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函数奇偶性练习题及答案

函数的奇偶性练习题

1、判断下列函数的奇偶性。

（1）x x

x x f -+-=11)1()(（非奇非偶）

（2） 2|2|)

1lg()(2---=x x x f （奇）

（3）

33)(22-+-=x x x f （奇偶）（4）2||)(2

+--=a x x x f （a=0，偶；a ≠0，非奇非偶）（5）1

212)(-+=x x x f （奇）（6）

)1lg(2x x y ++=（奇）（7）1cos sin ()1cos sin x x f x x x

-+=++ （8

）1

()x f x +-=(奇)

2、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，对于R x ∈?，都有)2

3()23(x f x f --=+成立。

（1）证明：)(x f 是周期函数，并指出周期。

)()()]2

3(23[]23)23[()3()()(),23()23(x f x f x f x f x f x f x f x f x f =--=+--=++=+∴=---=+ 所以，

)(x f 是周期函数，且3=T （2）若2)1(=f ，求)3()2(f f +的值。-2

3．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=（ A ）

A ．-3

B ．-1

C ．１

D ．３

4．函数)(x f 的定义域为()()+∞?∞-,11,，且)1(+x f 为奇函数，当1>x 时，

16122)(2+-=x x x f ，则直线2=y 与函数)(x f 图象的所有交点的横坐标之和是（ D ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．5

解：

f(x+1)是奇函数

所以 f(x+1)的图像关于(0,0)对称，且f(0+1)=0

f(x+1)的图像向右平移1个单位，得到f(x)

所以 f(x)的图像关于(1,0)对称, f(1)=0

则当 x>1时

（1） 2x2-12x+16=2

x2-6x+7=0

x=3±√2 两根都大于1

即x>1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为3±√2

（2） 2x2-12x+16=-2

x2-6x+9=0

x=3

所以 x=3时，y=-2

(3,-2)关于(1,0)的对称点为（-1,2）

即 x<1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为-1

所以，直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是

3+√2+3-√2+(-1)=5

5.下面四个结论中，正确命题的个数是 ( A )

①偶函数的图象一定与y 轴相交

②奇函数的图象一定通过原点

③偶函数的图象关于y 轴对称

④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）

A.1

B.2

C.3

D.4

6.设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，)1(log )(2

1x x f -=，则函数f (x )在(1,2)上( D )

A ．是增函数，且f (x )<0

B ．是增函数，且f (x )>0

C ．是减函数，且f (x )<0

D ．是减函数，且f (x )>0

7．已知函数)(x f y =，R x ∈，有下列4个命题：

①若)

+，则)

f的图象关于直线1

)

1(x

x对称；

②)2

f-的图象关于直线2

2(x

f与)

x对称；

③若)

+，则)

f的图象关于直线2

)

f为偶函数，且)

(

2(x

x对称；

④若)

f，则)

f的图象关于直线1

(

f为奇函数，且)2

)

x对称.

=其中正确命题的个数为（C ）.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

分析：①先用换元法将f（1+2x）=f（1-2x）转化，再由转化后的形式判断对称轴的方程．

②y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称可转化为证明y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线

x=0对称的问题，再结合图象的平移知识进行判断．

③用-x换x，由题设条件和偶函数的性质得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x），故f（x）的图象关于直线x=2对称．

④用-x换x，由题设条件和奇函数的性质得，f（-x）=f（x-2），故y=f（x）的图象关于直线x=-1对称．解答：解：①令t=1+2x，可得2x=t-1，代入f（1+2x）=f（1-2x）得f（t ）=f（2-t）

由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函数y=f（x）图象关于直线x=1对称

即y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故①是真命题．

②由题设知y=f（2-x）=f[-（x-2）]

由于函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称，

又y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象可由函数y=f（x）与y=f（-x）的图象右移动2个单位而得到，

∴y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称，故②是真命题．

③f（x）为偶函数，且f（2+x）=-f（x），用-x换x得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x）

∴f（x）的图象关于直线x=2对称，故③是真命题．

④∵y=f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），用-x换x得，f（-x）=f（x-2），

∴y=f（x）的图象关于直线x=-1对称，故④是假命题．

故选C．

8.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ B ）

A.0.5

B.-0.5

C.1.5

D.-1.5

9．设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ? ??

