B）与原物相同的像 （C）与原物相似的像（Ｄ）像平面位于像空间的像 5、将高倍显微镜物镜浸没在液体中使用的目的是： （Ａ）保护物镜（Ｂ）保护被观察的微小物体样本 （Ｃ）便于照明被观察的微小物体样本（Ｄ）增大物镜的数值孔径 6、设计目视光学仪器时需要考虑 （Ａ）Ｄ光折射率（Ｂ）Ｃ光折射率 （Ｃ）Ｆ光折射率（Ｄ）Ｃ、Ｄ、Ｆ全都考虑 7、用波长为λ的单色光照射迈克尔逊干涉仪观察干涉条纹，若在干涉仪的一条光臂中垂直插入厚度为d的透明薄片，发现某固定观察点上的条纹移动了M条，则该透明薄片的材料折射率n应为：（A）Mλ/d（B）Mλ/(2d)（C）1+Mλ/d（D）1+Mλ/(2d) 8、在杨氏双缝干涉实验中，狭缝S放置在双缝S1和S2的中垂线上；若仅将狭缝S1和S2的间距d 减小，其余不变，则变化前后观察到的干涉条纹 （A）形状不变，但条纹间距减小（B）形状不变，但条纹间距增大 （C）形状不变，但条纹总体上移（D）形状不变，但条纹总体下移 第0 页共3页
《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2． 设A 、B 为4阶方阵，且,2||1 =-A 813=B ，则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4．设??????????=210110001A ，则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性 相关 ． 6．设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关， 则=t 8 ． 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ，???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择
1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0. 2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =． .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关； )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η，???? ????????=+444432ηη， 则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ） )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ）
线性代数期中考试试卷 精选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-
3、矩阵A =???? ??????-174532321的秩为_______________ 4、若44535231a a a a a j i 是5阶行列式中带正号的一项，则i,j 的值为 （ ） A 、i=1,j=3 B 、i=2,j=3 C 、i=1,j=2 D 、i=2,j=1 5、行列式D 非零的充分条件是（ ） A 、D 的所有元素非零； B 、D 至少有n 个元素非零； C 、 D 的任意两行元素之间不成比例； D 、以D 为系数行列式的线性方程组有唯一解。 6、设矩阵A 中有一个k-1阶子式不为零，且所有k+1阶子式全为零，则A 的秩r 必为（ ）
A 、r=k B 、r=k-1 C 、r=k+1 D 、r=k-1或r=k 7、矩阵A =???? ??????-311432000321的行最简形矩阵为_______________ 8、设A 为2阶矩阵，且2 1=A ，则()=-*-A A 521__________ 二、求解下列各题（每题6分，共24分） 1、计算行列式52222 5222 2522225=D 2、设33511102 4315 2113 -----=D ，记D 的(i,j) 元的代数余子式为ij A ，
求444342414226A A A A +-+ 3、设A =????? ?????--111111111，B =??????? ???--15 042 132 1，求AB 3及B A T 4，求方阵A =?? ?? ? ?????---011145223的逆矩阵。
2009年7月高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数试题 课程代码：02198 试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A * 表示A 的伴随矩阵；R （A ）表示矩阵 A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A ，B ，C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A ．（A +B ）T =A T +B T B ．|AB |=|A ||B | C ．A （B +C ）=BA +CA D ．（AB ）T =B T A T 2．已知3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a =3，那么33 32 31 23222113 12 11222222a a a a a a a a a ---=（ ） A ．-24 B ．-12 C ．-6 D ．12 3．若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（ ） A ．A = | |1A A * B ．|A |=0 C ．（A 2）-1=（A -1）2 D ．（3A ）-1=3A -1 4．若 A =?? ????-25 1 21 3 ，B =??? ? ????-12 32 14 ，C =?? ???? --21 312 ，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩 阵的是（ ） A ．ABC B ．AC T B T C ．CBA D ．C T B T A T 5．设有向量组A ：4321,,,αααα，其中α1，α2，α3线性无关，则（ ） A ．α1，α 3线性无关 B ．α1，α2，α3，α4线性无关 C ．α1，α2，α3，α4线性相关 D ．α2，α3，α 4线性无关 6．若四阶方阵的秩为3，则（ ） A ．A 为可逆阵 B ．齐次方程组Ax =0有非零解 C ．齐次方程组Ax =0只有零解 D ．非齐次方程组Ax =b 必有解 7．已知方阵A 与对角阵B =??? ? ????---20 020 00 2 相似，则A 2 =（ ） A ．-64E B ．-E
