习题一答案
1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：
（1）
1
32i
+（2）(1)(2)i i i --
（3）131i i i
--（4）821
4i i i -+-
解：（1）1323213i
z i -==
+， 因此：32
Re , Im 1313z z ==-，
（2）3(1)(2)1310
i i i
z i i i -+===---，
因此，31
Re , Im 1010z z =-=，
（3）133335122
i i i
z i i i --=-=-+=
-， 因此，35
Re , Im 32z z ==-，
（4）821
41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=，
2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2
）1-+（3）(sin cos )r i θθ+
（4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤
解：（1）2
cos
sin
2
2
i
i
i e π
π
π
=+=
（2
）1-+23
222(cos sin )233
i i e πππ=+=
（3）(sin cos )r i θθ+()2
[cos()sin()]22i
r i re
π
θππ
θθ-=-+-=
（4）(cos sin )r i θ
θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=
（5）2
1cos sin 2sin 2sin cos 222
i i θ
θθ
θθ-+=+ 3． 求下列各式的值： （1
）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++-
（3
）(1)(cos sin )
(1)(cos sin )
i i i θθθθ-+--（4）
23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+-
（5
6
解：（1
）5)i -5[2(cos()sin())]66
i ππ
=-+- （2）100
100(1)
(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-
（3
）(1)(cos sin )
(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--
（4）2
3
(cos5sin 5)(cos3sin 3)
i i ????+- （5
=
（6
=
4．
设12 ,z z i =
=-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：1
2cos
sin
, 2[cos()sin()]4
466
z i z i π
π
ππ
=+=-+-，所以
12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212
i i ππππππ
=-+-=+，
5． 解下列方程： （1）5
()
1z i +=（2）440 (0)z a a +=>
解：（1
）z i +=由此
2
5
k i
z i e i
π
=-=-，(0,1,2,3,4)
k=
（2
）z==
11
[cos(2)sin(2)]
44
a k i k
ππππ
=+++，当0,1,2,3
k=时，对应的4
(1),1),1),)
i i i i
+-+---
6．证明下列各题：（1）设,
z x iy
=+
z x y
≤≤+
证明：首先，显然有z x y
=≤+；
其次，因222,
x y x y
+≥固此有222
2()(),
x y x y
+≥+
从而z=≥。
（2）对任意复数
12
,,
z z有222
121212
2Re()
z z z z z z
+=++
证明：验证即可，首先左端22
1212
()()
x x y y
=+++，
而右端2222
11221122
2Re[()()]
x y x y x iy x iy
=+++++-
2222
11221212
2()
x y x y x x y y
=+++++22
1212
()()
x x y y
=+++，由此，左端=右端，即原式成立。
（3）若a bi
+是实系数代数方程1
0110
n n
n
a z a z a z a
-
-
++++=
L
的一个根，那么a bi
-也是它的一个根。
证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()
n n
z z
=，由此得到：1
0110
()()0
n n
n
a z a z a z a
-
-
++++=
L
由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。结论得证。（4）若1,
a=则,
b a
?≠皆有
1
a b
a
ab
-
=
-
证明：根据已知条件，有1
aa=，因此：
1
1()a b a b a b a ab aa ab a a b a
---====---，证毕。
（5）若
1, 1a b <<，则有
11a b
ab
-<-
证明：
2
2
2
()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--，
2
2
2
1(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--，
因为
1, 1a b <<，所以，
2
2
2
2
2
2
1(1)(1)0a b a b a b +--=--<，
因而2
2
1a b ab -<-，即
11a b
ab
-<-，结论得证。
7．设
1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式，
其中n 为正整数，a 为复数。
解：首先，由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+，
在上面两个不等式都取等号时n z a +达到最大，为此，需要取n z 与a 同
向且
1n z =，即n z 应为a 的单位化向量，由此，n a
z a
=
， 8．试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。 解：要使三点共线，那么用向量表示时，2
1z z -与31z z -应平行，因而二
者应同向或反向，即幅角应相差0或π的整数倍，再由复数的除法运算规
则知21
31
z z Arg z z --应为0或π的整数倍，至此得到：
123,,z z z 三个点共线的条件是
21
31
z z z z --为实数。 9．写出过121
2, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。
解：过两点的直线的实参数方程为：
121121()
()
x x t x x y y t y y =+-??