??x ＋3x ＋4的所有x 之和为( C ) A ．－3 B ．3 C ．－8 D ．8

10.已知函数f (x )满足：f (1)＝2，)

(1)(1)1(x f x f x f -+=+，则f (2011)等于( C ) A ．2 B ．－3 C ．－12 D.13

[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13

，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x ∈N *)．∴f (x )的周期为4，故f (2011)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下：f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)

＝－1f (x )

，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为 11.函数y ＝log 22－x 2＋x

的图象( A ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称

C ．关于y 轴对称

D ．关于直线y ＝x 对称

12.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=lg

x +11，那么当x ∈（－1，0）时，f （x ）的表达式是__________.

解析：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）=－f （－x ）=－lg x

-11=lg （1－x ）.答案：lg （1－x ）

13.定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ＞0时，f (x )＝2008x ＋log 2008x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为 3 .

14．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．

0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2

＋2mx ＋3为偶函数，

∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．(

15.已知函数f(x)定义域为R ，则下列命题： ①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图像关于y 轴对称；

②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；

③若函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图像关于直线x=1/2对称；

④若f(x-2)=f(2-x),则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；

⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的图像关于x=2对称。其中正确的命题序号为_______． ②③⑤

16．定义在()+∞∞-,上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且在[]0,1-上是增函数，下面是关于f(x)的判断：

①()x f 关于点P(02

1,)对称 ②()x f 的图像关于直线1=x 对称； ③()x f 在[0，1]上是增函数； ④()()02f f =.

其中正确的判断是________________(把你认为正确的判断都填上)(1)(2)(4)

17.关于y=f(x)，给出下列五个命题：

①若f(-1+x)=f(1+x)，则y=f(x)是周期函数；

②若f(1-x)= -f(1+x)，则y=f(x)为奇函数；

③若函数y=f(x-1)的图像关于x=1对称，则y=f(x)为偶函数；

④函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图像关于直线x=1对称；

⑤若f(1-x)=f(1+x)，则y=f(x)的图像关于点（1,0）对称；

其中真命题的序号是_______．①③

18. 设函数)x (f y =是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，已

知]2,2[x -∈时，函数1x )x (f 2+-=，则]2,6[x --∈时，=)x (f .

1)4x ()x (f 2++-=

高中数学解题方法谈：函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法较多，下面把常见的判定方法分类加以研究分析． 1．定义域判定法例1 判定()(1)2f x x x =-- 的奇偶性．解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称， ∴原函数是非奇非偶函数．评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数的奇偶性． 2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性．解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数的奇偶性． 3．等价形式判定法例3 判定2211 ()11x x f x x x ++-=+++的奇偶性．解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =， ∴图象过原点．又0x ≠ 时，22 22 ()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--， (1)()f f x ∴-=-．又(0)0f =，∴()f x 为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法例4 若0a >，()([])f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性．

函数的单调性及奇偶性(含答案)

函数的单调性及奇偶性一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.，答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1

C.0 D.±1 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D.

函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性的判定方法山东刘海函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法． 1．定义域判定法例1 判定()(1)f x x =- 解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数．评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性． 2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性．解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性． 3．等价形式判定法例3 判定()f x =的奇偶性．解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点．又0x ≠ 时，22 22()(1)(1)1()(1)(1) f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-．又(0)0f =，()f x ∴为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性．

函数的奇偶性

函数的奇偶性【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：() ()()0, 1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：() ()()01(()0)() f x f x f x f x f x -+-==-≠，；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数；若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法

函数的奇偶性的典型例题

函数的奇偶性的典型例题函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分

函数的奇偶性及周期性综合运用

函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【解析】由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那么 f(x) 的周期是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],

(完整版)函数奇偶性的归纳总结

函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。教学过程：一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：

奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

函数奇偶性与单调性的综合应用专题

函数奇偶性与单调性的综合应用专题【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感现在拼命努力的自己！】教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？【新课讲解】一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“2 121) ()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值围.