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 25 分） 1 3 1 1.若0 5 x 0 ，则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。 x1x2x30 3．已知矩阵 A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4．已知矩阵A 为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。 5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。 二、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（） A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（） 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（） 1
x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 ．已知矩阵 A , 其特征值为（ ） 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 （每小题 10 分，共 50 分） 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ，求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？ 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时，线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明：若 A 是 n 阶方阵，且 AA A1， 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I ， 2
珠海校区2009年度第一学期《线性代数》期中考试卷 姓名：专业：学号：成绩： 一，填空题（每题3分，共24分） 1.在5 阶行列式中，含有a13a34a51且带有负号的项是________________ 2.设A是3阶方阵，| A |= 1/3 ，则|（3A）-1 + 2A*| = 1 1 0 0 1 1 1 1 3. 5 2 0 0 = ： 4 . x c b a = ; 0 0 3 6 x2c2b2a2 0 0 1 4 x3c3b3a3 5 . 已知矩阵A = 1 1 , B = 1 0 , 则AB – BA T = ; 0 -1 1 1 1 0 2 6. 已知矩阵A = 1 k 0 的秩为2 ,则k = ; 1 1 1 2 1 1 1 7. 1 2 1 1 = ; 8. 若A = diag( 1 ,2 ,3 ,4 ) , 则A-1= ; 1 1 2 1 1 1 1 2 二. 判断题（每题2分，共10分） 1. 任一n 阶对角阵必可与同阶的方阵交换。（） 2. n 阶行列式中副对角线上元素的乘积a n1a n-1,2…a1n总是带负号的（） 3. 若A为n 阶方阵，则（A*）T = ( A T )* （） 4. 设A , B 为n 阶方阵，则有（AB）3= A3B3（） 5. 设A与B 为同型矩阵，则A ~ B的充要条件是R（A）=R ( B ) ( ) 三,计算下列行列式( 每题8 分,共16 分) -2 -1 1 -1 0 1 0 …0 0 D4 = -2 2 4 8 1 0 1 …0 0 -2 1 1 1 D n = 0 1 0 …0 0 -2 -2 4 8 . . . . . 0 0 0 …0 1 0 0 0 … 1 0 -1 -1 0 四. 已知 A = -1 0 1 且AB = A – 2B , 求 B . 2 2 1
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式 m b b a a =2 1 21， n c c b b =2 1 21，则 =++2 21 121c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 4．??? ? ? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ，????? ??=3332312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关 C ．由1个非零向量组成的向量组线性相关 D ．2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7．已知向量组321,,ααα线性无关，βααα,,,321线性相关，则（ D ）
2016年云南昆明理工大学光学考研真题A卷 一、选择题（单选，每题5分，共60分） 1、总能让经过的光线偏折离开光轴的透镜是 （Ａ）凸透镜（Ｂ）凹透镜（Ｃ）正透镜（Ｄ）负透镜 2、与单筒望远镜相比，双筒望远镜的优点是 （Ａ）缩小了望远镜的长度（Ｂ）提高了望远镜的成像质量 （Ｃ）增加了观察时的体视感（Ｄ）增加了望眼镜的牢固程度 3、显微镜的分辨率取决于 （Ａ）物镜的数值孔径（Ｂ）物镜的倍率（Ｃ）目镜的倍率（Ｄ）目镜的分辨率 4、关于望远镜的描述，下列哪一项是正确的 （Ａ）望远镜物镜与目镜组合后的总光焦度为零 （Ｂ）望远镜只能采用一正一负的光焦度组合 （Ｃ）望远镜所成的像都是正立的 （Ｄ）望远镜能将远处的物体尺寸放大 5、正常人眼观察物体时，在视网膜上所成的像属于 （Ａ）倒立缩小实像（Ｂ）倒立放大虚像（Ｃ）正立缩小实像（Ｄ）正立放大虚像 6、光学镜头一般都由多片透镜组合而成，透镜组合的目的是 （Ａ）可以消除杂散光（Ｂ）增加镜头的复杂程度 （Ｃ）提高镜头的成像质量（Ｄ）增加镜头的牢固程度 7、用波长为λ的单色光照射迈克尔逊干涉仪观察干涉条纹，现在干涉仪的一条光臂中插入折射率为n的薄片透明，发现原来的干涉条纹移动了M个条纹的位置，则该透明薄片的厚度d应为。 （A）Mλ/n（B）Mλ/(2n)（C）Mλ/(n-1) （D）Mλ/[2 (n-1)] 8、在杨氏双缝干涉实验中，狭缝S放置在双缝S1和S2的中垂线上，若现将狭缝S1和S2整 （A）形状不变，但条纹间距减小 （B）形状不变，但条纹间距增大 （C）形状不变，但条纹总体上移
