数项级数

CH 9 数项级数

1． 上、下极限

定义：对有界数列}{n a

,...},sup{lim }{sup lim lim 21++∞

→>∞→∞

→===k k k n k

n k n n a a a a H

,...},inf{lim }{inf lim lim 21++∞

→>∞→∞

→===k k k n k

n k n n a a a a H

如果对数列

}{n a 无上界，+∞==∞

→n

n a

H lim 。如果对数列}{n a 无下界，。

-∞==∞

→n n a H lim 。

性质1 设n n a H ∞

→=lim ，则

（1） 当H 是有限时，对H 的任何ε领域),(εε+-H H 在数列}{n a 中有无穷多项

属于这领域，而在),(+∞-εH 中只有有限多项。

（2） 当+∞=H 时，对0>?N ，在}{n a 中必有无穷多项大于N 。 （3） 当-∞=H 时，-∞=∞

→n n a lim 。

性质2 设n n a h ∞

→=lim ，则

（1） 当h 为有限时，对h 的任何ε领域),(εε+-h h ，在数列}{n a 中有无穷多项

属于这个领域，而只有有限项小于ε-h 。

（2） 当-∞=h 时，对0>?N ，在}{n a 中必有无穷多项小于N -。 （3） 当+∞=h 时，+∞==∞

→n n a h lim 。

性质3 设H 为}{n a 的上极限，那么H 必是}{n a 中所有收敛子列的极限中的最大值。 设h 为}{n a 的下极限，那么h 必是}{n a 中所有收敛子列的极限中的最小值。 推论：A a n n =∞

→lim （有限或无穷大）的充要条件是:A a a n n n n ==∞

→∞

→lim lim .

2．数项级数的概念及性质

定义: 若级数

∑∞

=1

n n

u

的部分和数列}{n S 收敛于有限值S ,即

S u

S n

n n

n n n ==∑=∞

→∞

→1

lim

lim

则称级数

∑∞

=1

n n

u

收敛,记为

∑∞

==1

n n

S u

,也称此值S 为级数的和,若}{n S 发散,则称级数

∑∞

=1

n n

u

发散.

性质1 (级数收敛的必要条件)若级数

∑∞

=1

n n

u

收敛, 则0lim =∞

→n n u .

性质 2 (线性性)若

∑∞=1

n n u ,∑∞

=1n n

v

均收敛,R b a ∈,,则级数

∑∞

=+1

)(n n n

bv au

也收敛,且

有

=+∑∞

=1

)(n n n

bv au

∑∑∞

=∞

=+1

1

n n n n v b u a .

性质3 设级数

∑∞

=1

n n

u

收敛,则对其项任意加括号所得的级数仍收敛,且其和不变.

Cauchy 收敛原理:级数

∑∞

=1

n n

u

收敛的充要条件是:对0>?ε,总N ?,使当N n >时,.对

任意的自然数,...,3,2,1=p 都成立ε<++++++|...|321n n n u u u .

3．正项级数收敛的判别法

比较判别法：设两个正项级数

∑∞

=1

n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

间成立着关系：0>?c ，使得n n cv u ≤，

,...,3,2,1=n （或自某项以后，即N ?当N n >时）成立以上关系式，那么

(1) 当级数

∑∞

=1n n

v

收敛时，

∑∞

=1n n

u

也收敛。

(2) 当级数

∑∞

=1

n n

u

发散时，

∑∞

=1

n n

v

也发散。

比较判别法的极限形式：设两个正项级数

∑∞

=1

n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

，如果n u 和n v 是同阶无穷

小量，即)0(lim

∞<<=∞

→l l v u n

n n 。

则

∑∞

=1

n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

同时收敛或同时发散。

Cauchy 判别法：设

∑∞

=1

n n

u

为正项级数，n n n u r ∞

→=lim ，则：

（1） 当1

∑∞

=1n n

u

收敛；

（2） 当1>r 时，级数

∑∞

=1

n n

u

发散；

（3） 当1>r 时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。

D ’Alembert 判别法：设

∑∞

=1

n n

u

)0(≠n u 是正项级数，则

（1） 当1lim 1

<=+∞→r u u n n n 时，级数∑∞

=1n n u 收敛；

（2） 当1lim 1

>=+∞→r u u n n n 时，级数∑∞

=1

n n u 发散；

（3） 1≥r 或1≤r 时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。 引理：设

∑∞

=1

n n

u

为正项级数，则

n

n n n n n n n n n n n u u u u u u 11lim lim lim lim

+∞→∞→∞→+∞→≤≤≤

上述引理说明：若一个正项级数的收敛情况可以由D ’Alembert 判别法判定，则它一定

也能用Cauchy 判别法判定，但是，能用Cauchy 判别法判定的，却未必能用D ’Alembert 判别法判定。

积分判别法：对正项级数

∑∞

=1

n n

u

，设n u 为单调减少的数列，做一个连续的单调减少的正

值函数)0)((>x x f ，使得当x 为自然数n 时，其值恰为n u ，亦即n u n f =)(，那么级数

∑∞

=1

n n

u

与数列}{n A ，这里?

