圆周运动
１、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。 2、分类： ⑴匀速圆周运动：
质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。
物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动.
注意:这里的合力可以是万有引力-—卫星的运动、库仑力-—电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力—-锥摆、静摩擦力——水平转盘上的物体等。
⑵变速圆周运动：如果物体受到约束,只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化-—如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动.合力的方向并不总跟速度方向垂直。 ３、描述匀速圆周运动的物理量
（１)轨道半径(r ）:对于一般曲线运动,可以理解为曲率半径. （2）线速度（v ）：
①定义:质点沿圆周运动，质点通过的弧长S 和所用时间t 的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。
②定义式：t
s
v =
③线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上,实际上，
线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率. （3）角速度（ω,又称为圆频率）:
①定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。 ②大小：T
t
π
?
ω2=
=
（φ是t 时间内半径转过的圆心角)
③单位:弧度每秒（r ａd/s)
（4）周期（T )：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期.
(５）频率(f ,或转速n )：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。 各物理量之间的关系：
r t r v f T t rf T
r t s v ωθππθωππ==
???
???
??======
2222 计算时，采用国际单位制,角度的单位采用弧度制。 （６）圆周运动的向心加速度
①定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。
②大小:r r v a n 22ω==（还有其它的表示形式，如：()r f r T v a n 22
22ππω=??
? ??==） ③方向：其方向时刻改变且时刻指向圆心。
对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量,r 为曲率半径;物体的另一加速度分量为切向加速度τa ，表征速度大小改变的快慢（对匀速圆周运动而言,τa =0）
(7）圆周运动的向心力
向心力的大小为：r m r
v m ma F n n 22
ω===
()r f m r T m mv F n 2
2
22ππω=??
? ??==);向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心.
（8）离心运动
当物体受到的合外力n n ma F =时，物体做匀速圆周运动； 当物体受到的合外力n n ma F ＜时,物体做离心运动 当物体受到的合外力n n ma F ＞时,物体做近心运动
皮带传动
１.线速度大小相等，即v A =v Ｂ
２．周期与半径成正比,即错误!=错误!未
定义书签。
3。角速度与半径成反比，即错误!未定义书签。=错误!
齿轮传动
１.线速度大小相等，即v A ＝v B 2。周期与半径成正比,即错误!＝错误!未
定义书签。
3.角速度与半径成反比,即错误!＝错误!未定义书签。
1、皮带传动问题
如图所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为ｒ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴,大轮的半径为４r ，小轮的半径为2ｒ，b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r,c 点和ｄ点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中,皮带不打滑，则（ ） Ａ。 ａ点与b 点的线速度大小相等 Ｂ。 a 点与ｂ点的角速度大小相等 C 。 ａ点与c 点的线速度大小相等 D. a 点与ｄ点的向心加速度大小相等
解析:皮带不打滑，故ａ、c 两点线速度相等，选C ；ｃ点、b 点在同一轮轴上角速度相等，半径不同,由 ，b 点与c 点线速度不相等,故a 与b 线速度不等，Ａ错;同样可判定a 与c 角速度不同，即ａ与b 角速度不同,B 错；设a 点的线速度为 ,则ａ点向心加速度
，由
,
，所以
,故
，D 正确.本题正
确答案Ｃ、Ｄ。
点评:处理皮带问题的要点为：皮带(链条)上各点以及两轮边缘上各点的线速度大小相等,同一轮上各点的角速度相同. 2、 水平面内的圆周运动
转盘:物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，物体与转盘间分无绳和有绳两种情况.无绳时由静摩擦力提供向心力;有绳要考虑临界条件。
如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物体,当物块到转轴的距离为ｒ时,连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）.物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的 倍。
求:
（１）当转盘的角速度 时，细绳的拉力 。
（2）当转盘的角速度 时，细绳的拉力
。
解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为，则
,解得
（1）因为，所以物体所需向心力小于物与盘间的最大摩擦力,则物与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力,细绳的拉力仍为０,即。
（2)因为，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力,则细绳
将对物体施加拉力，由牛顿第二定律得，解得。
圆锥摆：圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力(弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。
3、竖直面内的圆周运动
竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及
题型分类。
（1）弹力只可能向下，如绳拉球。这种情
况下有，即，
否则不能通过最高点；
（２)弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有，，否则车将离开桥面,做平抛运动;
(3）弹力既可能向上又可能向下,如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下,速度大小v可以取任意值.但可以进一步讨论：a. 当时物体受到的弹力必然是向下的;当时物体受到的弹力必然是向上的;当时物体受到的弹力恰好为零。ｂ．当弹力大小时,向心力有两解;当弹力大小时，向心力只有一解;当弹力时，向心力等于零,这也是物体恰能过最高点的临界条件.
如图所示，杆长为,球的质量为，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动,已知在最高点处,杆对球的弹力大小为，求这时小球的瞬时速度大小。
解析:小球所需向心力向下，本题中,所以弹力的方向可能
向上也可能向下。
（1)若F向上，则，;
（2）若F向下,则，
例：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为Ｒ(比细管的半径大得多）,在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、Ｂ，质量分别为、，沿环形管顺时针运动，经过最低点的速度都是，当Ａ球运动到最低点时，B球恰好到最高点，若要此时作用于细管的合力为零，那么、、R和应满足的关系是.
解析：由题意分别对Ａ、B小球和圆环进行受力分
析如图所示.
对于A球有
对于B球有
根据机械能守恒定律
由环的平衡条件
而，
由以上各式解得
例：如图所示，一根轻质细杆的两端分别固定着Ａ、B两个质量均为m的小球，O点是一光滑水平轴，已知，，使细杆从水平位置由静止开始转动,当B球转到O点正下方时，它对细杆的拉力大小是多少？
解析:对A、Ｂ两球组成的系统应用机械能守恒定律得
因Ａ、Ｂ两球用轻杆相连，故两球转动的角速度相等，即
设B球运动到最低点时细杆对小球的拉力为，由牛顿第二定律得
解以上各式得,由牛顿第三定律知,B球对细杆的拉力大小等于,方向竖直向下.
4、圆周运动的极值问题
例：如图所示,用细绳一端系着的质量为的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为的小球B，A的重心到Ｏ点的距离为。若A与转盘间的最大静摩擦力为，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度的取值范围。（取）
解析：要使Ｂ静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相
同的角速度.A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成。角速度取
最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小
值时,Ａ有向心运动的趋势,静摩擦力背离圆心O。
对于B：
对于A：，
ω
B A
m
联立解得
，
所以
例：如图所示,两绳系一质量为m=0.1kg 的小球,两绳的另一端分别固定于轴的AB 两处，上面绳长l ＝2ｍ，两绳拉直时与轴的夹角分别为３０°和45°,问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力？
［解析］设两细线都拉直时,A 、B 绳的拉力分别为A T 、B T ,小球的质量为m ，A 线与竖直方向的夹角为?=30θ,B 线与竖直方向的夹角为?=45α，受力分析，
由牛顿第二定律得：
当B 线中恰无拉力时，θωθsin sin 21l m T A = ①
mg T A =θcos ② 由①、②解得3
3101=
ωｒad/ｓ
当A 线中恰无拉力时,θωαsin sin 2
2
l m T B = ③ mg T B =αcos ④ （3分) 由③、④解得3102=ωｒad/ｓ 所以,两绳始终有张力,角速度的范围是
3
3
10rad/s 310<<ω rad ／s
例：如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A 、Ｂ,相距 ,长 的柔软细
线一端拴在A 上,另一端拴住一个质量为５0０g 的小球，小球的初始位置在AB 连线上Ａ的一侧，把细线拉直，给小球以２m/s 的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动,由于钉子B 的存在，使细线逐步缠在A 、B 上，若细线能承受的最大拉力 ,则从开始运
动到细线断裂的时间为多少？
解析:小球转动时，由于细线逐步绕在A 、B 两钉上,小球的转动半径逐渐变小，但小球转动的线速度大小不变.
