数学
均值不等式
被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。
其中：，被称为调和平均数。
，被称为几何平均数。
，被称为算术平均数。
，被称为平方平均数。
一般形式
设函数（当r不等于0时）；（当r=0时），有时，。
可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即
。
特例
⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号）
⑵对非负实数a,b，有，即
⑶对非负实数a,b，有
⑷对实数a,b，有
⑸对非负实数a,b，有
⑹对实数a,b，有
⑺对实数a,b,c，有
⑻对非负数a,b，有
⑼对非负数a,b,c，有
在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：
当n=2时，上式即：
当且仅当时，等号成立。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。
排序不等式
基本形式：
排序不等式的证明
要证
只需证
根据基本不等式
只需证
∴原结论正确
棣莫弗定理
设两个复数（用三角形式表示），则：
复数乘方公式：.
圆排列
定义
从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相
同。
计算公式
n个不同元素的m-圆排列个数N为：
特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：。
费马小定理
费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
组合恒等式
组合数C(k,n)的定义：从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。
基本的组合恒等式
nC(k,n)=kC(k-1,n-1)
C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)
∑C(i,n)=2^n
∑[(-1)^i]*C(i,n)=0
C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】）
C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)
C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n)
韦达定理
逆定理
如果两数α和β满足如下关系：α+β=，α·β=，那么这两个数α和β是方程
的根。
通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。[5]
推广定理
韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。
定理：
设（i=1、2、3、……n）是方程：
的n个根，记k为整数），则有：。[ 实系数方程虚根成对定理：
实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。
无穷递降法
无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为：
假设方程有解，并设X为最小的解。
从X推出一个更小的解Y。
从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。
孙子定理
又称中国剩余定理，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：
有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
设是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设
是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。
设为模的数论倒数：方程组的通解
形式：
在模的意义下，方程组只有一个解：
同余
同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表示:
1)a≡a(mod d)
2)a≡b(mod d)→b≡a(mod d)
3)(a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)
如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则
4)a+b≡x+m （mod d）
其中a≡x (mod d)，b≡m(mod d)
5)a-b≡x-m (mod d)
其中a≡x (mod d),b≡m (mod d)
6)a*b≡x*m (mod d )
其中a≡x (mod d),b≡m (mod d)
7）a≡b（mod d）则a-b整除d
欧拉函数
φ函数的值通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。(注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4
若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互
素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数
φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。
若n为质数则φ(n)=n-1。
格点
定义
数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(lattice point)或整点。
性质
1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
2、格点关于格点的对称点为格点。
3、格点多边形面积公式（坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念。）设某格点多边形内部有格点a个，格点多边形的边上有格点b个，该格点多边形面积为S，
则根据皮克公式有S=a+b/2-1。
4，格点正多边形只能是正方形。
5，格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。
三面角
定义
三面角：由三个面构成的多面角称为三面角，如图中三面角可记作∠O-ABC。
特别地，三个面角都是直角的三面角称为直三面角。
三面角的补三面角：由三条自已知三面角定点发出的垂直于已知三面角的三个平面的射线组成的三面角叫做已知三面角的补三面角。
性质
1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。