=

n

n dx x f A 1

)(同为收敛或同为发散。

4．任意项级数

交错级数：如果级数

∑∞

=+-1

1

)

1(n n n u ，0>n u 则称此级数为交错级数。

Leibniz 判别法：若级数

∑∞

=+-1

1

)

1(n n n u ，0>n u 满足：

（1）}{n u 单调减少。 （2）0lim =∞

→n n u 。

则级数

∑∞

=+-1

1

)

1(n n n u 收敛。

（这样的交错级数称为Leibniz 级数） Abel 判别法：如果

（1） 级数

∑∞

=1

n n

b

收敛。

（2） 数列}{n a 单调有界，,...)3,2,1(||=≤n K a n ， 则级数

∑∞

=1

n n

n b

a 收敛。

Dirichlet 判别法：如果

（1） 级数

∑∞

=1

n n

b

的部分和有界，,...)3,2,1(||=≤n M B n 。

（2） 数列}{n a 单调趋于零。 则级数

∑∞

=1

n n

n b

a 收敛。

注意上述两个判别法，Abel 判别法实质上也可看成是Dirichlet 判别法的特例。

5．绝对收敛与条件收敛 定义：如果级数

∑∞

=1||n n

u

收敛，则称级数∑∞=1

n n u 为绝对收敛。如果级数∑∞

=1

n n u 收敛而

∑∞

=1

||n n

u

发散，则称∑∞

=1

n n u 为条件收敛级数。

性质1 若级数

∑∞

=1

n n

u

绝对收敛，则

∑∞

=1

n n

u

一定收敛，但反之不然。

若记??

?≤>=+

0,00,n n n n u u u u ，??

?≥<-=-

,00,n n n n u u u u ，则 -

+-=n

n n u u u ，-++=n n n u u u ||。 性质2 若级数

∑∞

=1

n n

u

绝对收敛，则

∑∞

=+

1

n n

u

与

∑∞

=-1

n n

u

都收敛；若级数

∑∞

=1

n n

u

条件收敛，

则

∑∞

=+1

n n

u

与

∑∞

=-1

n n

u

都发散到∞+。

性质 3 若级数

∑∞

=1

n n

u

绝对收敛，则它的更序级数

∑∞

=1

'

n n

u 也绝对收敛，且和不变，即

∑∞

=1

n n

u

=∑∞

=1

'n n u 。

性质4 （Riemann 定理）设级数

∑∞

=1

n n

u

条件收敛，则对任意给定的)(∞≤≤-∞a a ；

必然存在

∑∞

=1

n n

u

的更序级数

∑∞

=1

'

n n

u 满足：∑∞

==

1'

n n

u a 。

性质5 （Cauchy 定理）若级数

∑∞

=1

n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

都绝对收敛，其和分别为U 和V ，则

将,...)2,1,...,2,1(==j i v u i i 按任意方式排列求和而成的级数也绝对收敛，且其和为UV 。

6．一些说明与例题

（一） 研究级数的目的

1． 借助级数表示很多有用的非初等函数。 2． 解微分方程。

3． 利用多项式来逼近一般的函数。 4． 实数的近似计算。

例 1 +++++

+=!

!3!2132n x x x x e n

x

例 2

+-+-=+++++

+=4

1

312112ln !

1

!312111n e

（二）实质：级数及其和正是数列及其极限的一种新的形式。 例 1 以等比数列为通项的几何级数

+++++=∑∞

=n n n

ar ar ar a ar

21

的敛散性。其中

r a ,0≠ 是公比。

解：1）当1≠r 时，几何级数的部分和n S 是

r

ar a ar

ar ar a S n n n --=++++=-11

2

i ）当1

a

r ar a S n n n n -=--=∞→∞→11lim lim

因此，当1

=--=

1

1

1n n r a ar 。 ii ）当1>r 时，极限∞=--=

∞→r

ar a S n

n n 1lim 因此，当1>r 时，几何级数发散。 2） 当1=r 时

(i)1=r 时，几何级数是 +++++a a a a na a a a a S n =++++=

()0lim lim ≠∞==∞

→∞

→a na S n n n

即部分和数列}{n S 发散。 （ii ）当r=－1时，几何级数是 ()

+-++-+--a a a a a n 1

1

0=n S ，当n 是偶数；a S n =，当n 是奇数。

即部分和数列}{n S 发散。

由此，（1）当1

例 2

()

()∑∞

=++?++?+?+?=-11143132121111n n n n n

()1

1

111+-

=+=

n n n n u n

()1111111114131312121111431321211+-=+-+--++-+-+-=+?++?+?+?=

n n n n n n n S n

于是1111lim lim =??

? ??

+-

=∞

→∞

→n S n n n 例 3 证明级数

()() ++?-++?+?+?1545116

1111161611n n 收敛，并求其和。

证明： 通项n u 可改写为

()()()()??

?

??+-=??

??????? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ??-=+?-++?+?=

??

?

???+-

-=+?-=151151151451

16111111161611511545111616111514515115451n n n n n S n n n n u n n

于是5

1

151151lim lim =??? ??+-

=∞→∞

→n S n n n 例 4 证明：调和级数 +++++

n

1

31211是发散的。 证明：由于n u 都是正数，所以部分和数列{}n S 是严格增加的，讨论子数列{}

m S 2：

∞=??

? ??