=+-?， 因而，复参数方程为： 其中t 为实参数。
10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t 为实参数） （1）(1)z
i t =+（2）cos sin z a t ib t =+（3）i
z t t
=+
解：只需化为实参数方程即可。 （1）,x t y
t ==，因而表示直线y x =
（2）cos ,sin x a t y b t ==，因而表示椭圆22
221x y a b
+=
（3）1
,x t y
t
==
，因而表示双曲线1xy = 11．证明复平面上的圆周方程可表示为0zz az az c +++=， 其中a 为复常数，c 为实常数 证明：圆周的实方程可表示为：2
20x y Ax By c ++++=，
代入, 22z z z z x y i
+-=
=，并注意到222
x y z zz +==，由此 022z z z z zz A
B c i
+-+++=， 整理，得022
A Bi A Bi
zz z z c -++
++= 记2A Bi a +=，则2
A Bi
a -=，由此得到
0zz az az c +++=，结论得证。
12．证明：幅角主值函数arg z 在原点及负实轴上不连续。
证明：首先，arg z 在原点无定义，因而不连续。
对于00x <，由arg z 的定义不难看出，当z 由实轴上方趋于0x 时，
arg z π→，而当z 由实轴下方趋于0x 时，arg z π→-，由此说明
lim arg z x z →不存在，因而arg z 在0x 点不连续，即在负实轴上不连续，结论
得证。 13．函数1w z
=
把z 平面上的曲线1x =和22
4x y +=分别映成w 平面中的什么曲线？
解：对于1x =，其方程可表示为1z
yi =+，代入映射函数中，得
2
11111iy
w u iv z iy y
-=+===++， 因而映成的像曲线的方程为22
1, 11y
u v y y -==++，消去参数y ，得 2
2
2
1,1u v u y +==+即222
11()(),22
u v -+=表示一个圆周。 对于2
24x
y +=，其方程可表示为2cos 2sin z x iy i θθ=+=+
代入映射函数中，得 因而映成的像曲线的方程为11
cos , sin 22
u
v θθ==-，消去参数θ，得2214u v +=
，表示一半径为1
2
的圆周。 14．指出下列各题中点z 的轨迹或所表示的点集，并做图： 解：（1）
0 (0)z z r r -=>，说明动点到0z 的距离为一常数，因而表
示圆心为0z ，半径为r 的圆周。 （2）
0,z z r -≥是由到0z 的距离大于或等于r 的点构成的集合，即圆心
为0z 半径为r 的圆周及圆周外部的点集。 （3）
138,z z -+-=说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常
数，因而表示一个椭圆。代入,z
x iy ==化为实方程得
（4）
,z i z i +=-说明动点到i 和i -的距离相等，因而是i 和i -连线的
垂直平分线，即x 轴。 （5）arg()4
z i π
-=
，幅角为一常数，因而表示以i 为顶点的与x 轴正向
夹角为
4
π
的射线。 15．做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。 （1）23z <
<，以原点为心，内、外圆半径分别为2、3的圆环区域，
有界，多连通 （2）arg (02)z α
βαβπ<<<<<，顶点在原点，两条边的倾角
分别为,αβ的角形区域，无界，单连通
（3）
3
12
z z ->-，显然2z ≠，并且原不等式等价于32z z ->-，说明z 到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3连线的垂直平分线即x =2.5左边部分除掉x =2后的点构成的集合，是一无界，多连通区域。 （4）
221z z --+>，
显然该区域的边界为双曲线
221z z --+=，化为实方程为
2
2
44115
x y -=，再注意到z 到2与z 到-2的距离之差大于1，因而不
等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。 （5）
141z z -<+，代入z x iy =+，化为实不等式，得
所以表示圆心为17(,0)15-
半径为8
15
的圆周外部，是一无界多连通区域。 习题二答案
1．指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。 （1）5
(1)z -（2）3
2z
iz +（3）
2
11z +（4）1
3
z z ++
解：根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数，商时分母不为0），根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到：
（1）5(1)z -处处解析，5
4[(1)
]5(1)z z '-=-