二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤：（1）根据题意在区间上设；（2）比较大小；（3）下结论 . 函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域；例1 设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)3 1(log 2 f ，b ＝)2 1 (log 3 f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】因为log 2 3

函数奇偶性的判断方法

函数奇偶性的判断方法（周口卫生学校马爱华 466000）摘要：本文由两个高考题来验证判断函数奇偶性的三种常见方法：1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）；2、用求和（差）法判断；3、用求商法判断。关键词：奇函数偶函数定义域求和（差）法求商法函数的奇偶性是函数的一个重要的性质，其重要性质体现在它与函数的各种性质的联系之中，那么，怎样来判断函数的奇偶性呢？函数的奇偶性的判断应从两方面来进行，一是看函数的定义域是否关于原点对称（这是判断奇偶性的必要性）二是看)(x f 与)(x f -的关系。判断方法有以下三种： 1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）定义：如果对于函数y=f （x ）的定义域A 内的任意一个值x ，都有f （-x ）=-f （x ）则这个涵数叫做奇函数 f （-x ）=f （x ）则这个函数叫做偶函数 2、用求和（差）法判断若0)()(=-+x f x f (()()2())f x f x f x --=则)(x f 为奇函数若())(2)()(0)()(x f x f x f x f x f =-+=-- 则)(x f 为偶函数 3、用求商法判断若 ()0)(1)()(≠-=-x f x f x f 则)(x f 为奇函数若()0)(1) ()(≠=-x f x f x f 则)(x f 为偶函数

例1、判断函数()x x x f ++=21lg )(的奇偶性（对口升学07年高考题）解法一（定义法）函数的定义域为R ，关于原点对称 () x x x f -+=-21lg )( =222(1)(1) lg 1x x x x x x +-++++=()1221lg 11lg -++=++x x x x = 2lg(1)x x -++ ()f x =- )(x f ∴为奇函数解法二（求和（差）法） ()()x x x x x f x f -++++=-+221lg 1lg )()( ()() x x x x -+++=2211lg =01lg = )(x f ∴为奇函数解法三（求商法） ()()()() ()x x x x x x x x x x x x x f x f ++++-=+++=++-+=-2222221lg 1lg 1lg 11 lg 1lg 1lg )()( )0(1≠-=x )(x f ∴为奇函数例2判断函数?? ? ??+-=21121)(x x x f 的奇偶性（对口升学08年高考题）解法一（定义法）函数的定义域为0≠x 的全体实数，关于原点对称

函数的奇偶性的经典总结

函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。（2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。题型一判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2 )(，（2）x x x f -=3 )( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。（2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=，（3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在(x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。（5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。（6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为

函数的奇偶性(讲义).docx

函数的奇偶性【知识要点】 1．函数奇偶性的定义：一般地，对于函数 f (x) 定义域内的任意一个x，都有 f (x) f (x)，那么函数f ( x)f (x) f ( x) 叫偶函数（，那么函数 even function）.如果对于函数定义域内的任意一个 f ( x) 叫奇函数（ odd function）. x，都有 2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象. 3．判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (x)与 f ( x) 的关系；（1）奇函数 f (x) 1( f (x) 0) ； f ( x)f (x)f ( x) f (x) 0 f (x) （2）偶函数 f x f x f xf x f x 0 1 f x 0 . f x 4．函数奇偶性的几个性质：（1）奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域；（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；（3）若奇函数 f x在原点有意义，则 f 00 ；（4）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数；（5）在公共的定义域内：两个奇（偶）函数的和与差仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；（6）函数 f x与函数 1 有相同的奇偶性 . f x