+≥=

?>+++++=+++>+++=+>+??? ??+++++++??? ??++++??? ??+++

=∞

→∞→------m S S S S S S m m m m m m m m m m m m m m 21lim lim 2

121221221121,21

8181818181716151,2141414131,21221121817161514131211,,,,,21

1121122

228421

2

即∞=∞

→m S m 2lim ，?≥?,2n 唯一的自然数m 使m m n 221

<≤-，且有m m S S S n 221≤≤- 当∞→n 时，有∞→m ，则∞=∞

→n n S lim ，即调和级数发散。

（三）收敛级数的性质 （柯西收敛准则） 级数

∑n

u

收敛的充要条件是：N ?>?,0ε 当N n >时，对任意p ，有

ε<++++++p n n n u u u 21

数列{}n S 存在极限，是指对N ?>?,0ε，当N n >时，对任给的自然数p

ε<-+p n n S S

推论1 若级数

∑∞

=1

n n

u

收敛，则0lim =∞

→n n u

等价命题是：如果0lim =∞

→n n u ，则级数

∑∞

=1

n n

u

发散。

例

∑+1100n n

,010011100lim

lim ≠=+=∞→∞

→n n u n n n 则级数∑+1

100n n

发散。

注意：0lim =∞

→n n u 仅是级数

∑∞

=1

n n

u

收敛的必要条件，而不是充分条件，即0lim =∞

→n n u ，

∑∞

=1

n n

u

也可以发散。

例 +++++

n

1

31211 有01lim lim ==∞→∞→n u n n n ，而调和级数∑n

1

却是发散的。

从柯西收敛准则知，级数

∑∞

=1

n n

u

收敛等价于级数

∑∞

=1

n n

u

的充分远（即N n >）的任意片段（即

对任意p n n n u u u p ++++++ 21,）的绝对值可以任意小，由些可见，级数

∑∞

=1

n n

u

的敛散性仅与

级数充分远的任意片段有关，与级数

∑∞

=1n n

u

任意指定的有限和无关，从而我们有

推论 2 若去掉，增添或改变级数

∑∞

=1

n n

u

的有限项，则不改变级数

∑∞

=1

n n

u

的敛散性。

例如 去掉几何级数的前100项，

∑∞

=+1

1

n n ar

仍收敛。去掉调和级数的前100项，

∑∞

=+++++=+1

1001

102110111001n n n 仍发散。 （数列去掉前有限项仍具有收敛性与发散性）根据数列的运算定理，可得到级数的运算定理： 定理 若级数

∑∞

=1

n n

u

收敛，其和是S ，则级数

++++=∑∞

=n n n

cu cu cu cu

211

也收敛，其和是

cS ，其中c 是常数。

证明： 设级数

∑∞

=1

n n u 与

∑∞

=1

n n cu 的n 项部分和分别是n S 与'

n

S ，有

()n n n n cS u u u c cu cu cu S =+++=++='

2121

已知S S n n =∞

→lim ，有cS cS S n n n n =='

∞

→∞→lim lim ，即级数

∑n

cu

收敛，其和是cS

前面定理可写为

∑∑∞

===1

n n n

u c cS cu

即收敛级数具有分配性。

定理：若级数

∑∞

=1

n n

u

与

∑∞

=1

n n

v

收敛，其和分别是A 和B ，则级数

()()()() +±++±+±=±∑∞

=n n n n n

v u v u v u v u

22111

也收敛。其和是B A ±

65

31214

1311234111=+=+=+∑∑∑∞=∞

=∞

=n n n

n n n n n （四）同号级数

同号级数是指级数 ++++n u u u 21的每一项n u 的符号是非负或非正。如果

() ,2,10=≥n u n ，称级数∑∞

=1

n n u 是正项级数；如果() ,2,10=≤n u n

一般形式：

例：设{a n }串，单调下降趋于0，讨论下列级数的收敛型

（1）

∑∞

=1

sin n n

nx a

（2）

∑∞

=1

cos n n

nx a

解（1） 当解x ≠2k π时 （k ∈Z ）

∑∞

=1

sin n nx 的部分和∑==n

k n

kx s

1

sin 。由三角公式

x k x k x kx )2

1cos()21cos(2sin

sin 2+--= 令k ＝ 1、2、3……n ，分别有 x x x x 23

cos 21cos 2sin

sin 2-= x x x x 25

cos 23cos 2sin 2sin 2-=

……

x n x n x nx )2

1cos()21cos(2sin

sin 2+--=

x n x nx x xin x x )2

1

cos(21cos )sin 2(sin 2sin 2+-=+??++

当x ≠2k π时，有

x

x

n x nx x xin x s n 2

1sin 2)21

cos(21cos )sin 2(sin +-=

+??++=

2

sin 121sin 2221sin 2)2

1cos(21cos )sin 2(sin x x

x x

n x nx x xin x s n =

≤

+-=+??++=

即当x ≠2k π时，部分和s n 有界，有Dirichlid 判别法知收敛。当x ＝2k π时，

sinnx ＝0，于是对？收敛∑∞

=1

sin n n

nx a

收敛。

无穷级数求和问题的几种方法

目录 摘要 (2) 1无穷级数求和问题的几种方法 (2) 1.1利用级数和的定义求和 (2) 1.2利用函数的幂级数展开式求和 (3) 1.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 (4) 1.4逐项求极限 (5) 1.5利用Flourier级数求和 (7) 1.6构建微分方程 (9) 1.7拆项法 (9) 1.8将一般项写成某数列相邻项之差 (10) 2总结 (12) 3参考文献 (12)

