7.1 常数项级数的概念和性质

1．写出下列级数的一般项： ⑴

1357

2468

++++ ； 【解】分析级数各项的表达规律：

分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ， 于是得级数的一般项为21

2n n u n

-=

，1,2,3,....n =。 ⑵

1111112349827

++++++ ； 【解法一】分析级数各项的表达规律：

分子不变恒为1，

分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即12

2

n +，偶数项为3

的乘幂，幂指数为项数的一半，即2

3n ，

于是有12

22, 21

3, 2n n n n k u n k +?=-?=??=?

，k J ∈，1,2,3,....n =。

也可为1

221(1)1(1)2322

n n

n n n u +--+-=?+?，1,2,3,....n =。

【解法二】分析级数各项的表达规律：

分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个

级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成，

若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有

111

23

u =

+， 21149u =+221123=+，

311827u =+

3311

23

=+， ......

于是得11

23

n n

n u =

+，1,2,3,....n =。 ⑶3456

22345

-+-+- 。

【解】分析数列各项的表达规律：

各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1

(1)n +-，

从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n

于是得1

1

(1)

n n n u n

++=-，2,3,....n =， 检验当1n =时，11111(1)21

u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律，

从而得 11(1)n n n u n

++=-，1,2,3,....n =。

2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴

1

1

(21)(21)n n n ∞

=-+∑； 【解】级数前n 项和为

11(21)(21)n

n i S i i ==-+∑1111()221

21n n i i ==--+∑1111

()22121n n i i ==--+∑

11[(1)()(1152)]22113113n n =-+-+-+-+ 11

(1)221

n =-+， 由于lim n n S →∞11lim (1)221n n →∞=-+12

=，知级数收敛，收敛于1

2。

⑵

1

1

1n n n

∞

=++∑

；

【解】级数前n 项和为

1

1

1n

n i S i i ==++∑

2211(1)()n i i i i i =+-=+-∑1

(1)n

i i i ==+-∑

(1)()(123)2n n =-+-+++- 11n =+-，

由于lim n n S →∞

lim(11)n n →∞

=+-=∞，知级数发散。

⑶

1

1

ln

n n n

∞

=+∑； 【解】级数前n 项和为

11ln n

n i i S i =+=∑1

[ln(1)ln ]n

i i i ==+-∑

ln 2ln 2ln3ln (ln1)()[ln(1)]n n =-+-+++- ln(1)ln1n =+-ln(1)n =+，

由于lim n n S →∞

lim ln(1)n n →∞

=+=∞，知级数发散。

⑷

1

(

221)n n n n ∞

=+-++∑。

【解】级数前n 项和为

1

(221)n

n i S i i i ==+-++∑

323(221)(2)()24543=-+++-++-+…………

2()(1)(2121221)n n n n n n n n n +-+++-+++--++--

各项抵销的规律为：第一括号中的首项与第二括号中的中项及第三括号中的末项相

互抵销为0，按此规律，第一括号中余下221-+，第二括号中余下2，而第三括号与后面括号抵销完，...，

同理，倒数第三个括号与前面括号抵销完，倒数第二个括号中余下1n +，倒数

第一个括号中余下221n n +-+，

于是，n S 22121221n n n =-++++++-+

2121n n =-+++-+1

2121

n n =-++

+++，

由于lim n n S →∞

1

21lim

21

n n n →∞

=-+++++21=-+，

知级数收敛，收敛于12-。

3．判断下列级数的敛散性，若级数收敛，求其和：

⑴1

11(1)2

n n n -∞

-=-∑； 【解】这是等比级数，首项为00

(1)12a -==，公比为12q =-，可见1

12

q =<，知级数收敛，其和为

1a

q -111()2

=

--23

=。

⑵0

(ln 3)2n

n

n ∞

=∑； 【解】这是等比级数，首项为00