小球交替地绕A 、Ｂ做匀速圆周运动，线速度不变，随着转动半径的减小，线中拉力 不断增大，每转半圈的时间t 不断减小。
在第一个半圆内 ,
在第二个半圆内 ,
在第三个半圆内 ，
在第n 个半圆内
，
令 ，得 ,即在第8个半圆内线还未断，n 取8,经历的时间为
万有引力定律
一。开普勒三定律以及三定律出现的过程：
（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 （2）任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
（3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
即R ３ / T 2=k
二.牛顿的万有引力定律
1．内容:自然界任何两个物体之间都存在着相互作用的引力,两物体间的引力的大小,跟它们的质量的乘积成正比,跟它们的距离的平方成反比。
表达式：F ＝G
2
21r m m
其中Ｇ＝６．6７×１０-1１ N ·ｍ2／ｋｇ2,叫万有引力常量,卡文迪许在实验室用扭秤装置，测出了引力常量。
2。适用条件：①公式适用于质点间的相互作用,②当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点． ③均匀球体可视为质点,r 为两球心间的距离．
3．万有引力遵守牛顿第三定律，即它们之间的引力总是大小相等、方向相反. 三。用开普勒第三定律、向心力、牛顿第三定律推导牛顿的万有引力定律:
四、用万有引力定律分析天体的运动
1。基本方法:把天体运动近似看作圆周运动,它所需要的向心力由万有引力提供,即
F ＝mg =2r GMm =2
ωmr =r v m 2
＝2)2(T mr π 2
r
GM g = 2.估算天体的质量和密度
① “T 、 ｒ"法
由G
2
r Mm
=ｍr T 224π得:Ｍ＝2324Gt r π。即只要测出环绕星体Ｍ运转的一颗卫星运转的半径和
周期,就可以计算出中心天体的质量．
由ρ=V
M ,Ｖ=34
πＲ
３
得：ρ＝323
3R
GT r π.R 为中心天体的星体半径
当r =R 时,即卫星绕天体M 表面运行时，ρ=23GT
π,由此可以测量天体的密度．
②“g 、R ”法 ρ??=
M R
GM
g 2 ３。卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系
(１）由G
r v m r Mm 22
=得：ｖ＝r GM
． 即轨道半径越大,绕行速度越小
（2)由Ｇ2
r
Mm ＝m ω2
r 得：ω＝3
r GM 即轨道半径越大,绕行角度越小
（3)由G
3
r Mm ＝4π22T mR
得：T =２πGM R 3 即轨道半径越大，绕行周期越大。
４．三种宇宙速度
(1)第一宇宙速度(环绕速度）：v １=7。9 ｋｍ/ｓ是人造地球卫星的最小发射速度,最大绕行速度.“飘”起来的速度
(2）第二宇宙速度（脱离速度）：v ２＝１１．２ km/s 是物体挣脱地球的引力束缚需要的最小发射速度。
(3)第三宇宙速度（逃逸速度）：v 3=16．７ ｋｍ/ｓ是物体挣脱太阳的引力束缚需要的最小发射速度. 5.地球同步卫星
所谓地球同步卫星是指相对于地面静止的人造卫星，它的周期T ＝２4h ．要使卫星同步,同步卫星只能位于赤道正上方某一确定高度h ．(高度、运行方向、加速度、角速度、线速度大小相同，质量不同） 由
G 2224)(T
m h R Mm π=+（Ｒ+ｈ)得：
ｈ＝43
1
2
2106.3)4(?=-R GMT π
k ｍ=5．6R R 表示地球半径
六、万有引力复习中应注意的几个问题 1、不同公式和问题中的r ，含义不同
万有引力定律公式2
2
1r m m G
F ?=中的r ?指的是两个物体间的距离，对于相距很远因而可以看做质点的物体，指的是两个球心的距离.而向心力公式r
v m F 2
?=中的ｒ，对于椭圆轨
道指的是曲率半径，对于圆轨道指的是圆半径。开普勒第三定律k T
r =23
中的r 指的是椭圆
轨道的半长轴。因此，同一个r 在不同公式中所具有的含义不同。 2、万有引力、向心力和重力
对于赤道上的某一个物体 ，有 r v m mg r
GMm 2
2+= 当速度增加时，重力
减小，向心力增加,当速度r GM v =（即第一宇宙速度）时,mg = 0，物体将“飘”起来,
星球处于瓦解的临界状态。 天体表面重力加速度的计算
例：一物体在地面上受到的重力为1６0N,将它放置在航天飞机中，当航天飞机以a=g ／２的加速度随火箭向上加速升高的过程中，某时刻测得物体与航天飞机中的支持物的相互挤压力为120N ，求此时航天飞机距地面的高度．（地球半径取6.4×10６m,g 取1０ｍ/s ２) m R H 71024.12?== 天体质量和密度的计算
例：宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t,小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球的质量M 。
解析:设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为ｘ，则有 ｘ2+h ２=L 2 由平抛运动规律得知,当初速度增大到２倍时,其水平射程也增大到2x,可得 （2x ）２
＋ｈ2=（3Ｌ）２
设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动的规律得: ｈ=2
1gt 2
由万有引力定律与牛顿第二定律得： mg= G
2R
Mm
联立以上各式解得M=2
2
332Gt LR .
例：中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大.现有一中子星,观测到它的自
转周期为T=301
s.问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定,不致因自转而瓦解。
计算时星体可视为均匀球体。（引力常数G ＝6．67?1０
11
-m 3/ｋｇ．s 2
）
解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时,中子星才不会瓦解。
设中子星的密度为ρ,质量为M ,半径为R,自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质
量为m,则有 R m R GMm 2
2
ω= T πω2= ρπ334R M =
由以上各式得
23GT π
ρ=
,代入数据解得：3
14/1027.1m kg ?=ρ。
黄金代换公式的应用
2００5年我国成功发射并回收了“神州”六号载人飞船。设飞船绕地球做匀速圆周运动，若飞船经历时间t 绕地球运行n 圈，则飞船离地面的高度为(已知地球半径为R ，地面
A 图5－ 6
B
O
的重力加速度为ｇ）( ）
?A 。 gR t n
22
22
34π? ?B ． gR t n R 222234π-??Ｃ。 gR t n 2223
?Ｄ． gR t n
R 22
2
3
- 双星问题
例1.两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两星中心距离为R,其运周期为T ，求两星的总质量．
解析：设两星质量分别为M 1 M 2,都绕连线上O 点作周期为Ｔ的圆周运动,星球1和星球2到O 的距离分别为ｌ1 1２．由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件 可得
1212
21)2(l T M R M M G
π
=
2222
21)2(l T M R M M G
π=
l 1 +1２=Ｒ
联立解得
2
32214GT R M M π=
+??