（2）32z iz +处处解析，32
(2)32z iz z i '+=+
（3）211
z +的奇点为2
10z +=，即z i =±，
（4）1
3
z z ++的奇点为3z =-，
2．判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。 （1）22()f z xy x yi =+（2）22()f z x y i =+ （3）
3
2
2
3
()3(3)f z x xy i x y y =-+-（4）
1()f z z
=
解：根据柯西—黎曼定理： （1）22, u xy v x y =
=，
四个一阶偏导数皆连续，因而,u v 处处可微，再由柯西—黎曼方程
, x y y x u v u v ==-解得：0x y ==， 因此，函数在0z =点可导，0
(0)0x x
z f u iv ='=+=，
函数处处不解析。 （2）22, u x v y =
=，
四个一阶偏导数皆连续，因而,u v 处处可微，再由柯西—黎曼方程
, x y y x u v u v ==-解得：x y =， 因此，函数在直线y x =上可导， ()2x x y x f x ix u iv x ='+=+=，
因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。
（3）32233, 3u x xy v x y y =
-=-，
四个一阶偏导数皆连续，因而,u v 处处可微，并且,u v 处处满足柯西—黎曼方程 , x y y x u v u v ==-
因此，函数处处可导，处处解析，且导数为 （4）
2211()x iy f z x iy x y
z +=
==-+，2222
, x y u v x y x y ==++， 2222
222222
, ()()x y y x x y u v x y x y --==++， 222222
22, ()()
y x xy xy
u v x y x y --==++，
因函数的定义域为0z ≠，故此，,u v 处处不满足柯西—黎曼方程，因而函数处处不可导，处处不解析。 3．当,,l m n 取何值时3232()()f z my nx y i x lxy =+++在复平面上处
处解析？ 解：3
232, u my
nx y v x lxy =+=+
22222, 2, 3, 3x y y x u nxy v lxy u my nx v x ly ===+=+，
由柯西—黎曼方程得：
由（1）得n l =，由（2）得3, 3n m l =-=-，因而，最终有
4．证明：若()f z 解析，则有222
(())(())()f z f z f z x y
??'+=??
证明：由柯西—黎曼方程知，左端
2
2
=+
22
2222()()x x x x uu vv uu vv uv vu u v +++-=+=+ 2
()f z '==右端，证毕。 5．证明：若()f z u iv =+在区域D 内解析，且满足下列条件之一，则()
f z 在D 内一定为常数。
（1）()f z 在D 内解析，（2）u 在D 内为常数，
（3）()f z 在D 内为常数，（4）2
v u =（5）231u v += 证明：关键证明,u v 的一阶偏导数皆为0！
（1）()f z u iv =-，因其解析，故此由柯西—黎曼方程得 , x y y x u v u v =-=------------------------（1）
而由()f z 的解析性，又有, x y y x u v u v ==-------------------------（2） 由（1）、（2）知，0x y x y u u v v ===≡，因此12, ,u c v c ≡≡即 12()f z c ic ≡+为常数
（2）设1u c ≡，那么由柯西—黎曼方程得 0, 0x y y x v u v u =-≡=≡，
说明v 与,x y 无关，因而2v c ≡，从而12()f z c ic ≡+为常数。
（3）由已知，2
220()f z u v c =+≡为常数，等式两端分别对,x y 求偏
导数，得
220
220
x x y y uu vv uu vv +=+=----------------------------（1）
因()f z 解析，所以又有, x y y x u v u v ==--------------------------（2）
求解方程组（1）、（2），得0x y x y u u v v ===≡，说明,u v 皆与,x y 无
关，因而为常数，从而()f z 也为常数。
（4）同理，2v
u =两端分别对,x y 求偏导数，得 再联立柯西—黎曼方程, x y y x u v u v ==-，仍有
（5）同前面一样，231u v +=两端分别对,x y 求偏导数，得 考虑到柯西—黎曼方程, x y y x u v u v ==-，仍有
0x y x y u u v v ===≡，证毕。
6．计算下列各值（若是对数还需求出主值） （1）2
i e
π
-（2）()Ln i -（3）(34)Ln i -+
（4）sin i （5）(1)i
i +（6）23
27 解：（1）2
cos()sin()22