（D ）形状不变，但条纹总体下移 9、光波是横波，与光波该性质有关的现象是 （A ）光的偏振现象 （B ）光的干涉现象 （C ）光的衍射现象 （D ）光电效应现象 10、一束振动方向垂直于入射面的线偏振光以布儒斯特角入射到介质分界面上，则透射光 （A ）观察不到透射光 （B ）还是偏振方向不变的线偏振光 （C ）振动方向平行于反射面的线偏振光 （D ）部分偏振光 11、在夫琅和费单缝衍射实验中，若将单缝换为直径为d 的不透光细丝，用波长为λ的平行单色光垂直照射，如果观察屏仍放置在焦距为f 的透镜的焦面上，则 （A ）光线被挡，观察不到衍射条纹 （B ）中央是一线宽度为Δl = d f λ2的衍射暗纹 （C ）中央是一线宽度为Δl =d f λ2的衍射明纹 （D ）中央是一线宽度为Δl =d 的清晰暗线 12、一束平行光波垂直照射牛顿环转置，观察反射光形成的干涉条纹，这些干涉环的特点是 （A ）中心条纹密，但条纹级次高 （B ）中心条纹密，且条纹级次低 （C ）中心条纹疏，但条纹级次高 （D ）中心条纹疏，且条纹级次低 二、几何光学简答题 （每题5分，共 20 分） 1、几何光学中所说的理想光学系统是什么？它有什么性质？ 2、望远镜的倍率指的是什么？它由什么决定？ 3、几何光学中的五种单色像差分别是什么？ 4、什么是显微镜的景深？它与显微镜的数值孔径和放大倍率是什么关系？ 三、几何光学作图题 （注意：非实际光线请用虚线表示） （10分） 两个正光焦度的共轴光学系统，各自的主平面和焦点位置如下图所示。请用作图法找出该组合系统的像方焦点位置。（注意：作图辅助线和非实际光线必须用虚线表示） 四、几何光学证明题 （10分） 物理光学告诉我们，圆孔衍射中央亮斑的半径为：max sin 61.0U n R ''=λ，式中λ 为光的波
线性代数B 期末试题 一、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分) 1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。 （ ） 2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。 （ ） 3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。 ( ) 4．若B A ,均为n 阶方阵，则当B A >时，B A ,一定不相似。 ( ) 5．n 维向量组{}4321,,,αααα线性相关，则{}321,,ααα也线性相关。 （ ） 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。 （A ）001010100????????? ? (B)100000010?????????? (C) 100020001??????????(D) 100012001?? ??-?????? 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+ 3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。则 1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1 ()3A E + 4．设A 为n m ?矩阵，则有（ ）。 （A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解； （B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量； （C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。 5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ） （A ）A 与B 相似 （B ）A B ≠，但|A-B |=0
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
2009年云南昆明理工大学光学考研真题A 卷 一、选择题（单选，每题3分，共 60 分） 1、下列哪一种情况有可能发生全反射 （Ａ）光从空气中射入水中 （Ｂ）光从水中射入玻璃中 （Ｃ）光垂直照射玻璃表面 （Ｄ）光从玻璃中射入空气中 2、一束单色光射入三棱镜中，则出射光将 （Ａ）分为多束 （Ｂ）与入射光方向相同 （Ｃ）朝棱镜变厚的一侧偏折 （Ｄ）朝棱镜变薄的一侧偏折 3、下列现象中不能用费马原理解释的是 （Ａ）光在均匀介质中的直线传播 （Ｂ）光在介质分界面上的反射 （Ｃ）光在介质分界面处的折射 （Ｄ）光在晶体中的双折射 4、显微镜的分辨率取决于 （Ａ）物镜的数值孔径 （Ｂ）物镜的倍率 （Ｃ）目镜的倍率 （Ｄ）目镜的分辨率 5、将高倍显微镜物镜浸没在液体中使用的目的是 （Ａ）保护物镜 （Ｂ）保护被观察的微小物体样本 （Ｃ）便于照明被观察的微小物体样本 （Ｄ）增大物镜的数值孔径 6、望远镜的分辨率由下面的哪一个参数决定 （Ａ）物镜焦距 （Ｂ）目镜焦距 （Ｃ）入瞳直径 （Ｄ）目镜口径 7、望远镜的倍率与视场的关系是 （Ａ）无关 （Ｂ）倍率越高视场越大 （Ｃ）倍率越高视场越小 （Ｄ）视场大小确定则倍率也就确定 8、使用照相机拍摄时 （Ａ）光圈数越大则景深越大 （Ｂ）拍摄距离越近则景深越大 （Ｃ）景深越大则所拍摄照片的分辨率越高 （Ｄ）物镜焦距越短则景深越大 9、加大照相机的光圈数可以 （Ａ）减小像面照度 （Ｂ）扩大视场 （Ｃ）扩大拍摄距离 （Ｄ）提高物镜分辨率 10、下列关于投影仪投影镜头的叙述，你认为哪项是错误的 （Ａ）投影镜头可等效于一个汇聚透镜 （Ｂ）投影镜头可等效于一个发散透镜 （Ｃ）投影镜头必须消像差 （Ｄ）投影镜头必须能够调焦 11、瑞利判据给出了光学系统最小分辨角的一个标准。按瑞利判据，光学系统的最小分辨角为（D 为入瞳直径）： （A ）D λ22 .1 （B ）D λ44.2 （C ）λD 22.1 （D ）λD 44.2
全国2018年4月高等教育自学考试 线性代数试题 课程代码：02198 试卷说明：A T表示矩阵A的转置矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（）