阿贝尔群、循环群、置换群：各种不同的群。
?什么是阿贝尔群
?若群
?在一个阿贝尔群
?在阿贝尔群中，易见有如下指数律成立
?(a?b)m=a m?b m，m为任意整数
知识回顾
?生成子群
设G为群, a G,
即a的所有的幂构成的集合, 为G的子群, 称为由a生成的子群.
循环群的定义
定义8.10
设G是群，若存在a∈G使得
G={a k| k∈Z}
则称G是循环群，记作G=，称a 为G 的生成元.
循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群.
G = { a0=e, a1, a2, … , a n-1 }
那么|G| = n，称G 为n 阶循环群.
若a 是无限阶元，则
G = { a0=e, a±1, a±2, … }
称G 为无限循环群.
实例：
循环群的生成元
定理8.13
设G=是循环群.
(1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a-1.
(2) 若G是n 阶循环群，则G含有φ(n)个生成元. 对于任何小于n且与n互质的数r∈{0,1,…,n-1}, a r是G的生成元.
φ(n)称为欧拉函数，例如n=12，小于或等于12且与12互素的正整数有4个：
1, 5, 7, 11，
所以φ(12)=4.
例10
(1) 设G={e, a, … , a11}是12阶循环群，则φ(12)=4.
小于12且与12互素的数是1, 5, 7, 11, 由定理8.13可知a, a5, a7和a11是G的生成元.
(2) 设G=
小于9且与9互素的数是1, 2, 4, 5, 7, 8. 根据定理8.13，G的生成元是1, 2, 4, 5, 7和8.
(3) 设G=3Z={3z | z∈Z}, G上的运算是普通加法. 那么G只有两个
生成元：3和-3.
循环群的子群
定理8.14
设G=是循环群.
(1) G的子群仍是循环群.
(2) 若G=是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群.
(3) 若G=是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d 阶子
群.
例11
(1) G=
对于自然数m∈N，1的m次幂是m，m生成的子群是mZ，m∈N. 即
<0> = {0} = 0Z
(2) G=Z12是12阶循环群. 12正因子是1,2,3,4,6和12，G 的子群:
1阶子群<12>=<0>={0}
2阶子群<6>={0,6}
3阶子群<4>={0,4,8}
4阶子群<3>={0,3,6,9}
6阶子群<2>={0,2,4,6,8,10}
12阶子群<1>=Z12
?适合交换律的群称为阿贝尔群，阿贝尔群适合指数律。
?由一个元素的幂构成的群称为循环群，循环群中各元素的的阶是循环群的重要性质。
?由n元置换的集合和置换的复合构成的群称为n元置换群，特别地，由全部n元置换构成的群称为n元对称群。
§8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。 注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是
()S M 的一个子群。 推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====,. 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自 同构也有6 个，43Aut K S ?。 2.循环群的自同构群 定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ? 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。 证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应，
幂子群与循环群的充要条件 摘要：在群的理论研究中，通过对群的幂子群与循环群的研究，来探讨群的性质是群论研究中的一条很重要的途径。本文在前人研究的基础上，通过对幂子群和循环群的充要条件进一步研究，有利于对基础数学的更深的认识。 关键词：幂子群循环群充要条件 代数学是数学的一个古老分支，有着悠久的历史。数是大家研究数学的最基本的对象，数的最基本的运算是加、减、乘、除。但是，数不是我们研究数学的唯一对象，而且我们所遇到的许多运算也不全是数的普通加、减、乘、除。例如，向量、多项式、函数、矩阵和线性变换等等，它们虽然都不是数，但却也可以类似于数那样来进行运算。特别是，尽管这些研究对象千差万别，各有自己的特性，但从运算的角度看却有着很多共同的性质。它的结论与方法在数学、物理、化学、正交试验设计和编码等理论中都有重要应用。 一、幂子群与循环群概述 （一）幂子群 设G为群，H是它的一个子群，若存在正整数n使得 H=，则称H为G的一个幂子群，记为H=Gn。设G为群，如果对任意g∈G，都有g0∈G使得g0=g0P，那么显然有G