无穷级数求和问题的几种方法 摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容，同时无穷级数求和问题，也是学生学习级数过程中较难掌握的部分.然而，无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和 无穷级数是数学分析中的一个重要内容，它是以极限理论为基础，用以表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种重要工具.然而数学分析中注重函数的敛散问题，却对无穷级数求和问题的方法介绍的比较少，所以求和问题是学生学习级数过程中较难掌握的部分.无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据不同的无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 1利用级数和的定义求和 定义[1] 若级数1 n n u ∞ =∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1 l i m l i m n n n n n S u S ∞ →∞ →∞ == =∑, 则称级数1 n n u ∞ =∑收敛，记为1 n n u S ∞ ==∑，此时S 称为级数的和数；若部分和数数列 {}n S 发散，则称级数1 n n u ∞ =∑发散. 例1 求级数()∑∞ =--1 112n n q n ，1≤q 的和 . 解： 2311357(21)n n S q q q n q -=+++++- (1) 2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=+++++-+- (2) （1）-（2）得： 1 1(1)12(21)1n n n q q S q n q q ---=+--- 12 112(21)1(1)1n n n q q S q n q q q --=+----- 2 12lim 1(1)n n q S q q →∞ = +-- 即级数和 2 121(1) q S q q = +--.

级数求和的常用方法

四川师范大学本科毕业论文级数求和的常用方法 学生姓名刘学江 院系名称数学与软件科学学院 专业名称数学与应用数学 班级2008级01班 学号2008060122 指导教师李红梅 完成时间2012年4月30日

级数求和的常用方法 学生姓名：刘学江指导老师：李红梅内容摘要：级数在数值计算中有广泛的运用，级数首先要考虑其收敛性， 在收敛级数中寻求可求和的方法.但在国内很多教材或其它数学书籍中没有专门的板块涉及级数求和的内容，即使是国内权威数学分析教材也只是作了级数逼近的工作.力求寻求级数求和的常用方法加以总结提炼，揭开级数和的神秘面纱.本文整体布局可分为部分：一、数项级数求和的常用方法二、函数项级数求和的常用方法.由于级数的敛散性是分析级数求和的先导，但是本文重在于讨论级数求和，所以级数敛散性内容讨论从简，且本文涉及的级数均收敛.在借鉴国内外优秀数学书籍的基础上，选取一些典型题目加以分析，使每一种方法尽可能以事实形式呈现出一种“方法技巧的实战运用”景象，在实例中说明方法，用实例体会方法. 关键词：级数求和数项级数求和函数项级数求和 Common Methods of Summing of Series Abstract: Series widely used in the numerical calculation, the series must first consider its convergence, covergent series for the sum mability method.In many textbooks or other mathematical books for the summation of our national content, even if the domestic authority of mathematical analysis textbooks just made a series approximation .Under the guidance of the teachers Honmei Li, and strike to seek the summation of the commonly used method to sum up refining, opened the mystery of series The overall of this article can be divided into two parts: several summation of commonly used methods,common methods summation for funtional sreies, series summation’s theory，The convergence and divergence of the series is the summation anlysis of the pilot,but important point is to discuss the summation, so the convergence of the series discussion is simple in this text. Based on excellent books from home and abroad ,every method for series summation show the fact that “method of skill in actual use” scene as far as possible. Keywords:sum of series sum of numerial series sum of function series

数学分析 数项级数

第十二章数项级数 教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。 教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。 教学时数：18学时 § 1 级数的收敛性 一．概念： 1．级数：级数，无穷级数 ; 通项 ( 一般项 , 第项 ), 前项部分和等概念 ( 与中学的有关概念联系 ). 级数常简记为 . 2.级数的敛散性与和 : 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思 想 . 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的 和、余和以及求和等概念 . 例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）解时, . 级数收敛 ; 时, 级数发散 ;

时, , , 级数发散 ; 时, , , 级数发散 . ( 注意从 综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为 0开始 ). 例2讨论级数的敛散性. 解（利用拆项求和的方法） 例3讨论级数的敛散性. 解设, , = , . , . 例4 讨论级数的敛散性.

解, . 级数发散. 3.级数与数列的关系 : }, 收敛 {}收敛; 对应部分和数列{ }, 对应级数, 对该级数, 有=. 对每个数列{ }收敛级数收敛. 于是,数列{ 可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 . 4. 级数与无穷积分的关系 : , 其中. 无穷积分可化为级数 ; 对每个级数, 定义函数 , 易见有 =.即级数可化为无穷积分. 综上所述 , 级数和无穷积分可以互化 , 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 . 级数收敛的充要条件——Cauchy准则：把部分和数列{} 二. 收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则 . 和N, Th ( Cauchy准则 ) 收敛