(ln 3)12a ==，公比为ln 3

2

q =，可见2ln 3ln 122e q =<=，知级数收敛，其和为

1a

q -1ln 312

=

-22ln 3

=-。 ⑶

1

n

n e

∞

=∑；

【解】这是等比级数，公比为1q e =>，可知级数发散。

⑷11112()2

3n

n n n ∞

--=+∑；

【解】11112()23n

n n n ∞

--=+∑1111122()23

n n n n ∞∞

--===+∑∑，

其中，级数

1

1

12n n ∞

-=∑为首项1a =，公比12q =的等比级数，其和为1a

q -12112==-； 级数

11

2()3n n ∞

-=∑为首项1a =，公比23q =的等比级数，其和为1a

q -13213

==-，由性质7.1.1知，级数1122()3

n n ∞

-=∑也收敛，其和为236?=， 于是由性质7.1.2知，级数11112()2

3n

n n n ∞

--=+∑收敛，其和为268+=。

⑸234123444444(1)55555n

n n

--+-++-+ ； 【解】这是等比级数，首项为45a =

，公比为45q =-，可见4

15

q =<，知级数收敛，其和为

1a

q -45

41()5

=

--49

=。

⑹111111

()()()2349827

+++++

+ 。 【解】级数为111()23n n n ∞

=+∑1111

23

n n n n ∞∞

===+∑∑，为两收敛等比级数的和，是收敛的。

其中112n n ∞

=∑的和为1

21112==-，113n n ∞

=∑的和为11

31213

==-，

从而

1

11(

)23n n

n ∞

=+∑的和为13122

=+=。 4．求级数

1

13(

)2(1)

n n n n ∞

=++∑的和． 【解】级数11

2n n ∞

=∑为等比级数，其和为1

21112

==-，

级数13(1)n n n ∞

=+∑1

11

3()1n n n ∞

==-+∑，

其前n 项和为1113

()1n

n i S i

i ==-+∑1

3(1)1n =-+， 得知其和为1

lim lim3(1)31

n n n S S n →∞

→∞

==-

=+ 综上知，级数

1

13(

)2(1)

n

n n n ∞

=++∑的和为134+=。 ５．判断下列级数的敛散性：

⑴30.0010.0010.0010.001n +++++ ； 【解】级数的通项是1(0.001)n

n u =，

由于10

lim lim(0.001)(0.001)10n

n n n u →∞

→∞

===≠，所以该级数发散。

⑵

1234

2345

++++ ； 【解】级数的通项是1n n

u n =

+， 由于lim lim 101

n n n n

u n →∞→∞==≠+，所以该级数发散。

⑶1

(1)21n n n n ∞

=-?+∑。

【解】由于(1)(1)lim lim lim

212

n n

n n n n n u n →∞→∞→∞-?-==+不存在，所以该级数发散。 ６．设级数

1

n

n u

∞

=∑收敛，

1

n

n v

∞

=∑发散，证明：级数

1

()n

n n u

v ∞

=+∑发散。

【证明】由级数收敛定义，知1lim

n

i n i v →∞

=∑不存在，

从而由极限运算法则知，1

lim

()n

i

i

n i u v →∞

=+∑也不存在，

可知级数

1

()n

n n u

v ∞

=+∑发散。证毕。

7．判别级数

21111112102210210n n

++++++? 是否收敛。 【解】级数通项为11

210n n u n

=+，

于是级数为

1

1

11(

)210n n

n n u n

∞∞

===+∑∑， 由于调和级数11n n ∞

=∑发散，从而级数1

1

10n n ∞

=∑发散，

即由上面第6题的结论知，级数

1

1

11

(

)210n n

n n u n

∞

∞

===+∑∑也发散。 *8．求级数

1

1

(1)(2)n n n n ∞

=++∑的和。 【解】由于

111111(1)(2)2122n n n n n n =?-+?++++1121()212

n n n =-+++，

得11(1)(2)n

n k S k k k ==++∑

1

1121

()212n k k k k ==-+++∑ 121331121[(124)()1

()2225

43=-++-++-++ 121211()()()]112

211211n n n n n n n n n +-++-++--++++--

121121(1)222112n n n =-++-++++ 1111()2212n n =-+++ 111[]22(1)(2)

n n =-++， 于是，11lim lim

(1)(2)

n

n n n k S S k k k →∞

→∞===++∑111

lim[]22(1)(2)n n n →∞=-++14=。 9．已知级数1

n n u ∞

=∑的前n 项的部分和1

81

78n n n S --=?，求这个级数。 【解】由于111281817878n n n n n n n u S S ------=-=-??11(81)8(81)78n n n -----=?1

