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利用导数研究函数零点(完美总结)

利用导数研究含参函数零点问题

利用导数研究含参函数零点问题主要有两中方法：

（1）利用导数研究函数 f （ x ）的最（极）值，转化为函数 f （x ）图像与 x 轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题；（2）分离参变量，即由 f （x ） 0分离参变量，得 a g （x ），研究 y a 与 y g （x ）图像交点问题。

例 1．已知函数 f x a x e x 1 lna （ a 0且 a 1）， e 为自然对数的底数．

a （Ⅰ）当 a e 时，求函数 y f x 在区间 x 0,2 上的最大值；

（Ⅱ）若函数 f x 只有一个零点，求 a 的值．

Ⅰ）求函数 f x 的单调区间；

Ⅱ）当 m 0 时，讨论函数 f x 与 g x 图像的交点个数．

例 2.（2014 年湖北卷）已知函数 f x lnx 1ax 2（ a R ）

变 1：设函数

1 x

2 mln x ， 2 gx x 2 m 1 x ．

（1）求函数f x 的单调区间；

（2）讨论函数f x 在区间1,e2上零点的个数.

变2：（2017 年全国卷1）已知函数f （x） a e2x（a 2） e x x （1）讨论f （ x）的单调性；

（2）若f （x）有两个零点，求 a 的取值范围.

练习1．( 2018 年全国卷2)已知函数 f (x) e x ax2．

(1)若 a 1 ，证明：当x≥0时， f (x)≥1； (2)若f(x)在(0, )只有一个零点，求a．

2.(2018 年福建联考)已知函数f (x) (x 1)e x ax2

2 ( 1)讨论f ( x) 的单调性；

( 2)若f ( x) 有两个零点，求 a 的取值范围.

3. ( 2019年衡水联考金卷)已知函数f (x) (x 3)e x a(x 2) 2，其中e为自然对数的底数，a R ；

(1)若f ( x)恰有两个零点，求实数a 的取值范围；

(2)当a 0,x 1时，求证：e x f (x) e x 9e x. (参考数据：e2 7.389 )

(x 2)e x a(x 1)2有两个零点，

4. (2016 年新课标1卷)已知函数f(x)

1)求a 的取值范围；

2)设x1,x2是f (x)的两个零点，证明：x1 x2 2.

作业：

1. 设 a>1，函数 f(x) ＝(1＋x )e －a.

(1) 求 f(x) 的单调区间；

(2) 证明： f(x) 在( －∞，＋∞ )上仅有一个零点．

k 为常数．

(1) 当 k ＝4 时，求函数的单调区间；

(2) 若曲线 y ＝ f(x) 与直线 y ＝k 只有一个交点，求实数 (1) 当 a ＝－ 1 时，求函数 f(x) 的极值；

(2) 若函数 F(x) ＝f(x) ＋1 没有零点，求实数 a 的取值范围．

3. 已知函数 f(x) (a<0)

k 的取值范围． 2. 函数 f(x) 其中实数

4. 已知函数f(x) ＝(x ＋a)e x，其中 e 是自然对数的底数，a∈R.

(1) 求函数f(x) 的单调区间；

(2) 当a<1 时，试确定函数g(x) ＝f(x －a) －x2的零点个数，并说明理由．

5. 已知函数f (x) ln x ax2bx.

(1) 若b 1 a ，讨论f (x) 的单调性；

(2) 若a 0时函数有两个不同的零点，求实数b 的取值范围

ax 1

6(. 2015年广东卷21第2问)已知函数f(x) xe ax lnx e(a R)，设g(x) ln x e,

若函数y f (x)与y g( x)的图像有两个不同的交点，求实数 a 的取值范围.

7. ( 2019 年深圳三模)已知函数f(x) ln ax (a 0,b 0),对于任意的x 0，都2x

4 有f (x) f( ) 0.

(1)讨论f (x) 的单调性；

2)当f ( x)存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围

高考数学(理)总复习：利用导数解决函数零点问题

题型一利用导数讨论函数零点的个数【题型要点解析】对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．1.已知f (x )＝ ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝????? f (x )，f (x )≥ g (x )，g (x )，f (x )0)的零点个数．【解】 (1)∈函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∈f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1 ＝0或x 2＝2 a ，∈a >0，∈x 1

即不等式2a ≤1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上有解．设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1 x 3(x ∈[1,2])， ∈y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立， ∈y ＝1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上单调递减， ∈当x ＝1时，y ＝1x 3＋3 x 的最大值为4， ∈2a ≤4，即a ≤2. (3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ?? ? ??a 2＝1－4a 2， ∈当1－4 a 2>0，即a >2时，f (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋ ∞)上无零点． ∈当1－4 a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0. 又g (1)＝0，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有一个零点． ∈当1－4 a 2<0，即00， ∈存在唯一的x 0∈?? ? ??1,1e ，使得φ(x 0)＝0， (∈)当0