教案1无穷级数概念与性质

高等数学教案1 第十一章 无穷级数 编写人:吴炯圻 I. 授课题目: 第一节 常数项级数的概念和性质 Ⅱ.教学目的与要求 1、了解常数项级数的概念及其产生的背景； 2、掌握收敛级数的基本性质； 3、会采用级数敛散的定义或收敛级数的基本性质判断较简单级数的敛散性； 4、了解柯西审敛原理。 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：级数收敛与发散的定义; 收敛级数的基本性质。 难点：无穷个数量求和与有限个量求和的差别。 关键: 1.会把级数的问题转化为部分和序列来处理; 2.熟悉数列的收敛与发散的判别. Ⅳ.讲授内容： 第一节 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念及其产生的背景 1．古代人如何求圆的面积? 我国古代数学家刘徽已经利用无穷级数的思想来计算圆的面积. 在半径为1的圆内作内接正六边形, 其面积记 为1a , 它是圆面积A 的一个近似值. 再以这正六边 形的每一边为底边分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形 (图1-1) , 算出这六个等腰三角形的面积之 和2a . 那么21a a (即内接正十二边形的面积)也是 图1-1

A 的一个近似值, 其近似程度比正六边形的好. 同样 地, 在这正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形, 算出这十二个等腰三角形的面积之和3a . 那么321a a a ++(即内接正二十四边形的面积)是A 的一个更好的近似值. 如此继续进行n 次, 当n 是较大的整数时，得到的正多边形的面积 n n a a a s +++=Λ21就很接近A 的值了. 2．常数项级数的概念 古代数学家刘徽时代，人们只懂求有限个量之和，没有极限的概念，仅能把求圆面积的步骤和准确性停留在有限的数n 上。 随着科学的进步，人们认识的提高，人们自然认为，当n 无限增大时，则 n n a a a s +++=Λ21的极限就是圆的面积A ，即 )(lim lim 21n n n n a a a s A Λ++==∞ →∞ →. (1.1) 这时，上式右边括号中的项数无限增多，出现了无穷个数量累加的式子。 一般地, 给定一个数列 ΛΛ,,,,,321n u u u u , 则由这数列构成的表达式 ΛΛ+++++n u u u u 321 (1.2) 叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为 ∑∞ =1 n n u , 即 ∑∞ =1 n n u ΛΛ+++++=n u u u u 321, 其中第n 项u n 叫做级数的一般项或通项. 上述级数的定义只是一个形式的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？ 联系上面计算圆的面积的例子，即（1.1）式，用有限项的和S n 的极限来定义无穷多个数量相加的“和”，我们自然要问，对一般的级数是否也可以这样做？ 这个思路是对的。 为此，我们把级数(1.2)的前n 项之和s n = u 1+u 2 +…+u n 称为级数(1.1)的部分和, n 依次取 1,2,L 时得数列 s 1, u 2 ,…, u n … 称为级数的部分和数列. 在上面求面积的例子中，部分和数列收敛（为什么？），并由此求得面积, 即求得无穷多个量之和12....n a a a A ++++=L 。 但是，能否由此推断, 所有级数的部分和数列收敛都收敛? (提问, 允许各种猜测.) 事实上, 正像一般的数列未必收敛一样，部分和数列也未必收敛。例如 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+……=1 1(1)n n -∞ =-∑. 其部分和数列是：1，0，1，0，…….,它显然不收敛。

论级数求和的解题策略开题报告

论级数求和的解题策略开题报告 开题报告 论级数求和的解题策略 一、选题的背景、意义 级数理论是数学研究的重要对象,它不但在日常的生产、生活中都有广泛的应用,而且还是研究函数性质进行数值计算的有力工具。其中级数求和是级数理论的基本问题之一,也是较难解决的问题,因为除等比级数、等差级数等一些常见的特殊级数外,一般级数都难以求出它的部分和,所以级数求和的方法比较灵活,技巧性也比较强,因此懂得一些解题策略和掌握一些解题方法也就显得尤为重要。 无穷级数出现的很早,往往都是出现在对个别问题的研究中。到了中世纪,无穷级数引起了当时哲学家与数学家的兴趣。17世纪微积分诞生之后,无穷级数作为一种工具在数学的前进中起到了巨大的推动作用。为了把早期的微积分方法应用于超越函数,常常需要把这些函数表示为可以逐项微分或积分的无穷级数,泰勒定理为此做出了贡献。将函数展成无穷级数之后,人们又在考虑这个问题的逆问题,即级数的求和问题[1]。 现今数学理论的学习与研究中,无穷级数也是一个有效工具,无穷级数求和更是一块重要内容,它促使数学家在数学发展上进行大胆的尝试,虽然产生许多悖论,但使数学产生了很多分支,丰富了数学理论的发展。经过历史的研究与发展,结合历史上大量数学家的研究理论与所得结论。当今学者还对级数问题与级

数求和问题都做出了深入的考察与进一步的探究,创造性地提出了许多级数求和的策略与方法。此外,发散级数在天文、物理上的广泛应用,推动了人类发展的进步。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 本课题尝试对级数求和问题策略方法及理论逻辑进行归纳梳理,并通过深入理解、构造、举例……从多方面、各角度对各类级数求和的思维转化策略及问题转化的技巧作出大胆的研究和探索。 (一)、利用收敛定义求数项级数的和: 由级数收敛定义,若数项级数的部分数列收敛于(即),则称数项级数收敛,称为数项级数的和(即)[2] 其要点即求部分和,而求的方法有: 1、形如的数项级数可用待定系数法(即交差相消法)来求[3]; 2、当求较困难时,可用先求和(为适当系数)的分项相减法(即错位相减法)来求[3]; 3、利用熟悉的等差、等比数列及三角公式等来求[4]。 (二)、利用幂级数求数项级数的和: 找一个适当的幂级数,使收敛域内某一点对应的数项级数恰好为所要求的数项级数,因此可以借助幂级数的和函数求数项级数的和, 即求出幂级数的和函数,则有[5]。 (三)、利用傅里叶级数求数项级数的和: 1、将函数展开成傅里叶级数; 2、将函数经奇(偶)延拓后展开成正弦(余弦)级数,