的幂子群Gp满足Gp=G。由于群间的同构关系具有反身性、对称性、和传递性，凡无限循环群均彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构。而不同阶的群，由于不能建立双射，当然不能同构。因此，我们可以说，在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群Z和n次单位根群Un。 1.当Hl，H2，H3，H4都是正规子群时，则G中的所有子群都是正规子群，因此G是Dedekind群，故G是幂零的； 2.显然G中不可能只有一个子群不是正规子群。下面我们讨论G中只有两个子群不是正规子群，设Hl，H2不是正规子群，H3，H4是正规子群，则显然有Hl与H2是共轭的。若NG（Hl）=Hl，则有|G：Hl|=2，那么由定理知HlG矛盾，因此只能有HlG（Hl）G，同理H2NG（H2）G，由此G中所有的子群都是次正规子群，由定理知G是幂零的。 （二）循环群 设M是群G的任意一个非空子集，G中包含M的子群是存在的。当然，G中可能还有别的子群也包含M。现在用〈M〉表示G中包含M的一切子群的交，则〈M〉仍是G 中包含M的一个子群，而且G中任意一个子群只要包含M，就必包含〈M〉。所以〈M〉是群G中包含M的最小子群。 一个群（G，?）称为循环群，假如存在一个元素a∈G，使G={an|n∈Z元素a称为这个循环群的生成元，记为G=。根据元素的阶的性质，可知循环群共有两种类型：
> §8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： ！ 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构 群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11 ()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1 σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 · 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是 ()S M 的一个子群。 推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 ` 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ 是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====, . 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43Aut K S ?。 {
石家庄铁道学院2005-2006学年第2学期 2002级本科班期末考试试卷 课程名称：离散数学考试时间：120 分钟 学号：姓名：班级： 考试性质（学生填写）：正常考试（）缓考补考（）重修（）提前修读（） 一．选择题： 1．若f、g是满射，则复合函数f。g必是（） A．映射 B. 单射C．满射D．双射 2.任意一个具有多个等幂元的半群，它（） Ａ．不能构成群Ｂ．不一定能构成群Ｃ．必能构成群Ｄ．能构成交换群３．设S={a,b},则S上总共可定义的二元运算的个数是（） Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．32 ４．R为实数集，运算*定义为：a,b∈R,a*b=a·|b|,则代数系统（R,*）是（） A．半群 B. 独异点C．群D．阿贝尔群 ５．在代数系统中整环和域的关系为（） A．整环一定是域 B.域不一定是整环 C．域一定是整环 D.域一定不是整环 ６．图G和H的结点和边分别存在一一对应关系是G和H同构的（） A .充分条件 B。必要条件 C。充要条件 D。既不充分也不必要 ７．设G=
第4章 数论与有限域的基本概念
1
课程内容大纲
1. 引言
第一部分：对称密码
2. 传统加密技术
第三部分：密码学数据完整性算法
11.密码学与Hash函数
3. 分组密码与数据加密标准（DES） 12.消息认证码（MAC） 4. 数论与有限域的基本概念 13.数字签名 5. 高级加密标准（AES） 6. 分组密码的工作模式 7. 伪随机数的产生和流密码
第四部分：相互信任
14.密钥管理与分发 15.用户认证
第二部分：公钥密码
8. 数论入门 9. 公钥密码学与RSA 10. 密钥管理和其他公钥密码体制
2
讲课内容
? 整除性和除法 ? Euclid算法 ? 模运算 ? 群、环和域 ? 有限域G(p) ? 多项式运算 ? 有限域GF(2n)
3
简介
? 有限域（finite fields） ? 在密码领域的重要性日益突出
?AES, Elliptic Curve, IDEA, Public Key
? 对“数”的操作 ? 概念：群(group)、环(ring)和域(field)
4
群
? Group,定义了二元运算的集合，记为{G, ·} ? 集合上的二元运算结果仍在该集合中(封闭性) ? 遵循:
?封闭性：a,b属于G，则a.b属于G ?结合律: (a.b).c = a.(b.c) ?单位元 e: e.a = a.e = a ?逆元 a-1: a.a-1 = e
? 有限群、无限群 ? 如果满足交换律
a.b = b.a
5
则构成阿贝尔群(Abelian group)
§8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1 σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。 注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是 ()S M 的一个子群。