说明:双星是一个整体，围绕着它们的质心转动，所以角速度ω相同,两星之间由万有引力相维系,它们到质心的距离与它们的质量成反比 黑洞问题
例:神奇的黑洞是近代引力理论预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时,发现了LMCX —3双星系统,它由可见星A 和不可见暗星B 构成,两星视为质点,不考虑其它天体的影响,A 、B 围绕两者连线上的点Ｏ做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变,如图５－6所示。引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率V 和运行周期Ｔ0
（１）可见星A 所受暗星的B 引力FA 等效为位于Ｏ点处质量为m /的星体(视为质点)对它的引力。设A 和Ｂ的质量分别为m 1、ｍ2，试求m /（用m 1、m 2表示）； (2)求暗星B 的质量m ２与可见星A 的速率V 、运行周期T 和质量m １之
间的关系式;
（３)恒星演化到末期,如果其质量大小太阳质量m 0的２倍，它将有可能成为黑洞.若可见星的速率=２.7×105m/s ，运行周期Ｔ＝４.7π×10４s ，质量ｍ1＝6 ｍ０,试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？ （G=6.67×１0-１１N 。ｍ2/kg 2, m 0=2。０×1０３０
kg) 解析：（1）设A 、B 的圆轨道半径分别为r １、r 2,由题意知,Ａ、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设为ω，由牛顿运动定律,有
121F r m A ω= 222F r m B ω= B A F F =
设A 、B 之间的距离为r ，又r= r 1+r ２,由上述各式得
12
2
1r r m m m +=
①②③④⑤
由万有引力定律有2
2
1A F r m m G = 将①式代入得2
1
2
21231A )(F r m m m m G
+=
令2
1
/1A F r m m G
=
2
212
3/
)(m m m m +=
②
（1） 由牛顿第二定律有2
1
21
2
1
/1r v m r m m G
＝③
又可见星A 的轨道半径 π2r 1vT = 由②③④解得G
T
v m m m π2)(322123=
+ ⑤ （３)将m 1＝6 m ０代入⑤式得
G
T
v m m m π2)6(322023=
+ 代入数据得02
202
35.3)6(m m m m =+
⑥
设m ２＝n ｍ0（n ＞0)，将其代入⑥式，得
002
220235.3)16()6(m m n
n
m m m ＝+=+ ⑦
可见
2
202
3)6(m m m +的值随n 的增大而增大，试令ｎ=2，得
00025.3125.0)16
(m m m n
n <+＝
⑧
若使⑦式成立,则n 必大于2，即暗星B 的质量m 2必而在于2倍的ｍ0，由此得出结论:暗星B 有可能是黑洞. 卫星变轨问题
例:２006年9月３日欧洲航天局的第一枚月球探测器“智能１号”成功撞上月球.已知“智能1号”月球探测器环绕月球沿椭圆轨道运动，用m 表示它的质量,h 表示它近月点的高度，ω表示它在近月点的角速度，a 表示它在近月点的加速度，R 表示月球的半径,g 表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能1号”的影响.则“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于? ?
（ ）
Ａ。ｍa ?B.m
2
2)(h R g R +
C.m 2)(ωh R +
D ．以上结果都不对
解析:“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合外力，由牛顿
高中物理专题复习——运动学 ［知识要点复习］ 1.位移（s）：描述质点位置改变的物理量，是矢量，方向由初位置指向末位置，大小是从初位置到末位置的直线长度。 2.速度（v）：描述物体运动快慢和方向的物理量，是矢量。 做变速直线运动的物体，在某段时间内的位移与这段时间的比值叫做这段时间内平均速度。 它只能粗略描述物体做变速运动的快慢。 瞬时速度（v）：运动物体在某一时刻（或某一位置）的速度，瞬时速度的大小叫速率，是标量。 3.加速度（a）：描述物体速度变化快慢的物理量，它的大小等于 矢量，单位m/s2。 4.路程（L ）：物体运动轨迹的长度，是标量。 5.匀速直线运动的规律及图像 （1）速度大小、方向不变 （2）图象 6.匀变速直线运动的规律 （1）加速度a 的大小、方向不变
2）图像 7.自由落体运动只在重力作用下，物体从静止开始的自由运动。 8.牛顿第一运动定律一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止，这叫牛顿第一运动定律。 惯性：物体保持原匀速直线运动状态或静止状态的性质叫惯性，因此牛顿第一定律又叫惯性定律。惯性是物体的固有属性，与物体的受力情况及运动情况无关；惯性的大小由物体的质量决定，质量大，惯性大。 9.牛顿第二运动定律物体加速度的大小与所受合外力成正比，与物体质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。 10.牛顿第三运动定律两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，作用在一条直线上。作用力与反作用力大小相等，性质相同，同时产生，同时消失，方向不同、作用在两个不同且相互作用的物体上，可概括为“三同，两不同”。 11.超重与失重：当系统具有竖直向上的加速度时，物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力大于其重力的现象叫超重；当系统具有竖直向下的加速度时，物体对支持物的压力或对悬挂物的拉力小于其重力的现象叫失重。 12. 曲线运动的条件物体所受合外力的方向与它速度方向不在同一直线，即加速度方向与速度方向不在同一直线。 若用θ表示加速度a 与速度v0的夹角，则有：0°<θ<90°，物体做速率变大的曲线运动；θ＝90°时，物体做速率不变的曲线运动；90° <θ<180°时，物体做速率减小的曲线运动。 13.运动的合成与分解 （1）合运动与分运动的关系 a.等时性：合运动与分运动经历的时间相等； b.独立性：一个物体同时参与了几个分运动，各分运动独立进行，不受其它分运动的影响。 c.等效性：各分运动叠加起来与合运动规律有完全相同的效果。 （2）运动的合成与分解的运算法则遵从平行四边形定则，运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解。 （3）运动分解的原则
物理讲义 1、如图所示，A、B是两个摩擦传动轮，两轮半径大小关系为RA=2RB，则两轮边缘上的（） A．角速度之比ωA：ωB=2：1 B．周期之比TA：TB=1：2 C．转速之比nA：nB=1：2 D．向心加速度之比aA：aB=2：1 2、如图所示是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的牙盘（大齿轮），Ⅱ是半径为r2的飞轮（小齿轮），Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为 n（r/s），则自行车前进的速度为（）A．πnr1r3/r2 B．πnr2r3/r1 C．2πnr1r3/r2 D．2πnr2r3/r1 3、如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（） A． B的向心力是A的向心力的2倍 B．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍 C． A、B都有沿半径向外滑动的趋势 D．若B先滑动，则B对A的动摩擦因数μA小于盘对B的动摩擦因数μB
4、两根长度不同的细线下面分别悬挂着小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个小球在运动过程中的相对位置关系示意图正确的是（） A. B. C. D. 5、一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比=___． 6、铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是（） A．v一定时，r越小则要求h越大 B．v一定时，r越大则要求h越大 C．r一定时，v越小则要求h越大 D．r一定时，v越大则要求h越大 7、如图所示，一个圆形框架以竖直的直径为转轴匀速转动。在框架上套着两个质量相等的小球A、B，小球A、B到竖直转轴的距离相等，它们与圆形框架保持相对静止。下列说法正确的是 A．小球A的合力小于小球B的合力 B．小球A与框架间可能没有摩擦力 C．小球B与框架间可能没有摩擦力 D．圆形框架以更大的角速度转动，小球B受到的摩擦力一定增大 8、如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（）