幂级数概念

§ 11. 3 幂 级 数 一、函数项级数的概念 函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列{u n (x )}, 由这函数列构成的表达式 u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x )+ ? ? ? 称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞ =1)(n n x u . 收敛点与发散点: 对于区间I 内的一定点x 0, 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 收敛, 则称 点x 0是级数∑∞ =1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞ =1 0)(n n x u 发散, 则称 点x 0是级数∑∞ =1 )(n n x u 的发散点. 收敛域与发散域: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所 有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑∞=1 )(n n x u 的和函数, 并写成∑∞ ==1 )()(n n x u x s . ∑u n (x )是∑∞ =1 )(n n x u 的简便记法, 以下不再重述. 在收敛域上, 函数项级数∑u n (x )的和是x 的函数s (x ), s (x )称为函数项级数∑u n (x )的和函数, 并写成s (x )=∑u n (x ). 这函数的定义就是级数的收敛域, 部分和: 函数项级数∑∞ =1)(n n x u 的前n 项的部分和记作s n (x ), 函数项级数∑u n (x )的前n 项的部分和记作s n (x ), 即 s n (x )= u 1(x )+u 2(x )+u 3(x )+ ? ? ? +u n (x ).

数项级数和函数项级数及其收敛性的判定

学号 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 学院名称：数学与信息科学学院 专业名称：数学与应用数学 年级班别： 姓名： 指导教师： 2012年5月

数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。 关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法. Several series and Function of series and the judgment of their convergence Abstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method. Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method 前 言 在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。 1 正项级数及其收敛性 一系列无穷多个数123,,,,, n u u u u 写成和式 123n u u u u +++ + 就称为无穷级数，记为1 n n u ∞ =∑。如果()0,1,2,3, n u n ≥=，那么无穷级数1 n n u ∞ =∑,就称为正项 级数。

数项级数经典例题大全 (1)

第十二章 数项级数 1 讨论几何级数 ∑∞ =0n n q 的敛散性. 解 当1||q 时, , =n S 级数发散 ; 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(12 1 -+= , ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑∞ =0 n n q 当且仅当 1||

4、 讨论级数∑ ∞ =-1352n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散. 5、 证明2-p 级数 ∑∞ =121 n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21 n u n = , 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p k p k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112 2 1 ,1 11) )(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 | ∑=+p k k n u 1 |不失真地放大成只含n 而不含p 的式子， 令其小于ε，确定N . 6、 判断级数∑∞ =1 1 s i n n n n 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要 条件) 7、 证明调和级数∑ ∞ =11n n 发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n n n ln 1 1 211 )1ln(+<+++ <+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . ) 注: 此例为0→n u 但级数发散的例子. 8、 考查级数 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的敛散性 . 解 有 , 2 11 012222n n n n n <+-?>+- 9、 判断级数 ()() +-+??-+??++????+??+)1(41951)1(32852951852515212n n

幂级数求和函数方法概括与总结

幂级数求和函数方法概括与总结

常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

级数求和的常用方法

1.7方程式法 (3) 1.8原级数转化为子序列求和 (3) 1.9数项级数化为函数项级数求和 (3) 1.10化数项级数为积分函数求原级数和 (4) 1.11三角型数项级数转化为复数系级数 (4) 1.12构造函数计算级数和 (5) 1.13级数讨论其子序列 (5) 1.14裂项法求级数和 (6) 1.15裂项+分拆组合法 (7) 1.16夹逼法求解级数和 (7) 2函数项级数求和 (8) 2.1方程式法 (8) 2.2积分型级数求和 (8) 2.3逐项求导求级数和 (9) 2.4逐项积分求级数和 (9) 2.5将原级数分解转化为已知级数 (10) 2.6利用傅里叶级数求级数和 (10) 2.7三角级数对应复数求级数和 (11) 2.8利用三角公式化简级数 (12) 2.9针对2.7的延伸 (12) 2.10添加项处理系数 (12) 2.11应用留数定理计算级数和 (13) 2.12利用Beta函数求级数和 (14) 参考文献 (15)

级数求和的常用方法 级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题. 由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性. 1数项级数求和 1.1等差级数求和 等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和. 11((1) 22 n n a a n n s na d +-=+ = ），其中1a 为首项，d 为公差 证明：12=++...+n s a a a ①，21s=+...++n a a a ② ①+②得：()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+） 因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2 n n a a s += ） 此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2. 1.2首尾相加法 此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21 )n n n n n c c c n c +++++. 解：01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++，210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++，两式相加得：210 12(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+?，即： 01235...(21 )(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+. 1.3等比级数求和 等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和. 当q =1，1s na =；当q ≠1，1(1) 1n a q s q -=-，其中1a 为首项，q 为公比. 证明：当q =1，易得1s na =， 当q ≠1，11111=++...+n s a a q a q - ①， 2111=++...+n qs a q a q a q ②， ①-②得11(1)n q s a a q -=-.可以导出一种方法“错位相减”见下1.4