2、三面角的三个二面角的和大于180°，小于540°。
三面角相关定理
设三面角∠O-ABC的三个面角∠AOB、∠BOC、∠AOC所对的二面角依次为∠OC，∠OA，∠OB。
1、三面角正弦定理：
sin∠OA/sin∠BOC=sin∠OB/sin∠AOC=sin∠OC/sin∠AOB。
2、三面角第一余弦定理：
cos∠BOC=cos∠OA×sin∠AOB×sin∠AOC+cos∠AOB×cos∠AOC。
3、三面角第二余弦定理：
cos∠OA=cos∠BOC×sin∠OB×sin∠OC-cos∠OB×cos∠OC。
直线方程
一般有以下八种描述方式：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，法线式，法向
式，点向式。
点斜式
已知直线一点(x1,y1,)并且存在直线的斜率k，则直线可表示为：y-y1=k(x-x1)。适用范
围：斜率K存在的直线。
斜截式
已知与Y轴的交点（0，b），斜率为K，则直线可表示为：y=kx+b。适用范围：斜率
存在的直线。
两点式
两点式是解析几何直线理论的重要概念。当已知两点（X1，Y1），（X2，Y2）时，将直线的斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)代入点斜式时，得到两点式
(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) 。适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的的直线。截距式
已知与坐标轴的交点（a，0），（0，b）时，截距式的一般形式：x/a+y/b=1（a≠0且b≠0）。适用范围：不平行于（或者说不垂直于）坐标轴的直线，不过原点的直线。
一般式
ax+by+c=0 (A、B不同时为0)。斜率：-A/B截距：-C/B。两直线平行时：
A1/A2=B1/B2≠C1/C2，则无解。两直线相交时：A1/A2≠B1/B2；两直线垂直时：A1A2+B1B2=0
A1/B1×A2/B2=-1，都只有一个交点。两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2，则有无数解。
适用范围：所有直线均可适用。
法线式
过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度。x·cos α+y sin α-p=0。
法向式
知道直线上一点（x0，y0）和与之垂直的向量（a，b），则a（x-x0）+b（y-y0）=0，
法向量n=（a，b）方向向量d=（b，-a）k=a/b。
点向式
知道直线上一点(x0,y0)和方向向量（u,v ），(x-x0)/u=(y-y0)/v (u≠0,v≠0)。
极坐标系
极坐标系（polar coordinates）是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。
极坐标方程
于极点（90°/270°）对称，如果r(θ-α) = r(θ)，则曲线相当于从极点顺时针方向旋转α°。圆
方程为r(θ) = 1的圆。
在极坐标系中，圆心在(r0, φ) 半径为a 的圆的方程为r^2-2rr0cos(θ-φ)+r0^2=a^2
该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程r(θ)=a表示一个以极点为中心半径为a的圆。
直线
经过极点的射线由如下方程表示θ=φ
,其中φ为射线的倾斜角度，若k为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan k。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点（r0, φ）处的直线与射线θ = φ 垂直，其方程为
r(θ)=r0sec(θ-φ)
圆幂
点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d^2－r^2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．
当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．
1．定义从一点A作一圆周的任一割线，从A起到和圆相交为止的两段之积，称为点A于这圆周的幂．
2．圆幂定理已知⊙(O, r) ，通过一定点P，作⊙O的任一割线交圆于A, B，则PA，PB为P对于⊙O的幂，记为k，则
当P在圆外时，k=PO^2-r^2；
当P在圆内时，k= r^2-PO^2；
当P在圆上时，k=0.
图Ⅰ：相交弦定理。如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，
所以。所以有：，即：。
图Ⅱ：割线定理。如图，连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有，同上证得。
图Ⅲ：切割线定理。如图，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有，易
图Ⅳ：PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO 为公共边，因此。所以PA=PC，所以。
综上可知，是普遍成立的。
根轴
定义
在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。
另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴。
根轴方程
设两圆O1,O2的方程分别为：
(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=0(1)
(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2=0(2)
由于根轴上任意点对两圆的圆幂相等，所以根轴上任一点(x,y),有
(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=圆幂=(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2
两式相减，得根轴的方程(即x,y的方程)为
2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0
其中f1=(a1)^2+(b1)^2-(r1)^2,f2类似。
解的不同可能
(1)(2)连立的解，是两圆的公共点M(x1,y1),N(x2,y2)
如果是两组不等实数解，MN不重合且两圆相交，根轴是两圆的公共弦。
如果是相等实数解，MN重合，两圆相切，方程表示两圆的内公切线。
如果是共轭虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。称M,N是共轭虚点。
尺规作图
相交,相切时根轴为两圆交点的连线.