推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====,L . 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43Aut K S ?。 2.循环群的自同构群 定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ? 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。 证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应， 而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。
题目：S3，S4的自同态和自同构学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 姓名： 学号： 指导教师： 时间： 2012年6月17日
摘要 本文讨论了三次对称群S3和四次对称群S4各自所拥有的子群，以及找出S3，S4各自的自同态，自同构，检验各自的子群在自同态和自同构下是否保持不变。 关键词: 对称群，子群，不变子群，自同态，自同构。 一、S 4和S 4 的子群：
假如对于代数运算 和 来说，有一个A到A的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算 和 来说，A与A同态。 假如对于代数运算 和 来说，有一个A到A的同构映射存在，我们就说，对于代数运算 和 来说，A与A同构。 S 3 ={(1),(12),(13),(23),（123），（132）}， S 4 ={(1)， (12),(34),(13),(24)，（14），(23)， (123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432), (12)(34),(13)(24),(14)(23)}. 其中,在S 3 里，(1)、(12) 、(13) 、(23)的逆元就是它们自己本身, （123）与（132）互为逆元。 在S 4 里，(1) 、(12) 、(34) 、(13) 、(24) 、（14）、(23) 、(12)(34) 、(13)(24) 、(14)(23) 的逆元就是它们自己本身，（123）与（132）互为逆元，(134)与(143)互为逆元, (124)与(142) 互为逆元，(234)与(243) 互为逆元，(1234)与(1432) 互为逆元，(1243)与(1342) 互为逆元，(1324)与(1423) 互为逆元。 S 3的子群有H 1 ={（1）}， H 2 ={（1），（12）}， H 3 ={（1），（13）}， H 4 ={（1），（23）} ， H 5 ={（1），（123），（132）}， H 6=S 3 。 其中H 1和H 6 为S 3 的平凡子群。
（V ）循环群·变换群和置换群 一、定义及例子 1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】 2、例子： （1）Z =（1） （2）(Z 12，+)=（[1]）=([11]) 注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】 （3）n 次单位根群Un 【Unit 】 )(),(},1|{0ω=??∈==∈≠*C C x x x U N n n n n n i ππω22 sin cos += 二、生成元，循环群 1、循环群的元素 ???∞ =∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元 （1）1,)(±=?∞=r a a o r 是生成元 （2）1),(,)(=?=n r a n a o r 是生成元 {} x i x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。 的数中与：小于欧拉数?? 如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11]) 三、循环群的子群 1、循环群的子群是循环群 2、循环群子群的分类 } |1|){(G ),(,0)()2(} 0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为 则设的所有子群为 则设≤≤=>=≥=∞= 变换群和置换群
·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。 ·(ij)=(1i)(1j)(1i) ·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ） 置换的性质 ) ()...()()...(6],...,,[)()(5/ */*)...)(...()...)( (4) ...()...(3))...((2) ...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i r r r r o r o i i i j j j j j j i i i i i i i i i r i i i o i i i i i i i i i i σσσσσσσσσσσ====???======----、附加：则不相连）且是循环置换的表示（互、前提：无交、、、、
阿贝尔群、循环群、置换群：各种不同的群。
?什么是阿贝尔群 ?若群
知识回顾 ?生成子群 设G为群, a G, 即a的所有的幂构成的集合, 为G的子群, 称为由a生成的子群.