i e
i i π
ππ
-=-+-=-
（2）1
()ln arg()2(2)2
Ln i i i k i k i ππ-=-+-+=-+，
k 为任意整数，
主值为：1
()2
ln i i π-=-
（3）(34)ln 34arg(34)2Ln i i i k i π-+=-++-++
4
ln5(arctan 2)3
k i ππ=+-+，k 为任意整数
主值为：4
ln(34)ln5(arctan )3
i i π-+=+-
（4）..1
sin 22
i i i i e e e e i i i ----==
（5）(2)
2(1)4
4
(1)
i i k i k i
iLn i i e e
e
π
π
ππ
++--++===
24
(cosln sin k e
i π
π--=+，k 为任意整数
（6）22
2
24427(272)273
3
3
33
3
279Ln ln k i ln k i k i e e e
e e
πππ+====，
当k 分别取0，1，2时得到3个值：
9
，43
99(1)2i e π=-+
，83
99(1)2i e π=-+
7．求2
z e 和2z Arge
解：2
222z x y xyi
e
e
-+=，因此根据指数函数的定义，有
2
z e
22
x y e
-=，2
22z Arge
xy k π=+，（k 为任意整数）
8．设i z re θ=，求Re[(1)]Ln z -
解：(1)ln 1[arg(1)2]Ln z z i z k i π-=-+-+，因此
9．解下列方程： （1
）1z
e
=+（2）ln 2
z i π
=
（3）sin cos 0z z +=（4）shz i =
解：（1
）方程两端取对数得：1
(1)ln 2(2)3
z Ln k i π=+=++
（k 为任意整数）
（2）根据对数与指数的关系，应有
（3）由三角函数公式（同实三角函数一样），方程可变形为 因此,4
z k π
π+
=即4
z k π
π=-
，k 为任意整数
（4）由双曲函数的定义得2
z z
e e shz i --==，解得
2()210z z e ie --=，即z e i =，所以
(2)2
z Lni k i π
π==+，k 为任意整数
10．证明罗比塔法则：若()f z 及()g z 在0z 点解析，且
000()()0, ()0f z g z g z '==≠，则000()
()lim
()()
z z f z f z g z g z →'='，并由此求极限00sin 1lim ; lim z z z z e z z
→→- 证明：由商的极限运算法则及导数定义知
000000000000
()()()()
lim ()
lim lim ()()()()()lim z z z z z z z z f z f z f z f z z z z z f z g z g z g z g z g z z z z z →→→→----==----00()()
f z
g z '='， 由此，00sin cos lim lim 11
z z z z
z →→==
11．用对数计算公式直接验证：
（1）2
2Lnz Lnz ≠（2
）1
2
Lnz =
解：记i z re θ
=，则
（1）左端22()2ln (22)i Ln r e r k i θ
θπ==++，
右端2[ln (2)]2ln (24)r m i r m i θπθπ=++=++，
其中的,k m 为任意整数。
显然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在1k =时的值为 2ln (22)r i θπ++，而右端却取不到这一值），因此两端不相等。
（2）左端22
1]ln (2)22
m i
Ln re
r m k i θπ
θ
ππ+=
=+++
右端11[ln (2)]ln ()222r n i r n i θ
θππ=++=++
其中,k n 为任意整数，而0,1m =
不难看出，对于左端任意的k ，右端n 取2k 或21k +时与其对应；反之，对于右端任意的n ，当2n l =为偶数时，左端可取,0k l m ==于其对应，而当21n l =+为奇数时，左端可取2,1k l m ==于其对应。综上所述，
左右两个集合中的元素相互对应，即二者相等。 12．证明sin sin , cos cos z z z z ==
证明：首先有
(cos sin )(cos sin )z x x x iy z e e y i y e y i y e e -=+=-==，因此
sin 2i z i z e e z i
--==，第一式子证毕。
同理可证第二式子也成立。 13．证明
Im Im sin z
z z e
≤≤（即
sin y
y z e ≤≤）
证明：首先，sin 22
2
iz iz
iz
iz
y y y e e e e
e e z e i
---+-+=
≤
=≤，
右端不等式得到证明。
其次，由复数的三角不等式又有
sin 22
2
2
iz iz
y y
y y
iz iz
e e e e e e
e e z i
--------=
≥
=
=
，
根据高等数学中的单调性方法可以证明0x ≥时
2