内含时,作一适当的圆与两园相交,这圆与两圆的根轴的交点在根轴上.同理
再作一点,两点所在的直线即为根轴(等幂轴)
相关定理
1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；
2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；
3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；
4，若两圆外离，则两圆的根轴上的点分别引两圆的切线，则切线长相等。
5，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行；
6，反演后的圆和反演圆和被反演的圆3个圆共根轴。
容斥原理
也可表示为：设S为有限集,则
两个集合的容斥关系公式：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩：重合的部分）
三个集合的容斥关系公式：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|抽屉原理
第一抽屉原理
原理1：把多于n+k个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
原理2 ：把多于mn(m乘以n)（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个
抽屉里有不少于（m+1）的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,
与题设不符，故不可能。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。
第二抽屉原理
把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体(例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2)。
极端原理解题，就是在解决相关数学问题时，重点放在所研究问题的极端情况。
极端原理
最小数原理、最大数原理
命题一有限个实数中，必有一个最小数（也必有一个最大数）。
命题二在有限个或无限个正整数中，必有一最小数。
命题二可用集合的语言表述为，
最小数原理：若是自然数集的任一非空子集(注：有限或无限均可)，则中必有
最小的数，即对属于的任何数，均有。
最短长度原理
最短长度原理1：任意给定平面上的两点，在所有连接这两点的曲线中，以直线段的长度为最短；（需注意此原理虽然是直观的，但对曲线和其长度的严格定义却颇费周折。）最短长度原理2：在连接一已知点和已知直线或已知平面的点的所有曲线中，以垂线段的长度为最短。
精品文档
全国高中数学联赛竞赛大纲（修订稿） 在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。《教学大纲》在教学日的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养......，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 如图所示，若AM平分∠BAC，则AB AC =BM MC 该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连
线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则BD DC =AB AC 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点， 且满足BD DC =AB AC ，则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角 ∠CAE，则BD DC =AB AC =BE EC 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射 影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另 一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和 一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应 边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点，则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论： （1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半（2）同弧所对的圆周角相等 （3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径
精选5篇高一英语知识点总结 一. 直接引语和间接引语 (一)直接引述别人的原话，叫做直接引语;用自己话转述别人的话，叫做间接引语。间接引语一般构成宾语从句。直接引语必须放 在引号内，间接引语则不用引号。直接引语改为间接引语时，除将 引语部分变成宾语从句外，还必须对直接引语中的人称、时态、指 示代词、时间状语、地点状语等进行改变。 1. 时态的变化：直接引语变为间接引语时，通常受转述动词said, asked等的影响而使用过去化的时态，即把原来的时态向过 去推，也就是一般现在时变为一般过去时，现在进行时变为过去进 行时，等等。例如： Tom said to me,“My brother is doing his homework.” →Tom said to me that his brother was doing his homework. 2. 人称代词、指示代词、时间状语、地点状语等等的变化：根 据意义进行相应的变化，例如： She asked Jack,“Where have you been?”
→She asked Jack where he had been. He said,“These books are mine.” →He said that those books were his. (二)直接引语改为间接引语时，都使用陈述语序，但是因为原句的句式不同，所以变成间接引语时所用的连词会有所不同。直接引语如果是一般疑问句，用连接词whether或if;如果是特殊疑问句，则用疑问词引导间接引语。转述的动词一般用asked，可以在其后加上一个间接宾语me, him, her, us等。如： She said,“Is your father at home?” →She asked me if/whether my father was at home. “What do you do every Sunday?”My friend asked me. →My friend asked me what I did every Sunday.