幂级数求和函数方法概括与汇总

幂级数求和函数方法概括与汇总

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常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

电机级数的概念

电机极数的概念 三相异步电动机转速是分级的，是由电机的“极数”决定的。 三相异步电动机“极数”是指定子磁场磁极的个数。定子绕组的连接方式不同，可形成定子磁场的不同极数。选择电动机的极数是由负荷需要的转速来确定的，电动机的极数直接影响电动机的转速，电动机转速=60乘以频率再除以电动机极对数。电动机的电流只跟电动机的电压、功率有关系。 电机极数的分类 1. 极数反映出电动机的同步转速，2极同步转速是3000r/min，4极同步转速是1500r/min，6极同步转速是1000r/min,8极同步转速是750r/min。 绕组的一来一去才能组成回路，也就是磁极对数，是成对出现的，极就是磁极的意思，这些绕组当通过电流时会产生磁场，相应的就会有磁极。 三相交流电机每组线圈都会产生N、S磁极，每个电机每相含有的磁极个数就是极数。由于磁极是成对出现的，所以电机有2、4、6、8……极之分。 2. 若三相交流电的频率为50Hz,则合成磁场的同步转速为50r/s,即3000r/min.如果电动机的旋转磁场不止是一对磁极,进一步分析还可以得到同步转速n与磁场磁极对数p的关系:n=60f/p.f为频率,单位为Hz.n的单位为r/min。 ns与所接交流电的频率 (f)、电机的磁极对数(P)之间有严格的关系 ns=f/P。 在中国，电源频率为50赫，所以二极电机的同步转速为3000转/分，四极电机的同步转速为1500转/分，余类推。异步电机转子的转速总是低于或高于其旋转磁场的转速，异步之名由此而来。异步电机转子转速与旋转磁场转速之差（称为转差）通常在10%以内。由此可知，交流电机（不管是同步还是异步）的转速都受电源频率的制约。因此,交流电机的调速比较困难,最好的办法是改变电源的频率，而以往要改变电源频率是比较复杂的。所以70年代以前，在要求调速的场合，多用直流电机。随着电力电子技术的发展，交流电动机的变频调速技术已开始得到实用。 3.交流三相异步电动机极数为总线圈组数除以三。 4. 同步电动机的转速=60*频率/ 极对数（我国工频为50Hz)。 异步电动机转速=（60*频率/ 极对数）×转差率 另外，同等功率的电动机，转速越大，输出扭距越小。 5. 同步电机的极数 大容量的同步电机均为转极式，即转子为磁极，由励磁绕组通以直流电产生，而同步机的极对数就是转子磁极的对数。八极电机就是转子有8个磁极，2p=8,即此电机有4对磁极。一般汽轮发电机多为隐极式电机，极对数很少，一般为1、2对，而n=60f/p,所以他的转速很高，最高可达3000转（工频），而水轮发电机的极数相当多，转子结构为凸极式，工艺比较复杂，由于他的极数很多，所以它的转速很低，可能只有每秒几转！ 识别极数方法 1、看转速比如1430r/min实际同步转速就是1500转，由转速公式：转速=时间（60秒）×频率（50HZ）除以磁极对数一个磁极对为2个极，由此就可以算出3000÷1500=2个磁极对也就是4极电动机。

数项级数的概念与基本性质

8.1数项级数的概念与基本性质 教学目的 理解级数的概念和基本性质 教学重点 级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数 教学难点 有穷项相加与无穷项相加的差异 教学过程 1.导入 以前我们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础． 2.讲授新课 2.1常数项级数的概念 定义8.1 设给定数列}{n a ，我们把形如 ∑∞ == ++++1 21n n n a a a a （8.1.1） 的式子称为一个无穷级数，简称级数．其中第n 项n a 称为级数 ∑∞ =1 n n a 的通项（或一般项）． 如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数. 例如， 等差数列各项的和 +-+++++++])1([)2()(1111d n a d a d a a 称为算术级数． 等比数列各项的和 +++++-1 12 111n q a q a q a a 称为等比级数，也称为几何级数． 级数 1 1n n ∞ =∑ =111123n +++++ 称为调和级数． 级数（8.1.1）的前n 项和为： 121 n n k k k S a a a a ===+++∑ ，

称n S 为级数 ∑∞ =1 n n a 的前n 项部分和，简称部分和． 2.2常数项级数收敛与发散 定义8.2 若级数(8.1.1)的部分和数列}{n S 的极限存在， 即 S S n n =∞ →lim (常数) 则称极限S 为无穷级数 ∑∞ =1n n a 的和．记作 ++++==∑∞ =n n n a a a a S 211 此时称级数 ∑∞ =1 n n a 收敛；如果数列}{n S 没有极限，则称级数 ∑∞ =1 n n a 发散，这时级数没有和． 显然，当级数收敛时，其部分和n S 是级数和S 的近似值，它们之间的差 ++=-=++21n n n n a a S S r 叫做级数的余项．用近似值n S 代替S 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为||n r ． 例１ 讨论几何级数 +++++=∑∞ =-n n n aq aq aq a aq 21 1 的敛散性，其中0≠a ，q 是公比． 结论：几何级数 ∑∞ =-1 1 n n aq ，当1||