循环群的定义 定义8.10 设G是群，若存在a∈G使得 G={a k| k∈Z} 则称G是循环群，记作G=，称a 为G 的生成元. 循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群. 设G=是循环群，若a是n 阶元，则 G = { a0=e, a1, a2, … , a n-1 } 那么|G| = n，称G 为n 阶循环群. 若a 是无限阶元，则 G = { a0=e, a±1, a±2, … } 称G 为无限循环群. 实例：
例10 (1) 设G={e, a, … , a11}是12阶循环群，则φ(12)=4. 小于12且与12互素的数是1, 5, 7, 11, 由定理8.13可知a, a5, a7和a11是G的生成元. (2) 设G=
淮北师范大学 2012届学士学位论文 循环群的性质研究 学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向高等代数 学生姓名潘帅 学号20081101142 指导教师姓名张波 指导教师职称讲师 2012年4月3日
循环群的性质研究 潘帅 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 设G是一个群，a G ，如果群G中的每一个元素都能写成元素a的乘方的形式，则称G是一个循环群，循环群是近世代数中的一个重要内容，也是一类基本研究明白的群，本文主要讨论了循环群的相关性质及其应用。 文中首先介绍了群的相关基础知识，由此引出循环群的定义和它的相关性质，讨论了循环群及其元素，子群间的关系，然后利用循环群的基础理论讨论了循环群的同态、同构，并给出了循环群的自同构群是交换群的结论。 关键词：循环群，子群，同构，自同构群
Study on the Properties of Cyclic Groups Pan Shuai (School of Mathematical science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000 ) Abstract Let G be a group, a G ∈. If every element can be written the form n a where ∈, then the group is a cyclic group. Cyclic groups is an important content in the n Z+ algebra, also a kind of group was nearly researched understand, this subject mainly discussed the cyclic group related properties and application. The basic knowledge of relevant firstly be introduced in this subject, then drawn out the definitions of circulation and some related properties, discussed the cyclic group and its elements, even the relations between the subgroup, and used the circulation of the foundation of the theory to discuss the circulation about the homomorphism and isomorphism, lastly made us know the conclusions what automorphism group of circulation group is an exchange of group. Keywords：cyclic group, subgroup, isomorphism, automorphism group
近世代数作业 学院：数学与统计学院 班级：09级（1）班 姓名：崔新林 学号：090901103
一、抽象代数简介及其发展史 抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。 抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。 被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。 1843年，哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，Grassmann 推演出更有一般性的几类代数。1857年，凯莱设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。 1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。 有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是诺特, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。 诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(李群)下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。 1920-1927年间她主要研究交换代数与「交换算术」。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。 1927－1935年，诺特研究非交换代数与「非交换算术」。她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。后又引进交叉积的概念并用决定有限维枷罗瓦扩张
§7循环群 本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题. 先看一个简单的例子：{} ΛΛ,10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂. 一、循环群的概念 1.定义 G 称为循环群?群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂???倍数－－针对加法 乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ?=)(是群，且???==∈?∈?)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！） 【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】 2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-?a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】 3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】 ①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=?=±n n Θ】 问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=?∈==∈?=k Z k n nk k k Z 】 *实际上可进一步证明：)()(a G a o =?∞=只有两个生成元1 ,-a a .【课外思考题】 【设)(b G =，则有111,,)(-=?=?=?==∈∞=or s st a a b a a b Z t s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z . 问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】 *实际上可进一步证明：)()(a G n a o =?=的生成元为r a 当且仅当1),(=n r .【习题】 【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a a a vn ur =?====?=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=?-?=?=?===-n r rk n e a a a a a G n a o rk k r r .】 ◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a Λ. ◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元. 二、循环群的种类 1.结构定理 设循环群)(a G =同构于???=+∞=+n a o if Z a o if Z n )(),,()(),,(. 证明 注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处! (1)设∞=)(a o 【作用：0=?=k e a k 】此时，令k a Z G k →→,:?，可证?是同构映射.(证略) 【?是映射：若h k a a =，则h k h k e a a o h k =?=-?=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证?是满射/单射. 再证?的同态性: )()()()()()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ???????+=+=+==?==?∈?+.】 (2)设n a o =)(【作用：k n e a k |?=】此时，令][,:k a Z G k n →→? ?是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a n a o h k =?-?==-，说明对应元唯一. ?是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===?=-?-=-)()(|. ?是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈?∈?? 再证?的同态性: )()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ???????+=+=+==?==?∈?+.