A 从动轮做顺时针转动 B.从动轮做逆时针转动 匀速圆周运动专题 从现行高中知识体系来看，匀速圆周运动上承牛顿运动定律，下接万有引力，因此在高一物理中占 据极其重要的地位，同时学好这一章还将为高二的带电粒子在磁场中的运动及高三复习中解决圆周运动 的综合问题打下良好的基础。 （一）基础知识 1. 匀速圆周运动的基本概念和公式 （1） 线速度大小，方向沿圆周的切线方向，时刻变化； （2） 角速度，恒定不变量； （3）周期与频率； （4） 向心力，总指向圆心，时刻变化，向心加速度 ，方向与向心力相同； （5） 线速度与角速度的关系为 ，、、、的关系为。所以在、、中若一个量确定，其余两个量 也就确定了， 而还和有关。 2. 质点做匀速圆周运动的条件 （1） 具有一定的速度； （2） 受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与速度始终在一个确 定不变的平面内且一定指向圆心。 3. 匀速圆周运动的动力学特征 （1） 始终受合外力作用， 且合外力提供向心力， 其大小不变，始终指向圆心，因合力始终与速度垂直, 所以合力不做功. （2） 匀速圆周运动的动力学方程 根据题意，可以选择相关的运动学量如 v ,3, T , f 列出动力学方程；，，, 熟练掌握这些方程，会给解题带来方便. 4. 变速圆周运动的动力学特征 （1）受合外力作用，但合力并不总是指向圆心， 且合力的大小也是可以变化的， 故合力可对物体做功, 物体的速率也在变化. （2）合外力的分力（在某些位置上也可以是合外力 ）提供向心力. 例题1?在图1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为 r , a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮 的半径为4r ,小轮的半径为2r 。b 点在小轮上，到小轮中心的距离为 的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ） A . a 点与b 点的线速度大小相等 B . a 点与b 点的角速度大小相等 C . a 点与c 点的线速度大小相等 D. a 点与d 点的向心加速度大小相等 说明：在分析传动装置的各物理量时，要抓住等量和不等量之间 如同轴各点的角速度相等，而线速度与半径成正比；通过皮带传 虑皮带打滑的前提下）或是齿轮传动，皮带上或与皮带连接的两轮边缘的各点及 齿轮上的各点线速度大小相等、角速度与半径成反比。 练习 1.如图所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴， ，。假设在传动过 程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的 A 、B C 三点的角速度之比是 ___________ ;线 r 。 c 点和d 点分别于小轮和大轮 的关系。 动（不考 a r 4r d - 'Jr 图1
高一物理运动学专题复习 知识梳理： 一、机械运动 一个物体相对于另一个物体的位置的改变叫做机械运动，简称运动，它包括平动、转动和振动等运动形式． 二、参照物 为了研究物体的运动而假定为不动的物体，叫做参照物． 对同一个物体的运动，所选择的参照物不同，对它的运动的描述就会不同，灵活地选取参照物会给问题的分析带来简便；通常以地球为参照物来研究物体的运动． 三、质点 研究一个物体的运动时，如果物体的形状和大小属于无关因素或次要因素，对问题的研究没有影响或影响可以忽略，为使问题简化，就用一个有质量的点来代替物体．用来代管物体的有质量的做质点．像这种突出主要因素，排除无关因素，忽略次要因素的研究问题的思想方法，即为理想化方法，质点即是一种理想化模型． 四、时刻和时间 时刻：指的是某一瞬时．在时间轴上用一个点来表示．对应的是位置、速度、动量、动能等状态量． 时间：是两时刻间的间隔．在时间轴上用一段长度来表示．对应的是位移、路程、冲量、功等过程量．时间间隔=终止时刻－开始时刻。 五、位移和路程 位移：描述物体位置的变化，是从物体运动的初位置指向末位置的矢量． 路程：物体运动轨迹的长度，是标量．只有在单方向的直线运动中，位移的大小才等于路程。 六、速度 描述物体运动的方向和快慢的物理量． 1．平均速度：在变速运动中，物体在某段时间内的位移与发生这段位移所用时间的比值叫做这段时间内的平均速度，即V ＝S/t ，单位：m ／ s ，其方向与位移的方向相同．它是对变速运动的粗略描述．公式V =（V 0＋V t ）/2只对匀变速直线运动适用。 2．瞬时速度：运动物体在某一时刻（或某一位置）的速度，方向沿轨迹上质点所在点的切线方向指向前进的一侧．瞬时速度是对变速运动的精确描述．瞬时速度的大小叫速率，是标量． 3．速率：瞬时速度的大小即为速率； 4．平均速率：质点运动的路程与时间的比值，它的大小与相应的平均速度之值可能不相同。 七、匀速直线运动 1．定义：在相等的时间里位移相等的直线运动叫做匀速直线运动． 2．特点：a ＝0，v=恒量． 3．位移公式：S ＝vt ． 八、加速度 1．加速度的物理意义：反映运动物体速度变化快慢．．．．．． 的物理量。 加速度的定义：速度的变化与发生这一变化所用的时间的比值，即a = t v ??=t v v ?-1 2。 加速度是矢量。加速度的方向与速度方向并不一定相同。 2．加速度与速度是完全不同的物理量，加速度是速度的变化率。所以，两者之间并不存在“速度大加速度也大、速度为0时加速度也为0”等关系，加速度和速度的方向也没有必然相同的关系，加速直线运
一、第六章 圆周运动易错题培优（难） 1．如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m 、m 、2m 的可视为质点的三个物体A 、B 、C ，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴OO '转动．三个物体与圆盘的动摩擦因数均为0.1μ=，最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力．三个物体与轴O 共线且OA =OB =BC =r =0.2 m ，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力．若圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，已知重力加速度为g =10 m/s 2，则对于这个过程，下列说法正确的是（ ） A ．A 、 B 两个物体同时达到最大静摩擦力 B ．B 、 C 两个物体的静摩擦力先增大后不变 C ．当5/rad s ω>时整体会发生滑动 D 2/5/rad s rad s ω<<时，在ω增大的过程中B 、C 间的拉力不断增大 【答案】BC 【解析】 ABC 、当圆盘转速增大时,由静摩擦力提供向心力.三个物体的角速度相等,由2F m r ω=可知,因为C 的半径最大,质量最大,故C 所需要的向心力增加最快,最先达到最大静摩擦力,此时 2122C mg m r μω= ,计算得出:11 2.5/20.4 g rad s r μω= = = ,当C 的摩擦力达到最大静摩擦力之后,BC 开始提供拉力,B 的摩擦力增大,达最大静摩擦力后,AB 之间绳开始有力的作用,随着角速度增大,A 的摩擦力将减小到零然后反向增大,当A 与B 的摩擦力也达到最大时,且BC 的拉力大于AB 整体的摩擦力时物体将会出现相对滑动,此时A 与B 还受到绳的拉力,对C 可得:2 2222T mg m r μω+= ,对AB 整体可得:2T mg μ= ,计算得出:2g r μω= 当 1 5/0.2 g rad s r μω> = = 时整体会发生滑动,故A 错误,BC 正确; D 、 2.5rad/s 5rad/s?ω<<时，在ω增大的过程中B 、C 间的拉力逐渐增大，故D 错误； 故选BC 2．两个质量分别为2m 和m 的小木块a 和b （可视为质点）放在水平圆盘上，a 与转轴OO ’的距离为L ，b 与转轴的距离为2L ，a 、b 之间用强度足够大的轻绳相连，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g ．若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，开始时轻绳刚好伸直但无张力，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
第3讲 圆周运动 一、匀速圆周运动及描述 1．匀速圆周运动 (1)定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动． (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动． (3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 2．运动参量 自测 (多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s ，转动周期为2 s ，则( ) A ．角速度为0.5 rad/s B ．转速为0.5 r/s C ．轨迹半径为4 π m D ．加速度大小为4π m/s 2 二、匀速圆周运动的向心力 1．作用效果 向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小． 2．大小 F n ＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2 T 2r ＝mωv ＝4π2mf 2r .