数项级数经典例题大全

第十二章数项级数 1 讨论几何级数∑∞ =0n n q 的敛散性. 解当1||q 时, , =n S 级数发散 ; 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(12 1 -+= , ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数 ∑∞ =0n n q 当且仅当1||

4、讨论级数∑ ∞ =-1352n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散. 5、证明 2-p 级数∑∞ =12 1 n n 收敛 . 证显然满足收敛的必要条件.令21 n u n = , 则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++p k p k p n n n n p n n k n k n k n u u u 112 2 1 ,1 11) )(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 | ∑=+p k k n u 1 |不失真地放大成只含n 而不含p 的式子， 令其小于ε，确定N . 6、判断级数∑∞ =1 1 sin n n n 的敛散性. (验证0→ /n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 7、证明调和级数∑ ∞ =11 n n 发散. 证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二(证明{n S }发散.利用不等式n n n ln 1 1 211 )1ln(+<+++ <+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . ) 注: 此例为0→n u 但级数发散的例子. 8、考查级数 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的敛散性 . 解有 , 2 11 012222n n n n n <+-?>+- 9、判断级数 ()() +-+??-+??++????+??+)1(41951)1(32852951852515212n n

7.1 常数项级数的概念和性质

1．写出下列级数的一般项： ⑴ 1357 2468 ++++ ； 【解】分析级数各项的表达规律： 分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ， 于是得级数的一般项为21 2n n u n -= ，1,2,3,....n =。 ⑵ 1111112349827 ++++++ ； 【解法一】分析级数各项的表达规律： 分子不变恒为1， 分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即12 2 n +，偶数项为3 的乘幂，幂指数为项数的一半，即2 3n ， 于是有12 22, 21 3, 2n n n n k u n k +?=-?=??=? ，k J ∈，1,2,3,....n =。 也可为1 221(1)1(1)2322 n n n n n u +--+-=?+?，1,2,3,....n =。 【解法二】分析级数各项的表达规律： 分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个 级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成， 若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有 111 23 u = +， 21149u =+221123=+， 311827u =+ 3311 23 =+， ...... 于是得11 23 n n n u = +，1,2,3,....n =。 ⑶3456 22345 -+-+- 。 【解】分析数列各项的表达规律：

各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1 (1)n +-， 从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n 于是得1 1 (1) n n n u n ++=-，2,3,....n =， 检验当1n =时，11111(1)21 u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律， 从而得 11(1)n n n u n ++=-，1,2,3,....n =。 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴ 1 1 (21)(21)n n n ∞ =-+∑； 【解】级数前n 项和为 11(21)(21)n n i S i i ==-+∑1111()221 21n n i i ==--+∑1111 ()22121n n i i ==--+∑ 11[(1)()(1152)]22113113n n =-+-+-+-+ 11 (1)221 n =-+， 由于lim n n S →∞11lim (1)221n n →∞=-+12 =，知级数收敛，收敛于1 2。 ⑵ 1 1 1n n n ∞ =++∑ ； 【解】级数前n 项和为 1 1 1n n i S i i ==++∑ 2211(1)()n i i i i i =+-=+-∑1 (1)n i i i ==+-∑ (1)()(123)2n n =-+-+++- 11n =+-， 由于lim n n S →∞ lim(11)n n →∞ =+-=∞，知级数发散。 ⑶ 1 1 ln n n n ∞ =+∑； 【解】级数前n 项和为 11ln n n i i S i =+=∑1 [ln(1)ln ]n i i i ==+-∑ ln 2ln 2ln3ln (ln1)()[ln(1)]n n =-+-+++- ln(1)ln1n =+-ln(1)n =+，

数项级数

CH 9 数项级数 1． 上、下极限 定义：对有界数列}{n a ,...},sup{lim }{sup lim lim 21++∞ →>∞→∞ →===k k k n k n k n n a a a a H ,...},inf{lim }{inf lim lim 21++∞ →>∞→∞ →===k k k n k n k n n a a a a H 如果对数列 }{n a 无上界，+∞==∞ →n n a H lim 。如果对数列}{n a 无下界，。 -∞==∞ →n n a H lim 。 性质1 设n n a H ∞ →=lim ，则 （1） 当H 是有限时，对H 的任何ε领域),(εε+-H H 在数列}{n a 中有无穷多项 属于这领域，而在),(+∞-εH 中只有有限多项。 （2） 当+∞=H 时，对0>?N ，在}{n a 中必有无穷多项大于N 。 （3） 当-∞=H 时，-∞=∞ →n n a lim 。 性质2 设n n a h ∞ →=lim ，则 （1） 当h 为有限时，对h 的任何ε领域),(εε+-h h ，在数列}{n a 中有无穷多项 属于这个领域，而只有有限项小于ε-h 。 （2） 当-∞=h 时，对0>?N ，在}{n a 中必有无穷多项小于N -。 （3） 当+∞=h 时，+∞==∞ →n n a h lim 。 性质3 设H 为}{n a 的上极限，那么H 必是}{n a 中所有收敛子列的极限中的最大值。 设h 为}{n a 的下极限，那么h 必是}{n a 中所有收敛子列的极限中的最小值。 推论：A a n n =∞ →lim （有限或无穷大）的充要条件是:A a a n n n n ==∞ →∞ →lim lim . 2．数项级数的概念及性质 定义: 若级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列}{n S 收敛于有限值S ,即