观察——归纳—猜想——找规律 给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜 想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是： （1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳； （2）猜想符合规律的一般性结论； （3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 一、数字类 基本技巧 （一）标出序列号： 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。 我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号： 1，2，3， 4， 5，……。 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n 项 是2 n -1 （二）公因式法： 每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n 、3n 有关。 例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n 项为（ 2)12(-n ）， 1，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3 时，正好是2×3-1的平方，以此类推。 （三）增副 A ： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且是n 的3次幂，即：n 3 +1 B ：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：n 2 （四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后 用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加 上第一位数，恢复到原来。 例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……， 序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2 时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n 个数为12-n 。再看原数列是同 时减2得到的新数列，则在12-n 的基础上加2，得到原数列第n 项12+n
全国高中数学联赛试题新规则和考试范围 ──高中数学竞赛大纲（修订稿） 在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。 全国高中数学联赛试题新规则 联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。 一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。 一试 考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。 （2009年的旧规则和2008年之前的旧规则略去。） 加试（二试） 考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。 （2009年的旧规则和2008年之前的旧规则略去。） 依据考试结果评选出各省级赛区级一、二、三等奖。其中一等奖由各省负责阅卷评分，然后讲一等奖的考卷寄送到主办方（当年的主办方），由主办方复评，最终由主管单位（中国科协）负责最终的评定并公布。二、三等奖由各个省自己决定。 各省、市、自治区赛区一等奖排名靠前的同学可参加中国数学奥林匹克（IMO）。 根据最新消息，2011年数学联赛的试题规则与2010年相同。 考试范围 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
重点高中数学竞赛知识点
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数学 均值不等式 被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。 其中：，被称为调和平均数。 ，被称为几何平均数。 ，被称为算术平均数。 ，被称为平方平均数。 一般形式 设函数（当r不等于0时）；（当r=0时），有时，。 可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即 。 特例 ⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号） ⑵对非负实数a,b，有，即 ⑶对非负实数a,b，有 ⑷对实数a,b，有 ⑸对非负实数a,b，有 ⑹对实数a,b，有
⑺对实数a,b,c，有 ⑻对非负数a,b，有 ⑼对非负数a,b,c，有 在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）： 当n=2时，上式即： 当且仅当时，等号成立。 根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。 排序不等式 基本形式： 排序不等式的证明 要证 只需证 根据基本不等式 只需证 ∴原结论正确 棣莫弗定理 设两个复数（用三角形式表示），则： 复数乘方公式：. 圆排列 定义 从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相 同。 计算公式 n个不同元素的m-圆排列个数N为： 特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：。