5．奇偶性与单调性：（1）奇函数在两个关于原点对称的区间 b, a , a, b 上有相同的单调性；（2）偶函数在两个关于原点对称的区间 b, a , a, b 上有相反的单调性 . 【典例精讲】类型一函数奇偶性的判断例 1 判断下列函数的奇偶性：（1） f x x 2 2 x ；（2） f x 1 x 2 x 2 1 ；（3） f x ax b ax b a b 0 ； 1 1 （4） f x x ； 2 x 1 2 x 2 x 1, x x 2 2x 3, x 0，（5） f ( x) 0， x 0， 2 x 1, x （ 6） f ( x)0, x 0； 2x 3, x 0. x 2 变式判断下列函数的奇偶性： 4 5 1 1 (1) f ( x )= x ； (2) f ( x )= x ； (3)f ( x )= x + x 2 ；(4) f ( x )= x 2 . （ 5） f ( x ) x 3 2 x （ 6） f ( x) 2 x 4 4 x 2 （） y ax b ( a 0, b 0) （ 8） y x ( k 0) 7 x k x 2

判定三类特殊函数的奇偶性

判定三类特殊函数的奇偶性一、要点解读 1、理解奇、偶函数的定义要把握好两个问题：其一，定义域关于原点对称是函数f （x ）为奇函数或偶函数的必须满足的条件；其二，)()(x f x f -=-或)()(x f x f =-是定义域上的恒等式． 2、具有奇偶性的函数的图像的特征；偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称．所以判断函数的奇偶性，除了定义法还有图像法． 3、由奇函数的定义可知，在x ＝0处有意义的奇函数f （x ），有f （0）＝0成立． 4、有时可以应用定义的等价形式来判断函数的奇偶性． )()(x f x f ±=-，即0)()(=-x f x f ，即).0)((1) ()(≠±=-x f x f x f 5、偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同．二、典例剖析 1、常见函数的奇偶性的判断例1、判断函数1||)(2-= x x x f 是否具有奇偶性．解：先看定义域，由012≠-x 得1±≠x ，则定义域}1,|{±≠∈=x R x x D 关于原点对称，即任取D x ∈，都有D x ∈-，又1)(||)(2---=-x x x f )(1 ||2x f x x =-=，所以1 ||)(2-=x x x f 为偶函数．点评：第一步：判断定义域是否关于原点对称；第二步：若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数，若定义域关于原点对称，则进一步寻找f （－x ）与f （x ）之间的关系；第三步：根据定义下结论． 2．分段函数的奇偶性例2、判断函数???>+-<-=) 0)(1()0)(1()(x x x x x x x f 的奇偶性．解：由题意，得函数f （x ）的定义域关于原点对称，当x<0时，－x>0，

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一判断函数的奇偶性

高考数学复习点拨函数奇偶性的判定方法.doc

函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法． 1．定义域判定法例1 判定()(1)2f x x x =--的奇偶性．解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数．评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性． 2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性．解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性． 3．等价形式判定法例3 判定()f x = 的奇偶性．解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点．又 0x ≠时，22 22()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-．又(0)0f =，()f x ∴为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ?=的奇偶性．解：在()()f x g x ，的公共定义域[]a a -，内，任取一个x ，则()()()x f x g x ?-=--，