1

8

n -=， 可知这个级数是

1

1

1

8

n n ∞

-=∑。

10．设级数1n n u ∞

=∑的第n 次部分和为21n n

S n =-，判断级数21

n n u ∞

+=∑的敛散性，若级数收敛，

求它的和。

【解】由于lim lim 21n n n n S n →∞→∞=-11

lim 122n n

→∞==-，知级数1

n n u ∞

=∑收敛于12，

而级数

2

1

n n u

∞

+=∑为由级数

1

n

n u

∞

=∑去掉前面两项得到，即由性质7.1.3知，级数

2

1

n n u

∞

+=∑也收敛，

由于11212(1)1n n n n n u S S n n --=-=

----12123n n n n -=-

--1

(21)(23)

n n -=--， 可知级数

1

n n u ∞

=∑的前两项为11

11(1)u -=

=?-，211313

u -==-?，

即得

21n n u ∞

+=∑1

1(1)3n

n u ∞

==--∑11(1)23=--1

6=-。 11．证明：0.91=

。

【证明】23499999

0.91010101010n =++++++

1910

n n ∞

==∑，

这是首项为910，公比为110

的等比数列，其和为1a

q -9

101110

=-1=。

即为0.91=

，证毕。

教案1无穷级数概念与性质

高等数学教案1 第十一章 无穷级数 编写人:吴炯圻 I. 授课题目: 第一节 常数项级数的概念和性质 Ⅱ.教学目的与要求 1、了解常数项级数的概念及其产生的背景； 2、掌握收敛级数的基本性质； 3、会采用级数敛散的定义或收敛级数的基本性质判断较简单级数的敛散性； 4、了解柯西审敛原理。 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：级数收敛与发散的定义; 收敛级数的基本性质。 难点：无穷个数量求和与有限个量求和的差别。 关键: 1.会把级数的问题转化为部分和序列来处理; 2.熟悉数列的收敛与发散的判别. Ⅳ.讲授内容： 第一节 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念及其产生的背景 1．古代人如何求圆的面积? 我国古代数学家刘徽已经利用无穷级数的思想来计算圆的面积. 在半径为1的圆内作内接正六边形, 其面积记 为1a , 它是圆面积A 的一个近似值. 再以这正六边 形的每一边为底边分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形 (图1-1) , 算出这六个等腰三角形的面积之 和2a . 那么21a a (即内接正十二边形的面积)也是 图1-1

A 的一个近似值, 其近似程度比正六边形的好. 同样 地, 在这正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形, 算出这十二个等腰三角形的面积之和3a . 那么321a a a ++(即内接正二十四边形的面积)是A 的一个更好的近似值. 如此继续进行n 次, 当n 是较大的整数时，得到的正多边形的面积 n n a a a s +++=Λ21就很接近A 的值了. 2．常数项级数的概念 古代数学家刘徽时代，人们只懂求有限个量之和，没有极限的概念，仅能把求圆面积的步骤和准确性停留在有限的数n 上。 随着科学的进步，人们认识的提高，人们自然认为，当n 无限增大时，则 n n a a a s +++=Λ21的极限就是圆的面积A ，即 )(lim lim 21n n n n a a a s A Λ++==∞ →∞ →. (1.1) 这时，上式右边括号中的项数无限增多，出现了无穷个数量累加的式子。 一般地, 给定一个数列 ΛΛ,,,,,321n u u u u , 则由这数列构成的表达式 ΛΛ+++++n u u u u 321 (1.2) 叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为 ∑∞ =1 n n u , 即 ∑∞ =1 n n u ΛΛ+++++=n u u u u 321, 其中第n 项u n 叫做级数的一般项或通项. 上述级数的定义只是一个形式的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？ 联系上面计算圆的面积的例子，即（1.1）式，用有限项的和S n 的极限来定义无穷多个数量相加的“和”，我们自然要问，对一般的级数是否也可以这样做？ 这个思路是对的。 为此，我们把级数(1.2)的前n 项之和s n = u 1+u 2 +…+u n 称为级数(1.1)的部分和, n 依次取 1,2,L 时得数列 s 1, u 2 ,…, u n … 称为级数的部分和数列. 在上面求面积的例子中，部分和数列收敛（为什么？），并由此求得面积, 即求得无穷多个量之和12....n a a a A ++++=L 。 但是，能否由此推断, 所有级数的部分和数列收敛都收敛? (提问, 允许各种猜测.) 事实上, 正像一般的数列未必收敛一样，部分和数列也未必收敛。例如 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+……=1 1(1)n n -∞ =-∑. 其部分和数列是：1，0，1，0，…….,它显然不收敛。