高中英语易错知识点总结（内部资料） [1.定语从句在什么情况下用whose引导] whose 用于代替"表示人或物意义"的先行词，在从句中作定语， 往往与它所修饰的名词一起构成一个名词短语在从句中担当成分。 Whose常表达"某人的、某物的"之意。 例如： Do you know the name of that girl whose brother is your roommate ? 你知道她的哥哥与你同寝室的那位女孩的名字吗？ Water whose boiling point is at 100 degree Centigrade has no color, no flavor. 沸点在摄氏100度的水无色、无味。 [2.定语从句引导词that和which的区别] 定语从句中的8种情况:只能用that引导 1.在从句中为了避免与疑问词who重复时 2.从句修饰词被the one修饰时 3.从句修饰词被含有人和物的名词时 4.从举所修饰词被everything,anything,something等不定代词修饰时 5.从句所修饰词被all ,more,any等不定代词修饰时 6.从句所修饰的词又被the only ,the very(强调语气)the last,the same 修饰时 7.从句修饰的词又被叙述词修饰时 8.修饰的词被形容词最高级修饰时 [3. Turn的几个短语] turn down 不接受,把...调小 turn into sth. 转变 turn off 关闭, 使...停止
turn on 打开,是...开始 turn out 终于成为... turn out a light关灯 turn over 把...翻转 turn up到达 以上的turn均为动词词性 in turn逐个的 take turn at sth.=take it in turns to do sth.逐个做某事turing转弯口 以上的turn为名词词性 [4.几个道路的区别] way 范指一切的路 path 人或动物踩踏而成的小径 street两旁有建筑的 road供车辆行驶的 highway 公路 [5.几个旅游的区别] journey指有明确方向的,长途的,陆路的旅行,通常比较辛苦. travel范指旅行 voyage多指海路或空间的长途旅行 trip短距离的.又回到出发地的. tour巡游 [6.bed的用法] n.[C]
初二竞赛专题：相似三角形 1.如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F ．证明： 111 AB CD EF += ． 2.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长． 3.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，，4CD =，若EF BC ∥，且 梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点， 则 BD EG DC FG = ． O F E D C B A F E D C B A F E D C B A G F E D C B A B D A E G F C
4.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求证： 5.如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 6.如图，边长为1的等边ABC △，BC边上有一点D，1 3 BD=，AC上有一点E ，60 ADE ∠=o，求EC的长．7.已知，B是AC中点，D、E在AC的同侧，且ADB EBC ∠=∠，DAB BCE ∠=∠，证明：BDE ADB ∠=∠． E D C B A D E B C A
8.如图，在ABC △中，60BAC ∠=o ，点P 是ABC △内一点，且APB BPC CPA ∠=∠=∠，若8PA =，6PC =，求PB 的长． 9.如图，在锐角ABC △中，AD 、CE 分别为BC 、AB 边上的高，ABC △和BDE △的面积分别等于18和2， 22DE =，求点B 到AC 的距离． 10.如图所示，已知3个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠． 11.如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证： 2FD FB FC =?． E D C A B P C B A H G B A
数学奥赛考试大纲 立体几何 数列 数形结合思想 直线和圆的方程 建模概论 “设而不求”的未知数题 几个重要不等式,柯西不等式 等差数列与等比数列 指数函数、对数函数 函数的最大值和最小值题 平面三角 平面几何四个重要定理 几何变换 高中数学竞赛大纲 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。 二试 1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。 函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。 ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。 复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。 圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。 一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
正态分布 要求层次 重难点 正态分布 A 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． （一） 知识内容 1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近 的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线． 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布 ⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22 ()2()2πx f x e μσσ --=?，x ∈R ， 其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞． 式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作 2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线． ⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． 例题精讲 高考要求 正态分布 x=μ O y x