3．方向 始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力． 4．来源 向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供． 判断正误 (1)物体做匀速圆周运动时，因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力．( ) (2)物体做匀速圆周运动时，因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小．( ) (3)物体做匀速圆周运动时，向心力由物体所受的合外力提供．( ) 三、离心运动和近心运动 1．离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动． 2.受力特点(如图1) (1)当F ＝0时，物体沿切线方向飞出； (2)当0
圆周运动 1．物体做匀速圆周运动的条件： 匀速圆周运动的运动条件：做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方向垂直并指向圆心。 2．描述圆周运动的运动学物理量 （1）圆周运动的运动学物理量有线速度v 、角速度ω、周期T 、转速n 、向心加速度a 等。它们之间的关系大多是用半径r 联系在一起的。如：T r r v πω2= ?=，2 2224T r r r v a πω===。要注意转速n 的单位为r/min ，它与周期的关系为n T 60=。 （2）向心加速度的表达式中，对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有： ωωv r r v a ===22 ，公式中的线速度v 和角速度ω均为瞬时值。只适用于匀速圆周运动 的公式有：2 24T r a π= ，因为周期T 和转速n 没有瞬时值。 例题1．在图3－1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r 。 b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r 。 c 点和 d 点分别于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ） A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 练习 1．如图3－4所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，2:1:=c A R R ，3:2:=B A R R 。假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A 、B 、C 三点的角速度之比是 ；线速度之比是 ；向心加速度之比是 。 2．图示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打 图3－1 4r 2r r r a b c d 图3－4
重点高中物理运动学专题
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运动学 第一讲基本知识介绍 一．基本概念 1．质点 2．参照物 3．参照系——固连于参照物上的坐标系（解题时要记住所选的是参照系，而不仅是一个点） 4．绝对运动，相对运动，牵连运动：v 绝=v 相 +v 牵 二．运动的描述 1．位置：r=r(t) 2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t) 3．速度：v=lim Δt→0 Δr/Δt.在大学教材中表述为：v=d r/dt, 表示r对t 求导数 ４．加速度a=a n +a τ。 a n :法向加速度，速度方向的改变率，且a n =v2/ρ,ρ叫 做曲率半径，（这是中学物理竞赛求曲率半径的唯一方法）a τ : 切向加速度，速度大小的改变率。a=d v/dt 5．以上是运动学中的基本物理量，也就是位移、位移的一阶导数、位移的二阶导数。可是三阶导数为什么不是呢？因为牛顿第二定律是F=ma,即直接和加速度相联系。（a对t的导数叫“急动度”。） 6．由于以上三个量均为矢量，所以在运算中用分量表示一般比较 好 三．等加速运动 v(t)=v 0+at r(t)=r +v t+1/2 at2 一道经典的物理问题：二次世界大战中物理学家曾 经研究，当大炮的位置固定，以同一速度v 沿各种角度发射，问：当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危险？（注：结论是这一区域为一抛物线，此抛物线是所有炮弹抛物线的 包络线。此抛物线为在大炮上方h=v2/2g处，以v 平抛物体的轨迹。） 练习题： 一盏灯挂在离地板高l 2,天花板下面l 1 处。灯泡爆裂，所有碎片以同样大小 的速度v 朝各个方向飞去。求碎片落到地板上的半径（认为碎片和天花板的碰撞是完全弹性的，即切向速度不变，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非弹性的，即碰后静止。） 四．刚体的平动和定轴转动 1．我们讲过的圆周运动是平动而不是转动 2．角位移φ=φ（t）, 角速度ω=dφ/dt , 角加速度ε=dω/dt 3．有限的角位移是标量，而极小的角位移是矢量 4．同一刚体上两点的相对速度和相对加速度 两点的相对距离不变，相对运动轨迹为圆弧， V A =V B +V AB ,在AB连线上
一．平均速度：任意运动的平均速度公式和匀变速直线运动的平均速度公式的理解 ①t s ??= 一v 普遍适用于各种运动；②v =20t V V +只适用于加速度恒定的匀变速直线运动 ③t V V S t 2 0+= 仅适用于匀变速直线运动 1．物体由A 沿直线运动到B ，在前一半时间内是速度为v 1的匀速运动，在后一半时间内是速度为v 2的匀速运动.则物体在这段时间内的平均速度为( ) A ．221v v + B ．21v v + C ．21212v v v v + D ．2 121v v v v + 2．一个物体做变速直线运动，前一半路程的平均速度是v 1，后一半路程的平均速度是v 2，则全程的平均速度是( ) A ．221v v + B ．21212v v v v + C ．21212v v v v ++ D ．2 121v v v v + 3．一辆汽车以速度v 1行驶了1/3的路程，接着以速度v 2＝20km/h 跑完了其余的2/3的路程，如果汽车全程的平均速度v=27km/h ，则v 1的值为（ ） A ．32km/h B ．345km/h C ．56km/h D ．90km/h 4．甲乙两车沿平直公路通过同样的位移，甲车在前半段位移上以v 1=40km/h 的速度运动，后半段位移上以v 2=60km/h 的速度运动；乙车在前半段时间内以v 1=40km/h 的速度运动，后半段时间以v 2=60km/h 的速度运动，则甲、乙两车在整个位移中的平均速度大小的关系是 A ．V 甲=V 乙 B ．V 甲 < V 乙 C ．V 甲 > V 乙 D ．因不知位移和时间故无法确定 二．加速度公式的理解：a=（v t -v 0 ）/t 公式中各个部分物理量的理解 匀加速运动：速度随时间均匀增加，v t ＞v 0，a 为正，此时加速度方向与速度方向相同。 匀减速运动：速度随时间均匀减小，v t ＜v 0，a 为负，此时加速度方向与速度方向相反。 1．对于质点的运动，下列说法中正确的是（ ） A ．质点运动的加速度为零，则速度变化量也为零 B ．质点速度变化率越大，则加速度越大 C ．物体的加速度越大，则该物体的速度也越大 D ．质点运动的加速度越大，它的速度变化量越大 2．下列说法正确的是（ ） A ．加速度增大，速度一定增大 B ．速度改变△V 越大，加速度就越大 C ．物体有加速度，速度就增加 D ．速度很大的物体，其加速度可能很小 3．关于加速度与速度，下列说法中正确的是（ ） A ．速度为零，加速度可能不为零 B ．加速度为零时，速度一定为零 C ．若加速度方向与速度方向相反，则加速度增大时，速度也增大 D ．若加速度方向与速度方向相同，则加速度减小时，速度反而增大 4．一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4m/s ，1s 后速度的大小变为10m/s ，在这1s 内该物体的（ ） A ．位移的大小可能小于4m B ．位移的大小可能大于10m C ．加速度的大小可能小于4m/s 2 D ．加速度的大小可能大于10m/s 2