x x
e e x --≥，因此接着上面的证明，有sin 2
y y e e
z y --≥
≥，左端不等式得到证明。 14．设z R ≤，证明sin , cos z chR z chR ≤≤
证明：由复数的三角不等式，有
sin 22
2
2
iz iz
y
y
iz iz
y y e e e e
e e e e z ch y i
----+-++=
≤
==
=，
由已知，
y z R ≤≤，再主要到0x ≥时chx 单调增加，因此有
sin z ch y chR ≤≤，
同理，
cos 2
2
2
2
iz iz
y
y
iz iz
y y e e e e
e e e e z ch y chR
----++++=
≤
==
=≤证毕。
15．已知平面流场的复势
()f z 为
（1）2
()z i +（2）2z （3）211
z +
试求流动的速度及流线和等势线方程。
解：只需注意，若记()(,)(,)f z x y i x y ?ψ=+，则
流场的流速为()v f z '=r
， 流线为1(,)x y c ψ≡， 等势线为2(,)x y c ?≡，
因此，有 （1）2
222()
[(1)](1)2(1)z i x y i x y x y i +=++=-+++
流速为()2()2()v f z z i z i '==+=-r
，
流线为1(1)x y c +≡，等势线为22
2(1)x y c -+≡
（2）333223
()3(3)z x iy x xy x y y i =+=-+-
流速为22
()33()v f z z z '===r ，
流线为2313x y y c -≡，等势线为32
23x xy c -≡
（3）2222
111
1()112z x iy x y xyi ==+++-++ 流速为222
222()(1)(1)z z
v f z z z --'===++r ， 流线为12
2222
(1)4xy
c x y x y
≡-++， 等势线为22222222
1
(1)4x y c x y x y
-+≡-++ 习题三答案 1．计算积分2
()c
x y ix dz -+?，其中c 为从原点到1i +的直线段
解：积分曲线的方程为, x t y
t ==，即
z x iy t ti =+=+，:01t →，代入原积分表达式中，得
2．计算积分
z c
e dz ?，其中c 为 （1）从0到1再到1i +的折线（2）从0到1i +的直线
解：（1）从0到1的线段1c 方程为：, :01z x iy x x =+=→， 从1到1i +的线段2c 方程为：1, :01z x iy iy y =+=+→，
代入积分表达式中，得
11(sin1cos1)(cos1sin1)11i e ei i i e i e +=-+-+=+-=-； （2）从0到1i +的直线段的方程为z x iy t ti =+=+，:01t →，
代入积分表达式中，得
1
1
()(1)(cos sin )z
t ti
t c
e dz e
t ti dt i e t i t dt +'=+=++???，
对上述积分应用分步积分法，得 3．积分
2()c
x iy dz +?，其中c 为 （1）沿y x =从0到1i +（2）沿2y x =从0到1i +
解：（1）积分曲线的方程为z x iy t ti =+=+，:01t →，
代入原积分表达式中，得 （2）积分曲线的方程为2z x iy x x i =+=+，:01t →，
代入积分表达式中，得 4．计算积分
c
z dz ?，其中c 为
（1）从-1到+1的直线段（2）从-1到+1的圆心在原点的上半圆周 解：（1）c 的方程为z x =，代入，得
（2）c 的方程为cos sin , :0z x iy i θθθπ=+=+→，代入，得
5．估计积分2
1
2c
dz z +?的模,其中c 为+1到-1的圆心在原点的上半圆周。 解：在c 上，
z
=1，因而由积分估计式得
222
111222c c c c
dz ds ds ds z z z ≤≤=++-????c =的弧长π= 6．用积分估计式证明：若
()f z 在整个复平面上有界，则正整数1n >时 其中R c 为圆心在原点半径为R 的正向圆周。 证明：记()f z M ≤，则由积分估计式得 122n n M M R R R
ππ-==， 因1n >，因此上式两端令R →+∞取极限，由夹比定理，得
()
lim
0R
n R c f z dz z
→+∞
=?
，证毕。 7．通过分析被积函数的奇点分布情况说明下列积分为0的原因，其中积分曲线c 皆为1z =。
（1）
2(2)c dz z +??（2）224c dz z z ++??（3）22c
dz
z +?? （4）cos c dz z ??（5）z
c
ze dz ?? 解：各积分的被积函数的奇点为：（1）2z =-，（2）2
(1)30z ++=
即1z
=-±，（3
）z =（4）, 2
z k k π
π=+
为任意整数，
（5）被积函数处处解析，无奇点
不难看出，上述奇点的模皆大于1，即皆在积分曲线之外，从而在积分曲线内被积函数解析，因此根据柯西基本定理，以上积分值都为0。 8．计算下列积分：
（1）
240
i
z
e dz π
?