⑶重要结论： ①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%． ②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则． （二）典例分析： 【例1】 已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ， ，则(3)P X <=（ ） A ．1 5 B ． 1 4 C ．1 3 D ． 12 【例2】 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布() ()210N σσ>，，若X 在()01， 内取值的概率为0.4，则X 在()02， 内取值的概率为 ． 【例3】 对于标准正态分布()01N ， 的概率密度函数()2 2 x f x -=，下列说法不正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()f x C ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数 D ．()f x 关于1x =对称 【例4】 已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ， ，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 【例5】 某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)-，这个尺寸范围的零件约占总数 的 ． 【例6】 已知2(1)X N σ-， ~，若(31)0.4P X -=≤≤-，则(31)P X -=≤≤（ ） A ．0.4 B ．0.8 C ．0.6 D ．无法计算 【例7】 设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，则_______c =．
定语从句（Attributive Clauses）在句中做定语，修饰一个名词或代词，被修饰的名词,词组或代词即先行词。定语从句通常出现在先行词之后，由关系词（关系代词或关系副词）引出。 1.定语从句：定语从句是由关系代词或关系副词引导的从句，其作用是作定语修饰主句的某个名词性成分，相当于形容词，所以又称为形容词性从句，一般紧跟在它所修饰的先行词后面。 2.关系词：引导定语从句的关联词称为关系词，关系词有关系代词和关系副词。关系代词有that, which, who, whom, whose, as等；关系副词有where, when, why等。关系词常有3个作用：1，引导定语从句。2，代替先行词。3，在定语从句中担当一个成分。 （一）限定性定语从句 1. that既可代表事物也可代表人，which代表事物；它们在从句中作主语或宾语，that 在从句中作宾语时常可省略关系词，which在从句中作宾语也可以省略。[eg：this is the book （which）you want。] 2 如果which在从句中作“不及物动词＋介词”的介词的宾语，注意介词不要丢掉，而且介词总是放在关系代词which的前边，但有的则放在它原来的位置 3. 代表物时多用which，但在带有下列词的句子中用that而不用which，这些词包括当先行词是anything, everything, nothing , none等不定代词时，或者是由every, any, all, some, no, little, few, much等修饰时等，这时的that常被省略还有先行词前有序数词或形容词最高级修饰时,或先行词就是序数词或最高级时.以及先行词中既有人又有物时.还有句中前面有which时,都只能用that 4. who和whom引导的从句用来修饰人，分别作从句中的主语和宾语，whom作宾语时，要注意它可以作动词的宾语也可以作介词的宾语 5. whose是关系代词，修饰名词作定语，相当于所修饰成分的前置所有格.它引导的从句可以修饰人和物, 当它引导的从句修饰物体时, 可以与of which 调换,表达的意思一样。 （二）非限定性定语从句 非限定性定语从句的作用是对所修饰的成分作进一步说明，通常是引导词和先行词之间用逗号隔开，将从句拿掉后其他部分仍可成立。 1. which引导的非限定性定语从句来说明前面整个句子的情况或主句的某一部分 2.当先行词是专有名词或物主代词和指示代词所修饰时，其后的定语从句通常是非
初中数学竞赛专题选讲观察法 一、内容提要 数学题可以猜测它的结论（包括经验归纳法），但都要经过严谨的论证，才能确定是否正确. 观察是思维的起点，直觉是正确思维的基础. 观察法解题就是用清晰的概念，直觉的思维，根据题型的特点，得出题解或猜测其结论，再加以论证. 敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握. 例如：用观察法写出方程的解，必须明确方程的解的定义，掌握方程的解与方程的系数这间的关系. 一元方程各系数的和等于零时，必有一个解是1；而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时，则有一个根是－1；n 次方程有n 个根，这样才能判断是否已求出全部的根，当根的个数超过方程次数时，可判定它是恒等式. 对题型的特点的观察一般是注意已知数据，式子或图形的特征，分析题设与结论，已知与未知这间的联系，再联想学过的定理，公式，类比所做过的题型，试验以简单的特例推导一般的结论，并探求特殊的解法. 选择题和填空题可不写解题步骤，用观察法解答更能显出优势. 二、例题 例1. 解方程：x+x 1=a+a 1. 解：方程去分母后，是二次的整式方程，所以最多只有两个实数根. 根据方程解的定义，易知 x=a ；或x= a 1. 观察本题的特点是：左边x 11=? x , 右边a 11=?a . （常数1相同）. 可推广到：若方程f(x)+a m a x f m +=)(（am ≠0）， 则f(x)=a ； f(x)= a m . 如：方程x 2+22255a a x +=, x 2+3x －83202=+x x (∵8=10－1020). 都可以用上述方法解. 例2. 分解因式 a 3+b 3+c 3－3abc. 分析：观察题目的特点，它是a, b, c 的齐三次对称式. 若有一次因式，最可能的是a+b+c ；若有因式a+b －c,必有b+c －a, c+a －b ； 若有因式a+b, 必有b+c, c+a ； 若有因式b －c,必有c －a, a －b. 解：∵用a=－b －c 代入原式的值为零， ∴有因式a+b+c. 故可设 a 3+b 3+c 3－3abc=(a+b+c)[m(a 2+b 2+c 2)+n(ab+bc+ca)]. 比较左右两边a 3的系数，得m=1, 比较abc 的系数， 得 n=－1. ∴a 3+b 3+c 3－3abc=(a+b+c) (a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca) 例3. 解方程x x =++++3333.