近世代数 近世代数即抽象代数。代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程组是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性质等问题。法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。 基本信息 中文名称 近世代数 理论构成 全部现代数学有重要的影响 概述 抽象代数 发展历史 抽象代数1843年 近世代数 图书详细信息 目录版权信息内容简介印刷时间:2009-2-1 理论构成 抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响。抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展。经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位。而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步
的发展并产生深刻的影响。泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来。抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念。后来凯利对群作了抽象定义(Cayley，1821~1895)。他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，可惜没有引起反响。"过早的抽象落到了聋子的耳朵里"。直到1878年，凯利又写了抽象群的四篇文章才引起注意。1874年，挪威数学家索甫斯·李(Sophus Lie, 1842~1899)在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群。1882年，英国的冯·戴克(von Dyck,1856~1934)把群论的三个主要来源-方程式论，数论和无限变换群-纳入统一的概念之中，并提出"生成元"概念。20世纪初给出了群的抽象公理系统。 群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开。例如，找出给定阶的有限群的全体。群分解为单群、可解群等问题一直被研究着。有限单群的分类问题在20世纪七、八十年代才获得可能是最终的解决。伯恩赛德(Burnside，1852~1927年)曾提出过许多问题和猜想。如1902年问道一个群G是有限生成且每个元素都是有限阶，G是不是有限群?并猜想每一个非交换的单群是偶数阶的。前者至今尚未解决，后者于1963年解决。 舒尔(Schur，1875~1941)于1901年提出有限群表示的问题。群特征标的研究由弗罗贝尼乌斯首先提出。庞加莱对群论抱有特殊的热情，他说:"群论就是那摒弃其内容而化为纯粹形式的整个数学。"这当然是过分夸大了。 抽象代数的另一部分是域论。1910年施泰尼茨(Steinitz，1871~1928)发表《域的代数理论》，成为抽象代数的重要里程碑。他提出素域的概念，定义了特征数为P的域，证明了每个域可由其素域经添加而得。 环论是抽象代数中较晚成熟的。尽管环和理想的构造在19世纪就可以找到，但抽象理论却完全是20世纪的产物。韦德伯恩(Wedderburn，1882~1948)《论超复数》一文中，研究了线形结合代数，这种代数实际上就是环。环和理想的系统理论由诺特给出。她开始工作时，环和理想的许多结果都已经有了，但当她将这些结果给予适当的确切表述时，就得到了抽象理论。诺特把多项式环的理想论包括在一般理想论之中，为代数整数的理想论和代数整函数的理想论建立了共同的基础。诺特对环和理想作了十分深刻的研究。人们认为这一总结性的工作在1926年臻于完成，因此，可以认为抽象代数形成的时间为1926年。范德瓦尔登根据诺特和阿廷的讲稿，写成《近世代数学》一书，(1955年第四版时改名为《代数学》)，其研究对象从研究代数方程根的计算与分布进到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构。这就发生了质变。由于抽象代数的一般性，它的方法和结果带有基本的性质，因而渗入到各个不同的数学分支。范德瓦尔登的《代数学》至今仍是学习代数的好书。人们从抽象代数奠基人--诺特、阿廷等人灿烂的成果中吸取到了营养，从那以后，代数研究有了长足进展。 发展历史折叠编辑本段 抽象代数折叠