诚成教育教师一对一讲义 教师 学生 日期 时段 课 题 学习目标与分析 学习重点 学习方法 学习内容与过程 教师分析与批注 运动的合成与分解 一、设v 水为水流速度，v 船为船相对静水速度,θ为v 船与河岸的夹角,d 为河宽，船的实际运动分解为两个方向处理。 二、小船渡河问题的分析与求解方法： 小船渡河问题可以分为四类，即能否垂直于河岸过河、过河时间最短、过河位移最短和躲避障碍四类，考查最多的仍是过河最短时间和最短位移两类。 1、若Vc>Vs ，小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图1所示：此时过河时间 。 2、若Vc 三、典型题 例题1．如图4-2，河宽d ，水流速度V 1。船在静水中速度V 2，且V 1＜V 2，如果小船航向与河岸成θ角斜向上游，求 (1)它渡河需要多少时间； (2)如果要以最短时间渡河，船头应指向何方？此时渡河位移多少； (3)要以最短位移渡河，船头又指向何方？此时渡河时间是多少？ 变式1、小船在200m 宽的河中横渡，水流速度为2m/s ，船在静水中的航速是4m/s ，求： （1）怎样渡河时间最短？最短时间多少？此时渡河位移？ （2）怎样渡河位移最小？此时渡河时间？ 2、小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后40s 到达对岸下游120m 处，若船头保持与河岸成α角向上游航行，在出发后50s 到达正对岸，求： （1）水流的速度； （2）船在静水中的速度； （3）河的宽度； （4）船头与河岸的夹角α 3、一条宽度为L 的河，水流速度为V 水，已知船在静水中的速度为V 船，那么： (1)怎样渡河时间最短？ (2)若V 船﹥V 水，怎样渡河位移最小？ (3)若V 船﹤V 水，怎样渡河船漂下的距离最短？ 运动的合成与分解 要注意：①合运动一定是物体的实际运动。 ②分运动之间没有相互联系（独立性）。 ③合运动和分运动所用的时间相等（同时性）。 ④等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动规律 有完全相同的效果。 ⑤合运动和分运动的位移、速度、加速度都遵守平行四边形法则。 例题1．如右图所示汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达某点时，绳子与水平方向恰好成θ角，此时物体M 的速度大小是多少？ θ v 1 v 2 图4-2 r m 高一期末考试题目 圆周运动专题汇编 ——高一必须掌握的经典题目 一、选择题[共53题] .............................................................................................................. 1 二、填空题[共9题] ................................................................................................................ 9 三、实验题[共2题] .............................................................................................................. 11 四、计算题[共6题] .............................................................................................................. 12 [编者按]高一不可能一步达到高三的水平，到底需要掌握哪些题型？打开历年的高一中考、末考题目，就可以心中有数了。这是笔者从138套历年全国各地高一期末考试题目中挑选的题目，选择题[共53题]，填空题[共9题]，实验题[共2题]，计算题[共6题]，共70道，不涉及与机械能联系的题目，汇编成一体，供讲新课的老师参考。 一、选择题[共53题] 1、如图所示，用长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则( ) A ．小球在最高点时所受向心力一定为重力 B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零 C ．若小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则其在最高点速率是gL D ．小球在圆周最低点时拉力可能等于重力 2、在质量为M 的电动机的飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到转轴的距离为r ， 如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过( ) A ． g mr m M + B ．g mr m M + C ．g mr m M - D ． mr Mg 3．关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是： A ．大小不变，方向变化 B ．大小变化，方向不变 C ．大小、方向都变化 D ．大小、方向都不变 4．同一辆汽车以同样大小的速度先后开上平直的桥和凸形桥，在桥的中央处有： A ．车对两种桥面的压力一样大 B ．车对平直桥面的压力大 C ．车对凸形桥面的压力大 D ．无法判断 5、洗衣机的脱水筒在转动时有一衣物附在筒壁上，如图所示，则此时： A ．衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力的作用 B ．衣物随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的 圆周运动讲义（学霸版） 课程简介：PPT(第1页):同学好，我们又见面了，上次课讲的内容巩固好了么，要是感觉有什么问题，可以课后和我联系，我们今天的内容是关于圆周运动的相关概念和知识点，让我们来一起看一下。PPT(第2页):圆周运动部分是必修2的重点内容，主要内容： 1、通过实例，理解圆周运动的快慢； 2、通过比较，理解圆周运动中各物理量之间的关系； 3、通过拓展阅读，体会三种传动方式中各物理量间的关系与应用。PPT(第3页):我们看一下目录，还是老样子，梳理知识体系和解决经典问题实例。 PPT(第4页)：我们先来看一下知识体系的梳理部分。 PPT(第5页)：这是我们关于圆周运动的总框架，知识点部分包括：匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度，匀速圆周运动的向心力，离心现象。 考点包括：圆周运动中的运动学分析、圆周运动中的动力学分析和圆周运动的实例分析。 PPT(第6页)：OK，我们先说一下匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度。 1.匀速圆周运动 (1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。 (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 (3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2.描述匀速圆周运动的物理量 度的大小。 2.大小：F ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ＝mωv ＝4π2mf 2r 。3.方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 4.