数项级数的概念与基本性质

8.1数项级数的概念与基本性质 教学目的 理解级数的概念和基本性质 教学重点 级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数 教学难点 有穷项相加与无穷项相加的差异 教学过程 1.导入 以前我们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础． 2.讲授新课 2.1常数项级数的概念 定义8.1 设给定数列}{n a ，我们把形如 ∑∞ == ++++1 21n n n a a a a （8.1.1） 的式子称为一个无穷级数，简称级数．其中第n 项n a 称为级数 ∑∞ =1 n n a 的通项（或一般项）． 如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数. 例如， 等差数列各项的和 +-+++++++])1([)2()(1111d n a d a d a a 称为算术级数． 等比数列各项的和 +++++-1 12 111n q a q a q a a 称为等比级数，也称为几何级数． 级数 1 1n n ∞ =∑ =111123n +++++ 称为调和级数． 级数（8.1.1）的前n 项和为： 121 n n k k k S a a a a ===+++∑ ，

称n S 为级数 ∑∞ =1 n n a 的前n 项部分和，简称部分和． 2.2常数项级数收敛与发散 定义8.2 若级数(8.1.1)的部分和数列}{n S 的极限存在， 即 S S n n =∞ →lim (常数) 则称极限S 为无穷级数 ∑∞ =1n n a 的和．记作 ++++==∑∞ =n n n a a a a S 211 此时称级数 ∑∞ =1 n n a 收敛；如果数列}{n S 没有极限，则称级数 ∑∞ =1 n n a 发散，这时级数没有和． 显然，当级数收敛时，其部分和n S 是级数和S 的近似值，它们之间的差 ++=-=++21n n n n a a S S r 叫做级数的余项．用近似值n S 代替S 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为||n r ． 例１ 讨论几何级数 +++++=∑∞ =-n n n aq aq aq a aq 21 1 的敛散性，其中0≠a ，q 是公比． 结论：几何级数 ∑∞ =-1 1 n n aq ，当1||

7.1 常数项级数的概念和性质

1．写出下列级数的一般项： ⑴ 1357 2468 ++++ ； 【解】分析级数各项的表达规律： 分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ， 于是得级数的一般项为21 2n n u n -= ，1,2,3,....n =。 ⑵ 1111112349827 ++++++ ； 【解法一】分析级数各项的表达规律： 分子不变恒为1， 分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即12 2 n +，偶数项为3 的乘幂，幂指数为项数的一半，即2 3n ， 于是有12 22, 21 3, 2n n n n k u n k +?=-?=??=? ，k J ∈，1,2,3,....n =。 也可为1 221(1)1(1)2322 n n n n n u +--+-=?+?，1,2,3,....n =。 【解法二】分析级数各项的表达规律： 分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个 级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成， 若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有 111 23 u = +， 21149u =+221123=+， 311827u =+ 3311 23 =+， ...... 于是得11 23 n n n u = +，1,2,3,....n =。 ⑶3456 22345 -+-+- 。 【解】分析数列各项的表达规律：

各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1 (1)n +-， 从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n 于是得1 1 (1) n n n u n ++=-，2,3,....n =， 检验当1n =时，11111(1)21 u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律， 从而得 11(1)n n n u n ++=-，1,2,3,....n =。 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴ 1 1 (21)(21)n n n ∞ =-+∑； 【解】级数前n 项和为 11(21)(21)n n i S i i ==-+∑1111()221 21n n i i ==--+∑1111 ()22121n n i i ==--+∑ 11[(1)()(1152)]22113113n n =-+-+-+-+ 11 (1)221 n =-+， 由于lim n n S →∞11lim (1)221n n →∞=-+12 =，知级数收敛，收敛于1 2。 ⑵ 1 1 1n n n ∞ =++∑ ； 【解】级数前n 项和为 1 1 1n n i S i i ==++∑ 2211(1)()n i i i i i =+-=+-∑1 (1)n i i i ==+-∑ (1)()(123)2n n =-+-+++- 11n =+-， 由于lim n n S →∞ lim(11)n n →∞ =+-=∞，知级数发散。 ⑶ 1 1 ln n n n ∞ =+∑； 【解】级数前n 项和为 11ln n n i i S i =+=∑1 [ln(1)ln ]n i i i ==+-∑ ln 2ln 2ln3ln (ln1)()[ln(1)]n n =-+-+++- ln(1)ln1n =+-ln(1)n =+，

(完整版)级数的概念与性质

第十一章无穷级数 教学内容目录： §1—§8 本章主要内容： 常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。 幂级数：幂级数概念，阿贝尔（Abel）定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、 e x cos sin ln(1+x)、(1+x)m等）的幂级数展开式，幂级数在近 、x x 、 似计算中的应用举例，“欧拉（Euler）公式。 函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。 教学目的与要求： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。 3、掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。 5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。 8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10、掌握应用e x,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。 11、了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π,π）上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在（-π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。