一、考试范围 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。 1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。 函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。 n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。 复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。 圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。 一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
高中英语知识点总结 1.able 用法：be able to do Note: 反义词unable表示不能，而disabled表示残疾的。 be able to do可以表示经过艰难困苦才能做到的事。 2.abroad 用法：表示到(在)国外，是一个副词，前面不加介词。 Note: 可以说from abroad, 表示从国外回来。 3.admit 用法：表示承认的时候后面要加上动名词形式。 Note: 表示允许进入的时候与介词to搭配。 4.advise 用法：advise sb. to do; advise doing Note: 后面的宾语从句要用虚拟语气。即：advise that sb. (should) do的形式。 5.afford 用法：通常与动词不定式搭配使用。 Note: 前面需要有be able to或can等词。 6.after 用法：表示在时间、空间之后;be after表示追寻。 Note: 用在将来时的时候后面接一时间点，而in接一个时间段，如：after 3 o’clock; in 3 days. 7.agree 用法：与介词on, to, with及动词不定式搭配。 Note: agree on表示达成一致;agree to表示批准;agree with表示同意某人说的话。 8.alive 用法：表语性形容词，在句中只能作表语，不能作定语。 Note: 可以作状语使用，表示活活地，如：bury sb. alive. 9.allow 用法：allow doing; allow sb. to do Note: 可以表示允许进入，如：Please allow me in. 10.among 用法：用在三者或三者以上的群体中。 Note: 还可以表示其中之一，如：He is among the best. 11.and 用法：用于连接两个词、短语、句子或其他相同结构。
初中数学竞赛专项训练（2） （代数式、恒等式、恒等变形） 一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。 1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1－b%)元 B. m·a%(1－b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 2、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为 （ ） A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2 3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则b c a b a c ++ +的值为（ ） A. 2 1 B. 2 2 C. 1 D. 2 4、设a ＜b ＜0，a 2+b 2= 4ab ，则b a b a -+的值为 （ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 5、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2－ab －bc －ca 的值（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、设a 、b 、c 为实数，2 26 23 2222 π π π + -=+ -=+-=a c z c b y b a x ，，，则x 、y 、z 中，至少有 一个值 （ ） A. 大于0 B. 等于0 C. 不大于0 D. 小于0 7、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式ab c ca b bc a 222+ +的值是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8、若13649832 2 ++-+-=y x y xy x M （x 、y 是实数），则M 的值一定是 （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 整数 二、填空题 1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿ 2、已知-1＜a ＜0，化简4)1 (4)1(22+-+-+a a a a 得＿＿＿＿＿＿＿ 3、已知实数z 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y －9，则 x+2y+3z=_______________ a
高中数学竞赛大纲（修订稿） 在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。《教学大纲》在教学日的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养......，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。 二试 1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