尼尔斯·阿贝尔 尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802年8月5日－1829年4月6日），挪威数学家，以证明五次方程的根式解的不可能性和对椭圆函数论的研究而闻名。 生于挪威芬岛附近的Nedstrand，就读于奥斯陆大学。1825年得到政府资助，游学柏林和巴黎。生前不得志，无法获得教席俾专心研究,最后因肺结核 在挪威的弗鲁兰逝世。死后两天，来自柏林的聘书才寄到 家中。跟同样早逝的伽罗华一同被奉为群论的先驱。现代 有以他名字命名的阿贝尔奖。 数学成就 阿贝尔证明了二项式定理对所有的数字成立，扩展了欧拉 的研究：只对有理数成立。19岁时，他发现没有一般的代 数五次方程的根的解决方案。为了要做到这一点，他发明 （和伽罗瓦各自独立发明）极其重要的理论：群论。除 此之外，亚伯写了直到他去世后才被世人发现的椭圆函数 的巨著。阿贝尔曾谈及高斯的简洁的写作风格，“他是像狐 狸用尾巴抹去它的踪迹”，就如高斯自己说的：“建筑完成就要拆除脚手架。[1] 死因 在巴黎期间，阿贝尔曾染上肺结核。1828圣诞节，他跑遍雪橇到Froland再次访问他的未婚妻。夫妇一起享受假期使其病情稍有缓解。同时，克雷勒已为亚伯在柏林寻找新的工作，一个大学的教授职位。克雷勒4月8日写信给阿贝尔1829年告诉他这个好消息，但它来得太晚了，在这之前两天，阿贝尔病逝。 主要贡献和研究成果 ?椭圆函数论 ?阿贝尔积分理论 ?阿贝尔定理 ?阿贝尔群 ?阿贝尔判别法 阿贝尔群 阿贝尔群也称为交换群或可交换群，它满足其元素的运算不依赖于它们的次序(交换律公理)的群。阿贝尔群推广了整数集合的加法运算。阿贝尔群以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名。阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一。其基本研究对象是模和矢量空间。阿贝尔群的
习题4.3 1. 设>*<， G 是群，若G x ∈?有e x =2，证明>*<，G 为交换群。 解 略 2. 设>*<， G 是群，证明G 是交换群的充分必要条件是G b a ∈?，有222)(b a b a *=*。 解 必要性：如果G 是交换群， G b a ∈?，有222)(b a b a *=*是显然的。 充分性：根据222)(b a b a *=*得b b a a b a b a ***=***，再由消去律得b a a b *=*，即交换律成立，所以G 是交换群。 3. 设>*<，G 是群，并且对任意的G b a ∈，都有3 33)(b a b a *=*，555)(b a b a *=*，证明G 是交换群。 解 略 4. 设>*<， G 是有限半群，且满足消去律，证明G 是群。 解 对于G a ∈?，考虑集合 },,,,,{32 m a a a a a G = 由封闭性可知G G a ?。又由于G 是有限集，所以a G 也是有限集。故 必有0,>k n ，使得 k n n a a += 所以G b ∈?有 b a b a k n n *=*+ 由消去律可得 b a b k *= 这表明k a 是左单位元，同理可证它是右单位元，所以k a 是单位元。又因为 e a a a a a k k k ==*=*--11 所以，a 有逆元1-k a 。因此，>*<， G 是群。 5. 设>*<， G 是群，G c b a ∈，，，证明 ||||||b a c a c b c b a **=**=** 解 略 6. 设>*<，G 是群，G b a ∈，且a b b a *=*。如果m b n a ==||||， 且n 与m 互质，证明m n b a ?=*||。 解 略 7. 证明循环群一定是交换群，举例说明交换群不一定是循环群。 解 略 8. 证明由1的n 次复根的全体所组成的集合在复数乘法下构成一个n 阶循环群。 解 由代数的知识可知，1的n 次复根的全体所组成的集合为 }1,,2,1,0|{2-==n k e G i n k π }1,,2,1,0{,,,22-∈∈?n q p G e e i n q i n p ππ，有i n q p i n q i n p e e e πππ)(222+=?。若n q p <+，
群的子群反映了群的结构和性质，本节将用子群对群做一个划分，从而得到关于群与子群的一个重要定理：拉格 朗日定理。 主要内容： z陪集定义 z陪集基本性质（4个定理+1个推论） z拉格朗日定理及其推论 1
定义：设H是G的子群，a∈G. 令 Ha={ha | h∈H} 称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素. 例：设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=
定理1设H是群G的子群，则 (1) He = H (2) ?a∈G 有a∈Ha 证(1) He = { he | h∈H } = { h | h∈H } = H (2) ?a∈G，由a = ea 和ea∈Ha 得a∈Ha 3
定理2设H是群G的子群，则?a, b∈G 有 a∈Hb ?ab?1∈H ?Ha=Hb 证先证a∈Hb ?ab?1∈H a∈Hb ??h(h∈H∧a=hb)??h(h∈H∧ab?1=h)?ab?1∈H 再证a∈Hb ?Ha=Hb. 充分性. 若Ha=Hb，由a∈Ha 可知必有a∈Hb. 必要性. 由a∈Hb 可知存在h∈H使得a =hb，即b =h?1a 任取h a∈Ha，则有 1 h a = h1(hb) = (h1h)b∈Hb，从而得到Ha ?Hb. 1 反之，任取h b∈Hb，则有 1 h b = h1(h?1a) = (h1h?1)a∈Ha , 从而得到Hb ?Ha. 1 综合上述，Ha=Hb得证. 4