（2）2
sin i
i
zdz ππ-?（3）1
sin z zdz ?
解：以上积分皆与路径无关，因此用求原函数的方法：
（1）
4220240
111
()(1)2
22
i
i i
z
z e dz e
e e i π
π
π
==-=-?
（2）2
1cos 2sin 2sin []224i
i
i
i i i
z z z zdz dz ππππππ----==-??
（3）
11
1
1
0000sin cos cos cos z zdz zd z z z zdz =-=-+???
9．计算
22c
dz
z a -??，其中c 为不经过a ±的任一简单正向闭曲线。 解：被积函数的奇点为a ±，根据其与c 的位置分四种情况讨论： （1）a ±皆在c 外，则在c 内被积函数解析，因而由柯西基本定理
（2）a 在c 内，a -在c 外，则1
z a +在c 内解析，因而由柯西积分
公式：221
12z a c c
dz z a dz i i z a z a a z a ππ=+===-+-??蜒 （3）同理，当a -在c 内，a 在c 外时， （4）a ±皆在c 内
此时，在c 内围绕,a a -分别做两条相互外离的小闭合曲线12,c c ，则由复合闭路原理得： 注：此题若分解22
1111
()2a z a z a z a
=--+-，则更简单！ 10．
计算下列各积分
解：（1）
1
1
()(2)
2z dz i
z z =-+?
?，由柯西积分公式
（2）2322
1iz
z i e dz z -=
+??，
在积分曲线内被积函数只有一个奇点i ，故此同上题一样： ‘; （3）
2232
(1)(4)z dz
z z =
++??
在积分曲线内被积函数有两个奇点i ±，围绕,i i -分别做两条相互外离的小闭合曲线12,c c ，则由复合闭路原理得：
（4）4221z z dz z -=-??，在积分曲线内被积函数只有一个奇点1，故此 （5）22
1sin 41z zdz z π=-??， 在积分曲线内被积函数有两个奇点1±，围绕1,1-分别做两条相互外离的小闭合曲线12,c c ，则由复合闭路原理得：
（6）22
, (1)n
n z z dz n z =-??为正整数，由高阶导数公式 11． 计算积分312(1)z
c e dz i z z π-??，其中c 为 （1）
12z =（2）1
12
z -=（3）2z =
解：（1）由柯西积分公式
（2）同理，由高阶导数公式 （3）由复合闭路原理
3
(1)z z e z ==
-11()2!z z e z =''+12e
=-，
其中，12,c c 为
2z =内分别围绕0，1且相互外离的小闭合曲线。
12．
积分1
1
2z dz z =+??的值是什么？并由此证明012cos 054cos d πθθθ+=+? 解：首先，由柯西基本定理，1
1
02z dz z ==+??，因为被积函数的奇点在积分曲线外。
其次，令(cos sin )z r i θ
θ=+，代入上述积分中，得
考察上述积分的被积函数的虚部，便得到
20
12cos 054cos d π
θ
θθ
+==+?