函数奇偶性的判断

函数奇偶性的判断在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件，一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；二是判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立，这样能简化运算如本题中(4)，判断f (x )＋f (－x )＝0是否成立，要方便得多．本题(3)是分段函数判断奇偶性，分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－ x )＝－f (x )是否成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．函数奇偶性的应用 ()()()()()()()()2 211lg 2(1(0)1134.212(0)x x f x f x x x x x x f x f x x x x -+?+>?≥?--<< +--++- ++≥≤<-－由，得－，故的定义域关于原点对称．又－＝＝－＝－，故原函数是奇函数．由，得－，定义域不关于原点对称，故原函数是非奇非【解析】偶函数．()()()()()()()()()2 2 22 (0)(0)000()000()() 112111 21212222134x x x x f x x f x x x x x f x x x f x x f x x x x x f x x x f x f x f x f x ∞∞><><><-=---R 的定义域为－，，＋，它关于原点对称．又当时，＝＋，则当时，－，故－＝－＝；当时，＝－，则当时，－，故－＝＋＝．故原函数是偶函数．因为的定义域为，且－＝－＝－＝－，()()()()()()()()21lg 12|2|23lg( 1 4211 f x x f x x f x x x x f x x x (-) --?≤??->??判断下列函数的奇偶性．＝；【＝．＝变式练习】()()()()2{1,1}()1011|2|2()12f x f x x x x x f x f x ±><<因为定义域－关于原点对称，且－＝，所以原函数既是奇函数又是偶函数．【解析】由－，得－，则－－＝－，且－＝－，故原函数是奇函数． ()()()()())lg(34f x x x f x f x R 因为定义域为全体实数，且－＝＝＝－＝－，故原函数是奇函数．因为定义域是，关于原点对称，作出函数的图象，可知是偶函数． ()log (a f x x a 【若函数＝是奇函数，求实例】数2的值． ()()222()0log (log )0log 2021.0200log 0212a a a f x f x x x a a a a f a a >由＋－＝，得＋＝，即＝，所以＝因为，所以＝因为奇函数的定义域为全体实数，所以函数在原点有定义，则＝定义法：，即，则＝，得性质【法：＝解析】

函数的奇偶性练习题[(附答案)

函数的奇偶性 1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是（） A ．奇函数非偶函数 B ．偶函数非奇函数 C ．奇函数且偶函数 D ．非奇非偶函数 2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ） A .奇函数 B .偶函数 C .既奇又偶函数 D .非奇非偶函数 3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B. (2,+∞) C. (-∞,-2)?(2,+∞) D. (-2,2) 4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数. 当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则当x ∈(0.+∞)时，f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝lg (12+x -x ); (2)f (x )＝2-x +x -2 (3) f （x ）=? ? ?>+<-). 0() 1(),0()1(x x x x x x 6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。 7.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2 )<0,求a 的取值范围 8.已知函数21 ()(,,)ax f x a b c N bx c += ∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数, (1)求a,b,c 的值; (2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性. 9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有 f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．

函数单调性和奇偶性综合

函数单调性和奇偶性综合 ? 教学重点、难点：函数奇偶性、单调性的综合应用． ? 教学过程：一、复习提问 1．奇偶函数的定义及奇偶函数的图象特征． 2．练习：已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，给出下列命题：（1）()0f x =；（2）若 ()f x 在 [0, )∞+上有最小值 -1，则()f x 在)(0,∞-上有最大值1；（3）若 ()f x 在 [1, )∞+上为增函数，则()f x 在](1,-∞-上为减函数．其中正确的序号是： ① ② 二、新课讲解例1．已知：函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0,)+∞上是增函数，证明：()y f x =在(,0)-∞上也是增函数．证明：设120x x <<，则120x x ->->∵()f x 在(0,)+∞上是增函数． ∴12()()f x f x ->-,又()f x 在R 上是奇函数． ∴12()()f x f x ->-,即12()()f x f x < 所以，()y f x =在(,0)-∞上也是增函数．说明：函数的奇偶性和单调性的综合：奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致；偶函数则在在对称于原点的两个区间上的单调性相反！

例2．()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2 ()231f x x x =-++，求()f x 的解析式．解：设0x <，由于()f x 是奇函数，故()()f x f x =--，又0x ->，由已知有22()2()3()1231f x x x x x -=--+-+=--+ 从而解析式为222310()0 02310x x x f x x x x x ?-++>?==??+--?-<-?解之得112m -≤<．例4：（1）已知()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且12()()f x f x x +=，试判断()f x 的奇偶性；（2）函数()f x 定义域为R ，且对于一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，试判断()f x 的奇偶性．解：（1）∵()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且12()()f x f x x += ① 令①式中x 为1x 得：112()()f f x x x += ②

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