北师大版高中数学必修3知识与题型归纳 第一章《统计》知识与题型归纳复习 （一）、抽样方法 1、简单随机抽样 （1）、相关概念：总体、个体、样本、样本容量。（2）、基本思想：用样本估计总体。 （3）、简单随机抽查概念。一般的，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本)(N n ≤ ，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽 样。其特点：①总体个数有限；②逐个抽取；③不放回抽样；④等可能抽样。 （4）、抽样方法：①抽签法；②随机数表。 2、系统抽样 （1）、定义：当总体元素个数很大时，样本容量不宜太小，这时可将总体分为均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本（等距抽样）。 （2）、步骤：①编号；②分段；③不确定起始个体编号；④按规则抽取。 3、分层抽样 （1）、定义：当总体由差异明显的几部分组成时，为了使抽取的样本更好的反应总体情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样。 适用特征①总体由差异明显的几部分组成；②分成的各层互不重叠；③各层抽取的比例等于样本客样在总体中的比例，即 N n 。 （二）、用样本的频率分布估计总体的分布（统计图表） 1、列频率分布表，画频率分布直方图： （1）计算极差（2）决定组数和组距（3）决定分点（4）列频率分布表（5）画频率分布直方图 2、茎叶图；3、扇形图； 4、条形图；5、折线图； 6、散点图。 （三）、用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、有关概念 （1）、众数：频率分布最大值所对应的样本数据（或出现最多的那个数据）。 （2）、中位数：累积频率为0.5时，所对应的样本数据。 （3）、平均数：)(1 21n x x x n x +++= Λ （4）、三个概念的区别：①都是描述一组数据集中趋势的量，平均数较重要。②平均数的大小与每个数相关。③众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数更能反映问题，中位数仅与排列有关。 2、样本方差与样本标准差 1样本方差：( )()( )[]2 22212 1 x x x x x x n S n -++-+-=Λ样本方差大说明样本差异和波动性大。 （2）、样本标准差：方差的算术平方根( )()( )[]2 22211 x x x x x x n S n -++-+-= Λ （3）、要有单位，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据单位同。 （四）、变量的相关性： 1、变量与变量之间存在着的两种关系①函数关系：确定性关系。②相关关系：自变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系。
人教版必修一各单元知识点总结 Unit 12345One Friendship 一、重点短语 through 经历，经受 get through 通过；完成；接通电话 2. set down 记下，放下 3. a series of 一系列 4. on purpose 有目的的 5. in order to 为了 6. at dusk 傍晚，黄昏时刻 7. face to face 面对面 8. fall in love 爱上 9. join in 参加（某个活动）； take part in 参加（活动） join 加入（组织，团队，并成为其中一员） 10. calm down 冷静下来 11. suffer from 遭受 12. be/get tired of…对…感到厌倦 13. be concerned about 关心 14. get on/along well with 与…相处融洽 15. be good at/do well in 擅长于… 16. find it + adj. to do sth. 发现做某事是… 17. no longer / not …any longer 不再… 18. too much 太多（后接不可数n.） much too 太…(后接adj.) 19. not…until 直到…才 20. it’s no pleasure doing sth 做…并不开心 21. make sb. sth. 使某人成为… make sb. do sth. 使某人做某事 二、语法----直接引语和间接引语 概念：直接引语：直接引述别人的原话。一般前后要加引号。 间接引语：用自己的话转述别人的话。间接引语在多数情况下可构成宾语从句且不要加引号。例：Mr. Black said, “ I’m busy.”
初中数学竞赛专项训练 1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同,由此六位数可以被（ ）整除。 A ． 111? B 。 1０0０? C 。 1001?Ｄ. 111１ 解:依题意设六位数为abcabc ，则abcabc =a ×10５ +b ×１0４ ＋c ×１0３ ＋a ×10２ ＋b × 10+c=a ×102（103+１）＋b ×10（10３+1）＋c （10３＋1)＝(a ×103＋b ×1０+c ）(10３ +１)=１０01(ａ×103＋b ×１０+c ），而a ×103＋b ×10＋ｃ是整数，所以能被１001整除。故选C 方法二:代入法 2、若2001 119811198011 ??++= S ,则S 的整数部分是 解：因19８1、19８2……2001均大于19８０,所以9022 1980 1980 1 221== ?> S ，又1９80、１981……２000均小于２００１，所以22 21 902220012001 1221== ? < S ，从而知Ｓ的整数部分为90。 ３、设有编号为1、2、3……１00的１０0盏电灯，各有接线开关控制着，开始时,它们都是关闭状态，现有１00个学生,第1个学生进来时,凡号码是1的倍数的开关拉了一下,接着第二个学生进来，由号码是２的倍数的开关拉一下，第n 个（n ≤100)学生进来，凡号码是ｎ的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来,把编号能被1００整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着. 解：首先,电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所 以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那 些编号为1、22、３２、４2、52、6２、７2、8２、９２ 、102共10盏灯是亮的.