来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还 可以由一个力的分力提供。 PPT(第8页):好，我们再来看看离心现象。 1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 2.本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势。接下来看一下相关考点，主要考点内容包括：圆周运圆周运动中的动力学分析、先看一下考点一-圆周运动中的运动学分析 的理解 成正比； 当ω一定时，v 与r 成正比； 当v 一定时，ω与r 成反比。 2.对a ＝v 2 r ＝ω2r ＝ωv 的理解在v 一定时，a 与r 成反比；在ω一定时，a 与r 成正比。 1.2圆周运动 一、匀速圆周运动 1、基本物理量 半径r 、线速度v 、角速度ω、周期T 、频率f 、转速n 、向心加速度a n 、向心力F n 2、物理量之间的关系 v r ω= 1 T f = n f = 222r v rf rn T πππ= == 222f n T πωππ=== 22 224==n n v F ma m m r m r r T πω== 例1、半径为R 的圆柱夹在互相平行的两板之间，两板分别以速 度v1，v2反向运动，圆柱与板无相对滑动。问圆柱上与板接触 的A 点的加速度是多少？ 例2、如图一半径为R 的刚性圆环竖直地在刚性水平地面上作纯滚动， 圆环中心以不变的速度v o 在圆环平面内水平向前运动．求圆环圆心等高 的P 点的瞬时速度和加速度． 例3、缠在线轴上的线绕过滑轮B 后，以恒定速度v0被拉出， 如图所示，这时线轴沿水平面无滑动滚动。求线轴中心点 O 的 速度随线与水平方向的夹角 α 的变化关系。（线轴的内、外半径 分别为r 和R ） 二、变速圆周运动 速率变化的圆周运动，加速度不再沿着半径方向。可以加速度分解为半径方向的向心加速度a n 和切线方向的切向加速度a t 。向心加速度a n 改变速度方向，切向加速度a t 改变速度大小。此时，角速度的大小也在变化，角速度变化的快慢叫做角加速度β。 =t dv d r dt dt a r ωβ= 例4、如图所示，在离水面高度为h 的岸边，有人用绳子拉船靠 岸，若人拉绳的速率恒为v 0，试求船在离岸边s 距离处时的速度 和加速度。 例5、如图所示，直杆AB 以匀速v 0搁在半径为r 的固定圆 环上做平动，试求图示位置时， 杆与环的交点M 的速度 和加速度。 例6、一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以加速度a 运动。 在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所 示。当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，半圆柱体的速度为v ，求此时竖直杆运动的速度和加速度。 例7、图中所示为用三角形刚性细杆AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图。AB 和CD 杆可分别绕过A 、D 的垂直于纸面的固定轴转动，A 、D 两点位于同一水平线上。BC 杆的两端分别与AB 杆和CD 杆相连，可绕连接处转动（类 高考第二轮复习专题： ——物体的圆周运动 圆周运动 1．物体做匀速圆周运动的条件： 匀速圆周运动的运动条件：做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方 向垂直并指向圆心。 2．描述圆周运动的运动学物理量 （1）圆周运动的运动学物理量有线速度v 、角速度ω、周期T 、转速n 、向心加速度a 等。 它们之间的关系大多是用半径r 联系在一起的。如：T r r v πω2=?=，2 2224T r r r v a πω===。要注意转速n 的单位为r/min ，它与周期的关系为n T 60=。 （2）向心加速度的表达式中，对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有： ωωv r r v a ===22 ，公式中的线速度v 和角速度ω均为瞬时值。只适用于匀速圆周运动的公式有：2 24T r a π= ，因为周期T 和转速n 没有瞬时值。 例题1．在图3－1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧 是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r 。b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r 。c 点和d 点分别于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ） A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 解析：本题的关键是要确定出a 、b 、c 、d 四点之间的等量关系。因为a 、c 两点在同一皮带 上，所以它们的线速度v 相等；而c 、b 、d 三点是同轴转动，所以它们的角速度ω相等。 所以选项C 正确，选项A 、B 错误。 设C 点的线速度大小为v ，角速度为ω，根据公式v=ωr 和a=v 2/r 可分析出：A 点的向心加速度大小为r v a A 2=；D 点的向心加速度大小为：r v r r r a D 2 22)2(4=?=?=ωω。所以选图3－1 运动学 第一讲基本知识介绍 一．基本概念 1．质点 2．参照物 3．参照系——固连于参照物上的坐标系（解题时要记住所选的是参照系，而不仅是一个点） 4．绝对运动，相对运动，牵连运动：v 绝=v 相 +v 牵 二．运动的描述 1．位置：r=r(t) 2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t) 3．速度：v=lim Δt→0 Δr/Δt.在大学教材中表述为：v=d r/dt, 表示r对t 求导数 ４．加速度a=a n +a τ。 a n :法向加速度，速度方向的改变率，且a n =v2/ρ,ρ叫 做曲率半径，（这是中学物理竞赛求曲率半径的唯一方法）a τ : 切向加速度，速度大小的改变率。a=d v/dt 5．以上是运动学中的基本物理量，也就是位移、位移的一阶导数、位移的二阶导数。可是三阶导数为什么不是呢？因为牛顿第二定律是F=ma,即直接和加速度相联系。（a对t的导数叫“急动度”。） 6．由于以上三个量均为矢量，所以在运算中用分量表示一般比较 好 三．等加速运动 v(t)=v 0+at r(t)=r +v t+1/2 at2 一道经典的物理问题：二次世界大战中物理学家曾经 研究，当大炮的位置固定，以同一速度v 沿各种角度发射，问：当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危险？（注：结论是这一区域为一抛物线，此抛物线是所有炮弹抛物线的包 络线。此抛物线为在大炮上方h=v2/2g处，以v 平抛物体的轨迹。） 练习题： 一盏灯挂在离地板高l 2,天花板下面l 1 处。灯泡爆裂，所有碎片以同样大小 的速度v 朝各个方向飞去。求碎片落到地板上的半径（认为碎片和天花板的碰撞是完全弹性的，即切向速度不变，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非弹性的，即碰后静止。） 四．刚体的平动和定轴转动 1．我们讲过的圆周运动是平动而不是转动 2．角位移φ=φ（t）, 角速度ω=dφ/dt , 角加速度ε=dω/dt 3．有限的角位移是标量，而极小的角位移是矢量 4．同一刚体上两点的相对速度和相对加速度 两点的相对距离不变，相对运动轨迹为圆弧，V A =V B +V AB , 在AB连线上 一、第六章圆周运动易错题培优（难） 1．如图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=30°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T，取g=10m/s2。