，再由cos θ的周期性，得
即012cos 054cos d π
θ
θθ
+=+?，证毕。
13． 设(),()f z g z 都在简单闭曲线c 上及c 内解析，且在c 上 ()()f z g z =，证明在c 内也有()()f z g z =。 证明：由柯西积分公式，对于c 内任意点0z ，
00001()1()
(), ()22c c f z g z f z dz g z dz i z z i z z ππ==--??蜒， 由已知，在积分曲线c 上，()()f z g z =，故此有
再由0z 的任意性知，在c 内恒有()()f z g z =，证毕。
14． 设()f z 在单连通区域D 内解析，且()11f z -<，证明 （1）在D 内()0f z ≠；
（2）对于D 内任一简单闭曲线c ，皆有()
0()c
f z dz f z '=?? 证明：（1）显然，因为若在某点处()0,f z =则由已知 011-<，矛盾！
（也可直接证明：
()1()11f z f z -<-<，因此
1()11f z -<-<，即0()2f z <<，说明()0f z ≠）
（3）既然()0f z ≠，再注意到()f z 解析，()f z '也解析，因此由函数的
解析性法则知()
()
f z f z '也在区域D 内解析，这样，根据柯西基本定理，
对于D 内任一简单闭曲线c ，皆有()
0()c f z dz f z '=??，证毕。 15．求双曲线2
2y
x c -=（0c ≠为常数）的正交（即垂直）曲线族。
解：22
u y x =-为调和函数，因此只需求出其共轭调和函数(,)v x y ，则 (,)v x y c =便是所要求的曲线族。为此，由柯西—黎曼方程
2x y v u y =-=-，因此(2)2()v y dx xy g y =-=-+?，再由 2y x v u x ==-知，()0g y '≡，即0()g y c =为常数，因此 02v xy c =-+，从而所求的正交曲线族为xy c ≡
（注：实际上，本题的答案也可观察出，因极易想到
222()2f z z y x xyi =-=--解析）
16．设sin px
v e y =，求p 的值使得v 为调和函数。
解：由调和函数的定义
2sin (sin )0px px xx yy v v p e y e y +=+-=，
因此要使v 为某个区域内的调和函数，即在某区域内上述等式成立，必须 210p -=，即1p =±。
17．已知22
255u v x y xy x y +=-+--，试确定解析函数 解：首先，等式两端分别对,x y 求偏导数，得
225x x u v x y +=+-----------------------------------（1） 225y y u v y x +=-+--------------------------------（2）
再联立上柯西—黎曼方程
x y u v =------------------------------------------------------（3）
y x u v =-----------------------------------------------------（4） 从上述方程组中解出,x y u u ，得
这样，对x u 积分，得25(),u x x c y =-+再代入y u 中，得
至此得到：2205,u x x y c =
--+由二者之和又可解出
025v xy y c =--，因此
200()5f z u iv z z c c i =+=-+-，其中0c 为任意实常数。
注：此题还有一种方法：由定理知 由此也可很方便的求出()f z 。 18．由下列各已知调和函数求解析函数()f z u iv =+
解：（1）22, ()1u x xy y f i i =
+-=-+，
由柯西—黎曼方程，
2y x v u x y ==+，对y 积分，得
2
12()2
v xy y c x =+
+， 再由x y v u =-得2()2y c x x y '+=-+，因此
201
(), ()2c x x c x x c '=-=-+，所以
22
011222
v xy y x c =+
-+， 因
()1f i =-，说明0,1x y ==时1v =，由此求出01
2
c =
， 至此得到：
2
2
22111
()(2)222f z u iv x xy y y x xy i =+=+-+-++，
整理后可得：211
()(1)22
f z i z i =-+
（2）22
y
v x y
=+，(2)0f = 此类问题，除了上题采用的方法外，也可这样：
222222222222()1()()()
x y xy z i x y x y z zz -=-==++，所以 1
()f z c z
=-+，
其中c 为复常数。代入(2)0f =得，1
2
c =，故此
（3）arctan , (0)y
v x x
=>
同上题一样，()x x y x f z u iv v iv '=+=+
2222
1
x y z i z x y x y zz -=
+==++， 因此0()ln f z z c =+，
其中的ln z 为对数主值，0c 为任意实常数。
（4）(cos sin )x
u e x y y y =-，(0)0f =
(sin sin cos )x x y v u e x y y y y =-=++，对x 积分，得
再由y x v u =得()0c x '=，所以0()c x c =为常数，由(0)0f =知， 0x y ==时0v =，由此确定出00c =，至此得到：
()f z u iv =+=(cos sin )x e x y y y -(sin cos )x ie x y y y ++，
整理后可得()z
f z ze =
19．设在1z ≤上()f z 解析，且()1f z ≤，证明(0)1f '≤ 证明：由高阶导数公式及积分估计式，得
1
112122z ds ππ
π=≤==??，证毕。
20．若
()f z 在闭圆盘0z z R -≤上解析，且()f z M ≤，试证明柯西不
等式()
0!()n n n f z M R
≤，并由此证明刘维尔定理：在整个复平面上有界
且处处解析的函数一定为常数。
证明：由高阶导数公式及积分估计式，得
1
1
11
1
!!!!()2222n n n n
z z n n M
n M n M
f z ds ds R R R R R ππππ+++===
≤
=
=??蜒，
柯西不等式证毕；下证刘维尔定理： 因为函数有界，不妨设
()f z M ≤，那么由柯西不等式，对任意0z 都有
0()M f z R
'≤
，又因
()f z 处处解析，因此R 可任意大，这样，令
R →+∞，得0()0f z '≤，从而0()0f z '=，即0()0f z '=，再由0z 的
任意性知()0f z '≡，因而()f z 为常数，证毕。
习题四答案
1． 考察下列数列是否收敛，如果收敛，求出其极限．
（1）1
n n z i n
=+
解：因为lim n n i →∞
不存在，所以lim n n z →∞
不存在，由定理4.1知，数列{}n z 不收敛．
（2）(1)2n n i z -=+
解：1sin )2i i θθ+=
+，其中1
arctan 2
θ=，则
()(cos sin )cos sin 2n
n
n z i n i n θθθθ-?
=+=-?
??
．
因为lim 0n
n →∞=，cos sin 1n i n θθ-=，
所以()lim cos sin 0n
n n i n θθ→∞
-= 由定义4.1知，数列{}n z 收敛，极限为0．
（3）2
1n i n z e n
π-=
解：因为2
1n i e
π-
=，1
lim 0n n
→∞=，所以21lim 0n i n e
n π-→∞= 由定义4.1知，数列{}n z 收敛，极限为0．
（4）()n n z
z z
=
解：设(cos sin )z r i θθ=+，则()cos 2sin 2n n z
z n i n z
θθ==+，因为limcos2n n θ→∞，
limsin 2n n θ→∞
都不存在，所以lim n n z →∞
不存在，由定理4.1知，数列{}n z 不收敛．
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. = )0,(Re n z z e s ，其中n 为自然数. 第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z 1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。 解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ， 所以 z 1 z 2 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ）；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 ) 2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求 .,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 成绩 西安交通大学考试题 课程复变函数（A） 系别考试日期 2007 年 7 月 5 日专业班号 姓名学号期中期末 1. 填空（每题3分， 2. 共30分） 1．＝ 2．＝0是函数的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. ,则＝ 4. 5. 函数在处的转动角为 6. 幂级数的收敛半径为 =____________ 7. 8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则 9．函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10． 二．判断题（每题3分，共30分） 1．在解析。【】 2．在点可微，则在解析。【】 3．是周期函数。【】 4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】 5．设级数收敛，而发散，则的收敛半径为1。【】 6．能在圆环域展开成洛朗级数。【】 7．为大于1的正整数, 成立。【】 8．如果函数在解析，那末映射在具有保角性。【】 9．如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10．。【】三．（8分）为调和函数，求的值，并求出解析函数。 四．（8分）求在圆环域和内的洛朗展开式。 五．（8分）计算积分。 六．（8分）设，其中C为圆周的正向，求。 七．（8分）求将带形区域映射成单位圆的共形映射。 复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分) 1. ； 2. 三级极点； 3. ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. ； 7. ； 8. 0； 9. 0 ；10. 。 二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错；5.正确；6.错； 7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三(8分) 解: 1)在 -----4分 2) 在 --4分 四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故 --------3分 --------6分 故 ---------8分 五.(8分) 解: -------3分 由于1+i在所围的圆域内, 故 -------8分 六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对) 七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换: 代入初始条件,得 --------4分 故, ---------8分(用留数做也可以) 复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1. ；2. 三级极点；3. ； 4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. ；8. 0 ； 9. 0 ； 10. 0。 二.判断1.错；2.错；3.正确；4. 错；5.正确；6.错；7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三.(8分) 解:因为是调和函数,则有 ,即故 ---------2分 1) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则 ----------3分 2) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212-- 的指数形式是 2、函数w =z 1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 2222= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 232 1- B 2 23i - C 223i +- D i 2 3 21+ - 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1 cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =- 1 2 3 z z dz B ?=- 1 2 1 z z dz C ?=++12 42z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B () ∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D () ∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 ____________________________________________________________________________________________________ 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3、若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()? +--+i dz z 22 22= 6、积分?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α 1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2 321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ?=-123z z dz B ?=-12 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8. =)0,( Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1 z =-的值. 《复变函数》考试试题（二） 二. 填空题. (20分) 复变函数试题库 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 }{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. … 复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） / ——课后习题答案 习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数． 若z =x ，x ∈，则z x x ==．复变函数_期末试卷及答案
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