则下列说法正确的是（） A．当ω=2rad/s时，T3+1)N B．当ω=2rad/s时，T=4N C．当ω=4rad/s时，T=16N D．当ω=4rad/s时，细绳与竖直方向间夹角大于45° 【答案】ACD 【解析】 【分析】 【详解】 当小球对圆锥面恰好没有压力时，设角速度为，则有 解得 AB．当，小球紧贴圆锥面，则 代入数据整理得 A正确，B错误； CD．当，小球离开锥面，设绳子与竖直方向夹角为，则 解得 ， CD正确。 故选ACD。 2．如图，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是（） A．滑块对轨道的压力为B．受到的摩擦力为 C．受到的摩擦力为μmg D．受到的合力方向斜向左上方 【答案】AD 【解析】 【分析】 【详解】 A．根据牛顿第二定律 根据牛顿第三定律可知对轨道的压力大小 A正确； BC．物块受到的摩擦力 BC错误； D．水平方向合力向左，竖直方向合力向上，因此物块受到的合力方向斜向左上方，D正确。 故选AD。 3．如图甲所示，半径为R、内壁光滑的圆形细管竖直放置，一可看成质点的小球在圆管内做圆周运动，当其运动到最高点A时，小球受到的弹力F与其过A点速度平方（即v2）的关系如图乙所示。设细管内径略大于小球直径，则下列说法正确的是（） A．当地的重力加速度大小为R b B．该小球的质量为a b R C．当v2=2b时，小球在圆管的最高点受到的弹力大小为a D．当0≤v2＜b时，小球在A点对圆管的弹力方向竖直向上【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】 AB．在最高点，根据牛顿第二定律 2 mv mg F R -= 圆周运动 一、匀速圆周运动 1、基本物理量 半径r 、线速度v 、角速度ω、周期T 、频率f 、转速n 、向心加速度a n 、向心力F n 2、物理量之间的关系 v r ω= 1 T f = n f = 222r v rf rn T πππ= == 222f n T πωππ=== 22 224==n n v F ma m m r m r r T πω== 例1、半径为R 的圆柱夹在互相平行的两板之间，两板分别以速 度v1，v2反向运动，圆柱与板无相对滑动。问圆柱上与板接触 的A 点的加速度是多少？ 例2、如图一半径为R 的刚性圆环竖直地在刚性水平地面上作纯滚动， 圆环中心以不变的速度v o 在圆环平面内水平向前运动．求圆环圆心等高 的P 点的瞬时速度和加速度． 例3、缠在线轴上的线绕过滑轮B 后，以恒定速度v0被拉出， 如图所示，这时线轴沿水平面无滑动滚动。求线轴中心点 O 的 速度随线与水平方向的夹角 α 的变化关系。（线轴的内、外半径 分别为r 和R ） 二、变速圆周运动 速率变化的圆周运动，加速度不再沿着半径方向。可以加速度分解为半径方向的向心加速度a n和切线方向的切向加速度a t。向心加速度a n改变速度方向，切向加速度a t改变速度大小。此时，角速度的大小也在变化，角速度变化的快慢叫做角加速度β。 = t dv d r dt dt a r ω β = 例4、如图所示，在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠 岸，若人拉绳的速率恒为v 0，试求船在离岸边s距离处时的速度 和加速度。 例5、如图所示，直杆AB以匀速v0搁在半径为r的固定圆 环上做平动，试求图示位置时，杆与环的交点M的速度 和加速度。 匀速圆周运动临界专题 任务一：水平面内的圆周运动：物体在水平面内做的一般是匀速圆周运动．这样的物体在竖直方向上受力平衡，在水平方向上受的合外力提供它做圆周运动所需的向心 力． 同学们通过下面的练习，体会下面在水平面内的匀速圆周运动特点。 1.如图所示，水平转盘上放一小木块。转速为60rad/ min时，木块离轴8cm恰 好与转盘无相对滑动，当转速增加到120rad/min时，为使小木块刚好与转盘保 持相对静止，那么木块应放在离轴多远的地方？（注：汽车在水平面上转弯类 ．．．．．．．．．．．．． 似这种情况） ．．．．．． 任务二：竖直平面内的圆周运动：物体在竖直面内作圆周运动的情况关键在于：最高点和最低点的状态分析。依据物体在圆周最高点的受力状态可以大致分为：物体最高点无支撑力的情况（例：绳球模型）和物体最高点有支撑力的情况（例：杆球模型） 图1绳球模型图3轻杆模型图4圆管轨道 1．如图1、2 所示，没有支撑物的小球在竖直平面作圆周运动过最高点的情况 ○1临界条件 ○2能过最高点的条件，此时绳或轨道对球分别产生______________ ○3不能过最高点的条件 2．如图3、4所示，为有支撑物的小球在竖直平面做圆周运动过最高点的情况 竖直平面内的圆周运动，往往是典型的变速圆周运动。对于物体在竖直平面内的变速圆周运 动问题，中学阶段只分析通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态，下面对这类 问题进行简要分析。 ○1能过最高点的条件，此时杆对球的作用力 ○2当0 简单学习网课程讲义 学科：物理 专题：圆周运动 圆周运动 题一 题面：如图所示，两个内壁光滑、半径不同的半球形碗， 放在不同高度的水平面上，使两碗口处于同一水平面。现 将质量相同的两小球（小球半径远小于碗的半径），分别 从两个碗的边缘由静止释放，当两球分别通过碗的最低点 时（） A．两小球的速度大小相等 B．两小球的速度大小不相等 C．两小球对碗底的压力大小相等 D．两小球对碗底的压力大小不相等 题二 题面：一根内壁光滑的细圆管，形状如图所示，放在竖直平面内， 一个球自A口的正上方高h处自由下落。第一次小球恰能抵达B点； 第二次落入A口后，自B口射出，恰能再进入A口，则两次小球下 落的高度之比h l∶h2。 题三 题面：如图是离心轨道演示仪的结构示意图。光滑弧形轨道 下端与半径为R的光滑圆轨道相接，整个轨道位于竖直平面 内。质量为m的小球从弧形轨道上的A点由静止滑下，进入 圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开圆轨道。小球运动到圆轨 道的最高点时，对轨道的压力恰好与它所受到的重力大小相等。重力加速度为g，不计空气阻力。求： （1）小球运动到圆轨道的最高点时速度的大小； R h A （2）小球开始下滑的初始位置A 点距水平面的竖直高度h 。 题四 题面：一根长为L 的细绳，一端拴在水平轴O 上，另一端有一个质量为m 的小球，现使细绳位于水平位置，并且绷直，如图所示，给小球一个作用，使它得 到一定的向下的初速度。 （1）这个初速度至少多大，才能使小球绕O 点在竖直面内做圆 周运动？ （2）如果在轴O 竖直上方A 点处钉一个钉子，已知AO =23L ，小球以上问中的最小速度开始运动，当它运动到O 点的竖直上方， 细绳刚接触到A 点的钉子时，细绳受到的力有多大？ 题五 题面：一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动，在圆盘上沿半径开有一条宽度为2 mm 的均匀狭缝。将激光器与传感器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于圆盘的上下两侧，且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动，激光器连续向下发射激光束。在圆盘转动过程中，当狭缝经过激光器与传感器之间时，传感器接收到一个激光信号，并将其输入计算机，经处理后画出相应图线。图甲为该装置示意图，图乙为所接收的光信号随时间变化的图线，横坐标 表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中△t 1=1.0×10－3s ，△t 2=0.8×10－3s ． （1）利用图乙中的数据求1 s 时圆盘转动的角速度； （2）如果圆盘半径足够大，传感器将接收到许多激光信号，求图 乙中第n 个激光信号的宽度Δt n . 讲义参考答案 题一答案： BC 甲 乙圆周运动专题汇编(必须掌握经典题目)
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